平面図形

都入試
4
番対策
平面図形
傾向と対策
１　角度に関する問題が必ず出る！形によって解き方を見極めよう！
２　第２の難所，合同・相似の証明。決まった形式を使って，とにかく書こう。
３　最後は長さや面積を求める問題。ポイントを抑えよう。
１　角度の問題は円があるのか，ないのかで解き方が大きく異なる。
A
【例題１】
（ 2008 年度出題・概略）
Q
R
右の図で，△A B Cは正三角形である。∠B A P＝a とするとき，∠A R Qの大きさを
aを用いた式で表せ。
q
B
＜解法＞
正三角形の 1 つの内角は 60 度。
∠A B R＝∠A B C−∠Q B C
＜ポイント＞　直線図形の場合，よく使う４つのアイテム
① 外角の定理
＝ 60°
− 40°
＝ 20°
② 対頂角
b
∠a＋∠b＝∠c
ℓ
b
∠a ＝ ∠b
ℓ //mのとき
∠a ＝ ∠b
∠b ＝ ∠c
P
R
Q
右の図で点Ｏは線分ＡＢを直径とする半円の中心である。͡
ＡＰ：͡
ＡＢ＝１：３の
とき，∠ＡＲＰの大きさは何度か。
弧の長さが１：３ならば，
中心角の大きさも１：３となり
∠ＡＯＰ：∠ＡＯＢ＝１：３ …①
∠ＡＯＢ＝ 180°
より
∠ＡＯＰ＝ 180°
÷３＝ 60°
A
＜答＞ 30 度
B
O
＜ポイント＞　円に関わる問題の場合，よく使う４つのアイテム
①円周角の定理
②直径→直角
O
a
③長さと角の比
④中心と接点
O
O
a
b
O
c
b
C
A
ＡＰの円周角なので
∠ＡＲＰは͡
∠ＡＲＰ＝ 60°
÷ 2 ＝ 30°
b
ℓ //mのとき
【例題２】
（ 2007 年度出題・概略）
＜解法＞
c
m
m
＝a＋ 20
＜答＞ a＋ 20（度）
④ 錯角
a
b
c
a
③ 同位角
ℓ
a
ここで一気に求めよう！
∠A R Q＝∠B A R＋∠A B R
C
P
B
１
∠a×２
=∠b＝∠c
∠a＝９０°
͡
ＡＢ：͡
ＢＣ＝
∠ＡＯＢ：∠ＢＯＣ
∠b＝９０°
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２　合同や相似の証明問題は決まったカタチにはめ込むことがコツ。
●三角形の合同条件を使うときの決まったカタチ
●三角形の相似条件を使うときの決まったカタチ
（ 2006 年度出題・模範解答）
（ 2003 年度出題・模範解答）
△ＡＥＰと△ＱＥＢにおいて，
仮定から，
ＡＰ＝ＱＢ …①
ＡＰ/ /ＢＱより錯角が等しいから，
∠ＥＡＰ＝∠ＥＱＢ …②
∠ＥＰＡ＝∠ＥＢＱ …③
①～③より,
１辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ＡＥＰ≡△ＱＥＢ
△ＤＰＣと△ＲＰＱにおいて，
四角形ＡＢＣＤは正方形だから，
∠ＰＣＤ＝ 90°
線分ＱＲは線分ＤＰに垂直だから，
∠ＰＱＲ＝90°
よって，
∠ＰＣＤ＝∠ＰＱＲ …①
共通な角だから，
∠ＤＰＣ＝∠ＲＰＱ …②
①,②より,
２組の角がそれぞれ等しいから
△ＤＰＣ∽△ＲＰＱ
太字部分が決まったカタチ。イコールで結ばれる理由を書く。問題文に書かれていたことや図形の定義は，
「仮定か
ら」とする。それ以外のことは，
「仮定」とはならないので，上記のように書かなければ，減点となる可能性がある。
３　長さを求める方法は相似か三平方の定理。これを意識して解こう。
＜ポイント＞　三平方の定理と関連深い事柄
① 直角三角形
＜ポイント＞　相似と関連の深い事柄
① ピラミッド型の図形
c
a
a
b
a²＋b²＝c²
c
g
e
b
② 砂時計型の図形
45°
30° ②
３
③
３
１：２：√
a
㧨
２
③
①
１：１：√
２
①
a²＋b²＝c²
a
c
f
O
① a:b＝ c:d
② a : e＝b : f
③ e : f ＝c : d
㧨
b
①
③ 円を含む図形
（直径や接線）
O
c
e
d
45°
60°
b
h
① a:b＝c:d
② a : e＝b : f
③ a:ｇ＝c:h
㧨
f
② 30 度，45 度，60 度を含む図形
d
㧨
③ 円を含む図形
中心と接
点を結ぶ
と直角が
得られる
×
a
c
f
×
●
e
d
b
●
2角がそれぞれ等しくな
るので，相似を使う。
① a:b＝ c:f
② a : e＝ b : d
③ e : d＝ c : f
合格へのアドバイス
平面図形に関する知識や考え方は，関数や空間図形でも利用されるので，自分の知識をもう一度整理しておく
ことが準備として大事である。
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