最適化手法演習問題（平成 27 年度 A1 セメスター）

最適化手法演習問題（平成 27 年度 A1 セメスター）
問 1 次の関数が凸関数であるかを答えよ．
1) f1 (x) = 3x1 2 + 2x1 x2 + 4x2 2 .
2) f2 (x) = x1 2 x2 2 + 4x22 .
3) f3 (x) = max{x1 , . . . , xn }.
問 2 次の最適化問題の最適解を，ラグランジュ乗数法を用いて求めよ．
2x1 + x2 2
Minimize
subject to 2x1 2 + x2 2 = 1.
問 3 次の線形計画問題を，等式標準形に直せ．
1)
Minimize
2x1 − 3x3
subject to x1 + 2x3 = 3,
x2 + 4x3 = 6,
x1 , x2 ≥ 0.
2)
Maximize
x1 + x2
subject to −x1 + 2x2 ≤ 5,
2x1 + x2 ≥ 4,
x1 , x2 ≥ 0.
問 4 次の最適化問題を線形計画問題に直せ（等式標準形でなくてもよい）．
Minimize
n
∑
|cj xj |
j=1
subject to Ax = b.
問 5 最適化問題
Minimize
x1 2 + 3x1 x2 + 2x2 2 + 4x1 − 5x2
subject to 2x1 2 + 3x1 + 4x2 4 ≤ 10
を，いくつかの補助変数を用いて，凸 2 次制約凸 2 次計画問題
Minimize
subject to
1 T
x Q0 x + pT
0x
2
1 T
x Ql x + pT
l x + rl ≤ 0,
2
l = 1, . . . , m
の形式に直せ．ただし，Q0 , Q1 , . . . , Qm は半正定値対称行列とする．
(2015, 寒野)
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