置換積分についてのメモ
三角関数の有理式
被積分関数が cos x と sin x の有理式のとき， t = tan
x
とおくと次のように t の有理
2
式の積分に帰着される．
cos x =
1 − t2
，
1 + t2
sin x =
2t
，
1 + t2
dx =
2
dt ．
1 + t2
とくに被積分関数が cos2 x，sin2 x，cos 2x，sin 2x，tan x の有理式のときは， t = tan x とおくと次のよ
うになる．
（もちろん上のように置換しても良いが，このほうが t の次数が低くなる．
）
dt
1
t2
1 − t2
2t
．
， sin2 x =
， cos 2x =
， sin 2x =
， dx =
2
2
2
2
1+t
1+t
1+t
1+t
1 + t2
cos2 x =
無理関数の有理式（特殊な形）
√
a2 − x2 （ただし a > 0）の有理式のときは， x = a sin θ とおくと次のように三
角関数の有理式の積分に帰着される．
① 被積分関数が x と
√
√
また， t =
a2 − x2 = a cos θ，
−(x + a)
a(t2 − 1) √ 2
4a t
4a t
とおくと x = 2
， a − x2 = 2
， dx = 2
dt となる．
x−a
t +1
t +1
(t + 1)2
② 被積分関数が x と
√
x2 + a2 の有理式のときは， x = a tan θ とおくと次のようになる．
√
x2 + a2 =
③ 被積分関数が x と
√
a
，
cos θ
x2 − a2 の有理式のときは， x =
√
x2 − a2 = a tan θ，
一般に，被積分関数が x と
√
x2 + A =
dx = a cos θ dθ ．
√
dx =
a
dθ ．
cos2 θ
a
とおくと次のようになる．
cos θ
dx =
sin θ
dθ ．
cos2 θ
x2 + A の有理式のときは， t = x +
√
x2 + A とおくと，x =
t2 − A
，
2t
t2 + A
t2 + A
， dx =
dt となる．
2t
2 t2
√
無理関数の有理式（根号の中が 2 次式） 被積分関数が x と a(x − α)(x − β)（ただし α ̸= β ）の有理式
√
a(x − α)
のときは， t =
とおくと次のように t の有理式の積分に帰着される．
x−β
x=
t2 β − aα
，
t2 − a
√
a(x − α)(x − β) = −
|a(α − β)| t
，
t2 − a
√
dx =
2a(α − β)t
dt ．
(t2 − a)2
ax2 + bx + c（ただし a > 0）の有理式のとき， t =
おくと次のようになる．
（このほうが t の次数が低くなる．
）
また，被積分関数が x と
t2 − c
x= √
，
2 at + b
√ 2
√
√
at + bt + ac
2
√
ax + bx + c =
，
2 at + b
√
√
a x + ax2 + bx + c と
√
√
2( a t2 + b t + a c)
√
dx =
dt ．
(2 a t + b)2
√
√
n
n
ax + b
その他いろいろ 被積分関数が x と
（ただし ad − bc ̸= 0）の有理式のとき， t =
cx + d
おくと次のように t の有理式の積分に帰着される．
x=
とくに被積分関数が x と
なる．
√
n
d tn − b
，
−c tn + a
dx =
ax + b の有理式のときは， t =
ax + b
と
cx + d
(ad − bc) n tn−1
dt ．
(−c tn + a)2
√
n
ax + b とおくと x =
tn − b
n tn−1
， dx =
dt と
a
a

第9回 串交流センターまつり

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