応用数学 II No.8 解答
1. (1) 省略
(2)
[
1∫ 1
1∫ 1
1 x2
a0 =
f (x) dx =
x dx =
2 −1
2 0
2 2
∫
an =
=
a2m
∫
1
−1
1
]1
=
0
1
4
[
sin nπx
x cos nπx dx = x
nπ
f (x) cos nπx dx =
0
]1
1 ∫1
−
sin nπx dx
nπ 0
0
1
1
[cos nπx]10 =
((−1)n − 1)
2
2
(nπ)
(nπ)
2
= 0,
a2m+1 = −
((2m + 1)π)2
∫
∫
1
[
1
cos nπx
bn =
f (x) sin nπx dx =
x sin nπx dx = −x
nπ
−1
0
n
n
(−1)
1
(−1)
1
=−
+
[sin
nπx]
=
−
0
nπ
(nπ)2
nπ
]1
1 ∫1
+
cos nπx dx
nπ 0
0
∞
∞
∑
π
cos(2m + 1)πx ∑
(−1)n sin nπx
f (x) = − 2
−
2
4
nπ
m=0 ((2m + 1)π)
n=1
2. (1) 図省略。
(2) −π/2 < x < −π について、f (x) = −x − π として、周期的に拡張すれば、
f (x) は奇関数となる。したがって、もとの関数はこの一部であるから、 an = 0.
{ π
}
∫ π
2∫π
2 ∫ 2
bn =
f (x) sin nx dx =
x sin nx dx + π (π − x) sin nx dx
π 0
π 0
2
{
[
2
cos nx
=
− x
π
n
{
]π
2
0
π
[
2
π
π 1 sin nx
=
− cos +
π
2n
2 n
n
b2m = 0,
[
1∫ 2
cos nx
+
cos nx dx + −(π − x)
n 0
n
b2m+1 = (−1)m
] π2
0
[
π
π
1 sin nx
+
cos −
2n
2 n
n
4
π(2m + 1)2
]π
]π }
π
2
π
2
=
1∫π
−
cos nx dx
n π2
4
nπ
sin
πn2
2
}
∞
4 ∑
(−1)m
f (x) =
sin(2m + 1)x
π m=0 (2m + 1)2
3. (1) 図省略。f (x) は偶関数である。
(2) (1) より bn = 0
[ ]π
1 ∫π
1∫π
x2
a0 =
=π
f (x) dx =
2x =
2π −π
π 0
π 0
{[
}
]
1∫π
4∫π
4
x sin nπx π
1 ∫
an =
f (x) cos nx dx =
x cos nx dx =
−
sin nπx dx
π −π
π 0
π
nπ
nπ
0
[
4
cos nx
=− 2 −
nπ
nπ
a2m = 0,
]π
=
0
a2m+1 = −
4
n2 π 3
((−1)n − 1)
8
n2 π 3
f (x) = π −
∞
8 ∑
1
cos(2m + 1)πx
3
π m=0 (2m + 1)2
2
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