数理科学特論 A 演習問題
2014 年 4 月 7 日
Masato Kurihara
p を奇素数として、ζp = cos(2π/p) + i sin(2π/p) ∈ C とおく。e, f を正の
整数で p − 1 = ef をみたすとするとき、Hf で (Z/pZ)× の位数 f の巡回部
分群を表す。α ∈ Z/pZ = Fp に対して、
[f, α) =
ζpαx ∈ C
x∈Hf
とおく。また、(Z/pZ)× = α1 Hf ∪ ... ∪ αe Hf を剰余類分割とするとき、
Of =
e
Z[f, αi ) ⊂ C
i=1
とおく。
1. 上の状況で、{[f, αi )}1≤i≤e が有理数体 Q 上線型独立かどうか判定せよ。
2. 任意の α ∈ Z/pZ = Fp に対して、[f, α) ∈ Z[[f, 1)] が成立するかどうか
判定せよ。
3. Of は整域である。Of が整閉整域かどうか判定せよ。
4. p = 7 とする。
(1) [3, 1), [3, 3) がみたす整数係数の 2 次方程式を求めよ。
(2) [2, 1), [2, 2), [2, 3) がみたす整数係数の 3 次方程式を求めよ。
5. p = 13 とする。
(1) [6, 1), [6, 2) がみたす整数係数の 2 次方程式を求めよ。
(2) [4, 1), [4, 2), [4, 4) がみたす整数係数の 3 次方程式を求めよ。
(3) 任意の α ∈ Z/13Z に対して、[3, α) の値を求めよ。
1
6. p = 19 とする。
(1) [6, 1), [6, 2), [6, 4) がみたす整数係数の 3 次方程式を求めよ。
(2) [2, 1), [2, 7), [2, 8) がみたす Z[[6, 1)] 係数の 3 次方程式を求めよ。
7. 任意の p に対して、[ p−1
2 , 1) がみたす整数係数の 2 次方程式を求めよ。
(ヒント：p ≡ 1 (mod 4) か p ≡ 3 (mod 4) かで場合分けせよ。)
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