代数幾何 行列・行列式の基礎 （その２） （佐藤 (敏)）
1.
行列の和と差 同じ型の行列でのみ和と差を考える (対応する成分の和と差)
(
)
(
)
a11 a12 a13
b11 b12 b13
A=
B=
のとき
a21 a22 a23
b21 b22 b23
)
(
交換・結合法則が成り立つ
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
A+B =
1 交換法則 A + B = B + A
⃝
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23
2 結合法則 (A + B) + C = A + (B + C)
⃝
2.
行列の実数倍 行列 A の各成分を実数 k 倍する
(
)
(
)
a11 a12 a13
ka11 ka12 ka13
A=
のとき k · A =
a21 a22 a23
ka21 ka22 ka23
3.
行列の積 行列 A の列の数 = 行列 B の行の数 のときのみ積 AB を考える


(
) (
)
(
) 2 1
1×2+2×0+3×1
1×1+2×2+3×3
5 12
1 2 3 

=
 0 2 =
−2 × 2 + 1 × 0 + 0 × 1 (−2) × 1 + 1 × 2 + 0 × 3
−4 0
−2 1 0
1 3
2 × 3
行
=
列
3 × 2
行
=⇒
列
2 × 2
行
列
交換法則は一般に成り立たない AB ̸= BA
1 実数倍 k(AB) = (kA)B = A(kB)
⃝
2 結合法則 (AB)C = A(BC)
⃝
3 分配法則 A(B + C) = AB + AC
⃝
(A + B)C = AC + BC
• AB ̸= BA の例
(
)
(
)
4 6
3 −6
A=
B=
のとき
2 3
−4 8
(
)
(
)
−12 24
0 0
AB =
BA =
· · · (∗)
−6 12
0 0
よって AB ̸= BA
• 単位行列の積 AE = EA = A 単位行列 E は左右どちらからかけても変わらない
まるで １
(
)
(
)(
) (
)(
) (
)
1 2
1 2
1 0
1 0
1 2
1 2
A=
のとき AE =
=
=
2 3
2 3
0 1
0 1
2 3
2 3
• 零因子 AB = O 零行列でなくとも積が零行列になる
(∗) の例で 行列 A, B を零因子という

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