早
三相交流
今まで扱 つてきた交流は ,「単相交流」 といって交流電源が 1
つだけで した。一般蒙庭では単相交 流の 100[V]を 使いま した
が ,工 場やビルなどの大きな電力を必要とするところには ,こ
れか ら学ぶ三相交流が使用されます
.
三相交流 の発生
図 15.1(a)を 見 て くだ さい 。磁 界 中 の 3本 の 導 体 が 図 の 方 向 に回 転 す る時
,
各導 体 には正 弦波交流 が発生 します 。各導 体 に 発生 す る交流 の 位相 はそ鷺 rad]
(120° )ず つ 違 い ます
.
(基 準 )
︲
ン生３
π
０
一３
２
２
2π
3
(120
図 15.1 二相交流 の発生
●各導体に発生する起電力
図 の 導 体αに発生 す る電 圧 (起 電 力 )`α [V]を 基 準 に考 え る と ,導 体bに 発生す
,等 卜ad]遅 れ ,導 体εに 発生 す る電 圧ιごは さらに等 卜a司 遅 れ ま
`bは
す .従 って ,式 にす る と
る電 圧
,
=E"sinσ [V]… …
導 体 の 起電 力
… ……
……
(15.1)式
`α
導 体 の 起電 力
`b=E“
Jn(σ ―等
)[V]…
…
… (15.2)式
導体 の 起電 力 θc=E"豆 n(σ ―等 ―も
う
=E"豆 n(rDr―
となります。
４
■Ｅ■■
”一
>三 相交流の発生
等)[V]…
(15.3)式
図 15。 1(b)に 発生 した波形 を示 します。 この各導体で発生 した交流電圧 を
「相電圧」 といいます。3つ の相電圧 があるので「二相交流」 と呼ばれます。
電圧の大 きさが等 しく,お 互 い￨メ
がある三相交流の
多 [a司 (120° )の 位相差
ことを「対称二相交流」 といいます。 これか ら学ぶ二相交流 は ,こ の対称二相
交流です.単 に二相交流 といえば ,対 称二相交流のことを示 します。
rad]の 位相差の ある交流を使 う利点は ,3つ の電源からの交流を,3本 の
イ町
線で送ることがで きるため効率 がいいのです。送電線 を見ると,片 側3本 の線
で送 られているのが分か ります
墨М
︻М
︻М
︻М
導体の角度―
.
三相交流 のベ ク トル
図 15.2は ,二 相交流電圧 の ベ ク トル 関係 を示 します .電 圧E″ を基準 に描 い
ています。電圧 の大 きさEは 等 しく,お 互 いに
等
電圧Eα ,Eゎ ,Ecの 和 は
卜a司 ずれ ていますので ,各
,
……
…………
……………………(15.4)式
Ёα
+Ё ♭
+Ё c=o… ………
とな ります .こ れ も対称 二相交流 の特徴 といえます。電圧Eα の大 きさは ,最 大
フで割った
値をE“ とすると,単 相交流の時と同じで最大値をν
,
Eα
=発 Ⅳ
(15.5)式
]
とな ります。
対称 二 相交流 では ,電 圧の最大値 の大 きさは ,各 相 ともE“ で等 しいで す か
ら(15.5)式 は ,Eα だけでな くEb,Ecも 同 じ値 にな ります
.
亀+亀 +Ec=0
2π
3
π
一３
２
Ea(基 準
Eb
図15.2
)
Ea+亀 =― 島
対称 二 相交流 ベ ク トル
●相順
図15.1(a)の ような方向に導体α,b,cが 回転した時,導 体aを 基準にする
と,j。 →Ёb→ 」cの 順に位相が遅れていました.こ のような位相の遅れの順番
「α♭ε
であるといいます。
」
を「相順」といいます.図 の相順は
導体の回転を図中の方向とは逆 にすると,導 体αの あったところには ,次 に
「αθb」 になります
導体θが来 ますので ,相 順は
.
生 >干 相交 堅ッ ト
4ヒ
I絶
__
_
三相交流回路 の基礎
二相交流電源 に ,抵 抗や コンデンサなどの 「負荷」を接続 して仕事をさせる
時 ,電 圧や電流の関係 がどのようになっているのか ,計 算を しましょう
.
図 15.3の ように電源 と負荷 にはい くつ かのつなぎ方があります。 (a)の よ
うな接続を「星形
(」
(ス
ターまたはy)結 線」 といい ,(b)の ような接続 を「三角
:デ ルタ)結 線」 といいます。
負荷 はインピーダンスZ[Ω ]と して表 します.ま た ,3つ の負荷のインピー
の平衡二相負荷 を用いて計算 します
.
平衡二相負荷
平衡二相負荷
(a)星 形 (ス ターまたはγ)結 線
図15.3
(b)三 角
(△ :デ ルタ)結 線
二相 交 流 の 接 続 方 法
__型
交竺
クッ
タ
:
二相 交流
ダンスZが 等 しい時を「平衡二相負荷」 といいます。 この先 ,負 荷 はすべてこ
星形(ス ターまたは,η 結線の電圧と電流
図15。 4は ,二 相電源 が星形 (y)結 線の二相交流電源です。α相 ,b相 ,c相 の
共通点を「中性点」 と呼び ,o点 とします.各 相の発生電圧Ea,Eb,Ecを 「相
電圧」 と呼びましたね
.
図中の矢印の向きは ,直 流の電位でお話 ししたように「電位」の高 さを表 し
ています.矢 印の先の電位が高くなります。
相電圧 Ea[V]
中性 点
￨
1/ab[V]
Ｌ
・
相電圧島 [V]
図 15.4
相電圧島 [V]
1/b.[V]
Y結 線 の相電圧 と線間電圧
●線間電圧
α―b間 の電圧ちb,b― θ間の電圧ウbε ,θ ―α間の電圧ちαを「線間電圧」と
呼 び ます 。
線 間電 圧 ち b[V]は
,b点 を基準 に したα点 の 電 圧
Lb=Eα ―Eb[V]
… …
… … …
'10な
ので
,
(15.6)式
……
とな ります。
同様 に ,ち ε
[V]は θ点 を基準に したb点 の電圧 ,た α[V]は α点 を基準 に したθ
￢
0粋
君
1121鐸 :襲 桑
毛
t現
蠍 位
i冤 雲
鍍芽
掌
「箭
を基準とした,aの 電圧
I牲
_P星 髪
(電 位)」
を意味します
.
ーま赳ム2fttC躍 要と電な
タ
9炉
ノ品
驚llF誦脚ξ
点の電圧ですから
,
Lc=Eぁ ―Eε [V]
4α =Ec― Eα [V]
…
…… … … … ……
… (15. 7)式
¨(15.8)式
となります。
●相 電圧 と線 間 電圧
図 15.5(a)に ,相 電圧 と線間電圧の関係をベ ク トルで表 しています。 この図
から,線 間電圧 もお互 い￨メ
い
a司
多 卜 (120° )の 位相差 を持って ることが分かり
ます.線 間電圧 も対称二相電圧になっています
.
yca=Ec_Ea
Ec
1/ab=亀 ―Eb
1/ab
は
大
き
さ
,14b=亀 cOS下 =fa× 誓
∴
2=√ 亀[V]
路
b=亀 ×
与×
(b)4。 だけの詳細
図15.5
星形 (ス ターまたは,り 結線の電圧と電
■ 1_笥
また ,図 か ら相電 圧 E′ と線 間電 圧 ち らには ,位 相差
者
[rad](30° )が あり,Ё a
よりLbが 進んでいることに気が付きます.こ の関係は,Ebと
y♭
c,Ecと 為α
に も同 じ事 が い え ます 。
●線 間電 圧 の大 き さ
次に ,線 間電圧の大 きさを求 めます。図15.5(b)に 示 したのは ,相 電圧Ea
と線間電圧 Lbの ベ ク トル関係を取 り出 して ,詳 しく描 いた図です
.
PO間 の大 きさは ,相 電圧E`の 大 きさEα です。また ,OR間 は ,相 電圧Ebの
大きさEら です
(実 際 には ,一 Ebの 大 きさ (絶 対値)で すね).こ
れらt,E♭ の
大 きさは ,対 称二相交流電圧 なので等 しく,t=Ebで す。
の大きさLb)を 底辺とする二
従って ,三 角形PORは ,辺 PR(線 間電圧ちぅ
等辺三角形 になります.二 等辺三角形の頂点0か ら,辺 PRを 二等分する点線
を引き,交 点を0と すると,Pθ の大きさは
,
大 き さ (長 さ)=PO=OR==ち
b
の
となります.従 って,大 きさ (長 さ)Pθ を求めて2倍 すれば,線 間電圧‰ぅ
ので
=者 [rad]=30° な
大きさ
んbを 求めることができます。θ
,
C°
π
S6=
両辺 に見 をか けて約 分 す る と
,
Eacosを =Eα :≒姿 生
…………(15.9)式
与Lb=鳥 cOsτ …………………
となります.L♭ を求めるには (15.9)式 の両辺を2倍 すればいいので
,
2与
ルb=2Eα cos=
iα
となり,約 分すると
,
>星 形 (ス ターまたは,拗 結線の電圧と電流
レb=2EaCO(
…………(15.10)式
4α
となります。ここで
,
COSi各 =写
なので (15.10)式 に代入 して計算すると
,
vめ =2EaCOS
=A/3 Eα
6 2E`与
[V]… ………………………
………(15。 11)式
,
Eα
=Eb=Ecと
なり
ますから,残 り2つ の線間電圧の大きさんcと ■aは ,(15。 H)式 を使 って
vb":{3 Eblvl
,
………(15.12)式
■a=・/3 Ec[V卜 …………………… …………… (15.13)式
となります。線間電圧と相電圧の大きさの関係は
,
線間電圧 =√ ×相u
[V]
にな ります。
星形 (ス ターまたは,り 結線の電圧と電流 く
二相交 流
となります.対 称二相交流なので,各相電圧の大きさは
y― 喘 線回路
図 15.6は ,電 源 も負荷 も星形 (y)結 線なので「y_ン 猫 線回路」と呼ばれます。
「相電流」といいます。図 15.6は 一見難 しそ
電源の各相に流れる電流のことを
うですが ,(b)で 結線 が分かりやす くなるように描 いています。
図15.6(a)Y一 Y結 線 回路
図15.6(b)Y一 Y結線回路
電源 と負荷 を結 ぶ 各線 に流れ る電 流 を「線電流」 と呼びます .ま た ,こ の 回
路 の場合 の相電流 と線電流は等 しいので
,
… ……………
……
…
…(15.14)式
………
相電流 =線 電流 ………………………
とな ります。
>y― 酷 線回路
′
図 中の 中性点 θとο を結 ぶ線 を 「中性線」 と呼び ます .図 では点線 で す が
,
これ をきちん と線で結ぶ と「二相4線 式」 とい う電源 と負荷 の結び方 にな りま
す。電源は二相 で負荷 との接続 は4本 の線 です か らこう呼 ばれ ます
.
二相4線 式 で回路 の電流 を計算す ると ,図 15。 7の よ うに ,各 電源 と負荷 が
単独 に 1つ の回路 を作 って いるのが3つ あることになるので ,電 流 は単相交流 の
.
Ａ Ａ Ａ
一
一
一
一
〓
・ｆａ ・ち ・場
亀一
鳥一
島一
・
２ ・
２ ・
２
場合 と同 じに求 めることがで きます
二相 交流
=子 [A]―
′
α
′
=,[A]…
♭
′
c=,[Aト
…… (15. 15)式
…
…
…¨ … ………………… …(15. 16)ョミ
……… …… … …… … … (15. 17)式
ここで ,中 性線 に流れ込む電流 を考 えてみ ましょう。
′
負荷側 の 中性点ο に流れ込 む電流は ,各 相 か らの電流 の和 で表 します か ら
…… … … …
……… …
ra+′ bttl c=0 … …
,
(15.18)式
つ
いま
電
a司 ず
から
流も
れて
位
相が
ず
に
す
よう
なる
わ
け
,(15.18)式 の
等レ
です。
従って ,中 性線 には電流が流れないので ,線 はな くてもいいですね.そ のた
め ,図 15.6の 中性線は点線なのです.ま た実際の接続 でも,こ の 中性線 がな
い「二相3線 式」 が最 も多く使われます。
y― 酷 線回路 く
三角 (■ )結 線の電圧と電流
図 15.8は ,電 源が三角 (△ )結 線 ,負 荷 も三角結線の二相交流回路で ,「 △―
△回路」といいます
.
相電 流 fb'
図15.8
△― △ 回路の相電流 と線電流の関係
この 回路 の 負荷側 にお いて ,各 相 の 負荷 に流 れ る電 流 .相 電 流 r“ ′
,7b′ ,Ic′
は交流 回路 の オ ームの 法則 か ら
=;[A]…
′′
“
,
……
…
′
=号 写
A]― ―
′
ゎ
′
=う単
A]―
′
ご
…
…
(15.19)式
(15.20)式
……
(15.21)式
となります
.
は,キ ルヒホッフの第一法則から
従って,線 電流′α
・
- … ……
′11
… (15。 22)式
′
′=′ ―ブご
“ “
となります。同様にち,4を 求めると
―一 ¨
―′″
′
(15.23)式
b=ち ′
,
,
“
′― … …
ゴ
c=ゴ ―′
ゎ
c′
☆
11
…
……
…
(15.24)式
′
電流の向きから考えて,′ a+′ =ち となりますね。従ってこの式を変形すると,(15.22)式 に
なります。
I"4)三
c′
勢 瑞 線のT電 ■
_
となります
.
Iα ′
を基準にベ ク トル図を描 くと図
15.9の ようになります
.
Ic=rび ― rJ
2π
fb= fJ―
二相 交流
∠
3
fa
― fび
fb′
la=ra′ 一 Iざ
相 電 流 と線 電 流 の ベ ク トル 関係
の大きさちは,図 15.5で 線間電圧を求めたようにして
従って,線 電流′α
線電流為=￨′ αl=A/3ち ′
[A]… ……………………………(15.25)式
,
となります。同様に,線 電流′b,′ cの 大きさち,4は
,
線電流ち=′ ♭
[A]¨
￨=A/3ち ′
……… …
……
線電
cl=n/3ヶ [A]… …
"c=′
とな りますね。 また ,線 電流 の大 きさは
(15. 26)式
(15. 27)式
,
線電流 =√ ×相 電流 [A]
です。
●相 電圧 と線 間 電圧 は等 しい
次に ,相 電圧 と線間電圧の関係を考えましょう。図 15.10は ,△ 結線の電
源です。相電圧の電位の高・低 の矢印と,線 間電圧の電位の高 。低の矢印に注
目します。
図15.10
乙結線 の相電圧 と線間電圧
例えば ,相 電圧Eα の電位は,b点 が低 く,α 点が高いことを矢印が示 してい
ますから,線 間電圧Lぅ は,b点 を基準にしてα点を見た電圧なので ,相 電圧Eα
その ものをいっていることが分かります.従 って
,
……… ………… … (15. 28)式
‰b=Ea… …… … …… …………
¨(15.29)式
=Eb
4α =Ec
ybι
(15. 30)式
となります。また,言 い換えると
,
相電圧 =線 間電圧
といえます。
y― y回 路で,各 相電圧E=10[V],負 荷2=3+ノ 4[Ω ]で した.こ の時
の線電流′[A]の 大きさ′[A]を 求めましょう。また,線 問電圧yの 大き
さy[V]も 求めましょう
.
<解 答 >
まず ,イ ンピーダンスZの 大 きさZ[Ω
]を
求めましょう。
121=z=/32+42=y9+16=ν 砺 =5[Ω
にな ります。従って電流 ′[A]は
I='=撃 =2[A]
件
三 角 (4)結 線 の電圧 と電流
,
]
とな りました.ま た ,線 間電圧 y[v]は
,
y=7写 E=ν 写 ×lo≒ 17.32[V]
です。
ムー ム回 路 の 線電 流 の 大 き さIは 36.4 [A]で した.負 荷 Z=4■Ji3[Ω ]
の 時 の ,相 電 流/[A]相 電 圧 E[V], 線間電圧 y[v]の 各大 きさを求
め ま し ょう
.
く解答 >
分すると
,
′ _v写 /
A/_3 V写
相
調
/=浩 =号誇
劉囚
￨≒
となります.イ ンビータンスの大きさは,負 荷2=4+j3な ので
121=z=/42+32
また ,相 電 圧 E=線 間電 圧 yで す か ら
E=y=IZ[V]
,
,
各 数値 を代 入 す る と
,
y=21× ψ″+32=21× 5=105[V]と なります
.
二相交 流
乙―ム回路の線電流 fは ,I=√ 3/で したから,両 辺を√3で 割って ,約
Д→ γ
y-4変 換
図 15.Hは ,電 源 にy結 線 ,負 荷 に ム結線 を した回路 を接続 した回路図 で
す。 この ような回路では ,負 荷 の 回路 を電源 と同 じ結線 に変換 (換 算 )し て計
算すれば いいのです。
図15.1l
Y―
△ 結線 の ときは
,
負荷 を電源 と同 じY結 線 に変換
a
a
図15.12(a)△ →Y変 換
図 15.12(a)の よ うに変換 す るため に ,乙 結線 と/結 線 の 負荷 回路 にお け る
bα 間 の 負荷 を
,次 の 図 (b)の よ うに と らえて考 えます 。
ム→γY-4牢 塗
Iζ
。
ba間
△結線
結線
b
a
b
a
図15.12(b)
幾潟 =ち +4… …
… (15. 31)5式
△結線の合成インピーダンス y結 線の合成インピーダンス
乙回路 のbα 間 における合成 イ ンビータンスは ,2b,2cの 直列接続 と2aの 並
列接続 の直並列接続 ですので ,(15.31)式 の左辺 の ようにな ります (和 分 の
積 )。 また ,変 換 (換 算 )す るのです か ら,bα 間の 乙回路の合成 イ ンピーダン
同様 に ,cわ 間 ,α ε間 も考 えると
((15.31)式
).
,
・ bο 間
b
図 15。
O
b
12(c)
=4+な
こ
麦キ
………¨(15.
1亀
。 ac間
32)式
`デ
c
a
c
図15.12(d)
〓
拙
み義
…
… …
…
…
・
・
331■
とな ります .こ れ ら3つ の式 の添 え字 を ,ア ル フ ァベ ッ ト順 に並び替 えて まと
めて書 くと
,
(15.31)式
(15。
32)式
二相交流
スと ,掴 路 の合成 イ ンピーダンス を等 しい とお きます
=Zス +zc
紹
… (15.33)式
となるわけです。これら3つ の式で連立方程式を解いていきましょう
.
まず,3つ の式を加算(足 し算)し ます.左 辺は3式 とも分母は
「2α +2♭ +2c」
で同じですから,足 しても分母は同じですね。3つ の式の各分子を展開してか
ら,そ れぞれを足 します
しかし足した答えは,非 常に長く分かりづらいものなので,と りあえずまと
めて分子を「2χ 」と置き換えておきましょう
.
.
右辺 を足 して式 で表す と
:￨,≒
zα
,
電
可+23+2B+2c+zA+2c
=2・
となります。右辺をよく見ると,ら ,Z夕 Zcは 2つ ずつありますから
,
=2ZA+223+22c
裁
となります。共通な「2」 をまとめると
,
=2ク ス
乾 BIz∂
姦
―(15. 34)ョミ
となります
.
次に,左 辺の分子「2x」 を計算しましょう。(15.31)式 ,(15.32)式
,
(15.33)式 の 分子 をそれ ぞれ展 開 して足 します 。
2χ
=2+盈 +2+盈 +五 十生
○
×
(15.31)式
○
△
×
(15.32)式
△
(15.33)式 の分子を展開
同 じものには同 じマークをつ けました。マークがそれぞれ2つ ずつ あるので
Zx=2(2a2b)+2(2b2c)+2(2a2θ
)
=2(2α 2b+2b2c+2.2c)… ………………¨
(15. 35)式
と簡単 にな りました。
(15.35)式 を (15.34)式 に代 入 して計算す ると
名
型 吃 十ち+わ
,
,
両辺を2で 割ると,両 辺の2が 約分されてなくなりますので
,
=ク ス+ZB乾 ∂ … …… …(15.36)式
と非常 に簡単 にな りました。
この
(15.36)式 を基本式 として ,次 の2つ の場合 を考 えて ,負 荷 の変換 を
行 い ます
.
●①平衡三相負荷ではない場合
負荷が3つ ともバラバラで,平 衡でない時は,(15.36)式 を使って,2.,
23,2cを それぞれ求めます。まず,y結線の負荷Zス を求めましょう。
(15.31)式 ,(15.32)式 ,(15.33)式 の右辺を見て,2ス がない式を
探 します .(15.32)式 にはzス がないので ,こ の式 と (15.36)式 を使 って ,
れ を求めましょう。
(15.36)式 ― (15.32)式
Q
=tれ
十ち十の
一
+Zc
撃
等
,Iちキ
=Zβ
) 考
乾 A
務
(15. 37)式
同様に,23,2cも 求めると
,
(15. 38)式
(15.39)式
●②平衡三相負荷の場合
3つ の負荷のインピーダンス2が 等しい時,各 接続のインピーダンスは
Zα =Zb=Zc=ZΔ
,
ム→ γ
y-4変 換 く
判
相
交
流
ZA=ZB=Zc=Zγ
とおいて (15.36)式 に代入すると
,
=2ノ +2γ ―
+2y
32`2_32γ
z乙
左辺の3と 2△ をそれぞれ約分すると
=3Zγ
となります。また,(15. 40)式 の両辺 を3で 割 って ,約 分す ると
ZΔ
3
,
_3Zγ
3
争=2y…
とな り ,乙 → 珍 換
― (15. 41)式
,
y― 乙変換ができるわけです
.
i9[Ω ]で した
乙結線で,平 衡二相負荷の各インピーダンス2は ,6■」
.
これ を酷 線 に変換 してみ ましょう。
<解 答 >
(15.41)式 に,2△ =6+ノ 9[Ω ]を 代入すると
,
zy=争 =半
〓21」 i3[Ω
]
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