試験1解答（修正版）

有限要素法
試験 1
図のように剛体壁に固定された半径 r の丸棒が力 F=314 N で圧縮されながら、ねじりモーメント WL=314
N・mm でねじられている。場所 Q には下図のように二つのひずみゲージ a, b が取り付けられている。
ここで、丸棒のヤング率を 200GPa, ポアソン比を 0.3, r=1 mm とする。
※ねじりの応力の式
τ max =
p
Tr
、 I p = r 4 を使っても良い。
, (T :トルク、I ：断面極二次モーメン
ト）
p
2
Ip
※横弾性係数は
G=
E
2(1 + ν )
１）ひずみゲージ a と b のひずみの値を求めよ。
２）場所 Q の主応力、ミーゼス相当応力を求めよ。ルートは無理に開かなくても良い。
y
x
W
Q
z
r
L
F
W
Q の拡大図
x
z
年生
所属
学生証番号
受験日
氏名
／
合格・不合格
解答）
１）
A=π、Ip=π/2 より、 σ x = −100 MPa , τ xz = 200 MPa
よって、ひずみゲージ a の値は
ε x = σ x / E = -100 MPa/200 GPa = -0.5 × 10 -3 ※ひずみの単位は無次元です。
ε y = -ν
ε z = -ν
σx
= -0.3 × -100 MPa/200 GPa = 0.15 × 10 -3
E
σx
= -0.3 × -100 MPa/200 GPa = 0.15 × 10 -3
E
ε xz = 200 MPa/200 GPa × 2(1 + 0.3)/2 = 1.3 ×10-3 （工学ひずみ γ xz = 2ε xz = 2.6 × 10-3 ）
座標変換の式より（材料力学 web ノート ver. 2.1 式(7.23)参照）
e1 = (1 0
0 ),
e3 = (0
0
− 1)
2
(1 0 1), e3 ' = 2 (1 0 − 1)
2
2
 σ x ' τ xz '  e1 '⋅e1 e1 '⋅e3  σ x τ xz  e1 ⋅ e1 ' e1 ⋅ e3 ' 
 

 = 


τ xz ' σ z '  e3 '⋅e1 e3 '⋅e3 τ xz σ z  e3 ⋅ e1 ' e3 ⋅ e3 '
e1 ' =
=
2
2
1 − 1 − 100 200 2  1 1
1 1   200
0  2 − 1 1

)')
(
( )
)'))
(

)')
σ kl
Pik
− 250
=
 − 50
− 50
150 
PljT
MPa
※注意上式より、これは-45°の回転に相当する。これは、図中の z 軸が下を向いているため、反時
計回りが負になるためである。
ひずみは、
εx'=
εz '=
σx'
−ν
σz'
−ν
σx'
σz'
−ν
E
σz'
E
ε y ' = −ν
γ xz ' =
τ xz '
G
E
E
E
=−
=
6
1
(250 − 0.3 × 150) × 106 = − 295 × 109 = −1.475 × 10−3
E
200 × 10
=
6
1
(150 + 0.3 × 250) × 106 = 225 × 109 = 1.125 × 10−3
200 × 10
E
σx'
E
=−
(ひずみゲージ b の値)
6
0.3
(150 − 250) × 106 = 30 × 10 9 = 0.15 × 10−3
E
200 × 10
130 × 106
2(1 + 0.3)
50 × 106 = −
= −0.65 × 10 −3 （工学ひずみ）
9
200 × 10
E
ひずみテンソルは ε xz ' = γ xz ' / 2 = −0.325 × 10
−3
※ひずみの座標変換は以下のような式になる（工学ひずみとひずみテンソルの違いに注意）
 ε x ' ε xz ' 
2 1 − 1 − 0.5 1.3  2  1 1 1  − 2.95 − 0.65   − 1.475 − 0.325 

 =




 = 
 = 

 ε xz ' ε z '  2 1 1  1.3 0.15  2  − 1 1 2  − 0.65 2.25   − 0.325 1.125 
２）主応力
2
2
σ 1  σ 11 + σ 33
− 100
 σ 11 − σ 33 
 − 100 
2
=
±
σ
+
=
±
+ 200 2





13
σ2
2
2
2
 2 


 −1
= −50 ± 100   + 4 = −50 ± 50 1 + 16 = −50 ± 50 17 MPa
 2 
2
ミーゼス相当応力
s Mises =
=
{
} (
)
{
} (
1
(s 11 − s 22 )2 + (s 22 − s 33 )2 + (s 11 − s 33 )2 + 3 τ 122 + τ 232 + τ 132 = 1 (− 100)2 + (− 100)2 + 3 200 2
2
2
(100)2 + 3(200 2 ) = 100
1 + 12 = 100 13 MPa
)

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