B34. 離心率

埼玉工業大学
テーマ B34：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
離心率－1/2
離心率
１．離心率の定義
平面上の点 P(x, y)から x 軸上の焦点 F まで引いた線分の長さを r とします． r と点 P か
r
ら y 軸に下ろした垂線の長さ x の比が一定となるとき，点 P の軌跡は一つの曲線を描く
x
r
ことになります．この比を離心率 ec といいます．
x
離心率の値によって，曲線は次のように双曲線，放物線，楕円の３種類に分類されます．
x2 y2
ec  1 のとき，双曲線 2  2  1 となります．
a
b
2
ec  1 のとき，放物線 y  4 px  p  となります．（注参照）
x2 y2

 1 となります．
a 2 b2
ec  1 のとき，楕円
P(x, y)
P(x, y)
P(x, y)
x
x
r
O
-xf
x
xf
O
-xf
r/x>1 双曲線
x
r
xf
x
r/x=1 放物線
O
-xf
r
xf
x
r/x<1 楕円
２．曲線の式
焦点 F を中心とし，点 P を通る半径 r の円の方程式は
x  x f 2  y 2  r 2
と表すことができます．一方，定義より r  ec x を代入すると
x  x 
2
f
 y 2  ec x 2
2
したがって，曲線の式は
y   ec x 2  x  x f 
2
2
となります．x 軸との交点は， y  0 とおくと
x  x 
2
f
 ec x 2
2
 x  x f  ec x  x1  ec   x f
x 
xf
1  ec
双曲線（ ec  1 ）では x 軸との交点は１つだけ存在し， x  0 より交点の座標は x 
ります．また，曲線の定義域は x 
xf
1  ec
xf
1  ec
とな
となります．
放物線（ ec  1 ）では x 軸との交点は１つだけ存在し， x  0 より交点の座標は x 
xf
2
となり
埼玉工業大学
ます．また，曲線の定義域は x 
xf
2
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
となります．
楕円（ ec  1 ）では，交点は２つ存在し，交点の座標は x 
定義域は
xf
1  ec
x
xf
1  ec
離心率－2/2
xf
1  ec
となります．また，曲線の
となります．
参考：放物線 ec  1 のとき
x  x f 2  y 2  x 2

y 2  x2  x  x f
ここで， p 
xf
2
2  2 x f x  x f 2  2 x f  x  x2f 


とおくと
y 2  4 p x  p 
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Eccentricity.pdf
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