平成 16年 度推薦入学試験問題 総合 テス ト 理学部 物理学科 検査時間 :120分 注意事項 1 . この冊子は, 監 督者 か ら解答 を始めるよ う合図があるまで開 いてはいけない。 2 . 監 督者 か ら解答 を始 め る合 図があ つた ら) ま ず最初 に解答用紙 に受験 番号) 氏名 を記入す る こと。 3.問 題 は E□ ,□ 4.問 題 Eヨ ,□ の 2題 あ る。□ ,□ 両方 の 問題 に解答 しな さい。 の解答 は ,そ れ ぞれ別 の解答用 紙 に記入 す る こ と。 5.解 答 には結 果 だ けでな く,途 中 の経過 も示 しな さい。式 ,図 な どを 自由に用 い て よい。 ただ し,問 題 文 中で示 され て い な い記 号 を用 い る場 合 には,そ の 定義 を明確 に書 く こ と。 6,落 丁,乱 丁 また は印刷 の 不備 な もの が あ っ た ら申 し出 る こ と。 7.こ の 冊子 は持 ちか えって よい。 質量 碗 の小球 が図 1の よ うな ″y平 面 内 の 半径 んのなめ らかな半 円上 を運 動す る問題 を考 え る。 y方 向下向 きに重力 が働 い てお り,小 球 は頂 上 Aか ら無 視 で きるほ ど小 さい 初速度 で右側 にす べ り落 ち,途 中 で 半 円か ら離れ落 下 した。 こ 問 1ち の とき小球 が 点 Aか らす べ り落 ち)半 円か ら離れ る瞬 間 まで につ い て考 える。小 球 の 研座 標 が sの ときの 小球 の位 置 を P,重 力加 速度 の 大 き さを す として ,以 下 の 間 に答 えな さい。 ただ し空気抵抗や 半 円 との摩 擦 力 は無視 で き るもの とす る。 (1)点 Pで の小 球 の速 さを求 めな さい。 (2)点 Pに お い て小 球 に働 く重力 を,点 Pに お いて この 半 円 に接 す る接 線 の方 向 の成分 と,こ の接 線 に垂 直 な方 向 の成分 に分 ける。接線 に垂 直 な方 向 の 成分 の 大 き さを求 め な さい。 (3)小 球 が 半 円 か ら離れ る ときの小球 の α座 標 を求 め な さい。 量 772の小球 が図 2の よ うな αy平 面内 のなめ らかな曲線上 を運動す る 問 2.質 問題 を考 える。 グ方向下向きに重力 が働 い てお り,小 球は点 Aか ら無視 で きるほ ど小 さい初 速度 で右側 にす べ り落 ち,曲 線 上 の″ 点 Bで 初 めて この 曲線 か ら離れ , 再び曲線 にふれ るこ とな く 密軸 上に落下 した。 曲線 の方程 式は y=メ (3),点 A, Bの 座標 は各 々 (0)ん ),(s。ガ(50))である。小球 の 伊座 標 が sの ときの小球の位置 を P,重 力加 速度 の大 きさを gと して,以 下 の 間に答 えな さい。 ただ し空気抵抗 や曲線 との摩 捺 力 は無視 で きるもの とす る。 まず )小 球 が点 Aか らす べ り落 ち,点 Bで 曲線 か ら離れ るまでにつ い て考 え る。 (1)点 Pで の小球 の速 さを ん,す,メ (5)を用 いて表 しな さい。 (2)点 Pに お いて小球 に働 く重力 を,点 Pに お いて 曲線 に接す る接線 の方 向 の 成分 と,こ の接線 に垂 直な方 向の成分 に分 ける。接線 に垂 直 な方 向 の成分 の大 き さを 駒,g,メ (5)の導関数 メ′ (5)を用 いて表 しな さい。 次 に,小 球 が点 Bで 曲線 か ら離れ 密軸 上 に落下す るまでについ て考 える。 (3)点 Bで 曲線 か ら離れた後 に小球が描 く軌跡 の方程式 を求 めな さい。 一 ︱ ︱ 上 １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ 一 一 メ(So) ー 問 1 . 電 気量 ±9 。で充電 されて い る電気容量 σ の コンデ ンサ を, 電 気抵抗 兄の抵抗 に接 続 して, 図 1 の よ うな回路 をつ くった。 時亥J O に スイ ッチ S を 閉 じ た ところ, 回 路 に電流が流れて放電 が始 ま った。 時刻 サにお ける矢印方 向の 電流 r(老 ) を , 以 下 の よ うに求 めてみ よ う。 S σ 図 とぉ 十 分 大 きな 自然 数 れを用 い て , 時 刻 0 か ら サま で を 角等分 し, ん = 上 く。 この 時 , ん は サに比 べ て非 常 に小 さい こ とに な る。 ま た , 時 亥J たん ( ただ し た= 0 , 1 , 2 , … ・, 拘) に お け る電流 ) コ ンデ ンサ ー の右側 の極板 に蓄 え られ て い る 電気量 を,そ れぞれ れ =r(たん),9た =9(た ん)で 表す。 (1)時 刻 たんにお ける回路で の電圧 のつ りあい,お よび電気量 の保存 の式 はそれ ぞれ ん 兄 れ , +1 9た=一 9た 々 ￨=み と書 くことがで きる。特に, r 。= 普 を用 いて表 しな さい。 告 である。この漸化式 を角牢き, 島 を 9 。, σ, 兄, た, ん ーに注意 して,サ を一定に保 つたまま (2)前 問 (1)の結果 で ん=れ とす る。ん=エ 免→ ∞ の極 限を考 える。 この時,r(サ)=泡 から 鮎島 rO=為炉洗 い い い よ こ て と と ば る 示し な さ ら 用 な を 腰な 。 。 ,注 ll■ 貼 糾=ゴを )縦 軸 を r(サ )と してグラ (3)電 流 r(サ )の 時間変化 のおおまか な様子 を,横 軸 を サ フにお きな さい。 ー (4)十 分 に時間がた つた時に,コ ンデ ンサ の右側 の極板 に蓄 えられて い る電気 量は い くらか。 また,そ の時までに抵抗で消費 され たエネル ギー の大 きさを 9。, θ を用 いて表 しな さい。 一 問 2 . 図 2 の よ うに, 磁 束密度 の大 き さが βの鉛 直 上 向 きの 様 な磁 場 中に, 2 本 の十分長 い金属 の レール が水 平 で平行 に固 定 され て い る。 レール の 間隔は ′ で, そ の上 には質量 胸 の金属棒 が レール に垂直に のせ てあ る。 また レール の端 には, 電 気量 ±9 。で充電 され て い る電気容量 θの コンデ ンサー と電気 抵抗 妃の 抵抗 が接続 され てい る。時刻 0 に スイ ッチ S を 閉 じた ところ, 回 路に電流 が流れ は じめる とともに金属棒 は動 きだ し, 十 分 に時間がたつ と金属棒 の速 さは一 定値 ー ー υ ∞ にな っ た。金属 の レ ル や金属棒 の電気抵抗, お よび金 属棒 と レ ル の 間 の 摩擦 は無視 で きるとして以下 の問 に答 えな さい。 図2 (1)ス イ ツチを閉 じた瞬間 に,回 路 に流れ る電流 の大 きさと金属 棒 に働 く力 の大 き さはい くらか。それぞれ を 9。,C,兄 ,β,ど ,胸 の うちか ら適 当な記 号 を用 いて 表 しな さい。 また,力 の方向は どち らか。 ),α(サ (2)時 刻 サにお ける金属棒 の速 さ)加 速度 の大 きさをそれぞれ υ(サ ),そ の ー 時に流れ て い る矢印方向 の電流 を r(サ ),コ ンデ ンサ の右側 の極板 に蓄 え られ て い る電気量 を 9(サ )ぉ ょび β,r,駒 を )と す る。金属棒 の運動方程式 を,a(サ),r(サ 用 いて表 しな さい。ま た,誘 導起電力 に注意 して,回 路 での電圧 のつ りあ いの式 を,υ(サ ),r(サ),9(サ)お よび σ,況 )β ,rを 用 い て表 しな さい。 ー (3)十 分 に時 間がたつた時,コ ンデ ンサ の右側 の極板 に蓄 え られ てい る電気量 はい くらか。また,そ の時までに抵抗 で消費 され たエネル ギー の大 きさは い くら か。 それ ぞれ を,9。 ,σ,兄,J)J,拘 ,υ∞ の うちか ら適 当な記号 を用 いて表 しな さ い。 ,縦 軸 を r(サ (4)電 流 r(サ )の 時 間変化 の お おまか な様子 を,横 軸 を サ )と してグラ フに 実線 で描 きな さい。 ただ し,グ ラ フに は前問 1.(3)で求 めた グ ラ フ も点線 で 記入 し,両 者 の グラ フの違 いが生 じた理 由を説 明 しな さい。
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