花 と おじさん - Yuki ＆ Sho 第3回 主応力とミーゼス応力 1 © 2014 Technostar Co., Ltd. 登場人物 Yuki Sho 所属：株式会社テクノスター 所属：株式会社テクノスター 入社5年目． 以前は，二輪メーカのY社で エンジン設計やCAEを担当した この道ウン十年のベテラン． 何の因果かCAE業界に入っ てきた理系女． 今は技術顧問としてYukiと 同じ職場に！ 主な仕事は，仕様書の作成、 ソフトウェアのテストに受託 業務も！ Yukiにとっては何でも相 談できる，父親みたいな 存在である． 専門用語や業界用語にまだ まだ四苦八苦している． まさか強度設計にダイエット まで持ち込むとは・・・。 Yuki、手強し。 ロープの件（前回）で、材料 力学にがぜん興味が湧いて きた。 2 © 2014 Technostar Co., Ltd. 前回のShoの説明でYukiは『応力』について少し理解を深めた。が、仕様書を作成する上でまだ分からない言葉 が残っている。それは主応力とミーゼス応力である。ここでもShoに質問してみよう。 Shoさん、質問があるんですけど。 何でしょうか？分かる事ならなんでも答えますよ。 この間のお話で応力について少し分かったのですが、 主応力とミーゼス応力についても教えてください。 一言で答えるのが難しい質問ですね。 でも無理やり一言で答えましょう。 主応力は応力の種類、大きさと向きを表していて、 ミーゼス応力は大きさを表している。 んー、良く分かりません。 ここに主応力とミーゼス応力が何かを表した 資料がありますから見てください。 3 © 2014 Technostar Co., Ltd. 資料：『主応力とミーゼス応力』 左図のように長方形板周辺に垂直応力、せん断応力が働いている。 方向をθ傾けると、応力がどのように変わるかを計算してみる。 まずは、 主応力から 見ていきましょう 長方形角点でのモーメントの釣り合いから （bτyx）a=（aτｘｙ）b ∴ τｙｘ＝τｘｙ Ｘ´方向の釣り合いから AB・σｘ＊＝BC・σx・ cosθ＋AC・σｙ・sinθ＋BC・τｘｙ・sinθ＋AC・τｙｘ・cosθ ∴ σｘ＊＝σｘ・cos2θ＋σｙ・sin2θ＋τｘｙ・sin2θ ② 主応力 σｙ Ｙ τxy Ｂ e Ｘ´ e cosθ a Ｙ´ ① Ａ e sinθ ③ 同様にしてσｙ＊を求めると、 σｙ＊＝σｘ・sin2θ＋σｙ・cos2θ−τｘｙ・sin2θ ④ また、 θ τｙｘ＊＝τｘｙ＊ Ｘ Ｃ Ｙ´方向の釣り合いから τｘｙ＊＝1/2（σｙ−σｘ）sin2θ＋τｘｙ・cos2θ τｘｙ σｘ 次にθがいくつの時にσｘ＊が極値 （最大、最小） になるかを求める。 dσｘ＊ ＝σｘ・（−2cosθ・sinθ）＋σｙ（2sinθ・cosθ）＋τｘｙ（2cos2θ）＝0 dθ ∴ tan2θ＝ 2τｘｙ σｘ−σｙ ⑤ この時σｘ＊は主応力となり、θが主応力方向を示す。 b これを③式に代入すると τｘｙ＊はゼロになり、主応力面にはせん断応力が 生じないことが分かる。 4 © 2014 Technostar Co., Ltd. 資料：『主応力とミーゼス応力』 式を展開していきます。 ⑤式より （σｘ−σｙ）2＋4τｘｙ2 （σｘ−σｙ）2 σｘ−σｙ sec22θ＝1＋tan22θ＝ ⑥ cos2θ＝± ⑦ （σｘーσｙ）2＋4τｘｙ2 2τｘｙ sin2θ＝ ± ⑧ （σｘーσｙ）2＋4τｘｙ2 ②を変形すると 主応力 なんか、 目が回ってきた。 σｘ σｙ （1＋cos2θ）＋ （1−cos2θ）＋τｘｙsin2θ 2 2 σｘ＋σｙ σｘーσｙ ＝ ＋ cos2θ＋τｘｙsin2θ 2 2 σｘ＊＝ ⑨ これに⑦、⑧を代入すると主応力σ1，σ2は σ1 σ2 ＝ σｘ＋σｙ ± 2 （ σｘ−σｙ 2 ） ＋τｘｙ2 2 同じく③式から主せん断応力を求めると τ1 τ2 ＝ ± （ σｘ−σｙ 2 ） ＋τｘｙ2 2 τ1 τ2 ＝± 1 （σ1−σ2） 2 主せん断応力は主応力差の1/2 5 © 2014 Technostar Co., Ltd. 資料：『主応力とミーゼス応力』 σ1 主応力 σ1，σ2 ，σ3 せん断応力 σ2 σ2 σ3 σ1 あー、もーダメ。 τ12＝（σ1−σ2） / 2 τ23＝（σ2−σ3） / 2 τ31＝（σ3−σ1） / 2 せん断歪みエネルギー Ｕ＝τ12・γ12 / 2＋ τ23・γ23 / 2 ＋τ31・γ31 / 2 ＝｛τ12・（τ12 / Ｇ）＋ τ23・（τ23 / Ｇ）＋ τ31・（τ31 / Ｇ）｝ / 2 ＝（τ122＋ τ122＋ τ122 ） / （2Ｇ） ＝｛（σ1−σ2）2＋（σ2−σ3）2＋（σ3−σ1）2 ｝ / （8G） 降伏時のせん断歪みｴﾈﾙｷﾞｰを引っ張り試験相当 （上式でσ１＝σｙ ，σ２＝σ３＝0）で求めると Ｕｙ＝σｙ2 / （４Ｇ） ＵがＵｙに達した時に降伏する σｙ2＝ ｛（σ1−σ2）2＋（σ2−σ3）2＋（σ3−σ1）2 ｝ / 2 次は ミーゼス応力です。 （σ1−σ2）2＋（σ2−σ3）2＋（σ3−σ1）2 2 σｙ＝ ミーゼス応力 ミーゼス応力 6 © 2014 Technostar Co., Ltd. 式が複雑で、良く分かりません。 分かりやすく説明してください。 では、少し簡単に説明してみます。 主応力には引張りと圧縮の区別があります。 そして引張り応力はプラス、圧縮応力はマイナスで表わします。 それから応力の向きと大きさが分かります。 つまり主応力はベクトルで表わされる訳です。 解析結果のポスト処理で主応力を出力したいときには ベクトル表示すると分かりやすいと言うことです。 主応力はどのように使われるのですか？ 金属材料は疲労破壊を起こします。 引張応力や圧縮応力が繰り返し掛かることが要因です。 設計する際には主応力の変動に注目して 疲労強度の評価と判断を行います。 7 © 2014 Technostar Co., Ltd. では、ミーゼス応力は？ 金属材料には降伏という現象があります。 金属は力を掛けると変形しますが、力をゼロに戻すと形も 元通りになります。でも一定限度以上の応力が掛かると 元に戻らなくなって永久変形してしまいます。 設計では機械が永久変形しないように しなければなりません。 降伏は金属の原子が滑る現象ですが、 せん断エネルギーがある限度を超えると 滑ることが分かっています。 このせん断エネルギーが限界を超えるか どうかをミーゼス応力で判定します。 つまりミーゼス応力が材料の降伏応力を超えると 永久変形が起こると判断する訳です。 ミーゼス応力には大きさしかないのでベクトルによる 表示はできません。 そうなんですか。 設計する上では主応力とミーゼス応力の評価が 重要なんですね。 でも、そんな難しい計算をするのは 賢い設計者でも大変なのでは？ 8 © 2014 Technostar Co., Ltd. その通りです。 そんなときにこそ構造解析の登場です。 必要なのは ・設計する部品の3D‐CAD ・荷重、拘束条件 ・材料データ それから Pre と Solver と Postですね。 さすがYukiさん、テクノスターの社員ですね。 うちの製品にはこれらがすべて揃っているから、 設計者には是非使って欲しいですね。 基礎セミナーの講師をしているYukiさんなら 解析するのは簡単ですね。 今度、主応力とミーゼス応力に 注意して解析してみます。 9 © 2014 Technostar Co., Ltd. ところで応力は英語でストレス と言いますが、こちらの方は日 常生活でも良く使いますよね。 と言うことは、人間にも主応力 とミーゼス応力があるかも知れ ませんよ。 Yukiさんにも経験ありませんか？ ・・・また始まった。 ・・・また良く分からないことを・・・ 片思いの彼が別の女性を好きなのが分かって、 胸が張り裂けるようなストレス。 まー言ってみれば、心の引張り応力かなー。 それとか明日締切の仕事があるのにとても出来そ うにもないような胸が押しつぶされるようなストレス。 まー言ってみれば、心の圧縮応力かなー。 じゃーどれくらいのストレス？と言われると、夜も寝 られないレベルとかご飯が喉を通らないレベルとか。 まー言ってみれば、心のミーゼス応力かなー。 10 © 2014 Technostar Co., Ltd. じゃー、心のストレスはどうやって 解消すれば良いですか？ まず原因を取り除いてストレスのレベルを 下げるのが一番かなぁ。 今、明日締切の仕事があって 胸が押しつぶされそうなんですけど、 Shoさん手伝ってくれます？ うーん。。。 （早く帰りたいんだけど・・・） つぶれる前にとりあえず お昼ご飯食べて元気になりましょうか。 ・・・なんだか、また誤魔化されそう。 11 © 2014 Technostar Co., Ltd. と言うわけでYukiとShoはランチに出かけた。 今日は会社の隣の薬研坂を下ってまた上がった所にある『ピッツェリアリアナ赤坂店』のパスタランチを食べることにした。 ランチではパスタの他に サラダ、パン、飲み物が付いています。 えっ？ まさか私の分まで・・・ いただきまーす。 To be continued 12 © 2014 Technostar Co., Ltd. 次回のテーマ は「疲労」です。 次回も、 お楽しみに！ 13 © 2014 Technostar Co., Ltd.
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