2. Circuit Engineering
シミュレーション演習
Genetic Circuits
フィードフォワードとフィードバック
周波数応答の違い
狙い
初日 イントロ
2日目 プローブと信号
3日目 実験結果からの数理モデル作成
4日目 時間パターンに対する選択的応答
5日目 スイッチ応答とメモリ
6日目 振動現象
１．フィードフォワード
（低周波フィルタ、１次遅れ）
x
I
input (cycle = x20)
1
0.5
I
 x  x  I
0
-0.5
-1
0
xˆ
Iˆ
log
xˆ

Iˆ
1
10
20
30
40
50
60
50
60
output (amplitude = x0.25339)
1
1   2 2
0.5
x
0
0
-0.5
-1
0
log(c )
Genetic Circuits
フィードフォワードとフィードバック
周波数応答の違い
10
20
30
40
log( )
DEMO Lowpass
2. Circuit Engineering
２．フィードバック
（バンドパスフィルタ、２次遅れ）
y
x
I
ネガティブフィードバックのみ
Repressilator
input (cycle = x20)
TetRの時間変化
1
I
160
TetR
TetR

x   x  0 x  I
2
180
0.5
0
-0.5
0
10
1

2
0
20
30
40
50
  2    2 2
2
60
0
250
300
350
400
450
500
t
Time
ステップ入力
1.5
1
1.2
0.5
1
0
-0.5
-1
-1.5
log 
80
output (amplitude = x0.67545)
x
log  r
100
20
60
入力
xˆ

Iˆ
120
40
-1
xˆ
log
Iˆ
140
0.8
0.6
入力
0.4
0.2
0
10
20
30
40
50
60
DEMO bandpass
0
250
300
350
400
450
500
Repressilator
t
Time
Michael B. Elowitz & Stanislas Leibler ,2000,Nature
4
ポジティブ+ネガティブフィードバック
Positive and negative feedback loops
Positive and negative feedback loopの組み合わせ (1)
Action potential (活動電位）
Hodgkin and Huxley model: Spike/Firing：Action potential
膜電位(V)
60
膜電位
V(mV)
40
20
0
-20
-40
-60
-80
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t(ms)
Time
入力電流
30
入力電流
I(mA)
25
20
15
10
Stim. elec
5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Recd.
elec
100
t(ms)
Time
Stim. elec
cm3
5
Positive and negative feedback loops
Impulse入力に対する一過性の応答
Recd.
elec
6
ポジティブ+ネガティブフィードバック
Positive and negative feedback loopの組み合わせ (1)
Action potential (活動電位）
Hodgkin and Huxley model: Spike/Firing：Action potential
膜電位(V)
60
膜電位
V(mV)
40
20
0
-20
-40
-60
-80
0
10
20
30
40
30
7
60
70
80
90
100
25
入力電流
I(mA)
アナログデジタル変換
ノイズに強い。長距離に伝達
でも稠密性は落ちる。
50
t(ms)
Time
入力電流
20
15
10
Stim. elec
5
0
0
10
20
30
40
50
t(ms)
Time
60
70
80
90
Recd.
elec
100
cm3
8
生体内での振動現象
振動解のパラメータ依存性
例1. 解糖系の振動モデル（Sel'kov model）
F6P(y)
Strogatz (1994) pp.205
F6P(y)
PFK(a)
ADP(x)
入力の増加
振幅: 増加
振動数: 増加
PFK(a)
入力の増加
振幅: 減少
振動数: 増加
課題1-1: シミュレーションで振動を確認しよう
パラメータ:
初期値:
ADP(x)
横軸: 時間
縦軸: 濃度
課題2-1 シミュレーション結果
生体内での振動現象2
神経発火の（簡略化）モデル（FitzHugh-Nagumo model）
FitzHugh, Biophys. J (1961)
Nagumo et al., Proc. IRE (1962)
Hodgkin-Huxleyと同様の
振る舞いを示す2変数モデル
イカの神経軸索を用いた神経発火
Hodgkin-Huxleyモデル
（4変数、複雑）
数学的に上手く再現
FitzHugh-Nagumoモデル
van der Pol方程式をベース
（2変数、簡単）
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
振動する！
-2
-2
v-w平面
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
周期解を持つ！
解答例 （課題 2-1）
function dsdt = ODE(t, s, param)
（略）
dsdt(1, :) = v - v.^3./3 - w + I;
dsdt(2, :) = 1 ./ tau .* (v - a - b .* w);
end
function plot_nullcline(param)
（略）
w1 = v - v.^3./3 + I;
w2 = 1./b .* (v - a);
plot(v, w1, 'r', v, w2, 'm');
end
2

memo_and_correction - Kuroda Lab