３．微分（導関数）
f x 
微分 ⇒ 傾き，接線
変化率
f x  x 
f x 
平均の傾き
f
f ( x  x)  f ( x) f ( x  x)  f ( x)


x  x   x
x
x
x
x
x  x
微分の定義
df ( x)
f
f ( x  x)  f ( x)
 lim
 lim
 f ( x)
x 0 x
x 0
dx
x
時間微分のときだけ
dx
 x'  x
dt
dy
 y'
dx
1
■微分の定理
(1)
(2)
(3)
(u  v)  u  v
(uv)  uv  uv

 u  uv  uv
  
2
v
v
 
(uv)
(u  u )(v  v)  uv
(uv)'  lim
 lim
x 0 x
h 0
x
vu  uv
 lim
 u ' v  uv'
h 0
x

u
 
 u  u u  1
 

   lim
x

0
 v  v v  x
v

u  u v  u v  v 
 lim
x 0
v  v vx
1
v 
 u
 lim
u 
v
x 0 v  v v
x 
 x

u ' v  uv'
v2
2
合成関数の微分
dg  f x  dg  y  df x 

dx
dy
dx
z  g  y , y  f x ,
例
y  f x 
dz dz dy

dx dy dx
1
d sin  
1
 x   d sin y d  1 
y
 
dx
dy dx  x 
x
1 1  1 
 cos y 2  2 cos 
x
x
 x
3
■微分の例
関数
微分
a (定数)
0
x
1
xn
nx n1
(n  0,1以外の整数)
1
x
ln x
e
x
1
 2
x
1
x
ex
4
関数
微分
sin 
cos 
cos 
 sin 
tan 
1
cos 2 
5
■微分例の簡易的な証明
dx n
 nx n 1
dx
nを自然数として，n個のｘに対して
定理(2)を使う
dx n
 ( x n )'  x' x  x  xx ' x  x    x  xx '
dx
 x n1  x n1    x n1
 nx n1
6
m
m
dy d n m n 1

x  x
dx dx
n
n, mは整数
dx n

 nx n 1 nは実数
dx
m
n
yx z
m
 zx
dy d m
 z  mz m1
dz dz
d x
1

dx
2 x
d 1
1  32
1
 x 
dx x
2
2 x3
1
n
dx d n
 z  nz n1
dz dz
dy dy dz dy 1
1
m mn m mnn m mn 1
m 1


 mz
 z
 x
 x
n 1
dx
dx dz dx dz
nz
n
n
n
dz
7
d sin 
 cos 
d
d sin 
sin   h   sin 
 lim
h 0
d
h
sin  h  sin   sin  cos h  cos  sin h  sin 
h
h
h
h
 2h


2 h
2 h


2
sin

sin

2
cos

cos
sin
 sin   cos  sin  1  2 cos   cos sin 
2
2
2
2
2 
2
2


h
h
h
h
h


 2 cos  cos  sin  sin  sin  2 cos   sin
2
2
2
2
2


h
h

h
2 cos   sin
sin
d sin 
2
2

2  cos   lim sin p  cos 

 lim
 lim
h 0
h 0
p 0
h
d
h
p
2
半径１の円弧を考える．右図のように角度pでは，
緑の垂線，円弧の長さ，青の接線の大小関係は，
sin p  p  tan p
0  p   / 2
1
p
sin p
p
1
sin p

1

lim
 lim cos p  1
 1

 1
 cos p
p 0
p 0
p
sin p cos p
p
d sin 
sin p
 cos 
 lim
1 
p 0
d
p
p
8
d cos 
  sin 
d
d cos 
cos  h   cos 
 lim
h 0
d
h
cos  h  cos   cos  cos h  sin  sin h  cos 
h
h
h
 2h

 h
2 h
2 h


2
cos

sin

2
sin

sin
cos
 cos   cos  sin  1  2 sin   sin cos 
2
2
2
2
2 
2

 2
h
h
h
h
h


 2 cos  sin  sin  cos  sin  2 sin   sin
2
2
2
2
2


h
h

h
 2 sin    sin
sin
d sin 
2
2

2  sin    lim sin p  sin 

 lim
  lim
h 0
h 0
p 0
h
d
h
p
先程と同様に，

sin p
1
p 0
p
2
lim
d cos 
  sin 
d
9
d tan 
1

d
cos 2 

u  sin  , v  cos  
d tan 
d u

 
d
d  v 
d tan  u ' v  uv' sin  ' cos   sin  cos  '


2
d
v
cos 2 
cos 2   sin 2 
1


2
cos 
cos 2 
10
de x
 ex
dx
e ：ネイピア数，自然対数の底，オイラー数
n
定義

1
 1
lim 1     e
n 
 n
n 1 n!
de x
e xh  e x
eh 1
x
 lim
 e lim
h

0
h 0
dx
h
h
 1
 1
ln e h  ln 1    h  ln 1  
 t
 t
1
eh 1
1
t



t
h
 1
1


ln 1   ln 1  
 t
 t
eh 1
lim
 lim
h 0
t 
h
1
 1
ln 1  
 t
t

e  2.718
h
h  0  eh  1  e  1 
1
t  0
t
h  0 のとき t  
de x
eh 1 x
x

 e lim
e
h

0
dx
h
1
1
ln e
11
d ln x 1

dx
x
【逆関数の微分】
 x  0
定理 ある区間においてｘの関数ｙが連続で単
調ならば，ｙの変動区間においてｘがｙの逆関
数として確定される．逆関数も連続で単調であ
る．ｙがｘで微分可能であれば，ｘもｙで微分
可能で，
dy dx
 1
dx dy
y  e x  x  ln y
dy dx de x d ln y
d ln y

 

 ex
1
dx dy dx dy
dy
d ln y 1 1
 x 
dy
e
y

d ln x 1

dx
x
12
４． 積分
面積を求める操作
微分
yx
dy
 2x
dx
2
積分
■時間で微分，積分
微分
変位
微分
速度
積分
加速度
積分
■座標等で微分，積分
微分
ポテンシャル
力（重力）
エネルギー
積分
13
和の記号

（サンメンション）

 f x   f x   f x   
10
 n  1  2    10
i 1
n 1
面積を求める
x1  a, xn  b, x 
i
1
2
ba
n
n
y  lim  f xi x  lim  f x1     f xn x   f x dx
n 
f x1 
b
n 
i 1
f x2 
a
f x 
f xn 
x
x1  a x2
xn  b
x
a
x
b
14
不定積分
y   2 xdx  x 2  C C : 積分定数
b
定積分

 
 

y   2 xdx  x  C a  b 2  C  a 2  C  b 2  a 2
a
2
 
 x
2 b
a
b
 b2  a 2
15
関数
不定積分
a (定数,  0)
ax
x
xn
(n  0,1以外の整数)
1 2
x
2
1 n 1
x
n 1
x
2 32
x
3
1
x
2 x
16
関数
不定積分
sin 
 cos 
cos 
sin 
ex
ex
1
x
ln x
17