1 曲線 C : y = e

1
¡
曲線 C : y = e
1
2
x2
3
について以下の問いに答えなさい．
1 2
関数 f(x) = x +
1
について，以下の問いに答えなさい．
x
(1) 曲線 C 上の点 P(t; e¡ 2 t ) における接線の方程式を求めなさい．
(1) x > 0 における曲線 y = f(x) の概形を書きなさい．
(2) (1) の接線と x 軸，y 軸および直線 x = t で囲まれる台形の面積を S(t) とする．t > 0 の範囲
(2) t > 0 のとき，3 直線 y = 0; x = t; x = t + 2 と曲線 y = f(x) で囲まれる部分の面積 S(t)
を求めなさい．
で t が動くとき，S(t) の最大値を与える t とその最大値を求めなさい．
（長岡技術科学大学 2010 ）
(3) t > 0 における S(t) の最小値を求めなさい．
（長岡技術科学大学 2012 ）
2
曲線 C : y = e2x 上の点 P(t; e2t ) における接線 ` と x 軸との交点を Q とする．以下の問いに
答えなさい．
4
(1) Q が x 軸の正の部分にあるような t の範囲を求めなさい．
関数 f(x) =
log x
; x > 0 を考える．下の問いに答えなさい．
x
(1) f(x) の最大値，およびその最大値を与える x の値を求めなさい．
(2) t が前問の範囲にあるとき，C および 3 直線 `; y = 0; x = 0 で囲まれる部分の面積 S(t) を
(2) (1) の結果を利用して e3 > 3e であることを証明しなさい．ただし，e は自然対数の底である．
求めなさい．
（長岡技術科学大学 2014 ）
（長岡技術科学大学 2011 ）
5
0 < r < 1 とする．点 A(1; 0) を中心とする半径 r の円周を Cr とする．以下の問いに答えな
7
さい．
1
で，引き分けは起こらないとする．先
2
に 4 勝したチームを優勝とするとき，下の問いに答えなさい．
2 チームが試合をする．1 回の試合で一方が勝つ確率は
(1) Cr の方程式を書きなさい．
(1) 第 4 試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(2) Cr 上の点 P(a; b) における接線が原点 O を通るとする．ただし b > 0 とする．a; b を r を用
(2) 第 7 試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
いて表しなさい．
(3) 2 チームの勝ち数の差が，優勝が決まるまで常に 1 以下である確率を求めなさい．ただし，
「2
(3) r が変化するとき，接点 P の軌跡の方程式を y = f(x) とする．f(x) を求めなさい．
チームの勝ち数の差が Ý 常に 1 以下」とは「優勝決定時も含めて勝ち数の差は 1 以下」という
(4) y = f(x) のグラフの概形を書きなさい．
意味である．
（長岡技術科学大学 2009 ）
6
（長岡技術科学大学 2013 ）
下の問いに答えなさい．
8
(1) 袋の中に ¡1 と書かれたカードが 1 枚，2 と書かれたカードが 2 枚，計 3 枚ある．この袋の中
からカードを 1 枚取り出し，出た数を確認してから元に戻す．この試行を 4 回繰り返すとき，出
た 4 つの数の和が 0 以下である確率を求めなさい．
(2) 袋の中に 2 と書かれたカードが 1 枚，4 と書かれたカードが 1 枚，8 と書かれたカードが 1 枚，
計 3 枚ある．この袋の中からカードを 1 枚取り出し，出た数を確認してから元に戻す．この試行
以下の問いに答えなさい．
(1) 袋の中に赤玉 1 個と白玉 2 個が入っている．この袋から中を見ないで玉を 1 個ずつ取り出す．取
り出した玉は元に戻さない．k 回目に赤玉が取り出される確率 Pk (k = 1; 2; 3) を求めなさい．
(2) 袋の中に赤玉 2 個と白玉 n 個が入っている．この袋から中を見ないで玉を 1 個ずつ取り出す．取
り出した玉は元に戻さない．k 回目に 2 個目の赤玉が取り出される確率 Qk (k = 2; 3; Ý; n +2)
を求めなさい．
を 4 回繰り返すとき，出た 4 つの数の積が 128 である確率を求めなさい．
（長岡技術科学大学 2015 ）
（長岡技術科学大学 2012 ）
9
A，B の 2 種類のカードがある．A を 2 枚，B を 3 枚それぞれ積み重ね，3 人の人が順番に 1 枚の
カードを次のように持ち帰ることにする．A，B 両方のカードが残っているときは A か B かを確
1
で選んで 1 枚持ち帰る．また，どちらか一方のカードしか残っていないときはそれを 1 枚
率
2
持ち帰る．このようにすると最後に 2 枚のカードが残る．これについて次の問いに答えなさい．
(1) A のカードが 2 枚残る確率を求めなさい．
(2) B のカードが 2 枚残る確率を求めなさい．
(3) B のカードが 2 枚残ったとき，1 番目の人が B のカードを持ち帰った条件付き確率を求めなさい．
（長岡技術科学大学 2011 ）

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