【ベクトル解析】
1 内積，外積
1.1 3 重積
スカラー３重積：A(B ×C) = B(C ×A) = C(A×B)
３つのベクトルが作る平行六面体の体積が変わらないことからも明らかである。
ベクトル３重積：A× (B ×C) = (A・C) ×B − (A・B) ×C
1.2 ベクトルの微分
A(t), B(t) としたときに次の積の微分を考える。
内積の微分
d
dA
dB
(A・B) =
・B + A・
dt
dt
dt
外積の微分
d
dA
dB
(A×B) =
×B + A×
dt
dt
dt
2 ナブラ演算子
2.0.1 グラディエント（勾配）
ナブラ演算子
(
∇=
∂ ∂ ∂
,
,
∂x ∂x ∂x
)
とすると，関数 U (x, y, z) として，グラディエント (勾配) を次のように定義する。
(
∆U = gradU =
∂U ∂U ∂U
,
,
∂x ∂y ∂z
)
2.0.2 ダイバージェンス（発散）
ナブラ演算子と A との内積をとったものを ダイバージェンス（発散）と定義する。
(
∆・A = divA =
∂Ax
∂Ay
∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
)
2.0.3 ローテーション（回転）
ナブラ演算子と A との外積をとったものを ローテーション（回転）と定義する。
(
∇ ×A = rotA =
∂Az
∂Ay ∂Ax
∂Az ∂Ay
∂Ax
−
,
−
，
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
2.0.4 ラプラシアン
ナブラ演算子を２回内積したものを ラプラシアンと定義する。
∆ ≡ ∇・∇ = divgrad =
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
2.1 grad,div,rot の公式
次の５パターン存在する。
① graddivA 複雑になるので公式にはならない。
② divgradA = ∇・∇A = ∆A
③ divrotA = 0
④ rotgradA = 0
⑤ rotrotA = graddivA − ∆A
)