平成 25 年度新潟県公立高校入試解説数学[5]

平成 25 年度新潟県公立高校入試解説数学[5]
★
目標 40 点
★★
目標 60 点
家庭教師のホームティーチャーズ
★★★ 目標 80 点
問題文が長めなので、しっかりと状況や水の動きを確認しながら読まなければならない。
また、毎分に入る水の量 × 水を入れた時間＝水の量（直方体の場合
たて×横×高さ）という式が
重要となる。
（１）水そう A についてわかること
・空の状態から、毎分 800 ㎤の割合で水を入れる。
・高さ a cm の仕切りがあるので、はじめは底面 P 側（左側）にだけ水がたまり、
仕切り（a cm）まで到達した後は、右側に水がこぼれる。（図２の状態）
・水を入れ始めてから 60 分後に満水（高さ 40 cm）になる。
① ★ 図３のグラフから読み取る。
はじめの 30 分は、水面が上がり続け 30 cm まで到達するが、
30 分から c 分までは一番高い水面が 30 cm のまま変わらない。
その後 c 分から 60 分までは再び水面が上がり、40 cm となり満水となっている。
つまり、30 分から c 分までの間は、右側に水がこぼれていて一番高い水面が
仕切りの高さのまま変わらないことがわかる。（図２の状態）
したがって、仕切りの高さは a = 30 cm である。
② ★★ 時間 c は、左右両方とも水の高さが仕切りの 30 cm に達する時間である。
毎分に入る水の量 × 水を入れた時間＝
800
×
c
水の量（直方体の場合
= 40
800 c = 36000
×
ﾀﾃ
たて×横×高さ）より
30 × 30
ﾖｺ
ﾀｶｻ(仕切り)
c = 45
（２）水そう B についてわかること
・高さ 10 cm まで水が入っている状態から、毎分 b ㎤の割合で水を入れる。
・水を入れ始めてから 60 分後に満水（高さ 40 cm）になる。
① ★
毎分に入る水の量 × 水を入れた時間＝
水の量（直方体の場合
たて×横×高さ）より
（はじめから入っている水の高さ 10 cm に注意！）
b
×
60 b = 36000
b = 600
60
= 40
× 30 ×（40－10）
②
★★★
水を入れ始めてから x 分後の、水そうの底から水面までの高さを y cm とすると、
毎分に入る水の量 × 水を入れた時間＝水の量（直方体の場合たて×横×高さ）より
（はじめから入っている水の高さ 10 cm に注意！）
600
x
×
=
40
× 30 ×（y－10）
600 x = 1200( y－10)
これを整理して
y=
1
2
x + 10
（３） ★★★
水そう A,B の水面の高さが等しくなるのは、図３の A の水面の高さのグラフに、
1
（２）②で作った B の水面の高さの式 y =
2
x + 10 を書き足したときの、交点の x 座標（時間）である。
40
30
10
0
交点①
交点②
30
45
60
交点①のとき（0 分から 30 分の間）水そう A の水面の高さのグラフは、原点と(30 , 30)を通る
比例のグラフになっているから、その式は y = x (0≦x≦30) である。
したがって、交点①の x 座標（時間）は y = x (0≦x≦30) と
連立方程式として解いて、x = 20
y=
1
2
x + 10 とを
（計算省略）
また交点②のとき（30 分から 45 分の間）水そう A の水面の高さのグラフは、
x 軸に平行な直線 y = 30 (30≦x≦45) である。
したがって、交点②の x 座標（時間）は y = 30 (30≦x≦45)
連立方程式として解いて、x = 40
と y=
1
2
x + 10
とを
（計算省略）
よって水そう A,B の水面の高さが等しくなるのは、20 分後と 40 分後である。
（グラフの交点を利用する解法は、水面の高さ以外にも移動している人や動点の問題でもよく使います！）

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