拙講演者

結び目多項式の局所操作公式の新展開
講演者小笠英志 (Eiji Ogasa)
§0 本講演は、拙講演者の単著 [2] および, その後に書かれた Louis. H. Kauﬀman と拙講
演者との共著 [1] の結果に基づく。
§1 1 次元絡み目 K の the Alexander-Conway 多項式 A(K) について次のことは有名。
K+ ,K− ,K0 が以下の部分だけで以下のように違うと
K+
K−
K0
A(K+ ) − A(K− ) = (t − 1) · A(K0 ) を満たす。（1 次元絡み目の Jones 多項式,Homﬂy 多項
式も類似の定理を満たすことも有名。) さて、このような公式で他の形のものはあるか？
高次元結び目でも類似の公式があるか？という疑問は極めて自然に湧いてくるであろう。
§2 これらの自然な問いに挑み、n 次元結び目 K の l-Alexander polynomial∆l (K) が次の
§3,4 のような性質を満たすことを新発見した。
∆p+1 (K+ ) − ∆p+1 (K− ) = (t + (−1)p+1 ) · ∆p+1 (K0 )
という新型公式が有る。
§3 n 次元結び目 K+ ,K− ,K0 が以下の部分だけで以下のように違うと下式を満たす。
(2p ̸= n + 1。下図の詳細は [2] 参照。)
∆p (K+ ) − ∆p (K− ) = (t − 1) · ∆p (K0 )
B n+2 ∩ K+
S
n−p
×D
p
B n+2 ∩ K0
B n+2 ∩ K−
S p−1 × Dn+1−p
S n−p × Dp
Dn+1−p × S p−1
S p−1 × Dn+1−p
S p × Dn−p
§4 (2p + 1) 次元結び目 K+ ,K− ,K0 が以下の部分だけで以下のように違うと下式を満た
す。(下図の詳細は [1] [2] 参照。)
∆p+1 (K+ ) − ∆p+1 (K− ) = (t + (−1)p+1 ) · ∆p+1 (K0 )
p が奇数のときは §3 の形の公式とここ §4 の公式の形の両方の形が成立することに注
意。（勿論それぞれの local move の種類に応じて）
§5 この頁の §4 の例で p = 2k, bP4k+2 = Z2 とすると
ArfK+ − ArfK− = {|bP4k+2 ∩ I(K0 )| + 1} mod2,
ただし I( ) は inertia 群、bP ( ) は bP 部分群, が成立する。
References
[1] L. H. Kauﬀman and E. Ogasa: Local moves on knots and product of knots, Volume three of
Knots in Poland III Banach Center Publications (to appear), arXiv:1210.4667
[2] E. Ogasa: Local move identities for the Alexander polynomials of high-dimensional knots and
inertia groups, Journal of Knot Theory and Its Ramifications 18 (2009) 531-545, UTMS 97-63.
math.GT/0512168.
[email protected]
http://www.geocities.jp/n dimension n dimension/list.html
(おがさえいじ小笠英志 Eiji Ogasa で検索できます。)

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