群行列式の既約分解の群環版

群行列式の既約分解の群環版
九州大学大学院数理学府山口尚哉 (Naoya YAMAGUCHI)
[email protected]
はじめに
1
群行列式の既約分解を非自明に群環上に拡張した. また, これにより群行列
式の新しい因数分解を得た. 本稿ではこれを説明する. ただし群は, 有限アー
ベル群か二面体群, 一般四元数群のいずれかとする. 群行列式 Θ(G) は有限群
G の元 g に対して用意された不定元 xg に関する行列の行列式である. この群
行列式の既約分解を Frobenius は次のように与えた.
b を有限群 G の既約なユニタリ表現の同値類の
Theorem 1 (Frobenius). G
代表元の完全集合とすると, 次が成り立つ.
Θ(G) =
∏

det 
b
ϕ∈G
∑
deg ϕ
ϕ(g)xg 
.
g∈G
本稿の結果は, この定理をいくつかの群 G についてその群環 CG に非自明
に拡張し, 群行列式の新しい因数分解を得たものである.
1.1
アーベル群における結果
まず G が有限アーベル群の場合の結果が次である. ただし, C[xg ] を不定元
xg から成る多項式環とする.
Theorem 2. G を有限アーベル群, H を G の部分群, e を G の単位元とす
ると,
Θ(G)e =
∏ ∑
χ(g)Ag g
b g∈H
χ∈H
となる Ag ∈ C[xg ] が存在する. 特に H = G のとき, Ag = xg ととれる.
{∑
}
CG[xg ] =
g∈G Ag g | Ag ∈ C[xg ] とする (この集合は C[xg ]G と書く
方が適切かもしれないが, 今回は CG[xg ] を採用する). この Theorem 2 は
Theorem 1 より強い. 実際, H = G として, CG[xg ] から C[xg ] への C[xg ] 代
数写像 (これは CG から C への C 代数写像の拡大とみれる) で, 任意の g ∈ G
1
をすべて 1 に写す写像 F を考えれば, Theorem 1 は Theorem 2 から得られ
る. また Theorem 2 から次のような CG の可逆元の逆元の公式を得る.
Corollary 3. G を有限アーベル群, χ1 を G の自明表現とする. Θ(G) 6= 0
ならば,

−1


∑
∏
∑
1


xg g  =
χ(g)xg g 
Θ(G)
b
χ∈G\{χ
1}
g∈G
g∈G
となる.
1.2
二面体群と一般四元数群における結果
G が二面体群 Dm か一般四元数群 Qm の場合にも Theorem 1 の群環版を与
えた. またこの群についての群行列式を同次多項式の巡回行列式で記述した.
二面体群 Dm と一般四元数群 Qm の結果は次である. ただし, hai, Ag , αi , χ0l
については, 後で説明する.
Theorem 4. G = Dm , e を G の単位元とすると, 次が成り立つ.

∏
∑

α
α
χ0 (g)Ag g
m が奇数
1
2




0
c
g∈hai
χ0 ∈hai\{χ
0}
∑
∏
Θ(G)e =

χ0 (g)Ag g m が偶数
α1 α2 α3 α4




0 ,χ0 } g∈hai
c
χ0 ∈hai\{χ
=
∏ ∑
0
m
2
χ(g)Ag g.
c g∈hai
χ∈hai
Theorem 5. G = Qm , e を G の単位元とすると, 次が成り立つ.
∏
∑
Θ(G)e = α1 α2 α3 α4
χ0 (g)Ag g
=
∏ ∑
0 ,χ0 } g∈hai
c
χ0 ∈hai\{χ
m
0
2
χ(g)Ag g.
c g∈hai
χ∈hai
この Theorem 4 と 5 より以下のことがわかる. アーベル群の場合に考えた
写像 F により, Dm と Qm の場合の Theorem 1 を得られ, また Dm と Qm の
∏
∑
群行列式が, χ∈hai
c
g∈hai χ(g)xg という巡回行列式で記述できることもわ
かる. さらに Dm と Qm の可逆元の逆元を以下の形で与える. 後に説明する
が, α1 はその群環の任意の元を表している.
Corollary 6. G = Dm とする. Θ(G) 6= 0 ならば

∏
∑
1


α2
χ0 (g)Ag g


Θ(G)


0 } g∈hai
c
χ0 ∈hai\{χ
0
∏
∑
α1−1 =
1

α
α
α
χ0 (g)Ag g

2
3
4


Θ(G)

0 ,χ0 } g∈hai
c

χ0 ∈hai\{χ
m
0
2
2
m が奇数
m が偶数
となる.
Corollary 7. G = Qm とする. Θ(G) 6= 0 ならば
∏
∑
1
χ0 (g)Ag g
α1−1 =
α2 α3 α4
Θ(G)
0 ,χ0 } g∈hai
c
χ0 ∈hai\{χ
m
0
2
となる.
群行列式について
2
群行列式について説明する.
Definition 8 (群行列式). G を有限群として, G の各元 g に対して, 不定元
xg を用意する. このとき
(
)
Θ(G) = det xgh−1 g,h∈G
を G の群行列式という.
任意の g, h ∈ G に対して, gh = hg は一般には成り立たないが, xg xh =
xh xg は成り立つとしていることに注意する.
群 G の正則表現を L とすれば, 群行列式 Θ(G) は, L の各点 g での値 L(g)
に xg という係数を付けたもの全体の和の行列式をとったものである. すな
わち,
∑
Θ(G) = det
xg L(g)
g∈G
である. また xg L(g) は G の群環の元を行列表示したものである.
Frobenius は次のような Θ(G) の既約分解を得た.
b を有限群 G の既約なユニタリ表現の同値類の
Theorem 9 (Frobenius). G
代表元の完全集合とすると, 次が成り立つ.

deg ϕ
∏
∑
Θ(G) =
det 
ϕ(g)xg 
.
b
ϕ∈G
g∈G
上の定理は, 正則表現が d1 ϕ(1) ⊕ d2 ϕ(2) ⊕ · · · ⊕ ds ϕ(s) と直和分解されるこ
とよりわかる. ただし, {ϕ(1) , ϕ(2) , . . . , ϕ(s) } は G の既約なユニタリ表現の同
値類の代表元の完全集合, di = deg ϕ(i) とする.
Example 10 (3 次巡回群の群行列式の既約分解). G = Z/3Z = {0, 1, 2} と
すれば,


x0 x2 x1


Θ(G) = det x1 x0 x2 
x2 x1 x0
= (x0 + x1 + x2 )(x0 + x1 ω + x2 ω 2 )(x0 + x1 ω 2 + x2 ω)
3
が成り立つ. ただし, ω は 1 の原始 3 乗根の 1 つとする.
Dm と Qm の結果における語句の説明
3
二面体群 Dm と一般四元数群 Qm の結果における無定義語 hai, Ag , αi , χ0l
を説明する. そのために二面体群と一般四元数群について整理しておく.
3.1
二面体群について
二面体群とその既約表現について整理しておく. 二面体群 Dm は, 二元 a, b
から生成される次のような位数 2m の群である.
Dm = ha, b | am = e, b2 = e, b−1 ab = a−1 i
= hai ∪ haib.
二面体群 Dm の既約表現のリストは次で与えられる. ただし ω は 1 の原始
m 乗根を表し, 1 ≤ k ≤ m − 1 とする.
1. m が奇数のとき. ただし 1 ≤ l ≤
χ1
χ2
ϕl
m−1
2
とする.
e
ak
b
ak b
1
[ 1 ]
1 0
0 1
1
1
1
[ −1 ]
0 1
1 0
1
−1
[
ω lk
0
]
0
ω −lk
2. m が偶数のとき. ただし 1 ≤ l ≤
m
2
[
ω lk
0
0
ω −lk
]
− 1 とする.
e
ak
χ1
1
1
1
1
χ2
χ3
1
1
1
(−1)k
−1
1
−1
(−1)k
χ4
[ 1 ]
1 0
0 1
k
[ (−1) ]
ω lk
0
−lk
0 ω
[ −1 ]
0 1
1 0
k+1
]
[ (−1)
0
ω lk
ω −lk
0
ϕl
b
4
ak b
では, G が二面体群の場合の結果, Theorem 4 の無定義語について述べる.
α1 =
α3 =
∑
xg g,
α2 =
g∈G
∑
∑
g∈hai
χ3 (g)xg g,
g∈G
α4 =
∑
χ2 (g)xg g,
g∈haib
∑
χ4 (g)xg−1 g +
g∈hai
Ah =
∑
χ2 (g)xg−1 g +
χ4 (g)xg g,
g∈haib
∑ (
)
xg xhg − xgb xhgb−1 ,
χ0l (ak ) = ω lk
g∈hai
とする. ただし, ω は 1 の原始 m 乗根とする (すなわち, χ0 は hai の指標).
3.2
一般四元数群について
一般四元数群とその既約表現について整理しておく. 一般四元数群群 Qm
は, 二元 a, b から生成される次のような位数 4m の群である.
Qm = ha, b | a2m = e, b2 = am , b−1 ab = a−1 i
= hai ∪ haib.
一般四元数群 Qm の既約表現のリストは次で与えられる. ただし ω は 1 の
原始 2m 乗根を表し, 1 ≤ k ≤ 2m − 1 とする.
1. m が奇数のとき. ただし 1 ≤ l ≤ m − 1 とする.
e
ak
χ1
1
1
1
1
χ2
χ3
1
1
1
(−1)k
−1
i
−1
i(−1)k
χ4
[ 1 ]
1 0
0 1
k
[ (−1) ]
ω lk
0
0 ω −lk
[ −i ]
0 1
−1 0
k+1
[ i(−1)
]
0
ω lk
−ω −lk
0
ϕl
ak b
b
2. m が偶数のとき. ただし 1 ≤ l ≤ m − 1 とする.
e
ak
b
ak b
χ1
1
1
1
1
χ2
χ3
1
1
1
(−1)k
−1
1
−1
(−1)k
χ4
[ 1 ]
1 0
0 1
k
[ (−1) ]
lk
ω
0
−lk
0 ω
[ −1 ]
0 1
−1 0
k+1
]
[ (−1)
0
ω lk
−ω −lk
0
ϕl
5
では, G が一般四元数群の場合の結果, Theorem 5 の無定義語について述
べる.
α1 =
α3 =
∑
∑
xg g,
α2 =
g∈G
∑
g∈hai
χ3 (g)xg g,
g∈G
α4 =
∑
χ2 (g)xg g,
g∈haib
∑
χ4 (g)xg−1 g +
g∈hai
Ah =
∑
χ2 (g)xg−1 g +
χ4 (g)xg g,
g∈haib
∑ (
)
xg xhg − xgb xhgb−1 ,
χ0l (ak ) = ω lk
g∈hai
とする. ただし, ω は 1 の原始 2m 乗根とする (すなわち, χ0 は hai の指標).
アーベル群についての結果の証明
4
アーベル群についての結果を証明する.
4.1
アーベル群の場合の証明のための準備
アーベル群の場合の結果を証明するための準備をする.
G を有限群, G を G の 1 次元表現全体の成す集合, H を G の部分群として,
{
}
GH = χ ∈ G | χ(g) = 1, g ∈ H
とすれば, GH は, G の部分群となる.
Lemma 11. G/H を有限アーベル群とする. このとき,
{
}
[
GH = ϕ ◦ π | ϕ ∈ G/H
が成り立つ. ただし, π は G から G/H への自然な射影とする.
{
}
[ をとる. χ = ϕ ◦ π は G の 1 次元
Proof. 任意に ϕ ◦ π ∈ ϕ ◦ π | ϕ ∈ G/H
表現となり, χ は H の元を 1 に写すので, χ ∈ GH がわかる. χ ∈ GH とする.
ϕ : G/H 3 gH 7→ χ(g) ∈ C×
は well-defined
で, ϕ }
は G/H の 1 次表現である. χ = ϕ ◦ π となるので,
{
[
χ ∈ ϕ ◦ π | ϕ ∈ G/H が成り立つ.
Lemma 12. G/H を有限アーベル群とする. このとき, g ∈
/ H ならば,
χ(g) 6= 1 を満たす χ ∈ GH が存在する.
Proof. G/H はアーベル群なので, ϕ(gH) 6= 1 を満たす G/H の 1 次表現 ϕ
が存在する. π を G から G/H への自然な射影とすれば, χ = ϕ ◦ π は GH の
元であり, χ(g) 6= 1 を満たす.
6
4.2
アーベル群の場合の結果の証明
群環上の不変式論より, アーベル群の場合の結果を証明する.
Definition 13. Ag ∈ C[xg ], χ ∈ G に対して,


∑
∑
Tχ 
Ag g  =
χ(g)Ag g
g∈G
g∈G
と定義する.
Tχ ◦ Tχ0 = Tχχ0 , α, β ∈ CG[xg ] に対して, Tχ (αβ) = Tχ (α)Tχ (β) が成り立
つことに注意しておく.
∑
Lemma 14. G/H を有限アーベル群, α = g∈G Ag g とする. 任意の χ ∈ GH
∑
に対して, α = Tχ (α) であることの必要十分条件は, α = g∈H Ag g である
ことである.
Proof. α = Tχ (α) ならば, 任意の χ ∈ GH に対して, Ag g = χ(g)Ag g が成り
立たなければならない. ゆえに g ∈
/ H ならば Lemma12 より χ(g) 6= 1 となる
∑
χ ∈ GH が存在するので, Ag = 0 でなければならない. よって, α = g∈H Ag g
となる. 逆は明らか.
b の部分集合とする. S の元を H に制限したもの全体成す集合を S|H
SをG
とする.
b = χ1 G
b H t χ2 G
bH t
Lemma 15. G を有限アーベル群とする. このとき, G
b
b
· · · t χk GH とすれば, H = {χ1 , χ2 , . . . , χk }|H が成り立つ.
b H の元は H 上で自明表現となるので, G|
b H = {χ1 , χ2 , . . . , χk }|H ⊂
Proof. G
|G|
b が成り立つ. |GH | =
H
より, |H| = k がわかる. あとは, χ1 , χ2 , . . . , χk
|H|
が H 上でそれぞれ異なることを示せばよい. 任意の g ∈ H に対して, χi (g) =
bH
χj (g) (1 ≤ i 6= j ≤ k) とすると, (χ−1 χj )(g) = 1 が成り立ち, χ−1 χj ∈ G
i
bのG
b H による剰余分解の仕方に矛盾する.
となる. これは G
i
Lemma 16. G をアーベル群とする. このとき, Ag ∈ C[xg ] が存在して,
∑
∏ ∑
χ(g)xg g =
Ag g
bH g∈G
χ∈G
g∈H
となる.
b H に対して,
Proof. 任意の χ0 ∈ G


∏ ∑
∏ ∑
Tχ0 
χ(g)xg g  =
(χ0 χ)(g)xg g
bH g∈G
χ∈G
bH g∈G
χ∈G
=
∏ ∑
bH g∈G
χ∈G
となるので, Lemma 15 より成り立つ.
7
χ(g)xg g
Theorem 17. G をアーベル群, H をその部分群とする. このとき, Ag ∈
C[xg ] が存在して,
∏ ∑
Θ(G)e =
χ(g)Ag g
b g∈H
χ∈H
が成り立つ.
b に対して,
Proof. 任意の χ ∈ G


∏ ∑
∏ ∑
Tχ 
χ(g)xg g  =
χ(g)xg g
b g∈G
χ∈G
b g∈G
χ∈G
が成り立つので, C ∈ C[xg ] が存在して,
∏ ∑
χ(g)xg g = Ce
b g∈G
χ∈G
となる. 任意の g ∈ G をすべて 1 に写す C[xg ] 代数写像を考えれば, Theorem
b = χ1 G
b H t χ2 G
b H t · · · t χk G
b H とすれば,
1 より C = Θ(G) がわかる. また, G
∏ ∑
χ(g)xg g =
b g∈G
χ∈G
k
∏
∑
∏
χ(g)xg g
i=1 χ∈χi G
bH g∈G
=
k
∏

∏ ∑
Tχi 

χ(g)xg g 
bH g∈G
χ∈G
i=1
となる. Lemma 14 と 15 より,




k
k
∏
∏ ∑
∏
∑
Tχi 
χ(g)xg g  =
Tχi |H 
Ag g 
i=1
bH g∈G
χ∈G
i=1
=
∏ ∑
g∈H
χ(g)Ag g
b g∈H
χ∈H
が成り立つので, 定理を証明できた.
二面体群と一般四元数群についての結果の証明
5
CG[xg ] 上に作用素を定義して, 二面体群と一般四元数群についての結果を
証明する.
5.1
CG[xg ] 上の作用素
CG[xg ] 上に作用素を定義する.
G を二面体群 Dm , もしくは一般四元数群 Qm とし, G を G の 1 次元表現
全体の成す集合とする.
8
Definition 18. Ag ∈ C[xg ], χ ∈ G に対して,


∑
∑
Tχ 
Ag g  =
χ(g)Ag g,
g∈G

Sχ 
∑
Ag g  =
g∈G

Uχ 
∑
g∈G

∑
χ(g)Ag g −1 ,
g∈G


Ag g  = Sχ 
g∈G
∑


Ag g  + Tχ 
g∈hai
∑

Ag g 
g∈haib
と定義する.
任意の α, β ∈ CG[xg ] に対して, Tχ (αβ) = Tχ (α)Tχ (β), Sχ (αβ) = Sχ (β)Sχ (α)
が成り立つこと, CG[xg ] が CG[xg ] = Chai[xg ] ⊕ Chai[xg ]b と直和分解され
ることに注意しておく.
Lemma 19. ξ ∈ Chai[xg ], η, η 0 ∈ Chai[xg ]b とする. このとき, 次が成り
立つ.
1. Tχ (ηη 0 ) = Sχ (η 0 η).
2. Tχ (ξη) = Tχ (η)Sχ (ξ).
3. Tχ (ηξ) = Sχ (ξ)Tχ (η).
∑
∑
∑
Proof. ξ = g∈hai Ag g, η = g∈haib Bg g, η 0 = g∈haib Cg g とする. まず
(1) を示す. g, h ∈ haib ならば, gh = g −1 h−1 が成り立つので,
Tχ (ηη 0 ) =
∑
χ(gh)Bg Ch gh
g,h∈haib
=
∑
χ(hg)Ch Bg (hg)−1
g,h∈haib
= Sχ (η 0 η)
となることより (1) を示せた. 次に (2) を示す.
Tχ (ξη) =
∑ ∑
χ(gh)Ag Bh gh
g∈hai h∈haib
=
∑ ∑
χ(hg)Bh Ag hg −1
h∈haib g∈hai
= Tχ (η)Sχ (ξ)
9
より (2) を示せた. 最後に (3) を示す.
∑ ∑
Tχ (ηξ) =
χ(gh)Bg Ah gh
g∈haib h∈hai
=
∑ ∑
χ(h)χ(g)Ah Bg h−1 g
h∈hai g∈haib
= Sχ (ξ)Tχ (η)
となるので, 証明できた.
Lemma 20. 任意の α, β ∈ CG[xg ] に対して,
Uχ (αβ) = Uχ (β)Uχ (α)
が成り立つ.
Proof. α = ξ + η, β = ξ 0 + η 0 (ξ, ξ 0 ∈ Chai[xg ], η, η 0 ∈ Chai[xg ]b) とする.
Uχ ((ξ + η)(ξ 0 + η 0 )) = (ξξ 0 + ξη 0 + ηξ 0 + ηη 0 )
= Sχ (ξξ 0 + ηη 0 ) + Tχ (ξη 0 + ηξ 0 )
= Sχ (ξξ 0 ) + Sχ (ηη 0 ) + Tχ (ξη 0 ) + Tχ (ηξ 0 )
となるので, Lemma 19 より,
(右辺) = Sχ (ξξ 0 ) + Tχ (η 0 η) + Tχ (η 0 )Sχ (ξ) + Sχ (ξ 0 )Tχ (η)
= Sχ (ξ 0 )Sχ (ξ) + Tχ (η 0 )Tχ (η) + Tχ (η 0 )Sχ (ξ) + Sχ (ξ 0 )Tχ (η)
= Sχ (ξ 0 )(Sχ (ξ) + Tχ (η 0 )) + Tχ (η 0 )(Tχ (η) + Sχ (ξ))
= (Sχ (ξ 0 ) + Tχ (η 0 ))(Sχ (ξ) + Tχ (η))
= Uχ (β)Uχ (α)
がわかり, 証明できた.
∑
Lemma 21. α = g∈G Ag g とする. α = Uχ2 (α) であることの必要十分条
∑
件は, α = g∈hai Ag g (Ag = A−1
g ) となることである.
Proof. α = Uχ2 (α) とする. g ∈ hai ならば Ag g = Ag−1 g, g ∈ haib ならば
∑
Ag g = −Ag g が成り立たなければならない. ゆえに, α = g∈hai Ag g (Ag =
Ag−1 ) となる. 逆は明らか.
5.2
二面体群と一般四元数群についての結果の証明
二面体群と一般四元数群についての結果を証明する.
χ2 ◦ χ2 = Id より, Uχ2 ◦Uχ2 = Id となる. よって, Lemma 20 より, α ∈
CG[xg ] に対して, α + Uχ2 (α), αUχ2 (α) は Uχ2 によって不変となる. ゆえ
10
{∑
}
に, Lemma 21 より, α + Uχ2 (α), αUχ2 (α) ∈
g∈hai Ag g | Ag = Ag −1 とな
{∑
}
る.
g∈hai Ag g | Ag = Ag −1 の元は CG[xg ] の元と可換なので, αUχ2 (α) =
Uχ2 (α)α がわかる. また, χ4 = χ2 ◦ χ3 なので,
Tχ3 (αUχ2 (α)) = Tχ3 (α)(Tχ3 ◦ Uχ2 )(α)
= Tχ3 (α)Uχ4 (α)
∑
Ag g, ω を 1 の原始 |hai| 乗根として, χ0l (ak ) = ω lk
∑
0
(g)Ag g がわか
とすれば, χ3 |hai = χ0m なので, Tχ3 (α)Uχ4 (α) =
g∈hai χ m
2
2
∑
る. また計算により, Ah = g∈hai (xg xhg − xgb xhgb−1 ) が確かめられる. さ
て, Theorem 2 より, C ∈ C[xg ] が存在して,
∏ ∑
χ(g)Ag g = Ce
となる. αUχ2 (α) =
g∈hai
c g∈hai
χ∈hai
となるので, C = Θ(G) を示せば, 二面体群と一般四元数群の場合の主結果を
証明できたことになる. このことは,


∑
∑
det 
ϕl (g)xg  =
χ0l (h)Ah
g∈G
h∈hai
を示せばよいが, これはすぐに確かめられる.
参考文献
[1] Benjamin Steinberg, Representation Theory of Finite Groups. Springer,
2012.
[2] C. Shan, C. Hong, T. Guoping, Augmentation quotients for complex
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