Document

No.1
No.2
No.3
(k, n)
(k,n)n)
(k,
(k, n)
n(k, n
n)− k k
(k, n)
n n−k k k−1
(k, n)
n
(k, n)
(k, n)
No.4
n
n−k
n n−k k k−1
GF(p)S, Ri ∈ GF(p)
S,S,RRi ∈i ∈GF(p)
Wn 1
WW1 1 WW
2 2 WnW
W2
Wn
2
2
k−1
2· · R
f(x)
=
S
+
x
+
R
x
· · + Rk
f(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
+
·
+
R
x
1
2
k−1
1
2
f(x) = S + R x + R x + · · · + R +x·k−1
1
Wi = f(i)
Wi = f(i)
2
k−1
Wi = f(i)
i = 1, 2, · · · , n i = 1, 2, · · · , n
i = 1, 2, · · · , n
(W1, W2, · · · , W(W
(S, R , R , · · · , Rk−1R
)M1, R2, · · ·
n) =
1 , W2 , ·1· · ,2Wn ) = (S,
(W1, Wi1 ,2W
, · i·2 ,· ·,·H(S|W
W
(S,
RH(S)
· · · , )R=k−1H(S)
)M
H(S|W
· ,nW) i=
)
=
1·, ·R· 2,,W
k−1
,
W
,
i
i
i
1
2
k−1
H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
H(S|Wi1 , Wi2 , · ·H(S|W
· , Wik ) =, W
0 ,··· ,W ) = 0
i1
i2
ik
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
0
i
i
i
1
2
k
(k, n)
(k, n)
(2, n)
(k, n)
(k,n)n)
(k,
No.5
(k, n)
n
GF(p)S, Ri ∈ GF(p)
S,S,RR
GF(p)
i ∈
i ∈
H(Sj1 , Sj2 , · · ·, SjWbW|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H
i
i
i
W
W
W
1
2
W
W
k−b
W
W
1
2
n
1
2
1
n
2
n
2
2
k−1
2· · R
f
(x)
=
S
+
x
+
R
x
· · + Rk−1x
ff(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
+
·
+
R
x
1
2
k−1
1
2
(x) = S + R x + R x + · · · + R +x·k−1
1
2
k−1
, n)(k, n
n)− 2 2 1
Wi = f (i)
0Wi ≤
b≤l
= f (i)
Wi = f (i)
(2, n) n − 2 2 1
i = 1, 2, · · · , n i = b1, 2, · · · , n
(S
S
·i ·1,·2,,)·W
= H(Sj1 , Sj2 , · · · , S
n j−2 ,k· i·k·, ,kW
−ji1b |W
· ·=
,ink−b ) H(S)
jn
i·1 ,·W
iW
H(S|W
,
·
,
1, S
2 i, =
1
2
k−b
W2, i· 1· ·, ,W
W(W
, · n·i)· =
, Rk−1
)M
H(S
,
S
,1l, (S,
· ·2,R··1·,,·R,W
)=
H(S
n )i2=
2W
W
R
(2, n) n −j12 j22 , · 1· · , S(Wjb1,|W
1, R
2 , · · · ,jR
1
k−b(S,
(W1, W
, · i·2 ,· ·,·H(S|W
W
) i=
(S,
H(S|W
· , nW
) =R
H(S)
1 , R2 , · · · , Rk−1 )M
i1 ,2W
k−1
i1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
0≤
b ≤i1 ,lWi2 , · · · , WiW
WH(S)
2
H(S|W
1) =
2 W3 Wn x 1
k−1
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
0
i
i
i
S + Rxjb |W
Wi1iH(S|W
H(Sfj1(x)
, Sj=
,=
Wfi2(i)
· ·i2 ,··0·H(S|W
,· ,W
H(S
W
Wikib
)k−b
=,≤
0) l,=
i1,, k
j10, Sj2 , · ·
≤
2 , ·1· · , S2
W
·
·
·
,
W
)
=
i
i
i
b
23
k 1
W
W
22 33
1 W
21 W
n x
|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−b ) = l H(S|W
H(S)
W
W
W
W
x
1
· · ,W
W2 i(2,
)=
30 n −n 2 2 1
i1 , WiW
2 , ·11b
k n)
W
2 3
(k,
n)
2
3 Wn x 1
R
R
f (x) =H(S|W
S
+
Rx
W
=
f
(i)
(k,
n)
·f·n(x)
,W
)+=(2,
H(S)
i1 , Wi3i2 , ·W
ik−b
W
W
S
x
1
2
3W
·· ··2f··(i)
n
=
S
Rx
1
2
l
i ,2=
n)
n
−
1
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
,
W
)
=
0
≤
b
≤
l
(2,
n)
n
−
2
2
1
j
j
j
i
i
i
(k,
n)
1
2
1
2
h−t−b
t+b
n
n
−
k
k
k
−
1
,W
,··· W
,W
H(S
, S(i)
f(S|W
(x) =i1S
+i2Rx
f=(i)0= S + Rx
f)(x)
j221, · ·1· , Sjb |Wi1 , Wi2 ,
(2,
−
i i=
k
n n)
nW
− kin =
k j21f
k−
x
1
b )3
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
=
0
W
W
W
W
S
x
1
2
3
W
W
W
S
x
1
2
·
·
·
n
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
,
·
·
·
,
i
i
i
1
2
3
n
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H(S)
(2,
W
1
2i1 n) i32 n −1n2 2i2k−b1 n n −
kH(S
1k −jj111,2Sjj22 , ·3· · , S·jjbb·|W
· ii11 , W
nii22 , · · · , W
l kk x
(2, n)
(k, n)
(k,n)n)
(k,
No.6
(k, n)
n
GF(p)S, Ri ∈ GF(p)
S,S,RR
GF(p)
i ∈
i ∈
H(Sj1 , Sj2 , · · ·, SjWbW|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H
i
i
i
W
W
W
1
2
W
W
k−b
W
W
1
2
n
1
2
1
n
2
n
2
2
k−1
2· · R
f
(x)
=
S
+
x
+
R
x
· · + Rk−1x
ff(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
+
·
+
R
x
1
2
k−1
1
2
(x) = S + R x + R x + · · · + R +x·k−1
1
2
k−1
, n)(k, n
n)− 2 2 1
Wi = f (i)
0Wi ≤
b≤l
= f (i)
Wi = f (i)
(2, n) n − 2 2 1
i = 1, 2, · · · , n i = b1, 2, · · · , n
(S
S
·i ·1,·2,,)·W
= H(Sj1 , Sj2 , · · · , S
n j−2 ,k· i·k·, ,kW
−ji1b |W
· ·=
,ink−b ) H(S)
jn
i·1 ,·W
iW
H(S|W
,
·
,
1, S
2 i, =
1
2
k−b
W2, i· 1· ·, ,W
W(W
, · n·i)· =
, Rk−1
)M
H(S
,
S
,1l, (S,
· ·2,R··1·,,·R,W
)=
H(S
n )i2=
2W
W
R
(2, n) n −j12 j22 , · 1· · , S(Wjb1,|W
1, R
2 , · · · ,jR
1
k−b(S,
(W1, W
, · i·2 ,· ·,·H(S|W
W
) i=
(S,
H(S|W
· , nW
) =R
H(S)
1 , R2 , · · · , Rk−1 )M
i1 ,2W
k−1
i1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
0≤
b ≤i1 ,lWi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
H(S|W
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
0
i
i
i
fj1(x)
S
+
Rx
W
=
f
(i)
H(S
, Sj=
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
,
·
·
·
,
W
H(S
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)k−b
=,≤
0) l,=
i
1
2
i
i
ikib
j
i
i
j10, Sj2 , · ·
k
1
2
0
≤
2
1b
2
H(S|W
W
·
·
·
,
W
)
=
b
i
i
i
W1 W21 W2 3 Wn xk 1 2 3
|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−b ) = l H(S|W
H(S)
· · ,W
Wik ) =
0 W x1 2 3
i1 , WiW
2 , ·1b
W
(k,
n)
2
3
n
R
R
f (x) =H(S|W
S
+
Rx
W
=
f
(i)
(k,
n)
,
,
·
·
·
,
W
)
=
H(S)
i
ik−b
W1 ,W
x≤
2 n)
3W
·· ··2f··(i)
n
fS
S1|W
+
Rx
2i1 ,W
3i·2 · W
n(x)S=
l,l W
i ,2=
(2,
n
−
1
H(S
S
·
,
,
W
)
=
0
b
≤
j
j
j
i
i
i
(k,
n)
1
2
1
2
h−t−b
t+b
n
n
−
k
k
k
−
1
,W
,··· W
,W
f(S|W
(x) =i1S
+i2Rx
f=(i)0= S + Rx
f)(x)
(i)
(2,
−
21 1
i i=
k
n n)
nW
− kin =
k 2f
k−
x
1
b )3
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
=
0
W
W
W
W
S
x
1
2
3
W
W
W
S
x
1
2
·
·
·
n
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
,
·
·
·
,
W
i
i
i
1
2
3
n
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H(S)
(2,
1
2i1 n) i32 n −1n2 2i2k−b1 n n −
k 1k −j112 j2 3
·jb· · i1 ni2
l kk x
(2, n)
(k, n)
(k,n)n)
(k,
No.7
(k, n)
n
GF(p)S, Ri ∈ GF(p)
S,S,RR
GF(p)
i ∈
i ∈
H(Sj1 , Sj2 , · · ·, SjWbW|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H
i
i
i
W
W
W
1
2
W
W
k−b
W
W
1
2
n
1
2
1
n
2
n
2
2
k−1
2· · R
f
(x)
=
S
+
x
+
R
x
· · + Rk−1x
ff(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
+
·
+
R
x
1
2
k−1
1
2
(x) = S + R x + R x + · · · + R +x·k−1
1
2
k−1
, n)(k, n
n)− 2 2 1
Wi = f (i)
0Wi ≤
b≤l
= f (i)
Wi = f (i)
(2, n) n − 2 2 1
i = 1, 2, · · · , n i = b1, 2, · · · , n
(S
S
·i ·1,·2,,)·W
= H(Sj1 , Sj2 , · · · , S
n j−2 ,k· i·k·, ,kW
−ji1b |W
· ·=
,ink−b ) H(S)
jn
i·1 ,·W
iW
H(S|W
,
·
,
1, S
2 i, =
1
2
k−b
W2, i· 1· ·, ,W
W(W
, · n·i)· =
, Rk−1
)M
H(S
,
S
,1l, (S,
· ·2,R··1·,,·R,W
)=
H(S
n )i2=
2W
W
R
(2, n) n −j12 j22 , · 1· · , S(Wjb1,|W
1, R
2 , · · · ,jR
1
k−b(S,
(W1, W
, · i·2 ,· ·,·H(S|W
W
) i=
(S,
H(S|W
· , nW
) =R
H(S)
1 , R2 , · · · , Rk−1 )M
i1 ,2W
k−1
i1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
0≤
b ≤i1 ,lWi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
H(S|W
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
0
i
i
i
fj1(x)
S
+
Rx
W
=
f
(i)
H(S
, Sj=
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
,
·
·
·
,
W
H(S
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)k−b
=,≤
0) l,=
i
1
2
i
i
ikib
j
i
i
j10, Sj2 , · ·
k
1
2
0
≤
2
1b
2
H(S|W
W
·
·
·
,
W
)
=
b
i
i
i
W1 W21 W2 3 Wn xk 1 2 3
|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−b ) = l H(S|W
H(S)
i1 , Wi2 , · · · , Wik ) = 0
(k,
n)
b n)
R
R
f (x) =H(S|W
S
+
Rx
W
=
f
(i)
(k,
,
,
·
·
·
,
W
)
=
H(S)
i
i1 W3i2 W
ik−b
W
W
S
x
1
2
3W
·· ··2f··(i)
n
f
(x)
=
S
+
Rx
1
2
n
l
i ,2=
(2,
n)
n
−
1
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
,
W
)
=
0
≤
b
≤
l
j
j
j
i
i
i
(k,
n)
1
2
1
2
h−t−b
t+b
n
n
−
k
k
k
−
1
,W
,··· W
,W
f(S|W
(x) =i1S
+i2Rx
f=(i)0= S + Rxn nW
f)(x)
(i)
i i=
k
− ki =
k f
k−
1
x
1
b )3
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
=
0
W
W
W
W
S
x
1
2
3
W
W
W
S
x
1
2
·
·
·
n
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
,
·
·
·
,
W
i
i
i
1
2
3
n
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H(S)
(2,
1
2i1 n) i32 n −1n2 2i2k−b1 n n −
k 1k −j112 j2 3
·jb· · i1 ni2
l kk x
(2, n)
(k, n)
(k,n)n)
(k,
No.8
(k, n)
n
GF(p)S, Ri ∈ GF(p)
S,S,RR
GF(p)
i ∈
i ∈
H(Sj1 , Sj2 , · · ·, SjWbW|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H
i
i
i
W
W
W
1
2
W
W
k−b
W
W
1
2
n
1
2
1
n
2
n
2
2
k−1
2· · R
f
(x)
=
S
+
x
+
R
x
· · + Rk−1x
ff(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
+
·
+
R
x
1
2
k−1
1
2
(x) = S + R x + R x + · · · + R +x·k−1
1
2
k−1
, n)(k, n
n)− 2 2 1
Wi = f (i)
0Wi ≤
b≤l
= f (i)
Wi = f (i)
(2, n) n − 2 2 1
i = 1, 2, · · · , n i = b1, 2, · · · , n
(S
S
·i ·1,·2,,)·W
= H(Sj1 , Sj2 , · · · , S
n j−2 ,k· i·k·, ,kW
−ji1b |W
· ·=
,ink−b ) H(S)
jn
i·1 ,·W
iW
H(S|W
,
·
,
1, S
2 i, =
1
2
k−b
W2, i· 1· ·, ,W
W(W
, · n·i)· =
, Rk−1
)M
H(S
,
S
,1l, (S,
· ·2,R··1·,,·R,W
)=
H(S
n )i2=
2W
W
R
(2, n) n −j12 j22 , · 1· · , S(Wjb1,|W
1, R
2 , · · · ,jR
1
k−b(S,
R
(W1, W
, · i·2 ,· ·,·H(S|W
W
) i=
(S,
H(S|W
· , nW
) =R
H(S)
1 , R2 , · · · , Rk−1 )M
i1 ,2W
k−1
i1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
0≤
b ≤i1 ,lWi2 , · · · , WiW
WH(S)
2
H(S|W
1) =
2 W3 Wn x 1
k−1
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
0
f(x)
=
S
+
Rx
mod
P
W
=
f(i)
i
i
i
H(Sj1 , Sj2 , ·1· · , S2jb |Wi1bH(S|W
, Wi2i1,, kW
·i ·i2 ,··0·H(S|W
,· ,W
H(S
Wikib
)k−b
=,≤
0) l,=
j10, Sj2 , · ·
≤
W
·
·
·
,
W
)
=
i
i
i
23
k 1
W
W
22 33
1 W
21 W
n x
|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−b ) = l H(S|W
H(S)
W
W
W
W
x
1
· · ,W
W2 i(2,
)=
30 n −n 2 2 1
i1 , WiW
2 , ·11b
k n)
W
2 3
R
(k,
n)
f (x) = H(S|W
S + Rx ,W
=
f
(i)
2
3 Wn x 1
i
(k,
n)
W
,W
·≤R· R·<<
,PSW
H(S)
S) =
iS1P<
i2 ≤
ik−b
l
W
W
W
x
1
2
3Wnni−
·,22·f·· (i)
(0
≤
P)
(0
P)
(0
≤
S
<
)
(0
)
(2,
n)
221· 11n
1j ,S
2 j , ·3 · f
nSj=
H(S
·
,
|W
,
·
,
W
)
=
0
≤
b
≤
l
R(S|W
(2,
n)
−
i
i
(k,
n)
(x)
S
+
Rx
W
=
K
1
2
1
2
h−t−b
t+b
n
n
−
k
k
k
−
1
i H(Sj21 , Sj22 ,H(S
· · · , S |W ,)W≥
i1 , Wi2 , · · · , Wik ) = 0
(2,
2,
n n)
n − kn −
k k − 1 1 jb |Wi1x
s i1
b )3 =
W
WS2iR+
W
Sii2fx, (i)
1·) ·=, 2W
·j1·,, SS· j2 ,, ·· ·· n
K
1 =
3i , ·W
n
H(S|W
,
W
·
0
(x)
Rx
W
=
H(S
·
,
S
i
i
H(S|W
,
W
·
·
,
W
H(S)
i
ii11 ,, W
ii22 ,, ·· ·· ·· ,, W
H(S
·
,
S·jjbb·|W
|W
W
W
1
k
j
j
R
n
n
−
k
k
k
−
1
x
1
2
3
·
n
1
2
1
2
k−b
l
(2, n) n − 2 2 1
(k, n)
2
f(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
1
2 + · · · + RNo.9
k−1 x
S, Ri ∈ GF(p)
2
k−1
n) = S + RW
=
f(i)
f(k,
(x)
x
+
R
x
+
·
·
·
+
R
x
i
1
2
k−1
S, R=
i ∈fGF(p)
W
(i) i = 1, 2, · · · , n
i
f (x) = S + R1x + R2x2 + · · · + Rk−1xk−1
i = 1, 2, · · · , (W
n 1, W2, · · · , Wn) = (S, R1, R2, · · · , R
Wi = f (i)
Wi2R, · ·, ·R, W
), =
H(S)
ik−1
(W1 , W2 , · · · H(S|W
,W
Wn )W=i1 ,(S,
,
·
·
·
R
)M
1 x 21
k−1
W
=
f
W
W
2
3
·
·
·(x) n
1
2
3
n
i = 1, 2, ·i ·S,· W
, ni ,W
H(S|W
W
W
W2H(S)
W3)1 =W
W13 W2nSx 13 2 · · 3·
2 ik−1
n x
1
2 · ·1 · ,W
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
1
ik ) = 0
(2, n) ni1− 2 i22 H(S
1 K |W
≥ H(S)
−
s ))M
W
W
W
W
x
1
2
3
·
·
·
n
1
2
3
n
(W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
(S,
R
,
R
,
·
·
·
,
R
1
2
n
1
2
k−1
(2,
n)
n
−
2
2
1
(2,
n)
n
−
2
2
1
K
H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik ) = 0
H(S
· ,H(S)
Sjb |Wi1 , Wi2 , · ·R
· ,W
)=H
j1 , iSj2 ,)· ·=
ik−b
H(S|Wi1 ,R
Wki2≥
, ·(k,
·(2,
· n)
,n)
W
H(S)
≥
H(S)
k−1
k
n
−2 2 1
H(Sj1 , Sj2 , ·H(S
· · ,jS
|W
,
W
,
·
,W
· · ,)W
i·1 ,· W
i2 , ·ik−b
1 , jS
b j2 , · i·1· , Sjib2|W
1
(k, n) P (x) = Q(x) D(P ∥Q) ≥ 0 P (x) =xQ(x)
l ik−b ) = H
H(S|Wi1 , Wi2 , ·nH(S
·1· ,njW
1−
2, Sikjk)2 ,=· ·3k0· , Skjb |W
− 1i1 , W0i2≤,n· b· ·≤, W
l≤ b ≤nl0
b 0 ≤ b ≤0 (2,
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H(S)
n
l min{H(X), H
(k, n
n)− k k k −i1 1 0i2≤ I(X;ik−b
Y)≤
0≤
b≤l
H(S|W , WH(S|W
, · · · , ,W
W , ·)· ·=, Wb H(S)
) = b H(S)
0
0
0
2·
No.10
α
α
·
·
α
f(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
+
·
·
k−1 x
1 1 2 2
n· + R
S, Ri ∈ GF(p)
⎜ α1 α1 · · · α1 ⎟
(k, n)
⎜ 1
2
n ⎟
2
k−1
⎜
(k,
n) = S + RW
=
f(i)
2
2
2 ⎟
f
(x)
x
+
R
x
+
·
·
·
+
R
x
i
1
2
k−1
(S, R1, R2 · · · , Rk−1) ⎜ α1 α2 · · · αn ⎟
⎜ ..
⎟
.
.
.
.
.
.
·
·
·
.
⎝
⎠
S, R=
i ∈fGF(p)
W
(i)
i = 1, 2, · ·k−1
· , n k−1
i
k−1
α
α
·
·
·
α
f (x) = S + R1x + R2x2 +1 · · · +2Rk−1xk−1 n
i = 1, 2, · · · , (W
n 1, W2, · · · , Wn) = (S, R1, R2, · · · , R
α1, α2, · · W
· ,i α=nf∈(i)GF(PH(S|W
)
Wi2R, · ·, ·R, W
), =
H(S)
ik−1
(W1 , W2 , · · · , Wn ) =i1 ,(S,
,
·
·
·
R
1
2
k−1 )M
S, Rj ∈(W
GF(P
, W1,2 ,)2,
W(0
·,·nS
, W<
= ) (0 ≤ R < P )
1=
n) P
iH(S|W
·i3·, ,··≤
1 Wi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik ) = 0
⎛
⎞
(W1, W2, · ,· ·W, W,n·) ·=· ,(S,
R11), R
2 ,0·1· · ,· R
k−1 )M
·
·
1
H(S|W
W
=
i1
i2
i
k
⎜)α
H(S|Wi1 , Wi2 , ·(k,
· · ,n)
Wik−1
α2 · · · αn ⎟
⎜ =1 H(S)
⎟
R
⎜ 2
2
2 ⎟
, R2 · · P
· , Rk−1
α1
α2 · · · αn ⎟
f(x) = S(k,
+ (S,
Rx
W)i ⎜
= f(i)
n)R1mod
⎜
⎟
...
.
.
H(S|Wi1 , Wi2 , ·n· · ,nW−ik⎝
)k = k...0 k −
···
. ⎠
1
α1k−1 α2k−1 · · · αnk−1
k n k S kx −
W1 W2 n
1 1 2 3 ··· n
3 −W
(k,Wn
n)
·+
(k, n)
(k + 1) × n
No.11
(k, n)
(W1 , W2 , W3 , · · · , Wn ) =
S, Ri ∈ GF(p)
⎛
⎞
1
1 ···
1
⎜ α
⎟
α
·
·
·
α
⎜ 1
2
n ⎟
⎜ 2
⎟
(S, R1 , R2 · · · , Rk−1 ) ⎜ α21
α22 · · · αn2 k−1
⎟
f
(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
+
·
·
·
+
R
x
⎜
1
2 ..
k−1.. ⎟
.
.
k−1
.
···
. ⎠
⎝ .
Rk−1 x
α1k−1 α2k−1 · · · αnk−1
W1
W2
Wn
Wi = f (i)
α1 , α2 , · · · , αn ∈ GF(P )
i = 1, 2, · · · , n
S, Rj ∈ GF(P ) (0 ≤ S < P ) (0 ≤ R < P )
(S, W1, W2, · · · , Wn ) = (S, R1, R2, · · · , Rk−1)M
R
H(S|W
W×
i2 ,n· · · , Wik−1 ) = H(S)
k×n
(ki+1 ,mod
1)
R2 , · · · , Rfk−1
(x) )M
= S + Rx
P Wi = f (i)
H(S)
W1
H(S|W
W
· ·1, W2ik ) =
W
3
2 W3 i1 ,W
n i2 ,S· x
0 ···
n
n)
No.12
(k, n)
, · · · , W W)i =) =H(S)
i1 , Wi2 , · · · , Wik ) = 0 H(S|W
i1 , W
H(S|W
0 H(
n − k H(S|W
k
i1 i,2Wi2 , · · · i,k−1
k
i1 , Wi2 , · · · , Wik ) = 0 H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
− k k k − H(S|W
1
H(W
H(Wi) ≥ H(Wi|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1
) i) ≥ H(Wi|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 )
H(W
· · , W)ik−1
)H(W
= H(W
|W , W , · · · , W k−1 )
i ) ≥ H(W
i,|W
i1 ,, W
i·2 ,,·W
= H(W
|W
W
·
·
−
i i1
i2
ik−1
i |Wii1 , Wi1i2 , · ·i2· , Wik−1 , iS)
= H(Wi|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) −=H(W
, Wi1i,2 ,W
· ·i·2 ,,·W· ·ik−1
, S)
I(S;
W
,
W
i |W
i|W
i
ik−1
1
= I(S; Wi|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 )
= I(S; Wi|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 )= H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) −
= H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) − H(S|Wi, Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 )
= H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) −=H(S|W
H(S)i, Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 )
= H(S)
= H(S)
H(Wj ) = H(S)
n
!
n
1 !
1
lim an = a bn =
n→∞
n
!
1
n
a
W1
(k, l, n)
(k, n)
W2
Wn
No.13
f(x) = S + R1x + R2x2 + · · · + R
S, Ri ∈ GF(p)
f (x) = S1 + S2 x + · · · + Sl xl−1 + Rl x2 + · · · +
H(Wj ) = H(S)
=R
f(i)
2
k−1
f (x) = S + R1W
xi +
2 x + · · · + Rk−1 x
S = (S0 , S1 , · · · , Sl−1 )
Wi = f (i)
i = 1, 2, · · · , n
Rj
(k, l, n)
f(x) = S0 + S1x + · · · + Sl−1xl−1 + Rl xl + · · · + Rk−1xk−1
i = 1, 2, · · · , n
, W , · · · , W R)l ,=· · ·(S,
R2 , ·
1 ,)M
) 1=
, Sl−1, jW
, · ·H(S)
· , W(W
, RR
0 , · · · H(W
n ) =1 (S0 ,2· · · , Sl−1 , n
k−1
(k + 1) ×(S
n
S = (S0, S1, · · · , Sl−1)
0 n≤)l−1
b≤
, lWRil 21, ,· R
· ·2, W
)k−1
=
H(S
(W1 , W2 , · · · , H(S|W
W
=
· ·i·k−1
,R
)M
k−1
i(S,
1
f (x) = S
R0j+ S1x + · · · + Sl−1x + Rl x + · · · + Rk−1x
H(S|W
, · ·b· H(S)
, Wik−1 ) =0 H(S)
i1 , W)i2=
l,
n)
≤b≤l
H(S|W(k,
,
W
,
·
·
·
,
W
(k, n)
i1
i2
ik−b
l
S = (S0(k
, S1+
, · ·1)
· ,×
Sl−1
n) H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik ) = 0
Wik ) )==0 b H(S)
i2 ,, ·· ·· ·· ,, W
H(Wj ) H(S|W
=
H(S) ii1 ,, W
H(S|W
W
ik−b
1 Wi i)
2 = 0
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
l
i
i
1
2
k
1
(k,
l,
n)
S, RH(W
(k, n)
i ∈ jGF(p)
) = l H(S)
(k, n)
(k, n)
Rj
H(S|W
Wii21 , ·W· ·i2 , W
=it+b
0 ) = H(Sj1 , Sj2
H(SH(W
, ·H(S)
·R
· ,∈
SjGF(p)
· · ·ik ,) W
i1 ,|W
=
j1 , Sj j)2S,
h−t−b
i
0
≤
t
≤
l
W1 W2(k + W
1) n
×n n n − k k nk −
n 1− k k k − 1
W1
(k, l, n)
(k, n)
W2
Wn
No.14
f(x) = S + R1x + R2x2 + · · · + R
S,kRik∈
− GF(p)
l H(S)
f (x) = S1 + S2 x + · · · + Sl xl−1 + Rl x2 + · · · +
H(Wj ) = H(S)
W
=
f(i)
i
f (x)
=
S
+
R
x
+
R
· · ·13))
+ Rk−1 xk−1
(5 × 8 = 40 = 31× 13 + 1 2=x12 +
(mod
S = (S0 , S1 , · · · , Sl−1 )
−1
M
=
6
×
5
= 6i ×
= 2,
48 ·=· ·13,×
W
=
f
(i)
=8 1,
n3 + 9 = 9 (mod 13)
i
Rj
(k, l, n)
l
f(x) = S0 C+1xS=1x69+=· ·10077696
· + Sl−1x=l−15 +
Rl x13)
+ · · · + Rk−1xk−1
(mod
i = 1, 2, · · · , n
,(SW0,k2·,−····l,·S,l−1
W, nR)kl ,=· ·k·(S,
R2 , ·
) 1=
l 1 ,)M
, Sl−1, jW
, · ·H(S)
·5 , W(W
,−
RR
0 , · · · H(W
n ) =1 k
k−1
(k + 1) ×(S
n
×l−1
5 )= 9 × 3125 = 28125 = 6 (mod 13)
S = (S0, SC
· · 9, S
1 ,2· =
0 n≤)l−1
b≤
, lWRil 21, ,· R
· ·2, W
)k−1
=
H(S
(W1 , W2 , · · · , H(S|W
W
=
· ·i·k−1
,R
)M
k−1
i(S,
1
f (x) = S
S1x + · · · + Sl−1x(5 5×+8R=l x40+=· ·3·(5
+ 13
Rk−1
x=40
×
8 1=
=3
R0j+
×
+
1 (mod
M
=
9
r
=
5
C
=
2
=
32
=
6
(mod
13)
H(S|W
, · 1·b· H(S)
, Wik−1 ) =0 H(S)
i1 , W)i2=
l,
n)
≤ b ≤ l −1
H(S|W(k,
,
W
,
·
·
·
,
W
(k, n)
i1
i2
ik−b
l
−1
S = (S0(k
, S1p+
,=
· ·1)
·13, ×
Sl−1
)
H(S|W
,
W
·=· ·6M
,×W
=13)
×
5013 ×
=36
9
n
M
=
6
×
5
8=(mod
=
i
i
i=k6)48
1= 2 =
2 , 512
g
=
2
x
=
9
y
=
5
Wik ) )==0 b H(S)
i2 ,, ·· ·· ·· ,, W
H(Wj ) H(S|W
=
H(S) ii1 ,, W
H(S|W
W
1 Wi i)
2 = 0 x ik−b
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
l x
9
i
i
9
1
2
k
1
(k,
l,
n)
C
=
6
= 10077
S, RH(W
∈
GF(p)
C
=
6
=
10077696
=
5
(mod
13)
(k,
n)
1
i
1
j ) = l H(S)
(k,
n)
(k, n)
Rj
H(S|W
Wii21 , ·W
· 2·i2=, W
==it+b
09C×)2 3125
H(SH(W
, ·H(S)
·R
· ,∈
SjGF(p)
·9·×·ik ,)55W
=
H(S
S=
i1 ,|W
=
=
9
×
5
j1 , Sj j)2S,
j51 ,=
j92
C
=
28125
h−t−b
i
t ≤ l Wn n − k k k − 1
W1 0 ≤W
2(k + 1) ×n n
n n−k k k−1
5
W1
(k, l, n)
(k, n)
W2
Wn
No.15
f(x) = S + R1x + R2x2 + · · · + R
S, Ri ∈ GF(p)
f (x) = S1 + S2 x + · · · + Sl xl−1 + Rl x2 + · · · +
H(Wj ) = H(S)
=R
f(i)
2
k−1
f (x) = S + R1W
xi +
2 x + · · · + Rk−1 x
S = (S0 , S1 , · · · , Sl−1 )
Wi = f (i)
i = 1, 2, · · · , n
Rj
(k, l, n)
f(x) = S0 + S1x + · · · + Sl−1xl−1 + Rl xl + · · · + Rk−1xk−1
i = 1, 2, · · · , n
, W , · · · , W R)l ,=· · ·(S,
R2 , ·
1 ,)M
) 1=
, Sl−1, jW
, · ·H(S)
· , W(W
, RR
0 , · · · H(W
n ) =1 (S0 ,2· · · , Sl−1 , n
k−1
(k + 1) ×(S
n
S = (S0, S1, · · · , Sl−1)
0 n≤)l−1
b≤
, lWRil 21, ,· R
· ·2, W
)k−1
=
H(S
(W1 , W2 , · · · , H(S|W
W
=
· ·i·k−1
,R
)M
k−1
i(S,
1
f (x) = S
R0j+ S1x + · · · + Sl−1x + Rl x + · · · + Rk−1x
H(S|W
, · ·b· H(S)
, Wik−1 ) = H(S)
i1 , W)i2=
l,
n)
H(S|W(k,
,
W
,
·
·
·
,
W
(k, n)
0≤b≤l
i1
i2
ik−b
l
S = (S0(k
, S1+
, · ·1)
· ,×
Sl−1
n) H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik ) = 0
Wik ) )==0 b H(S)
i2 ,, ·· ·· ·· ,, W
H(Wj ) H(S|W
=
H(S) ii1 ,, W
H(S|W
W
ik−b
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
1 Wiki)
2 = 0
l
i
i
1
2
(k,
l,
n)
S, RH(S
∈
GF(p)
(k,
n)
i j1 , Sj2 , · · · , Sj |Wi1 , Wi2 , · · ·(k,
, Wn)
ik−b ) = H(Sj1 , Sj2 , · · · , Sjb )
b n)
(k,
Rj
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
0
H(SH(W
, ·H(S)
·R
· ,∈
S
|W
W
·
·
·
,
W
) = H(Sj1 , Sj2
=
i
i
i
j1 , Sj j)2S,
j
i
i
1
2
k
1
2
h−t−b
t+b
1 GF(p)
i
H(S)
j) =
l
W1 W2(kH(W
W
n
n
−
k0 ≤kb ≤
+ 1) ×n n
nk l−n 1− k k k − 1
No.16
(S0, S1)
)S0j |W
SS
S1 (S
))0=SH(S
0i 1
1S
0 1 jS, 1Sj , · · · , Sj
(Sj10,(S
,SS
(S
, S0,,)WSik−t
S
H(S
, ,·)S
· · 1,S
j201
t
1 , Wi2 ,0· · · 1
1
2
1 j , Sj , · · · , SH(S
H(S
Sji ,,···W
··j· ,i|W
,SW
j |WS
ji1ji, ,W
jti |W
i=
H(W
H(S)
1j , · ·2 · , Sj
1i,=
H(S
,
H(S
, Wi)H(
j) =
j1 l S
t |Wtij11,,W
t k−t )
2
22 , ·· ··22·· ,, S
1k−t
2
1
1
1
1
H(W
)
=
H(S)
H(W
)
=
l
l H(S)
H(Wj ) =j l H(S)
H(Wj ) =j l H(S)
0≤t≤l
0≤t≤l
0t ≤ t ≤ l
0
≤
t
≤
l
0
≤
≤l
H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−t ) = l tH(S)
H(S|Wi1 , Wi2 , · · ·H(S|W
, Wik−ti)1t,=Witl2H(S)
, · · · , Wik−
H(S|W
, ·ik·) ·=
H(S|W
, 0Wik−t )i1 =
, Wli2H(S)
, · · · , Wik−t ) =
H(S|W
· · i,2W
i1 , Wii21,,· W
S0 SS1 0 S01 + SH(S|W
10 +SS
S
S1 ,S1W
+i0kS)1i=
01 S
1, 0WiS
0+S
10 +
, 10W
00 i2S, 01· ·+· S
,W
)
i1S
ik S
2 ,1· · ·H(S|W
, · · · , Sl−1i , ,WW
= i(S)0,=
· ·,·0W
, Sil−1, ,·R
· , iR)k−1=)M
1 , i· ·,· ·, ·W
n,) W
l·, ·,·W
·
H(S|W
·
0
s r1 s r2r1 (S0rH(S|W
i
s 1 r1 s2 r2r1 r2 k s 1 r1 s2 r2r1 r2 k
2
(S , · · · , S , W1(S
, · 0·,·· ,· W
· ,l S) l−1
= ,(S
W01, ,· ·· ··k−1
·, ,SW
l
f (x) = S00+ S1x + · l−1
· · + Sl−1xl−1
+ R l xn
+ ··· + R
x
k−1
· 1, S
, · ·0S
,· ·,·W
·(S,nS
),l−1
=
(S
, W0S
,1·, · · ·S
,S
,W
l−1), WS
1(S
l−1n,)R
(S0, S1(S
) 0, S01) (SSS01,0 · ·(S
S
,
S
S
)
0
1(S0 , 01 ) S10 S01 1(S0 , l−1
01 ) S10 S
l1
+(x)
· · ·=
+S
S0l−1
+xS1 x +
+R
· ·l x
·+
S = (Sf,(x)
S , ·=
· · ,S
S0 +
) S1 x f
No.17
(S0, S1)
S0 , W
SS10, · · S· 1,0 W
+ SS01)+=SH(S
1
H(Sj1 , Sj2 , · · · , Sjt |W
i1
i2
ik−t
j1 , Sj2 , · · · , Sj
s r r2
H(Wj ) = 1l H(S) s rSS100 rS2 11 SS
+SS11
00 +
ssS(S
r01, SS1r0)22 S
S10 S1
(S
,
)
0
1
0≤t≤l
S0 S S(S
S+0S)+ S
S
1 0 ,SS
10 S
S
S
(S
S
H(S
,
S
,
·
·
·t |W
,1 0Si+
· · i,
0
1
0
1S
0 j1 , S0 jt S
1
H(S
,
·
·
·
S
· ·i2·, ,· W
j
j
j1t ,|W
S
SW1i1i2,,W
j
1
2
0
1
1 = 2H(S)
H(S|Wi1 , Wi2 , · · ·s, Wrik−t
)
s 1r1 rr22 l s r1 r2
H(S
,W
H(Sj1 , Sjj22,,······ ,,SSjtj|W
i1i,1 W
i2 i,2·,···· ,· W
t |W
H(S|Wi1 , Wi2 , ·S·0 ·(S
S,1W
,SiS00kS,0)S+1S1=
))S1 1 0SS0S0 0+S11S1 S1 1
0(S
=SS110l) H(S)
S0 SS1 0 S01 + S10 + S1 S0 H(W
)=
S
S
jl)+
(S
,
S
+SS0 1 S1
jH(W
0H(S)
1
0
0
1
s r1 r2s r1 r2
· ·r· , W, nS
) =, ·(S
· · ,|W
Sl−1,, W
Rl , ·,··· ·,·R,k−1
)M
0 ,,·1S
1
s r1 s r2r1(S0r, 2· · · , Sl−1, Ws1,H(S
·
·
W
r
rjt |W
jr
jW
1j1s
t i2 , · ·i·1, Wi i)2 = H(Sj1 , Sj2 ,i·k−
, S0≤
,≤
· ,·
2·1·j· t
2llil1 ,,H(S)
H(W
H(S)
), S≤
=
jH(W
j22
1t
k−t
0H(S
≤
l
H(S
S
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
j
j
j
i
i
t
1
2
S1 1 l2
(S0, S1) (SS0 , SS1)1 S0 l−1
k−1
f (x) = S0 + S1x + · · · + Sl−1x + Rl x + · · · + Rk−1x
t= t H
00)≤
t
(S0, S1(S
) 0, S01) SS10 S1 (S0H(S|W
≤
≤
l
, S1(S
S
S
H(S|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
,
)
S
S
0
1
,1W
·W·i2 , ·W
))i,=
H(S)
1·=,iW
ii2,|W
1 ·0
k−t
l ), · ·
k−t
l
S0jjt2|W
,
S
,
·
=
H(S
,
S
1i,1· 1·i1·,H(S)
H(SH(W
,2 · ·j·j))1 ,==
W
·
·
·
)
H(S
S
,
·
·
·
j
i
i
i
j
j1 , SH(W
jH(S
i
i
j
j
jjt2
t
1
2
1
k−t
2
1
2
k−t
H(S)
1
S = (S , S , · · · , S ) j
l
No.18
S0 S1 S0 + S1
s r1 r2
, · · · , Wik−t ) = H(Sj1 , Sj2 , · · · , Sjt )
2
S1
(S0, S1) S0 S1
1
H(Sj1 , Sj2 , · · ·h, =
Sjtmin
|Wimaxflow(s,
W ik
1 , Wi2 , · · · ,r)
S0 S1 S0 + S1
S=,jW
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
)
H(S
S=ji22H(S
,,· ·· ·· ·,jS, ,jW
) jik−t, ·)· =
i1j,1),W
j
j
j
S
·
,
S
)
1
t |W
t
t
1
2
ik−t
j
t
1
2
S
S
S
+
S
S
S
S
+
S
H(W
)
=
H(S)
s
r
r
r
10 H(S
11· ·, ,·1S
1,0S , 0S
j
2
T
W
· · it,k−t
W)i0k−t
= )H(S
=
·
·
·
,
)
S
)
l
j1 jj12 j2
jt jt
= l H(S)
s r1s rr21 r2
rt
(S0, S01)≤ tS0≤ lS1
S)0 (S0, S(S1)0, SS1)0 SS01 S1
r
No.19
S0 S1 S0 + S1
s r1 r2
t(t <r)h)
maxflow(s,
,2 · · · , Wik−t ) = H(Sj1 , Sj2 , · · · ,hSj=t ) min
r
S1
S0 S1 S0 + S1 (S0 , S1 ) S0 S1
t
s r1
r2
rT
h=m
H(Sj1 , Sj2 , · · ·h, =
Sjtmin
|Wimaxflow(s,
W ik
1 , Wi2 , · · · ,r)
S0 Sr1 S0 + S送信可能
1
1
(S0 , S1 ) S0 S1
s
r
r
1
2
S
S
S
+
S
送信可能な情報
0
1
0
1
u
≤
h
−
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
,
·
·
·
,
W
)
=
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
j,·1·· ·· ·, S,jjW
jt j , S
i1j , · · ·i2, Sj )
ik−t
j1
j2
jt
S=,jW
,
W
)
=
H(S
2S
H(S
,
S
,
)
i
i
i
j
j
)
=
H(S
,
,
·
·
·
,
S
)
1
t |W
t
t
1
2
1
2
1
2
k−t
ik−tS0 S
j1 SSj2s
jH(W
t Sr
+
S
S
S
+
)
=
H(S)
r
r
u
≤
h
−
t
1
0
1
0
1
0
1S
(h,
h−t
j
1
2
T
W
· · it,k−t
W)ik−t
= )H(S
= H(S
,
S
,
S
·
·
·
,
,
·
·
·
,
)
S
)
l
(S
,
S
)
S
S
j1 jj12 j2
jt jt
0
1
0
1
= l H(S)
s r1s rr21 r2
rt
(h, h − t,t(tn)< h)
1
H(Wj ) = l (S
H(S)
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
|W
,
W
0 , S01 )≤ tS0≤ lS1
j
j
j
i
t
1
2
1
t(t
<
h)
S)0 (S0, S(S1)0, SS1)0 SS01 S1
No.20
S0 S1 S0 + S1
s r1 r2
t(t < h)
h = min maxflow(s, r)
,2 · · · , Wik−t ) = H(Sj1 , Sj2 , · · · , Sjt )
r
S1
S0 S1 (S
S0 0+, S
S11 ) S0 S1
t
h=m
r
h
= min
maxflow(s,
r)
S
S
S
+
S
0
0
1
r1
送信可能
s r1 r2 rT
s, Srj1|W
ri2 , Wi ,u· ·≤
H(S
,
S
,
·
·
·
· ,hW−ik
S0 S
+
S
送信可能な情報量
jS
j
1
0
1
t
1
2
1
2
(S0 , s
S1 ) r1S0 r2S1 rT
1
t
h − t,
(S0 , S1 )u ≤
S0h −
S(h,
1
H(Sj1 , Sj2 , · · · (h,
, Sjh−t−b
Wn)
· · ,h)
Wit+
h |W
−i1 ,t,
i2 , ·<
t(t
H(S
S,H(S
,1·)·,·S,SS
, (S
· · ·j ,,W
)· =
H(S
,
j)1 ,=
jS
j·t·|W
i11), WiH
ik−t
j1 , iS,j2W
(S
S
2
2
S
,
·
·
,
S
|W
S=,jW
|W
,
W
,
·
·
·
,
W
,
·
,
S
0
0
H(S
,
S
,
·
·
·
,
S
)
j
j
i1j1) =ji22H(Sj1 ,jtSjik−t
j1 j2
jt 1
t
,
·
·
·
,
S
)
1 t(t
2 < h)
1
t ik−t
j
t
2
S
S
S
+
S
S=
S1,0S S, 0S
S,·1S
H(W
)
=
H(S)
(h,
h
−
t,
n)
10 H(S
1+
j
W
· · it,k−t
W)i0k−t
= )H(S
·
·
·
,
·
·
,
)
S
)
l
j1 jj12 j2
jt jt
|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−t ) = H
= l H(S)
s r1s rr21 H(S
r2 j1 , Sj2 , · ·r·t , Sjtt(t
<
h)
1 (0 ≤ b ≤ h − t)
1
H
(W
H(Wj ) = 0l ≤
H(S)
j ) = l H (S)
t
≤
l
S0 S1
H(S
,1S)0j2 , ·S
· ·01, SjSh−t−b
S
S)0 (S0, S(S
j1 , Sj2 , · · · , Sjh−t−b )
1 )0 , jS
1S
1 |Wi1 , Wi2 , · · · , Wit+b ) = H(S
r12
0 ≤ t ≤Sl0 S1 sC S0r1+ S
1
No.21
(k, n)
(k,n)n)
(k,
(k, n)
n
GF(p)S, Ri ∈ GF(p)
S,S,RRi ∈i ∈GF(p)
Wn 1
WW1 1 WW
2 2 WnW
W2
Wn
2
2
k−1
2· · R
f(x)
=
S
+
x
+
R
x
· · + Rk
f(x)
=
S
+
R
x
+
R
x
+
·
+
R
x
1
2
k−1
1
2
f(x) = S + R x + R x + · · · + R +x·k−1
1
Wi = f(i)
Wi = f(i)
2
k−1
Wi = f(i)
i = 1, 2, · · · , n i = 1, 2, · · · , n
i = 1, 2, · · · , n
(W1, W2, · · · , W(W
(S, R , R , · · · , Rk−1R
)M1, R2, · · ·
n) =
1 , W2 , ·1· · ,2Wn ) = (S,
(W1, Wi1 ,2W
, · i·2 ,· ·,·H(S|W
W
(S,
RH(S)
· · · , )R=k−1H(S)
)M
H(S|W
· ,nW) i=
)
=
1·, ·R· 2,,W
k−1
,
W
,
i
i
i
1
2
k−1
H(S|Wi1 , Wi2 , · · · , Wik−1 ) = H(S)
H(S|Wi1 , Wi2 , · ·H(S|W
· , Wik ) =, W
0 ,··· ,W ) = 0
i1
i2
ik
x
H(S) ≡
CY
"1
W2
H(S)
(X;Y )
ε
!
s
Ŵ1
S
P (x)P (y)
y
−P (s) log P (s)
w1
w2
w
w
CY ≡ max I(X; Y )
X
Γ = [{w1 , w2 , w3 },
{w1 , w4 }, {w2 , w4 }, {w3 , w4 }]
#
S
Γ = [{w1 , w2 }, {w2 , w3 }, {w1 , w3 }, {w4 }]
v2
v3
v1
v4
R
w1 : (v2 , v4 )
w2 : (v3 , v4 )
w3 : (v1 , v4 )
w4 : (v1, v2 , v3 )
No.22
No.23
w1
w2
w
w
Γ = [{w1 , w2 , w3 }, {w1 , w4 }, {w2 , w4 }, {w3 , w4 }]
Γ = [{w1 , w2 }, {w2 , w3 }, {w1 , w3 }, {w4 }]
No.24
(Visual Secret Sharing Scheme)
w1
w2
wn
No.25
→
→
→
No.26
No.27
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
⎡ b b w w⎤
⎢
⎥
w
b
b
w
⎢
⎥
⎢⎣ b b w w⎥⎦
w
b
No.28
⎡ b b w⎤
⎢
⎥
⎢ b w b⎥
⎢⎣w b b ⎥⎦
wb2
2!
⎛ wb2 ⎞
⎜
⎟
⎝ 1!⋅2!⎠
⎡ b w w⎤
⎢
⎥
⎢w b w⎥
⎢⎣w w b ⎥⎦
⎡b⎤
⎢ ⎥
⎢b⎥
⎢⎣b⎥⎦
w2 b
2!
b3
3!
⎛ w2 b ⎞
⎜
⎟
⎝ 2!⋅1!⎠
⎛ w0 b3 ⎞
⎜
⎟
⎝ 0!⋅3! ⎠
n!= n ×(n −1) × × 2 ×1
0!= 1
⎡ b b w b w w b⎤
⎢
⎥
⎢ b w b w b w b⎥
⎢⎣w b b w w b b⎥⎦
w2 b
b3
wb2
+
+
2!
3!
2!
No.29
⎡ b b w w⎤
⎢
⎥
b
w
b
w
⎢
⎥
⎢⎣w b b w⎥⎦
2
3
wb w
+
2!
3!
⎡ b w w b⎤
⎢
⎥
⎢w b w b⎥
⎢⎣w w b b⎥⎦
w2 b b3
+
2!
3!
⎡b b w w⎤
⎢
⎥
⎣b w b w⎦
⎛∂
∂⎞
⎜ + ⎟
⎝ ∂w ∂ b ⎠
b2
w2
+ wb +
2!
2!
⎡b w w b⎤
⎢
⎥
w
b
w
b
⎣
⎦
⎛∂
∂⎞
⎜ + ⎟
⎝ ∂w ∂ b ⎠
w2 b2
wb +
+
2! 2!
No.30

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