速度に関する解 問題32 境界層から境膜へ バルク C0 V € V 濃度境界層 ψ c の分布 € δv (x) vy vx 成分Ａ € € ψc = C − C0 Cs − C0 x € δc (x) ηc = 0 € € x=L 5 Δ 境界層内の分布 Δ3 − を合成変数ηcの 14 関数で表現し， € € その解を得た。 (C = C0 ) ψc = 0 € ηc = 1 濃度境界層 CS δc (x) € 半無限平板 x =0 € L€ 3 1 3 = 1− ηc + ηc 2 2 ψは１から０に変化する 速度境界層 C0 € € δv = 4.64Re-1/2 x = ηc = 13 1 14 Sc 定義 Δ = 1 Δ = Sc 近似 ⓐ 3 δ€ −1/ 2 c = 4.64Rex Sc −1/ 3 ⓑ x Vx Rex = ν € ψc = 1 (C = CS ) € y δc Sc = ν D € 境界層を用いた積分プロフィル法（変数合成法）で解析的には解けないような，複雑な連立偏微分方程式 € € € を解くことができる。しかし，毎回，このような設定と計算を繰りかえすことはとても面倒！！ € € そこで境界層からさらに簡便な境膜を導入する! € € € その際に満足するべき条件は 固体 固体表面におけるフラックスが一致する CS 境膜 突然動き出す無限平板と半無限平板の速度境界層に対する解析解 との比較で，採用しているプロフィールが必ずしもこの条件を満 足している訳ではないが，ほぼ満足されていると考えよう！ 実際の分布（真の解） 境界層 C0 表面 € 2 δ = δc 3 ここで，境膜内物質移動速度定数 を定義する。 kdx € € € = dy y=0 € 3 D(CS − C0 ) 2 δc δc = 最後に，撹拌流体で物質移動がどの程度促進されるのか，すなわち （撹拌流体中での物質移動速度）／（静止流体中での物質移動速度） をシャーウッド数として導入する Δ3 − ⓑ ⓒ ⓓ より € Shx = Δ5 13 1 = 14 14 Sc € 1/ 2 Shx = 0.323Rex Sc1/ 3 Δ3 = 13 1 14 Sc δ ：境膜厚さ δc ：境界層厚さ N = kdx (Cs - C0 ) € ⓐの近似を見直す。 δc 流束(フラックス) ＝速度定数 濃度差 そこで，もう一度戻って境界層内の分布を用いて dC N = −D 表面における物質流束を表記すると ⓑ, ⓒ, ⓓ を使って式を整理する 表面からの距離y δ 境膜 境膜内は定常状態を仮 € 定しているので，分布 は直線分布となる dC 3 (CS − C0 ) (CS − C0 ) = = dy y=0 2 δc δ 表面y＝０ を代入して バルク 境界層 C − C0 = (CS − C0 )ψ c € 境界層内の分布 境膜内の分布 € dC dψ dη 1 = (CS − C0 ) c c = (CS − C0 )(−1.5+ 0.5ηc ) dy dη dy δc € 撹拌流体 Shx = k dx x D 3D 2 kd ⓒ ⓓ となってプリント㋑式と一致しない。 € δc = Δδv = 0.976δv Sc kd x 3 x 3 1 = = × = 0.331Re1/2 Sc1/3 -1/2 −1/3 D 2 δc € 2 4.53Re Sc −1/3 δc = 4.53Re-1/2 Sc−1/3 x ⓑを書き直す Shx = 0.331Re1/2 Sc1/3 ⓔ 半無限平板からの物質移動はxの関数となっている。先端から距離Lまでの平均値を求めて整理する。 ∫ L 0 kdx dxWΔt(CS − C0 ) = k d LWΔt(CS − C0 ) 1/2 ⓓ, ⓔ より € Sh = € !V $ kdx = 0.331# & Sc1/3 D x −1/2 "ν % kd L より D 1/2 " VL % € 1/3 kd L = 2 × 0.331$ ' Sc #ν & D kd = 1 L ∫ L 0 k dx dx 1/2 !V $ 1 kd = 0.331# & Sc1/3 D "ν % L Sh = 0.662Re1/2 Sc1/3 ∫ L 0 1/2 !V $ 2 x −1/2 dx = 0.331# & Sc1/3 D L1/2 "ν % L Re = VL ν ⓑ δC δv
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