Muroran-IT Academic Resources Archive Title Author(s) Citation Issue Date URL On Elastic Behavior along Simply Supported Edges of Rectangular Plates Nomachi, Sumio 室蘭工業大学研究報告. Vol.3 No.2, pp.349-371, 1959 1959-06-20 http://hdl.handle.net/10258/3128 Rights Type Journal Article See also Muroran-IT Academic Resources Archive Copyright Policy Muroran Institute of Technology On E l a s t i c Behavior along Simply Supported Edges of Rectangular P l a t e s SumioNomachi Abstract Int h i spaper, t h et h r e e d i m e n s i o n a ls t r e s sproblemscon巴erningt h er e c t a n g u l a r p l a t e with two o ft h eo p p o s i t e edges simply supported and t h eo t h e r two e d g e s 白d ,a r ed e a l tw i t h . Ino r d e rt oc r i t i c i s eK i r c h h o f f ' s assumptionl- 4) 巴on巴erning hing t h e boundaryo ft h ep l a t e,t h ev a r iO lt i o n so ft h es h e a r i n gf o r c e si nt h ev i c i n i t yo f 日e n t e dh e r e . Along the simply supported edge, the simplysupported edge are pre both t h e bending moments and t h e shearing f o r c e s a巴t i n g on t h e 巴r o s ss 巴巴t i o n p a r a l e l lt ot h esameedge,always v a n i日h byme. anso ft h et h i np l a t巴 t h e o r y . The r e s u l t so b t a i n e dh e r e,however,i n d i c a t et h a ttheys t i l lremaina tt h ee d g e . I n t r o d u c t i o n I nane l a s t i cbodys u b j e c t e dt ogivenf o r c e st h et r a c t i o n ss p e c i f i e dby x ν,Yν ,Zνwhere νdenotes t h e normal t ot h e boundary s u r f a c e s,have p r e s c r i b e dv a l u e sa t everyp o i n 七o ft h o s es u r f a c e s . The e q u i l i b r i u mo f t h ef o r c e sa tt h eboundaryt a k e st h ef o l l o w i n gforms J Z r 1 x+ m r . 叩 +nr 日 =x ν, J ごxy+m 円十 n r ,, y Z- Yν (1) l , z . ,十 1 n ryz+n久 二 Zν. whereσ X 'σ y' a ndσ zd e n o t enormals t r e s s e sbyx,ν ,andzaxesr e s p e c t i v e l y; and ry nd r deno 七e s h e a r i n gs t r e s s e s . And l ,m,and n a r et h e Z' てzX' a d i r e c t i o nc o s i n eo ft h e normal t ot h e boundary. I t shows u st h a 七 七h reeboundary c o n d i t i o n ss h o u l dbe n e c e s s a r ya 七e achp o i n to fs u r f a c e s bounding t h ee l a s t i cb o d y . Whent h ep l a t e si st h i n,t h ea c t u a ld i s 七r i b u t i o no ft h et r a c t i o n sa p p l i e dt o七h eedgeregardeda sap a r a b o l i cs u r f a c e i snop r a c t i c a li m p o r t a n c e . Wer e p r e s e n t 七h e r e f o r e七het r a c t i o n sa p p l i e d t ot h eedges byt h e i rf o r c eandc o u p l e r e s u l t a n t s,estimated peru n i to f l e n g t ho f 七hee d g e l i n e . LetT,S,N d e n o t e出 ecomponentso ff o r c e,H, Gt h o s eo ft h ec o u p l e : Ti sat e n s i o n,SandN a r es h e a r i n gf o r c et a n g e n 七i a l and normal t o 七hemiddlep l a n e,G i sat i e x i a lc o u p l e,andH at o r s i o n a lc o u p l e . 岬 帽 ( 1 2 9 ) SumioNomachi 350 s T ¥念、 F i g . 1 Wea l s ol e tt h es t r e s s r e s u 1七a n t sand s t r e s s c o u p 1 e sb e 1 0 n g i n gt oacurve p a r a l l e 1t ot h ee d g e l i n e,be denoted T,3,N and G,1 I . The s t a t i c a l e q u i v a 1 e n c ea tt h ee d g e l i n ei se x p r e s s e da s T=T, S=3, N 二 N , H二 百 , G=G. ( 2 ) When t h ed i s t r i b u t i o no ft h es t r e s s e s byT,S a r ea n t i s y m m e t r i c a 1 * with r e s p e c tt o 七he midd1e p l a n e by i t s 抗l i c k n e s s,t h ef i v ec o n d i t i o n s mentionedabove,a r ed i m i n i s h e dt ot h et h r e ec o n d i七i o n s : N = N, 1 H =H , ? G 二 (3) G. J This represents the case where the p1ate i s subjected by the equa1 t r a c 七i o n snormal t oi t s upper and lower surface respective1y. ln t h i s case a system of two boundary conditions was obtained by Kirchhoff,who set out from a s p e c i a l assumption as 七othe nature of the 七rainwithin the p late,and proceeded by the me七hod of varia 七i onof the s i t e leng七h l1light be applied by energyfunction、 The couple on any 自n meanso f七ractionsdirected a七 righ七 angles七of o r c e - and coupleresultant, estimated per uni七 of leng出 o f the edge-line,would be equiva1ent t oa distribu 七ionof shearing forceo f typeN instead of t o r s i o n a 1 couple of the 回 回 type H . The required shearing force i se a s i l y found t o be - aH ,in a s whichs denotes the 1ength along the edge. The boundary conditions are thus found t o be aH ~T aH . ) 一 … v 一 一 一 一 一 ー ム, >T ム a s : 7S G =G. , ¥ (4) ) Thesec o n d i t i o n sa r eg e n e r a l l yadoptedi nt h et h e o r yo fp 1 a t eands h e l1 . 静 I fthes t r e日明e sbyT,S a r esymmentri巴a lw i t hr e s p e c tt ot h em i d d l ep l a n et h ep l a t ewould bei nt h es t a t eo fp l a n es t r e s s . ( 1 3 0 ) OnE l a s t i cB e h a v i o ra l o n gS i m p l yS u p p o r t e dE d g e so fR e c t a n g u l a rP l a t e s 3 5 1 ComponentsofS t r e s sandDisplacementfrom Three-DimensionalS t r e s sProblems From 七he equilibrium c o n d i t i o na p p l i e dt oa c u b i c a l element o ft h e e l a s t i c medium,equations f o rt h es t a t i c a l equivalenceo ff o r c e stake the well-known forms X 一指 一 一 3 + 却 V一 ト 十 PC 一 九 一 Z 3 一♂ a +a ァ y r ニ 1 ' , a y a z ヨ ナ "+ 一 一t1 " ー 」旦 旦 a x (5) 7/, > _ v'yz z 河町一 一 一 一 三 十 一月 一 旦 十 二 二庁ー 三--庁 , θZ a x a y whereX,Y ,Zdenote the components o f the bodyf o r c e per u n i t: v olume ,z direc七i o n sr e s p e c t i v e l y . i nx,ν ,andw The s t r e s s e sa r er e l a七ed七othe displacementsu,v 町二 ( 2 1 (+A) σu 二 Aご と σ g二 A一 一 十 u十 弓 a x u コ 、a v θw A 一一十 À~V_ a y a z , ,;~ av 、 a~イ) + ( 2 f l十 A )一 一 + , 1 一一, a x a y a z 弓u aw ( 2 p→ A )一 一 , 、θ り 、 A a y 十 a z (6) ¥ 、 iJ/ ノ 初一拍 + ベヴ一ベヴ U 一切 A , 、 / fdlt¥ ,I , τ 一 一U a x .¥ U 了Vz 二 μ 日竺+~竺) , . ¥δz a y/ Tzz=pJ2 竺十竺} ¥ろ x a z/ where u,り,w are the componen加 o f displacement i nx ,ν ,zd i r e c 七i o n s r e s p e c t i v e l y ;andf 1,A a re Lame'sc o n s t a n t s . As t h e author have already described i nt h e previous paper九 E q .( 5 ) i e l dther e s u l七swi七hout andE q .( 6 )bymeanso ff i n i t eFouriertransforms,y the bodyf o r c e sX,Y,and Z,a sf o l l o w s : ド 1 t ( 7m n ( ) tl o s竺 . ,m nJ J Jc L J L J "c~r:z' 川_ _グ '¥rm< )+,ゴ; 1 j J (1)( 川! ; :; ; :2 αT " L" ._ l(1 2μ+. A -~/ 2p十 A ' ""~, J 川 I 十瓦;4J--LP(7?F)十 五 旦; 1 j J(2) π l 2(1十 A 叫 乙p十 A ~ ( 131) , - m 352 S u m i oNoma巴h i 一 ト zロ 3 b mγ 山 +A ( ν 肘日+叩 2 一 」 一} ω G m rPO く ( ω り 1 l) 川 〉 π2σα尻 3, r 2 μ+A l ιi 哨 仏口口日叶哨 xcos 型炉 co己 z-~~ 旦こ IE加しιでゆい) (anrc) 匁;-2 c αn rL t 2 f t十 A 1 +1 士山 tlWJ)1+E7;J ρ f t C 2 ( a c )+ !:土~1[/(2)(αnrç) i 1 n 毎 μ I十刊A . . L \......'m.~) f rl 厄 2 亙 五 長 工 工 少勾肘乙 l.r r~/' 匂 2 肘如 μ +Ar ¥L<n M J J 2/ 句 γ 針十ロ互[ 同 H m . rl σ Q ( ο η 1( s 2L l × 山P 竺竺斗斗 ν 伊. 仰c OS 竺 Z 王z 川 ( ( 1 1 ) 畑附 r ア 2μ+A 戸 i L α/ 叶 ι げ a ) ¥ xPω( 戸 ん 悦 川r 引 T ; ) 1+ ; H ん H 勺 1 ω Q ' 引\I~mr'/) 万 引 ) 一. ρ十刊」 1 (mb} Y 2 P F i 》IJ>Z m ,'r 刈 d 巧 r η ψ ) l ) )} i 7 J '広 . . , , , , . t " 2ft子工瓦,~- ¥ L m r ' J J j z一 立 旦!??[J J L - V W J ) + f土2 × ∞s型 炉 COS竺 ;2 b α?ML? l2p+A r , "nn/ げ X J 川も町 町 2f 1+A l 1 [ /(1)( α ? Z 7 5 ) } + J F jJJ-PU 〉(M)十 f土υ (2)(川)¥ s i nn r r _ν J ~ n,l 2 ( 1+ A M ' 2 f 1十 A ノJ J O " > b ¥-1o A 1 3 xc o s竺竺 z-~LJ _ br n 士 三-fB__Pω( f 1m, ヲ ) 十B ; " , . P【) 2心 3 'm 7 ; ) r ; -4 α戸7 " , .f t( 2 f 1+A )l ~m γ I xC O S型 炉 c o s生 z-LJ2 Jユ坦L ど と Fmn[チ叫(川) ,n 4 αb(7m ) 3μ ( 2 μ+ A )L l "m 1o ηi1 十 タ(1( rm1 o ( ) ¥ j 仰 ) m1 o ( ) }I c o日町・ T と J+凡 ' l t l ¥ . " m n+ ( 刊7 α siJEV -'lfI r r (7) L 1 3μ + A d.(1)(~ e¥_L p+, 1 十2J LJ~1 Anr~ 一一一一十ド (αnrç) + !~'" ね 十 ?40n?.Lγlμ ( 2 f L十 A)' , }J)'(1)(~ e¥1 I f I ( り( α ' "の 1 , f l ( 2 f 1 + A )_ ' ' ' ' ' ' j M ' A j 3 Pサーやく2 )(α5)+-UA ヂ 2 )(αJ)11m竺 円 O S竺 z rl ρ ( 2 ρ十 A ) ρ( 2 f 1十 A ) \'~nr~/JJu , ubv C 町 vVU L 十2J~ゴ二 IDmn[ ( 2 -! : ゴ 土T1Ml 〉(rd-f 土ι ' : ;47 lL -m n1 ¥ mf 2 μ +A ω i m / 2 f l十 A 1o Jr;nnh べ17(72ddr(2-11イ 竿_)Y f t ( 2 ) ( 川 ) _ f1+ ' ¥mn~JJ 明?ι1" 2 f 1+A a27~n ) '' ¥m 2 f l十 A , 1 , n l ,/ 1 1 _ _ _m π brA (りU+, 1 LlAn日 一 αηL^'nut2p十 A nπα2~, ×3 7 P1b? と)jicos--mm-q+ b J Jα v 8 ρ n ι ×ザ町(仇o~) +1 土 AI f !ω ( α 戸)1+A'J3μ 十 _'~(2) ( 仇o c )+1 土A 2p十 . \V\- nO~) j 旬。幅王3 T f ' \"'no~i' 2 f1+A X 笹川 I (αJ)) 1山 竺 竺 ν+~ L JL , H n o f Q ( l ) ( 戸川市)一一 世ξ P(1)( 川 fJ ~Å.. b V ' 4 . . " ' 0 1 勾十 A 明 明。 f Q 叫んが ) 1 γ 11F23(F F)11cos 叫+~ ~Iよる f___f!_ 2 ρ +, 1 0 ' / /JJα47BLoi212+A 叫 X 刈 c t ( 1 ) ( d n o t ; )+ ::+A, 1 J f( 1 ) ( α +7j-1-f( ば )+_!l+A 乙 ρ十 A \~no~/J' " n Ol2f1+A' f ' \"'1o O~/' 2 μ十A L z8rn 2 μ ) 1 _ " _ _nπ αb 1 ( ×タ 約 1 J f ω 刊 ω ( 判 2 め 2 〉 刊 α (J 叫? ) j ! S l m n一 ν ト一 一一一一一一!沼 Bo P C 川 1 J J b 刑 明 I 十,1 ( 1 3 2 ) OnE l a s t i巴 B e h a v i o ra l o n gS i m p l yS u p p o r t e dE d g e so fR e c t a n g u l a rP l a t e s 353 ム 。 マ ) ]COS笠竺ぉ +ZJ瓦 b c 。( 7 ダ め' ( 70n( ) 1 i n竺竺 ν 0 n() α π ; ; :JD ザ O n l : , )+Dム ¥ js b ;QL27p)!coshzF-8 1l j J o o (1一均I l rQ j , )+J ∞品川十 J。 / J 一! ム u o o J U O O ¥ 4 7z lI UA Or X p(2)( l .LJ on 'j~ " C ( ; \~Or'J) I !J ¥ ' ~or'IJJ"""VIJ Or~ I C' .LJ On~ On~J .L N oJ.J.J. I lr/ ・ , m,n,γ =1,2,3,4 り I ) ( l + A . _I J !( =zz f n kmjfL ザ .! T" + 九%と)1 ¥ ' 羽 , c1 r ( m ~ 2 b T 「 1 ) L~~mnt 2p+A m n 2p+A π . _ _ p 十 K:n nr-~ーイ) ( ∞OnY) }1sinm 1 'm, , ( )十 戸 ) 、 J 山ギ子工 ' l 2f 1村 α ιu 円。 n;r FPL _竺型二一ーと土2-IE P117(dJ)+Em の(らj さ)1 +L c o s ν ' C O S竺 z J L J ¥ ' げ ~ 2 , c b α;γ2μ +1 b c 土 3 _ _IA~_P川α nrç) 十 A; γ P(2) 0αJ)lcospπ y.COS生 z 2j2j竺比一 ;4 α ;, μ(2(1十 A )¥ b C b J 肘 -~- . " 1 -~- 二 v"w がめ(ヲヲ )+fiJ1J)! -2215 ; -2 仇~LIG"wl~fl 瓦王工 Y' ¥1"m1"1J' 2[1十 A 1 !+i . 1JJ'(2)(川{!山竺1竺pcosfEz てゆく 2) (sm, +G~wí-~ , . r ; )+ i j 十 どf 乙 ¥f l十 A J α c 1 A ¥J- rroT f/ 1 ) (川 ) _~+,1 竺笠 pLO(49zrE)!+ιJV(hf) 十 戸 空I Q( " " n/ J " rf " 2 : ; :" ' :2L , b 1 ¥ 2p+1 α L j l ~ ~ j . _ _Y空 f 1+ l P ( 2 )(川) o s型 炉 C O S生 z-1]~ ~b2~n ¥c '.,.., J ; ; 2 α戸 α C 附 J 2 2p十 A b 品u ; 明 ど -;-1jf(1)倍以 + )+1 . xlH J 1 f ( 3 7r H J LJ-17f(J m r 川) ' J J .十 A 乙f 乙f J L 12p+A l 1十 A )1 ' mπ A w r,, 山 ¥ "" mosLElm一+ 三 和' (' 川 . 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G ん,H,,Hん , v a l u e s A ,Aふ,B r Jn J, ; r,Kmn'K ; " ' n,d enotet h ef i n i t eFourier七r a n s f o r m a t i o n sr e l a t i n gt oboth t h ecomponen 加 o fs t r e s sanddisplacementa tt h e boundary,a sf o l l o w s : 附 … 叫 町 r1 ゴ;;:jzj; 仰い]軒1:町σ,,)x~o]dz , ( 2 0 ) ; Z i : j j:sdWJh: J明百円 ( 2 1 ) 平 ニ S ) y抑 ; j j ; ) = & C r k 叫ん]平 SnCr[( 叫。J, ( 2 2 ) πB ; " r1 r πBr J SC 叫ん斗]平 S C γ区 内) yJ o' [ ( ( 2 3 ) 明 二 ", 明 ( 1 4 3 ) SumioNomachi 364 Z 川 " ; 2 : : と! : J 凶 凶 S " ι η 心 ι b 4 小 1 恥 [ ι [ ( J ふ x ) ) Z可 ~cJdx叫叶平吋J:凶 凶 S n η[ ?n ( ι z ; 託 坑 Z F t 正 去 : : ; i ; : 〉 ; : j )=: f 〉 j 〉 μ 凶 〉 川 S 札叫 , 心 , 叫 h 恥 廿 仙 ι じ t T ( ら 斗 口刊 ( ω , 2 二 札削 , ぺ 心 刈 [ む ( 札 札 削 叫 ? , 旬 ι 九 J 川 」 べ 」 心 , 占 [ (b πD ; " n l πD, n , ;=CS n( LTzx)z~ c] 平 C叫Sn[(τZ")z~oJ ' η 叫 … ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ηF 1 πFmJ=S Cn [ (Ty z ) ー]平 S C η[ ( ryz)z~oJ . ( 2 7 ) _( ' ( 0 . A .- r ) d A x+J (v, ~o) d Ax, ( 2 8 ) H~ol 汎 叫 … H o o j j ( υ ¥,:] J ; o l_ r よo j j ル b)dA"+(Uy~川A ?J' ( 2 9 ) : J を 任 引 : : 1 : j )ニ μ 戸 C 〉 ι 同 引4 品 , [ ( 3 0 ) 叫ι η c よ Jム n ; 川 0 1 i n , ^ ' '~7_, .-1 人o Jニ j。 引 いJdz平 joC4LJh, a H o : l i , . ,, _ . 'L.-I Ho,i:joCr[h]dHjoCT[uJdz, J ; , l_ ( ' br fo. 1 ,'-r A, j 1 0 c i u m = αJd C r [九~oJ ぬ, 円 . L , : ]n H ; ' w ) H?pbrj=C叫C,, [UY~bJ 平 C哨G,. [Uy.oJ , ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) J~, l ηC. よ" J二 CnC,, [ V x何]平 C ,[Vx~oJ , ( 3 5 ) E~,.l EJ=S?zSγ [1υ …]平 SnSr[wx~oJ , ( 3 6 ) Gん1 GmJ=Sι8,.[1υ Y~bJ 平 SmSr[wy~oJ ' ( 3 7 ) K ' ; 'l_ 二 ( 3 8 ) K'mnJ 1O S ",S1O [1ん ~J 平 S ", Sη [wz~oJ ・ BoundaryConditionsf o raS p e c i a lCase np a r t i c u l a ri nt h e n v e s t i g a t et h es t a t eo fs nabentp l a t e,i Toi r e s si 七 i m p l ysupportededge,wew i l lc h o o s et h ec a s ewhere neighborhoodo f七hes p p o s i t etwoedgesaad i shingeda l a t ei u p p o r t e da e t h ep ss ti 七so t七her n g u l a rc d g e s . Se七 t o o r d i n a t e, which i mainning e h eC a r t e s i a nr e c 七a s i g .2 h ep l a t e,a . r e f e r e dt ot sF ( 1 4 4 ) OnE l a s t i cB e h a v i o ra l o n gS i m p l yS u p p o r t e dE d g e so fR e c t a n g u l a rP l a t e s 3 6 5 旬。納何回目白 F i g .2 Theboundaryc o n d i七i o n si nt h i sc a s e,a r es at i s自edby w =0 (勿=0, x=α ), v=o ( 忽 ご 0, x=α ), ( 3 9 ) ( 4 0 ) =0 (劣=0, x=α). ( 4 1 ) 内 a t七heedgel i n e sX=Oandx=αare hinge, whichc o r r e s p o n dt o七h and wニ O (ν=0, υ=b ), ( ν = 0 , ν=b ), 円 =0 Txy - 0 (ν=0, Jj=b , ) 回 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) which c o i n c i d e with t h e simply suppor 七e d edges a r e on y=O and y=b. The above c o n d i七i o n s( 3 9 ),( 4 0 ),( 4 1 ),( 4 2 ),and ( 4 3 )a r ei d e n t i c a l with t h e r e l a 七i o n s Bん =0, En r=E ; z r=0, G =G ム=0, Jn,. =J.ん =0, An =A~, γ 二 0 , B 町 二 叩 wheret h es u f f i xm,n,andγincludez e r oi ni t s e l f . o a d sa c t normallyt ot h es u r f a c e s madebyz=Oandz=c, When七hel andd i s t r i b u t esymmetricallywithr e s p e c t七ot h emiddlep l a n ez=cj2,some remainingunknownv a l u e sa r ee l i m i n a t e d,t h a ti s Dmn-D ; 川 - D o n=D ; n 0, Fmn Fム Fmo ; n n F . ' : l Oニ 0, K 0, and H。 泊= H 。 よ= H ,= H ム ニ O. 朋 Adding,hereon,one morer e s 七r i c t i o nt h a tt h el o a d sa r ea I s osymmetrical h ec e n t e rl i n e s忽=α/2,andy=b/2,thenwef i n dt h a t withr e s p e c t七obotht Hん二 0, Ho = H ム , =O . γ Aftera l l,t h e componentso fd i s p l a c e m e n ta r ew r i t t e ni n也 eforms ( 1 4 5 ) SumioNomachi 366 U ニ L J L J ιar 竺- K J-J-rσζ)+_ ! '+A 1 j f(1)(は 1 ) -2 " l 2 μ +A 2 f 1十 A . . ,'fll/ll-~J j , 明 m 匁 附 xc o s竺竺 usinE 竺ν + L J L J互H αb 明~ 2 fQ ( l i ( んみ) 附 --'lfI;T ι1 一¥川α町/P(( s " , , : r ; ) 1 co s型 炉 ". ."J α -L 士 一 l ) どρ十 A 日 げ ( 4 5 ) l COS立 Z, c 1 2p十 A m 2 1 l + A ' -2 b rm n~~mn ×山竺竺 X'COS竿 ν_L J L J~b'竺 H仰 1J-f(iM) α 0 l2 f 1十 A 明 ; -2 a { i m γ ( 4 6 } μ+ A 1 "((1)((.) ~\l ~:~ ' m π 一一一~ j f(1)(ん亨 )!s i n _ ' . " " ' : _ x・ccs--Z, 2 μ十A ,. , . " "J α σ wニ L J L J QT ( rmn~) w n + 色 ; :竺民間[ 2m / nl ' ~ ( 1 ) " : : J ' 1 J 巴土~rl) (r明党と)1 sin 竺竺 x.sin-~í[ ν 2 / . 1十 A ¥ .'flbn~ J α I bmγ I l - t 、 … 一 +222f-竺 H~,'p(り (ßmrr;)sin 竺L竺 z ・ sin 工í[ z, ; :2 αc s ; n r2 μ 斗 A ~-m才師 α c 3 ( 4 7 ) m,れ ,r二 1,3,5 ・ , Thecomponentso fs t r e s sareexpressedby i n a x=L J L JI K . n nf ( ~し三ι+ _ _ _ _ I j ! _ _ _ ー ら ~(1)(r m n C )一回ι ゴ二五三里 r 間ク~ L 1 ¥2 μ +A a ' r ; " n 2 μ +A' m n /r ¥ 'm no"/ 2 [ 1+A α2r~nn 叫 吋 V ) ( σ 7 r Xψ 川 1 j J ψ ' ( ψ O 川 刈 F り 川 1 く 〉刊 P υ +一~~但担 ι竺土当 f立 1;_l)ヤ 刊ω 吋 υ 幻 刊 叩 ) 刊 M ( 戸 m ん r 川 川 甲 r 引 ; ) 1 )山竺竺竺与斗忽炉 … M. 刊 c ∞O 偲 伽 S竺 笠 竺ι M, P(l) 1 2 ρ 斗パ 叩附 α ) i σu=232KJt{-f 二 c 竺 こ +~1~r mn .~(1) ( 7m n C ) 2p斗 A b ' r m n '2 f 1+A ' m n ) m n1 +i . ). 5 ' _ 竺 . " _ _1 j J(1)( rmnご )1 山 m竺x . s i n竺 2 2 f 1十 A b r ηm " " ' " ' . 1 a _/l( p ν L J L Ja , mJ ! . . . . 生 土1 ) H 9 PF13(州 ) 山 町 ・ c o s竺 ; :' : ; 'b 2p+A ~~""αc ( 4 9 ) z σ 九z =LJLJ 丘坐斗2_ η九 z Kι"ム"?η叩 J.明匁…,n.zf~ 併~(l) 叩ヲ(r哨J ω 必' ) +μ 炉 i F〈 1叶 乞μ十 A 九r悶附? " . . . l ' ' " ' ' ' ' ' ," ' " ' _ ' ' 'J xsin 竺竺 x.sin 竺三 y-LJLJ 空空~H.帆 f _f l Aて Q(1) ( s 町可) 叫 十 γ 包 r l均十 λ γ' b ' ん1t l )P∞(向~,\1 一 一ー 千 井 sinh-cos竺-z, C 2 P L r一 乙 μ十 A '" . "J α c P(l)(() ( 14 6 ) ( 5 0 ) O nE l a s t i cB日h a v i o ra l o n gS i m p l yS u p p o r t e dE d g e so fR e c t a n g u l a rP l a t巴s τ T71Z ニ 一 I ;L J竺 竺 竺 f J 生 (ι十Jρり b ~乙均 iキ:fJ+À 哨 K~,^, P(l吋 1 必 ι ぷ よ 以 2 弘 Z : ; ; H( ム ι工ザr + 守 号 軒 や 写 早 苧 ρ d U α 叫 η 匁 3 6 7 判 川 l り l 刈 伊 ( s s m r i ) ) 削 +2ピ 針。〉 (FdishEminfEz, 2 [ 1 + , ( " J α c ".•.• m τ 弘ι 広悶 c士 一I;I;竺マ 九 ト Z:丘坐土企 K哨 η 叩 p , い 1 川 包 F 冊 η α α 2f 1一十ト A n c) iQ ~ ¥ 2 μ (+, 1 ) m W D(l)(Q ¥ 1 J~/_ Hmrr : Q(l )( s m r i ) ) 一一一一一一; ' P (l)( s " ", ) ! -I ; 2 Jf ' m T 2 c Ti m2ff+Adp;brj ( 5 2 ) xcosー ι X ' S l l l一二-z, α c ηzπ.γπ ; I ;f1 ア二竺~ Kmnf -~~ ~(1) ( rm n [ , ) x y=-I αb r 1 2 μ +1 , m n T η . , \α2i~;"r ¥ )ゆい)(戸附守 )cos~X'CoS '-'~- z, α c ) ノ j z l a げ ; ; ; ; ; : . 2 内 ) α vhυ ー 2 2 8 _ . .T T 1, • b m -LJI ; [ 1よ rLHη (1+ 、、,,ノ ο 乙f 1十 A 、 、 也 ,Eau-EZEEgEE'BEaJ + _ _ f ! _ 竺 了P 1 1〉(Tm?と)t c o s型 炉 C O S生 υ Theremainingunknownv a l u e sKmnandH . h o u l d bedeterminedt o m rs =0,respectively. s a t i s f ytheboundaryc o n d i t i o n sa tz=O,andν . iono fKmnand H , Determinat 明勿 Atf i r s t,t oa v o i dt h ec o m p l e x i t i e so ff u r t h e re v a l u a t i o n s,wew i l ladopt l a n e c o n s e r v a t i o n "f o r(u)y~O and( u ) ド b 't hen t h ewell-knownassumptiono f“p wemay w r i t ea sH H/ r 2i nwhichrdeno 七e soddi n t e g e r . Asf o rt h e 七h er e s u l t sestimatedthrough七heaboveassumption,seem t o u s u a lp l a t e, be p r a c t i c a l l y the same a st h o s e through t h er i g o r o u st h e o r y . Let t h e l o a d sa c tnormallyt ot h es u r f a c e sz=Oandz=c ,and be a l s oexpresseda s 加 工 q x y 二 叫 qI ; I ;Rmns i n竺 -x . s i n学 α 。ν. 間?る Thent h e boundary c o n d i t i o n sa tz ニ 久)戸O 二 一 ( 5 4 ) oandz:=c,become qI ; I ;Rmn山 竺 斗 ・ s i n T ! ? 一札 α u 明 冗 whichbyv i r t u eo fEq.( 5 0 ),y i e l d s ( 1 4 7 ) ( 5 5 ) SumioNoma巴h i 3 6 8 ι , n n=生士三一一一一一旦二 flK ( 1十,1 7 m n{ ザ ' ' ( rm nO )十 1 j f(1)守 山O ) } μY L +巳Hm 竺世 豆包弘己些(1 ) ( 7" , ,0 )+ ( ρ+ A )ヂ 1 ) ( 7 O μ+A α ¥b) 7 ;ペザ吋7mnO)十タ(1)σ mnO) } 叩 ( 5 6 ) ", Onemoreboundaryc o n d i 七i o ni sE q .( 4 4 ) : 'xy v a n i s h sa l o n gt h ee d g e l i n ey=Oandy=b. S i n c et h et h i c k n e s so ft h ep l a t ei salwasec o n s i d e r a b l y oi n s t e a do fE q .( 4 4 )wecan s m a l lcomparingwitht h es i d elengthsαorb,s adoptt h ef o l l o w i n gr e l a t i o n 同 j 7 2 F (y 二 0, y =b ) . ( 5 7 ) T h i smeanst h a tt h er e s u l t a n tc o u p l e sduet o押 , vanishsalongtheedge-1 ines y=O andν=b. Thuso b t a i n e dr e s u l ti swritteni nt h ef o l l o w i n ge q u a t i o n 2μK n > ' ! ! _ 'm竺 L~7 ι 一角土空 ザ1)(70)-f土 3 _ _I j ! (川T 四 ,0 )1 zrzαb 7' : nn l2'"'n 2 μ + A M 2 f l十 A ん了 or ( . . L b m ¥ ω1 十 2flHmZ (1 1十 つヌァ沖 ( 1m )ニ O. rO 2 2 乙T τ ¥ α“ i “ ゴ ( 5 8 ) r / Now,i n t r o d u c i n gnewa b b r e v i a t i o n日 。町二チ (1)(7m n ) ( 7n O), O)+ヂ 1 ", P m = 1 J 7mn+-Lf(T77anO)十 炉 刊r . m n O ), 2f 1十,1 [ 1 十A 3 f 1ム 2 , 1. J .(1) 1 1 ¥ f 1十 A n 一一~十7f(TmzO)--F1 〕 (7mO) , 2 2p .十,1 2 μ +A (y ( 5 9 ) "', ) 2 2 s m r (1 ( 1 ..L bm ¥ Vm 二 2 子十 十_!!::~- ~(l] ( s m r O), 乙r '¥ αi ゴ; n r/ 】 ande l i m i n a t i n gK . nn b e 七weenE q s .( 5 6 )and( 5 8 ),wee a s i l yf i n dt h a t 2 c ~ nRmn・' Pm n lH_=~μ+A G α b号 . . . J {}mn ・ r~/n f 由 一一一ρ 一← 一一一一一一一一 て一一一一一 一一 一ヂ 一一一 +A q ~ 川 ( c P n・ ーム+~\-←一一 2 J ; ; : ¥ α b) { } m n・ r : l n 望 ¥ ( 6 0 ) ?π ", From Eq.( 5 6 )wehavea tonce μ Kl n-生士三 q l 旦 竺 : 竺 p .+A " L 7 ' 1 l m冗 +竺:喧盟 . { } " ,η μ二} 7;smn ¥αbJ R 8・ 8・ ' P附 一 一 一 明 ", ×一 川市町 γ ( J ・ 7 ; " 8 2 P8 ・ ' P ms・ S2(C ¥ 2 m8 一 m " ; ' 一 { } ms• 7 ' ms ¥αbJ ", 怖 ( 14 8 ) ( 6 1 ) OnE l a s t i cB e h a v i o ra l o n gS i m p l yS u p p o r t e dE d g e so fR,e c t a n g u l a rP l a t e s 369 NumericalExample Lett h el o a d sq beas i n u s o i d a lshapeshowna s 噌 q 町 二 q . s i n竺 s i n乎 ( 6 2 ) 。 α Thens u t f i xm i nt h o s eformulasoughtt oi n d i c a t enumberoneo n l y . Furq u a l,anda l s ol e t thermore we makebotht h es i d e I e n g t hαandbbe e α =b= =1 0C , A 二1. 5p*, whereC denote t h et h i c k n e s so ft h ep l a t e . The p l a t e nowc o n s i d e r e d,i s h i np l a t eぺ Aftercompu 七i n ga sabove,wef i n d apparentlyb e l o n g i n gt o“t r egiveni nTable1 . n e c e s s a r yv a l u e sf o rdeterminatingKmnandHm,whicha T a b l e 1. 1 守ム寸 0.899648 1 4 0.937680 寸i 0.91306 1 .21376 1 .48430 1 .72711 1 .95163 2.16161 2.36335 0.979124 ω qL 0.965457 0.59568 14'A4i-i 0.835894 0.29840 1 3 5 7 9 1 -つ 0.736529 0.090024 ・5 0. 41 1696 0.593367 I叫 │ P'n 357 0.216235 I よ ー 1iti 579135791 0.0677093 13579135791 111112 0.0070284 官1 ω1=5 . 2 0 2 3 . Nows u b s t i t u t i n gt h e abover e s u l t si n t oE q .( 5 8 ),wehave μH, =-qx 1 .4308, by whicht h ev a l u e so fK' nTable2 . nareob七ainedi a l u e so f μK'n T a b l e2. V 叫 脅 叫 -1458.64 5 . 7 2 2 . 2 1 0 . 5 8 0 . 2 9 0 . 1 7 13 1 5 ndnud-1 4 1ょっし“ 5 7 9 141 1 3 │ μK' n │ μ K'n -0 . 1 1 -0 . 0 8 0 . 0 6 0 . 0 5 . -0 . 0 4 I nt h i sc a s eP o i s s o n ' sr a t i oo ft h ep l a t ei sa s s u m e dt ob e0.3. ( 1 4 9 ) 一 0.011174 0.017530 0.012590 0.10897 0.26928 48360 0. 0.73650 1 .02014 1 .30397 1.60602 S u m i oN o m a c h i 3 7 0 Toi l l u s 七 r a t et h ev a r i a t i o ni n宮t r e s sa l o n gt h ec e n t e rl i n ex=α / 2,t h e s h e a r i n gf o r c eS ywasc a l c u l a t e dbymeanso ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o n : J ( 1 ) 1 Su=-22f竺互主主主L K,,,n~ιf o ) ( rm n +I j l( 1 ) ( rm O) nO π π 7 r r ,二 7 2 b 号 2f J + A 勿叫 HO ) q o EEttgi--21E1eJ 1 んみ¥ Jα z I 7 f(l)IO , .) 2 ( μ +A)l 一 一 ー で_ ] f(l)( jSIn-一 乙l '十 A ,. " " 'U r t a 2 刑 、 、 、 “ { ι b一 一m 托L 1 f t _j( xsin~~"- x . c o s竺 υ+2]2]pH一 一 一 ) ー よ-f(Fd) α π 戸mr r 'l 2 μ +A , ‘ 均 ea'lo--El'SE'E 、 S y= 川 , t h a七 i sv e r七i c a ls h e a rp e ru n i to fl e n g t ha c 七i n g onac r o s ss e c t i o no ft h e x i s . I n a same way,v e r七i c a ls h e a rp e ru n i to f p l a t e normaI t ot h eya l e n g t ha c t i n gonac r o s ss e c t i o no ft h ep l a t enormalt ot h ex a x i s,i sdenoted xa sf o l l o w s : byS 同 回 ι ! い ゃ) ( rm " O )十 円γm n O ) l l ' ' ' ' " ' " ' J &=Z22 竺 f J( p+A )K, 間三 η.~ n α 2 f 'ー トA πT n , 叫 ," " " xc o s生 日inTjEν-2]2]戸 H市引い ( ( 3m, : 1 ) α o m r π γ“ l ( 6 4 ) _一 2( 1 '+A ) m" b ' '0(1)(ん 0 ~\ 1 一 一 一 一-7FO( み)cos--z. 2 μ +A a23 (γ ) α 問 Thev a l u e so fS ya r eshowni nF i g .3byar e a ll i n e,anda n o t h e rcurveby d o t t e dl i n ep r e s e n t st h esamef o r c eestimateda c c o r d i n gt ot h et h i np l a t e t he o r y6). 0 . 5q b 0, 4q b 0,3q b 0,2q b AV ωiωF 0 司 3 ・ ぴ包 -E Thee d g e r e a c t i o natν=0,i nv i r t u eo ft h i st h e o r y,i sw r i t t e ni n Rγ=-0.3915・q a . s i n竺竺, α w h i l et h esamer e a c t i o na c q u i r e dbyt h et h i np l a t et h e o r y,i sgivena s R ' J 二 一 0 . 4 2 9 7・ q α・ s i n主主. α ( 1 5 0 ) OnE l a s t i巴 B e h a v i o ra l o n gS i m p l yS u p p o r t e dE d g e so fRe巴t a n g u l a rP l a t e s 3 7 1 The variation o f the edgereactions along xニ owi 七 hy i sshown i nF i g .4 in which the r e a ll i n e and the dotted l i n e presen七 ther e s u l t s according 6 4 ),and t othe thinplate theory,respectively. to Formula ( 咽 The prompt r i s e of the curved f u l ll i n ei n the v i c i n i t yo f the origin, i s supposed tobe the concentrated reaction at the corner o f the pla七e, And the shearing force S x and the bending moment Mx remain at the edge-line ν ニ 0 ,as follows: Sx)y~o = ¥士山 dZ)'/~o = -0.5619 ・ qb.sin~竺, J。 α 払い respectively. While S and M atthe simply supported edge y oalways vanish according t o 七he thin pla 七e t heory. ( R e c e i v e dA p r i l3 0 ,1 9 5 9 ) " , 二 忽 R e f e r e n c e s 主 ) C r el Je sJ o u r n a l,Bd ,4 0,S .5 1( 1 8 5 0 ) . 2 ) W.Thomsona n dP .G .T a i t : N a t u r a lP h i l o s o p h y,2 .E d .(1879~1883). 3 )A .E .H.L o v e :M a t h e m a t i c a lT h e o r yo fE l a s t i c i t y,P .458~46 1. 4 t hE d .( 1 9 5 2 ) . 4 )A .N a d a i :E l a s t i s c h e nP l a t t e n,S .34~37 , B e r l i n( 1 9 2 5 ) . 5 )S .N o m a c h i:“ OnOneM e t h o df o rS o l v i n gT h r e e D i m e n s i o n a lS t r e s sP r o b l e m sb yMeanso f F i n i t eF o u r i巴rT r a n s f o r m s ",M e m o i r so fMuror a nI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g y,3 ,1 6 7( 1 9 5 8 ) . 6 )S .T i m o s h e n k o :T h e o r yo fP l a t ea n dS h e l l,P .113~117 ( 1 9 4 0 ) . ( 1 5 1 )
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