13. ラプラス逆変換
13. Inverse Laplace Transform
このテーマの要点
 変換対と諸定理を利用した逆変換に習熟する
 多項式の展開方法に習熟する
教科書の該当ページ
 3.4ラプラス変換
ラプラス逆変換[p.55]
ラプラス逆変換の導出

フーリエ逆変換
Mix
+∞
F(ω) e j ω t dω
f (t) = 1 ⌠
2π ⌡−∞
(3.17) ラプラス変換
(フーリエ変換+収束因子+因果性)

F(s) = F(σ + jω)
+∞
− σ t − jω t
=⌠
⌡0 f (t) e e (3.52)dt
F(σ + jω)
(収束条件：s > −σ )
f (t) e − σ t
f (t) e − σ t
+∞
= 1 ⌠
F(σ + jω) e j ω t dω
⌡
2π −∞
両辺に e σ t をかける
f (t)
+∞
= 1 ⌠
F(σ + jω) e (σ + j ω) t dω
2π ⌡−∞
変数変換 σ + jω = s
jdω = ds, ω : −∞ → +∞ のとき
s : σ − j∞ → σ + j∞
σ + j∞
st ds
f (t) = 1 ⌠
F(s)
e
2π j ⌡σ − j∞
(3.64)
ラプラス変換の性質(補足)
逆変換の計算は変換対と諸性質を
組み合わせて考えることが多い
たたみ込み積分
⌠ ∞ f (t−τ) g(τ) dτ
⌡0
⌠ +∞{⌠ ∞ f (t−τ) g(τ) dτ } e −stdt
⌡0 ⌡0
積分の変換
⌠ t f (τ) dτ = x (t) とおくと
⌡−∞
d x(t)
= f (t)
dt
+∞
∞
=⌠ g(τ) { ⌠ f (t−τ)e −stdt }dτ
⌡0
⌡0
f (t)の時間推移関数の変換
<=> e −sτ F(s)
両辺をラプラス変換
微分の変換
sX(s) = F(s)
t
∴ ⌠ f (τ) dτ
⌡−∞
∞
=⌠ g(τ) e −sτ F(s) dτ
⌡0
1 F(s)
s
変換定義式
⌠∞
= F(s) g(τ) e −sτ dτ = F(s) G(s)
⌡0
ラプラス変換の諸性質
性 質
時間信号 f (t), g(t)
ラプラス変換F(s), G(s)
線形性
a f (t) + b g(t)
縮小・拡大
f (at)
時間推移
複素推移
f (t−a)
e −at f (t)
d f (t)
dt
aF(s) + bG(s)
1 F( s ) (a > 0)
a
a
e −as F(s)
F(s+a)
微分信号
s F(s)− f (0)
複素微分
− t f (t)
積分信号
⌠ t f (τ) dτ
⌡−∞
d F(s)
ds
1 F(s)
s
たたみ込み
⌠ t f (t−τ) g(τ) dτ
⌡0
F(s)•G(s)
代表的なラプラス変換対
時間関数 f (t)
ラプラス変換F(s)
δ (t)
1
1(t)
1
s
1
s2
n!
s n+1
1
s+a
a
2
s + a2
s
2
s + a2
t
tn
e −at
sin at
cos at
性質と対を利用した変換の例

δ (t − a) <=> e −as•1 = e −as
δ (t) <=> 1

f (t−a) <=> e −as F(s)
時間推移：

b
<=> e −at sin bt

2
2
(s+ a) + b
b
sin bt <=>
s 2 + b2
e −at f (t) <=> F(s+a)
複素推移：
1 <=> e −at t
(s+ a)2

t <=> 12
s
e −at f (t)
複素推移：
<=> F(s+a)
有理関数の展開
逆変換の際に s の多項式を部分分数に展開すると簡単に解ける場合が多い
m < n, pnが独立(単極)
m個
c
c
c
(s−z1)(s−z2) ••• (s−zm)
= s−p1 + s−p2 + ••• + s−pn (3.67)
F(s) = k
(s−p1)(s−p2) ••• (s−pn)
1
2
n
n個
ck = (s−pk)F(s) | s=pk (3.68)
 m < n, 同じpnを含む (重極)
d2
(s−z1)(s−z2) ••• (s−zm)
d1
c2
=
+
+
+ •••
F(s) = k
(s−p1)2(s−p2) ••• (s−pn) (s−p1)2 s−p1 s−p2


m >= n
d1 = (s−p1)2F(s) | s=p1 d2 = d (s−p1)2F(s) |s=p1
ds
F(s) = G(s) + k
(s−z1)(s−z2) ••• (s−zm)
(s−p1)(s−p2) ••• (s−pn)
割り算をすると
m < nと同じになる
例題 (重極がある3次遅れ系)
F(s) =

1
= a + b 2+ c
2
(s+2)(s+1) s+2 (s+1) s+1
a = (s+2)F(s) | s= −2 =
1
(s+1)2
s= −2

b = (s+1)2F(s) | s= −1 = 1
s+2

c = d (s+1)2F(s) | s= −1 = d 1
ds
ds s+2
1
∴ F(s) = 1 + 1 2 −
s+2 (s+1) s+1
s= −1
=1
=1
s= −1
= −1 2
(s+2)
s= −1
f (t) = e −2t + t e −t − e −t
= e −2t + (t −1) e −t
= −1