レポート1・2解答

応用確率論レポート回答 (4/23 出題分、4/30 出
題分)
(b) 指数分布の平均と分散を求め
る．
レポート 1 (a) 二項分布の平均と
分散を求める．
E[X] =
n
∑
∫
( )
n
pk (1 − p)n−k
k
k=0
(
)
n
∑
n n−1 k
=
k
p (1 − p)n−k
k k−1
k=0
(
)
n
∑
n − 1 k−1
= np
p
(1 − p)n−k
k
−
1
k=1
=
k
= np(p − (1 − p))
V ar[X] =
n
∑
n−1
= np
k 2 pX (k) − E[X]2
k=0
=
n
∑
k=0
n
∑
k
( )
2 n
k
xλe−λx dx
∫ ∞
[
]∞
= −xe−λx 0 +
e−λx dx
0
k=0
n
∑
∞
E[X] =
kpX (k)
pk (1 − p)n−k − n2 p2
( )
n k
p (1 − p)n−k
=
k(k − 1)
k
k=0
( )
n
∑
n k
+
k
p (1 − p)n−k − n2 p2
k
k=0
(
)
n
∑
n−2 k
n(n − 1)
p (1 − p)n−k
=
k
−
2
k=2
0
1
1
= 0 + [− e−λx ]∞
0 =
λ
λ
V ar[X] = E[X 2 ] − E[X]2
∫ ∞
=
x2 λe−λx dx − E[X]2
0
[
]∞
= −x2 e−λx 0
∫ ∞
+
2xeλx dx − E[X]2
0
∫ ∞
= 0+2
xe−λx dx − E[X]2
0
∫
2 ∞
=
xλe−λx dx − E[X]2
λ 0
2
=
E[X] − E[X]2
λ
2
1
1
=
− 2 = 2
λ2
λ
λ
+E[X] − n2 p2
(
)
n
∑
n − 2 k−2
2
= n(n − 1)p
p
(1 − p)n−k
k
−
2
k=2
+np − n2 p2
= n(n − 1)p2 + np − n2 p2
= np(1 − p)
1
レポート 2 (a) p.21, 例 2.7
( )
n
∑
M (θ)
iux n
φX (u) =
e
px (1 − p)n−x X
x
x=0
( )
n
∑
n ( iu −1 )x
n
= q
pe q
x
x=0
(
)n
= q n 1 + peiu q −1
(
)n
= peiu + q
( )
n x
MX (θ) =
e
p (1 − p)n−x
x
x=0
( )
n
∑
n ( θ −1 )x
= qn
pe q
∗
x
FX
(s)
x=0
(
)
n
θ −1 n
= q 1 + pe q
(
)n
= peθ + q
n
∑
( )
n x
GX (s) =
s
p (1 − p)n−x
x
x=0
( )
n
∑
n ( −1 )x
n
= q
psq
x
x=0
(
)n
= q n 1 + psq −1
x
n
= (ps + q)
p.22, 例 2.8
∞
φX (u) =
∫
0
= λ
[
∞
=
∫
0
eθx λe−λx dx
∞
= λ
e−(λ−θ)x dx
0
]∞
e−(λ−θ)x
= λ −
λ−θ 0
)
(
λ
1
=
− ∞ + e0
λ−θ
e
λ
=
λ−θ
[
θx
n
∑
∫
∫
eiux λe−λx dx
∞
e−(λ−iu)x dx
0
]∞
e−(λ−iu)x
= λ −
λ − iu 0
(
)
1
λ
0
− ∞ +e
=
λ − iu
e
λ
=
λ − iu
2
∫
∞
=
∫
0
∞
= λ
[
e−sx λe−λx dx
0
e−(λ+s)x dx
]∞
e−(λ+s)x
= λ −
λ+s 0
(
)
λ
1
0
=
− ∞ +e
λ+s
e
λ
=
λ+s

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