201 5 年度数学基礎考究2 (落合) 確認小テスト (11/19) 学籍番号氏名

２０１ 5 年度数学基礎考究２ (落合) 確認小テスト (11/19)
学籍番号氏名
次の問いに教科書やノートを見ずに答えよ. 尚, 数学的な文章を正しく
書ける訓練でもあるので, 読みやすい文字と文章で記すこと.
[1] f (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X], A ∈ Mn (K) に対して f (A)
で a0 1n + a1 A + · · · + an An ∈ Mn (K) を表すとき, A ∈ Mn (K) に対す
る最小多項式 φA (X) ∈ K[X] の定義を述べよ.
[2] f (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X], A ∈ Mn (K), P ∈ GLn (K)
とするとき, f (P −1 AP ) = P −1 f (A)P を証明せよ.
[3] A ∈ Mn (K), P ∈ GLn (K) とするとき, φP −1 AP (X) = φA (X) を証
明せよ.
[4] A ∈ Mn (K), P ∈ GLn (K) とする. A の固有多項式を ΦA (X) と記
すとき, ΦP −1 AP (X) = ΦA (X) を証明せよ.
[5] A ∈ Mn (K) に対するケーリー・ハミルトンの定理の主張を正確に
述べよ.
[6] 「勝手な実係数行列 A ∈ Mn (R) は Mn (C) において (上半) 三角化
可能」である. この主張を丁寧に記せ (主張を正確に記すだけでよい.
証明はしなくてよい).
(
)
a b
[7] 次の上半三角な 2 × 2 行列 A =
∈ GL2 (C) の最小多項式
0 d
φA (X) と固有多項式 ΦA (X) を記せ. 結果だけでよいが, 必要に応じて
a, b, d の値に関する場合分けを行うこと.

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