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2015 一橋大学前期日程数学解答例
1
(1) 1024 = 210 より，1024 との最大公約数が 1 にならない数は 2 の倍数である．
1024
よって，E (1024) = 1024 −
= 512
:::
2
(2) 2015 = 5 · 13 · 31 より，2015 との最大公約数が 1 にならない数は 5，13，31 の倍数である．
よって，
(
2015 2015 2015
2015
2015
2015
2015
E (2015) = 2015 −
+
+
−
−
−
+
5
13
31
5 · 13 13 · 31 31 · 5 5 · 13 · 31
(
)
1
1
1
1
1
1
1
= 2015 1 − −
−
+
+
+
−
5 13 31 5 · 13 13 · 31 31 · 5 5 · 13 · 31
(
)(
)(
)
1
1
1
= 2015 1 −
1−
1−
5
13
31
= (5 − 1) (13 − 1) (31 − 1)
= 1440
::::
(3) n = pm q m のとき，n との最大公約数が 1 にならない数は p，q の倍数である．
よって，
(
)
n n
n
n−
+ −
E (n)
p
q
pq
=
n
n
1 1
1
=1− − +
p q
pq
(
)(
)
1
1
= 1−
1−
p
q
対称性より，p < q とできる．p = 2，q = 3 より，1 −
ゆえに，
E (n)
1
= が成り立つ．
n
3
1
1
1
2
= ，1 − =
p
2
q
3
)
２
(1) 点 A，B を通る直線 l1 の方程式は
l1 : bx + ay = ab
である．線分 AB の中点 M の座標は
(
M
a，b
2
2
)
であり，線分 AB の長さは
√
a2 + b2
AB =
である．
△ABC は正三角形なので
CM =
√
√
3 · a2 + b2
2
である．
点 C，点 M を通る直線 l2 は直線 l1 と直交するので，その方程式は
(
)
(
)
l2 : a x − a − b y − b = 0
2
2
となる．
(
よって，C
√
√ )
a ± 3 b， b ± 3 a （複号同順）である．
2
2
2
2
OC2 = 1 より
√
a2 + b2 ± 3ab = 1
√
s:::::::::::::
= ± 3t + 1
(2) 対称性より，a >
= 0，b >
= 0 で考えれば十分．
√
a + b = s + 2t
より，a，b は，X の 2 次方程式
X2 −
√
s + 2tX + t = 0
1
……⃝
1 の判別式を D として
の解である．このような実数 a，b が存在するための条件は，2 次方程式⃝
D = (s + 2t) − 4t >
=0
√
s + 2t >
=0
= 0 かつ t >
より
s>
= 2t かつ t >
=0
2
……⃝
である．
△ABC の面積を S0 とすると
√
)
(
S0 = 3 a2 + b2
4
√
= 3s
4
が成り立つ．
ここで
√
2 より
(i) s = 3t + 1 のとき，⃝
√
√
0<
=t<
= 2√+ 3，1 <
=s<
=4+2 3
2 より
(ii) s = − 3t + 1 のとき，⃝
√
√
0<
=t<
= 2 − 3，4 − 2 3 <
=s<
=1
である．
よって，求める値の範囲は
√
√
4−2 3<
=s<
=4+2 3
√
√
3− 3 <
S0 <
3+ 3
=
=
2
2
:::::::::::::::::::::::
３
正 n 角形の頂点に対し，直線 l が通る 2 つの頂点の一方を A1 とし，正 n 角形の頂点 A1 から，反時計回り
に名前をつけ，A1 ，A2 ，……，An とする．また，直線 l が通る頂点のうち，点 A1 でない方を Am とする．
直線 A1 Am で分断される 2 つの領域に存在する点は m − 2，n − m 個となる．
ここで，A1 Am に平行な直線は，直線 A1 Am の垂直二等分線について対称な 2 点を結ぶ直線だから，平行
な直線の個数 p は
[
p=
] [
]
m−2 + n−m
2
2
(ただし， [x] は x の整数部分とする)
(i) n が奇数のとき
p= n−3
2
よって，求める確率は
p
= 1
C
n−2
n−2 2
::::::
(ii) n が偶数のとき
(a) m が奇数のとき
p= m−3 + n−m−1
2
2
n
−
4
=
2
(b) m が偶数のとき
p= n−2
2
よって，求める確率は
n −1
n−4
n
n−2
n−2
2
2
2
2
·
+
·
=
n−1
n − 1 n−2 C2
(n − 1)(n − 3)
n−2 C2
::::::::::::::
４
√
A(1，0，0)，B(−1，0，0)，C(0，0， 3) とし，点 Q から xy 平面に下ろした垂線の足を R とする．R は線
分 AB 上を動く．
まず，点 Q を固定すると，PR の最小値は AR と BR のうち小さい方であり，PR の最大値は AR と BR の
うち大きい方である．したがって，PQ2 = PR2 + RQ2 より，点 P は A または B に一致するとしてよい．
次に，P = A のとき，点 Q を動かすと，AQ が最小になるのは Q が直線 AC と C を中心とする円の交点の
うち A に近い方となるときであり，AQ が最大となるのは，Q が直線 AC と C を中心とする円の交点のうち
A から遠い方となるときである．対称性より，P = B のときの BQ についても同様である．
(1) PQ の最小値は
AA1 = AC − A1 C =
√
√
12 + ( 3)2 − 1 = 1:
である．
(
点 A1 が AC の中点となることから，A1
√ )
1
3
，0，
である．最小となるときの点 P，Q の座標は，P = B
2
2
のときも含めて
(
√ )
1
3
P(±1，0，0)，Q ± ，0，
2
2
(複号同順)
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
(2) PQ の最大値は
AA2 = AC + A2 C = 2 + 1 = 3:
である．
−−→
−−→
CA2 = −CA1 より，A2
(
√ )
3 3
1
である．最大となるときの点 P，Q の座標は，P = B のときも
− ，0，
2
2
含めて
(
√ )
1
3 3
P(±1，0，0)，Q ∓ ，0，
2
2
(複号同順)
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
５
{
数列
[ I ] (1)
(
cos
kπ
6
)}
(1 ≦ k ≦ 12) には
√
√
1
1
3
3
と− ，
と−
，1 と −1 がそれぞれ同じ数ずつ含
2
2
2
2
まれる．
したがって，周期性より
12n
∑
(
cos
k=1
kπ
6
)
=n
12
∑
(
cos
k=1
kπ
6
)
=0
であるので，
12n
∑
ak =
k=1
12n
∑
k
k=1
1
· 12n(12n + 1)
2
2
= 72n
+ 6n
::::::::
=
である．
(
)
( )
kπ
kπ
2
(2) ak = k + 2k cos
+ cos
6
6
{
( )}
kπ
3
1
である．数列 cos2
(1 ≦ k ≦ 12) にはが 4 つ，が 4 つ，1 が 2 つ含まれるので，周期性より
6
4
4
2
12n
∑
2
(
cos
2
k=1
kπ
6
)
=n
)
1
× 4 + × 4 + 1 × 2 = 6n
4
4
12 (
∑
3
k=1
である．また，
12n
∑
k 2 = 2n(12n + 1)(24n + 1)
k=1
(
である．次に，m を 1 以上 n 以下の自然数とすると，cos
(
cos
kπ
6
kπ
6
)
が各値をとる k は次の表にようになる．
)
k
1
√
3
2
1
2
12m
12m − 11，12m − 1
0
12m − 9，12m − 3
1
−
√2
3
−
2
12m − 8，12m − 4
−1
12m − 6
12m − 10，12m − 2
12m − 7，12m − 5
したがって，
(12m − 11) + (12m − 1) − (12m − 7) − (12m − 5) = 0，
(12m − 10) + (12m − 2) − (12m − 8) − (12m − 4) = 0，
12m − (12m − 6) = 6
であるから，
12n
∑
(
k cos
k=1
kπ
6
)
=
n
∑
(
m=1
)
√
3
1
6+
· 0 + · 0 = 6n
2
2
となる．よって，
12n
∑
ak 2 = 2n(12n + 1)(24n + 1) + 2 · 6n + 6n = 4n(144n2 + 18n + 5)
:::::::::::::::::
k=1
である．
[II] (1)
科目 X における 10 人の合計点は 3a + 3b + 4c（点），科目 Y における 10 人の合計点は 5a + 5b
（点）である．平均点と受験者数が同じなので，合計点も X と Y で等しく
3a + 3b + 4c = 5a + 5b
より
a + b = 2c
である．したがって，平均点は
sX 2 =
1
(5a + 5b) = c（点）である．よって，
10
}
1 {
3(c − a)2 + 3(c − b)2 + 4(c − c)2
10
ここで，a + b = 2c より a − c = c − b なので，
sX 2 =
3
(c − b)2
5
である．同様にして
sY 2 =
}
1 {
5(c − a)2 + 5(c − b)2 = (c − b)2
10
となるので，
3
sX 2
=
sY 2
5
:
である．
(2)
科目 X の得点と科目 Y の得点の共分散を sXY とすると
1
{2(c − a)(c − a) + 2(c − a)(c − b) + 2(c − b)(c − b)}
10
}
1{
=
(c − b)2 − (c − b)2 + (c − b)2
5
1
= (c − b)2
5
sXY =
である．したがって，求める相関係数を rXY とすると
sXY
sX sY
1
(c − b)2
=√ 5
3
c−b c−b
5
1
=√
15
rXY =
となる．3 <
√
1
1
1
1
1
15 < 4 より < √ < であり， = 0.25， < 0.34 であるので，
4
3
4
3
15
1
0.25 < √ < 0.34
15
となる．したがって，rXY を四捨五入し小数第 1 位までで表すと 0.3
となる．
::
(3)
(1) より，(c − b)2 = 112 なので，b = c + 11 または c = b + 11 である．
Q
b = c + 11 のとき，
a = 2c − b = c − 11 (c > 11) である．このとき，a，b，c を小さい順に並べると a (= c − 11)，c，
c+c
b (= c + 11) である．a（点）が 3 人，b（点）が 3 人，c（点）が 4 人なので中央値は
= c（点）
2
である．したがって，c = 65 であり，b = 76，a = 54 となる．
R
c = b + 11 のとき，
a = 2c − b = b + 22 である．Q と同様に中央値は
c+c
= c = b + 11（点）である．したがって，
2
b + 11 = 65 より b = 54，c = 65，a = 76 となる．
Q，R より求める a，b，c の組は (a，b，c) = (54，76，65)，(76，54，65) である．
::::::::::
::::::::::

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