アクチュアリー試験（生保数理）予想問題＆解答

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1
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平成 26 年度
生保数理･･････1
生
保
数
理
（
予
想
問
題
）
問題１．次の（１）～（１４）の各問について、（１）は適切なものをすべて、（２）～（１４）
は最も適切なものを１つ、それぞれの選択肢の中から選び、解答用紙の所定の欄にマーク
しなさい。
各６点 (計８４点)
（１）次の（A）～（F）のうち、常に正しい関係を表している等式または不等式をすべて選びな
さい。なお、
（A）～（F）の中に常に正しい関係を表しているものが１つもない場合は（G）
をマークすること。
（Ａ）
（Ｃ）
（Ｅ）
Ia n |  an | n n a 
q x  mx 
Axt：nt |  Ax：n |
Pxt：nt |  Px：n |

an |
Ian |
（Ｂ）
an |
d
qx
px
1  Ax：n |
Pxt：nt |  d
ax：n |
（Ｄ）
ax

Iax：n1|
（Ｆ）
ax：n1 |
 an |
ax1：n1 |

ax1
Iax：n |
ax：n |
（２）次の（ア）～（オ）の値のうち、最大値および最小値の組合せは次のうちどれか。
（ア）以下の条件での、ハーディの公式を用いた総資産利回り
年始総資産 12,345 億円
年末総資産 16,789 億円
利息および配当金収入 159 億円
（イ）転化回数 8 回、年 1％の実利率に対する名称利率
  8,000 のときの年利
（ウ） Ia
（エ） a   96 のときの利力
（オ）債券の額面が 100 円、償還されるまでの年数 2 年、1 年後から開始される年 1 回払の
利息が年 1％、その購入価格が 99.9 円であるときのこの債券の利回り。
(Ａ)
(ア)(イ)
(Ｂ)
(ア)(ウ)
(Ｃ)
(ア)(エ)
(Ｄ)
(ア)(オ)
(Ｅ)
(イ)(ウ)
(Ｆ)
(イ)(エ)
(Ｇ)
(イ)(オ)
(Ｈ)
(ウ)(エ)
(Ｉ)
(ウ)(オ)
(Ｊ)
(エ)(オ)
2
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平成 26 年度
生保数理･･････2
（３）以下の条件を満たす定常状態の集団において、30 p30 の値に最も近いものは次のうちどれか。
ただし、集団からの脱退は死亡のみとする。
《条件１》30 歳のうち 30 年以内に死亡する人の死亡時平均年齢は 50 歳
《条件２》30 歳以上の観察死亡率は 0.019
《条件３》60 歳の完全平均余命は 25 年
（Ａ）
（Ｆ）
0.89
0.94
（Ｂ）
（Ｇ）
0.90
0.95
（Ｃ）
（Ｈ）
0.91
0.96
（Ｄ）
（Ｉ）
0.92
0.97
（Ｅ） 0.93
（Ｊ） 0.98
（４）次の①から⑥の空欄に当てはまる記号はどれか。下記の選択肢の中から正しい答えを１つ
選んで、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回用いてもよい。
Cxt 1  v  

ax：n |
sn |

①


  Dxt および st 1|  1  
②
1 n  Cx  t 1
Dx  n
となるので、


Dx
ax：n | t 1  Dx
したがって、養老保険の年払純保険料と
険料に等しい。
⑤
③
1 n
  st | より、
 Cx t 1st |
Dx sn | t 1

Ax：n |

ax：n |
 

④
が成り立つ。
の毎年の掛金との差分は、
⑥
の年払純保
【
（４）の選択肢】
（Ａ）
（Ｆ）
（Ｂ）
i
Dx t 1
（Ｋ） 1 
sn  t |
sn |
st |
（Ｐ）
1
（Ｕ）
累加定
期保険
sn |
（Ｇ）
（Ｌ）
1 i
N x t 1
1
st |
sn |
（Ｃ）
（Ｈ）
（Ｍ）
v
M x t 1
1
（Ｄ）
（Ｉ）
sn  t |
sn |
（Ｎ）
1
1
1
d
（Ｅ）
d
sn  t |
sn |
st |
sn |
（Ｊ）
1
（Ｏ） 1 
st |
sn |
sn  t |
sn |
（Ｑ）
1
an |
（Ｒ）
1
sn |
（Ｓ）
1
an |
（Ｔ）
1
sn |
（Ｖ）
累減定
期保険
（Ｗ）
減債基
金
（Ｘ）
元金償
還保険
（Ｙ）
年金積
立保険
3
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平成 26 年度
生保数理･･････3
x：n|  c 、 Dax：n|  d のとき、予定利率を表す式は次のう
（５） IAx：n|  a 、 DAx：n|  b 、 Ia
ちどれか。
【
（５）の選択肢】
（Ａ）
（Ｃ）
（Ｅ）
（Ｇ）
（Ｉ）
n 1 a  b
a  b  c  d  n  1
n 1 a  b
a  b  c  d  n  1
n 1 a  b
a  b  c  d  n  1
n 1 a  b
a  b  c  d  n  1
n 1  a  b
abcd n
（Ｂ）
（Ｄ）
（Ｆ）
（Ｈ）
（Ｊ）
na b
abcd n
nab
abcd n
nab
abcd n
nab
abcd n
n 1  a  b
abcd n
（６）保険料一時払、保険期間 n 年、満期保険金額 2 の生存保険で、期間途中の死亡に対しては
責任準備金の 7 割を即時に支払う保険を考える。この保険の一時払純保険料を Thiele の微
分方程式を用いて求めた場合、一時払純保険料を表すもっとも簡潔な式は次のうちどれか。
ここで、Thiele の微分方程式とは次の算式をいい、また、 Et は生存給付金、 S t は死亡保
険金を示している。
d tV  
 xt   tV    Pt    Et   xt S t
dt
【
（６）の選択肢】
0.3
2v n  n p x 
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｅ）
（Ｉ）

2 v n n px

0.7
0.6v n 1 n p x 
（Ｆ）
（Ｊ）
2v n  n p x 
0.7
2v n 1 n p x 
0.3
2v 1 p 
（Ｃ）
1.4v n n p x
（Ｄ）
（Ｇ）
2v n 1 n p x 
（Ｈ）
0.3
n
n
x
4
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0.7
0.6v n n p x
1.4v n 1 n p x 
平成 26 年度
生保数理･･････4
（７）30 歳加入の終身保険（保険料年払終身払込、死亡保険金年度末支払）で、保険料は加入時
100 万円、2 年目以降毎年始に 5 万円ずつ払い込むものとするとき、死亡保険金額の値に最
30  42.195 とし、予定事業費は
も近いものは次のうちどれか。なお、予定利率は 1.00％、 a
以下のとおりとする。
予定新契約費
新契約時に死亡保険金額の 20‰
予定集金費
2 年目以降に保険料払込のつど、営業保険料 1 に対し 0.03
予定維持費
毎保険年度始に、死亡保険金額 1 に対し毎年 0.002
（Ａ）
（Ｅ）
（Ｉ）
395 万円
415 万円
435 万円
（Ｂ）
（Ｆ）
（Ｊ）
400 万円
420 万円
440 万円
（Ｃ）
（Ｇ）
405 万円
425 万円
（Ｄ）
（Ｈ）
410 万円
430 万円
（８）40 歳加入、保険料年払の養老保険（保険金年度末支払、保険金額 1、保険期間 20 年、保険
料払込期間 10 年）において 10 年チルメル式責任準備金を積み立てたところ、第 1 保険年度
末の責任準備金が 0 となった。このとき、チルメル割合の値に最も近いものは次のうちどれ
か。
41：9 |  8.765 とする。
ただし、 i  q40  0.01、 A41：19 |  0.9876 、 a
（Ａ）
（Ｆ）
0.09
0.19
（Ｂ）
（Ｇ）
0.11
0.21
（Ｃ）
（Ｈ）
0.13
0.23
（Ｄ）
（Ｉ）
5
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0.15
0.25
（Ｅ） 0.17
（Ｊ） 0.27
平成 26 年度
生保数理･･････5
（９）40 歳加入、保険料一時払の養老保険（保険期間 20 年、保険金年度末支払、保険金額 1）に
おいて、7 年経過時点で保険料一時払の終身保険（保険金年度末支払）に転換する場合、転
換後の終身保険の保険金額に最も近いものは次のうちどれか。ただし、転換の方法は、転換
前契約の調整純保険料式責任準備金を用いて新しい契約の払済保険を購入し、転換後契約の
保険金額は払済保険金額と同額とする。また、転換前契約と転換後契約の保険料計算基礎率
のうち予定死亡率は同じ生命表に従い、予定利率および予定事業費率は下表のとおりとする。
なお、転換前契約と転換後契約の計算基数は、それぞれ予定利率に応じて（付表）のとおり
とする。
転換前契約
転換後契約
予定利率
1％
1.5％
予定新契約費
新契約時に保険金額の 25‰
なし
予定維持費
毎保険年度始に、死亡保険金額 1
予定集金費
（Ａ）
（Ｆ）
（同左）
に対し毎年 0.001
0.95
1.20
なし
（Ｂ） 1.00
（Ｇ） 1.25
なし
（Ｃ）
（Ｈ）
1.05
1.30
（Ｄ）
（Ｉ）
1.10
1.35
（Ｅ）
（Ｊ）
1.15
1.40
（付表）計算基数表
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
歳
Dx
65,413
64,670
63,926
63,181
62,436
61,687
60,935
60,179
59,418
58,651
57,877
57,095
56,303
55,500
54,687
53,863
53,027
52,179
51,318
50,446
49,560
予定利率＝1％
Nx
Cx
2,145,074
96
2,079,661 103
2,014,991 111
1,951,065 120
1,887,884 130
1,825,448 141
1,763,760 153
1,702,825 165
1,642,646 179
1,583,228 193
1,524,578 209
1,466,701 227
1,409,606 246
1,353,303 264
1,297,803 283
1,243,116 302
1,189,253 323
1,136,226 344
1,084,047 365
1,032,728 386
982,283 409
Mx
44,175
44,079
43,975
43,864
43,744
43,614
43,472
43,319
43,154
42,975
42,782
42,573
42,347
42,101
41,838
41,555
41,252
40,929
40,585
40,221
39,834
予定利率＝1.5％
Dx
Nx
Cx
53,688 1,602,634
78
52,816 1,548,946
84
51,952 1,496,129
90
51,094 1,444,177
97
50,242 1,393,084 104
49,395 1,342,841 112
48,553 1,293,446 122
47,714 1,244,893 130
46,878 1,197,179 140
46,045 1,150,301 151
45,214 1,104,256 162
44,383 1,059,042 175
43,552 1,014,659 189
42,720
971,107 202
41,886
928,387 216
41,052
886,501 229
40,216
845,449 244
39,378
805,233 258
38,537
765,855 273
37,695
727,318 287
36,851
689,623 303
6
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Mx
30,004
29,926
29,842
29,751
29,655
29,550
29,438
29,316
29,186
29,046
28,895
28,732
28,557
28,368
28,166
27,951
27,721
27,478
27,219
26,947
26,659
平成 26 年度
生保数理･･････6
（１０）40 歳加入、保険料年払の養老保険（保険期間 20 年、保険料払込期間 20 年、保険金年度
末支払、保険金額 1、予定利率 1%）において、加入後経過 t 年時点で払済保険に変更した場合
の払済保険金額が 0.56 となり、同時点で延長保険に変更した場合の生存保険金額が払済保険
金額の 95%の水準となった。このとき、 t の値に最も近いものは次のうちどれか。
ただし、加入後経過 t 年時点の解約返戻金 t W は、
10  t

0  t  10 （ V は加入後経過 t 年の平準純保険料式責任準備
 t V  0.02 
10
tW  
t


V
10

t

20

t
金）とする。
また、払済保険変更後の予定維持費は毎年度始に死亡保険金額の 2‰を、延長保険変更後
の予定維持費は毎年度始に死亡保険金額の１‰、生存保険金額の１‰を徴収するものとする。
なお、必要であれば、問題１（９）の（付表）に記載された数値を用いよ。
（Ａ）
（Ｆ）
1
11
（Ｂ）
（Ｇ）
3
13
（Ｃ）
（Ｈ）
5
15
（Ｄ）
（Ｉ）
7
17
（Ｅ）
（Ｊ）
9
19
（１１）次の①および②の空欄に当てはまる記号の組み合わせ（①、②）として正しいものは次
のうちどれか。
 x  t 
d  
a x t

tVx
dx
①
（Ａ）
（Ｄ）
（Ｇ）
（Ｂ）
x
x
x
V  
t x
①
a ,  
 a ,   
 ,  a 
x
②

（Ｅ）
x
（Ｈ）
x
1
 a ,  
 , a 
  ,  a 
x
x
x
x
（Ｃ）
（Ｆ）
a ,   
  , a 
x
x
x
x
x
x
3
1
（１２） Ax  0.4 , Axy  0.2 , Axyy  0.1 のとき、 A xyy の値に最も近いものは次のうちどれか。
（Ａ）
（Ｆ）
0.08
0.18
（Ｂ）
（Ｇ）
0.10
0.20
（Ｃ）
（Ｈ）
0.12
0.22
（Ｄ）
（Ｉ）
7
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0.14
0.24
（Ｅ） 0.16
（Ｊ） 0.26
平成 26 年度
生保数理･･････7
（１３） x 歳の被保険者が 3 名いるとき、次の事象が 25 年後から 1 年以内に起こる確率に最も近
いものは次のうちどれか。ただし、死力は年齢によらず 0.01 とする。
また、必要ならば、 e  1  a 
a
（a）第１死亡
（Ａ）
（Ｆ）
（Ｋ）
（Ｐ）
0.001
0.006
0.011
0.016
a2
2
aは定数 を用いても良い。
（b）第２死亡
（Ｂ）
（Ｇ）
（Ｌ）
（Ｑ）
0.002
0.007
0.012
0.017
（c）第３死亡
（Ｃ）
（Ｈ）
（Ｍ）
（Ｒ）
0.003
0.008
0.013
0.018
（Ｄ）
（Ｉ）
（Ｎ）
（Ｓ）
0.004
0.009
0.014
0.019
（Ｅ）
（Ｊ）
（Ｏ）
（Ｔ）
0.005
0.010
0.015
0.020
（１４）次の①から⑥に当てはまる数値に最も近いものは次のうちどれか。ただし、就業不能者
が回復して就業者集団に復帰することはないことを前提とする。
x
l xaa
d xaa
ix
l xii
d xii
q xaa
q xi
q xi 
lx
dx
50
①
20
②
―
―
0.002
0.10
0.01
③
30
51
―
―
④
―
―
⑤
0.11
⑥
―
―
52
9,000
―
180
200
―
0.003
0.20
0.02
9,200
50
（Ｄ）
（Ｉ）
（Ｎ）
（Ｓ）
（Ｘ）
0.08
10
60
9,900
10,150
（Ｅ）
（Ｊ）
（Ｏ）
（Ｔ）
（Ｙ）
0.002
20
70
9,950
10,200
（Ａ）
（Ｆ）
（Ｋ）
（Ｐ）
（Ｕ）
（Ｚ）
0.02
0.004
30
80
10,000
10,250
（Ｂ）
（Ｇ）
（Ｌ）
（Ｑ）
（Ｖ）
0.04
0.006
40
90
10,050
（Ｃ）
（Ｈ）
（Ｍ）
（Ｒ）
（Ｗ）
0.06
0.008
50
100
10,100
8
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平成 26 年度
生保数理･･････8
問題２． x 歳加入 n 年定期保険（保険金額 1、保険金期末払、保険料全期払込、n  1 ）について、
標準体の死亡率が q xk  、特別条件体の死亡率が qxk  に従うものとする。
k  0 , 1 ,, n  1
この保険について、次の①から⑧の空欄に当てはまる記号はどれか。下記の選択肢の中
から正しい答えを１つ選んで、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択
肢を複数回用いてもよい。
（8 点）
（１）2 つの死亡率 q xk および qxk に基づく年払平準純保険料をそれぞれ P および P とする
n 1
1
とき、 P  P 


②

③
④
k 0
①
 1 k 1V  となる。
（２） qxk  1   q xk の場合、標準体と特別条件体とで年払平準純保険料の額に差が生じない
ように、特別条件体に対する保険金額を 1 から 1    に減額した。   0 , 0    1
このとき、  
⑤
1

⑥
n 1

⑦

⑧
k 0
 1 k 1V  となる。
ただし、 tV は標準体の死亡率に基づく第 t 保険年度末純保険料式責任準備金とする。
【問題２の選択肢】
（Ａ）
1
（Ｂ）
d
（Ｃ）
1 i
（Ｄ）
v
（Ｅ）
i
（Ｆ）
Dx  k
（Ｇ）
Dx  k
（Ｈ）
N xk
（Ｉ）
N x  k
（Ｊ）
Cxk
（Ｋ）
C x  k
（Ｌ）
M xk
（Ｍ）
M x  k
（Ｎ）
N x  N xn
（Ｏ）
N x  N x n
（Ｑ）
M x  M x n
（Ｓ）
qx  qx  k
（Ｔ）
qxk  qxk
（Ｖ）

1 
（Ｙ）
2
2 
（Ｐ） M x  M xn
（Ｕ）
qxk  qxk
（Ｒ） q x  q x  k
2
1 
（Ｗ）
（Ｘ）

2 
（注）選択肢のうち、 Dx , N x , Cx , M x は標準体の死亡率に基づく計算基数とし、
Dx , N x , Cx , M x は特別条件体の死亡率に基づく計算基数とする。
9
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平成 26 年度
生保数理･･････9
問題３．災害または疾病により 5 日以上入院した場合、入院日数から 4 日を差し引いた日数と 120
日の短い方の日数に給付日額を乗じて得られる金額を入院給付金として支払う入院保険
を考える。退院までの入院日数ごとの入院発生率が下表で与えられているとき、平均給
付日数の値に最も近いものは次のうちどれか。なお、１つの階級に複数の入院日数が含
まれる場合には、当該日数の中央値を当該階級の入院日数と考えるものとする。
（8 点）
（例）入院日数が 10 日～19 日の階級 ⇒
入院日数
入院発生率
入院日数
入院発生率
10  19
 14.5 日が階級の入院日数
2
1日
0.11
2日
0.09
3日
0.08
4日
0.07
5日
0.06
6日
0.05
7日
0.04
8日
0.03
9日
0.02
10～
19 日
0.09
20～
29 日
0.08
30～
39 日
0.07
40～
49 日
0.06
50～
99 日
0.05
100～
149 日
0.04
150～
199 日
0.03
200～
299 日
0.02
300 日
以上
0.01
【問題３の選択肢】
（Ａ） 30
（Ｂ）
（Ｆ） 40
（Ｇ）
32
42
（Ｃ）
（Ｈ）
34
44
（Ｄ）
（Ｉ）
36
46
（Ｅ） 38
（Ｊ） 48
以上
10
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生
保
数
理
（
解
答
例
）
問題１．
（１）
（Ａ）について、教科書（上巻）25 ページ（6）より、 Ia n |  an |  n n a 
（Ｂ）について、教科書（上巻）26 ページ（7）より、
Ian |
an |
an |
i
となるので誤り。
 an | となるので正しい。
qx
となるので正しい。
px
ax 1：n 1 |
（Ｃ）について、教科書（上巻）83 ページ（9）より、 q x  mx 
（Ｄ）について、教科書（上巻）115 ページ（4）より、
ax：n |
ax
（Ｅ）について、教科書（上巻）178 ページ（5.3.8）より、tVx：n | 
となり、変形すると、
Axt：nt |  Ax：n |
Pxt：nt |  Px：n |

1  Ax：n |
Pxt：nt |  d

ax 1
となるので正しい。
Axt：nt |  Ax：n |
1  Ax：n |

Pxt：nt |  Px：n |
Pxt：nt |  d
となるので誤り。
（Ｆ）について、教科書（上巻）211 ページ（5）より、
Iax：n1 |
ax：n 1 |

Iax：n |
ax：n |
  となるので誤り。
（解答）
：
（Ａ）誤、
（Ｂ）正、（Ｃ）正、（Ｄ）正、
（Ｅ）誤、（Ｆ）誤
（２）
（ア）総資産利回りを i とすると、教科書（上巻）8 ページ（1.4.1）より、
2 159
≒ 0.0109749
12,345  16,789  159
（イ）名称利率を i とすると、教科書（上巻）5 ページ（1.2.4）より、
1

i 8   8  
1  0.018  1 ≒ 8  1.00124456518  1≒ 0.0099565


i
1
（注） 1  0.018  1.018  1.012
1
1
1 1 1
 
2 2
1 2

1 2



   1.012   となるので、電卓では 1.01 を
 



入力した後、√キーを 3 回押せば良い。
（ウ）年利を i とすると、教科書（上巻）26 ページ（7）
、教科書（上巻）21 ページ（1.8.6）およ
び教科書（上巻）15 ページ（1.5.17）より、
1 1 1 1  1 1 i 1 i 1 i 1 i 
     1  




id d d  i  iv
i
i
i
 i 
1
1 i
 8,000 となり、 i 
≒ 0.0113068
となるので、
i
8,000  1
8,000  Ia  Ia   a 
11
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2
（エ）利力を  とすると、教科書（上巻）19 ページ（1.7.6）より、 96  a  

1

となるので、
1
≒ 0.0104167
96
2
2

 1  1  

 1 
（オ）利回りを i とすると、 99.9  100  0.01 

   100  
 となるので、

1 i 
1  i  1  i  

2
1
 1 
整理すると、 101 
 99.9  0 より、
 
1 i  1 i
 1  12  4  101  99.9  1  40,360.6
1
となる。


1 i
2  101
202
202
 1≒ 0.0105079
よって、 i 
40,360.6  1
以上の結果、小さい順に並べると、
（イ）＜（エ）＜（オ）＜（ア）＜（ウ）となる。
（解答）
：（Ｅ）
（３）教科書（上巻）76 ページ（2.6.14）を用いれば、
《条件１》より、
T30  T60  30  l60
T  T60  30  l60
となるので、 30
 20 ・・・ ①
l30  l60
l30  l60
l
教科書（上巻）75 ページ（2.6.13）を用いれば、
《条件２》より、 30  0.019 ・・・ ②
T30
T
教科書（上巻）75 ページ（2.6.13）を用いれば、
《条件３》より、 60  25 ・・・ ③
l60
l30
 25  l60  30  l60
620
0
.
019
 20 となり、整理すると、
②③を①に代入すると、
 l30  35  l60
19
l30  l60
l
620
となるので、 30 p30  60 
 0.9323
l30 19  35
50  30 
解答：
（Ｅ）
（４）
①
について、 Cx t 1  v
x t
d xt 1  v xt   lxt 1  lxt   v xt  lxt 1  v xt  lxt
 v  v xt 1  lxt 1  v xt  lxt  v  Dxt 1  Dxt となるので、
②
について、
1  i   1  i  
1  i t 1  1  i t 2 
t
st|
st 1|  1

1  i   1  i   1  i 

t 1
t 2
1  i   1  i  
t 1
③
、
④
について、
t 2

＝（Ｆ）
。

 1  i   1
  1  i となるので、
 1  i   1
 1  i   1
①
 1  i 
t 1
②
＝（Ｂ）
。
ax：n| Dx  n
1 n
Cx t 1st| 

の両辺を ax：n| で割って整理すると、

Dx sn| t 1
sn|
Dx
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1
Dx
n
st|
t 1
sn|
 Cxt 1
ax：n|
1
Ax：n| A1x：n| Ax：1n| A1x：n|
1 Ax：n|
となるので、
 



ax：n| ax：n| ax：n| ax：n|
sn| ax：n|

1

 1 Dx
 
s
 n|


n
 Cxt 1
t 1
ax：n|
st| 

sn| 




 st| 
st| 

1 n
1 n
C

C


x  t 1  1 
Cx t 1 

x  t 1

 s 
D
D
s
t

1
x
t

1
1
1
x
n
|


n|
t 1

 となり、移項すれば、

 
 s 
ax：n|
sn|
ax：n|
a
x：n|

 n|




 st| 
1 n
C
 xt 1 1  s  A
Dx t 1
1
n| 
x：n|

③ ＝（Ｐ）
、 ④ ＝（Ｒ）となる。

 となるので、
ax：n|
ax：n| sn|
1
Dx
⑤
n
、
⑥
について、
③
、
④
より、
⑤
＝（Ｘ）
、
⑥
＝（Ｖ）となる。
（解答）： ① Ｆ、② Ｂ、③ Ｐ、④ Ｒ、⑤ Ｘ、⑥ Ｖ
（５）
IAx：n|  Cx  2Cx1    nCxn1  nDxn
Dx
Dx

vDx  Dx1   2vDx1  Dx2     nvDxn1  Dxn   nDxn

vDx  2 Dx1    nDxn1   Dx1  2 Dx2    nDxn  nDxn

Dx
Dx

Dx
Dx
1  d Dx  2Dx1    nDxn1   Dx1  2Dx2    nDxn   nDxn
Dx
Dx
D  2Dx1    nDxn1   Dx1  2Dx2    nDxn   d Dx  2Dx1    nDxn1   nDxn
 x
Dx
Dx
D  Dx1    Dxn1   nDxn  d Dx  2Dx1    nDxn1   nDxn
 x
Dx
Dx
D  Dx1    Dxn1
D  2 Dx1    nDxn1
 ax：n|  d Iax：n|
 x
d x
Dx
Dx
x：n|  d Iax：n|
より、 IAx：n|  a
・・・ ①
DAx：n|  nCx  n  1Cx1    Cxn1  Dxn
Dx
Dx
nvDx  Dx1   n  1vDx1  Dx2     vDxn1  Dxn  Dxn


Dx
Dx

vnDx  n  1Dx1    Dxn1   nDx1  n  1Dx2    Dxn  Dxn

Dx
Dx
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
1  d nDx  n  1Dx1    Dxn1   nDx1  n  1Dx2    Dxn   Dxn

nDx  n  1Dx1    Dxn1   nDx1  n  1Dx2    Dxn   d nDx  n  1Dx1    Dxn1   Dxn

nDx  Dx1    Dxn1  Dxn   d nDx  n  1Dx1    Dxn1   Dxn
Dx
Dx
Dx
Dx
Dx
Dx
nDx  Dx1    Dxn1   d nDx  n  1Dx1    Dxn1

Dx
Dx
n  1Dx  Dx  Dx1    Dxn1   d nDx  n  1Dx1    Dxn1

Dx
Dx
 n  1  ax：n|  d Dax：n|
x：n|  d Dax：n|
より、 DAx：n|  n  1  a
・・・ ②
x：n|  d Iax：n|  n  1  ax：n|  d Dax：n| となるので、
①②を辺々加えると、 IAx：n|  DAx：n|  a
IAx：n|  DAx：n|  n  1  d Iax：n|  d Dax：n|
n  1  IAx：n|  DAx：n|
d
Iax：n|  Dax：n|
n  1  IAx：n|  DAx：n|
1 v 
Iax：n|  Dax：n|
n  1  IAx：n|  DAx：n| Iax：n|  Dax：n|  IAx：n|  DAx：n|  n  1
v  1

Iax：n|  Dax：n|
Iax：n|  Dax：n|
Iax：n|  Dax：n|
1 i 
Iax：n|  Dax：n|  IAx：n|  DAx：n|  n  1
Iax：n|  Dax：n|
n  1  IAx：n|  DAx：n|
i
1 
Iax：n|  Dax：n|  IAx：n|  DAx：n|  n  1
Iax：n|  Dax：n|  IAx：n|  DAx：n|  n  1

n 1 a  b
a  b  c  d  n  1
解答：
（Ａ）
（６）題意より Pt
 
 0 t  0 、 Et  0 、 St  0.7 tV   であるから、
d tV  
 xt   tV    0.7  xt tV  
dt
1 d tV  
   0.3 xt
 
dt
tV
log V        0.3
t
 n
0
n
0
x t
dt
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ここで、 0V
 
が一時払保険料 A であり、 nV    2 、

n
0
 xt dt   log n p x であるので、
log 2  log A  n  0.3 log n p x   log en  log n p x 
0.3
log A  log 2  log en  log n p x 
0.3
A  2e n  n p x 
0.3
 2v n  n p x 
 log 2  log e n  log n p x 
0.3

 log 2e n  n p x 
0.3

0.3
（解答）
：（Ａ）
（７）求める死亡保険金額を S とすれば、収支相等の原則より、
1,000,000  50,000  a30  S  A30  S  0.02  S  0.002  a30  50,000  0.03  a30
となるので、変形して、 S 



1,000,000  50,000  a30  50,000  0.03  a30
A30  0.02  0.002  a30
1,000,000  50,000  a30  1  50,000  0.03  a30  1
1  d  a30   0.02  0.002  a30
1,000,000  50,000  a30  1  50,000  0.03  a30  1
i


 a30   0.02  0.002  a30
1 
 1 i

1,000,000  50,000  42.195  1  50,000  0.03  42.195  1
 4,366,268.74
0.01


 42.195   0.02  0.002  42.195
1 
 1  0.01

（解答）
：（Ｉ）
（８）第 1 保険年度末の責任準備金が 0 となり、かつ、チルメル期間は保険料払込期間と同じで
あるため、これは初年度定期式責任準備金となる。したがって、教科書（下巻）18 ページ（8.2.2）
より、求めるチルメル割合  は、
  9 P41：19| 10 P40：20|  a40：10| ・・・ ①


となる。一方、
10
P40：20 | 
A40：20 |
a40：10 |

vq40  vp40 A41：19 |
1  vp40a41：9 |
・・・ ②
となるので、②を①に代入すると、
 A41：19 |
vq40  vp40 A41：19 | 
  1  vp a
40 41：9 |
 a41：9 |
1  vp40a41：9 | 


1
1


 q40 
 1  q40  A41：19 | 
A
41：19 |
1 i
  1  1  1  q40  a 

 1 i
41：9 |
1
 a41：9 |
  1 i





1


1

q

a


40
41：9 |
1

i


1
1


 0.01 
 1  0.01 0.9876 
 0.9876
1.01
  1  1  1  0.01 8.765  ≒ 0.10277

 1.01
1
 8.765
  1.01

1
 1  0.01 8.765


1.01


 



（解答）
：（Ｂ）
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（９）払済保険金額を S とすると、収支相等の原則から、
I 1% 
7 40：20|
V

1.5% 
1.5% 
 S  A47
 0.001 a47

・・・ ① となる。
ただし、記号右上の（1.5％）は、予定利率 1.5％で計算することを表す。（以下同様）
一方、教科書（下巻）24 ページ(8.3.10)より、保険料一時払に注意して、
I 1% 
7 40：20|
V
1% 
1% 
1% 
 7V401：%20|  0.001 a47
 A47
 0.001 a47
：13|
：13|
：13|
1% 

1% 
1.5% 
47：13|  S  A47
②を①に代入すると、 A47：13|  0.001 a
・・・ ② となる。

1.5% 
となるので、
 0.001 a47
（付表）を用いて整理すると、
1% 
1% 
1% 
1% 
1% 
M 47
 M 60
 D60
N 47
 N 60
 0.001
1% 
1% 
1% 
1% 
A47
 0.001 a47
D47
D47
：13|
：13|
S  1.5% 

1.5% 
1.5% 
1.5% 
M 47
N 47
A47  0.001 a47

0
.
001

1.5% 
1.5% 
D47
D47
43,319  39,834  49,560
1,702,825  982,283
 0.001 
60,179
60,179

≒1.3949
29,316
1,244,893
 0.001 
47,714
47,714
（解答）
：
（Ｊ）
（１０）払済保険の保険金額を S
払済

とすれば、収支相等の原則より、
W  S 払済  A40t：20t|  0.002  a40t：20t|
t

となる。また、延長保険の生存保険金額を S
・・・ ①
生存
とすれば、収支相等の原則より、

W  A401t：20t|  0.001 a40t：20t|  S 生存  A40t：201t|  0.001 a40t：20t|
t

40t：20t|
となる。①②より、 S 払済  A40t：20t|  0.002  a

・・・ ②


 A401t：20t|  0.001 a40t：20t|  S 生存  A40t：201t|  0.001 a40t：20t|

・・・ ③
一方、与えられた条件から、
S 生存  0.95  S 払済・・・ ④

40t：20t|
となるので、③④より、 S 払済  A40t：20t|  0.002  a



 A401t：20t|  0.001 a40t：20t|  0.95  S 払済  A40t：201t|  0.001 a40t：20t| となり、整理すると、
S
払済

A401t：20t|  0.001  a40t：20t|

A40t：20t|  0.002  a40t：20t|  0.95  A40t：201t|  0.001  a40t：20t|
16
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

A401t：20t|  0.001  a40t：20t|
A401t：20t|  0.05  A40t：201t|  0.00105  a40t：20t|
M 40t  M 60
N
 N 60
 0.001  40t
D40t
D40t

M 40t  M 60
D60
N
 N 60
 0.05 
 0.00105  40t
D40t
D40t
D40t

M 40t  M 60   0.001 N 40t  N 60 
M 40t  M 60   0.05  D60  0.00105  N 40t  N 60 
⑤の右辺の t に 0~20 の数値を当てはめると、
右表のとおりとなるので、 S
払済
 0.56 に近いのは、
t  11 となる。
・・・ ⑤
t ⑤の右辺 t ⑤の右辺
0
0.685 11
0.563
1
0.678 12
0.541
2
0.672 13
0.514
3
0.664 14
0.482
4
0.656 15
0.443
5
0.647 16
0.395
6
0.637 17
0.334
7
0.626 18
0.256
8
0.613 19
0.150
9
0.599 20
0.000
10
0.582
（解答）
：（Ｆ）
（１１）
 
教科書（上巻）190 ページ（5.4.13）より、 n   とすれば、 tVx
一方、教科書（上巻）133 ページ（7）
（b）より、
1
a x t
ax
・・・ ①
dax
 ax  x     1 ・・・ ②
dx
d

d

 a x t   a x  a x t   a x 


d
d
a
d a x t
dx

 dx 
1  x  t   
①②より、 tVx  
 
2
dx
dx 
dx a x
ax 
ax
a      1 ax  ax t  ax  x     1
  x t x t
ax 2
 



ax  t   x  t  ax  ax  t    ax  ax  ax  t  ax   x  ax  t  ax    ax  t
ax 2
   x   ax  t  ax  ax  ax t 
ax  t   x  t  ax  ax  ax  t  ax   x  ax  t
  x t
2
ax 
ax 2
 xt   x a xt
ax

a x  a x t
a x 2

a x t
 xt   x   1
ax
ax
 a x t
1 
ax


a
V  
   xt  xt   x   t x
ax
ax

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となる。
（解答）
：（Ｃ）
（注）本問は、教科書（上巻）200 ページ第５章練習問題(2)（2）
（b）と同じ問題。
（１２）
1
2
3
3
1
2
2
2
Ax  Axyy  Axyy  Axyy より、 Axyy  Ax  Axyy  Axyy  0.4  0.1  Axyy  0.3  Axyy ・・・ ①
一方、3 名の被保険者 x  ,  y  , z  において、  x  が 2 番目に死亡するパターンは、
 y   x  z  または z   x   y  の２パターンあることから、


0
0
Axyz  Ax y z  Axy z1   vt t q y t pxz  x  t dt   vt t qz t pxy  x  t dt が成り立つので、特に、  y   z  の
2
2
2
1
2
場合を考えると、 A xyy  2 


0
v t t q y t p xy  x t dt  2   v t 1t p y t p xy  x t dt

0




1
1
 2    vt t pxy  x  t dt   vt t pxyy  x  t dt   2  Axy  Axyy  2  0.2  0.1  0.2
0
 0

・・・ ②
3
②を①に代入して、 Axyy  0.3  0.2  0.1
解答：
（Ｂ）
≪別解≫  x  が 3 番目に死亡するのは、  x  の死亡前に  y  と z    y  がすでに死亡していればよ
3
いので、 A xyy 


0
v t t px  xt 1t p y 1t p y  dt となり、変形すると、


A xyy   v t t px  xt 1 2t p y  t p y  dt

3
0
2
  v t t px  xt dt  2 v t t px  xt t p y dt   v t t px  xt t p y  dt



0
0
0
1
2
1
 Ax  2 Axy  Axyy  0.4  2  0.2  0.1  0.1
（１３）教科書（下巻）100 ページ第 12 章練習問題（1）
（５）および教科書（下巻）253 ページ
以降を参照。
（a） 25 , 26 で初めて誰かが死亡するのだから（12.2.5）より、求める確率は、
qxxx 25 pxxx 26 pxxx   25 px    26 px 
3
25
3
t
・・・ ① となる。
t
 xs ds  e 0 0.01 ds  e 0.01t
一方、与えられた条件から、 t px  e 0

 1   0.01t  
 0.01t 2
2
 1  0.01t  0.00005t 2
・・・ ② となる。
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①②より、  25 px    26 px 
3
3

 

3
3
 1  0.01 25  0.00005  252  1  0.01 26  0.00005  262  0.013512
（b）
（12.2.16）により、その確率は 25 pxxx 26 pxxx
2
2
その値は（12.2.17）で y  z  x としたものであるから
25
2
2
pxxx
26 pxxx
325 qxx 225 qxxx 325 pxx  qx1,x1 225 pxxx  qx1,x1,x1
325 pxx  2qx 1  qx 1  qx 1  225 pxxx  3qx 1  3qx 1  qx 1  qx 1  qx 1  qx 1 

 3   25 px   2  1  px1   1  px1 
2
2


 2   25 px   3  1  px1   3  1  px1   1  px1 
3
2
3

・・・ ③ となる。
ここで、②より、
25
px  1  0.01 25  0.00005  252  0.78125
px1  1  0.011  0.00005 12  0.99005
・・・ ④ となる。
・・・ ⑤ となる。
となるので、④⑤を③に代入すると、

2
2
pxxx
26 pxxx
 3  0.78125  2  1  0.99005  1  0.99005
2
25
2


 2  0.78125  3  1  0.99005  3  1  0.99005  1  0.99005
3
2
3

 0.0080718
（c）
（12.2.10）を用いて、その確率は 25 p xxx  26 p xxx であるが、
（12.2.8）を用いると
25


pxxx 26pxxx  1  125px   1  126px 
3
3

・・・ ⑥ となる。
ここで、②より、 26 px  1  0.01 26  0.00005  26  0.7738
2
・・・ ⑦ となる。
④⑦を⑥に代入すると、
25



pxxx 26 pxxx  1  1  0.78125  1  1  0.7738  0.0011063
3
3
（解答）：(a)Ｎ、(b)Ｈ、(c)Ａ
（１４）
①
について、教科書（下巻）154 ページ（13.1.3）より、 q x 
aa
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d xaa
となるので、
l xaa
aa
l50

②
aa
d 50
20

 10,000 となる。
aa
q50 0.002
①
＝（Ｕ）
i 
について、教科書（下巻）154 ページ（13.1.4）より、 q x 
i 
aa
i50  q50
 l50
 0.0110,000  100 となる。
③
ii
l50

②
＝（Ｒ）
について、教科書（下巻）155 ページ（13.1.11）より、 qx 
i
d xii
となるので、
1
ii
l x  ix
2
ii
aa
d 50
d 50  d 50
1
1
30  20 1

i

 i50 
 100  100  50  50 となる。
50
i
i
2
0.1
2
q50 2
q50
よって、 l50  l50  l50  10,000  50  10,050 となる。
aa
④
ix
となるので、
l xaa
ii
③
＝（Ｖ）
について、教科書（下巻）155 ページ（13.1.11）より、 qx 
i
d xii
となるので、
1
l xii  ix
2
ii
ii
 d ii
 d51
 d51

ii 
ii
ii 
ii
aa

i51  2   51

l

2


l

i

d

2

 l50
 i50  d50  d50


51 
50
50
50


i
 0.11

 0.11

 q51




 d ii

 d ii

 2   51  50  100  30  20  2   51  140 
 0.11

 0.11



・・・ ① となる。
一方、教科書（下巻）154 ページ（13.1.2）より、 lx 1  lx  d x  ix となるので、
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
i51  l52
 l51
 d 51
 200  140  d 51
 d 51
 60 ・・・ ② となる。
①②より、 i51 
⑤
150.8
≒ 79.79 となる。
1.89
④
＝（Ｐ）
について、教科書（下巻）154 ページ（13.1.1）より、 l x1  l x  d x  i x となるので、
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
l51
 l50
 d 50
 i50  10,000  20  100  9,880 となり、同様に、 l52
 l51
 d 51
 i51 より、
aa
aa
aa
d 51
 l51
 i51  l52
≒ 9,880  77.89  9,000  802.11 となる。
aa
よって、 q51 
aa
d 51
802.11

≒ 0.081 となる。
aa
9,880
l51
⑤
＝（Ｄ）
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⑥
i 
について、教科書（下巻）160 ページ（13.1.27）より、 q x
i 
るので、 q51







140  1


1 
1   0.1

 10,020  2
④

aa
ii
ii
ii
 140
 d 51
200  d 51
l52
l51
i

 
1  0.1
1
1  q51 
1  q51

9,200 
10,020
l51
l52
l51



ii
140  1
 l51
 1 i 


1  1  q51 
1 
1   0.1

 10,020  2
 l51  2 
ii
 140
200  802.11  d 51
1 

1  0.1
9,200 
10,020  10,020
一方、

l xii1
l ii
1  q x  x 1  q xi
l
lx
 x 1
とな
ii
 l x  1 i 
1  1  q x 
 l x  2 
・・・ ③ となる。
の結果と②より、 d 51  i51  60 ≒17.89
ii
・・・ ④ となる。
③④より、
i 
q51
200  802.11  17.89  140
1  0.1
1 

9,200 
10,020
10,020


≒ 0.007884 となる。
140  1


1 
1   0.1

 10,020  2
⑥
＝（Ｈ）
（解答）： ① Ｕ、② Ｒ、③ Ｖ、④ Ｐ、⑤ Ｄ、⑥ Ｈ
なお、表は以下のとおり。
x
l xaa
d xaa
ix
l xii
d xii
q xaa
q xi
q xi 
lx
dx
50
10,000
20
100
50
10
0.002
0.10
0.01
10,050
30
51
9,880
800
80
140
20
0.081
0.11
0.008
10,020
820
52
9,000
27
180
200
23
0.003
0.20
0.02
9,200
50
問題２．
（１）
責任準備金の再帰式より、
V  P  vqxk  vpxk k 1V  vqxk  v1  qxk k 1V  vqxk v k 1V  vqxk k 1V ・・・ ①











 ・・・ ②
kV  P  vqxk  vpxk k 1V  vqxk  v1  qxk k 1V  vqxk v k 1V  vqxk k 1V
k
②から①を辺々引くと、
 kV kV   P  P  vqxk  qxk   v k 1V k 1V   vqxk k 1V   vqxk k 1V 
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・・・ ③
ここで、  kV  kV  kV 、 P  P  P 、 qxk  qxk  qxk とおけば、③より、
 kV  P  vqxk  v k 1V  vqxk k 1V   vqxk k 1V  ・・・ ④ （注１）
となるので、④の右辺に、 vqx  k k 1V  vqx  k k 1V  0 を加えると、
kV  P  vqx  k  vk 1V  vqx  k k 1V   vqx  k k 1V   vqx  k k 1V  vqx  k k 1V 
 kV  P  vqxk  v k 1V  vqxk  k 1V k 1V  v k 1V qxk  qxk 
 kV  P  vqxk  v k 1V  vqxk  k 1V v k 1Vqxk
 kV  P  vqxk 1k 1V   v k 1V 1  qxk 
P  vqxk 1 k 1V   v k 1V 1  qxk   kV
P  vqxk 1k 1V   vpxk  k 1V  kV ・・・ ⑤
となるので、⑤の両辺に Dx  k を乗じると、
P  Dx  k  vqx  k 1k 1V  Dx  k  vpx  k k 1V  Dx  k kV  Dx  k
P  Dx k  vq xk 1 k 1V   Dxk  v
l xk 1
 k 1V  v xk l xk  kV  Dxk
l xk
P  Dxk  vqxk 1 k 1V   Dxk  k 1V  v xk 1l xk 1  kV  Dxk
P  Dxk  vqxk 1k 1V   Dxk  k 1V  Dxk 1  kV  Dxk
・・・ ⑥
となるので、⑥の両辺を k  0 , 1 ,  , n  1 について、辺々加えると、
n1
n1
 P  Dxk   vqxk 1k 1V   Dxk
k 0
k 0
n 1
n 1
k 0
k 0
P   Dx  k   vDx  k qx  k 1k 1V  となるので、
P  P  P 
n 1
1
n 1
 D
k 0
xk
x  k qx  k 1 k 1V  
 vD
k 0
となり、
① ＝（Ｏ）
、
（②③④は順不同）
②
＝（Ｄ）
、
1
N x  N x  n
③
n 1
 vD q
k 0
＝（Ｇ）
、
 qx  k 1k 1V 
xk
xk
④
＝（Ｔ）となる。
（注１）右辺の最後の項について変形方法は２つある。
《方法１》  vqx  k k 1V を加える：
kV  P  vqx  k  vk 1V  vqx  k k 1V   vqx  k k 1V   vqx  k k 1V  vqx  k k 1V 
《方法２》  vqx  k k 1V  を減じる：
kV  P  vqx  k  vk 1V  vqx  k k 1V   vqx  k k 1V   vqx  k k 1V   vqx  k k 1V 
本問の場合、
《方法１》で解くことができたが、仮に、
《方法２》を採用した場合、
P  vqxk 1k 1V   v k 1V 1  qxk   kV
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と変形され P  P 
1
Nx  Nxn
n 1
 vD q
k 0
xk
xk
 qx  k 1k 1V  となり問題文に合わない。
（２）責任準備金の再帰式より、
V  P  vqx  k vk 1V  vqx  k k 1V ・・・ ①





 ・・・ ②
kV  P  vqx  k v k 1V  vqx  k k 1V
k
与えられた条件から、②の保険金額が 1    となるとき、②の左辺の P が P に等しいので、
②より、 1   kV   P  1   vqx  k vk 1V   vqx  k k 1V 
・・・ ③
③から①を辺々引くと、
 kV kV   kV   vqx k  qx  k   v k 1V k 1V   vqx  k k 1V   vqx k k 1V    vqx  k vk 1V   vqx k k 1V 
ここで、  kV  kV  kV 、 P  P  P 、 qxk  qxk  qxk とおけば、
kV  kV   vqx  k  vk 1V  vqx  k k 1V   vqx  k k 1V    vqx  k vk 1V   vqx  k k 1V 
kV  vqx  k  vk 1V  vqx  k k 1V   vqx  k k 1V    vqx  k  v1  qx  k k 1V kV 
・・・ ④
となるので、④の右辺に、 vqx  k k 1V  vqx  k k 1V  0 を加えると、
kV  vqx  k  vk 1V  vqx  k k 1V   vqx  k k 1V   vqx  k k 1V  vqx  k k 1V 
  vqx  k  v1  qx  k k 1V kV 
kV  vqx  k  vk 1V  vqx  k k 1V  vqx  k k 1V   vqx  k  v1  qx  k k 1V kV 
 vqx  k  v1  qx  k k 1V kV   vqxk  v1  qxk  k 1V  vqxk k 1V  kV
 vqx  k  vpx  k k 1V kV   vq xk 1 k 1V   vpxk  k 1V  kV ・・・ ⑤ （注２）
となるので、⑤の両辺に Dx  k を乗じると、
 vqx  k  vpx  k k 1V kV  Dx  k  vqx  k 1k 1V  Dx  k  vpx  k k 1V  Dx  k kV  Dx  k
 vqx  k  Dx  k  vpx  k k 1V   Dx  k kV   Dx  k  
vqx  k 1k 1V  Dx  k  vpx  k k 1V  Dx  k kV  Dx  k
 vqx  k  v x  k lx  k  vpx  k k 1V   v x  k lx  k kV   Dx  k  
vqx  k 1k 1V  Dx  k  vpx  k k 1V  v x  k lx  k kV  Dx  k
 v x  k 1d x  k k 1V   v x  k 1lx  k 1 kV   Dx  k  
vqx  k 1k 1V  Dx  k k 1V  v x  k 1lx  k 1 kV  Dx  k
 Cx  k k 1V   Dx  k 1 kV   Dx  k   vqx  k 1k 1V  Dx  k k 1V  Dx  k 1 kV  Dx  k
・・・ ⑥
となるので、⑥の両辺を k  0 , 1 ,  , n  1 について、辺々加えると、
n 1
n 1
k 0
k 0
  Cx  k k 1V   Dx  k 1 kV   Dx  k    vqx  k 1k 1V  Dx  k k 1V  Dx  k 1 kV  Dx  k 
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n 1
n 1
k 0
k 0
   Cx  k   vqx  k 1k 1V   Dx  k
n 1
  M x  M x  n    vqx  k 1k 1V   Dx  k
・・・ ⑦
k 0
ここで、 qx  k  1   qx  k より、 qx  k  qx  k  qx  k  1   qx  k  qx  k  qx  k となるので、⑦
より、  
1
M x  M x  n
n 1
 vq 1
さらに、 vqx  k Dx  k  v 

xk
k 0
V   Dx  k
・・・ ⑧
k 1
1 

 qx  k  v x  k lx  k 
 1   qx  k  v x  k ilx  k
1 
1 



 qx  k  v x  k ilx  k 
 v x  k i d x  k 
 Cx  k
1 
1
1 
・・・ ⑨
となるので、⑨を⑧に代入すると、

1
M x  M x  n
n 1


1




C
1

V



 Cx  k 1k 1V  となる。
xk
k 1
1   M x  M x  n k  0
k 0 1  
n 1
となり、
⑤ ＝（Ｖ）
、
（⑦⑧は順不同）
⑥
＝（Ｑ）
、
⑦
＝（Ａ）
、
⑧
＝（Ｋ）となる。
（解答）
： ①Ｏ、②Ｄ、③Ｇ、④Ｔ、⑤ Ｖ、⑥ Ｑ、⑦ Ａ、⑧ Ｋ
（②③④は順不同、⑦⑧は順不同）


（注２）⑤の右辺第 1 項は、 vq x  k  vqx  k  q x  k   v qx  k 
1


qx k   v
qx k と変形
1 
1 

できるので、⑤の両辺に Dx  k を乗じて整理すると、
 C x k  k 1V   Dx k 1  k V   Dx k  

C x k 1 k 1V   k 1V  Dx k 1  kV  Dx k
1 
となるので、両辺を k  0 , 1 ,  , n  1 について、辺々加えると、
  M x  M x n  nV   Dx n  0V   Dx  
 n1
 C xk 1 k 1V   nV  Dxn  0V  Dx
1   k 0
となり、 nV  0V   nV  0V  0 に注意すれば、
  M x  M x  n  
 n1
 C xk 1 k 1V  となる。
1   k 0
※ （１）の結果は 2 つの死亡率 q xk および qxk に基づく定期保険の保険金額が等しい
ことが前提であるため（２）には適用できない。
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問題３．
教科書（下巻）181 ページ（14.1.4）より、求める平均給付日数は、
q hi
q hi



i

4


 h 120
h
i 5 q
i 125 q
124
・・・ ①
hi
となる。ただし、 q は入院日数 i 日の入院発生率とし、
q h   q hi
・・・ ②
i 5
である。入院発生率の表のうち 10 日以上の入院日数の階級に複数の入院日数が含まれるため、当
該階級の入院日数としての当該日数の中央値を求めると下表が得られる。
入院日数
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
（中央値）
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
入院発生率
0.11
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
入院日数
10～
19 日
20～
29 日
30～
39 日
40～
49 日
50～
99 日
100～
149 日
150～
199 日
200～
299 日
300 日
以上
（中央値）
14.5
日
24.5
日
34.5
日
44.5
日
74.5
日
124.5
日
174.5
日
249.5
日
300 日
以上
入院発生率
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
上表より、
q h   q hi  0.06  0.05  0.04  0.03  0.02  0.09  0.08  0.07  0.06  0.05  0.04  0.03  0.02  0.01
i 5
となるが、上表の入院発生率の合計が１になることに注意すれば、
4
q h   q hi   q hi   q hi  1  0.11  0.09  0.08  0.07   0.65
i 5
i 1
・・・ ③
i 1
となる。
②③を①に代入すると、求める平均給付日数は、
124
q hi
q hi
q hi
q hi





i

4


120


i

4


 h

 120
h
i 5 q
i 125 q
i 5 0.65
i 1250.65
124


1  124 hi
  q  i  4   q hi 120
0.65  i 5
i 125


1
  0.06 1  0.05  2  0.04  3  0.03  4  0.02  5  0.09 10.5  0.08  20.5  0.07  30.5
0.65
 0.06  40.5  0.05  70.5  0.04  0.03  0.02  0.01120

1
 23.175 ≒ 35.654
0.65
（解答）：
（Ｄ）
以上
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