電磁波解析で使う公式 科 v1.1 Nov.2015 年 番 氏名: 1. 双曲線関数 5. 式 (7) の証明 式 (4) と式 (3) より −jβd +e 2 ejβd − e−jβd sin βd = 2j eαd + e−αd cosh αd = 2 eαd − e−αd sinh αd = 2 cos βd = e jβd 2. 双曲線関数の加法定理 cosh γd = cosh αd cos βd + j sinh αd sin βd sinh γd = sinh αd cos βd + j cosh αd sin βd sinh2 αd − cosh2 αd = −1 (1) ( )2 ( (3) eαd − e−αd eαd + e−αd sinh αd − cosh αd = − 2 2 (e2αd − 2 + e−2αd ) − (e2αd + 2 + e−2αd ) = = −1 4 (4) sinh2 αd − cosh2 αd = −1 2 (2) 2 従って，次式の関係が成立する． (5) (6) (7) 3. 式 (5) の証明 式 (3) と式 (1) より eαd + e−αd ejβd + e−jβd cosh αd cos βd = 2 2 e(α+jβ)d + e(α−jβ)d + e−(α−jβ)d + e−(α+jβ)d = 4 ここで，γ = α + jβ, γ ′ = α − jβ とおくと，次式 (8) が得られる． ′ ′ eγd + eγ d + e−γ d + e−γd cosh αd cos βd = (8) 4 同様にして，式 (4) と式 (2) より eαd − e−αd ejβd − e−jβd sinh αd sin βd = 2 2j e(α+jβ)d − e(α−jβ)d − e−(α−jβ)d + e−(α+jβ)d = 4j ここで，γ = α + jβ, γ ′ = α − jβ とおくと，次式が (9) 得られる． ′ ′ eγd − eγ d − e−γ d + e−γd sinh αd sin βd = (9) 4j ここで，式 (8)+j× 式 (9) を計算すると， cosh αd cos βd + j sinh αd sin βd ′ ′ ′ ′ eγd + eγ d + e−γ d + e−γd eγd − eγ d − e−γ d + e−γd = +j 4 4j 2eγd + 2e−γd eγd + e−γd = = = cosh γd 4 2 従って，次式の関係が成立する． cosh γd = cosh αd cos βd + j sinh αd sin βd 4. 式 (6) の証明 式 (4) と式 (1) より eαd − e−αd ejβd + e−jβd sinh αd cos βd = 2 2 e(α+jβ)d + e(α−jβ)d − e−(α−jβ)d − e−(α+jβ)d = 4 ここで，γ = α + jβ, γ ′ = α − jβ とおくと，次式 (10) が得られる． ′ ′ eγd + eγ d − e−γ d − e−γd sinh αd cos βd = (10) 4 同様にして，式 (3) と式 (2) より eαd + e−αd ejβd − e−jβd cosh αd sin βd = 2 2j e(α+jβ)d − e(α−jβ)d + e−(α−jβ)d − e−(α+jβ)d = 4j ここで，γ = α + jβ, γ ′ = α − jβ とおくとと，次式 (11) が得られる． ′ ′ eγd − eγ d + e−γ d + e−γd cosh αd sin βd = (11) 4j ここで，式 (10)+j× 式 (11) を計算すると， sinh αd cos βd + j cosh αd sin βd ′ ′ ′ ′ eγd + eγ d − e−γ d − e−γd eγd − eγ d + e−γ d − e−γd = +j 4 4j 2eγd − 2e−γd eγd − e−γd = = = sinh γd 4 2 従って，次式の関係が成立する． sinh γd = sinh αd cos βd + j cosh αd sin βd 1 )2
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