弾完全塑性はりの３点曲げ
第6回レポート課題
曲げモーメント
図のような弾完全塑性体の円形断面はりの3点
曲げにおける降伏開始荷重 Pyield ，降伏開始場
所，および極限荷重 Pult を求めよ．
φd
M=
P
(l − x)
2
Pl
2
BMD
φd
σ
Y
E
0
降伏開始 （最大曲げモーメント＝降伏曲げモーメントになるとき）
1
ε
降伏開始 （最大曲げモーメントが生じる断面において，曲げ応力
場所
が最大となる場所）
（第7回講義はじめに提出）
降伏開始荷重
M=
曲げモーメント
降伏開始場所
P
(l − x)
2
曲げモーメント
M=
P
(l − x)
2
Pl
2
BMD
降伏開始 （最大曲げモーメント＝降伏曲げモーメント）
M max = M
降伏開始曲げモーメント
M yield = ZY , Z =
x =0
=
Pl
= M yield
2
最大曲げモーメント
φd
πd 3
降伏開始 （最大曲げモーメントが生じる断面において，曲げ応
場所
力が最大となる場所）
32
円形断面はり（直径d）
の断面係数
Pyield =
降伏開始荷重
2M yield
l
＝中心断面の上下表面
2 ZY πd 3Y
=
=
l
16l
x = 0,
極限荷重
全断面降伏
M max = M
x =0
=
極限曲げモーメント
M ult = ∫
d /2
−d / 2
Yb( y ) ydy = 2Y ∫
ここで右のよ
うにおけば
M ult =
d 3Y
2
d /2
0
b( y ) ydy
d
d
sin θ , dy = cosθ dθ
2
2
b( y ) = b(θ ) = d cos θ
∫
0
sin θ cos 2 θdθ =
極限荷重
Pl
= M ult
2
y=
π /2
d
2
極限荷重
（最大曲げモーメント＝極限曲げモーメント）
最大曲げモーメント
y=±
d 3Y
6
Pult =
d 3Y
2M ult
=
3l
l
-d/2
o
d/2
y
b(y)
θ
φd
y
■矩形断面では
M yield =
→ M ult
bh 2
bh 2
Y , M ult =
Y
6
4
3
= M yield = 1.5M yield
2
●円形断面では
M yield =
πd 3
Y , M ult =
d3
Y
6
32
32
M yield ≈ 1.7 M yield
6π
→ M ult =
1

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