2-9-1
基本解近似法によるインパルス応答の計算
☆鈴木菜穂子, 矢田部浩平, 及川靖広 (早大理工)
まえがき
1
⎧%
&
2
⎪
⎨ △ + k u(x) = 0
' ∂
ik (
⎪
⎩
−
u(x) = g(x)
∂n
z
波動音響解析の手法として代表的なものには時間
領域差分法や有限要素法，境界要素法が挙げられる．
これらの手法は基盤が確立し，音響問題に広く用い
られている [1, 2]．一方で基本解近似法（Method of
Fundamental Solutions，MFS）[3–5] のような Trefftz
系解法も存在し，その基礎研究は古くから行われてい
るが近年音響分野への応用は少ない．その大きな原
因として，各基底の独立性が低いため，解くべき連立
一次方程式の条件数が悪いことが挙げられる．しか
しこの解法は，支配方程式を満たす関数を基底とし
て用いているため数値分散誤差がなく，少ない自由度
ただし，
である．
g(x) = −
uN (x) ≈
(3b)
' ∂
ik (
−
us (x)
∂n
z
N
)
j=1
(1)
aj H0 (k∥x − ξj ∥)
は等式となる．これを式 (3b) に代入し
⎡
⎤
⎤ a1
⎡
⎤
|
|
|
⎢
⎥
|
⎢
⎥⎢ a 2 ⎥
⎥
⎥ ⎢
⎣ f1 (y) f2 (y) . . . fN (y) ⎦⎢
⎢ .. ⎥ ≈ ⎣ g(y) ⎦
⎣ . ⎦
|
|
|
|
aN
⎡
基本解近似法
吸音性の境界 ∂Ω に囲まれた二次元領域 Ω 内で，単
一のインパルスを発生させたとき，その音響モデル
をインピーダンス境界条件を用いて
⎧%
&
2
⎪
⎨ △ + k u(x) = −δ
' ∂
ik (
⎪
⎩
−
u(x) = 0
∂n
z
(4)
によって近似する．この近似式は N が無限のときに
調べた．
2
on ∂Ω
仮想点音源を用いる．すなわち式 (3) の解を
したがって受音点を部屋の中心付近に設定した場合
ンパルス応答を計算し，自由度と解析精度の関係を
(3a)
ではそのような関数として，領域の外側に配置した
近傍で最大となり，境界から離れるほど小さくなる．
得られると考えられる．本研究では MFS を用いてイ
in Ω
Trefftz 法は境界値問題の解をその支配方程式 (3a)
を満たす関数の線形結合で近似する方法である．MFS
でも精度よく計算できる．また，近似解の誤差は境界
は，極端に少ない自由度でも音響的に有効な結果が
∗
(5)
から最小二乗法を用いて {aj }N
j=1 を求めることで，一
般解が定まる．ただし，
in Ω
(1a)
on ∂Ω
(1b)
fj (y) =
' ∂
ik ( (1)
−
H0 (k∥y − ξj ∥),
∂n
z
y ∈ ∂Ω
である．式 (2) と式 (4) は連続関数であるので，これ
らの和も連続関数である．したがって，任意の受音点
と考える．ただし △ はラプラシアン，k は波数，δ は
における値を計算することができる．
Dirac のデルタ関数，∂/∂n は境界に対する法線方向
求めた近似解は支配方程式を満たしているので，数
微分，z は垂直入射インピーダンス，i は虚数単位，x
値分散誤差がない．また，各基底の振幅は境界上で最
は位置ベクトルである．式 (1a) は Helmholtz 方程式
大となるため，近似解の誤差は境界近傍で最も大き
であり，その基本解は第 1 種 Hankel 関数
く，境界から離れるほど減衰する．したがって，境界
いて
us (x) =
(1)
H0 (k∥x
− s∥)
(1)
H0
を用
上の誤差を調べれば真の解との誤差の上限が与えら
(2)
と表される．ただし，点音源の位置を s とした．特殊
解は式 (2) で与えられるので，足し合わせて式 (1b)
の境界条件を満たせるような一般解を求めれば，式
(1) の解が得られる．この一般解は次の境界値問題の
解として特徴付けられる．
∗
れる．本研究では，式 (5) を最小二乗法で解く際にス
ペクトル法を用い，数値分散の誤差をマシンイプシ
ロンのオーダーに抑えた．
実験
3
表–1 に示す条件でシミュレーションを行った．計
算したインパルス応答を図–1 に，インパルス応答の
Simulating impulse response with Method of Fundamental Solutions.
By Naoko SUZUKI, Kohei YATABE and Yasuhiro OIKAWA (Waseda University).
日本音響学会講演論文集
- 939 -
2015年9月
Power [dB]
Power [dB]
Power [dB]
Power [dB]
Power [dB]
40
20
0
-20
40
20
0
-20
40
20
0
-20
40
20
0
-20
40
20
0
-20
100
1,000
Frequency [Hz]
図–1 計算したインパルス応答
上から自由度 N = 52, 80, 108, 136, 164
シミュレーション条件
点音源の座標 (x, y)
受音点の座標 (x, y)
境界の寸法（縦 × 横）[m]
垂直入射インピーダンス
境界と仮想音源の距離 [m]
音速 [m/s]
音源
0
(0.5, 0.5)
(−0.3, 0.2)
4×6
5.83
1
340
インパルス
-20
-40
Error [dB]
表–1
図–2 計算したインパルス応答の周波数特性
上から自由度 N = 52, 80, 108, 136, 164
周波数特性を図–2 に示す．これらより，自由度が大
きくなると計算できる周波数帯域が増え，インパル
ス応答の高周波数成分が増えていることがわかる．
自由度を変えた場合の各周波数に対する境界上の
相対誤差の大きさを図–3 に示す．全体的に自由度が
大きい方が誤差が小さくなっているが，N = 164 で
は低周波数域の誤差が大きくなっている．これは解い
-60
-80
N
N
N
N
N
-100
-120
102
= 52
= 80
= 108
= 136
= 164
103
Frequency [Hz]
図–3 自由度 N それぞれについての周波数 [Hz] に対する
境界上の相対誤差の大きさ [dB]
ている連立一次方程式の条件数が悪く，数値的に解け
ていないことが原因である．また図–2 と図–3 を比べ
ると，高周波数域においては，誤差が増えるとスペク
トルのパワーが減ることがわかる．すなわち，高周波
数域についての誤差は，近似解の振幅が 0 に近いこ
とに起因している．以上より，MFS は極端に小さい
和する正則化について検討し，また MFS による解析
結果を音響指標や聴覚的な視点から評価することで，
どの程度小さな自由度でも音響的に実用的な結果を
得られるか検討する所存である．
参考文献
自由度で音響問題を解くことができるが，行列の条
件数に常に気を配りながら自由度を決定する必要が
あることが示唆される．
4
むすび
本研究では，MFS を用いて長方形の二次元領域に
ついてインパルス応答を計算し，自由度と解析誤差の
関係を求めた．結果より，自由度が小さいことによる
式 (4) の近似誤差よりも自由度が大きいことによる連
立一次方程式の悪条件性の方が解析結果の信頼性に
関わってくることがわかった．今後は，悪条件性を緩
日本音響学会講演論文集
[ 1 ] B. Pluymers, B. van Hall, D. Vandepitte and W.
Dsmet, “Trefftz-based methods for time-harmonic acoustics,” Arch. Comput. Methods Eng., vol.14, no.4, pp.343–
381, 2007.
[ 2 ] 日本建築学会編，音環境の数値シミュレーション：波動音響
解析の技法と応用，丸善出版株式会社，東京，2011．
[ 3 ] G. Fairweather and A. Karageorghis, “The method of
fundamental solutions for elliptic boundary value problems,” Adv. Comput. Math., vol.9, 1–2, pp.69–95, 1998.
[ 4 ] A. Julieta, A. Tadeu and L. Godinho, “A threedimensional acoustics model using the method of fundamental solutions,” Eng. Anal. Bound. Elem., vol.32, no.6,
pp.525–531, 2008.
[ 5 ] 緒方秀教, “波動問題などに対する代用電荷法の数理的性質,”
数理解析研究所講究録, vol.1719, pp.168–181, 2010.
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2015年9月
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