熱力学基礎 Thermodynamics 2014 （第２回）
９月２９日（月）
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エネルギーを媒介するもの
物質に対するエネルギーの流れとは，対象としている物質とそれを取り巻く環境（外界）の間のエネルギー
のやりとりである。ここでやりとりに使われるエネルギーの形態は本講義では熱と仕事に限定する。今回は
熱についてしっかり理解する。
応用
G=H-TS
物質の温度と熱の関係
物質は分子や原子で構成されており，それぞれが，並進運動，回転運動，振動運動をしている。これらの運
動エネルギーはトータルとして物質の内部エネルギーUとしてカウントされ，一般的にそのエネルギーとそ
の物体の温度Tには正の相関がある。外界から熱が与えられると，内部エネルギーが増加し，温度が上昇す
る。その上昇の仕方は物質によって異なっていて，物質の持つ運動エネルギーの種類（受け入れ先）が多い
ほど温度は上昇しにくくなる。この温度上昇のし難さは比熱とよばれ、物質に固有の値（物性値）である。
(熱量) = (比熱) (温度変化)
ΔQ = C ΔT
H
S
Q. W
不可逆
1st
2nd
C：比熱(熱容量) 物質の温まりにくさ，冷めにくさをしめす。 Δ：差を示す。
気体の比熱
例えば，単原子分子
２原子分子
２つの回転運動
状態の変化
温度上昇，体積増加
外界から熱
を与える
単原子分子では
並進運動のみ
１つの振動運動
速度エネルギーが増加
エネルギー等分配の法則
１つの原子，分子に対して１つの自由度に
等量のエネルギーが分配される。
２つのエネルギー
1
kT
2 B
並進
１原子分子(He, Ne, Arなど)
回転
3
２原子分子(H2, O2, N2など) €
3
1
kT
2 B
振動
0
€
2
0
€
kB T
€
1
N A ：アボガドロ定数
kB N A = R １molの
U = €3 RT
2
U = 7 RT
2
温度を上昇させるために自由度に比例する分のエネルギーが必要になると考える。気体
€
分子の運動や振動のエネルギーはそのすべてを包括して，内部エネルギー, Uとする。
原子や分子などの小さい粒子に対しては，大量数の粒子
に対する分布とその平均値で考える(統計力学の入口)。
Maxwell-Boltzmann 分布
(速度がv∼v+dvの範囲にある分子の個数)/(全粒子数)
3/2
€
分子運動論より
並進の自由度３に対して€
3R
定積比熱
CV = 3 R
2
CV = 7 R
2
１molの
定圧比熱
CP = 5 R
2
CP = 9 R
2
€
€
R ：気体定数＝8.31
J/K mol
1
mv 2€= 3 k B T
2
2
€
１つの自由度
1
2
kBT
速度vの粒子の存在確率は温度に依存し，遅い粒子から速い粒
子まで広範囲に分布する
€
€
! m $
! mv 2 $ 2
N(v)dv
8k B T
平均速度は v a =
F(v)dv =
= 4π #
exp
&
#−
& v dv
N
πm
" 2 π k BT %
" 2kBT % v 2 = v 2 + v 2 + v 2
x
y
z
固体の比熱
２原子分子で
は並進運動に
加えて、回転
運動、振動運
動がカウント
される。
３方向の
並進運動
Dulong-Petit の法則(CV=3R)
あまり差がない
ので，等分配則
に正当性がある
v=
3k B T
m
Debye比熱を簡単に表現
物質 Debye温度θD

3x 
90
CV = 3R 4D(x D ) − xD D€  T >> θ D CV → 3R
€ Pb


3
e
−1
Ag
213
€
CV
12π 4 R  T  Al
€
389
3 xD x 3
θD
T
<<
θ
C
=
 
D
V
D(x D ) = 3 ∫ 0 x dx
Diamond
1890
5
θ


D
Debye比熱
e −1
xD
電子比熱
3
€
T
C
∝
T
€
C
xD =
€V ∝ T
€V
液体の比熱
液体は固体に近い
θD
€
€ 0
€ θD
温度，T
€
€
€
物質の比熱を表す式
配布資料１
温度の依存性は多項式で近似
€
CP = a + bT + cT −2 + dT 2
€ データブック等から物質の比熱を引用する。この場合，後出の定圧比熱が主流である
€
 E 
€
€
問題２* 左に示すボルツマン分布を用いて速度に対する速度エネルギーの存在確率を
I(E) ∝ exp−

導出して Maxwell-Boltzmann分布(配布資料2）を導きましょう。
 kB T 
Ａ
€
問題３ 600Kのヘリウムガス(単原子分子)１molを容器に密封して7kJの熱を与えました。温度は何度になるで
hν
θD = D
kB
θD
しょうか。
問題４温度800Kの物体Ａ(1mol）を温度1100Kの熱源に接触させました。物体Ａの温度は最終的に熱源と同
€
じ温度になります。物体Ａの比熱はDulong-Petitの法則に従うとして，熱源から物体Ａに移動した熱量を計算
して下さい。
熱
熱源 1100K
注意！本講義で登場する熱源とは，無尽蔵に熱を蓄えていて，熱の出入りがあっても温度が変化しない仮想的な物体です。