クライン-ゴルドン場のハミルトニアン ここでは，演算子を表すハット『 ˆ 』はすべて省略する． 与えられたラグランジアン密度 L (x) に対して，一般に正準運動量密度は， π(x) = ∂L ∂ φ˙ (1) となり，ハミルトニアンは， ∫ H= ∫ d3 x (π(x)φ(x) ˙ − L (x)) d3 xH (x) = (2) である．ここで，クライン-ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度は L = 1 1 ∂µ φ∂ µ φ − m2 φ2 2 2 (3) である．クラインゴルドン方程式の一般解は， ∫ φ(x) = ( ) d3 k ⃗k)e−ikx + a† (⃗k)eikx √ a( (2π)3/2 2ωk (4) である．ただし， kx = ωk t − ⃗k · ⃗x (5) [a(⃗k), a† (k⃗ ′ )] = δ(⃗k − k⃗ ′ ) [a(⃗k), a(k⃗ ′ )] = 0 (6) であり， † † ′ [a(⃗k) , a (k⃗ )] = 0 (7) (8) である． それでは早速ハミルトニアンを求めよう． まず，クライン-ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度 (3) の正準運動量密度は， π(x) = ∂L = ∂ 0 φ = ∂0 φ = φ˙ ∂ φ˙ である． 1 (9)
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