1 準備
平均 µ、分散 σ 2 の正規分布に従う確率密度関数を n(x, µ, σ 2 ) とする。
(x−µ)2
1
n(x, µ, σ 2 ) = √
e− 2σ2
2πσ
特に、n (x, 0, 1) を n (x) とする。
n (x) =
n (x, 0, 1)
2
x
√1 e− 2
2π
=
n (x) の累積密度関数を N (x) とする。
∫x
N (x) =
∫−∞
x
=
このとき、
∫
−∞
(
x
n z, µ, σ
2
)
n (z) dz
2
z
√1 e− 2
2π
(
dz = N
−∞
dz
x−µ
σ
)
(
)
また、定数 µ、σ 2 に対する対数正規分布に従う確率密度関数を nl x, µ, σ 2 とする。
(
)
(log x−µ)2
1
nl x, µ, σ 2 = √
e− 2σ2
2πσx
この x の期待値は eµ+
σ2
2
となる。また、
∫
x
(
nl z, µ, σ
2
)
(
dz = N
0
log x − µ
σ
)
2 株価の確率密度関数
資産 A の価格が対数正規分布に従うと仮定する。
価格の自然対数の、単位期間の変動の分散を σ 2 、A の現在価格を St とすると、期間 t 後
の価格 S0 の確率密度関数は、
(log S0 −µ)2
(
)
1
nl S0 , µ, σ 2 t = √
e− 2σ2 t
2πtσS0
1
となる。一方、単位期間の無リスク利子率を r とすると、現在の金額 St の期間 t 後の将
来価値は St ert であるから、S0 の期待値をこれと一致させると、
eµ+
σ2
2
t
= St ert
となり、
µ = log St + rt −
σ2
t
2
を得る。
3 オプション価格の導出
原資産を A とする、残存期間が t、権利行使価格が K であるコールオプション C の、期
間 t 後の権利行使時の価値を C0 とする。C0 の確率密度関数を f (C0 )、期待値を E (C0 )
とする。
C0 = max (S0 − K, 0)

 0
(
)
∫K
2
f (C0 ) =
n
S
,
µ,
σ
t
l
0
(
) dS0
 −∞
2
n C0 + K, µ, σ t
C0 < 0
C0 = 0
C0 > 0
E (C0 ) = St ert N (d1 ) − KN (d2 )
(
)
(

2
log SKt + r + σ2 t
log SKt + r −
d 1 =
√
√
, d2 =
σ t
σ t
C の現在価格 Ct は、E (C0 ) の現在価値であるから、
Ct
= e−rt E (C0 )
= St N (d1 ) − Ke−rt N (d2 )
を得る。
2
σ2
2
) 
t


Exercises (Sheet #4)

MCMC によるベイズ推定 - 数理情報学科

Table of Common Distributions

正誤表