{ R − c (if V − (R − c 1)2 ≥ 0) 0 (if V − (R − c 1)2 ≤ 0) c2(c1) = { R − c

経済学のためのゲーム理論入門
第 2 章完備情報の動学ゲーム
2.4
まず初めに，パートナー 1 とパートナー 2 の戦略がどのようなものになるかについて確認してお
く．パートナー 1 の戦略は，単純に c1 を決定することである．一方でパートナー 2 の戦略は，観
察した c1 の値のそれぞれに応じて，どのように c2 を決定するかについての完全な行動計画である
（すなわち，c2 を c1 の関数として特定化することである）．
逆向き推論法を用いて，まず始めに c1 を所与とした時の，第 2 期のパートナー 2 の行動につい
て考えたい．パートナー 2 にとっては，もし事業が完成した時の利得が完成しない時の利得よりも
大きければ，事業が完成する水準までの出資を行うのが最適になるだろう．すなわち，パートナー
2 の最適な行動ルールは，以下のように決まる．
{
c2 =
R − c1
0
つまり，整理すると，
{
c2 (c1 ) =
(if V − (R − c1 )2 ≥ 0)
(if V − (R − c1 )2 ≤ 0)
R − c1
0
√
(if c1 ≥ R − V )
√
(if c1 ≤ R − V )
となる．ここで，事業が完成するような c2 の水準のうち，c2 > R − c1 となるような全ての c2 に
ついては，それが c2 = R − c1 に強支配されることを踏まえている（事業が完成する以上，R − c1
を超える出資は不意要であり，余計なコストがかかるだけである）
．同様に，0 < c2 < R − c1 とな
るような全ての c2 は，c2 = 0 に強く支配されるので，最適にならない．
このように，強支配される戦略の存在をうまく用いることにより，考えられうるプレイヤーの行
動を制限することができることに着目すると，パートナー 1 の最適な行動を分析しやすい*1 ．この
ことを念頭に置いて，パートナー 2 の最適な行動ルールを所与とした場合の，パートナー 1 の最適
な戦略を考えることにしたい．以下ではまず，R −
最初に，0 < c1 < R −
√
V > 0 を仮定して分析する．
√
V となるような c1 についてだが，このような c1 では結局事業が完
成されないので，中途半端な額を出資するより，何も出資しない方が利得が高くなる．すなわち，
√
0 < c1 < R − V を満たす全ての c1 は，c1 = 0 に強く支配される．
√
次に，R − V < c1 < R となるような c1 の場合，第 2 期に事業が完成されるようにパートナー
√
2 が出資してくれるので，結局事業は完成されるのだが，c1 = R − V だけの出資でも事業は完
√
√
成されるので，R − V を超える分の出資が余計になる*2 ．つまり，R − V < c1 < R を満たす
√
全ての c1 は，c1 = R − V に強く支配される．
*1
*2
強支配される戦略については，本書 p.5 を参照されたい．
√
厳密には，c1 = R − V の時は，パートナー 2 にとっては事業が完成されるように出資するのも出資しないのも無
√
差別になるので，実際にパートナー 2 がどのように行動するかどうかは一意に決められず，安直に「R = R − V
√
√
に強支配される」と言うことはできないが，それでもパートナー 1 は，R − V よりは大きいが，限りなく R − V
に近い値を c1 として選択することにより，自己の利得を厳密に改善できる．
1
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第 2 章完備情報の動学ゲーム
最後に，R < c1 となるような c1 について考えてみる．この場合，第 1 期の段階で事業が完成す
るが，R を超えた分だけ出資が無駄になるので，R < c1 を満たす全ての c1 は，c1 = R に強く支
配される．
以上のことを整理すると，パートナー１の選択しうる出資額 c1 の候補としては，0，R −
√
V，
R の 3 種類しか考えられないことがわかる．それぞれの出資額を選択した場合の利得については，


(if c1 = 0)
0
√
√ 2
δV − (R − V ) (if c1 = R − V )


V − R2
(if c1 = R)
√
V > 0 を仮定していたので，V − R2 < 0 となり，よって c1 = R
√
は c1 = 0 に強支配されることが分かる．よって，R − V > 0 のもとでは，
{
√
√
R − V (if δV − (R − V )2 ≥ 0)
√
c1 =
0
(if δV − (R − V )2 ≤ 0)
と計算できる．ここで，R −
とするのが最適になることがわかる．
次に，R −
√
V ≤ 0 となることを仮定する．この場合，パートナー 2 の最適な行動ルールと照ら
し合わせると，パートナー 2 にとっては事業が完成されるように出資することが常に最適となって
いるので*3 ，R − c1 を出資して，事業を完成させるのが最適である．
このパートナー 2 の行動を所与とすると，パートナー 1 は，一切の出資を行わずとも（つまり，
c1 = 0 であっても）事業を完成させることが可能となるため，パートナー 1 は c1 = 0 を選択する
√
のが最適となる（c1 > 0 を満たす全ての c1 は，c1 = 0 に強く支配される）
．よって，R − V > 0
の仮定の下では，c1 = 0，c2 = R という行動の組が均衡経路上では実現することになる．
よって，逆向き推論法による結果は，
√
V > 0 の時
√
√
√
もし δV − (R − V )2 ≥ 0 ならば，c1 = R − V ，c2 = V という行動の組が実現する．
√
逆に δV − (R − V )2 ≤ 0 ならば，c1 = c2 = 0 という行動の組が実現する．
（Case1）R −
（Case2）R −
√
V ≤ 0 の時
c1 = 0，c2 = R という行動の組が実現する．
以上のようにまとめることができる．
*3
c1 ≥ 0 ≥ R −
√
V が成り立つので，c1 がいかなる値であろうと，c1 ≥ R −
2
√
V が成り立つ．
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なお，これらの結果が，あくまで「均衡経路上で実現する行動の組」を述べているだけであって，
決して「サブゲーム完全均衡における戦略の組」を表しているのではないことに注意したい．戦略
とは，「そのプレイヤーが行動をおこすことになるかもしれないそれぞれの事態でどの実行可能な
行動をとるかを全て漏れなく指定したもの」*4 であるのだから，パートナー 2 の戦略は，本解答の
最初に述べたとおり，c2 を c1 の関数で表したものに他ならない．よって，サブゲーム完全均衡に
おける戦略は，パートナー 2 については，
{
c2 (c1 ) =
R − c1
0
√
(if c1 ≥ R − V )
√
(if c1 ≤ R − V )
と表記でき，パートナー 1 については，
{
c1 =
R−
0
√
V
√
(if R − V > 0
(otherwise)
と整理できる．
*4
本書 p.116 参照．
3
and
δV − (R −
√ 2
V ) ≥ 0)

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