[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1 Sommes doubles Exercice 1 [ 02073 ] [Correction]P Pn Pn n À partir des valeurs connues de k=1 k, k=1 k 2 et k=1 k 3 , calculer : P a) (i + j)2 P1≤i,j≤n b) 1≤i<j≤n ij c) P 1≤i,j≤n min(i, j) Exercice 2 [ 02074 ] [Correction] P Soit n ∈ N∗ . Calculer Cn = 1≤p<q≤n (p + q) en remarquant X 1≤p,q≤n p + q = 2Cn + 2 n X p p=1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Corrections 2 Corrections Exercice 1 : [énoncé] a) P 1≤i,j≤n (i + j)2 = X Pn (i + j)2 = n P 1≤i<j≤n ij = j=1 n X i2 + 2 i=1 ij = 1≤i<j≤n P 1≤i,j≤n min(i, j) = X 1≤i,j≤n j=i+1 n−1 X i=1 i i2 + 2ij + j 2 puis n X n X ij + n i=1 j=1 Pn−1 Pn X c) Pn i=1 1≤i,j≤n b) i=1 ij = n X j2 = j=1 n2 (n + 1)(7n + 5) 6 Pn−1 Pn i=1 i j=i+1 j puis n(n − 1)(n + 1)(3n + 2) n+i+1 (n − i) = 2 24 Pn i=1 min(i, j) = P i j=1 j+ n X i(i + 1) 2 i=1 i puis j=i+1 Pn + i(n − i) = n(n + 1)(2n + 1) 6 Exercice 2 : [énoncé] Après réorganisation des termes X p + q = 2Cn + 2 2 p p=1 1≤p,q≤n Or n X n X p = n(n + 1) p=1 et n X n X p + q = n2 (n + 1) p=1 q=1 d’où Cn = (n − 1)n(n + 1) 2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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