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運動量と力積（p36）
新しい物理量：
p = mv (m：質量、v：速度、単位 kg･m/s）
運動量
（速度 v がベクトルなので、運動量 p もベクトル）
問題：ピッチャーが投げた 144 km/h のボールの運動量の大きさを求めよ。ボールの質量は 150 g とする。
運動量と力との関係は？
ニュートンの運動方程式： F = ma
a=
dv
なので
dt
dv d(mv) dp
=
= dt
dt
dt
F=m
F=
dp
dt
運動方程式の
運動量を用いた表現
運動量の時間変化率は、その物体に作用する力に等しい
例：物体に作用している力 F が10 N なら、
その物体の運動量 p は 1 s に 10 kg･m/s 変化する
運動量 p(t) を時間で微分したもの
運動量の１秒あたり変化量
dp
F = dt
力F
上の式を時刻 t1 から t2 まで積分すると、
t2
∫t
1
t2
F dt =
∫t
1
dp
dt = p(t2) －p(t1)
dt
運動量の変化
力積
時間t
力が時間によらず一定の場合
力積＝力×時間（図の面積）
左辺の力を時間で積分したものを
力積
とよぶ。
力積もベクトル
運動量の変化は、その間に作用した力の力積に等しい
別の導き方：（復習）加速度と速度変化の関係： v(t)－v(t0) =
a-t 図での面積
t
∫t
a(t) dt
xyz の各軸で成り立つので
ベクトルでも成り立つ
0
t
両辺に m をかけると
力積と運動量の変化の関係： p(t) －p(t0) =
第5回（5/14）
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∫ t F(t) dt
0
p = mv
F = ma
第3回2頁の問題：無重力の宇宙空間で静止していたロケットが t = 0 にエンジンに点火して出力を
あげていき、t = 50 s に最高出力に達した。その後 t = 100 s まで最高出力を持続した後、エンジンを
停止した。ロケットの加速度が図のようだった場合、t = 100 s におけるロケットの速度を求めよ。
a [m/s2]
1
×50 s ×20 m/s2 = 500 m/s
2
20
速度変化は
500 m/s + 1000 m/s = 1500 m/s = 1.5 km/s
50 s ×20 m/s2 = 1000 m/s
= 5400 km/h
t [s]
O
50
100
問題①：ロケットの質量を 2000 kg とし、下の空欄を埋めよ。
一般的なロケットエンジンの場合、ロケットの質量は使った燃料の分だけ減少するが、ここでは一定とする。
時刻 t [s]
速度 v [m/s]
運動量 p [kg・m/s]
0
0
0
50
500
106
100
1500
3×106
F [N]
問題②：エンジンがロケットに作用した力を F と
する。左のF-t 図を完成せよ。
t [s]
燃料の噴射による質量の減少は無視せよ。
O
50
100
問題③ t = 0 ～ 50 s ， t = 50 ～ 100 s においてエンジンがロケットに作用した力の力積と
ロケットの運動量の変化を求めよ。
t = 0 ～ 50 s ,力積：
，運動量の変化：
t = 50 ～ 100 s , 力積 :
，運動量の変化：
第5回（5/14）
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N・s = (kg・m/s2 )・s = kg・m/s
単位はどちらでも間違いではない。
キャッチャーの構え
手
球
良い例
キャッチャー
v
ミット
手
球
悪い例
キャッチャー
v
ミット
どんな受け方をしてもボール（質量m）の速度は v
0 に、ボールの運動量は、mv
0 へと変化する。
運動量の変化＝力積＝力（球を受ける時の衝撃）×時間
キャッチャーは球を受けるとき、上の図のように手をわりとのばして球を受ける。
それは、球を減速する際の時間をかせぎ、衝撃（力）を弱めるためである。
球が速くて怖いからといって下の図のように縮こまって受けると、
球を減速するための時間をかせげず、衝撃（力）は強くなる。
高い場所から飛び降りる際の、足の形状と同じ。クッションによる衝撃の軽減も同じ。
クッションが変形している間の時間がかせげる。
注：完全に足を伸ばすと危険
例：火事のビルから飛び降り際に設置するネット
力（衝撃）F
悪い例
良い例も悪い例も面積（力積）は同じ
力積＝力×時間（力が時間に対して一定の時）
良い例
時間 t
第5回（5/14）
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車は頑丈な方が安全か？
車の前部は、やわらかく、
潰れやすい方が安全
人間がいるスペースは
頑丈な方が安全。
ここが潰れてしまうと、
中の人間も潰されてしまう。
右の写真でも前部は
潰れているが、人間の
いる部分は潰れていない。
運動量の変化＝力積＝力×時間
衝突の際の運動量の変化は
一定なので、mv
0
キャッチャーの例と同じ。
力（衝撃）を小さくするためには、
潰れて時間をかせぐ方がよい
５章仕事とエネルギー（p58）
「力 F がする仕事
４章は５章の後でやります。
W」は、「力 F の移動方向成分 Ft = F cos θ」と「移動距離 s」の積
（仕事 W は、力 F との力の方向に移動した距離の積と考えてもよい。同じ向きなら力と移動距離の積）
F
W = Ft s = Fs cosθ
θ
単位： J = N・m = kg・m2/s2
（ジュール）
s
Ft = F cosθ
力 F の移動方向成分
問題：水平な雪面で、Ａ君は、Ｂさんが乗ったそりを
左図のように引いている。力 F の大きさを 200 N とし、
Ａ君が 100 m の距離を引っ張ったとすると、
Ａ君（力 F ）のした仕事はどれだけか？
2
1
30°
問題：幼稚園児のＣちゃんも、Ｂさんが乗ったそりを引っ張った。
Ｃちゃんは 50 N の力 F’ で１分間引っ張ったが、
そりは動かなかった。Ｃちゃん（力 F’ ）のした仕事はどれだけか？
ただし、力 F’ の方向は力 F と同じとする。
√3
第5回（5/14）
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スカラー積（内積）
ベクトル A = (Ax, Ay, Az) とベクトル B = (Bx, By, Bz) のスカラー積は、
A・B = B・A = AB cosθ = AxBx + AyBy + AzBz
W = F・s
スカラー積を使うと
（仕事W はスカラー）
Ａ君が床の上にある物体を棚の上に乗せる。（床から棚の高さまでゆっくりと持ち上げる）
床にある物体（質量 m [kg]）に働く重力 F は、
壁
F = mg [N]
棚
物体をゆっくりと持ち上げるのに
必要な力は mg [N]である。
Ａ君が物体
に与えた力
F = mg [N]
棚の高さ
h [m]
物体を床の上から高さ h [m] の棚の高さまで
ゆっくりと持ち上げる際にＡ君がした仕事 W は、
仕事＝（力）×（力の方向に動いた距離）なので
W = Fs cosθ = mgh [J] である。
質量m [kg]
床
cosθ = 1
重力による位置エネルギー
エネルギー：外部に対して行うことができる仕事量（単位：ジュール[J] ）
（仕事をする能力）
滑車
ロープ
壁
左図のように m [kg] の物体にロープをつけると
物体は床まで移動する際に
ロープを mg [N]の力で
h [m] 引っ張ることができる。
棚
この時、物体ができる仕事の量は
W = Fs cosθ = mgh [J]
重力
F = mg [N]
棚の高さ
h [m]
cosθ = 1
床から高さ h [m] にある m [kg] の物体は、
床に戻る際 mgh [J] の仕事をすることができる
床
高い位置にある物体はエネルギーを持っている
（重力による）位置エネルギー U は、物体の質量 m と高さ h に比例する。
U = mgh
第5回（5/14）
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問題：新入生合宿研修で、室堂（2430 m）からカルデラ展望台（2670 m）まで登った。
Ａ君の体重を 50 kg とすると、Ａ君の位置エネルギーはどれだけ増加したか？
ただし、重力加速度 g は 10 m/s2 とせよ。
hカ = 2670
カルデラ展望台
h室 = 2430
室堂
運動エネルギー
v
0
海面
ロープ（張力 F [N]，一定）
摩擦のない床
質量m [kg]
運動している物体は停止するまでにロープを上の図のように引っ張って仕事をすることができる。
（１）速度 v の物体は停止するまでにどれだけの時間、張力 F のロープを引くことができるか？
運動量を勉強したので
運動量を使ってみよう。
（３）のように v(t) を求めた後に
v = 0 となる t を求めてもよい。
（２）物体の加速度はいくらか？（左向きを正とする。）
等加速度運動であることの確認
（３）を解くには直接必要ない。
v
（３）物体は停止するまでにどれだけの距離を進むか？左のv-t 図を完成させて考えよ。
物体の速度は時刻 t = 0 に v0 だったとせよ。
（４）物体が停止するまでにした仕事を求めよ。
t
エネルギー：外部に対して行うことができる仕事量
運動している物体はエネルギー（運動エネルギー）を持っている
運動エネルギー K は、物体の質量 m に比例し、その速度 v の２乗に比例する。
1
運動エネルギー K = 2 mv2
第5回（5/14）
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kinetic energy
力学的エネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー
問題： 50 m の高さから 2 kg の物体が t = 0 から自由落下する。以下の表を完成せよ。
空気抵抗は無視し、重力加速度 g は 10 m/s2 とせよ。
高さ h
落下距離 x
速度 v
位置ｴﾈﾙｷﾞｰ U
運動ｴﾈﾙｷﾞｰ K
力学的ｴﾈﾙｷﾞｰ
t=0
50 m
0m
0 m/s
1000 J
0J
1000 J
t=1
45 m
5m
10 m/s
900 J
100 J
1000 J
t=2
30 m
20 m
20 m/s
600 J
400 J
1000 J
h x
50
0
0
50 地面
摩擦等がなく、エネルギーの散逸がない場合、力学的エネルギーは保存する。
（力学的エネルギー保存則
力学的エネルギー保存則）
力学的エネルギー保存則
エネルギーの循環とエネルギー保存則
（教科書 p68 ）
エネルギーはいかなる形に変換されても増減はなく、一定である。（常に厳密に成り立つ）
位置エネルギー
問題：自由落下、山登り、電気ストーブ、
太陽光発電、乾電池、蛍の光
はどのような矢印に相当するか？
他にもたくさんあるので考えてみよ。
熱
運動エネルギー
問題：上の散逸がないとは
具体的にどういう意味か？
電気エネルギー
化学エネルギー
例：蛍光灯
原子力・核エネルギー
第5回（5/14）
光・電磁波のエネルギー
7 ページ
ガリガリ・プロペラ（和玩具）
ガリガリ・プロペラ
回転する不思議なものシリーズその３
１０５円＠ダイソー（１００円ショップ）
← 商品に書いてあった回転する原理
説明になっていない・・・
どうやって回転しているのでしょうか？
考えてみて下さい。
第5回（5/14）
8 ページ
復習問題
教科書p69 A1
学科
学生番号：
氏名：
この講義に関する意見・要望・感想、取り上げてほしい話題や、
超常現象（火の玉、幽霊、ＵＦＯ等）の体験等があれば書いて下さい。
第５回５月１４日
学科
学生番号：
氏名：
この講義に関する意見・要望・感想、取り上げてほしい話題や、
超常現象（火の玉、幽霊、ＵＦＯ等）の体験等があれば書いて下さい。
第５回５月１４日

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