CONDIT10NS FOR UNIFORM OR MEAN

rb′
だαs′ ブ
irt7`ん
sc,(FinvIS)19(2)(2()05),145‐ 199
CONDIT10NS FOR UNIFORM OR MEAN
CONVERGENCE OF HIGHER ORDER HERMITE‐
FEJER INTERPOLAT10N POLYNOⅣ IIALS WITH
GENERALIZED FREUD― TYPEヽ弓電 IGHTS
T.KASUGA and R.SAKAI
(Recoived Julle 24,2005)
Subltlittecl by K K Azad
Abstract
For',he Ereutl-tipe rveight ilif,(.t; =
1:c 12'
exp(- 2Q(r)) rve considcr the
olthorrorrnal polynonrials {PtJllt:A;.t)}f=6, and then rve constlr.rct the
highel order Hermite-Fej6r intelpolation poiynomial based at the zeros
{ti,u}ij=r
ol
P,r(!It,?n;.'r-).
Lr -convergence,
1<
{n this paper \re give certairr conditions
for:
p. *, of the higher order Hermlte-Fej6r
interpolation poiynonrials. They ale exter)sions of Lubinsk)'-N{atjila
'lheorem [SIAr\,I J. ]'Iath. Anal. 26 (1995), 238-262{ for the Lagrange
intelpolation poiynomials. \Ye also coltsidet the corresponding results
for the Laguerre-type rveights 6a 11+ =
0.
o),
Introduction
ｅ・
e\.en, nonnegative and continuous, Q'
0 in (0, *), and let Q" be continuous in (0,
ｂ ↓
Let {}:R-+ R be
c()nti1luous. Q' >
[O,
2000 hlathematics Subject Cl assification: 41A05.
I{ev rvords and phrases: Freud-type rveight,s, Laguerue-type rveights, higher ordel
Heunite-Fej6r interl:oiation polynomiais.
O 2005 Pushpa Puillishing House
146
TI(ASUGA alld R SAKAI
Ful'therll10re)o satisies tl10ぉ 110wing cOnditiOni
l<A≦
農侵鶏】B,χ ∈
(0,∞ ),
}≦
、
「here/1
(01)
alld B are cOnstants TheA
11'b(・ )=exp(―
Q(χ ))
is called a F7・ θ ごこ
g/2ι , allcl we cOnsider tl■
εθ′
e series Of OrthOnOrlllal
2ι
polyn01■ ials{弓
二
fl(弓 ;→
7(IItti
κ
With
)}れ。
the weightル
4(■ ),tllat is,
烏(嘲 ;→ 疇 ω読 =δ ゥに
・ oneckers deL→ ,こ卜
Ltlbinsky and
ⅣIattila
Ql,2…
have Obtained the f0110.7ing.
Lubinsky― ル
Iattila TheOrem [7].I」 et l<′ <∝ △∈
R ancl α>o,
,
Lct us dcine((α
))=nlill{1,α ).We denOte the Lagrange interpolatiOn
po15ア n01nials
at the zel,Os Of罵
1規￨い
lχ
)△
,(Ⅵ
嬌;χ )by ι。(/),7ι ≧1.Thell for
崚→―ル》￨ら
%し )μ ″
韓)=0
to hold for every continuous function
r.JlT.(,
if p < 4, it
/ : R + R satrsfytng
* l* l)"lt/q(r)i/'(r)l=
o,
is necessary and sufficient that
a,_1pr\_((")),
and
if p
> 4, and o,
*
1,
it is necessary and sufficient that
--l /.r . ir..rrr
I
(,
4
\
o,'i-\^+1(nl)l,rd['-rJ = O(1), i, -+ e,
arrd
if p > 4 and cx = 1, it is necessary
and suffrcient that
作静封=く
α
}書
轟)コ →Q
tじ
... HERil,IITE.FEJI'R INTERPOLATION POLY\O}Ii,\I,-q .
.
I
];
In this paper' rve extend the Ltibinsl<y-r\latjila 'lheorent to thc irrgircl
orcler- Herrnite-Fej6r' interl:olation polynomials rvith lespect to a
ge
nelalized Freud-type iveight. We also consider similar type u'eigl'rts on
R' = [0, .c), and then *,e rvill obtain
If fol
trvo seqlrences {.,,}f,=r and {d,,}f,=1 tlr"ru are positive nntnbers
L. D such that C
r.rse
analogr"res.
t
i,_
, D, then u'e clenote
the faclas c,r
-
cl,,. lVe wrll
the sarne constant C even if it is ciilfelent in lhc' same line.
Preliminaries and Theorems
1,
i-.,r '.'= 1.2.;1..... For' \, :1 we assune (0.1) rvitir ;1 > 1. Fol v > 2
ir'-:li,!-,..i:r r(t,1, v,-ith .{ e 2, and further that Q . g("*1)1R;
tr
.
.'l r- il/..\
"?,,,,'!tJ
nirr(.r)
<
E, i:2,3,...,t,,
6("-1)(r)
t
(r
e (0,
ancl
*)),
(1
1)
rvhere -E is a positive constant. Fol stmplicity we assume 8(0) = 0.
When the exponent Q satisfies (0.1) and (1.1) we say that Q satisfies the
condition C(v). We consider generalized Freud-type weights such that
ii; o(.,:) -- ir: i'' exp(- Q(r)) (x e R, r ) 0),
rrirri
u'r
c.)nstr,.'lui
iirc
seric.s
r..,1
orthonolmal polynomials
{P,,
(ll!2r?;
r)}f=,
....
(1 2)
rvrtir the ri,eigirt (l.1) by
.h
I
iiere
r,1w,?q; il1(w,?q;,)w,A(r)d, =
P,,(lai?51;
ileglee at most
r) e fI,,, whele il,,
:r.-1,,
= o, t, z,
denotes the class of polynomials rvith
/1..
by {16,,}, - * . rlir ( ... ( r2,r
e C(R) rve define the higher ordel Hermite-Fej6r
Let us d.enore the zelos
(
sr, i, i
( co. For /
of. P,,{W,',fo; rc)
irrterpolation polynornial L,,(t,, f ;
x)
based
at the zeros {rp,,}[=r
as
T KASUGA and R.SAKAI
l48
tbLlorvs:
rl,',)(r',
f;rt,,) = 60;l'(,"-t,,), k =1, 2. .... ir., l
= 0, 1, 2,,..,
\- 1. (l.g)
l'; r) is the Lag'-ange irrterl:olation poiynom.ial, anrl L,,(2, f; x) ie
the orditral), Hermile-I,'ej6r' ilterpolation polyno,riai. tr'ol 1,he higher
oi'clel I{ei'niite-Fej6r interpoiation pclynoniiai of (1.3), the funclamental
liolynorlials /i,7,,,(v; :"-) e f1,,,,-r are cletined as fbllori's:
L,,(1,
lr1r,,(v;r) = li.Y,,(-)I e;(v,lt,ru)(r
- ci,,,)i, ei(v,lt,n,): real coefficienis,
メ
=0
れ″←)=
(κ
/i7,,,,(r,:
χ
民:(lLЪ :r)
た
,2)41(アう
ち;χ
r7,,,) = 6A,p,
1,,{,',]
た =1,2,… .,7し
(u; r7,,,)
Using them we can rvrite as
,
A27))'
1,,,
- 0, p = ).2, .,.. rt, i. = 1,2...., r, -
(v, f ; x) =
i
/{r0,,
)U0,, (r,;
J.
,).
/r =1
Fnrthelrnore, we extenci the operatot' L,,(v, f ; x). J-et I be a
non-negative integer, and let r, * 1 > l. l'or / e C(l)1n; we riefine the
-ordel Hennrte-Fej6r interpolation poiynomial L,,(l, '., l;
fluri-1 as follorvs. Fol each lt = i, 2, ..., tt,
(1, r,)
L,,{1, v,
{; xtr) = f\r,,),
L\IQ, \,,
/; ic},r): /(')(r1,,),
耳′ ,v,ノ ;κ た
)=0,ブ =`+1,;+2,…
″
)(ι
Especially, L″ (0,v,ノ ;F)=L′
1(ν ,/;χ
v‐
r:)
e
.i = 1,2, ...,1,
1.
), alld ibr any polynol■ lial P(■ )∈
Π177,l we see L′ :(V-1,vj Pi∬ )=P(χ ).1｀ he funda1llental polynolllials
んsた ,,(v;■ )∈ Πャ
,,1,々 =1,2,..り 2,Of L′ ,(ι ,v,ノ ;χ )are deflned b5ア
たC,Ⅵ →=塔″)Σ θ
J鰤
sれ
(χ
,た ,→
V 1,
κ
,S=0,1,… り
←―
肺メ
′=S
e";{v, h, rt) : i"eal coe{fir.:ients.
….HERMITE‐ FEJER
INTERPOLAT10N POLYNOMIAI`S _
乳ノ=QL…
んJiC,ヽ勒 )=δ ,δ ゅ
′
e have L″
「hen,、ア
i〕
efil■
C,v,ア
:・ )=)E
DEノ
③
(κ
た,ls=0
1=ギ =い
:ゴ
′
卜ο (χ 》 ≦ BQ′ (・ ),SO
nullll〕
b)ん ,加
(ι
,V;・
…
)・
itio11 1.1.ヽ Ve definc tl■ e follo、 illg lltl11lbel's l10 and lll
ぶ
農
V― ム ρ =La…
149
is tl■ e
er α
:′
A≦
≦
掏・
Theゝ lhaskar Rahmanov‐ Sa∬
≦ B・
堀絆
tlnique positive root Of the equation
に子1甲 α引い午恥)嘉 >a
1
We also consider the root χ =9“ >0 0f tι =κ Q′ (χ )fOr rι
have αな∼ 9,1 ∼
拓
=午
r′ を
bァ
:
∼κl,1,
i｀
1ビ
vhCre
=1,2,3,… .,([6],[1, TheOren1 3.5]), ヽ
=L♂
,らに和
′
ヽ
.111贅
「ll〔 ‐●1]● 、
7と
>0.Then we
一
11lnla is cas卜
I:sF
Lctl■ ■al.2.Tllθ 7で ε
=
α ご I)2>°
Cl>0, C2>0, I)1>O
7ι
S lι c′ 2
｀
ι≧1,
′
θ
υ
θ ′ι
たα
ι
`,ル
'つ
Clこ
CQ″ θCわ ′
ケ
,j/ス
A≦
ι
≧
Qttι )≦ Dlこ
ι
イ≦D2α ‖
, C2α が≦
,
`・
2こ υθ scC G脅ルL≦
D, 7を
=1,2)…
ι
θ″θ
″′
１
ヽ
電
C07む S`(77t′
D>O is
一
３
一ヨ ´
２
一
Ｘ
ａ
ニ
ｎ
κ
Φ
ｄ
ｎ
ｉ
●●
ｕ
ｎ
０
ｅ
ｎ
ｔ
Ｄ
150
T KASUGA and R SAI(AI
rc note tllat
ヽ
ヽ
η
C
(1+lκ l)6≦ cΦ ′
,(■ )≦
hね
軋 f lχ
■
(1+lχ D τ
l≦
告
%,臓
_11
山
_上
≦Ca″ 6 ≦C72
6
巨宙止
(14)
I:%<￨■
,触
We∞ e
≦cΦ ′
1(■ )≦ C
Our theorellls are as hllowsi
Theorem l.4.Zθ
jι jθ
7し
O,しご
7Lθ θ
iStt ι
よQ Sα ι
C(V+1),α
7ι
d」 θι v=2,4,
iSル S
6,… α≧O α71d O≦ τ<lJ′ ∈C(R)sα ι
て
(+か
Lも。
1嗣￨=Q
い
い
ば
Iお ∽
ω
αじ
tlθ ′
し
θ7トモ
`
`ん
ヽ'1]
lin‖
(1+lχ
″→ ∽
l) 丁 l1/ib(・ )(L,,(V,′ :χ )一
′
(・ )￨￨lλ
.(R)=0
We consider L/1-cases,1<ρ く "
Theorel■ l l.5.(ll Lθ ′ V=1,3,5,…
sそ
ppOsθ ι/1α ι(2 Sα ι:Sル cs`ん C Cθ
し
7し
ごjι jο 7し
, 1<Pく
C(V)/1SS“ 771θ
′,
c'ι
ど α >O
IIを
ι′
ια
`
1<p≦ ÷
の
級<犠に
び
>÷ <→
△
‐
鮨ま
祠=α ゥル
≠
∝
→鳴ヴ
Lρ >+,0
α
}… ヽ
やル祠=く
α
=L′ >: 0
α
}… ヽ
轟い→喘ヴ
T/2.θ
7し
:SIy'7ι ご
071′ ∈C(R)sα ι
で
わ'マ ι
「メカι ′
7ι
Cι
lmいい
￨■
￨→・‐
+宇
)α
Ц為。 1/。
￨=Q
■
"
….HERNIITE‐ FEJER
INTERPOLAT10N POLYNOTVIIALS _
151
と
υθllα じθ
lilll‖
′￨→ ∽
(1+lχ
D Δ
■
4い
(・
′ ))‖ Lp(R)=0
)(L′ t(V,/;■ )一
(χ
んαιQ
■セSIしpposc ι
V=2,4,6,_., 1く Pく ∝, α d α >0
(ill Lθ ι
7し
jι jο 7し
is力 cs 17Lθ 6ο 7しご
sα ι
eυ
ryル
θ
7し Cι
:0ん
C(V+1)ASSこ
(11° )
ηC(1・ 6),(17)α 7しご
ι′
(18),ι た.α しわ r
j7L60
f∈ C(R)saι tSル
(1+い
土。
十
tttP・
D°
11+:∞
v鴫
1(・
0,
)1/(・ )￨‐
(1'11)
c(110)・
c′ 2α じ
“
<∞ , α d α >0
Theorem l.6.Lθ ιV=1,3,5,… , 1く β
7し
ppOsθ ιんαιQ
υθSこし
ιθ7しこ
`ア
`ん
Saι
jSル CS ι7te cο
7し
djι lo7し
んαιQ Sα ι:Sttθ S ι72e co7し diι
ω θ S“ Pρ οSθ ι
jo7し
二′ V=1,
C(1),α dヴ V=3,5,7,…
,
72′
C(V+1)‐
`,し
9)We haVe(110),then
Let v=l lf br eVery f∈ C(R)satiStting(1・
(1の Or(17)or(18)is tFue.
Let v=3,5,7,.…
.If for eVery
ノ ∈
C(R)satiSfyFing(1.9)We haVe
(1.10),then the fol10Wing is true:
+鍵塾
>l《 α
△
》 fl<p≦ :鰊 <犠
V→
+Lモ
。
△
ま
→
=。。
し
ぃ→∞
α
が
+く
Dァ
②
←
,
fρ >争 ,α
十
甲
≠
Lいつ
け
甲
→
→
α
}← く羽K‐ =く蓋),ん鳴
7し
fρ
>:メ +Ψ
By Theorellls l.5 and l.6,we have the fol10wing.
=・
に⇒
T KASUGA and R SAKAI
152
Coroliary 7.7. l.t:t r,= 1,3, 5,.... If v =1, then we suppose tlrut e
sctt.i.sfies tlw cort.cl.iti.on. C(1), ottl i,f \, = B, b. T, ..., thetr we $u,ppose th.ut,
e
the cotul,itioir. C(r, + 1).
stL.l,i.s/i.es
I-et
r, =
i,
1
0. For (1.i0) to holcl fo1 e-rery
i e c(R) satisfyi,g (1.9), it is *ecess.r;z a,d su{'ficient that (i.6) cr'(1.7)
or (1.8) is trr-re. l,et v = g, 5, '/ , ..,1 1. For (1.10) to
hold for evel'y / e C(R) satisfying (1.$), ir is necessar.y anrl sr.rfficient tha.t
lhe foliowing (1.15) or (1.16) is true:
,1
a>
p
1 ,.
--t,
tr t\
,r.o\
-.
--[A1'l ] ;l t'---t'ti
nl,'
=
O$j,
tL --+ n,
ifi<p=1(r.+),
(1.is)
if p>三
(1.16)
V
`
so, coroiiar;, 1.7 iurplies an extension of l,ubinsicy-fuIatjila Theoretr.
2. Lemrnas and
proofs of Theorems
To plove the theoi:ems u,e coliect some results r,vhich have l:een shoi,vn
in [3, 4].
Frrst, lve denote some fundamenta] definitions. Let the
poiynomials {P,,(4?i; r:)} be defined by (1.2), ancl
P,,(r)
We p載
χ″-1,“
* e,,QY,!.q; x) = y,,xrr+.,.,
ら=等
,
yri =
yr;(I.q2."A)
and denote the zelos of
<・ … <χ 2″ < Jc1,,
,0,
Pu{14/,18,
r, = 1, 1,3,..-.
r)
by -
@
( r,r, (
( co (see Section 1). Usrng the reproducing
kernel
I{,,(x, a =
!r&/C!--rQ:!,,(tE -,(')}
.L-r.
we deine the Christottl functiOn
λ
llI;Ъ ;κ )by
れ
鳩 )=鳩 l(Lち ,χ )=κ ″,χ )=b″ {民
l(χ
,
(κ
where the COtes ntlmber is given by
:(χ )民 :1(・ )―
R,(κ )411(・ )),
λた =λ ′ た.)(See 19,(3.3),(3.6)]),
,ι
`(κ
….HERNIITE‐ FEJER
INTERPOLAT10N POLYNOMIALS.…
153
ancl satisfles
孫L=b′ :RI(χ た
)弓 11(・ル
″
,)
The generahzed Christoffel ftlnction
λ″
ρ(χ )iS deflned by
λ
)=P:ぶ
∈
″
の
剣Ц⇒r,0<P<∞
ρ
Ц
も
4二 IPω ド
.
Thc ftlnction λ′
,(■ )is a special case for P=2 We use theお 1lowing
weighti
where δ >O is flxed slllall enough.
Lel■ ulla 2.1.(a)LCι
/iD,｀
O<p≦
∞,α 7ι α ι
θικ bθ α pο sjι jυ θcθ 7し Sι α7ι ι
.Tllθ 7し
ωθ
θ
ッ P∈ Π71 1υ θたαυ
IPLQしノ
,繍)≦
⑭)Lθ ιι
>O
α
7と
ql P叫 .。 Lp(・ ≦
″ιl.瑚 ).
3,■ θοデ
θ
α
たにんl:D⊂
d8>0.
長
∼
θ
ん
α
″λ
①乃だl<摯 ω
→
し
"に
絆・
lκ
)か
θ
ん
α
②島だ
等≦ ω
“
lχ
磁摯く
嗣嗚0卜 →∴1-¶■
θθ
③乃r等 ≦ lれ ll・ Lし百
λω
“
lκ
動
ル
中囲喝 0卜
￨《瑚
可
呻
“
れゆ
T.I(ASUGA ancl R' SAI{A1
154
ic) Tkere e:risis
C>0
sii.c/r'
tltat, for
It
-rI . c,,
ic,,
.?
il 2 i,
(lz,Ttrctn'etri l.sl),
l
ctncltui{ortnlyfor n>*3
crtrcl
2< j<tt,*1,
. ,t- t t2
si ,,,r - .rr,r ,, - [,u; ,)1,,,*j,,
t
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'+,:i_l
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(13,'rheor.t, 1'4])'
L\
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I P,,(r)11/,.e(.) |
(e)
i-2
L r
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co,,'l *ur1,,-{ r - o"Jl
"--1i I
.1,-.i
tt,
Theorent t'B))'
(i) If n is odC, thert ute h.aue
iP,, r(0),
7-.tt
,,r,
[,,: .)
1P,l(o),-
-t
l.,i]
,,";u
:tin 't 0, ue Jtuue
１
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(2) F'or
-
\1. |
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κ
χ
叫
昇
α一
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eslteciall.t,
臨Ц
→
tt「
0叫ボ
観
卜
れい鳥
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m.
」
3
1芸
(3)Lcオ
α
,1,0<ζ
″￨≦ ξ
ト々
<1.Tllθ
7ル /i97・
1
｀
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αυ
>0,″ θん
ア
ι
α
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θ
3
130Ц
QOI∼
几%2,κ
b_旦
争
≦ χ ≦ χ鑽十
摯
(13,
CorollarY 1.121).
… HERMITE― FEJER
(O
ιO
ιθ
SOllSん
i』
155
INTERPOI」 AT10N POLYNOMIALS.…
θ
'(01)▼:セたαじ
1弓 !° IW4で
jSル
O Sα ι
(g)Lθ ι
:他 7κ 。
「
0薦 1助
011響 i∼ α
θ
(0.1).Weた αυ
l l
Supl
η:(・ )Ii40(・ )￨∼
ca l.14])
θ
οだ
α″27し 6([3,ワ ι
● (R
し
:か
(h)こ乃
｀
1,1≦ ブ≦ -l α ごκ∈R,
1ら
″
'わ ″ ≧
7ι
7し
7と
7)177ι α1 5(D])
([4,ι ι
J rCた
1lα
″(0<η <1)密 θSCθ
し
1:夕
″b)｀ ″
(1)こみ
￨:ブ
G)Gjじ θ
7し
11
r,,
(i')
lれ ,2(κ )￨∼
毎 ″￨≦ 論 Ъ lχ 袖
≦
ο
ι
ι
αァ
1(by[3,Coァ｀
ッ1.12]).
｀た 1,1≦ ブ≦ -l α7Lα χ∈R,
かア
7ι
n(χ )y:T6,(・
0<P≦
ilri]l)r+i o
ん,議飢わ r卜
ι
tt α曜
たθ δ >0師
ヵ)叫
o″ (・ )￨≦
αl.5(g)]).
C([4,Lθ 茂ι
7γ
∞,"θ んαυ
θ
,か '7し ≧1,
iir,,,{n)
I'I/e cl,eii;rc
,,, =
Let, t, >
ue itaue
2,
otr,cl
{'l0
(r' :
odrJ)'
}{,,(e;r)
li'. euetL).
=
1
+
0;
* r e'(r)l
tet Q sotisfy tlte cond.itioru C(v +'1). Fol
i
= 1,2,
"',
V
-I
156
'f . It\SLlGr\ ar,d R.
,"p(r,.
[. ,r) = 1.
l,et t,
2-
I If
)ei(v, tt.
,)is c{u,,(e;
.:"1,,
Q sati,sf'ies tlrc cctt.cli,tion C(r,).
e11(v. /r.
rr) --
l.
le;(r,, /r
,U -
SAi(AI
,-
'
#,]t"(
i.7,,
1:,:,,)
;
0.
tlt.esi tt'e see
,1,,1,;,t)
ii-|.
, , - 1. r, 3, .... r,
i
Th.r:r.;retrt 3.3. Corol,lor-y 3.,|]).
(I) Le.t Q scttisfl,tlrc concLittion. C(v). 'l'itert, u:e ltctte
cr.(1. r,, /+. ,r) =
j:
Qn)
s, s-r 1, ...,
trel
00
srrcit
th,at,
l) Pll/t
<
e llr,.[r
//tr.. rslAr-)
n)
Cil Pl;l/, A
1ll7,,.(r,,,,
,\rt
.',., i<r,, ) (13, LetrtnLa 2.71).
")
Lenrma 2.2 (16, Lemtnas 5.1 and 5.21). (a) Giuett,0 < n < b,
tt,rr,iiorrtly for n, > I otrd r e [4, b],
8(o,,*) * o,,:t..Q'(a,,r) (b)
#A
atucl B are 0s
h
ir.
(A.1), thett
西 ,→
♂≦
青≦
“,に肛
漏に[#,λ rl
>1,″ θ
ん
α
θ
んλ
にかにり
,→ α
Oα じ
∼ ‐
IL_1
αJ
1子
￨
1
(d)llセ
り g:
′
ι
αυθ θノ ο晨
t〕 :ι
:'ι
`ん
Q′ (1)そ
B 1≦
ι
Q′ (こ
ι
)≦
A-1, こ
ι∈(0,1],
Q'(1)こ ι
u,e iLaue
_ HERNIITE‐ FEJER INTERPOLAT10N POLYNONIIALS _
1
α(1):ι・
11●
で110
isご θ
ル
7ι
1≦
α(“ )≦ ηωQ(1):イ
157
η
Q l,7ι ∈ ,∞ ),
肛
ごby Dげ i7ι 」11.1
θ
jι
0′
PrOo■ ヽre have to prove the last inequality Otherwise、 ve can flnd in
(sec Deflnition l l)we
[6,1,emmas 5,l and 52]By tlle deinition of ll。
haVe f号
dχ
絆
≦
・
9∬
ご
キ・
,SO
:1・
Q([`)≦ Q(1)ι
イ
モ」
sing the deinition of:10 again,we have
熱如 μ
αo≦ 禦
R'
Lemrna 2.3 ([?, Lemma 2.5)). Let p €
t,ltot for p > 2, ancl tlrcre exist polyrt'anials
tlwt
u.ruifortnly for
, * [-
p, pf an'd p >
There exists C >
0 srrclr
F, ol clegree < Cp log(p)
such'
2,
Fr(,)-(r+t2)P.
Lemrna 2.4. l\te /irr o e (0, 1) orrd an' ilt'teget
Tltenfor P e lit;,, cirrc! tt > 7.
'
> 3' atd Let p € R'
i.7,,i P(.i'i,,)il1;ij,,('.-i,r 1(t + r';1,)s
I
-!.;7,,s6(11
I c l"zn"
_ut
J
wh,ere C is
a
I
Pll/, 6,,(r)
I
(l + *)v dt'
D,,
cort'stattt htclepert'd'erfi of P arr'd tt'
Proof. By Lemma 2.1(bx2) and the clefinition of the christoffel
function, rve hat'e that fol'
p
6
il,,
and
{p(s)r{!q(r)}' = r(* )
r e R,
(f\2atf* trl,luc
T. I{ASUGA and il,. Sr\i(Ai
158
Froln thiS We See
P叫酬Lめ 0≦ C織 )PК 亀田二 PЦ 押に
‖
anci
2.1(a)'
the*, usi.g the i.,Linite-fiirite lange i.ec1r-raiir1,Lem*ra
μ
鵬酬場
①≦
賞ノ紛
∴
〕
く
“
Ve()onsider the ChebyShev、
ヽ
υ
←
)=0-石
:L
7,ι
reight ancl the col,respon(lin3 kerllCt i´ lnction
∈
←
1,1〉
χ
は
″
,う
′
1-1
,1)
=Σ 島
0,・ )られ
,‐
1By[8,p 108]
χ
れ
″
《
←∼
″
l≦ l〉 lχ
,→
(2.1)
許
,め￨≦
C通 n卜
「
0
Ll).90
卜
≒卜 ∈
,ま
Now,let FL2Dtt be the polynollDial decided in Lemma 2.3.Then by Lemllla
θ(α 2),1° g(α 2D“ ))=
2.20)We See tllat the poly■ omial has the degree
ο
い)Here we flx χas
l■ ￨≦
ασ
た,and appl)'(2.1)tO the pOlynolllial
用=即礼配 (者 :赫 )
where P C IID″ .We see that R has ie degree atll10St D7し
2D7し ,fOr 71′
IЦ
≧ 7し 1,Say
+θ (7L)+2,し ≦
By(21),
→
為0既 (恭 ,ホ)い →
2助
,轟 )虚
ttQω ‖
島
ω
2謂厨
≦
ぽ
(赫
″
暑)度勇
く
By Lelllllla 2.3 and(22),we obtain,お
I
P(r)I{f 6(r) l(t + r'2)P
r iκ l≦
ασ′
2(<α 2D")'
.…
HERやIITE― FEJER INTERPOLATION POLYNONIIAI」 S _
≦
く轟
)蠍 tPO叫調
降砕
く
TheFIL by LemIIla 2.1(b)(3)and aS 6‐
1鵡
159
(恭 ,若 )と
の
1,we have
)い χ
″
″
もち
IPはヵう
ブ
Σσαルλ
)1轟
)2)ド
,〔
￨・ヵ卜
≦C(年
)1場
C覧
≦
節ギ
lι
IP幅 )IЦ 9毎・)いヽテ:ソ
″
鷺 α
lPω
ωlい
と
Ц。
ち
鋪
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(ぶ
た
i、二 α
Nowお rトブ
"￨≦
α
σ
′
,We
9・ →
.
諸
r紛
`2ソ
血niL再
粋
α
″
)勤毛黒
have uniお rmly inブ
and,し
12.
,
y Lemma210).
―
χ
l,"∼ 午 Φ
l l," χ 」
「
し
L ttows thatい
■
ぬ嘔
eh″
十
'W枷
摯
狙
寿か
ι
,We Can bOund r(ι ),unifOrmly for
integer depending on′ and ι
,
For simplicity,we deine ifi(Q;κ )as fO110ws:
α
鞣
)￨+嵩 ,χ ≠
0,
χ =0
＜一
lemma.
Ｃ
一
tts ttd O→
■１１１１ｊ
十
″
マん戸
ｒｌｌｌｌｌｌＬ
＜一
ｊ
e ttd粋 =α )恥 Om
Ｃ
ヽ
ｔ
１１１︲︱︲Ｊ
∫
＋
Ｌ
列﹁ゴ
″
マん戸
ｒ
く一
′
βヽ
ｒ
Htte tt i■ at・
鸞めぬnぬ
e
160
T KASIIGA alld R SAKAI
We use Lemllla 2.1(k),(1)1lhe cOetticients ofんゎ (vi
are estill■
r)
or:
ated as follows.If o satiSies the condition C(v +
i=1,2,...,｀ ′
/t."1,,,,
(1, r,;
r)
1), then fol
1'
fOr lヽ
ヵ″￨≠ 0,
(25)
fOr■ ヵ71 _0
If
Q satisfies the condrtion C(v), then
es(v, /r,
rr):1,
er.(/, v, lr, rL) =
ie;(r',
r
-,
I
/t,,,)1.
/,,\i
i =1'2, '.', v -1,
C[;r,
j
e.;(1, v, /t, ir)
i
< cllo,r )'-'.
\
= S*1, s+2,...,
J
\,-1,
s = 0,1,...,
v-1.
If v is odd and Q satisfies the condition C(r,+ 1), then by [4, T]reorem
there is a positive constant Cu such that
← 1)け ev 16,た ,→ ≧Cv(音
Lenma
′=2,4,6,
、
2.5.予
Iζ
,α
7し
7じ
djι j07じ
C(V+1).Zθ ι
αじ
θ
Ld O≦ てく1.〃わrgcC(R)″ θん
…っQ≧ Oαァ
(1+い
+η
Dα
τ
ΦttV(■ )ν吟
も″ )lg(χ )￨<8,κ ∈R,
(χ
th.ert
R.
∈
Φ
I(→ Lb″ (→ Σlgob)鶴 (V;→ ￨<C%χ
,,
Proof. We
-1
see
∈
)Σ lg← b)た b鰤 ;→
←
)Ц も
‖
)卜 Φ
″
Σ←
た=1
￨
3.6]
2の
)V・
jSttCS ιθcο
力 ιO sα ι
sθ ι
θs■ pρ ο
(2'6)
_HER卜 IITE‐ FE〔 IER INTERPOLAT10N POLYNOWIIALS _
161
≦Φ労←)Σ И4為 ″∈)冨 :葛 ι
)
←餞)1李 ∈)￨lg∈ ゎ)ILb"∈ 腸ι
“
た‐1
×
に行
Σ
J=0
ト
・ゎメ
V-1
,た ,蔵 )●
い』enOug⇒
―bl<等 ,0<δ
bl・・
we haVe thtt by Lemma
21(1),(2.6),and nOting Φ,I(・ )∼ Φ′
71)≦ C(bOunded),
!(・た
κ
れ卜
い―
等
(r) < ce
\/-1
+rr-r)f e;(i,
(1 + rp,,;-(u
I
I
ι
卜
い
・肝
等
A, rr)
(r -
-rr,,,
)i
i=0
<Ce
ftecause
u+I-'r>0). Let l"-rLn lr+,
rvhele r(n.,
r) > tQt, -
1,
r) r " > r(1, r).
0≦ C酬 ∈
キ.ェニ等
x-tu,,
=&*b,
Then we see
1可蔦
戸葡葛万1
χ
×
し ,→ 。一
続メVI
l gttb)1罵 b20か 1)Σ
Iら
,た
l=0
,た ,ん )(χ
１一４
1-
調一
％
Ｄ
，
３ん︶
２一
一
か
﹁
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／
︲
︲︲
︲
︲
ｘ
“間
日
い
ａ
，
ｍ，
τ
Ｉ
た
れ
機や
")(1+lκ
稀下
×Φ労(・た
―
″
￨■
マん酔
≦C8Φ 労(χ )
一χ
た
が
VI
I
T.KASUGA and R SAKAI
162
≦C8Φ 労(κ )lα 澤41(・ )И み
Q″ (・ )IV
1
ト
いぃ
× ザ」
ト
F← 勧
111h五 ≒
嵩期
ネ準
ト
[κ
ｌ
︲
ｌ
・
ｍ
﹁
の
≠ 輸昨
ｆ
ｉ﹄
κ ２
Ｆ
一
一
︲
ｒｌｌ ″
‘
η ■
無ｒ﹁
﹁＝Ｌ
︵︶ ″
﹄
一
一
﹄ κ
ｆ＋
ｉ
％一ん〆
一
ヽ
り
１
︲
ヽ
／
︲︲プ
ヽ︲
／
海
％一
一
た
２
蔵一
＞一
Ｃ
■
ｙ
ｂ
<Ce (bya>0).
一
一
為
ｂ ∈
κ ｒｌｌｌＬ
← い
︲
︲
爬ａ︵︶く一
島ぽ
亀
り知州卜 JJ Iン「 1い
ダ8導
1)
ぃ￨≧
if l■
=■
″￨<1,and￢
фy Lemma22(d),but*η =A ifいた
￨￨
二等
[χ
2中 ―輸計 +鶴 )H+「
・″
ド
赤「
卜
≦&ぃ
Ｆ
︲
ｅ
ｒ
砕
ｅ
Σ
ｈ
(寺 )2ぃ
'う
ぃれDぃ
・
(午 )2ぃ
×
「‐
・→
。
￨.ぃ
×
×
麟 Dα
(キ )2(1+￨・
..HER卜 IITE‐ FEtJER INTERPOLAT10N POLYNO∼ lIALS.…
163
ヽ
Ve def11lc
(28)
\\,hel'c lai(r,. L,
,,;, -. C( "-li
\. o,, ./
Lemrna 2.6.
r, = 1, 2, 3, ...,
(i
u:lrcre
+
n/(g)
|
I4/e slLppose
thot Q satisfies tlrc cortditioru C(v).
Let
0 < r < 1, cttcllet S e C(R). #
*,
r i)"-r-'o;''(r)E)b,,(r)l s(r)l . M{s).
;s a positiue
o), (r)Hi,)61,, (r)
con
x e R,
stant dependht.g otr,l,y ort g, tlrcn ue lrcne
I/r=1 I s(rp,, )f,*,,(r,; ,) I < CM{g)logil.,
x e R.
Proof. \Ve note (2.6). In Lemma 2.5 we may only exchange the
positive nurnber s rvith the number M(g).
Ploof of Theorem 1.4. Let the
assumption
satisfred. By (i.5) there exists a polynomial
(t
P.(r)
of Theorem 1.4 be
such
that
(- v)
+|rl)"'.,ncJr*.',,1{/$(r)li(r)_p,(r)l. r, r
e R,
(cf. [2, p. 180]). Therefore,
(1 +
lr
l)".*'1
'o;'(r)W.,p,,(r)l/(r) - p,(r) | < Ce, :r e R
(2.e)
- ::I
by (l + ir l) e < Co),(r) (see (1.a)). For rr. large enough rve see rhat
I,,(t'-'1, r,, Pr; r) = Pr(r), -t e R. By hsp,,(u; r) = h,p,,(',,; x),
o), (r)lIi)q,, (:c) [I,, (r,,
= o);(rd)14i,h,,(r)l
I
/; r:) * /(r)]
rr
I,, (,, f - P,,:.r.)* P,(x)
L
r'1
- tG)-IIrJ",t'
/,=l
s=i
1
A.,,)tL,h,,(1, v;.r)1.
J
164
T.IこヽSt」 GA
and R`SAKAI
Frolll Lellllna 2.5 and(29)it is oasy to see
Φ労(κ )T14も ″(κ )ι ァ
:(V,ノー鳥 :・ )￨く
C8, Φ労(・ )口Кb′ I(・ )l
fl(・ )一 /(χ
)￨<C8
(sec(14)).Tllerefore,it is enOtlgh to sl10w that
→
‐
ハM哺セ
い
の
剰朝凛
茎
言
。
“
By(26),
ヽ'-1
Φ
← ″
‖
←
)Σ Σがし
b)ん shc,v;⇒
=ls=1
″
)喜
`為
/・
≦
∞労)'4b∈ )Σ Σ ⇒
「
χ
←
筋れ
0)IΣ
れ
Σ(音 ) S ―
7: V-1
I耳
(・
)イ
た=ls=1
≦C(年
)Σ
Z=S
)= °
lκ
←
(2.11)
),
tr,hete
r,-l
f
{..,'l =
Is=1
,t
*;; (.r)ul)e,, (,)
I
pJ')('p,, )li;, (,r)
I
I
lr=r
Since P.(:c) is a polynomiai defined bV
/(r)
r,-1 -
.;.J
Ifq\u,,
[: )
|
* - rr,,, 1,.
ancl c, rve have
(r + i r l)c/.-rr-ro;\i (r)rai.'i7,,(rc)l rj")1x; I . C(r, e, /) <
e
a-
nhere
C(s, e,
/) is a positive
R,
s=
1.,
*,
2,..., r, -1,
constant independent of rr, (note (1.4)).
Therefore, by I-emma 2.6 we have
stF)bgλ
)≦ α
Σ←
(2.12)
.
Consequently, by (2.11) and (2.12) we obtain (2.10). Therefore, Theorem
1..1 rvas shorvn.
Norv, to plove the case of
l,
-convergence, 1 <
p < cc. \\re neecl
plepale sorne ler:rmas, rvhich are analogies of [7] in ruost of them.
to
'''
-.. HERNIITE.F}IJER INTIIRPOT"ATION POLYNOMIALS
l-elr*11it2.? (cf" [7, Letnila Z'"il)' l'et
5Zr
l
(.LJ:
l3
o (0' 2)' P u R' att'd'
, Y'
/-- '/,,,,('r)lll';f,,(tp,)(l
L/i'' t'
'ri'.. :llrr,,
165
+ ir7,,, l)-F'
;
"
'f'it e.tt.
い等
￨≦
1,
,
bg几 ,1多く
X α
}14:← )Lc(→ 卜
)≦ Cα
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叫9← )三 ←
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lχ l≦
σれ
2c.,, <
lx
,
l.
lγ l'
Pl・
l・
。
6t
)With
ln the p■ oof Of[7,Lemma 2 71,we may exchange lル b(■
イ?ll
檄,た ,→
亀″
Le■ ma2.8.Lα
be dθ
dれ 00・島rβ
ルθ
c(0,幼
,
CΦ l←
i01← b)聰 "← ;⇒
″)Σ 颯■
・ → ‖ が■
■も
(・
l rf′ :,:
￨■ ￨(1′
:
r
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il,
￨.l141(・ )I14Q(χ )「
P■ 001
等
,
1+1)
Let O<β <2.χ ∈R
‖ m)ア 1も
Dσ Φ
)'Vib"← )Σ O+Ⅲ れ
Σ←
α
1←
,←
b)疏
″χ
(■
″
″
卜ヵ
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0)￨スか
)￨れ ″
:4?← 絲
C■
≦
)Σ いい麟Dα ■
∈
),
4・
Oι
々 σ
いた
“
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嘲
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呵
劇
飢
￨い
町
,臨
刊喝
け
札
T,IC_ASUGA and R.SAKAI
166
、
vllere
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IIere、 ve sce
ｈｅｄ
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︱︱︲
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一
中は
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..HER卜 lITE‐ FEJER INTERPOLAT10N POLYNONIIALS._
167
]
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Thel・ e女 )re,by
Lenll■ a27 we have the result
Lelnnta 2)■
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ガ″P>:
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“∞ ん
7L(17)ノ lο :ご s,ル ιι
′
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20・ ,120,｀ θ
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′
,(χ )≦ Clα F41(・ )l14Qァ ,(■ )IV 1・
C`′
8>0,0<β
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7ι
72′
R slι
くと
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″ θ αSSじ濡 θ ″l配
α=1,ι んθ
,L(1_8)
な α Sθ 9“ θ しcc
2席ョ
仏
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ん,は )=0)￨・ <β α
“
V(・
Φ
)lT4b,(・ )￨ん (・ )￨<8, χ∈R,
(1・ 1・
(214)
,
7ι θれ ι
θθθ
■」
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￨)・
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C(8,7し ,ん 2)SIι 6ん
≧1.
(215)
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』 ‖ トD
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檄,ハ 2;→
知 ib← )ι η
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Proo■ By Lemllla 2 8,(2.14)and(2.15),
￨(1+い
И
;χ )￨
鳴
″)L″ (V,ん ι
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￨)△
(χ
釧い同 ■も釧
.思 α熊
IL酬
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鶴九回
1,
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等
等
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1
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l)- ^
o["
lα 7民 7(・ )L.。 2(・ )IV
Ｌ目
H∝ %お
l+1]
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×[lα ″弓t(・ )L・ 01(・ )卜 10gん
],
2%<lκ
中与 We ha碇
l≦
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l.
￨≦
乃 △
１一ρ
上
﹂陸暉
:生 )
α
一
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α
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Fα
Ｃ
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￨十いれκ
旦
9=C8α ‖
ρ
〔卜
様
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申
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<1・
T.I(ASUGA and R.SAKAI
1()8
十
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讐
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)=Cdl(1+lχ
∫
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α [α 731・
F・
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C8α Fα
△
)￨キ 1037:￨￨ム
′
く一
≦
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1
×[α :1名 ,(・ )lliQη
)IV l+11
i
71鳥 :0'490‖
レ
ホれ
Lv(平く
)
1
″
+α 1尋 20Ц 9← )Lp(与
\,
-r 'ilog
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卜
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rlt;ir,,(.':)1, (r" o,,, r)iir,r{1'1>zgo,) < cs'
tiursupll(1 + lr- i)
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i.ttclepertciettt of e ' n' ail'd' \'q"\:=1'
ru!rcre C i,s a positiue cortsta'nt
Proof. We
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T・ I(ASUGA and R.SAIGヽ I
170
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一
亀
→
←。
(2.16)
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andif r∈ 島 (R),then thiS lilllit exists a e,
Lema 211⊂ Z Lemma&鋤 .Lα l<ρ <鳴 S<1) ,S>一 :
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ア
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θ
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θ
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7じ
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ttα 7し α
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￨″ [ノ ](・ )(1+lχ DSIら (R)≦
Lelnn■ a2.12.Lθ ιv bθ
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7｀
7ι
,罰 ,飢
施
燿
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…
l)S‖ LP(R)・
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7〕 αι
οごご Assiι ″tC ι
(1.6)′ Lο ι
観
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8>0,
mStt R躍
β∈
∴
“
ι
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ι
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9″
←)=0,lχ
(1+lχ
l)α
Φ
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l≧
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α
β
",
)Lじ IV+1)(・ )19″ (χ )￨<8,χ
∈R,ん ≧1.
(2.17)
T.I【 ASl」 GA
172
and R SAIζ AI
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ι
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『
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れ
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(・ )ι ′
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/8,7ι α
ιC is αpθ ι
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7し
'と
Proo■ If v=1, then we only repeat tho lDroof Of[7,1.emi■ ia 3.4](of
course we need tO exchange'7(・ )With IIiっ (A)' SO W0 011■ it the proof for
v=1, and、 ve
prove the lelnllla∫ or v≧ 3, tilen、「e lloCe A≧ 2 b31 our
assulllption.
First,for v=1,2,3,… ,we show that
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χ
χ
χ
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χ
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2β
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鈍
(χ
(χ
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￨≦
21)(272)
(κ
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,11lerebre,we 11lay sllo、 v
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￨七たな幅
眸
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卿
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い△
)≦ C
⑭ α十△
Σl≦ C(1+￨→
hJκ 二為劇 ∼型≒非h.udt tmma2Ц 0 0 0触ば駐
By Lelnma 2.1(d),(C)and(k)Wesee
>け
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尊中
践 “
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五鷺祠け岬
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174
T KASUGA and R.SAKAI
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≦C定い
lχ
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1+lχ D≦
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lr I .
一
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二ぽ
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If△ ≧0, then as tine estiniate of):2
２
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一
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︱︱
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＜一
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一
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Σい
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″
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×
Σlq僣
く一
(1+lχ D△
Σ≦
Σ囃
だ￨>l and lχ
(by(1.6)we see α+△ >0)Let lχ ―κた
α)
2β <1)We use Lemma 2.1(c),(d),(e)and
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=C茎
ZFo,,, then rve have
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亀→0
2≦
“
(■ Ote
IIere v/c kno、 v
号;≦
△ >-1.Thereお reハ
C
INTERPOLAT10N POLYNOMIALS ..
>0
1≧ 2), △ +α
のyl」 elllllla 2.211D)and ノ
５ｄ
７ｎ
ｌ一ａ
….HERMITE… FEJER
:eSee L3-C COnsequentl,7,we obtain(218)
Therebre,金 olll(2.18)we lnay ShO、
v tlleお 1lowing:
臨
‰
α
α
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… L(…
…
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１９
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Here,we deflne a cOntinuous 3■ nction e″
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く一
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ヽ
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ｌ
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〓
Ｎ＝＝︲
︱＝＝
Let v be odcl.
和に
- rt,,)u-1(1 n 1'l)-"
Ｌ
x e,,-1(v, lt, rr.)(t
年血
れ
(・
)SatiStting
いド叩 %μ
mO<q≦
%0≦ Q
Ve rell.ark that the condition C(v+:)iS used Only in this
(see(2.7). ヽ
point.Therefore, for v=l We n■ ay asSume the conditiOn C(V).)・
Furtherlllore,for snlall enough δ >O we set
(2.20)
7ん )Vl
(α
￨
印削bO赫鵠
σ
′
ヽ
Ｌ
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%)
α
.,
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l,lχ
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Then,by I,emma2.1(e)(3)WeSee Lじ :(・ )9.(χ )∼
△
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=￨1鳥
3
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再4,(pた (χ )(pl(lt)￨
l)°
￨(1+lχ
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認撫詭観詭
立型
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T.KASUGA and R.SAKAI
1,6
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INTERP01,AT10N POLYNOⅣ lIALS.…
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厭 ⇒
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… …
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3
「
≦C{7し α
'}V ll(1+lκ
D△
×L,2(1,91;χ )■ 、
O.(・
)‖
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Lct g″ (κ )={Sigllι ″
(1,91;κ ))× IL,:(1,91;χ )lρ
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2β
、 α
″
￨≦
2β
l(И
(2.21)
)
lχ l) ρ
(χ )}′
α ,and g“ (χ )=O iflκ l>2β α
",Then,we have
,し
‖(1+lκ D△ L,I(1,91;・
)'7争
。1(χ )‖ :p《、 2β α
ι
￨≦
)
=1.p阿 Ltt C河飾0鳴ぶ→山・
By(2.20)we haVe
0敵
止L色 c嶋 0%ち凛
△
鵜嗣LoO陣
=雌
"
lllt Jド
7:
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≦ C左
尊
1鵠
認
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し
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≦し
ドbg dP(等
わ
c卜
≦C[8(α 7/アし
)V 1]ρ
)
常
△
2(1キ
4Q腱
督
ボ
,if
178
T.I{ASUGA and R.SAKAI
Theret)re,
(1キ
‖
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￨・
Z″
)△ 1'71(1'91:κ )IliFp71(■ )fρ
(κ
l≦
2β
α
″
)
V4F〉
0,91;→ 島2← )'4ち ← )α
・
キ α 降 :ルめ
92つ
Let us denOte the 7ι th partial suin Of the orthOnormal expansion of g by
S″
(g)Mre have the Lllowing estimatei
I*-r,,(i,
,pi,
; x) g,,(x)tY,?a(x)dx
=丘 ι
,91;→ S.僣々
。
)0)Ц Ъ
∈χ
″
)α
(CrthOgonality of g―
S,ι
(g)tO Πれ1)
piし輌
=Σ λ
)S″ む
)(χ b)得 auss
ヵ
″
″
quadratur→
々=1
3
′
VlΣ λ 0+lκ
≦C8← Fルの
勧
ぃ Dα
l
S′
む2)Ob)葛番″(χ b)① y
ι
た‐1
≦
&鮨れ
・
ソ∫
lilS2む
fty Lemura
")綺
2.4 and as (1 +
)ILQ″
l* i)-" -
α
ご
χ
00+lχ D
(t
.r-
,\-Z)
11%ル
鍬綺
わ‐
島X→ 阿00ロザ山
封
ボメ
(see Lemma 2.1(m))
豊鮨:ル・
ボ
∴α
静封ゃ
(Whereみ η
(∬ )=Sign(S″
飢 X⇒ 礼 0%OLЪ
(g″ )(χ )),G″
(χ
)=(1+lχ D
O山
α
葛番"(・
))
920)
,,.HER卜 IITE‐ FEJER
H∫
≦&僣わ
INTERPOLATION POLYNOMIALS.…
Lttx⇒ LO%総
179
Lち 0赦
≦
&鮨 iハ ‐
らX"0%Ъ O山
L乱し
1∫
3
=C8(α 7ル )V
1‖ (1・ lχ l)△
×‖
(1+l・
L′
10,91:χ )%・ 0:(χ )‖
κα
ちキ
l≦
2β
y
)(κ )叫 01(・ )ILpO.卜 2β α
)As″ hθ ″
2)∝
.)
Hё lder inequality).
(ァ
Therefore, we obtain
ll
(r *
i
r
l)*^
/,,,(t, ,p;,; r)%.0,,(r)
ll
, ..,p ll0 n lr
s C{aftln)'-',
ll
l, iir._1n;.r
llz.,,t1
r
l<zso,,
)
l)-^S,,@G,,)(,)fl','o,,(lc)l[.,,(ltl<2Ba,,)
3
+ O(e(o,!/rr)"-1).
Here, rve have
sup
l力
IL"(R)≦
ll(r u lr l)-^s,,(li,G,,)(r)lv,.q,,(r)
l[,,,{l*- ]<2po,,)
< c.
1
″
e can obtain this bOund.For the proof,since
In fact,using Lell111la 2.11、ヽ
we only copy the lllethod of[7,pp 257‐ 258],but We need to exchange the
weight W(χ )With lz、。ι
(・ ),We Omitit.Therefore,we have
丘
為ι ,91;→ 島 :し )叫もし )dχ 轟鮨 7ハ
・
V lF.
Consequently,by(2.21)and(2.22)we haVe(219)
Let v be etten,and we asstlllle(217)By(25)we see
LQに b)θ v 4(ヽ
IiO← b)]グ 10;χ ぃ
た
)(音
,→ ≦
)V2
≦
c(音
「
]_た
1
)v21[告
180
T. I{;\SUGA and R' SAI(;\I
Therefole, by repeaiing the methocl in the proof of (2.19) rve can
easily
shor'v
:申
哺
‰
α
た
二芦
に
鍬
Ч
川
ギ
嗣
幹
哺
セ
卿哺
メ
…
V
Consequeutly, the ploof of }emtna is complete'
Lemrna 2"13. Let the coefficien'ts
di of it ,,(v' A' n') be sotisfied
/,,\i
-1 l.
lal<cl
, r r
\0,,/
(l) In
Lemm.a 2.9 we cart rePLoce
liru sup]l(r + lr 1;^l'l',)6,,(r)
L,(r, f,,; ,r)ll1,,(R) < Cs
tl.->a
u;i,th.
Il
rim sup ll O
rr-+*-
il
.,-
t
'
'r
lIow,yo,,(.r)E L,kr,,,)/i,, (*)
I
b-t
{2) In, Lemtto 2'lO
1im sup
LL)e
jl(t + | r
L-i
if
r
c('' -
,=o
;lllr, (n) < cc'
I
-'u,,)'
I
cotL replace
1;
<
'\ltr,)q,,(r)1,,(r, Q,,; r) illr(i..
t>F,,,)
″→ ∽
κ
χ
９
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χ
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一 ↓
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１■ χ ハ
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ｍ
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．
２
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％十ｌμ ｌ
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χ
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ヽ︱︱ノ
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，
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C tfOr lχ l<β %:)・
1+1)≦
1
≦C{lα π
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χ
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稀0=麒州編続
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た,1)'
χ
1
)いれ(・ )￨≦ 8(χ ∈ R),7た
)ν %b"(・
V(・
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βα2),(1+lκ
l≧
り2(χ )=0(χ
“瀾
Ｈ甲
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“
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′
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観准 1お α 響
赫
,飢 dm‖
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28二
→ ・
押
△≧
島め″ れ
0励
‖C流
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181
_ HERMITE― FEJER INTEIIPOIJAT10N POLYNOMIALS.…
…
T.IGSUGA and R' SAIGI
i82
Hence,
il
Ik.=1irl < ce(1 * lr l)-o Ulsporr {l I 1r7,,, l)-"!trr,-'q1,,(x,,,,)}1f'q,,(r)
I .,:i,,1
P,,(.) ':
" lL(' -;- ;G;lll
l[
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Flele we see that if a>0
(1 +
ls i)-"(l * lrr,, i)-" < C
or
l'ti<max{2ir7,,,
then
1+1'2}'
by assutlptiou (1'6)' Therefore'
1
≦ Ci.卜
￨、
″
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≠Oα
a.層 ι口
1累れ￨°
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民ι
0,→
￨
1
≦Ctt α
ttLQ,(・ )民 l(χ )110g7し・
If
2
←1<)△ くO and lκ l>max{21κ た
≦ 2(χ
2), theu rve have 1 + | r
i
Therefore,
≦ Δュ
″￨)・
l― lχ た
C811■
at二￨.￨°
+ 1,
lκ
D
ttκ
￨、
10
十いた
)'4,01(χ
‰
,Dα フ
番′た
“
,(χ
)
×
￨[
≦C8(午 )`
≦ α 0(χ )鳥
ttL、
1△
ぃ
い柚)α いヽ
「
Σ
κ た
,⇒
aFヵ ″国
Ctt
1
ば
lκ
lα
7L.0は )二 2は )￨
・0
1し )￨(年
1燕 +→
「
11+いか
)aA Σ
,ヵ
￨
)・ 0
(た ■
浸￨く lrl, よ
,
h l>1+い軸D
鰤y lχ 一χ
″
O鳥 01∬ ￨げ口出
釧粥⑫
1
≦銑lα ″%,ol(χ )4ι
(χ
)l
①y(1, 6))
….HERン lITE‐ FE」 ER
INTERPOLATION POLYNOWIIALS _
183
Consequently,fl・ om Leml・na 2.10),
福→ 屯
か
引山
卜
刺
鮮婦
コ鋪
tメ輌
Proof of Theorern 1.5. We show the theoreo about only the case of
v odd number. For the case of v even number we can show it sirnilariy.
Since .t,,,(r,- 1, v, P; x) = P(r) for every P e fI,,, rve see
P(r) = Lu(, (by
147,,,(v;
exists P,
.
1, v,
lr
P; r) = .L,,(v, P; r) +
I
r,-1
P(')(r7r,,.)hrp,,(r; ,)
I
A=1 s=1
x) = lzp,,(v; r)). Flour (1.9) rve see that for any
f1,, such that
l(1 +
|
r
1;a+(v-1)1116+''I%(r){/(r)- P"}
I' t'
t > 0 there
seR
(cf.12, p. 1801), therefore, rve have
(t + l,r l)"o],-'(;x)w,:q,(r)l /(r) - p.(r) i < ce
(see
(1.4))
(for v even nuuber rve rervrite WJb,,(r) by !1|)17-,](r)). We
(1 -i
ix 1;^tr,.'4(r) tL,r(r,
f,
see
t) - f {*)}
(2.23)
ｖ
＜
χ ハ彎
鳥イ
Ｖハリ
一中臨
＋ル
⇒ ヽ
鷺
みォ
トＨマん剣
，
２
ア“
脚
ｖ
＜
為一
χ
喝
△
一
χ
＋
〓
T TCASUGA a■ dR.SAl(AI
184
ll・
vザー
み ⇒十な→イ →
L嶽 →[L″ 〈
げ
L
乳臨 d
Σ
茎
:は
=Σ ←
)+Σ ←
)+Σ ←
)・
1
2
3
Let χ[α ,bl denOte the characteristic ftinction on iα ,bl Then We set
,讐
χ
)一鳥》
9漁 )=『 ←
1,
[― 等
(κ
一
∈
)=9″ ←ん
鳥
ハ)=y(.)鳥》寺,等]})バ →
(κ
t(χ
)十
2(→
.
{1-χ l一
We note(2.23).Applying Lemmas 2.9,2 10 and 2,12,
"a
陣‖
。
フ
―
キ ((α )))く
By our assumptiOns,(1.6)‐ (1.8)nle an― P(△ 十α)≦ P(△
we have
く
%潮幕
い
が
釧
動
海ほ
。
″
a
Weestimate
By(2.6),
︱︱︱︱︱︱ｌ
χ
ｖ
い＜
説 ″燒
、″ 層
噺凛
・一吼
、
ｐ一
″
が耐
Ｃ
１缶ヽわ
〓静﹄
ホＺＨ
ヵ
中
︲
C
＋
≦
脚﹁ ■
︱
△
パ膊ば
・い
喝
︱
Ｄ
'=
Σ Ｈ〆︲
′Σ 直・
＞
Σ3
件ヤム響
卜＜
︲
叫 ′
Σ［
Σ 直円
f,t,)
-1,and
… HERMITE‐ FEJER
185
INTERPOLAT10N POLYNOMIALS.…
胎
れ
lげ
申
到
開
か
奄
×
謂
Σ囲 ―
1ヽ
′=S
′
C(午
≦
∈
)浮
(224)
),
、
vhere
口
TO=基
bO力
瘤
紳
輛
卜為
「
憾帥
(2.23)there
Since the polynolnial tt is deCided by F and 8,by(1.9)an農
exists a positive constant M (s,8,ノ
l(1+lκ
)α
Φ
L V(・
)フ%.0(χ )」
In fact,we can interpolate鳥
Iッ
)SuCh that
→ )￨≦ ハ
イ
(S,8,/),S=1,2,…
ざ
(・
(・
)at χ=1,2,… "″ ι←氾-1=deg{鳥 (χ )})by
agrange interpolation polynomial鳥
10+い
Dα
Φl「
V(κ
(χ
)=L″ 2(民 ;χ ).Then,we have
)Tttc(χ )耳ジ(民 ;χ )￨≦
M仁
Let O<β く1,and let us deflne for s=1,2,…
″)=FJ⇒
几
ε
(・
(・
)(1-χ
8,ノ
),S=1,2,… v-1.
,v-1,
⇒ 卜β
α
,β α
注
″
D,9se"(χ )=Jざ
%"β α
″
卜β
(κ
Applying Lenllla 2.13,(1),(2)and(3)toん ε
″Or
、
ve
"v-1.
9sc″
)χ
]・
(S,8,ノ )),
(set 8=ユイ
see
ＰＰ
≦
眸
0ヒ
<4,
=4,
(助
where C(v,8,/)iS a COnstant depending only on
v l.If P≦ 4,then noung手
≦
c wesee
ν (s,8)ノ ), S=1,2,…
,
186
T KAStJGA and R.SAI金
ヽ1
:≦ ぽ :回 :→ 0卸 →
宅
}師斗
開α
alld if P>4,■ len
(等 )α
by 7し
i00g→
≦θ
α寺
)。
l―
1≦
Cα テ
,2,
み:bgん
し
『
級:声 :=α 夕
l・
+2勁
1。
gん
Hence,■ om(2.24)we haVe‖
→O asん →の(byが 1≦
Σ ILノ篠 )→
F2)
“
O as屁 → ∞.Consequently,the
pr00f of theorelln is collaplete.
If、 ve
consi(ler(111)inStead of(1.9), then we obtain the case of
even v
Frolll now,we show the converse theorem
LcHnttna 2,14(cf[7,Lemllla 3 5]).Lθ ισ∈(0,3),ζ ∈(0,1-σ ), 1<
Pく ∝
771θ
｀
c θ
χjsι s
よ
ア
2θ ァ
,し
c71
c sι ι
ι
んαι
,か｀ ≧l α d
7じ
P Oノ
7ι
g,'θ θα
,tosr
ι′
ごθ
2α じ
θ
ア, こθ′
ζ
4り
l′
l "
IP Lρ 卜α
ω,α
"I]≦
Cα 7
Σ I烏
・ icP Lル %,け
ノ=71-1
′
Pr00■ ヽVe choose σ ∈ (σ ,1-σ ) Let δ∈ (0,1)be a constal■ t such
tl■
at
′
δ
σ >σ .FOr′ )1 large enough,Lelllma 2 10)(3)showS that
LQO∼ (ホ )等 ≦
蹴α●→
lχ l≦
Moreover,we can replace∼ by≦
Cxわ r all
Q枷
κ∈R(we replace TT40 by
1
″}g
α
inLelll■ la 2.1(b)(2),(3),and We also use 川 (I考ち )=α 2蹴 (LQ),then
i・￨≦
%201ち )means l■
￨≦
α
(Lc》ね mg thS tth用 =[宇
加
p取
]
… HERMITE‐ FE(IER
and uttng 2δ
″
に
2δ
l宅
INTERPOLAT10N POLYNOMIALS.…
187
ι
L]>σ ,With ttlarge enough,we have
嶺鋭 [韓)lilい
9°
04・
I」
et P have the degree
(225)
≦ζア
ι
, all(1
R← )=(等
・
)I暮
)P←
](L'0:→
′
7Lキ
If we clloose σ small e■ ough,then R has the degree≦ ξ
-1,お r7ら large enough Now,we use again the,ι
≦(ζ +σ ′
)7をく
7ι
21σ
′
ァ
イ21
tli partial
sulli of the orthonormal expansiOn S′ :(ハ fOr tt lf We use the Christoffel_
Darbouxお rmula thatお r/on R,for whiё hルy∈ ム(R),then We have
S′
,(/)(・
)=ら ,1{昇 2(・ )〃
レ
弓
!_1/И 4ち
](・ )-4ι
l(χ )∬ [民 2β ttЪ
rvhcre 11 clenotes the Firlbert transform defined
lepresentation we have
](・ )},
in (2.16). By
this
-R(:r)=S,,(F)(r)=1r,,{P,,(r)ff[.EP,r-11,42A](rc)-P,,-r(r)I1[fi4,I'1,i2a](r).
By Lemma 2.1(rl), rve obtain, for
lr
I S oo,,,
Itt
lfi(r)i(q(.,;)l < c"V l,irulaey,?ll(,)
i=rt
If
I
-1
that 11 is a boundecl operator frorn
(the
irr(R)
special case S = s = 0 of Leurma 2.11). So rve
ir,e use Ri.esz's Theorem, then lve see
l/r(R) to
obtain
1rt
il fiH',0,,
<
"\r.,,(l-oo,,oo,,h
.,,
c*T
lli
j=rt-l
lre:'e rve also u-sed Lemma 2.1(a)
rpv,?a,,8
lllr,{[-n,,,n,)),
{2'2s)
for the weight l4f.q, and we
used
188
I」 ell11■
T.KASUGA and R SAKAI
=0.Now,(225)shoWS that
a21(m)in a neighborhood at■
回醐[f蹴￨,Alr'
then using(2.26)and Lemllla 2.1(lll)again we have the lelllma.
Proof of Theorel■■1.6.Let v=1,3,5,…
.ヽ Ve
repeat the line of 17,
prOof of the necessary conditions of Theorem 1 3]Let ζ(■ )be an eVen
cOntinuous function,that is,decreasing in iO,∽ ),With
1
は)≧
ζ
併万
10g(2+lκ
0こ
O)=°
1規 ζ
Rゝ
'
Let us deflne t、 vo spaces.Xこ onsists of all continuous ftlnctions satistying
+皇
‖メ lx=lζ l(・ )(1+lχ
Dα
号
L叫
も(χ )/(χ )ILの (R)<∞
'
γ
and y consists of all lneasurable ftlnctions satisち ing
y=‖ (1+lχ
′‖
‖
D △ 114る
(・
)′ (χ )‖ Lρ
(R)<∞ ・
For each′ ∈X,(1・ 9)iS Satlsfled,so our hypothesis ensures that
lim l L″
(V,F)一
κ→ ∝
ノly=0
Since X is a Banach sbace,by the uniお rm boundedness principle there
exists C>O Such that for蔵 =1,2)3,..り and eVery′ ∈X,
L,I(V,ノ )―
‖
CIIメ
lx
(0)We haVe■ (v,/;χ )=O fOr every′
From L(V,/;0)=′
f(0)=0,SO that‖
/117≦
ノly≦
C‖ f‖
∈
C(R)with
. COnSequently,we obtain
L″ (V)/)ly≦
‖
C‖
/1x,
that is,
(1+lχ
‖
1(κ
≦Cl ζ
D △ Iに
も
(χ
)ι (V,′ :χ )‖
+皇
)(1+II Dα
“
号
Lフ
ん
P(R)
鴫も(χ )√ (χ )‖ L∞ (R)く ∞・
(2.27)
.I11]ItAflffl」
1_Jet O<8 1)es〕■a]l
‐
Fl:(lEit INTEIt「
cllol■ 11,alld l、
such that J"← )=→ :■
Iご ,i llI=￨に
8マ
)(1‐
い
lJヽ
T10N POLYNOⅣ IIALS.…
189
it tls collSider the function g“ ∈ C(R)
″)iJi-1[)(年
+111)ユ
￨)°
)∞),and
;:ib(・ )ご 7](・
)‖
亀(R)=1'
■
び
級イ(:)1キ )
与≦
andお r一
(1(・
1(・
■
:〕
)(111・ル
″
た
“
+豊
)・
L.%(、
寸
)g″
た
″
(・
b)Sign{島 (χ れ)}=1・
(2.28)
Then fbr、 :21,We ll■ ve
(r,
p',,
; .t) i
“
い
′
ヽ
．
”
i 1,,
.',
g″
(χ
たァ
i)
:)(1:￨))
]VΣ 伯朝鮮
腑
X[
(229)
licre we sll,w that,for、 ′≧ l andァしlarge enOugh,
H・
Oη
← ≧
い繊可
寺 }… Σ豪… 収聯爛
κ
nχ ―
hね軋udng the exp螂お
b=仁紛
等 ,た =La… wh∝
SInan enough,、 ve see that for χ
晟∈
O<δ お
[-8%,一 (:)(年 ))and
e
1← ee Lemma 210).TherebrQ we have
≧
1,1屯紛
≧
χ
1準セκ
￨【
κ
,た )￨≧
(:)(音 )
(2.31)
一
一
コェー
Ｊ︺
︱ノ
＜一
ｅ
＞一
一
ｈｓ，
ｔ
ｉ
つｌ
ｔ
︲
﹄
熙
＞
・
＞
・
Ｔ
翻
(b;, (2.28))
- ,t,,)-1
* ((:rr,,,){,
… HERIJITE‐ FE」 ER
191
1
INTERPOLAT10N POLYNOⅣ IIALS.…
工
御十かD← 拌
Σ
≧C低 (α ′
鶏!(・ )IV
1)lα ″
}
lχ
れ呵担(:)(午 ))
8″
×←―χ
_1,′ :
)1(χ た
″
た
→
1,7:)(by Lemma 2.1(c))
｀た
・
字
≧
陶
Щ
%X就
曇雫
1
0だ
鋤 1抑
}
f卜
)]α ι
κλtt ι
十
¶洗
→
計
1錨
So.
(V,ご ′
:;■ )￨
ι
lι ′
L>1,
壁
α 十
刈哺
.1二三 l=L
α
モ
ニ
長要
1中
10g(1+min(1:十Ъχ
l・
α書》
,け
)),
￨
+壁
{mm(等
,χ
)}く
ly三
二
壼
lく
二
三
¨ 槙
醐1
≧
∝鋪ぃ
}鳥韓
卜《宇》
where
1,
(2.32)
mtPけ早義
Otherwise
The last inecluality is obtainecl by considering l
I≦
2α ,:,(that
≦κ ≦
等
ancl 琴
re see that
is,I∼ α′
`)Separately,Since by(2.27)ヽ
L2(V,g″
‖
)‖
1′
≦C‖
g,,‖
x≦
C,
<
192
SIJGA al■ dIヽ .SAI(Al
T,IGゝ
wO have,by(232),
C≧ ￨(1+lκ
D △ I14b′
,(・ )L″
≧←い￨(DI△
Cζ
+く
"洲
(V,」
がκ ち,(1,2α ")
)‖
+響 →
α
*し
:orlog← 》′
れ9。弓
(2け
}lα
(2.33)
Since by Lell■ na21(d)We
牌」
have
針
《学
Jf卜
》
lα }:惰
Qo鳥 o円
∝げ
屹脚』
≦Q
the inequalities(233)imply ttat
+《け
C≧ 頃%測口
J「
卜
学
)》
lα
}叫 90鳥
o削ら綺
げ
針
(2.34)
Nou,, by the definition of
C{10gん )ザ
芳
α
≧
((r:) we see that t'i'om (2'34)'
+((α
}‖ (1キ lχ
){△
キ
装■
))}￨.4.。
,(.)32(χ )r‖ Lρ
) C'
← ″
2α
",2α
that is,
1
1
c{1ogii}za' >o,! t(1+lrl)
,.11,*(v-'t)rr\\)7t'
G
'- \\*
lli
ll4iq,,(r)P,,(r)llll,,,(-2,,,,,2o,,)'
(2.35)
F2r, be the polyno,rial of Lemrna 2'3 of d'egree
Non,,
let
o(ri,)
suchthatfor
鳥
%0-ll―
We obtain,fl・
ol■
jx]<
O{<1,,
1og(o,,)} =
2o,,,
―
劉∼
中学》μ
卜
ン
》
"宇
《
卜
1刺
「
Iノ
l(2.35),
.0啄 ←2デげ
C00g耕余 ≧α
}丸 ‖L90為 0亀 α
J=rl -1
IIAl」 S
INTERPOLAT10N POLYNOヽ′
… HER]ノlITE‐ FEJER
1n Lenlnla 2.14,setting σ=を
198
Fe have
ζ=を , ヽ
Ｌ
χ
″一
２
”〓一
，
３．
”
＞一
Ｃ
ｇ
０
Ｃ
初
・一
ancl
…
VL4α
酔
宇》
ン
《
≧
ボ罫
中■
α
ダ
彗
^it; l^.((".qL)))l
ull
+土生
―
△ く
券
((α
墜 1)),
ず
1
≧ C×
{Iog ru}}in,
△
1,
△
=去
十全
―
((α
>÷
+立
―
((α
L)),
長夢
L))・
長事
Howevell, tl■ ese inequalities can occur to o■ ly the last one, that is,
△
>券
―
((rJ +土
for l 生 We return to(2.32),that iS,
V
協 :臨鴻
pに QHα ::鳥 0浄
《針
学
》鯨瑚 *。
First,by Lemma 2.1(a)and(1)We sOe that hr O<Kく
ll
I{i o,,(r)P,, (r)
ilz,r,{*n, .2ou)
崎
音slllall enough,
- ll i{i p,, (r)F. (r) llrr,(n)'
Thelefore, by (2.36) and Lemtra 2,1fi) rve have
C > il (1 *
≧∝ 飢
I
, lfaH',.'a ,,(*)Lu(i,, 6,, i ;) iiir,1*.,,,,znu)
>}蠣
+《
←
…
1宇
淋卓%。》
￢%。
鳥り陀PI嘱哺
194
T ItASUGA and R SAKAI
+《。1生
≧ θζ←
拌
">}←
[ガ
)》 η誉
,。 gOl狩
Ofη
*・
Therebre,wc see that
hm sup
上￨,,メト
井 ι
←
】∞ 030
α
}(麟
=」
]里
)0。 g←
*く
7,→ ∽
噺琳J
In fact f there e五 sts a sequence争
鴫
=α
計
Such that
修学羽7L十囀回ぽ →鳴 ‖→吼
then we call set
l
ξ
(%1)=maxIⅣ 戸)'Og◆ ち
"り
l
万
■
はOteれ η≦Cθ ″
]
),
=L then
α
tt St手 ■
∝
【
△い
)=。
詩井
》
几
α
メ早→
(轟万
and ths∞ nむ aと S23つ .Con∞ quentt f
+《
)
me ieお
A五 iOn隠
・
朝〉■
…
飩
We htteは叫
』
α■
⊇
鍵・
≠ 1,then(238)ilnplies tllat
―)=。け
α・羽
卜
き
←
《
′
し
αよ
+豊
1生
;午
}￨〔
Therebre,we have(113).TheSe cOmplete the theorel13.
PrOof of Corollary l.7. Let v=3,5,7)… , alld
α >l
Then the
C01161itiOn (1.6)or(17)is equiValent to the condition (1 12)or(113)
Consequently,the corollary fo1lo、
7s
3.Laguerre‐ typeヽ Veights
ln
R・
this
Section
we (〕 Onsider
the
Laguerre‐ typc
Weights
On
=10,∞ ),VVe can obtair analogous results corl.espondillg to the
IITE― FEJER
.IIER〕ャ
INTERPOLAT10N POI」 YNOPvIIALS.…
195
Freud‐ type weights oll R=(― ∞,∞ ).Ⅵ re Only introduce the results,thel〕
we on■ it the pr00L
Let R:R十二 [0,→ → R=(¨ ∞,∞ )be nonnegative and continuous,
Pち R″ be cOilt11■ tiOuS,質
「
′
(κ
)>O in(0,∽ ),and let R″ be nonnegative
urtherillore,lct tl■ e folloMFing conditioll lle satisflell.For constal■
ts A,3
we assume thatお rχ c(0,∞ ),
Ｑυ
撃<A≦ 躊 l―
ヽ
Ve consider the Laguerre― type weights
ヽRO=ぬ
X―
Цう,だ >― ),χ ≧0
ials{P′ ,(・ )=P′ 2(И う
Then wc construct the orthOnormal p01ynol■ ■
ち:χ ))r=0
∈Π〃with
respect to the weight LЪ
(■ ):
,j'′ =0,1,2,…
事にお)LЪ κを
∬3(Ц Ъ
;χ
)P′
E叩ぬ皿ュ fwe pt RO=者
瑚:(χ ).If we set o(ι
(χ
)ご
=δ
‖ hen we ha鴻血 e LaguttК
)=R(κ ),χ
=ι
2,and Q(ι
pdynom通
)iS eVen,then we obtain
1
α
鶴鋼
bQ勧
わ
0鸞
(ι
)=2κ
2R4(.)
贈
懺
絆
=2智
.■ m血
ヽ曖
have
黎一
… ィ≦
Tl■ ereFiDre,On
R=(― ∞,∞ ),
叫0(ι )=lι
r exp(Q(ι )),
デ>― ;,ι CR
(32)
196
T.IICASUGA alld R,SAIGゝ
おa"n釘轟麓dF“ uttpe
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WdgL.Let r>:The ttthon… 嵐
pOけ nOmlalsュ :04%;⇒ are transお Hued
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凛=員ら島
←澤
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←←Ъ
ノ
)島
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,ω
Hence,we can study thc propertics of P,,(11:Ъ
」b″
(西
see
j+:,。
zeros of ρ
;ι
"(・
)・
We SOe
ρ
"(IIう
;・ )using
ち ‐ )=fb,:(千 1ダ
十 ,C;′
七
.
the polynOmials
)'χ =ι
2.Let the
)be denoted by O<χ ″,1く ■,1_1,′ lく … <χ 17'<∞・
1)(R・
Now,we add the assumptionお rR(・ ),Let R(■ )cC(V‐
),where
v is a positive integer,and let the follo、
≦二
眺
鼎
/ing conditions be satisfledi
…・
妙 Ч ⇒ れ
鼻
→
③
…
where B* is a positive constant,If v=1, then we assume(3.1),and if
v≧ 2 we ass、 lme(3.1)and(33).Thel■
We say that R(χ )Satisfles the
colldition C(v)ヽ Ve obtaill the bllowingi Let O(ι
)=R(χ ),X=ι
see that there is a positive constant B such that for J≧
2.Then we
2,
に鼎
同
岬
…
… …
If Q(ι
(34)
)SatiSies(3.2)and(3.4),we say that Q(ι )Satisies the condition
C(V).
In[41 we studied the basic properties of orthonormal polynomials
Ъ;χ )).We can deine v‐ order Hermite― F● 6r interpolation
;χ )as
poly■ omial L″ (v,ノ :χ )∈ Π l baSed at zero{χ た}#_1 0f p″ (1ち Ъ
{p“
(Ц
v″
7′
７ｏ
ｈ
９ヽ
一ｅ
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，
︲
′
、
．０
Ｎ
ｌ
・ａ
Ｏｈ
ＣＭ
We see for' g > 0
lr. I
o,,(r,: .r)-]l
'
l\
L
x2'{3o2,,
, i,
(]..,,, i
|.=
r
"
e R-.
We harre the fo-llorving analogous theorems colresponding Theot:erns
1.4-1.6 and Corollaly 1.7. We omit the proofs of theorems, lVe rnay repeat
the methods in Sections 1, 2 ftut more complicated).
Theorern 3.i. Let tt =2,4,6,..., u 2 0, attdlet 0 < t < l. For
fitnct,iort
/ e C(R-)
lill■
お→ ∽
euery
sutisfyi,ttg
(1+χ
:)α
十
〔)lτ 。
″
1+き
(V;χ )口 lh(κ )1/(χ )￨=0,
tue lt,uue
lim‖
(1+・ 2)60″ (v;・ )li:い (・ ){L″
(V,ノ ;χ )― /(・ )}L∞ (R+)=°
″→ ∞
・
c.ild AeR. We
sllppose th,at Q sotislies tl'te cortclitiott, C(r) if ,:1,3,5,..., attd Q
sc,tisfiestlr.ecottditi,ort C(,,, +L) if v = 2,4,6, .... Asstunethat
Theorerrr 3.2, Let rr=1,2,3,..., 1(p(€,cx>0,
△>i一り
ifl<p<a/v(v<4),(3.5)
+α
,
３３
(1),几
の η
+《
．
／４一ｖ
４一
:(V去 )=。
→∞ ifu*1,p>
α
卵仏ゆλ
α
→鳴ヴ
α
α
〒
Lρ >
身体L:(Vl)=。 (釜 π
)ん
T.KASUGA alld R SAKAI
198
Thett,
f e C(R') sczrlis/yirrg
ior euerT'fu;r,ctiort
I ,,(r'-1),r
*1)" '- 6 o,,(r'; .r)ili)r.("'i)t')i/(r)i = 0.
,
..11*(,
u
(38)
ute ltctue
pl△
‐
←)μ ″
Q!位 ⇒叫ゝ
僣,ハ・)ズ χ
》L″ ぽ)=0・
1雲￨￨+・
Theoren■ 3.3.Lθ ι
v=l
'θ
, 1<p<∞
, α,Lご
>0,
α
ι
υθsι ィ
′αιQ sα ιjS″ θs ιたC607しごj`jο ′
し C(1), t‐r7ι ご
クρOSC ι
j′
1′
SゃPOSθ
こ
と
′=1,3,5,…
、
(3.9),ι
`CC7し
`O Sα
v=1『
ιごお
ιι
S″ cs ι′
ι
ιんα
jι
/i97'θ υθア
ッル
α
し
CFi07し
Jθ
7ι
C(V■
△ ∈
cC(R・ )Sα
j7ι
1)
/CC(R+)sα
ι:Sル j,ば (3.8)と υθ ア
Lα υC
g(3.8)ω θ んαυθ (3.9),ι んθ
7し
'C′
`jSル
>子 ―
+早》
△
α
《
/iD,｀
θυ
θ
ッ
Lα じθ
“
ヴ
,
1<P≦
__+
(V<4),
≠
,
６
-:)
\rogrr/
一
= of
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勒一
〇一
"宇羽′
→=α 蜘 →鳴ヴ
α
メ‐
α
十
i← 《
z /. ll (v_t)rr\\'r if. 4)
,,;. ,'"\\"* o llJ,, ot''-];,
R.動 ′
V=3,5,7,…
・(3.6)ο ,'(37).Zθ ιV=3,5,7,… .,軍
′
力37L14/θ 力
αυθ(3.5)ο ′
ル几6ι Fο /L′
得0
1)ρ
>■
V
,
.n,,/ .* +!:_1)n :1, p r:
Corollary 3.4.Let r,=1,3,5,..., 1<p< rn, cutd, a>0, Ae R. f
v = L we sllppose tltot R sotisfies th.e conditioru C(1), and, if v = 3, b,
7, ...
Lue
su,ppose thctt
R satisfies tlte cottditiorr. C(v + 1).
Let v = 1, 1 0. flor'(3.9)ro lr,oLdf'oreuery
satisfyittg (3.8),
i, is tr.ecessary
f
e C(R)
oncl sufficierfi tlrct (3.5) or (3.6) or (3.7) is
tt'u,e.
= 3,5,7, ..., l. < /,r < t:, entl s. > 1. For' (3.9) to ltold for eueryt
e C(R) satisf'ying (3.8), ,, is ruecessary and sufficien,t, tlmt the follou-tirtg
Let
/
are
tru,e'.
,.,
... I{I]RI4ITtr-FEJER INTERPOI,ATION I']OLYN"ON,IIALS
.
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...
199
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i[1P 1 l(.,''l
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一
ｌ一
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一
２一ρ ″
α
References
[11
｀「C Batllモ lry,Estinlatcs of Christol■
ty :、
ppro、 Theory 46(198(ヽ ),217‐
l ltincliolls of｀
gonoralizc(l Ftetl(1‐
type、 'cights,
229
[2] Z Ditziakl al、 cl V Totil,,]Io(luli of 311loothiless,Sl)linger Serios in Collll)utati01lol
7crlag,13erlill,1987
llathenlatics!ヽ ol.9,Sl)ritlger‐ ヽ
[3]T Kastlga alld R Saliai, Orthollornlal I,ol)・
53
ゝ
、.cights,J ′
1)})■ ox 71lheOry 121(2003),13‐
1loll'ialsわ r genoralize(l Frc、
ld‐
typc
[`1] T I(asuga all(l R Sakai, Ortl、 onorinal l〕 ol卜 ●lolniais lbl' genoralizod Fro、 1(1‐ t卜 '1)e
Fei6r illterllol〔 ttion l,olynolllials, J Al)1)rO｀
、
veigl)ts all(1 1ligher order IIerinite―
Tlloory 127(2004),1-38
[う
]T ICasuga allcl R Sakai,Ortllollorinal pOlyllolnialsね
East J 卜iath Sci(「」■lS)15(2004),95‐ 10う
r Laguorre‐ tyI)e、 veights,「 ar
[6] A Iン 1」 evill aild D S Ltibinsk卜 ',Christoffel ftlnctions,ortllog。 1lal polyn01nials and
Nevai's collCCttlre br Fretld weigllts,Collstr Approx 8(1992),463‐ 535
171 1〕
S Lubillsk卜 ′and
D卜 f
Mattila,Necossary alld sufilcient conditiol)sお ■11lea
n
COllVOrgence of Lagrallgo interpolation ior Frellcl、 voigllts, SIハユ[J ],Iatll Alla1 26
(1995),238-262
18]P Ncvai,()iヽ thogollal polynolllials,liom Amer Math Soc 213(1979),1‐ 185
[9] 1'Nevai alld G6za Freud,Orthogollal l)olyllolnials alld Cllristogel fttnctiolls,a casc
stud卜 ,,tア「ゝ
llllrO｀ 1lhoory 48(1986),3‐ 167
Departl■ Dont of Mathematics
Kulnallloto iゞ atlo■ al College of Tecllnology
Nishigohshi.machi
l(ikuchi‐ glln,I(ulllall■ oto 861‐ 1102,」
e‐
lllail:qc16k6yv9@sage ocn ne.jp
Hukallli 675,Ichiba‐ cho
Toyota‐ city,Aiclli 470‐ 0574,」 apan
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lllaili [email protected] jp
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