中３年 多項式(式の計算の利用) 学年 １ 組 氏名 円や正方形のまわりについた道の幅を a，道のまん中を通る線の長さを l とするとき ， 道 の 面積 Ｓ が， Ｓ ＝ al と な るこ と を証 明 しま し た。 こ のこ と が， 円 や正 方 形以 外の 図 形（１）（２）の場合でも成り立つことをそれぞれ確かめなさい。 （１） 右の図の道の部分の面積Ｓを文字を使って表す l と q Ｓ＝（p+2a ）（q+2a）－ pq p ＝ 一方，al ＝ a（ a ） ＝ （２） l r q a p ☆他の図形でも成り立つか確かめてみよう！ 中３年 解答とポイント 多項式(式の計算の利用) 学年 １ 組 氏名 円や正方形のまわりについた道の幅を a，道のまん中を通る線の長さを l とするとき ， 道 の 面積 Ｓ が， Ｓ ＝ al と な るこ と を証 明 しま し た。 こ のこ と が， 円 や正 方 形以 外の 図 形（１）（２）の場合でも成り立つことをそれぞれ確かめなさい。 （１） 右の図の道の部分の面積Ｓを文字を使って表す l と q Ｓ＝（p+2a ）（q+2a）－ pq p ＝ pq ＋2ap ＋2aq ＋４ a ２ － pq ＝2ap ＋2aq ＋４ a ２ a ・・・① 一方，al ＝ a（p ＋ a ＋ q ＋ a）×２ ＝２ a（p ＋ q ＋２ a） ＝2ap ＋2aq ＋４ a ２ ・・・② ①，②より，Ｓ＝ al が成り立つ。 （２）右の図の道の部分の面積Ｓを図のように３ つに分けて考えると l Ｓ＝ ap ＋ aq ＋ ar ・・・① r q 一方，al ＝ a（p ＋ q ＋ a） ＝ ap ＋ aq ＋ ar ・・・② a p ①，②より，Ｓ＝ al が成り立つ。 【ポイント】 ・Ｓを文字を使って表すことがで きている。 ・ ① ，② の 右 辺 が 等 し い こ と か ら ， Ｓ ＝ al が 成 り 立 つ こ と を 証 明 し ている。 ☆他の図形でも成り立つか確かめてみよう！ 中３年 平方根(平方根の利用) 学年 組 氏名 直 径 20㎝ の 丸 太 か ら ， 切 り 口 が で き るだ け 大 き な 正 方 形 に な るよ う に 角 材 を 切 り 出 したいと思います。次の問いに答えなさい。正方形の１辺の長さとその対角線の長さの 比は， であることは分かっています。 （１）切り口の正方形の１辺の長さは何㎝になりますか。 どのように求めたかが分かるように，求め方もか きなさい。 （２）（１）で求めた１辺の長さを，小数以下を四捨五入した近似値で求めなさい。 ＝１．４１４２ として，求めなさい。 （３）直径 a ㎝の丸太から，切り口ができるだけ大きな正方形になるように角材を 切り出したいときは，切り口の正方形の１辺の長さは何㎝になりますか。 ☆大工さんは，いちいち計算しなくてもいいように，さし金（さしがね）を使います。 さし金ってなんだろう？ 調べてみよう！ 中３年 解答とポイント 平方根(平方根の利用) 学年 組 氏名 直 径 20㎝ の 丸 太 か ら ， 切 り 口 が で き るだ け 大 き な 正 方 形 に な るよ う に 角 材 を 切 り 出 したいと思います。次の問いに答えなさい。正方形の１辺の長さとその対角線の長さの 比は， であることは分かっています。 （１）切り口の正方形の１辺の長さは何㎝になりますか。 どのように求めたかが分かるように，求め方もか きなさい。 （例）求める正方形の１辺の長さを x ㎝とする 正方形の１辺の長さとその対角線の比は， ＝ x ：20 比例式の性質より 【ポイント】 ・何を x にするかかいている。 ・辺の長さの関係を比で表し， 比例式の性質を使って x の値 を求めることをかいている。 ・答えに単位をつけている。 x ＝ 20 x＝ x＝ 答 なので ｃｍ （２）（１）で求めた１辺の長さを，小数以下を四捨五入した近似値で求めなさい。 ＝１．４１４２ として，求めなさい。 （例） 【ポイント】 ・小数以下を四捨五入した近似 値でかいている。 ･･･ （１）より， ･･ 答１４ｃｍ （３）直径 a ㎝の丸太から，切り口ができるだけ大きな正方形になるように角材を 切り出したいときは，切り口の正方形の１辺の長さは何㎝になりますか。 （例） （１）と同様に考えると ＝x： a a x＝ x＝ a x＝ 答 a ｃｍ 【ポイント】 ・（ １ ） ど 同 様 ， 比 例 式 の 性 質 を使って x の値を求めること をかいている。 ・分母の有利化をしている。 ・答えに単位をつけている。 ☆大工さんは，いちいち計算しなくてもいいように，さし金（さしがね）を使います。 さし金ってなんだろう？ 調べてみよう！ 中３年 ２次方程式(２次方程式の利用) 学年 １ 組 氏名 縦 が10m， 横が 13mの 長方 形の 土地が あり ます 。縦 を何ｍ か長 くし て，横 をその 長 さだけ短くしたところ，面積が10㎡小さくなりました。次の問いに答えなさい。 （１）面積が10㎡小さくなり，土地の面積はいくらになったか求めなさい。 （２）問題の意味をつかむために，新しい土地を右の 長方形の土地の上にかきなさい。縦を x ｍ長く したとして，x も図にかき入れなさい。 （３）縦を何m長くしたか求めなさい。 ２ 縦 が ８ m， 横 が 10mの 長 方 形 の 土 地 に ， 右 の 図 の よ う に ， 縦 に ２ 本 ， 横 に １ 本 同 じ 幅 の 道 路 を 付 け て ， 残 り を 花 壇 に し ま す 。 花 壇 の 面 積が 50㎡ と なる よ う に す る に は ， 道路の幅を何mにすればよいか２次方程式を利用して求めたいと思います。どのように して求めるかあなたの考えが分かるようにかきなさい。なお，式を立てるところまでか き，道幅を求めなくて構いません。 ☆式には，考え方が隠れています。式を立てたり，読んだりできるようになりましょう。 中３年 解答とポイント ２次方程式(２次方程式の利用) 学年 １ 組 氏名 縦 が10m， 横が 13mの 長方 形の 土地が あり ます 。縦 を何ｍ か長 くし て，横 をその 長 さだけ短くしたところ，面積が10㎡小さくなりました。次の問いに答えなさい。 （１）面積が10㎡小さくなり，土地の面積はいくらになったか求めなさい。 10×13－10＝120 答 120㎡ （２）問題の意味をつかむために，新しい土地を右の 長方形の土地の上にかきなさい。縦を x ｍ長く したとして，x も図にかき入れなさい。 ＊右図参照 （３）縦を何m長くしたか求めなさい。 （例）縦を x ｍ長くすると， (13－ x)（10＋ x) ＝120 これを解くと，x ＝5，-2 ２ 0< x <13 なので 答えは５ｍである。 縦 が ８ m， 横 が 10mの 長 方 形 の 土 地 に ， 右 の 図 の よ う に ， 縦 に ２ 本 ， 横 に １ 本 同 じ 幅 の 道 路 を 付 け て ， 残 り を 花 壇 に し ま す 。 花 壇 の 面 積が 50㎡ と なる よ う に す る に は ， 道路の幅を何mにすればよいか２次方程式を利用して求めたいと思います。どのように して求めるかあなたの考えが分かるようにかきなさい。なお，式を立てるところまでか き，道幅を求めなくて構いません。 （例） 求める道幅を x ｍとして，縦の２本の道を左に，横の １本の道を下に寄せて考えると，求める式は， （10－２ x）（８－ x）＝50 これを解いて，x を求めて， 0< x <５ の条件に合う答えが求める道幅である。 －２ ８－ 【ポイント】 ・何を x にするかかいている。 ・式が表す意味をかいて，立式 している。 ・x の変域をかいている。 0 < x< 1 0 の 間 違 い に は 注 意 。 ☆式には，考え方が隠れています。式を立てたり，読んだりできるようになりましょう。 中３年 関数 学年 １ 組 氏名 次の問いについて，グラフや表を用いて考え方をかき，答えを求めなさい。 （１） で， の変域が，－４ （２） ２ ２ ２ で， の変域が，－２ 関数 － 18 ≦ y ≦ b ２のときの の変域を求めなさい。 ３のときの の変域を求めなさい。 について，x の変域が a ≦ x ≦２であるときの y の変域は， です。このとき，a,b の値を求めなさい。求め方が分かるように「最大 値・最小値」という語句を使って説明しなさい。 ☆変域は，式だけでなくグラフや表を用いて考えるとよく分かります。 中３年 解答とポイント 関数 学年 １ 組 ２ 氏名 次の問いについて，グラフや表を用いて考え方をかき，答えを求めなさい。 （１） で， の変域が，－４ ２のときの の変域を求めなさい。 x ＝－４のとき，y ＝４ x ＝２のとき，y ＝１ x －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ y ４ 4.5 1 0.25 ０ 0.25 1 x ＝－４のとき，最大値 y ＝４ x ＝０のとき，最小値 y ＝０ （２） ２ で， の変域が，－２ x ＝－２のとき，y ＝－２ 変域 ０≦ y ≦４ ３のときの の変域を求めなさい。 x ＝３のとき，y ＝－4.5 x －２ －１ ０ １ ２ ３ y －２ －0.5 ０ －0.5 －２ －4.5 x ＝０のとき，最大値 y ＝０ x ＝３のとき，最小値 y ＝－4.5 変域 －4.5≦ y ≦0 （ ２ ≦ y ≦0） について，x の変域が a ≦ x ≦２であるときの y の変域は， 関数 － 18 ≦ y ≦ b です。このとき，a,b の値を求めなさい。求め方が分かるように「最大 値・最小値」という語句を使って説明しなさい。 2 （例）y ＝－2x のグラフの形は，右のようになる。 x ＝２を y ＝－2x に代入すると y ＝－８なので， 2 y の最小値－18は，x ＝ a のときである。 したがって，－18＝－２ a ２ これを解くと，a ＝±３ a ≦２なので，a ＝－３ 【ポイント】 ・ 図をかいて，x の変域と y の変域 また，x ＝０のとき，y の最大値が０なので， の関係をつかんでいる。 b ＝０ ・a ＝±３から，a の条件を基に 答 a ＝－３，b ＝０ a ＝－３を決定している。 ・「 最 大 値 ・ 最 小 値 」 と い う 語 句 を 使って説明をかいている。 ☆変域は，式だけでなくグラフや表を用いて考えるとよく分かります。 中３年 相似な図形(相似な図形の面積と体積) 学年 １ 組 氏名 右の図の△ＡＢＣにおいて，点Ｄ，点Ｅはそれぞれ辺ＡＢ，ＡＣ上の点です。 Ａ ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ：ＤＢ＝２：３ であるとき，次の問いに答えなさい。 Ｄ （１）△ＡＤＥと△ＡＢＣの相似比と面積比をそれぞれ Ｅ 求めなさい。 Ｃ Ｂ 相似比→ ： 面積比→ ： （ ２ ） △ ADEと 四 角 形 DBCEの 面 積 比 を 求 め な さ い 。 求 め 方 が 分 か る よ う に か き な さ い。 求め方 面積の比→ ２ ： 円錐の形をした容器に，コップ１杯のジュースを入れたところ，容器の高さの の ところまでジュースが入りました。この容器を満水にするには，同じコップで，ジュー スをあと何杯入れるとよいですか。求め方が分かるようにかきなさい。 求め方 答 ☆相似の考え方を使えば見た目で何となく捉えていることをはっきりと説明できます。 中３年 解答とポイント 相似な図形(相似な図形の面積と体積) 学年 １ 組 氏名 右の図の△ＡＢＣにおいて，点Ｄ，点Ｅはそれぞれ辺ＡＢ，ＡＣ上の点です。 Ａ ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ：ＤＢ＝２：３ であるとき，次の問いに答えなさい。 Ｄ （１）△ＡＤＥと△ＡＢＣの相似比と面積比をそれぞれ Ｅ 求めなさい。 Ｃ Ｂ 相似比→ ２ ： ５ 面積比→ ４ ： ２５ （ ２ ） △ ADEと 四 角 形 DBCEの 面 積 比 を 求 め な さ い 。 求 め 方 が 分 か る よ う に か き な さ い。 求め方 （１）から，△ＡＤＥと△ＡＢＣの相似比は，４：２５ 一方，四角形DBCEの面積は，△ABCの面積から △ADEの面積をひいた大きさなので， 【ポイント】 ・４：２５を基にして， 25か ら ４ を ひ く 理 由 を かいている。 ・結論をかいている。 △ADEと四角形DBCEの面積比は， ４：２５－４＝４：２１である。 面積の比→ ２ ４ ： ２１ 円錐の形をした容器に，コップ１杯のジュースを入れたところ，容器の高さの の ところまでジュースが入りました。この容器を満水にするには，同じコップで，ジュー スをあと何杯入れるとよいですか。求め方が分かるようにかきなさい。 【ポイント】 ・ジュースの入った部分 ジュースの入っている部分と容器 と他の部分の体積比の 全体の相似比は１：２であり，そ 根拠をかいている。 ３ ３ ・ 結 論をかいている。 の体積比は１ ：２ ＝１：８であ 求め方（例） る。つまり，ジュースの入っている部分と 入っていない上の部分の体積比は１：７である。 よって，あと７杯分入れるとよい。 答 ７杯分 ☆相似の考え方を使えば見た目で何となく捉えていることをはっきりと説明できます。 中３年 三平方の定理(三平方の定理の利用) 学年 １ 組 氏名 ビル火災の訓練のため，消防自動車がビルの屋上にはしごをかけて救助にあたります。 ビルの高さは30ｍ，消防車はビルまで10ｍの所までしか近寄れないとき，はしごの長 さはおよそ何ｍ必要か求めたいと思います。次の問いに答えなさい。 （１）求める方法をかきなさい。 （２）はしごの長さは何ｍ必要か求めなさい。 ２ Ａさんは，古代エジプトの時代につくられたピラミッドについて興味をもち，現地に 行っていろいろと調査をし，次のことが分かりました。 ①ピラミットは，側面が正三角形の正四角錐の形をしている ②正四角錐の底面の１辺の長さを測ったら約200ｍだった しかし，Ａさんはこのピラミッドの高さはどうしても測ることができませんでした。 このＡさんのためにピラミッドの高さを求めたいと思います。求め方が分かるようにか きなさい。 として求めましょう。 ☆身の回りの中から，三平方の定理を使って問題を解決できる場面をあげましょう！ 中３年 解答とポイント 三平方の定理(三平方の定理の利用) 学年 １ 組 氏名 ビル火災の訓練のため，消防自動車がビルの屋上にはしごをかけて救助にあたります。 ビルの高さは30ｍ，消防車はビルまで10ｍの所までしか近寄れないとき，はしごの長 さはおよそ何ｍ必要か求めたいと思います。次の問いに答えなさい。 （１）求める方法をかきなさい。 【ポイント】 ・三平 方の定理をどこ で 使うか 分か るよう にかいている。 （例）はしごの長さを x mとして 直角三角形をつくり，三平方の定理を使う。 x ２ ＝30 ２ ＋10 ２ これを解いて長さを求める。 （２）はしごの長さは何ｍ必要か求めなさい。 x ２ ＝30 ２ ＋10 ２ x >0 なので x ２ ＝900＋100 x＝ x x ２ ２ ＝1000 ＝± 答 およそ ｍ 【ポイント】 ・２次方程式を解いて， 答えを求めている。 ・x は正の数であることを かいている。 Ａさんは，古代エジプトの時代につくられたピラミッドについて興味をもち，現地に 行っていろいろと調査をし，次のことが分かりました。 ①ピラミットは，側面が正三角形の正四角錐の形をしている ②正四角錐の底面の１辺の長さを測ったら約200ｍだった しかし，Ａさんはこのピラミッドの高さはどうしても測ることができませんでした。 このＡさんのためにピラミッドの高さを求めたいと思います。求め方が分かるようにか きなさい。 として求めましょう。 （例）正四角錐の高さを h mとして，右図のようにピラミッ トの中に立つ直角三角形で三平方の定理を使うと， ＋ ２ ＝ ２ これを解くと， h ＝± h >0 なので h＝ よって h ＝100×1.41 h ＝141 答 およそ141m 【ポイント】 ・三平方の定理をどこで使うか分か るようにかいている。 ・近似値を使っておよその長さを求 めている。 ☆身の回りの中から，三平方の定理を使って問題を解決できる場面をあげましょう！ 中３年 円(円周角の定理) 学年 組 氏名 みやぎさんは，∠ x ， ∠ y の大きさを求めるために次のような説明をかきました。 Ｏ ∠ x は，円周角55°の中心角なので２倍になって∠ x ＝110° ここの三角形が円の半径を２辺とする二等辺三角形なので， ∠ x の大きさは，180－110＝70 また，底角の大きさは，70÷２＝35 １ よって∠ y ＝35° 次の図で，∠ x の大きさを求めなさい。上の例題を参考にして，求め方が分かるよう にかきなさい。 （１ ） （２ ） Ｏ ２ Ｏ 下の図で，３点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点です。この図で，∠ＯＢＣ＝50°， ∠ＡＣＢ＝25°ならば，ＡＯ∥ＢＣであることを証明しなさい。 Ｏ ☆円の性質を，いろいろな問題に利用しましょう！ 中３年 解答とポイント 円(円周角の定理) 学年 組 氏名 みやぎさんは，∠ x ， ∠ y の大きさを求めるために次のような説明をかきました。 ∠ x は，円周角55°の中心角なので２倍になって∠ x ＝110° Ｏ ここの三角形が円の半径を２辺とする二等辺三角形なので， ∠ x の大きさは，180－110＝70 また，底角の大きさは，70÷２＝35 １ よって∠ y ＝35° 次の図で，∠ x の大きさを求めなさい。上の例題を参考にして，求め方が分かるよう にかきなさい。 （１ ） （２） ② 360－240＝120° ①図のように Ｏ Ｏ 補助線を引く ③∠ x は120°の中心角 の円周角なので， 120÷２＝60° ②右と左の三角形は，円の半径を ①120°の円周角なので240° ２辺とする二等辺三角形なので それぞれ，23°と37° 答 ∠ x ＝60° ③23＋37＝60°この角は， ∠ x の円周角なので∠ x ＝120° ２ 下の図で，３点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点です。この図で，∠ＯＢＣ＝50°， ∠ＡＣＢ＝25°ならば，ＡＯ∥ＢＣであることを証明しなさい。 （例） 【ポイント】 ・円周角の定理を使って， 円周角なので，中心角∠ＡＯＢ ∠ Ａ Ｏ Ｂ ＝ 50° を 求 め たことをかいている。 は25×２＝50°である。 ・「 錯 角 が 等 し い の で 」 と したがって， いう根拠をかいている。 ∠ＡＯＢ＝∠ＯＢＣ＝50° ・結論をかいている。 ∠ＡＣＢ＝25°は，弧ＡＢの Ｏ ２ 倍 錯角が等しいので， ＡＯ ∥ ＢＣである ☆円の性質を，いろいろな問題に利用しましょう！ 中３年 標本調査(標本調査の利用) 学年 １ 組 氏名 お祭りの子供の楽しみといえば，やはり「くじ引き」です。当たりとはずれのいずれ か が 書か れ たく じ が200本あ り ます 。 これ を よく か き混ぜ て15本の くじ を引く と， 当 た り が ３ 本 ， は ず れ が 12本 で し た 。 こ のと き ， こ の く じ の 中 に ある 当 た り の 本 数 を 推 定しなさい。あなたの求め方が相手に伝わるように工夫してかきなさい。 ２ 袋 の 中 に ， 白 と 黒 の 碁 石 が 合 わ せ て 300個 入 っ て い ま す 。 す べ て 数 え る の は ， た い へんです。どうすれば白と黒の碁石の数を推定できるでしょうか。あなたが考える方法 をかきなさい。 ☆「日本人の血液型は，Ａ型が全体の40％で一番多い」と言われています。本当かな？調べる方法は？ 中３年 解答とポイント 標本調査(標本調査の利用) 学年 １ 組 氏名 お祭りの子供の楽しみといえば，やはり「くじ引き」です。当たりとはずれのいずれ か が 書か れ たく じ が200本あ り ます 。 これ を よく か き混ぜ て15本の くじ を引く と， 当 た り が ３ 本 ， は ず れ が 12本 で し た 。 こ のと き ， こ の く じ の 中 に ある 当 た り の 本 数 を 推 定しなさい。あなたの求め方が相手に伝わるように工夫してかきなさい。 別解１ 【ポイント】 別 解１ 15本のくじを引くと，当たりが３本だったの ・割合を求める式に説明をかいて で当たりの割合は，３／15＝１／５ いる。 したがって２００本の中に入っている当たり ・ 当 た り の お よ そ の 数 を 求 め る 式 をかいている。 の本数は，２００×１／５＝４０ 別解２ 当たりの本数は，およそ４０本である。 ・何を x にしたのかをかいてい る。 別解２ ・正しい比例式をかいている。 当たりの本数を x 本とすると比例式で表すと， ・「 比 例 式 の 性 質 か ら 」 や 「 内 項 １５：３＝２００： x と表せる。 の積は外項の積に等しいから」 をかいている。 比例式の性質から，１５ x ＝３×２００ ・比例式から x を求めている。 これを解くと，x ＝４０ 当たりの本数は，およそ４０本である。 ２ 袋 の 中 に ， 白 と 黒 の 碁 石 が 合 わ せ て 300個 入 っ て い ま す 。 す べ て 数 え る の は ， た い へんです。どうすれば白と黒の碁石の数を推定できるでしょうか。あなたが考える方法 をかきなさい。 （例）②の考え方を取り上げた場合 【ポイント】 ・「 標本調査を使って求める」 ３００個の碁石から無作為に碁石を取り けでは不十分である。 出し，その中に白の碁石が何個あるか数える。 ・ ① か ② の 求 め 方 の 方 法 を か い 全体の白の碁石を x 個とすると いる。 ・白と黒の両方の碁石を求めて （無作為に取り出した碁石の数）：（取り出した白の碁石の数）＝300： x る。 比例式の性質から，x を求める。 ・＊印の記述をしている生徒は 標本調査の特徴をよく理解し x は白の碁石のおよその数なので， いる。 だ て い ， て （300－ x）で黒の碁石のおよその数も求めら れる。 ＊無作為に抽出する碁石の数が多ければ多い ほど，より正確な値が求められる。 ☆「日本人の血液型は，Ａ型が全体の40％で一番多い」と言われています。本当かな？調べる方法は？
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