確
率 (講義：12 月 21 日)1
3.1 確率関数
確率論 (theory of probability)
日常の生活において、ある出来事の結果が分からないが、その結果を数量的に
表現して予測することは可能である。その結果が起こる可能性を示す測度のこ
とを確率という。2 そして、偶然の現象を数学的に体系化した理論が確率論です。
ランダムネス(randomness)
何が起きるか確定的に予測できないこと。しかし、ランダムネスには法則性が
あると考え、確率論はランダムンネスそのものではなく、ランダムネスの法則
(law of randomness)を扱う数学理論である。
試行 (trial)：
実験や観測を行うこと。例えば、コインを何回か投げて、表の出る数を数える。
また、サイコロを 1 回投げて、出る目の数を記述する。出る目の数を変数 X と
定義できる。
標本点 (sample point): ω
試行により起こりうるそれぞれの結果をさす。
標本空間 (sample space) S :
試行により可能なすべての標本点の集合をさす。
標本点を ω と表し、標本空間を S と表すと、ω が S に属するので、ω ∈ S と表す
ことができる。
(例１)サイコロを 1 回投げて、出る目の数を標本点とすると、標本空間 S は次の
ように定義される。
S=｛１，２，３，４，５，６｝
この章は以下の参考文献をまとめました。尾崎俊治『確率モデル入門』 (朝倉書店 1996)：
第 1 章 確率、第 2 章 確率変数と分布、1∼46 ページ。森棟公夫『統計学入門』第 2 版（新
世社 2001）：第 3 章 確率変数とその分布、79∼120 ページ。山本拓『計量経済学』（新世
社 2001）
：付録A 確率、282∼313 ページ。東京大学教養学部統計学教室編『統計学入門』
（東京大学出版会 2002）
：第 4 章 確率 67∼86 ページ、第 5 章 確率変数 86∼108 ペー
ジ。
2 事象の起こりやすさを定量的に示すもの。
1
1
（例 2）コインを一回投げて、表を１とし、裏を０とした場合、標本空間は、
S = ｛０，１｝
となる。
事象 (event)
標本空間の任意の部分集合（標本点より作られる集合）をさす。
（１）根元事象または単純事象 (elementary event)
事象が一つの標本点から成り立っている。
(例） さいころの目の１が出る事象 A：A=｛１｝。
さいころの目の 2 が出る事象Ｂ：Ｂ＝｛２｝。
（２）複合事象 (恐らく、compound event という)
事象が複数個の標本点から成り立っている。
(例) 偶数の目が出る事象Ｃ：Ｃ＝｛２，４，６｝
（３）排反事象 (disjoint events または、mutually exclusive events)
2 つの事象が互いに共通な標本点を持たない場合をさす。
(例) 上の例では、事象Ａと事象Ｂをさす。
排反事象ではない場合：事象Ｂと事象Ｃをさす。
（４）空事象(empty event) φ（phi）
標本点を一つも含まず決して起こらない事象をいう。
（例）コインを 1 回投げて、表でも裏でもない事象。
この場合の標本空間は S = ｛０，１｝であるが、すべての事象に分解すると、全
事象 Ω は、
｛０｝、｛１｝、｛０，１｝、φ、となる。
和事象(union of events)
二つ以上の事象関して（ここでは二つの事象を考える）、事象Ａと事象Ｂについ
て、事象Ａまたは事象Ｂが起こる事象をさす。
定義：事象Ａと事象Ｂの和事象：Ａ∪Ｂ（Ａカップ B と読む）。
(例） 前のサイコロの例では、事象 A={1}、事象 B={2}でしたから
A∪B=｛1，2｝
と示す。
2
積事象 (intersection of events)
二つ以上の事象関して（ここでは二つの事象を考える）、事象Ａと事象Ｂについ
て、事象Ａと事象Ｂが共に起こる事象をさす。
定義：事象 A と事象 B の積事象：A∩B （A キャップ B と読む）。
(例） 前のサイコロの例では、事象 A={1}、事象 B={2}でしたから
A∩B=φ（phi）（φ：「空集合」という意味で、事象が存在しない）
と示す。
一つのサイコロを振って、事象 B={2}とし、事象 C ＝偶数の数とすると、次の答
えはなんですか？
事象 B∩事象 C＝
事象の演繹
ベン図(Venn diagram)：
事象を表す場合、標本店の数に係らず標本空間を長方形で表し、その他の事象
を内部に円を描いて表す方法。
図2
図１
全体を
Ω ＝｛ A,
AC ｝
AC ∩ B C
A ∩ BC
A
B
AC
A
A C ：事象 A の補事象(complementary event)
A と B の和事象： A ∪ B (A union B)
A と B の積事象： A ∩ B (A intersection B)
定 義：事象Ａについて
(1) 0 ≤ P{A} ≤ 1 または、 0 ≤ P ( A) ≤ 1 .
(2) P{Ω} = 1
または、 P (Ω) = 1 .
3
AC ∩ B
(3) 互いに排反な事象
A1 , A2 ,... に対して
⎧∞
⎫ ∞
P ⎨U An ⎬ = ∑ P{An }
⎩ n =1 ⎭ n =1
を満たすならば、 P{A}は事象 A の確率と呼ばれる。3
ある事象について、標本空間 S は抽象空間であるので、実数空間 R へ写像（関
数形）する。簡単に言えば、事象を数直線上の線分によって確率を考える。こ
れを数学的に、 f : S → R と書く。
(例）
1 枚のコインを投げる（試行）。すると表(H)もしくは裏(T)がでる（標本点と標
本空間）。表(H)の出る事象を、数値で１と表す。このように試行から得られる
標本点のそれぞれを実数値化する。この一連のプロセスを抽象空間である標本
空間から実数空間に写像するという。
試行
コインを投げる。
標本点
H
標本空間
S = {H , T }
実数空間 R への写像
ω1 ＝１
ω 0 ＝０
T
X ∈ R, X = {1,0}
確率の定義
１．ラプラスの定義
試行の根元事象が全部で N 個あって、それぞれが同程度に確からしい(equally
likely)の場合において、事象 A の起こるような根元事象の数が R 個あれば、事
象 A の確率は、
P ( A) =
R
N
と定義される。
２．頻度による確率の定義
事象 A を生みえる試行（実験）を n 回繰り返して、A が n A 回出るとすると、n → ∞
3
この定義を、確率の公理主義的定義という。東京大学教養学部統計学教室編『統計学入門』
（東京大学出版会 2002）：第 4 章 確率 78-79 ページを参照。
4
のとき、
nA
→α
n
とするならば、事象 A の確率を
P ( A) = α
と定義する。
[ノート] 主観確率
ラプラスの定義や頻度による確率の定義などから得られる事象 A の確率は、誰
が計算しても同一の値を得るので、客観的に決定される。一方、これに対して、
研究者が主観的にある確率を与えて分析を行う方法がある。この方法で与えら
れる確率は研究者の情報、知識、経験などによって異なる可能性があり、これ
を主観確率(subjective probability)と呼ぶ。
加法定理
１．事象 A と事象 B とが排反事象の場合、 A ∩ B = φであるとする。すると、
事象 A もしくは事象 B の確率は、
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
となる。
２．事象 A と事象 B とが、 A ∩ B ≠ φの場合には、
P ( A) ∩ P ( B ) = P ( A) × P ( B )
となる。
３．条件付確率
他の事象 B が起こったと分かっている場合に、事象 A の起こる確率を、B を条
件とする A の条件付確率(conditional probability)と呼び、
5
P( A B)
と表す。また、
P( A B) =
P( A ∩ B)
P( B)
と定義される。
(例) ある箱の中に白いボールと黒いボールの二種類が入っていて、白いボール
は４つあり、それぞれに１から４までの数字が一つずつ書かれている。また、
黒いボールは 2 つあり、１と２の数字がそれぞれに書かれている。ボールが一
つその箱から抜き出されて、その色が白と分かった場合に、そのボールに書か
れてある数字が１である確率はなんですか？
式：
P(1 white) =
P(1 ∩ white)
P( white)
４．乗法定理
上の条件付確率を積の形に変形する。
P( A ∩ B) = P( B) P( A B)
または
P( A ∩ B) = P( A) P( B A)
とも書ける。
５．独立事象 (independent events)
事象 A の起こる確率が事象 B に影響されない場合に、
P( A) = P( A B)
6
と定義される。この事象は独立であるという。
もし事象 A と事象 B がお互いに独立である場合には、この積事象の確率を二つ
の事象の確率の積として表すことができるので、
P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B )
と定義される。
もし三つの事象 A,B,C が互いに独立であれば、
P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A) × P ( B ) × P (C )
と定義される。
(例) 一枚のコインと一つのサイコロを同時に投げて、コインの表とサイコロの
数字が１もしくは２の出る確率を計算しなさい。4
６．ベイズ定理
事象 A を得られる方法に、 H 1 , H 2 ,..., H k という k 通りの原因があるとする。こ
の場合、A が起こったとき原因が H i である確率を P( H i A) として表すことがで
きる。ベイズ定理はこの原因確率を計算する公式を与える。
事前確率(prior probability)：
P( H i )
事後確率(posterior probability)：
P ( H i A) =
4
P( H i A)
P( H i ∩ A) P ( H i ) P( A H i )
=
P ( A)
P( A)
１もしくは２ということは、 1∪ 2 と考える。英語では、either 1 or 2 と表現する。
7
ただし、 P ( A) は次のように定義される。
k
P( A) = ∑ P( H j )P( A H j )
j =1
(質問) 箱が二つあり、一つの箱 A には、白球 3 個、赤球 2 個が入っており、
もう一つの箱 B には、白球が 4 個、赤球 1 個が入っている。いずれかの箱から
玉を一つ抜き出したら、その色は白であった。
Q1: その白球は箱 A から抜き出された確率を示しなさい。
７．役に立つ Tree diagram
P( A) P(W A) = P( A ∩ W )
W =
A=
1
2
R=
W =
B=
（例）
1
2
P( A) P (W A) = P( A ∩ W ) =
R=
4
5
1
5
1 3 3
× =
2 5 10
8
3
5
2
5
P( A) P( R A) = P( A ∩ R)
P( B) P(W B) = P( B ∩ W )
P( B) P ( R B ) = P ( B ∩ R )
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