0.1 SO(2) の生成子
((
) )
0 i
A (t) = exp
it
−i 0
(
)
cos t − sin t
=
sin t
cos t
: 角度 t だけ x 軸から y 軸へ (反時計回りに) 回転。
0.2 SO(3) の生成子

図 0.1 2 次元平面内での回転

0
t3 −t2
0
t1 
O (t1 , t2 , t3 ) = exp  −t3
t2 −t1
0
 





0 −i 0
0 0 i
0 0 0
= exp  0 0 −i  it1 +  0 0 0  it2 +  i 0 0  it3 
0 0 0
−i 0 0
0 i 0
)
( 2


1−cos t
1−cos t
sin t
1−cos t
2
1 − t2
t2 + t3
t1 t2(+ t t3 )
t1 t3 − sint t t2
√
t2
t2
1−cos t
sin t
1−cos t
sin t
t
2
2

=  1−cos
,
t
=
t12 + t22 + t32
+
t
t
t
−
t
1
−
t
t
t
+
t
2 1
2 3(
1
3
t2
t 3
t2
t2
t 1)
sin t
1−cos t
sin t
1−cos t
1−cos t
2
2
t3 t1 + t t2
t3 t2 − t t1
1 − t2
t1 + t2
t2
t2

 x 軸周りの z 軸から y 軸へ t1 回転
: t1 , t2 , t3 それぞれ独立には、 y 軸周りの x 軸から z 軸へ t2 回転

z 軸周りの y 軸から x 軸へ t3 回転
を組み合わせて、極座標の角度成分 (θ, ϕ) を持つベクトル (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) の (δθ, δϕ) 回転
O (δθ, δϕ) ≡ O (0, 0, −ϕ − δϕ) O (0, −δθ, 0) O (0, 0, ϕ)


cos δθ cos ϕ cos (ϕ + δϕ)
− cos δθ sin ϕ cos (ϕ + δϕ) − cos ϕ sin (ϕ + δϕ) sin δθ cos (ϕ + δϕ)
=  cos δθ cos ϕ sin (ϕ + δϕ) − sin ϕ cos (ϕ + δϕ) − cos δθ sin ϕ sin (ϕ + δϕ) + cos ϕ cos (ϕ + δϕ) sin δθ sin (ϕ + δϕ) 
− sin δθ cos ϕ
sin δθ sin ϕ
cos δϕ
を得る。
図 0.2 3 次元空間内での回転
1

日周潮汐の振幅変動 Y=A・cos((西暦 year －1969.25)/18.613)