a1 = 1 - SUUGAKU.JP

1
2
次の条件によって定められる数列 fan g; fbn g がある．
a1 = 1;
b1 = 2;
a1 = 1;
an+1 = an + 4bn ;
ヘ
an ¡ 4bn = ¡
ホ
¢
マ
(¡
n¡1
ミ
;
(1) bn+1 と bn の間に成り立つ関係式を求めよ．
n¡1
)
(2) 数列 fbn g の一般項を求めよ．
(3) 数列 fan g の一般項を求めよ．
メ
¢
モ
3
n¡1
¡
ヨ
ヤ
¢ (¡
ユ
n¡1
a1 =
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数 n について an > 0
(3) 数列 fan g の漸化式について，
ラ
が成り立つ．
次の条件によって定められる数列 fan g，fbn g がある．
1
; 3an+1 = an ¡ 2an+1 an (n = 1; 2; 3; Ý)
2
n
b1 = 1; bn+1 = bn +
(n = 1; 2; 3; Ý)
an
)
が成り立つ．
an+2 +
(n = 1; 2; 3; Ý)
いに答えよ．
(2) 数列 fan g の一般項について，
an =
an+2 ¡ 4an+1 + 3an = 1
を満たすとする．bn = an+1 ¡ an (n = 1; 2; 3; Ý) とおくとき，次の問
が成り立つ．
ム
a2 = 2;
bn+1 = an ¡ 2bn
(1) 数列 fan + bn g; fan ¡ 4bn g の一般項について，
an + bn =
数列 fan g は，関係式
an+1 ¡
リ
である．
an = 0
1
とおくとき，cn+1 と cn の関係式を求めよ．
an
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
(1) cn =
(3) 数列 fbn g の一般項を求めよ．
4
4 で割って 3 余る自然数を図のように並べ，上から 1 段目，2 段目，3 段目，
Ý とする．このとき，次の問に答えよ．
1 段目
2 段目
3 段目
4 段目
7
11
15
19 23 27
31 35 39 43
：
ÝÝÝÝÝÝ
7
次の問いに答えよ．
(1) 6 段目の左から 4 個目にある自然数を求めよ．
(1) n を自然数とするとき，不等式 3n > n 2 を示せ．
(2) n 段目の左端の自然数を an とする．an を n の式で表せ．
(2) 正四面体 OABC において OA の中点を M，BC の中点を N とする．
¡¡! ¡! ¡! ¡!
‘ MN を OA，OB，OC を用いて表せ．
(3) 2015 は何段目の左から何個目にあるか答えよ．
(4) n 段目に並んでいる自然数の総和を Sn とする．Sn を n の式で表せ．
5
数列 fan g，fbn g は，初項がそれぞれ a1 = 1，b1 = 1 であり，次の関係式
’ 直線 MN と直線 BC は直交することを示せ．
8
を満たす．
an+1 = 3an + bn + 1;
b1 = 1; b2 = 4; bn+2 = 5bn+1 ¡6bn (n = 1; 2; 3; Ý) で定められた数列
fbn g がある．数列 fan g が a1 = 1，an+1 ¡ an = bn +
bn+1 = 2an + 4bn ¡ 1
1; 2; 3; Ý) をみたすとき，次の問いに答えよ．
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 数列 fan + bn g の一般項を求めよ．
(1) pn = bn+1 ¡ 2bn とおく．数列 fpn g は等比数列であることを示し，一般項
を求めよ．
(2) qn = bn+1 ¡ 3bn とおく．数列 fqn g は等比数列であることを示し，一般項
を求めよ．
(2) 数列 f2an ¡ bn g の一般項を求めよ．
(3) 数列 fan g，fbn g の一般項をそれぞれ求めよ．
(3) 数列 fbn g の一般項を求めよ．
6
(4) 数列 fan g の一般項を求めよ．
次の問いに答えよ．
(1) 次の数列 fan g の一般項を求めよ．
1
+ n (n =
n(n + 1)
9
数列 fan g およびその階差数列 fbn g を次のように定める．
a1 = 1
4; 11; 24; 43; 68; 99; Ý
(2) 次の方程式を解け．
‘ log2 x = log4 5
’ log2 x2 = 5
(3) f(x) = x3 + 3x2 ¡ 45x + 41 とする．¡8 5 x 5 8 における関数 y = f(x)
の最大値と最小値を求めよ．
an+1 = 2an + n
(n = 1; 2; 3; Ý)
bn = an+1 ¡ an
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき，以下の空欄をうめよ．
(1) b1 =
イ
であり，bn+1 を bn の式で表すと，bn+1 =
(2) bn を n の式で表すと，bn =
ハ
である．
(3) an を n の式で表すと，an =
ニ
である．
ロ
である．
10 p を定数とする．数列 fan g; fbn g が
a1 = b1 = 0;
an+1 ¡ an = p;
12 数列 fan g の初項 a1 から第 n 項 an までの和 Sn が
bn+1 ¡ bn = an
(n = 1; 2; Ý)
により定義されている．次の問に答えよ．
Sn = 2an + n 2 ¡ n
(n = 1; 2; 3; Ý)
をみたすとする．
(1) an を n と p の式で表せ．
(1) a1 と a2 を求めよ．
(2) bn を n と p の式で表せ．
(2) an+1 ¡ 2an を n の式で表せ．
(3)
11
P
n=3
(3) bn = an+1 ¡ an ¡ 2 (n = 1; 2; 3; Ý) とおくと，数列 fbn g は等比数列
1
= 1 となるような p の値を求めよ．
bn
となることを示し，初項 b1 と公比を求めよ．
(4) an を n の式で表せ．
11 数列
2 ¢ 3; 5 ¢ 5; 8 ¢ 7; 11 ¢ 9; Ý; an ¢ bn ; Ý
の初項から第 n 項までの和 Sn を求めることを考える．このとき，この数列
ソ
を得る．
テ
an
(n = 1; 2; 3; Ý) とおくとき，bn+1 を bn で表せ．
n+1
2
(n = 1; 2; 3; Ý) とおくとき，cn+1 を cn で
(2) さらに cn = bn ¡
n+1
表せ．
(1) bn =
n¡
タ
9¢!
n+
チ
と表されるので，
1
n!
Sn =
2
n+2
(a + 2n) ¡ n (n = 1; 2; 3; Ý) を
n+1 n
みたすとする．
の第 n 項 an ¢ bn が
an ¢ bn = !
13 数列 fan g は a1 = 2，an+1 =
n2 +
ト
n+
ナ
9
ツ
9
(3) 数列 fcn g の一般項を求めよ．
(4) 数列 fan g の一般項を求めよ．
14 すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ．
(1) 整数列 f®n g; f¯n g を次で定める．
B
B
(5 + 2 6)n = ®n + 6¯n
n = 1; 2; Ý
p
‘ 数列 °n = ®n ¡ 6¯n は等比数列になることを示し，その一般項を求
めよ．
’ 一般項 ®n ; ¯n を求めよ．
(2) 整数列 fan g; fbn g; fcn g; fdn g を次で定める．
B
B
B
B
B
( 2 + 3)n = an + 2bn + 3cn + 6dn
n = 1; 2; Ý
‘ a3 ; b3 ; c3 ; d3 をそれぞれ求めよ．
’ 一般項 an ; bn ; cn ; dn を先の ®n ; ¯n を用いて表せ．
15 1 から順に自然数を並べた数列を，下のように，3 個，6 個，9 個，Ý と，第
n 組に含まれる自然数の個数が 3n 個となるような組に分ける．
1; 2; 3 j 4; 5; 6; 7; 8; 9 j 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18 j 19; 20; 21; Ý
この数列に関する以下の問いに答えよ．
(1) 第 n 組の先頭の自然数の値を，n を用いた式で表せ．
(2) 第 n 組に含まれる自然数の総和を，n を用いた式で表せ．
(3) 第 1 組から第 n 組までに含まれる自然数の総和を，n を用いた式で表せ．
(4) 自然数 1000 は，第何組の何番目に現れるか求めよ．

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