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練習問題解答（行列）
1.
A:=matrix(4,6,[seq(seq(i*j/(i+j),j =1..6),i =1..4)]); 'rank(A)' =rank(A)
2. with(linalg):
A:=matrix(3,3,[2,-1,5,x,6,1,7,3,4]);B:=matrix(3,3,[y,7,3,6,1,2,-1,2,9]);
C:=matrix(3,3,[-1,6,2,3,9,1,-1,2,z]);M:=matrix(3,3,[0,5,-11,0,21,-4,-15,-4,0]);
evalm(2*A+3*B-4*C+M);
8
3
∴ x = −3, y = − , z =
35
4
3.
⎛ 1 0 ⎞⎟
⎛
⎞
⎟⎟, B = ⎜⎜ 0 0 ⎟⎟⎟
AB = O for A = ⎜⎜⎜
⎜⎜⎝ 2 −1 ⎟⎠
⎜⎝ 1 0 ⎟⎠
⎛ −2
8
4
⎜⎜
⎜⎜ −2
8
4
⎜⎜
⎜⎝ 3 −12 −6
⎞⎟⎛ −2 14
8
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜ −1 10
6
⎟⎟⎜⎜
⎟⎠⎜⎝ 1 −13 −8
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟ = O3,3
⎟⎟
⎟⎠
4. (i)
with(linalg):multiply(matrix(2, 2, [5, 3, -4, 10]), matrix(2, 2, [7, 4, 3,
5]))+multiply(matrix(2, 3, [7, 8, 4, 3, 5, 6]), matrix(3, 2, [5, -6, 7, 4, 3, 11]))
evalm(%)
(ii) multiply(matrix(2,4,[4,2,5, 3,3, 0, 11, 8]),matrix(4,3,[4,7,3,7,9,0,3,5,7,-1,1,4]));
5. (i)
multiply(matrix(3,2,[3,-2,5,4,-1,6]),matrix(2,4,[2,-3,1,5,9,2,3,-4]));
(ii)
multiply(matrix(3,3,[2,5,-1,0,6,4,0,0,7]), matrix(3,3,[1,0,0,-2,7,0,3,4,5]))
6.
(i)
A:=matrix(2,2,[x,y,0,z]); A^2-E[2]=evalm(A^2-diag(1,1));
(x,y,z)=(1,0,1),(−1,0,−1),(1,α,−1),(−1,α,1) ( αは任意の数)
(ii)
A^2-A = evalm(A^2-A);
(x,y,z)=(0,0,0),(1,α,0),(0,α,1),(1,0,1) (αは任意)
7.
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜
与式= ⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ 3 −2 ⎞⎟⎛ 4 5
⎜⎜
⎟⎜
⎜⎜⎝ 0 4 ⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝ 0 −3
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎛ 2 6 ⎞⎟⎛ −5 2
⎜⎜
⎟⎜
⎜⎜⎝ −5 1 ⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝ 3 −1
O
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎞⎟
⎟⎟ ⎛⎜
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎝
⎟⎠
12 21 21 18
0 −12 32 36
0
0
8 −2
0
0
28 −11
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎞⎟
⎟⎟ ⎛⎜
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎝
⎟⎠
27 −13 75 45
14 −10 17 27
35 −21 56 63
0
0
8 −2
0
0
28 −11
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎛ 3 −2 ⎞⎟⎛ 7 0 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎜
⎟
⎜⎜⎝ 0 4 ⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝ 8 9 ⎟⎟⎠
(ii)
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
与式＝ ⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎝
⎛ 2 5 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎛
⎜⎜ −1 3 ⎟⎟⎜⎜ 1 1
⎟⎟⎜⎜
⎜⎜
⎜⎝ 0 7 ⎟⎟⎠⎝ 5 −3
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
O2,2
⎛ 2 5 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎛
⎜⎜ −1 3 ⎟⎟⎟⎜⎜ 7 0
⎜⎜
⎟⎜⎜ 8 9
⎜⎝ 0 7 ⎟⎟⎠⎝
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎛ 2 6 ⎞⎟⎛ −5 2
⎜⎜
⎟⎜
⎜⎜⎝ −5 1 ⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝ 3 −1
8.
with(linalg):
multiply(matrix(3,2,[3,5,x,8,5,9]),transpose(matrix(3,2,[2,-6,-x,6,-9,x^2])));
trace(%)
solve(%,x)
9.
10.
tr(AB − BA) = 0 、他方 tr(aE) = na .
右辺 = (E + A + A 2 +!+ A n−1 )−(A + A 2 +!+ A n−1 + A n ) = E − A n
11.
(i)
12. (i)
t
( A t A) = ( t A) t A = A t A
t
(ii)
t
( t PAP) = t P t A ( t P) = t PAP
t
左辺={A(BC−CB)−(BC−CB)A}+{B(CA−AC)−(CA−AC)B}
+{C(AC−BA)−(AB−BA)C}=O
(ii)
(iii)
13.
t
t
t t t t
([A,B])= (AB−BA)= B A− A B=(−B)(−A)−(−A)(−B)=−(AB−BA)=−[A,B]
tr([A,B])=0,他方tr(E)=n
with(linalg):A := matrix(4,4, [0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0, 0,0])
sum(b[k]*A^k,k = 0..3) = evalm(%)
14.
⎛ a 1
A = ⎜⎜⎜
⎜⎝ 0 a
⎛
⎞⎟
⎟⎟ とする。 A−1 = ⎜⎜ a 1
⎜⎜⎝ 0 a
⎟⎠
⎞⎟ 1 ⎛ a −1 ⎞⎟ ⎛⎜ a−1 (−1)a (−1)−1
⎟⎟ = 2 ⎜⎜
⎟=⎜
⎟⎠ a ⎜⎜⎝ 0 a ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎜ 0
a−1
⎝
n = −k ( k > 0 ) のとき成立しているとする
A
−k−1
⎛ −k
⎜ a
= A A = ⎜⎜
⎜⎜⎝ 0
−k
−1
⎞⎛
(−k)a (−k )−1 ⎟⎟⎜⎜ a−1 (−1)a (−1)−1
⎟⎟⎜
⎟⎠⎜⎜⎝ 0
a−k
a−1
⎛ −k−1
(−k −1)a (−k−1)−1
⎜⎜ a
=⎜
⎜⎜⎝ 0
a−k−1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
∴ n = −k −1 の時も成立する。数学的帰納法により命題は成立する。
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞⎟
⎟⎟ ⎟⎟
⎠
補足：
A := matrix(2, 2, [a, 1, 0, a])；seq(evalm(A^(-n)), n = 1 .. 15)；
15.
⎛ O −E ⎞⎟
⎜
2 ⎟
A = ⎜⎜
⎟ とする。
⎜⎜ E2
O ⎟⎟⎠
⎝
⎛ O −E ⎞⎟⎛ O −E ⎞⎟ ⎛ −E
O ⎞⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
2 ⎟⎜
2 ⎟
2
⎜
A = ⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟ = −E4
⎜⎜ E2
O ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ E2
O ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ O −E2 ⎟⎟⎠
⎝
2
⎛ O
⎜
A = ⎜⎜
⎜⎜ −E2
⎝
3
⎛ O
E2 ⎞⎟⎟
⎜
4
⎟⎟ = −A, A = ⎜⎜
⎜⎜ −E2
O ⎟⎠
⎝
E2 ⎞⎟⎟⎛⎜ O −E2 ⎞⎟⎟ ⎛⎜ E2
⎟⎜⎜
⎟ = ⎜⎜
O ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ E2
O ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ O
O ⎞⎟⎟
⎟ = E4
E2 ⎟⎟⎠
A 2 = −E4 , A 3 = −A, A 4 = E4 ∴ A 4 n+1 = A, A 4 n+2 = −E4 , A 4 n+3 = −A
16. (i)
A:=matrix(3,3,[-1, -6, -4, -4,4,1,7,-9,-3]); seq(A^n = evalm(A^n), n = 1 .. 5)
⎛ −3 18
10
⎜⎜
3n
3n+1
3n+2
⎜
Formula: A = E3 , A
= A, A
= ⎜ −5 31
17
⎜⎜
⎜⎝ 8 −51 −28
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎠
(ii)
A:= matrix(3, 3,[-3,-1,0,4,7,-10,4,3,-3]); seq(A^n=evalm(A^n),n =1..5);
⎛ 5
⎛ 9 −3 10 ⎞⎟
−4 10 ⎞⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟
A 4 n = E3 , A 4 n+1 = A, A 4 n+2 = ⎜⎜ −24 15 −40 ⎟⎟, A 4 n+3 = ⎜⎜ −28 9 −30 ⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟
⎟
⎜⎝ −12 8 −21 ⎟⎟⎠
⎜⎝ −16 5 −17 ⎟⎟⎠
(iii)
(v)
A:=matrix(3,3,[-2,2,-5,12,-7,20,6,-4,11])
A:=matrix(3,3,[-2,14,8,-1,10,6,1,-13,-8]): seq(A^n=evalm(A^n),n=1..5)
⎛ −2
8
4
⎜⎜
2
⎜
A = ⎜ −2
8
4
⎜⎜
⎜⎝ 3 −12 −6
(vi)
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟, A n = O3,3 ( n ≥ 3 )
⎟⎟
⎟⎠
A:=matrix(4,4,[0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0]); seq(A^n=evalm(A^n),n=1..5)
⎛
⎜⎜
⎜
A 2 = ⎜⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
(vii)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
1
0
0
⎞⎟
⎛
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ 3 ⎜⎜
⎟⎟, A = ⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟ 4
⎟⎟, A = O4,4 A n = O4,4 ( n ≥ 4 )
⎟⎟
⎟⎟
⎠
A:=matrix(3,3,[1,1,1,0,1,1,0,0,1]): seq(A^n=evalm(A^n),n=1..5)
A n の(1,3)成分を an とすると、 an − an−1 = n である。
⎛ 1 n a ⎞⎟
⎜⎜
n ⎟
⎟
n(n +1)
⎜⎜
n
an = 1+ 2 +!+ n =
, ∴ A = ⎜ 0 1 n ⎟⎟⎟
⎟
⎜⎜
2
⎝ 0 0 1 ⎟⎠
17.
(i)
(ii)
(iii)
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎛
−1
⎜⎜
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎜⎜
⎝
⎛ 0 1
⎜⎜
⎜⎜⎝ 1 0
−1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
O2,2
−1
O2,2
⎛
−1
⎜⎜ ⎛ 0
⎞⎟
⎜⎜ ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜ ⎜⎜ 0
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎜⎜
⎜⎜ ⎜⎝ 1
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎜⎜
⎝
⎛ 0 1 ⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜⎝ 1 0 ⎟⎟⎠
−1
0 1 ⎞⎟⎟
⎟
1 0 ⎟⎟
⎟
0 0 ⎟⎟⎠
O1,3
⎞⎟
⎟⎟ ⎛
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎝
⎟⎟
⎠
⎞⎟
⎟⎟ ⎛⎜
⎟ ⎜
O3,1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
1 ⎟⎟⎠ ⎜⎝
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
1
a
b
c
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎛
⎞⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎠⎜⎜
⎝
x1,1
x1,2
x1,3
x2,1
x2,2
x2,3
x3,1
x3,2
x3,3
x4,1
x4,2
x4,3
x1,4 ⎞⎟⎟ ⎛
⎟ ⎜
x2,4 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
x3,4 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
⎟⎟ ⎜
x4,4 ⎟⎟⎠ ⎝⎜
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
x1,4 = 0, x2,4 = 0, x3,4 = 0, x4,4 = 1, x1,3 = 0, x2,3 = 0, x3,3 = 1, x4,3 = 0
x1,2 = 0, x2,2 = 1, x3,2 = 0, x4,2 = 0, x1,1 = 1, x2,1 = −a, x3,1 = −b, x4,1 = −c
と順次決められる。
18.
⎞⎟ ⎛⎜ cos(−θ) −sin(−θ) ⎞⎟
⎟⎟ = A(−θ)
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎠ ⎜⎝ sin(−θ) cos(−θ) ⎟⎟⎠
(i)
⎛ cosθ sinθ
A(θ) = ⎜⎜⎜
⎜⎝ −sinθ cosθ
(ii)
⎛ cosθ
sinθ1 ⎞⎟⎟⎛⎜ cosθ2
⎜⎜
1
A(θ1 )A(θ2 ) = ⎜
⎟⎜
⎜⎜ −sinθ1 cosθ1 ⎟⎟⎜⎜⎜ −sinθ2
⎝
⎠⎝
−1
⎛ cosθ cosθ −sinθ sinθ
⎜
1
2
1
2
= ⎜⎜
⎜⎜ sinθ1 cosθ2 + cosθ1 sinθ2
⎝
sinθ2 ⎞⎟⎟
⎟
cosθ2 ⎟⎟⎠
sinθ1 cosθ2 + cosθ1 sinθ2 ⎞⎟⎟
⎟ = A(θ1 + θ2 )
cosθ1 cosθ2 −sinθ1 sinθ2 ⎟⎟⎠
19.
⎛ 1 0 ⎞⎟⎛ cosθ −sinθ ⎞⎟⎛ 1 0 ⎞⎟
⎟⎜⎜
⎟⎜⎜
⎟
SA(θ)S −1 = ⎜⎜⎜
⎜⎝ 0 −1 ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ sinθ cosθ ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ 0 −1 ⎟⎟⎠
⎛ cosθ −sinθ ⎞⎟⎛ 1 0 ⎞⎟ ⎛ cosθ sinθ ⎞⎟
⎟⎜⎜
⎟ = ⎜⎜
⎟ = A(θ)−1
= ⎜⎜⎜
⎜⎝ −sinθ −cosθ ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ 0 −1 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ −sinθ cosθ ⎟⎟⎠
20.
与式は A(A − 2E) = (A − 2E)A = E とかける。これは A が正則で、 A−1 = A − 2E を意味している。
21.
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
2
1
0
0
5 4 7
3 −1 2
0 4 3
0 5 4
⎛
−1
⎜⎜
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎜⎜
⎝
⎛ 2 5
⎜⎜
⎜⎜⎝ 1 3
−1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎛ 2 5
−⎜⎜⎜
⎜⎝ 1 3
−1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎛ 4 7 ⎞⎟⎛ 4 3
⎜⎜
⎟⎜
⎜⎜⎝ −1 2 ⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝ 5 4
⎛ 4 3
⎜⎜
⎜⎜⎝ 5 4
−1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
−1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎛
⎜⎜
⎜
= ⎜⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
3 −5 −13 7 ⎞⎟⎟
⎟
−1 2
9 −6 ⎟⎟
⎟
0
0
4 −3 ⎟⎟⎟
⎟
0
0 −5
4 ⎟⎠
22.
A 3 + E = (A + E)(A 2 − A + E) である。仮定から、
E = (A + E)(A 2 − A + E) = (A 2 − A + E)(A + E)
これは A + E が正則であることを意味する。
23.
Ai ∈ M (ni ,ni : R) ( i = 1,2,!,n) とする。
⎛ A
⎜⎜ 1
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎝ O
A2
⎛ −1
O ⎞⎟⎟⎜⎜ A1
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
!
⎟⎜
An ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜ O
⎝
A2−1
⎛ E
⎜⎜ n1
⎜⎜
⎜
= ⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎝ O
⎛ A
⎜⎜ 1
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎝ O
⎞ ⎛
O ⎟⎟ ⎜⎜ A1 A1−1
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
!
⎟⎟ ⎜⎜
−1 ⎟
An ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎜⎝ O
A2 A2−1
2
En2
O ⎞⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟ = En +n +"+n
1
2
n
⎟⎟
!
⎟⎟
Enn ⎟⎟⎟
⎠
A2
O ⎞⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
!
⎟
An ⎟⎟⎟⎠
を A1 ⊕ A2 ⊕!⊕ An と表す。 diag(A1 , A2 ,!, An ) と入力。
たとえば、
with(linalg): A := matrix(3,3,[4,6,9,3,4,5,1,-1,3])
B := matrix(2,2,[5,8,9,3])
C := matrix(4,4,[1,2,3,4,5,-3,5,8,5,1,1,2, 3,4,3,8]);
M := diag(A, B, C);
O
!
An An−1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟⎠
diag(inverse(A), inverse(B), inverse(C))
inverse(M);
24.
⎛ E
⎜⎜
⎜⎜⎝ C
B
E
⎞⎟⎛ X Y ⎞⎟ ⎛ E O ⎞⎟
⎟⎟⎜⎜
⎟ = ⎜⎜
⎟ とすると、
⎟⎠⎜⎜⎝ Z W ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ O E ⎟⎟⎠
⎧
X + BZ = E
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩CX + Z = O
⎧
Y + BW = O
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩CY +W = E
Z = −(E −CB)−1 C, X = E − BZ = E + B(E −CB)−1 C
W = (E −CB)−1 ,Y = −BW = −B(E −CB)−1
⎛ E
ときまる。∴ ⎜⎜
⎜⎜⎝ C
B
E
−1
⎛
⎞⎟
⎜ E + B(E −CB)−1 C −B(E −CB)−1
⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜ −(E −CB)−1 C
⎟⎠
(E −CB)−1
⎝
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎠
25.
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
(i) ⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
(ii) ⎜⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
−1
⎛ 4 5 ⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜⎝ 3 4 ⎟⎟⎠
O3,2
O2,3
⎛ 1 0 2
⎜⎜
⎜⎜ 0 1 0
⎜⎜
⎜⎝ 0 0 1
−1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎠
⎞⎟
⎟⎟ ⎛
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ ⎜⎝
⎟⎠
4 −5 0 0 0 ⎞⎟⎟
⎟
−3 4 0 0 0 ⎟⎟
⎟
0
0 1 0 −2 ⎟⎟⎟
⎟
0
0 0 1 0 ⎟⎟⎟
⎟
0
0 0 0 1 ⎟⎠
3 −4 0 0 0 0
0 ⎞⎟⎟
⎟
−5 7 0 0 0 0
0 ⎟⎟
⎟
0
0 0 0 1 0
0 ⎟⎟⎟
⎟
0
0 0 1 0 0
0 ⎟⎟⎟
⎟
0
0 1 0 0 0
0 ⎟⎟
⎟
0
0 0 0 0 3 −1 ⎟⎟⎟
⎟
0
0 0 0 0 −5 2 ⎟⎠
26.
(i)
(ii)
⎛ 1 0 −1 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
A → ⎜⎜ 0 1 2 ⎟⎟ → F3,3 (2) ∴ rank(a) = 2
⎜⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎟⎠
A:=matrix(4,5,[1,1,2,-1,3,9,-1,8,5,4,1,-1,2,-1,3,4,2,6,2,7]);rank(A)
A1 := addrow(addrow(addrow(A,1,2,-9),1,3,-1),1,4,-4);
A2 := swaprow(addrow(mulrow(addrow(addrow(A1,3,2,-5),3,4,-1),3, 1/2),3,1,-1),2,3)
A3 := swaprow(addrow(addrow(A2,4,1),4,3,-5),3,4)
A4 := mulrow(mulrow(A3,3,-1/2),,-1/16)
A → A1 → A2 → A3 → A4 → F4,5 (4)
(iii)
A:=matrix(4,5,[2,-4,2,-3,6,-1,2,-5,-1,0,2,-4,-14,-13,18,-5,10,-17,0,-6]):rank(A)
A1 → A2 → A3 → A4 → A5 → F4,5 (2)
A1 := mulrow(swaprow(A,1,2),1,-1)
A3 := addrow(addrow(addrow(A1,1,2,-2),1,3,-2),1,4,5)
A3 := swapcol(A2, 2, 3)
A4 := addrow(addrow(A3, 2, 3, -3), 2, 4)
A5 := mulrow(A4, 2, -1/8)
(iv) a = 1 のとき、明らかに、 A → F3,4 (1) . ∴ rank(A) = 1
a ≠ 1 のとき、 rank(A) = 3
⎛ 1 a a a ⎞⎟ ⎛
a
a
a ⎞⎟⎟ ⎛⎜ 1 0 0 0
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ 1
⎟⎟ → ⎜⎜
∵ A = ⎜⎜ 1 1 a a ⎟⎟ → ⎜⎜ 0 1− a
0
0
⎟⎟ ⎜⎜ 0 1 0 0
⎜⎜
⎟ ⎜
⎜⎝ 1 1 1 a ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 1− a 1− a 0 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 0 1 0
(v)
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟ = F3,4 (3)
⎟⎟
⎟⎠
A:=matrix(4,4,[1,2,3,4,-1,a-2,4,6,-2,-4,a-3,6,-1,-2,-3,a-4])
A1 := addrow(addrow(addrow(A, 1, 2),1,3,2),1,4)
A2 := mulrow(swapcol(A1, 2, 4), 2, 1/10)
A3 := addrow(addrow(A2, 2, 3, -14), 2, 4, -a)
A4 := swaprow(A3, 3, 4); A5 := mulrow(A4, 3, 1/A4[3, 3])
A6 := map(expand, addrow(A5, 3, 4, -A5[4, 3]))
このことから、 a ≠ 0,−3 のとき、
A → A1 → A2 → A3 → A4 → A5 → A6 → F4,4 (4) ∴ rank(A) = 4
a = −3
のとき、
A → A1 → A2 → A3 → A4 → A5 → A6 → F4,4 (3) ∴ rank(A) = 3
a = 0 のとき、
A1 := addrow(addrow(addrow(A, 1, 2), 1, 3, 2), 1, 4)
A2 := swapcol(addrow(A1, 3, 2, -2), 2, 3)
A3 := swapcol(mulrow(addrow(A2, 2, 3, -3), 3, 1/68), 3, 4)
A → A1 → A2 → A3 → F4,4 (3) ∴ rank(A) = 3
27.
A:=matrix(3,4,[1,2,1,1,0,-1,2,1,2,3,a,b])
with(linalg); A:= matrix(3,4,[1,2,1,1,0,-1,2,1,2,3,a,b])
A1:=mulrow(addrow(A,1,3,-2),2,-1)
A2 := addrow(A1,2,3)
a ≠ 4 or b ≠ 3 のとき、 A → A1 → A2 → F3,4 (3) i.e., rank(A) = 3
a = 4 and b = 3 のとき、 A → A1 → A2 → F3,4 (2) i.e., rank(A) = 2
28.
(i)
A :=matrix(3,3,[0,1,1,1,0,1,0,1,0]);AA:= augment(A, diag(1, 1, 1));
A1:=addrow(swaprow(AA,1,2),2,3,-1);A2:=mulrow(addrow(addrow(A1,3,1),3,2),3,-1)
the_inverse_matrix_of_A := submatrix(A2,1.. 3,4..6);
AA → A1 → A2 より、
⎛ −1 1 1
⎜⎜
A−1 = ⎜⎜ 0 0 1
⎜⎜
⎜⎝ 1 0 −1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎠
(ii)
AA:=augment(matrix(3,3,[1,2,3,1,1,2,2,4,6]),diag(1,1,1));
A1 := addrow(addrow(AA, 1, 2, -1), 1, 3, -2)
A1 より rank(A) = 2 である。∴A は非正則。
(iii) AA:=augment(matrix(3,3,[12,31,-16,14,17,21,11,-23,61]),diag(1,1,1))
(iv)
AA := augment(matrix(3, 3, [12, 31, -16, 14, 17, 21, 11, -23, 61]), diag(1, 1, 1))
A1 := addrow(addrow(AA,3,1,-1),3,2,-1);A2 :=addrow(addrow(A1,1,2,-3),1,3,-11)
A3 := addrow(A2,2,3,-5);A4:= addrow(A3,3,2,-17);
A5 := swaprow(mulrow(addrow(A4,2,3,-2),3,-1),2,3);
A6 := addrow(addrow(A5,2,1,-54),2,3,3);
A7 := mulrow(A6,3,1/A6[3,3]);
A8 := addrow(addrow(A7,3,1,-A7[1,3]),3,2,-A7[2, 3]);
the_inverse_matrix_of_A:= submatrix(A8,1..3,4..6);
(v)
AA:=augment(matrix(4,4,[1,2,3,1,1,3,3,2,2,4,3,3,1,1,1,1]),diag(1,1,1,1))
A1 := addrow(addrow(addrow(AA, 1, 2, -1), 1, 3, -2), 1, 4, -1)
A2 := addrow(addrow(A1, 2, 1, -2), 2, 4)
A3 := addrow(A2, 4, 3, -1)
A4 := mulrow(addrow(addrow(A3, 3, 4, -2), 3, 1, 3), 3, -1)
A5 := addrow(addrow(A4, 4, 1), 4, 2, -1);
the_inverse_matrix_of_A = submatrix(A5,1..4,5..8)
(iv)
AA:=augment(matrix(4,4,[-1,1,1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,1,1,1,1,-1]), diag(1,1,1,1))
A1 := mulrow(addrow(addrow(addrow(AA, 1, 2), 1, 3), 1, 4), 1, -1)
A2 := swaprow(mulrow(A1, 3, 1/2), 2, 3)
A3 := addrow(addrow(A2, 2, 1), 2, 4, -2)
A4 := mulrow(addrow(A3, 3, 4, -1), 3, 1/2)
A5 := addrow(A4, 3, 1); A6 := mulrow(A5, 4, -1/4)
A7 := addrow(addrow(addrow(A6, 4, 1, -1), 4, 2, -1), 4, 3, -1)
the_inverse_matrix_of_A = submatrix(A7,1..4,5..8)
29.
(i)
with(linalg):AA:=augment(matrix(3,3,[1,alpha,beta,0,1,gamma,0,0,1]),diag(1,1,1))
A1:=addrow(AA,2,1, -alpha)
A2:=addrow(addrow(A1,3,2,-gamma),3,1,-A1[1, 3])
the_inverse_matrix_of_A := submatrix(A2,1..3,4..6)
the_inverse_matrix_of_A:=submatrix(A2,1..3,4..6)
(ii)
ab ≠ 1 のとき、
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎝
−1
⎛ a 1 ⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜⎝ 1 b ⎟⎟⎠
O1,2
O2.1
1
⎞⎟
⎛ b −1
⎟⎟
0
⎜
⎟⎟
1 ⎜⎜
0
⎟⎟ =
⎜ −1 a
⎟⎟ ab −1⎜⎜⎜
0 ab −1
⎝ 0
⎟⎟
⎠
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎠
ab = 1 のとき、A は非正則。
(ii)
AA:=augment(matrix(4,4,[1,0,1,a,0,1,0,1,1,0,2,0,0,1,a,0]),diag(1,1,1,1))
A1 := addrow(addrow(AA, 1, 3, -1), 2, 4, -1)
A2 := addrow(addrow(A1, 3, 1, -1), 3, 4, -a)
A3 := mulrow(A2, 4, 1/A2[4, 4])
A4 := map(normal, addrow(addrow(addrow(A3, 4, 1, -A3[1, 4]), 4, 2, -1), 4, 3, a))
the_inverse_matrix_of, A = submatrix(A4, 1 .. 4, 5 .. 8)
(v)
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎝
a
a1
a2 ! an−2
b1
a
a1 "
"
b2
b2
a
"
a2
#
"
" "
a1
bn−2
"
b2
b2
a
bn−1
bn−2 ! b2
b2
an−1 ⎞⎟⎟
⎟
an−2 ⎟⎟⎟
⎟⎟
# ⎟⎟
⎟⎟
a2 ⎟⎟⎟
⎟
a1 ⎟⎟⎟
⎟⎟
a ⎟⎟⎠
の形の行列を Maple に構成するには
band([bn−1 ,bn−2 ,!,b1 ,a,a1 ,!,an−2 ,an−1 ],n)
と入力する。たとえば、
with(linalg); band([-1, 2, 3, 1, 5, 6, -2], 4)
band([0],4)
band([1],5)
のようなゼロ行列や単位行列の入力法もある。
さて、(v)の行列を入力するのにこの入力法を使ってみよう。
with(linalg):A:=band([0,1,-1],5)
AA:= augment(A, band([1], 5))
A1:=addrow(addrow(addrow(addrow(AA, 2,1),3,1),4,1),5,1)
A2:= addrow(addrow(addrow(A1,3,2),4,2),5,2)
A3:= addrow(addrow(A2,4,3),5,3)
A4:= addrow(A3,5,4)
the_inverse_matrix_of_A = submatrix(A4,1..5,6..10)
AA → A1 → A2 → A3 → A4 = (E!A−1 )
以上の計算実験から次のことが分かる。
⎛ 1 −1
O ⎞⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜
1 !
⎟⎟
n 次の正方行列 A = ⎜⎜⎜
⎟⎟
!
−1
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜ O
⎟⎠
1
⎝
の逆行列を求める。
"""#
"""#
""""""#
(A!En ) (1) ( A′! En′ ) (2) ( A′′! En′′) $ (n −1) (En !A−1 )
!!!"
(1)
!!!"
(2)
2 行，３行、 ! 、n 行を順次１行に加える。
3 行，4 行、 ! 、n 行を順次 2 行に加える。
!
!!!!!!"
(n −1) n 行を n—1 行に加える。
という基本変形で
⎛ 1 1 1 ! 1 1 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
1 1 " " 1 ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
1
"
1
#
⎜
−1
A = ⎜⎜
⎟ をうる。
" 1 1 ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜
O
1 1 ⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎝
1 ⎟⎟⎠
30.
(i)
⎛
⎧
x = 1− 2α− 3β − 4γ
⎪
⎜⎜
⎪
⎪
⎜⎜
⎪
y
=
α
⎪
⇔ ⎜⎜
⎨
⎪
⎜⎜
z=
β
⎪
⎜
⎪
⎪
γ ⎜⎝
⎪
⎩w =
( α,β,γ は任意の数)
⎞⎟ ⎛
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
z ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
⎟ ⎜
w ⎟⎠ ⎜⎝
x
y
1
0
0
0
⎞⎟
⎛
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎟⎟ + α⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎠
⎝
−2
1
0
0
⎞⎟
⎛
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎟⎟ + β ⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎠
⎝
−3
0
1
0
⎞⎟
⎛
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎟⎟ + γ ⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎠
⎝
−4
0
0
1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
(ii)
with(linalg): AA:=matrix(2,3,[2,3,5,6,8,17])
A1:=addrow(AA,1,2,-3)
A2 :=addrow(A1, 2, 1, 3)
A3:=mulrow(mulrow(A2,2,-1),1,1/2)
the_solution=submatrix(A3,1..2,3..3)
次のようにしても得られる。
gaussjord(AA)
または、次のようにもできる。
solution := linsolve(submatrix(AA, 1 .. 2, 1 .. 2), submatrix(AA, 1 .. 2, 3 .. 3))
(iii)
with(linalg):AA:=matrix(2,4,[2,5,-1,2,5,3,4,5])
A1 := swaprow(addrow(AA, 1, 2, -2), 1, 2)
A2 := mulrow(addrow(A1, 1, 2, -2), 2, 1/19)
A3 := addrow(A2, 2, 1, 7)
⎧
23
⎪
⎪
x = 1− α
⎪
19
⎪
⎛ x ⎞⎟ ⎛ 1
⎪
⎜⎜
⎪
⎟⎟ ⎜⎜
13
⎪
⎜
α ⇔ ⎜ y ⎟⎟ = ⎜⎜ 0
⎨y =
⎜⎜
⎟ ⎜
⎪
19
⎪
⎜⎝ z ⎟⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0
⎪
⎪
z=
α
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎞⎟
⎛ −23 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟
⎟⎟ + α⎜⎜ 13 ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟
⎟⎠
⎜⎝ 19 ⎟⎟⎠
( α は任意の数)
(iv)
A:=matrix(2,3,[1,-2,3,2,1,-4,])
A1:=addrow(mulrow(addrow(A, 1, 2, -2), 2, 1/5), 2, 1, 2)
⎛ x ⎞⎟
⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜
⎜
⎟⎟
⎟
⎜⎜ y ⎟⎟ = α⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ ( α は任意の数)
⎜⎜
⎜⎜
⎟
⎟
⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
⎜⎝ z ⎟⎟⎟⎠
(v)
A:=matrix(3,5,[1,1,1,2,2,3,5,-5,2,12,4,4,3,-5,4])
A1 := addrow(addrow(AA,1,3,-4),1,2,-3)
A2 := mulrow(addrow(mulrow(A1,2,1/2),2,1,-1),3, 1)
A3 := addrow(addrow(A2,3,1,-5),3,2,4)
AA → A1 → A2 → A3
A3 より、
⎧
x = −21+ 61α
⎪
⎪
⎪
⎪ y = 19 − 50α
⎪
⎨
⎪
z = 4 −13α
⎪
⎪
⎪
α
⎪
⎩w =
⎛
⎜⎜
⎜⎜
⇔ ⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎞⎟ ⎛
⎞
⎛ 61 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ −21 ⎟⎟⎟
⎟
⎜⎜ −50 ⎟⎟
⎟⎟ ⎜⎜ 19 ⎟⎟
⎟⎟ ( α は任意の数)
⎟⎟ = ⎜
⎟⎟ + α⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎟
4
−13
⎜⎜
z ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎟
⎟⎟ ⎜⎜ 0 ⎟
⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎠
⎝
⎠
w ⎠ ⎝
x
y
(vi)
AA:=matrix(4,5,[1,-1,1,1,2,2,-1,-2,-1,1,1,1,-7,-5,a,3,-1,-5,-3,b」)
A1:= addrow(addrow(addrow(AA,1,2,-2),1,3,-1),1,4,-3)
A2:= addrow(addrow(addrow(A1,2,1),2,3,-2),2,4,-2)
AA → A1 → A2
A2 より、解が存在するためには a = −4,b = 0 でなければならない。そして、 ⎛ x ⎞⎟ ⎛
⎧
x = −1+ 3α + 2β
⎪
⎜⎜
⎪
⎟ ⎜
⎪
⎜⎜ y ⎟⎟⎟ ⎜⎜
⎪
y
=
−3+
4α
+
3β
⎟⎟ = ⎜⎜
⎪
⇔ ⎜⎜
⎨
⎪
⎜
z
=
α
z ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
⎪
⎜
⎜⎜
⎪
⎟ ⎜
⎪
β
⎝ w ⎟⎠ ⎜⎝
⎪
⎩w =
−1
−3
0
0
⎞⎟
⎛
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎟⎟ + α⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
3
4
1
0
⎞⎟
⎛
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎟⎟ + β ⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
2
3
0
1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟ ( α,β は任意の数)
⎟⎟
⎟⎟
⎠
(vii) with(linalg):AA:=matrix(4,5,[-1,5,1,1,5,-4,7,1,2,8,-3,8,1,1,7,6,-4,0,-2,-6])
gaussjord(AA);
A1 := addrow(addrow(addrow(mulrow(AA, 1, -1), 1, 2, 4), 1, 3, 3), 1, 4, -6)
A2 := addrow(A1,3,2,-2)
A3 := addrow(addrow(addrow(A2,2,1,5),2,3,7),2,4,-26)
A4 := addrow(A3,3,4,4)
A5 := addrow(addrow(mulrow(A4, 3, 1/5), 3, 2, -1), 3, 1, -4)
AA → A1 → A2 → A3 → A4 → A5
⎧⎪
3
⎪⎪ x = −1+ α
5
⎪⎪
⎛
⎜⎜
⎪⎪
2
⎜⎜
⎪⎪ y = + α
5 ⇔ ⎜⎜
⎨
⎪⎪
⎜
⎪⎪z = 4 + 12 α ⎜⎜⎜
⎝
⎪⎪
5
⎪⎪
α
⎪⎩w =
⎞⎟ ⎛
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
z ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
⎟ ⎜
w ⎟⎠ ⎜⎝
x
y
−1
0
4
0
⎞⎟
⎛
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎟⎟ + α⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎠
⎝
3
2
12
5
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
(viii)
A:=matrix(4,5,[8,2,3,7,3,-3,5,1,3,2,-5,6,2,9,9,6,-3,9,-2,4])
gaussjord(A); solution := submatrix(%, 1 .. 4, 5 .. 5)
31.
with(linalg);
A1 := matrix(2, 2, [2, 4, -1, 3]); A2 := matrix(3, 2, [4, 0, 1, 2, 0, 1]); A3 :=
matrix(2, 2, [3, -1, 4, 7]):
M1 := transpose(augment(transpose(A1), transpose(A2), transpose(A3)))
B1 := matrix(2, 2, [5, 10, -2, 4]); B2 := matrix(3, 2, [1, 0, 1, 5, -3, 1]); B3 :=
matrix(2, 2, [6, 11, 0, -2]);
M2 := transpose(augment(transpose(B1), transpose(B2), transpose(B3)))
C1 := matrix(3, 3, [3, 0, 1, 5, -2, 5, 9, 2, 3]); C2 := matrix(2, 3, [1, -3, 5, 6, 7, 2]);
C3 := matrix(2, 3, [9, 2, -5, 3, 1, 7]):
M3 := transpose(augment(transpose(C1), transpose(C2), transpose(C3))):
M:=augment(M1,M2,M3);'rank(M)'=rank(M)
MM:=augment(M,band([1],7))
gaussjord(MM)
the_inverse_matrix_of_M=submatrix(%,1..7,8..14);

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