中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
1
指導のねらい
①計算のきまり x を使った式 約束記号
▼指導ページ P5 ～ 12 ▼
★計算のきまりを理解し，四則混合計算や計算のくふうをする。
★ x を含む式をつくり，逆算を利用し x を求める。
例題１ 計算の順序のきまり
授
業
展
【基本Ａ１】
◎逆算の方法はいくつかあるが，次の ①のような方法
指示すること。たし算では同じ数がいくつかあると
にこだわる必要はない。自信をもってできそうな方
き，同じ数どうしをかけ算に直して先に計算するよ
法を選ばせてよい。
うにかけ算を足し算より先にした方が便利であるこ
とから決められたと説明できる。
例 2 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6
②はじめから x ＝
同じ数の足し算＝かけ算を先にする
x ＝（4 × 3 ＋ 8）÷ 4 ＝ 5
【基本Ａ２，３】
◎ここでいうきまりとは約束事ではなく，計算そのも
のにひそむ法則（性質）である。これらを利用し，い
◎計算のくふうは大きく 3 つの方法にわけて学ぶが，
特に，（ ）でくくる計算は念入りにおこないたい。
）
｝
（
（
）
）
例題４ 約束記号
【基本Ａ６，Ｂ２】
この問題は，どういう法則が成り立っているのか，
お母さん ＝ x × 3 ＋ 5
答 x × 3 ＋ 5
1
2
◎どんな考え方を使うのかはっきりさせる。
⑴ 33 － 46 ＋ 67 ＝ 33 ＋ 67 － 46
答 ア 67 ，イ 46
⑵ 400 －（300 － 28）＝ 400 － 300 ＋ 28
くくる
（3
＋ 1）× x ＋ 5 ＝ 49
4 × x ＝ア
ア＋ 5 ＝ 49
4 × x ＋ 5 ＝ 49
① ②
ア＝ 49 － 5 ＝ 44 x － 44 ÷ 4 ＝ 11
答 11 才
⑴ 3 △ 6 ＝ 6 × 3 － 6 だから
答 ア 300 ，イ 28
解
説
⑴ 49 － x × 5 － 5 ＝ 24
② ① ③
x × 5 ＝ア
答 24
8 △（3 △ 4）＝ 8 △ …①
A × B ＋ C × A ＝（B ＋ C）× A
基本Ａ５
7 △ 4 ＝ 4 × 7 － 4 ＝ 24
⑵ 分けて考える
（ ）でくくる
計算の順序より（ ）から解く。（ ）内は 3 △ 4…②
4×3－4＝8
①の式に代入して，8 △ 8
◎逆算は計算の順序の逆を考えて解く。
8 × 8 － 8 ＝ 56
イ＝ 24 ＋ 5 ＝ 29
49 －ア＝イ
ア＝ 49 － 29 ＝ 20
イ－ 5 ＝ 24
x ＝ 20 ÷ 5 ＝ 4
答 4
⑷ x ÷（23.3 － 10.8）÷ 1.6 ＝ 0.32
①
23.3 － 10.8 ＝ 12.5
②
③
x ÷ 12.5 ＝ア
⑶ x
× 3 ＋ 5 ＋ x ＝ 49
（ ）で
基本Ｂ２
A －（B － C）＝ A － B ＋ C
答 56
⑶ 5 △ 2 ＝ 2 × 5 － 2 ＝ 8 より，
x△8＝8
x △ 8 ＝ 8 × x － 8 ＝ 8
①
②
8 × x ＝ア
ア－ 8 ＝ 8
ア＝ 8 ＋ 8 ＝ 16 x ＝ 16 ÷ 8 ＝ 2
答 2
ア÷ 1.6 ＝ 0.32
ア＝ 1.6 × 0.32 ＝ 0.512 x ＝ 12.5 × 0.512 ＝ 6.4
イ÷ 3 ＝ 4
x ＝ 20 ÷ 4 ＝ 5
※①，②になじめない生徒には③がおすすめ。
⑴ お母さん は あきこさん の 3 倍 より 5 才多い
答 ア 27 ，イ 100
例
ア＝ 12 ＋ 8 ＝ 20
逆
める。
⑶ 9 × 27 ＋ 73 × 9 ＝（27 ＋ 73）× 9 ＝ 100 × 9
の
ア－ 8 ＝イ
◎ x が 2 個ある場合は分配法則（の逆）を使い 1 つにまと
（ ）をはずす
題
イ＝ 4 × 3 ＝ 12
考える必要がある。
（たし算とひき算の入れかえ）
問
4 × x ＝ア
基本Ｂ１
◎計算の順序をはっきりさせてすすむ。
5
2
5
8
9
5
3
8
9
⑷ 4 － 3 ＋ 6 × 15 ÷ 10 ＝ 4 － 2 × 15 ÷ 10
5
4
9
①
＝
②
4 － 5 ÷ 10
③
9
9
④
＝
20 ÷ 10
1
答
＝ 2
基本Ａ２
｛ （
要
の形にして解く方法
③つみかさね法
基本１
重
（4 × x － 8）÷ 3 ＝ 4
①テキストのような解法
ろいろなくふうした計算ができるようにする。
例
【基本Ａ４，５，Ｂ１】
◎計算の順序は世界共通の約束として必ず覚えるよう
例題２ 計算の順序を変えるきまり
開
例題３ x を使った式
答 6.4
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
1
指導のねらい
②素因数分解
▼指導ページ P13 ～ 20 ▼
★整数を素因数分解し，約数や約数の個数を求める。
★連続する整数の積を，ある整数でくり返しわり算する問題を考える。
例題１ 整数を素数だけの積で表す
【基本Ａ１】
◎まず，素数を理解させ，素因数分解の方法を確定な
授
②同一素数の積の約数の個数は
（同一素数の個数＋ 1）
個。
ものとする。
展
●ポイント●
①素数…約数が 1 とその数自身だけの整数
→他の整数でわれない
→約数が 2 個だけ
② 1 は素数ではない。
③素 数は 30 までに 10 個，50 までに 15 個，100 まで
に 25 個ある。
開
●ポイント●
①連除法（すだれ算）で小さな素数からわる。
②大きな数では先に 10 や 5 を使う。
③ 10 は 2 × 5 に分解される。
業
例
●ポイント●
①素数の約数の数は 2 個。
③約数の個数は（同一素数の個数＋ 1）の積。
⑷ 18 を素因数分解すると，18 ＝ 2 × 3 × 3
2 が 1 つ→約数 2 個 3 が 2 つ→約数（2 ＋ 1）個
答 6 個
よって，約数の個数は 2 × 3 ＝ 6
例題３ 連続する整数の積
【基本Ａ４，５，Ｂ３】
◎頻出問題の一つであり，特に 2 で割る場合について
詳しくふれる必要がある。
●ポイント●
① 2 で割れる回数に注意する。
例題２ 素因数分解を利用して約数の個数を求める
（2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，64 ，128 ，256 ，512 ，1024 の列）
② 10 は 2 × 5 に分解される。
【基本Ａ２，３，Ｂ１，２】
◎素因数分解を利用して，約数の数や公約数の数を求
める。既習の関連事項を整理しておくとよい。
基本Ｂ１
《既習事項の整理》
◎公約数…最大公約数の約数
⑴ 2）96 120
① 1 とその数自身も約数とする
②すべての約数はペアで書き出す
③最大公約数を連除法で求める
④公約数は最大公約数の約数となる
重
問
2）60
2×2×3×5
2）30
↑
3 1
答 24
3）15
小さい順に書き並べる
答 8 個
基本Ｂ２
答 2 × 2 × 3 × 5
⑷ まず 5 でわる
⑴ 77 ＝ 7 × 11
1 1 （1 ＋ 1）×（1 ＋ 1）＝ 4
1
77
5）375
5） 75
7
11
4個
答 4 個
⑵ 1001 ＝ 7 × 11 × 13
5） 15
題
2）24 30
4 5
⑵ 約数の個数＝（3 ＋ 1）×（1 ＋ 1）＝ 8
⑴ 小さな素数から順にわっていく
5
最大公約数＝ 2 × 2 × 2 × 3 ＝ 24
3）12 15
基本Ａ１
要
2）48 60
答 3 × 5 × 5 × 5
3
1 1 1
（1 ＋ 1）×（1 ＋ 1）×（1 ＋ 1）＝ 8
の
答 8 個
基本Ａ３
⑴
2）28
2×2×7
基本Ｂ３
2）14
2 1
⑵ 3 の倍数を書き並べ，それぞれに 3 でわれる回数を
解
書き入れていく。（注意：9 の倍数）
（2 ＋ 1）×（1 ＋ 1）＝ 6
7
答 6 個
※確かめの方法
1
28
説
例
2
14
4
7
1＋2 ＋1 ＋ 1 ＋ 2＝7
7 回われるので 7 ＋ 1 ＝ 8 回目
6個
答 8 回目
⑶ 10 でわれる回数を考える。
10 ＝ 2 × 5 より，
基本Ａ４
◎ 1 ～ 17 までの偶数を書き並べ，下に 2 でわれる回数
を書き込む。
2 でわれる回数と 5 でわれる回数を求める。
2 でわれる回数は⑴より，15 回
5 でわれる回数は
⑴ 2 4 6 8 10 12 14 16
5 10 15 20
1 ＋ 2 ＋ 1 ＋ 3 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 1 ＋ 4 ＝ 15
6 9 12 15 18
答 15 個
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 4（回）
5 の方が少ないので 5 の数で見る→ 4 個
答 4 個
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
2
指導のねらい
①歩合と売買損益
▼指導ページ P21 ～ 28 ▼
★歩合の表し方，小数や分数との関係を理解する。
★割合の 3 用法（3 公式）をもとに，売買損益の問題を解く。
例題１ 小数・分数と歩合
授
業
展
開
例
重
要
【基本Ａ１，Ｂ１】
◎導入とは課題を系統づけて明らかにすることである。
く」
（売り買い，損した得したについての問題）ことで
着をはかる。歩合が割合のなかまであることを確認
あり，そのためにはどうしても「歩合」
（小課題）を理
しておくとよい。
解する必要があるとして歩合に焦点をあてる。
●ポイント●
①歩合には 3 つある ②分数は小数に直してから歩合に直す。
1
8 ＝ 1 ÷ 8 ＝ 0.125 → 1 割 2 分 5 厘
③歩合⇔小数⇔分数になおす。
・割合にあたる量＝もとにする量×割合…
（第 2 用法）
・もとにする量＝割合にあたる量÷割合…
（第 3 用法）
【基本Ａ３，４，Ｂ３】
◎用語を定着させ，必要に応じ線分図を用いる。
※身近な例を用いると歩合の考え方は定着しやすい。
基本Ａ１
◎例題での解説をもとに，処理の速さ・正確さをめざす。
⑴ 0. 5 3 ↓↓
割 分
答 5 割 3 分
⑶ 2 割 8 分 → 0.28
28
7
0. 2 8 ＝ 100 ＝ 25
↓ ↓
1
1
10 100 7
答 25
◎割合の 3 用法（3 公式）の中では，割合は小数や分数の
形で用いられる。
◎割合の第 3 用法を含む問題となっている。求める部
分に関係することがらを抜き出して考えることの必
要をいう。
⑴ 仕入れ値に関係する部分を取り出すと
「仕入れ値の 3 割の利益を見込んで 780 円」
↓ 1 － 0.3 ＝ 1.3
「仕入れ値の 1.3 が 780 円」
答 600 円
仕入れ値＝ 780 ÷ 1.3 ＝ 600（円）
⑵ 2 割引→ 1 － 0.2 ＝ 0.8
780 × 0.8 ＝ 624
答 624 円
⑶ 624 － 600 ＝ 24
答 24 円
基本Ｂ１
にする。
「300 人の 0.46 は何人」
答 138 人
300 × 0.46 ＝ 138
（もと）
基本Ａ４
◎割はまず小数で表してから百分率や歩合で表すよう
（割合に当たる量）
168 ÷ 800 ＝ 0.21
●ポイント●
もとでわる
基本Ａ３
◎用語を正確に用いられるよう留意する。
考える生徒が時としている。「合理的な範囲で利益」
を得ることは商人の社会的役割の有用性から，認め
られているといった回答を用意しておくこと。
例
・割合＝割合にあたる量÷もとにする量…
（第 1 用法）
例題３ 売買損益に関する問題
※利益に関して，「安く買って高く売るのはずるい」と
説
② 割合の 3 用法
割 分 厘
0. 5 8 1 は 5 割 8 分 1 厘 1
1
1
100 1000
10
↓ ↓ ↓
0.1 0.01 0.001
割 分 厘
答 2 割 1 分
解
●ポイント●
① 割合 1 倍数 2 小数・分数 3 歩合
⑵ 800 円に対する 168 円の割合
の
◎歩合を使った割合の問題は，売買損益問題を応用と
する場合の基本にあたる。割合の 3 用法の復習・定
⑴ 4 割 6 分→ 0.46
題
【基本Ａ２，Ｂ２】
この単元での大課題は「売買損益に関する問題を解
基本Ａ２
問
例題２ 歩合を使った割合の問題
⑴ 2 割 5 分→ 0.25
600 × 0.25 ＝ 150（円）
見込んで→たして
600 ＋ 150 ＝ 750（円）
〔別解〕 1 ＋ 0.25 ＝ 1.25
600 × 1.25 ＝ 750（円）
答 750 円
答 750 円
●ポイント●
もとは 1
⑴
67.8％→ 0. 6
7
8
↓ ↓ ↓
割 分 厘
答 6 割 7 分 8 厘
5
⑵ 8 ＝ 5 ÷ 8 ＝ 0.625 → 62.5％
〔別解〕 2 割が 90 円
1 割は 45 円
10 割は 450 円
答 62.5％
答 540 円
450 ＋ 90 ＝ 540（円）
基本Ｂ３
◎割合の変化を図を用いて表すことができるよう指導
したい。
⑶ 〔別解〕
2 割 4 分増し 1 割 5 分引き
仕入れ 定価 売り値
1 ×（1 ＋ 0.24）×（1 － 0.15）
× 1.24 × 0.85
1 × 1.24 × 0.85 ＝ 1.24 × 0.85 ＝ 1.054
1.054 － 1 ＝ 0.054 → 5 分 4 厘
答 5 分 4 厘
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
2
②割合の利用
▼指導ページ P29 ～ 36 ▼
指導のねらい
★割合の 3 用法を使って，もとにする量を求める。
★復習項目なので，定着度をはかりながら，理解力を深める。
授
例題１ 相当算の復習
◎線分図を使って説明する。
＋5
例題３ やりとりに関する問題
＝割合にあたる量÷割合
5
40 ＋ 5 ＝ 8 に相当する。
5
45 ÷ 8 ＝ 72 まい（はじめに持ってた数）
72 － 40 ＝ 32 まい
答 32 まい
業
例題２ 還元算の復習
下じき
プリン 160 円
後ろから順に追っていく。
4
7 が 160 円にあたるのだか
ら，
4
160 ÷ 7 ＝ 280…プリンを買う前に持っていたお金
280 ＋ 80 ＝ 360…えんぴつを買う前に持っていたお金
例
基本Ａ２
⑴
要
題
の
解
39 まい
↑
30％
Ｃ
⑴ まず最初に分かるのは，Ｃが渡した 30％が 9 まいに
相当することである。Ｃの持っていたカードは
答 30 まい
9 ÷ 0.3 ＝ 30
70 円
27 個
3
27 個が 5 に相当するので，
3
27 ÷ 5 ＝ 45
3
全体の 4 にあたる
3
45 ÷ 4 ＝ 60
ジュース
1
6
答 60 個
〔別解〕
た方が間違えにくい。
1
2
1－4
× 1 － 5
＝ 27 個
1 日目の残り 2 日目の残り
3 3
4 × 5 ＝ 27 個
※単位が違うことに注意
9
20 ＝ 27 個
9
27 ÷ 20 ＝ 60
（
） （
） ⑴ 全体を 1 としたとき
1
2
6 ＋ 70 円＝ 5
2
1
70 円＝ 5 － 6
7
70 円＝ 30
7
答 30
基本Ｂ３
Ａ
ケーキ
35 個
Ｃ
答 60 個
基本Ａ３
1
8
120 個
Ｂ
52 個
30％＋2 個
Ｃの 30％＋ 2 個をＢに入れると 17 個増えたので，
30％＋ 2 個＝ 17 個
本
30％＝ 15 個
えんぴつ
15 ÷ 0.3 ＝ 50…Ｃ
チョコ
280 円
例
②
Ｂ
ケーキ
80 円
説
30 まい
1 日目
いちいち分けて考えていくより，一度に式をたて
問
ない時は何度も問題文を読むことである。
Ａ
① ↓ 14
Ｂ
基本Ｂ１
2 日目
重
【基本Ａ５，Ｂ３】
◎複雑になると混乱するので，ゆっくり考え，分から
【基本Ａ３，４，Ｂ２】
80 円
開
3
3
下線部分が全体の 5 に相当するので，360 ÷ 5 ＝ 600
答 600 円
●ポイント●
もとにする量
40 枚
展
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
2
⑴ 280 ÷ 3 ＝ 420
答 420 円
⑵ えんぴつを買ったあとの残金は⑴より，420 円
えんぴつを買う前は 420 ＋ 80 ＝ 500（円）
5
これが全体の 8 に相当する。
よって，はじめに持っていたお金は
5
500 ÷ 8 ＝ 800
答 800 円
全体で 120 個なので，Ａ＋Ｂの和は 70 個
1
Ａの 8 をＢに入れるとＢは 35 個。このときＡも 35 個
7
これは，もとのＡの 8 の量なので
7
35 ÷ 8 ＝ 40…Ａ
70 － 40 ＝ 30…Ｂ
答 Ａ 40 個，Ｂ 30 個，Ｃ 50 個
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
3
①差集め算 過不足算
▼指導ページ P37 ～ 44 ▼
指導のねらい
★差集め算の考え方を理解する。
★差集め算を発展させた問題を解く。
授
◎この単元の課題は，「差集め算」とその発展としての
「過不足算」「個数をそろえる差集め算」「速さの差集
め算」を解くことにある。
業
例題１ 差の集まりを見つける（差集め算）
【基本Ａ１】
◎差集め算の核心は単位量当たりの考えを発展させ，1
個 1 個の差を 1 あたりの数として扱う点にある。
●ポイント●
① 1 個あたりの差をもとにする。
②全体の差を同数個の差として見る。
③個数を同個数の差÷ 1 個あたりの差で求める。
展
例題２ あまりと不足から全体の差を求める（過不足算）
開
例
【基本Ａ２，３，Ｂ１】
◎過不足算の特徴は，全体の差が明確でない点にある。
●ポイント●
①全体の差をあまりと不足から導く。
②差集め算の考え方を使って解く。
③全体の差を表す線分図の書き方に慣れる。
基本Ａ１
⑴ 1 さつあたりの差…120 － 100 ＝ 20 円
答 5 さつ
◎発展的問題では，全体の差を示す線分図の書き方の
6 本ずつ
全体の差
13−2＝11 本
5 本ずつ
2本
◎あまりや不足を逆に考えてしまう生徒もいる。そん
全体の差は（
個）
6本
9 本ずつ
全体の差
15 本
9本
人数…15 ÷ 3 ＝ 5（人）
答 5 人
⑵ 9 本ずつでみて，9 × 5 － 6 ＝ 39（本）
答 39 本
基本Ｂ３
◎「⑴，⑵を見ないで⑶を求めてみよう。わからない
人は⑴，⑵の順に考えてみなさい」という指導を考
答 11 人
＝ 11 ÷ 1 ＝ 11（人）
⑵ 5 枚ずつのときでみて，えんぴつの本数は
えたい。
⑶を直接解いてみる。
答 53 本
※検算にふれておくとよい。（6 × 11 － 13 ＝ 53）
基本Ａ５
1 個あたりの差…80 円
同じ個数の差…80 × 24 ＝ 1920 円
（24 個のとき）
◎ ⑴ が ⑵ の 誘 導 問 題 と なって い る。 ⑴ が な い 場 合 に
は，全体の差（同じ個数の差）を 1 個あたりの差の単
位（円）から，「何円か」と考えさせるとよい。
⑴ おにぎり 3 個分安くなるから
例
●ポイント●
全体の個数をそろえる。
6 本ずつ
13 本
5 × 11 － 2 ＝ 53（本）
説
例題４ 個数をそろえる差集め算⑵ 【基本Ａ６，Ｂ３】
◎ 1 個あたりの差はわかるが，全体の個数がそろって
いないパターンである。
指導に留意する。
人数＝（同人数の差）÷（1 人あたりの差）
解
答 4 個
⑴ 1 人あたりの差…9 － 6 ＝ 3 本
⑴ 全体の差を示す線分図をかくと
の
個 ×90 円
代金の差 姉－妹＝ 240 － 120 ＝ 120
個数の差 姉－妹＝ 120 － 90 ＝ 30
代金の差÷個数の差＝個数
120 ÷ 30 ＝ 4
摘が有効である。
冊数 100 ÷ 20 ＝ 5
基本Ａ２
題
240 円
る」「バナナが…不足する」と考えてごらんという指
↑
問
個 ×120 円
姉
妹
な場合には，文の主語がバナナで，「バナナが…あま
全体の差…100 円
要
●ポイント●
①個数をそろえた場合の差を求める。
②差集め算の公式を使う。
基本Ｂ１
◎差集め算の考え方の定着をはかるため留意する。
重
例題３ 個数をそろえる差集め算⑴ 【基本Ａ４，５，Ｂ２】
630 － 130 × 3 ＝ 240（円）
答 240 円
⑵ 1 個あたりの差…130 － 100 ＝ 30（円）
同じ個数の差…240 円
↖肉まんの個数＝ 240 ÷ 30 ＝ 8（個）
おにぎりの個数＝ 8 ＋ 3 ＝ 11（個）
答 おにぎり 11 個，肉まん 8 個
リンゴ 40 個
ナシ 24 個
リンゴ 24 個
1920 円
16 個
←3 本目の線分図
リンゴ 1 個 1920 ÷ 16 ＝ 120（円）
ナシ 1 個 120 ＋ 80 ＝ 200（円）
答 リンゴ 120 円，ナシ 200 円
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
3
指導のねらい
②つるかめ算の利用
▼指導ページ P45 ～ 52 ▼
★つるかめ算の基本の復習をする。
★ 3 つの量，割合を利用したつるかめ算を解く。
例題１ つるかめ算の復習
【基本Ｂ１】
方でおし通してしまう，強引さが求められる。
◎ 2 つのタイプのつるかめ算の復習を行う。
授
●ポイント●
①途中の式の答えが分数や小数でもよい。
●ポイント●
①一方にそろえて考える
②表し方をパターン化する。
②（そろえたときの全体の差）÷（1 つあたりの差）
業
3
1
38 人 男の 5 ，女の 3 18 人 3
3 差 38 × 3
4 差
38 人 男も 5 ，女も 5 ＝
22
5
5
4
4
22 5 － 18 ＝ 4 5
（そろえたときの全体の差）÷（1 つあたりの和）
を使う
展
③表し方をパターン化する
例題２ 1 つの差が 2 数の和になるつるかめ算の復習
開
【基本Ａ１，２，Ｂ２】
◎問題文の事象をしっかりとらえ，例示をさせる。姉
の勝敗を負けと考えると，姉は 7 段下がり，妹は 7
段上がることとなる。
例
例題３ 割合のつるかめ算
【基本Ａ３，４，Ｂ３】
◎仮定したときの人数や個数が分数や小数になること
もあり，分数や小数でもかまわずつるかめ算の考え
基本Ａ１
（
◎表を用いて，x を 1 つずつ増やすと，y がいくつにな
るのか規則を見つけることが大切である。
クリームパン 3 個とジャムパン 2 個が同じ金額にな
るので，x を 3 増やすと，y は 2 減る。この規則で，全
部の場合の数を求めることができる。
◎ x が変わると y がどう変わるかを関係式から答えるこ
とかつや，それぞれで 5 だんずつ変わることに注意
する。
とができるようにしたい。
⑵ ⑴の式をかんたんにすると
⑴ まさつ…4 × 3 － 1 × 1 ＝ 11 だん（上）
1 × x ＋ 2 ＋ y ＝ 10
かつや…4 × 1 － 1 × 3 ＝ 1 だん（上）
これをもとに，x と y がそれぞれ整数となる組み合わ
よって，2 人の差は
せを考える。
11 － 1 ＝ 10（だん）
要
＋ 2 ＋ 2 ＋ 2
答 10 だん
x
y
⑵ まさるが全部勝ったとすると
まさる…4 × 8 ＝ 32（だん上）
問
かつや…1 × 8 ＝ 8（だん下）
かつやは 5 だん上がることになる
（40 － 10）÷（5 ＋ 5）＝ 3（回）…まさるの負け
説
例
⑴ はじめに全体の数をかく形でパターン化する。
5
1
39 人 男子の 7 女子の 3 …21 人
5
男子も 7
（
）（
1
女子の 3 …21 人
5
5
6
女子も 7 …39 × 7 ＝ 27 7
）
6
5
1
6
8
⑵ 27 7 － 21 ÷ 7 － 3 ＝ 6 7 ÷ 21 ＝ 18
8
1
よって，
4 通り
⑴ 1 にしたい方で割る。
Ａ…750 ÷ 100 ＝ 7.5
Ｂ…1900 ÷ 200 ＝ 9.5
答 5 回
5
39 人 男子の 7
6
2
基本Ｂ１
8 － 3 ＝ 5（回）
基本Ａ４
解
4
3
答 4 通り
したがって，まさるが勝った回数は
の
2
4
－ 1 － 1 － 1
よって，2 人の差は 32 ＋ 8 ＝ 40（だん）
まさるは，勝ちを 1 つ負けにすると 5 だん下がり
題
【基本Ａ５，６】
基本Ａ５
◎負けを勝ちと考えるときに 1 回あたりの差がまさる
重
）
4
3
1
4 5 ÷ 5 － 3 ＝ 18 人…女子
例題４ 表を利用して解くつるかめ算
6
答 27 人
7
答 18 人
答 紅茶Ａ 7.5 円，紅茶Ｂ 9.5 円
⑵
1g
1g
7.5 円
9.5 円
…
300g
2500 円
9.5 円
9.5 円
…
300g
2850 円
差
（2850 － 2500）÷（9.5 － 7.5）＝ 175（g）…Ａ
300 － 175 ＝ 125（g）…Ｂ
答 紅茶Ａ 175g，紅茶Ｂ 125g
基本Ｂ３
◎消去算でも解くことができる。
2
2
256
⑵ 男＋女＝ 128 → 男× 9 ＋女× 9 ＝ 9
2
1
2
1
男× 9 ＋女× 5 ＝ 27 － 男× 9 ＋女× 5 ＝ 27
2
1
4
女× 9 － 5 ＝ 1 9
4
1
女＝ 1 9 ÷ 45 ＝ 65
）
（
）
答 65 人
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
4
①速さの性質
▼指導ページ P53 ～ 60 ▼
指導のねらい
★速さの意味と表し方を理解し，速さの 3 公式を使う。
★時速・分速・秒速の換算方法と平均の速さの求め方を知る。
授
業
展
開
例
例題１ 速さの意味と表し方⑴
【基本Ａ１，２】
◎子どもたちは速さの考え方をまだ知らないが速さが
長さと時間の 2 つに関係していることは知っている。
そこから始める。
〈例〉 （数が 2 つ） （数が 1 つ）
100m を 10 秒で走る → 1 秒で 10m → 秒速 10m
●ポイント●
①速さを１つの数で表す
【基本Ａ３，Ｂ１】
●ポイント●
速さ…進んだ道のり÷かかった時間
1km ＝ 1000m なので 3000m ＝ 3km
答 時速 3km
例題４ 往復の平均の速さ
【基本Ａ５，６，Ｂ３】
⑵ 往復の平均の速さ＝往復の道のり÷往復にかかった時間
答 毎時 6.4km
Ｂ…320km を 4 時間→ 1 時間では
基本Ｂ１
320 ÷ 4 ＝ 80（km）
基本Ａ３
⑵ 分速 0.25km → 1 分で 0.25km
（公式） 距離＝ 速さ × 時間
（1 あたりの量）×（いくつ）
6 時間 36 分＝ 396 分より
0.25km × 396 分＝ 99
答 99km
⑶ 時速 80km → 1 時間で 80km
112km 進むのに，112 ÷ 80 ＝ 7 ＝ 1 2（時間）
5
5
2 時間× 60 ＝ 24（分）より，1 時間 24 分
5
答 1 時間 24 分
※公式の利用については，上のようなやり方の定着を
見て，1 ステージ上の解き方として挑戦するという意
識を持たせるとよい。
基本Ａ４
◎時間が長くなる→距離も長くなるということを定着
例
60 分なので，1 分＝ 50m，60 分＝ 50 × 60 ＝ 3000（m）
平均の速さ＝ 16 ÷ 2.5 ＝ 6.4（km）
答 Ａ 時刻 70km，Ｂ 時速 80km
説
⑴ 分 速 50m は 1 分 で 50m 進 む こ と に な る。1 時 間 は
往復にかかった時間…2.5 時間
420 ÷ 6 ＝ 70（km）
解
秒速は 1 秒で進む速さ，分速は 1 分で進む速さ
往復の道のり…8 × 2 ＝ 16km
⑴ Ａ…420km を 6 時間→ 1 時間では
の
【基本Ａ４，Ｂ２】
基本Ａ５
間に」と読みかえさせることをくりかえす。
題
例題３ 速さのいろいろな表し方
・往復の平均の速さ＝（往復の道のり）÷（往復にかかった時間）
◎速さの意味が定着するまで，「時速」ときたら，「1 時
問
答 分速 65m
で進んだ」ものとみるときの速さをいう。
進んだ道のり…速さ×かかった時間
基本Ａ１
要
速さ＝ 1300 ÷ 20 ＝ 65
◎平均の速さとは，「一定の速さで同じ距離を同じ時間
かかった時間…進んだ道のり÷速さ
重
いのは，速さなので，公式に当てはめて
時速は 1 時間で進む速さ
②距離÷時間で求める
◎他の時速，分速の表し方を示し，2 つの速さの比較は
数値の大きさでわかることにふれる。速さの 3 公式
と基本となる問題を通じ定着をはかる。
例題２ 速さの公式
⑴ 道のりが 1300m，かかった時間が 20 分。今，求めた
させたい。
⑵ 秒速 25m ＝ 分速
m ＝ 時速＝
km
⋮ ⋮ ⋮
1 秒に 25m → 1 分に 25 × 60 → 1 時間に 1500 × 60
＝ 1500m ＝ 90000m ＝ 90km
答 時速 90km
30
1
⑴ 1 時間 30 分＝ 1 60 ＝ 1 2 時間
距離＝速さ×時間
1
60 × 1 2 ＝ 90（km）
答 90km
12
1
⑵ 1 時間 12 分＝ 1 60 ＝ 1 5 時間
速さ＝距離÷時間
1
90 ÷ 1 5 ＝ 75（km）
答 時速 75km
基本Ｂ３
20
1
⑴ 1 時間 20 分＝ 1 60 ＝ 1 3 時間より，
1
3 × 1 3 ＝ 4（km）
答 時速 5.4km
⑵ 行き…1 時間 20 分
1
帰り…4 ÷ 12 ＝ 3（時間）
1
3 時間× 60 ＝ 20（分）
1 時間 20 分＋ 20 分＝ 1 時間 40 分
答 1 時間 40 分
⑶ 往復の道のり…4 × 2 ＝ 8km
40
2
往復の時間…1 時間 40 分＝ 1 60 ＝ 1 3 時間
2
平均の速さ…8 ÷ 1 3 ＝ 4.8（km）
答 毎時 4.8km
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
4
②速さの利用
▼指導ページ P61 ～ 68 ▼
指導のねらい
★ダイヤグラムと速さの問題を解く。
★速さのつるかめ算，往復の問題を 1km あたりの時間を考えて解く。
◎この単元の課題は 3 つである。それぞれの指導に留
授
意。
例題１ ダイヤグラムを読みとる
【基本Ａ１，Ｂ１】
◎ダイヤグラムは列車の運行表がダイヤ状になること
業
展
開
から名付けられた。ポイントは 2 つ。
●ポイント●
①グラフの傾きから動きの状態を知る
⒈ グラフの向きが逆→逆方向へすすむ
⒉ グラフが水平→止まっている
⒊ グラフの傾きが大きい→速さが大きい
②グラフの傾きから速さを求める
「何分で何 m 進んでいるか」を読み取り公式
にあてはめ求める。
例題２ 速さのつるかめ算
例
【基本Ａ２，３，Ｂ２】
9 時 40 分－ 8 時 40 分＝ 1 時間＝ 60 分
答 60 分間
⑶ 家から図書館に行くときのグラフを書き出すと，
800
600
20 分間で 400m すすんでいる
400
1 分間に 400 ÷ 20 ＝ 20（ｍ）
200
題
0
8：00
答 分速 20m
8：20
を使う。同じ時間で見る場合，3 通りの考え方がある。
●ポイント●
① 1 個あたりの差は速さの差である。
②同時間での距離の差を速さの公式から求める。
60m/分
学校
映画館
⑴ 映画の始まる時刻まで歩いたとすると，
全体の差は
60 × 5 ＋ 50 × 5 ＝ 550（m）
550 ÷（60 － 50）－ 55（分後）←学校を出てから
答 55 分後
⑵ 分速 60m で考えると
答 3000m
60 ×（55 － 5）＝ 3000（m）
出すことができる。
よって，同じ速さで帰る場合，帰りの 20 分かかる
10 分で 400（ｍ）
1 分で 400 ÷ 10 ＝ 40（ｍ）
200
解
5 分 ×60m
⑵ 行きは家から美術館まで 20 分かかった
400
0
9：40
5 分 ×50m
50m/分
◎グラフの値を用いれば，計算しなくても答えを導き
800
の
答 分速 40m
10：00
9：50
美術館を出るのが 3 時なので家に着くのは 3 時 20 分
答 3 時 20 分
基本Ｂ２
◎時間と分が混在しているので，すべて時間におきか
えて考える。
基本Ａ３
◎次のように問題をおきかえて解かせる方法もある。
⑴ m を円，分を個におきかえると
例
離として表されていない。距離＝速さ×時間の公式
基本Ｂ１
⑷ 図書館から家まで
400m 600
説
◎ 1 分あたりの差は距離であるが，同時間での差が距
基本Ａ４
⑵ 図書館にいた→止まっていた→水平→ 8：40 ～ 9：40
問
【基本Ａ４，５，Ｂ３】
を利用して解く。ポイントは 2 つ。
◎グラフの読み方を定着させる。
要
例題３ 速さの差集め算
◎途中で速さを変えて進む問題をつるかめ算の考え方
基本Ａ１
重
●ポイント●
①つるかめ算かどうかの見極め
⒈ 途中で速さが変わっている
⒉ 時間の合計と距離の合計がわかる
②仮定の考え方を使う
「もし一定の速さならば」と考える
「45 円と 55 円のものを 14 個買い 670 円払った」
つるかめ算で
（670 － 45 × 14）÷（55 － 45）＝ 4
答 4 分間
※検算をすると，とりちがえのミスを防げる。
⑴ 5 時間中 40 分休けいしたので，実際に歩いたのは
2
1
5 － 3 ＝ 4 3（時間）
これより，公園から駅までにかかった時間は
1
2
20 － 4 × 4 3 ÷（5 － 4）＝ 2 3（時間）
2
2
3 時間＝ 3 × 60 ＝ 40 分間
答 2 時間 40 分
1
2
2
⑵ 学校から公園までの時間は 4 3 － 2 3 ＝ 1 3（時間）
2
2
4 × 1 3 ＝ 6 3（km）
2
答 6 km
3
（
）
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
5
第 1 回～第 4 回のまとめ
▼指導ページ P69 ～ 74 ▼
指導のねらい
★第 1 回～第 4 回の学習内容の定着。
★月例テストの準備・対策。
2 学習回の内容と基本問題との対応
1 第１回～第 4 回の学習内容の確認
授
業
展
開
第1回
第1回
①計算のきまり x を使った式 約束記号
①基本問題Ａ１
基本問題Ｂ１
②素因数分解
②基本問題Ａ２
基本問題Ｂ２
第2回
第2回
①歩合と売買損益
①基本問題Ａ３
②割合の利用
②基本問題Ａ４
基本問題Ｂ３
第3回
第3回
①差集め算 過不足算
①基本問題Ａ５
基本問題Ｂ４
②つるかめ算の利用
②基本問題Ａ６
基本問題Ｂ５
第4回
第4回
①速さの性質
①基本問題Ａ７
基本問題Ｂ６
②速さの利用
②基本問題Ａ８
基本問題Ｂ７
例
基本Ｂ１
基本Ａ４
⑵ （4 △ 3）△ x より，4 △ 3 を先に計算
◎線分図で変化を表す。
4 △ 3 ＝ 4 × 3 － 4 ÷ 2 ＝ 12 － 2 ＝ 10
シャープペンシル
10 △ x ＝ 10 × x － 10 ÷ 2 ＝ 45 となる
ノート
重
要
10 × x － 5 ＝ 45
80 円
2
⑵ ノートを買う前…80 ÷ 5 ＝ 200（円）
4
はじめに持っていたお金…200 ÷ 9 ＝ 450（円）
答 450 円
基本Ａ５
問
◎個数をそろえる。
⑴ モモ 2 個分高くなっているので，同じ数のときの差は
920 －（280 × 2）＝ 360（円）
題
答 360 円
⑵ 1 個あたりの差…280 － 220 ＝ 60（円）
カキの個数＝ 360 ÷ 60 ＝ 6（個）
説
例
基本Ａ８
◎つるかめ算で解く。
2
3×4＝12
4 時間
◎数を書き出して確認する。
⑴ 偶数を書き出し，2 で割れる回数を数える。
6
1
8
3
10
1
12
2
14
1
16
4
18
1
20
2
22
1
24
3
1 ＋ 3 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 1 ＋ 4 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 1 ＋ 3 ＝ 19 より
19 ＋ 1 ＝ 20 回目で割り切れなくなる。
2 で割れる回数…19 回
5
5 で割れる回数… 1
10
1
15
1
20
1
25
2
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 6（回）
家から公園までの時
間は
毎時
5km
基本Ｂ２
を求める。
モモの個数＝ 6 ＋ 2 ＝ 8（個）
15−12
＝3
答 5
⑵ 10 ＝ 2 × 5 より，2 で割れる回数と 5 で割れる回数
答 モモ 8 個，カキ 6 個
解
x＝5
答 20 回目
全体の差…360 円
の
10 × x ＝ 50
3
3 ÷ 2 ＝ 2（時間）
毎時
3km ゆえに公園から駅は
3
5
4 － 2 ＝ 2（時間）
したがって，公園から駅までの道のり
5
15
3 × 2 ＝ 2 ＝ 7.5（km）
答 7.5km
5 で割れる回数の方が少ないので，そっちを考える。
答 6 個
基本Ｂ６
◎往復…行きと帰りで道のりは同じ。
3
⑴ 帰りより，道のりは，75 × 1 5 ＝ 120（km）
行きの時間＝ 120 ÷ 60 ＝ 2（時間）
3
3
よって，往復の時間は，2 ＋ 1 5 ＝ 3 5（時間）
＝ 3 時間 36 分
答 3 時間 36 分
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
6
①回転移動
▼指導ページ P75 ～ 82 ▼
指導のねらい
★回転移動したときの長さや面積を求められるようにする。
★図を頭の中でイメージできるようにする。
例題１ 多角形の回転図形
授
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
90°回転なので，中心角
業
展
開
例
んで，柔軟に考えることが必要。
A
頂点 A が動いた線は斜
線の部分になる。
3cm
B
⑴ かげをつけた部分のまわりの長さを求める場合，こ
5cm
のままでは分かりにくいので，図形を 2 つに分けて考
中心角
C
4cm
⑴ AC ＝ 5 なので，A′C も 5 になる。中心角が 90°なの
で 5 × 2 × 3.14 × 90 ＝ 7.85
答 7.85cm
360
⑵ 動いたあとの面積なので，動 いた部分＋元 の図形に
なる。
①
②
90
①＝ 5 × 5 × 3.14 × 360
＝ 19.625
②＝ 3 × 4 ÷ 2 ＝ 6
A
A
3cm
①＋②＝ 19.625 ＋ 6
答 25.625cm2
B
①
える。
③ と ④ の 2 つ の 図 形 の な る。
③は中心角 45°のおうぎ形，
45
③＝ 8 × 2 × 3.14 × 360
㋐
12cm 20cm
ℓ
B 16cm
180
④＝ 4 × 2 × 3.14 × 360 × 2 ＝ 25.12…②
例題３ 多角形の転がり移動
②
C
4cm
の
解
説
例
B′
D
C
A′
C′
′
D′
D
B′
′
C
A
B
書いたら B が動いた点を結んでいく。
A ㋐
題
8cm
45°
答 31.4cm
【基本Ａ５，Ｂ２】
一見，複雑に見えて，苦手意識が強くなる分野だが，
整理しながら，順を追って考えれば難しくはない。
基本Ｂ１
A
問
③
＝ 6.28…①
⑴ それぞれに対応する辺，頂点を書いていく。
要
④
④は半円になる。
①＋②＝ 6.28 ＋ 25.12 ＝ 31.4
5cm
基本Ａ５
重
【基本Ａ３，４】
このパターンの問題は，おうぎ形と円の特徴をつか
A
は 90°になる。
例題２ おうぎ形の回転移動
12cm 20cm
ℓ
B 16cm
B′
D
A′
C′
′
D
B′
′
C
D′
A
B
よい。
B′
D
C
Ｂ
10cm
135°
B
⑵ 面積は⑴で結んだ線のおうぎ形をそれぞれ求めれば
12cm 20cm
ℓ
B 16cm
8cm
C
90
BB′の弧は 16 × 2 × 3.14 × 360 …①
90
B′B′′の弧は 20 × 2 × 3.14 × 360 …②
90
B′′B の弧は 12 × 2 × 3.14 × 360 …③
1
①＋②＋③＝（32 ＋ 40 ＋ 24）× 3.14 × 4
＝ 75.36
答 75.36cm
A
A
A′
C′
′
D
B′
′
C
D′
A
B
90
BB′のおうぎ形＝ 16 × 16 × 3.14 × 360 …①
90
B′B′
′
のおうぎ形＝ 20 × 20 × 3.14 × 360 …②
90
B′
′
B のおうぎ形＝ 12 × 12 × 3.14 × 360 …③
1
△ B′CD′＝ 12 × 16 × 2 …④
1
△ B′
′
D′
A ＝ 16 × 12 × 2 …⑤
①＋②＋③＋④＋⑤
1
1
＝（256 ＋ 400 ＋ 144）× 3.14 × 4 ＋ 12 × 16 × 2 × 2
＝ 820
答 820cm2
C
6cm
A
⑴ ＡＡ′の弧は，10 × 2 × 3.14 × 135 ＝ 23.55
360
答 23.55cm
⑵ ＡＡ′のおうぎ形は，10 × 10 × 3.14 × 135 ＝ 117.75
360
答 117.75cm2
⑶ ⑵に三角形 ABC の面積をたしたものなので，
117.75 ＋ 6 × 8 × 1 ＝ 141.75
2
答 141.75cm2
⑷
A
8cm
Ｂ
10cm
135°
B
6cm
C
⑶から，半径 6cm，中心角 135°のおうぎ形と
A
三角形 A′B′C をひいた面積を求める。
141.75 － 6 × 6 × 3.14 × 135 ＋ 6 × 8 × 1
360
2
＝ 75.36
答 75.36cm2
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
6
②円の回転移動
▼指導ページ P83 ～ 90 ▼
指導のねらい
★円が多角形や直線上を動いたときの円の中心が動いた線の長さや，そのときの図形の面積を求める。
★円がおうぎ形や円周上を動いたときの円の中心が動いた線の長さや，そのときの図形の面積を求める。
例題１ 直線上を円が転がる移動⑴
授
【基本Ａ１，２】
◎子どもたちに，円がどのように転がるかを理解させ，
例題２ 直線上を円が転がる移動⑵ 【基本Ａ３，４，Ｂ１，２】
◎折れ線上を移動するときは，四角の内側を通るとき，
外側を通るときを複合して考えさせる。
実際に作図させる。
⑵ 上に移動するときのすきまに注意する。
業
O
ℓ
展
P
●ポイント●
①直線上の移動では，接点の距離が中心の移動距
離になる。
②四角形の外側を移動するとき，中心の移動は，
開
4 すみが角 90°のおうぎ形となる。
③四角形の内側で移動するとき，中心の移動は，
4 すみでもおうぎ形にならない。
例
この部分は動いたあとの
図形の面積に入らない。
Q
例題３ おうぎ形の周上を円が転がる移動 【基本Ａ５，Ｂ３】
◎おうぎ形の円周上を円が転がるときは，中心の動い
た線のあとをしっかり作図させる。
●ポイント●
円周から半径に周囲を動く円が移動したときは
90°で動く。
基本Ａ２
基本Ｂ１
◎長方形の周囲を円が転がる作図を必ずさせる。中心
◎作図をしっかりとさせる。
の通り道と，円の通ったあとを斜線等で区別する。
⑴ 長方形の周囲と同じ長さ＋ 4 すみの長さ
1 4 ＝ 36.28（cm）
（7 ＋ 8）× 2 ＋ 2 × 3.14 × ×
4
長方形の周囲 1 つの角を曲がるとき
重
要
⑵
⑵ すきまの面積
4cm
図より
2 × 12 ＋ 2 × 4 － 0.215 × 6 ＝ 30.71
7cm
直線で囲まれた図形の面積
すきま
答 30.71cm2
8cm
基本Ｂ３
題
縦 2cm，横 8cm の長方形 2 つと縦 7cm，横 2cm の長方
形 2 つに，4 すみのおうぎ形の和を求める。
4 すみの和＝半径 2cm の円より
2 × 8 × 2 ＋ 2 × 7 × 2 ＋ 2 × 2 × 3.14 ＝ 72.56
解
2cm
1 × 1 － 1 × 1 × 3.14 ÷ 4 ＝ 0.215（cm2）
2cm
問
の
2cm
半径と直径の間違えに気をつけさせる
答 36.28cm
12cm
答 72.56cm2
⑴ 円周上の中心の移動＋ 2 つの角＋直径上の移動
（4 ＋ 1）
× 2 × 3.14 × 1 ＋ 1 × 2 × 3.14 × 1 × 2 ＋ 4 × 2
2
4
＝ 26.84
答 26.84cm
⑵ 大きなおうぎ形－小さなおうぎ形＋ 2 つの角ででき
るおうぎ形＋長方形を作図により理解させる。
⑶ 円が垂直に転がりのぼるときのすみまに注意する。
4cm
すきまの部分の面積
説
1cm
1×1−1×1×3.14÷4
＝0.215
例
2cm
もとの長方形から縦 3cm，横 4cm の長方形と
すきま 4 つ分をひいた面積
7 × 8 － 3 × 4 － 0.215 × 4 ＝ 43.14
答 43.14cm2
1
1
6 × 6 × 3.14 × 2 － 4 × 4 × 3.14 × 2
1
＋ 2 × 2 × 3.14 × 4 × 2 ＋ 8 × 2 ＝ 53.68（cm2）
答 53.68cm2
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
7
①あまりに関する数列
▼指導ページ P91 ～ 98 ▼
指導のねらい
★等差数列とは何か理解させる。
★わり算のあまりによって整数の分類をする。
授
業
展
開
例
例題１ わり算のあまりによってつくる等差数列
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
◎共通する規則が見つかるまでは書き出していくとよい。
⑴ 3 の倍数 3 ，6 ，9 ，12 ，15 ，18 ，21 ，…
4 で割ると 1 あまる（＝ 4 の倍数－ 1）
1 ，5 ，9 ，13 ，17 ，21 ，25 ，…
共通する最初の数は 9 になる
答 9
例題２ わり算のあまりから不足を考えてつくる等差数列
【基本Ａ３，４，Ｂ２】
◎ 1 度で全部の条件を満たす数を見つけるのではなく，
見つけやすい条件ごとに順に書き出して，共通する
数を見つけるのがよい。
⑴ 4 で割ると 2 あまる（＝ 4 の倍数－ 2）
2 ，6 ，10 ，14 ，18 ，22 ，26 ，…
5 で割ると 3 あまる（＝ 5 の倍数－ 3）
3 ，8 ，13 ，18 ，23 ，28 ，33 ，…
共通する数は 18 になる
答 18
例題３ 3 つの等差数列に共通する整数を集めた等差数列
【基本Ａ５，６，Ｂ３】
◎規則がみつかるまでは，例題１，２同様，書き出し探
していく。
⑴ 4 で割ると 3 あまる（＝ 4 の倍数－ 3）
3 ，7 ，11 ，15 ，19 ，23 ，27 ，…
6 で割ると 3 あまる（＝ 6 の倍数－ 3）
3 ，9 ，15 ，21 ，27 ，…
2 つに共通する部分を見ると，最初が 3 で，12 ずつ
増えていくことが分かる。これを順に書いていくと，
3 ，15 ，27 ，39 ，51 ，63 ，…
7 で割ると 4 あまる（＝ 7 の倍数－ 4）
4 ，11 ，18 ，25 ，32 ，39 ，46 ，53 ，…
共通する最初の数は 39 になる。
答 39
基本Ａ１
⑵ はじめの数が 31 で 15 と 4 の最小公倍数の 60 ずつ増
●ポイント●
N 番目の数＝はじめの数＋加える数×（N － 1）
1 番目からＮ番目までの和
＝
（1 番目の数＋ N 番目の数）
×N÷2
⑴ 6 で割ると 4 あまる数…はじめの数が 4 で 6 ずつ増
える等差数列である。
える。5 番目は公式にあてはめて
4 番目の数は
4 ＋ 6 ×（5 － 1）
31 ＋ 60 ×（4 － 1）＝ 211
はじめの数 加える数 N － 1
重
答 211
基本Ｂ１
＝ 4 ＋ 24 ＝ 28
答 28
5 の倍数 5 ，10 ，15 ，20 ，25 ，30 ，35 ，40 ，…
⑵ 5 番目までの合計は，
要
（4 ＋ 28） × 5 ÷ 2
題
はじめの数が 35 で 40 ずつ増える
はじめの数 Ｎ番目の数 1 ～ 5 までの個数
＝ 80
問
8 で割ると 3 あまる 3 ，11 ，19 ，27 ，35 ，43 ，51 ，…
⑴ 35 ＋ 40 ×（11 － 1）＝ 435
答 80
基本Ａ３
答 435
⑵ 22 番目までの数は，35 ＋ 40 ×（22 － 1）＝ 875
3 で割ると 2 あまる
11 ～ 22 番目までの合計は
2 ，5 ，8 ，11 ，14 ，17 ，20 ，23 ，…
（435 ＋ 875） × 12 ÷ 2
4 で割ると 3 あまる
はじめの数 Ｎ番目の数 11 ～ 22 までの個数
3 ，7 ，11 ，15 ，19 ，23 ，27 ，31 ，…
＝ 7860
⑴ 最も小さい数は上より 11
の
解
説
答 7860
答 11
⑶ この数列の規則は，最初が 11 で 12 ずつ増えていく。
基本Ｂ３
⑴ 8 で割ると 3 あまる 3 ，11 ，19 ，27 ，…
2 けたで最も大きな数なので，1 ～ 100 の間で，
7 で割ると 3 あまる 3 ，10 ，17 ，24 ，…
100 ÷ 12 ＝ 8 あまり 4
はじめの数が 3 で，56 ずつ増える
条件を満たす数は 8 個含まれることになる。
3 ，59 ，115 ，171 ，227 ，…
そのうち 1 番大きいのは，8 番目なので
この中で 6 で割ると 1 あまる数は 115
11 ＋ 12 ×（8 － 1）＝ 95
答 115
答 95
⑶ この数は，はじめの数が 115 で，56 と 6 の最小公倍
基本Ａ５
例
数の 168 ずつ増える。
⑴ 5 で割ると 1 あまる 1 ，6 ，11 ，16 ，21 ，26 ，…
2000 ÷ 168 ＝ 11 あまり 152
3 で割ると 1 あまる 1 ，4 ，7 ，10 ，13 ，16 ，…
これより，2000 に最も近い整数は
共通する数は，はじめが 1 で，15 ずつ増える
115 ＋ 168 × 11 ＝ 1963
したがって，1 ，16 ，31 ，46 ，61 ，76 ，91 ，…
115 ＋ 168 × 12 ＝ 2131
この中で 4 で割ると 3 あまる数で最も小さい数は 31
である。
よって，1963 が最も 2000 に近い
答 31
答 1963
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
7
②方陣算の利用
▼指導ページ P99 ～ 106 ▼
指導のねらい
★ご石を四角形にならべたときのご石の数を解く。
★ご石やタイルなどをならべたときの規則性を見つけさせ，工夫して解く。
授
業
例題１ 中実方陣
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
◎作図させることで角にできるご石の数をどのように
処理すればよいか理解させる。
●ポイント●
①ご石の全体数を求めさせる。
例題２ 中空方陣
【基本Ａ３，４，Ｂ２】
◎中が空いているものを中空方陣という。
●ポイント●
中空方陣 ① 中空方陣は，作図によってエリア
を 4 ヶ所にわけることができる。
② エリアにわけたとき，他のエリア
②一番外側にならんだご石の数を求める問題は，
と石が重ならないように注意させる。
4 つの頂点の重複に気をつけさせる。
展
◎正方形の形に石をならべたものを方陣という。中が
つまっているものを中実方陣。
●ポイント●
中実方陣
開
例題３ ご石を三角形にならべる 【基本Ａ５，６，Ｂ３】
◎規則性を見つけ，どのような色，形でならんでいる
かを判断させる。
●ポイント●
n 個の奇数の石がならんでいるとき（三角形）
1 ＋ 3 ＋ 5 ＋…＋●＝ n × n
例
n 個の奇数
基本Ａ２
基本Ｂ１
⑴ 合計個数は，1 辺のご石の数を求めてからにする。
⑴ （10 ＋ 14 － 4）÷ 4 ＝ 5…1 辺のご石
1 辺のご石＝（あまり＋たりない－ 1）÷ 2 を使用
5 × 5 ＋ 10 ＝ 35
（24 ＋ 5 － 1）÷ 2 ＝ 14
答 35 個
よって，14 × 14 ＋ 24 ＝ 220（個）
重
⑵ 35 ÷ 7 ＝ 5 →横
答 220 個
⑵ 一方の辺が出ているので他方の辺を求める。
●ポイント●
ここで割り切れないようならば⑴が間違ってい
答 76 個
4 つの頂点
基本Ａ３
よって，15 ÷ 3 ＝ 5
⑵ 8 × 4 － 4 ＝ 28
答 28 個
基本Ａ６
説
⑴ 三角形で奇数のタイルがならんでいるので
10 × 10 ＝ 100
答 100 まい
例
20 × 20 ＝ 400（個）
ので，中空のところに入るご石の数は
400 － 396 ＝ 4
答 4 個
5 ＋ 3 ＝ 8（個）
答 8 個
解
⑵ 1 辺が 20 個の中実方陣は，ご石の合計が
となる。この中実方陣は 396 個のご石を使っている
⑴ 4 つのエリアにわけられるので
60 ÷ 4 ＝ 15 個 → これが 1 つのエリア分
の
99 ÷ 9 ＝ 11
よって，20 × 4 － 4 ＝ 76
（11 ＋ 20）× 2 － 4 ＝ 58（個）
答 58 個
題
⑴ 396 ÷ 4 ＝ 99…エリア１つ分
11 ＋ 9 ＝ 20…外側の 1 辺にならんでいる個数
るので確認がとれる。
問
答 20 個
基本Ｂ２
220 ÷ 11 ＝ 20 個
要
よって，（5 ＋ 7）× 2 － 4 ＝ 20
⑵ 1 だんずつで考えると，黒の方が白よりもそれぞれ
1 まいずつ多い。
基本Ｂ３
⑴ 白と黒の合計は
13 × 13 ＝ 169（個）
黒は
（0 ，2 ，2 ，4 ，4 ，6 ，6 ，8 ，8 ，10 ，10 ，12 ，12）
とならんでいる。よって，黒の合計は
（2 ＋ 12）× 6 ÷ 2 × 2 ＝ 84（個）
よって，白は，169 － 84 ＝ 85
答 黒 85 個，白 84 個
⑵ 偶数のだんなら黒と白に同じ数，奇数のだんなら白
の方が 1 個多くなっている。よって，1001 だんでは白
よって，10 だんでは 1 × 10 ＝ 10（まい）
答 10 まい
⑶ ⑵の考えより，
16 ÷ 1 ＝ 16
答 16 だん目
は黒より 1 個多くなる。
答 1 個
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
8
①旅人算
▼指導ページ P107 ～ 114 ▼
指導のねらい
★旅人算の基本となる「追いつき」と「出会い」の考え方とグラフを理解する。
★旅人算の応用的問題の 1 つとして，往復する場合の問題を解く。
授
業
展
開
例
例題１ 追いこしの旅人算
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
◎単位時間あたりの縮まる距離を速さの差として求め，
ある時刻における距離の差を 1 あたりの集まりとし
て考え，追いつくまでの時間を求める。
●ポイント●
①速さの差を求め，1 あたりの数とする。
②同時間で縮まる距離を差の集まりとする。
③追いつくまでの時間を
（距離）
÷
（速さの差）
で求める。
⑵ 2 人 は 1 分 で 20m 差 が 縮 む。 は じ め 100m の 差 が
あったので，100 ÷ 20 ＝ 5（分）
答 5 分後
例題２ 出会いの旅人算
【基本Ａ３，４，Ｂ２】
◎単位時間あたりに縮まる距離を速さの和として求め，
ある時刻における距離の差を 1 あたりの和の集まり
として考え，出会うまでの時間を求める。
●ポイント●
①速さの和を求め，1 あたりの数とみる。
②同時間で縮まる距離を和の集まりとみる。
③出会うまでの時間を
（距離）
÷
（速さの和）
で求める。
基本Ａ１
66m/分
まさき
⑴ 66 － 58 ＝ 8
答 8m
のにかかる時間は
基本Ａ３
例
い」の考え方が混在しうる。この単元では「追いか
け」のパターンを中心に扱っている。
●ポイント●
①距離の差がわかる→「追いつき」
②往復の距離がわかる→「出会い」
③出会うまでの時間がわかる→「出会い」
（速さの和）×（時間）＝往復の距離
※線分図の書き方を工夫する。進んだ距離を矢印で表
すのもよい。片道と往復の距離は混合しやすい。
80 × 4 － 40 ＝ 280
答 280m
※（一方を検算にするとよい）
基本Ｂ２
4
4
4
◎旅人算が利用できるのは 2 つが同時に 一定の動きを
⑴ 1 分で 800m 進むので
800 ÷ 10 ＝ 80
答 分速 80m
◎グラフから速さが読み取れるかどうかチェックでき
点）から読み取る。
⑵ お兄さんの速さは
2200 ÷ 5.5 ＝ 400（m/分）
⑴ 20 分で 2400m 進んでいる
よって，家を出てから
答 分速 120m
⑵ みちこさんの速さは，12 分で 2400m 進んでいるので，
3000 ÷（400 ＋ 80）＝ 6.25（分）
家からの距離は
400 × 6.25 ＝ 2500
答 2500m
よって，1 分で 200 ＋ 120 ＝ 320（m）近づくので
2400 ÷ 320 ＝ 7.5
答 7.5 分後
説
【基本Ａ５，６，Ｂ３】
している場合であることを意識させる必要がある。
100 ÷ 8 ＝ 12.5（分）
2400 ÷ 12 ＝ 200（m/分）
解
答 6 分後
◎往復する場合の旅人算では，「追いかけ」と「出会
60 × 4 ＋ 40 ＝ 280
58m/分
2400 ÷ 20 ＝ 120
の
例題３ 往復する場合の旅人算
としや
る。時間と位置（距離）がはっきりしている点（格子
題
出会うのは 900 ÷ 150 ＝ 6（分）
妹でみると
100m
答 12.5 分後
問
よって，はじめ 900m 離れていたので，
2 人が同時に動いている状態のみ実線で表すとよい。
⑵ 1 分で 8m ずつ距離が縮まるので 100m の差を縮める
要
2 人は 1 分間に 90 ＋ 60 ＝ 150（m）近づく。
⑵ 姉でみると
◎位置関係をはっきりさせるためには，線分図上では
重
⑴ お母さんの分速は 90m，あおいさんの分速は 60m
基本Ａ５
◎線分図の書き方の指導に留意する。
Ａ
40ｍ Ｂ
基本Ｂ３
（
）
1
⑵ 往復の距離は， 48 × 23 3 － 70 × 2 ＝ 2100
姉がもどるのは
2100 ÷ 480 ＝ 43.75（分）
妹がもどるのは
姉
2100 ÷ 42 ＝ 50（分）
妹
80ｍ
⑴ 1 分で 80 － 60 ＝ 20（m）の差なので
50 － 43.75 ＝ 6.25
答 6 分 15 秒後
80 ÷ 20 ＝ 4（分）
答 4 分後
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
8
指導のねらい
②旅人算の利用
▼指導ページ P115 ～ 122 ▼
★複雑な旅人算（何度も往復，池のまわりをまわる）を解く。
★ 2 点間の距離のグラフを読み取る。
授
業
展
開
例
例題２ 池のまわりをまわる場合の旅人算 【基本Ａ３，Ｂ２】
例題１ 何度も往復する場合の旅人算 【基本Ａ１，２，Ｂ１】
◎出会いと追いつきを線分図でしっかりイメージさせ，
●ポイント●
1 回目，2 回目以降にわけパターン化する。
①出会いまでの時間
（1 周の距離）
÷
（速さの和）
②追い越しまでの時間
（1 周の距離）
÷
（速さの差）
●ポイント●
①出会いまでの時間
例題３ 2 点間のきょりのグラフ
【基本Ａ４，Ｂ３】
1 回目 片道÷（速さの和） 2 回目以降 往復÷（速さの和）ごと
◎グラフのたて軸が進んだ距離ではなく，2 点間の距離を表
②追いつきまでの時間
す特種なグラフであり，読み取りに慎重さが必要となる。
1 回目 片道÷（速さの差） 2 回目以降 往復÷（速さの差）ごと
●ポイント●
⑴ 出会い 1200 ÷（85 ＋ 65）＝ （
8 分）
①グラフの折れと実際の位置を対応させる。
85 × 8 ＝ 680
答 680m
②距離 0 は出会いや追いこしを表す。
⑵ 2 回目の出会い
③速さの和や速さの差を和が読み取れる。
2 回目に出会うのは 2 人が 1200 × 2 ＝ 2400（m）歩い
⑴ 10 秒後 P と Q は近づく＝ P が B で折り返した
たときなので，8 × 2 ＝ 16（分後）
毎秒 6cm なので，6 × 10 ＝ 60
答 60cm
はじめから考えると兄は，85 ×（8 ＋ 16）＝ 2040（m）
⑵ 出会いを考える。P と Q の道のりの和は 120cm なの
進んだので，出会った地点は 1200 × 2 － 2040 ＝ 360
で，2 点が出会うのは，120 ÷（6 ＋ 4）＝ 12
答 12
答 360m
⑶ ㋑は，Q が B に着いたときの距離。Q が B につくの
⑶ 追いつきの考え方。2 回目以降は 16 分ごとに出会う
は，60 ÷ 4 ＝ 15（秒後） より PQ 間の距離は
ことを使って解く。
6 × 15 － 60 ＝ 30
答 30
基本Ａ１
基本Ｂ１
◎線分図で確認しながら解いていく習慣をつけたい。
⑴
Ａ
Ｂ
600ｍ
⑴ 1960 ÷（77 － 63）＝ 140（分）
姉
70ｍ/分
600 ÷（70 ＋ 50）＝ 5（分）
重
要
答 2 時間 20 分後
⑵ はじめてすれちがうのは
1960 ÷（77 ＋ 63）＝ 14（分後）
2 人がはじめて出会うまで 5 分かかったので
その後，すれちがうのは
出会った地点は，姉で考えると
（1960 × 2）÷（77 ＋ 63）＝ 28（分）かかる。
70 × 5 ＝ 350（m）
⑵
妹
50ｍ/分
140 分＝ 2 時間 20 分
答 350m
よって，140 分間ですれちがうのは
14 分後，42 分後，70 分後，98 分後，126 分後の 5 回
（600 × 2）÷（70 ＋ 50）＝ 10（分）
出発してから，5 ＋ 10 ＝ 15（分）
基本Ｂ３
姉で考えると
◎グラフに対応した線分図は下図のように書く。
題
Ａ
答 150m
⑶ 姉が妹より 600m 後ろから出発したと考える。
姉は 1 分あたりに（70 － 50 ＝）20m 妹に近づくので
の
600 ÷ 20 ＝ 30（分）
答 30 分後
⑷ 5 分後にはじめてすれちがい，その後 10 分ごとに
解
すれちがうので，すれちがった時間は 5 分後，15 分後，
25 分後の 3 回。
答 3 回
説
基本Ａ３
Ｐ
Ｑ
Ｐ
Ｐ
Ｑ
Ｂ
21秒まで
Ｐ ㋐まで
Ｑ 28秒まで
Ｑ それ以降
⑴ Ｐの速さは，168 ÷ 21 ＝ 8（cm/秒）
Ｑは 21 秒間で，（168 － 42 ＝）126cm 進んだので
Ｑの速さは，126 ÷ 21 ＝ 6（cm/秒）
㋐は 2 点がはじめて出会った時間なので
（168 × 2）÷（8 ＋ 6）＝ 24
⑴ 2 人の距離の和＝ 600m となるので
答 24
600 ÷（70 ＋ 50）＝ 5（分）
例
168cm
{
50 × 15 － 600 ＝ 150（m）
{
問
答 5 回
答 5 分ごと
⑵ 2 回目に出会うのは 10 分後より
⑵ ㋑は 28 秒時のＰＱの差
出会った地点からＰは，
8 × 4 ＝ 32（cm）
姉で考えると
Ｑは，6 × 4 ＝ 24（cm）進んでいるので，2 点の差は
70 × 10 － 600 ＝ 100（m）
答 100m
⑶ 2 姉が妹より 1 周（＝ 600m）多く進んだときを考える。
600 ÷（70 － 50）＝ 30（分）
答 30 分後
32 ＋ 24 ＝ 56（cm）
答 56
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
9
①比の性質
▼指導ページ P123 ～ 130 ▼
指導のねらい
★比の意味を理解させ，比を簡単にするなどの基本操作の学習。
★比の性質を利用し，比の単位あたりの量からそれぞれの数量を求める。
例題１ 比を利用して 2 つの数量の大きさを比べる
授
例題３ 比の 1 あたりの量を考えて解く問題⑴
【基本Ａ２～４，Ｂ２】
●ポイント●
①Ａ：Ｂの形式…比という。
◎線分図をしっかり書けるように指導する。
②Ａを前項，Ｂを後項という。
業
展
開
●ポイント●
線分図の上に量，下に比を書かせる。
◎例題 1 から，文章内容を理解し，比で表す事を学ば
見やすい線分図を書けるようになるまでしっかり指導
せる。
する。
例題２ 比をかんたんにする
【基本Ａ１，Ｂ１】
例題４ 比の 1 あたりの量を考えて解く問題⑵
●ポイント●
【基本Ａ５，Ｂ３】
Ａ
Ａ：Ｂの時，Ａ÷Ｂ＝Ｂを比の値という。
◎比の値が等しい事を，比は等しいという。Ａ：Ｂの
◎例題 4 ⑴のように合計金額のかわらないやりとりの
時と例題 4 ⑵のように，2 人の差が変わらないやりと
ＡとＢには同じ数をかけても割っても比の値は変わ
例
らない。
ここでも線分図をしっかりかかせる事で量と比を理
解させる。
基本Ａ１
⑶
⑷ 0.3：1.05 →両辺の小数単位に注意する。
× 100
÷ 15
0.3：1.05 ＝ 30：105 ＝ 2：7
× 100
÷ 15
重
要
問
5
3
⑹ 6 ： 8 →通分の要領で両辺に 24 をかける
× 24
5
3
6 ： 8 ＝ 20：9
× 24
答 2：7
答 20：9
兄は④分のおこづかいをもらっているので，
400 × 4 ＝ 1600（円）
⑵ ⑴と同様に考えると，2 人の合計は⑦となるので，
3150 ÷ 7 ＝ 450（円）…①あたり
妹
例
500 円
500
500 円
円
③
同数ずつ増えたので，差はかわらない。
よって，金額の差＝比の差
答 200 円
基本Ｂ２
0.75：1.25 ＝ 75：125 ＝ 3：5
比を整数になおしてから考える。
⑴ Ｂの所持金を⑤とするとＡの所持金は③と考えられ
る。
1750 ÷ 5 ＝ 350（円）…①あたり
よって，Ａは
350 × 3 ＝ 1050（円）
答 1050 円
答 1800 円
説
□円
200 × 4 － 600 ＝ 200（円）
⑴ 弟のおこづかいを③とすると①あたりの金額は
⑥
400 円
兄で考えると
基本Ａ３
基本Ａ５
⑴
姉
④
200 ÷ 1 ＝ 200（円）…①あたりの金額
よって，450 × 4 ＝ 1800（円）
解
□円
600 － 400 ＝ 200（円） 4 － 3 ＝ 1
答 1600 円
の
600 円
兄
弟
1200 ÷ 3 ＝ 400（円）
題
りの時の区別をしっかり身につけさせる。
渡す
⑵ ⑴と同じように考えると，合計は⑧と考えられる。
2480 ÷ 8 ＝ 310（円）…①あたり
よって，310 × 3 ＝ 930（円）
2600 円
⑦
合計のかわらないやりとりなので，
2600 ÷（6 ＋ 7）＝ 200（円）…①あたりの金額
姉→ 200 × 6 ＋ 500 ＝ 1700（円）
答 1700 円
答 930 円
基本Ｂ３
⑴
99 まい
姉
妹
45 まい
⑬
合計はかわらないので，
□
□
渡す
（99 ＋ 45）÷（23 ＋ 13）＝ 4（まい）…①あたり
姉で考えると
99 － 23 × 4 ＝ 7
答 7 まい
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
9
指導のねらい
②連比 逆比
▼指導ページ P131 ～ 138 ▼
★連比の求め方。
★逆比を利用しての，元の比の求め方や文章題への応用のやり方。
授
業
開
例
●ポイント●
連比の筆算法をマスターする
連比の筆算
展
例題１ 連比を求める
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
◎Ａ：Ｂ：Ｃのように 3 つ以上の比を連比といい，い
くつかの比を 1 つの連比として表すことを連比を求
めるという。連比を求めるには，あたえられた比に
共通する部分の最小公倍数を利用する。
Ａ：Ｂ＝ 1：3 → Ａ：Ｂ：Ｃ
Ｂ：Ｃ＝ 2：3
1：3
⇐
共通な項Ｂを
2 と × 2 2 ： 3
2 ： 6 × 3
3
の最小公倍数の
6 ： 9
6
にそろえる。
2：6：9
※あたえられた比が小数や分数である場合は，整数に
比を簡単にしてから筆算する。
例題２ 逆比
【基本Ａ３，Ｂ２】
◎逆数とは積が 1 となる数である。
●ポイント●
①Ａ×○＝Ｂ×△のとき，Ａ：Ｂは○の逆数：△の逆数
又は△：○になる （逆数の比）
基本Ａ１
⑴ Ａ Ｂ Ｃ
2 ： 3
： 2 1
4 ： 6 ： 3
の
解
説
答 4：6：3
⑵ Ａ，Ｂ，Ｃをそれぞれ，4 ，6 ，3 とすると
基本Ａ６
◎Ａ×○＝Ｂ×△の関係をみつけだす。
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝ 13
⑴ あめ× 3 ＋ガム× 5 ＝あめ× 7 ＋ガム× 2
それぞれを（65 ÷ 13 ＝）5 倍する
あめが 4 増えると ガムが 3 減る
Ａ…4 × 5 ＝ 20
あめ× 4 ＝ガム× 3 →あめ：ガム＝ 3：4
答 3：4
Ｃ…3 × 5 ＝ 15
答 Ａ 20 ，Ｂ 30 ，Ｃ 15
⑴ Ａ× 2 ＝Ｂ× 4
5
7
逆比を利用して
Ａ：Ｂ＝ 5 ： 7 ＝ 10：7
2
4
⑶ Ａ× 1 2 ＝Ｂ× 2.5 ＝Ｃ× 5
3
6
↓ ↓
5 5 逆比を利用して，
3
2
3
Ａ：Ｂ：Ｃ＝ ： 2 ： 6 ＝ 3：2：6
5
5
5
380 ÷（3 × 1 ＋ 4 × 4）＝ 20（円）
答 60 円
⑶ ガム…20 × 4 ＝ 80（円）なので，
5 × 60 ＋ 80 ＝ 380（円）
答 380 円
答 10：7
基本Ｂ３
⑴ 兄× 3 3 ＝弟× 4 8
7
13
↓ ↓
答 3：2：6
◎Ａ×○＝Ｂ×△の関係をみつけだす。
⑴ 兄× 3 ＝弟× 4.5
↓
9
2
兄：弟＝ 1 ： 2 ＝ 3：2
3
9
⑵ あめ：ガム＝ 3：4 とすると，比の 1 あたりは
あめ…20 × 3 ＝ 60（円）
基本Ａ４
例
●ポイント●
Ａ×○＋Ｂ×△＝Ａ×●＋Ｂ×▲のとき
Ａ×（○－●）＝Ｂ×（▲－△）とすることができる
答 45 まい
基本Ａ３
題
●ポイント●
①Ａ×○＝Ｂ×△を見つける→Ａ：Ｂに変換。
②問題文の量が差なのか，和なのかを見抜く。
例題４ 逆比を利用する問題
【基本Ａ６，Ｂ４】
◎与えられた数量の関係から，比較するなどして
Ａ×○＝Ｂ×△の関係をつくりだし，逆比を利用し
てＡ：Ｂを求め解く。
15 × 3 ＝ 45
Ｂ…6 × 5 ＝ 30
問
【基本Ａ４，５，Ｂ３】
よって，弟は
実際には 65 になるので，
要
例題３ 2 つの数量の比を利用して求める
⑵ 15 ÷（3 － 2）ー 15…1 あたりのまい数
◎連比の筆算を定着させる。
重
②Ａ×○＝Ｂ×△＝Ｃ×□のとき
Ａ：Ｂ：Ｃ＝○の逆数：△の逆数：□の逆数
（注 □：△：○にはならない）
③逆数のつくり方（○の逆数）
b
a
○＝ a の形にし→○の逆数は b
24 60
7
13
兄：弟＝ 7 ： 13 ＝ 35：26
24 60
答 35：26
⑵ 183 ÷（35 ＋ 26）＝ 3…比の 1 あたり
兄…35 × 3 ＝ 105
答 105 まい
答 3：2
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
10
指導のねらい
第 6 回～第 9 回のまとめ
▼指導ページ P139 ～ 144 ▼
★第 6 回～第 9 回の学習内容の定着。
★月例テストの準備・対策。
2 学習回の内容と基本問題，練習問題との対応
1 第 6 回～第 9 回の学習内容の確認
授
業
展
開
第6回
第6回
①回転移動
①基本問題Ａ１
練習問題Ｂ１
②円の回転移動
②基本問題Ａ２
練習問題Ｂ２
第7回
第7回
①あまりに関する数列
①基本問題Ａ３
練習問題Ｂ３
②方陣算の利用
②基本問題Ａ４
練習問題Ｂ４
第8回
第8回
①旅人算
①基本問題Ａ５
練習問題Ｂ５
②旅人算の利用
②基本問題Ａ６
練習問題Ｂ６
第9回
第9回
①比の性質
①基本問題Ａ７
練習問題Ｂ７
②連比 逆比
②基本問題Ａ８
練習問題Ｂ８
例
基本Ｂ４
基本Ａ１
◎求めることができる部分がどこなのかをしっかりと
364 ÷ 4 ＝ 91（個）…エリア 1 つ分
みきわめることが必要である。
91 ÷ 7 ＝ 13 より，1 辺にならぶご石の数は
⑴
7 ＋ 13 ＝ 20（個）
中実方陣とするときに必要となるご石の数は
重
C
要
A
D
20°
9cm
20°
題
の
B
＝弧 AC ＋弧 CD ＋弧 DB ＋弧 AB
弧 AC ＝弧 DB ＝ 9 × 2 × 3.14 × 20
360
1
弧 CD ＝弧 AB ＝ 9 × 3.14 ×
2
20
9 × 2 × 3.14 ×
× 2 ＋ 9 × 3.14 × 1 × 2 ＝ 34.54
360
2
答 34.54cm
⑵ 半径 9cm，中心角 20°のおうぎ形 2 個と直径 8cm の
半円から，直径 9cm の半円を引いた面積なので，求め
解
説
る面積は半径 9cm，中心角 20°のおうぎ形 2 個分の面積
に等しい。
9 × 9 × 3.14 × 20 × 2 ＝ 28.26
360
答 28.26cm2
基本Ａ６
よって，400 － 364 ＝ 36（個）
基本Ｂ５
◎線分図をかいて 2 人の距離の差を求める。
Ａ
Ｂ
72m/分 兄
56m/分 弟
84ｍ
⑴ 2 人の距離の差＝ 84 × 2 ＝ 168（m）より
168 ÷（72 － 56）＝ 10.5（分）
答 10.5 分後
⑵ ＡＢ間の往復の距離は
（92 ＋ 56）× 10.5 ＝ 1344（m）
兄…1344 ÷ 272 ＝ 18 2（分）
3
弟…1344 ÷ 56 ＝ 241（分）
24 － 18 2 ＝ 5 1 → 5 分 20 秒
3
3
答 5 分 20 秒後
基本Ｂ８
兄が妹に追いつくまでにかかった時間は
例
20 × 20 ＝ 400（個）
答 36 個
⑴ かげをつけた部分のまわりの長さ
問
◎中空方陣は 4 つのエリアに分けて考える。
◎Ａ×○＝Ｂ×△の関係をみつけだす。
1080 ÷（96 － 60）＝ 30（分）
弟に追いつくのはこの 10 分後なので，40 分後となる。
1080 ÷ 40 ＝ 27（m/分）
より，弟は兄より 27m/分遅い。
㋷× 8 ＋㋤× 7 ＝㋷× 3 ＋㋤× 9
㋷が 5 減ると ㋤が 2 増える
㋷× 5 ＝㋤× 2 →㋷：㋤＝ 2：5
よって，96 － 27 ＝ 69（m/分）
答 毎分 69m
1280 ÷
（6 × 2 ＋ 4 × 5）
＝ 40
（円）
…比の 1 にあたる金額
よって，ナシは 40 × 5 ＝ 200（円）
答 200 円
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
11
①多角形上の点の移動
▼指導ページ P145 ～ 152 ▼
指導のねらい
★長方形の辺上を点が動くときに，時間と速さに注意しながら任意の点で決定する面積を求めさせる。
★長方形や多角形での動点と定点による面積などを旅人算を利用しながら解く。
例題１ 長方形の辺上の点の移動と面積
授
例題３ 多角形の辺上の点の移動 【基本Ａ５，６，Ｂ３】
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
●ポイント●
①作図を必ずさせる。
関係を作図により理解させる。
②旅人算を利用する。
②速さの違いに気をつける。
業
◎例題 1 ⑵のような，底辺や高さがかわらないときは
全体－（対象ではない図形）＝対象となる図形を使う。
例
⑶ 面積 165cm2 ，高さ 15cm の台形なので
165 ÷ 15 × 2 ＝ 22cm が PD ＋ QC となる
PD ＝ AD － AP なので AD － AP ＋ QC ＝ 22cm
展
開
●ポイント●
①点 の移動によりできる直線と元の図形の辺の
例題２ 長方形の辺上の点の移動と旅人算
AD ＝ 18cm より QC － AP ＝ 22 － 18 ＝ 4cm
よって，点 P と点 Q の動いた距離の差は 4cm なので
【基本Ａ３，４，Ｂ２】
●ポイント●
①旅人算を使って 1 回目の交わりに注意する。
②始 点の場所，問題にかかれている最終点の場
（3 － 2）＝ 4 秒後
4 ÷ 距離の差 速さの差
答 4 秒後
所に注意する。
基本Ａ１
基本Ｂ１
⑵
◎作図をして考える
⑴ 3 秒後の点 P，点 Q のそれぞれの位置は，
Q
A
9cm
6cm
重
要
D
12cm
P
B
16cm
題
＝ 6cm 進んだ所
B P
答 21cm²
D
P 8 × 2 ＝ 16cm
Q
Q 8 × 3 ＝ 24cm
C
答 16cm²
したがって，三角形 APQ ＝ 10 × 16 ÷ 2 ＝ 80（cm2）
答 80cm²
次に出会うのは，2 点が合わせて 1 周するときより，
3 回目に出会うのは，2 周するとき
よって，出発してから
PQ と AB が平行になるので，
8.4 ＋ 22.4 ＝ 30.8（秒後）
答 30.8 秒後
速さの和
答 2.5 秒後
⑶ PD ＋ QC を台形 PQCD ＝ 216cm² から求める。
例
よって，PQ ＝ 20 －（2 ＋ 8）＝ 10（cm）
14 × 4 × 2 ÷（2 ＋ 3）＝ 22.4（秒）
⑴ AP の長さと BQ の長さが等しくなると
30 ÷（5 ＋ 7）＝ 2.5 秒後
説
CQ ＝ 24 － 16 ＝ 8cm
⑵ 初めて出会うのは，14 × 3 ÷（2 ＋ 3）＝ 8.4（秒後）
8 × 4 ÷ 2 ＝ 16（cm2）
基本Ａ６
解
C
点 Q 6 × 4 ＝ 24cm
基本Ｂ２
図より，底辺 8cm，高さ 4cm の三角形
の
点 P 6 × 3 ＝ 18cm
Q
BP ＝ 18 － 16 ＝ 2cm
8cm
P
16cm
＝ 9cm 進んだ所
⑵ 18 秒後の点 P，点 Q
4cm
D
Q 3 × 3
したがって，7 × 6 ÷ 2 ＝ 21cm²
B
20cm
P 3 × 2
AQ ＝ 16 － 9 ＝ 7cm
A
問
C
A
216 ÷ 18 × 2 ＝ 24cm → PD ＋ QC
基本Ｂ３
⑵ 三角形 ABP と三角形 CDQ の面積が等しくなるのは，
どちらの三角形も高さが 18cm であることより，底辺で
ある AP と CQ の長さが等しくなるときである。
高さ
こ の と き，BQ ＝ PD と な る の で，AP ＋ BQ が 30cm
CQ － AP ＝ 24 － 18 ＝ 6cm
になる。
進んだ距離の差
よって，30 ÷（5 ＋ 3）＝ 3.75
6 ÷（7 － 5）＝ 3 秒後
答 3.75 秒後
速さの差
答 3 秒後
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
11
指導のねらい
②円周上の点の移動
▼指導ページ P153 ～ 160 ▼
★円周上の点の移動を中心角で表せるようにする。
★円周上を 2 点が移動するとき，旅人算を使い解けるようにする。
例題１ 円周上を移動する点の速さと旅人算【基本Ａ１】
●ポイント●
① 1 秒あたりの動く角度を表せるようにする。
授
②旅人算の追いこし，出会いを使って解く。
業
⑵ P 秒速 30 度 Q 秒速 10 度
答 9 秒後
360 ÷（30 ＋ 10）＝ 9 秒後
距離のかわりに角度を使って考える。
開
例
【基本Ａ２，３，Ｂ１】
●ポイント●
直線上の並ぶ点の時は，中心角が 180°
◎点のつくる線が中心を通り一直線になるとき，3 点の
作る三角形は直角三角形となる。
すなわち，中心角が 180°
180 ÷（18 ＋ 12）＝ 6（秒後）
⑵ 点 P が 1 周するまでの時間⇒ 360 ÷ 18 ＝ 20 秒
20 秒以内に何回 A，P，Q が一直線になるかを考える。
PQ ⇒ 6 ＋ 180 ÷（12 ＋ 18）＝ 18 秒後
AP ⇒ 180 ÷ 18 ＝ 10 秒後
⑴ 1 周するのにかかる時間の最小公倍数が次回の出会
答 120 秒後
いとなる。
【基本Ａ４，５，Ｂ２】
答 6 秒後
例題２ 円周上の点の移動と 2 つの半径が作る角度
⑴ 点 P と点 Q が一直線になるとき
円周 1 周分が 360°なので
展
例題３ 円周上の点の移動と 2 つの半径が作る図形
基本Ａ１
AQ ⇒ 180 ÷ 12 ＝ 15 秒後
6 ，10 ，15 ，18 秒後の合計 4 回になる。
答 4 回
基本Ｂ１
◎Ｐ，Ｑそれぞれの秒速を求める。
⑴ 2 点が合わせて 180 度進んだときなので，
⑴ 点Ｐ 360 ÷ 8（秒）＝秒速 45 度
180 ÷（16 ＋ 20）＝ 5 秒後
点Ｑ 360 ÷ 24（秒）＝秒速 15 度
答 5 秒後
答 点 P 毎秒 45 度，点 Q 毎秒 15 度
重
◎ 1 周に時間がかかる程，速さは小さくなる。基本的
な事だが見落としやすい。
⑵ 180 度だったのが，90 度になるのに
180 － 90 ＝ 90 度より，
90 ÷（16 ＋ 20）＝ 2.5 秒後
⑶ 1 周の差をつけるのだから 360 度を追いつけばよい。
要
360 度÷（45 － 15）＝ 12（秒後）
答 2.5 秒後
⑶ ⑴のあとに 2 点が 90 度進んだときなので，
答 12 秒後
90 度進むには⑵より，2.5 秒かかることより，
5 ＋ 2.5 ＝ 7.5 秒後
問
基本Ａ３
答 7.5 秒後
基本Ｂ２
⑴ はじめて同時に戻るのだから
点 P ⇒ 24 秒と点 Q ⇒ 18 秒の最小公倍数を求める。
題
したがって，72 秒後
⑴ 点Ｐ 180cm ÷毎秒 9cm ＝ 20 秒
答 72 秒後
2 回目，3 回目となると 72 秒に回数をかければよい。
の
⑶ もっとも速くなるとき⇒ 180°
になるとき⇒直線になる
まずは，速さを求める。
点Ｑ 180cm ÷毎秒 5cm ＝ 36 秒
この時間から角度の速さを求める。
点Ｐ 360 度÷ 20 秒＝毎秒 18 度
点Ｑ 360 度÷ 36 秒＝毎秒 10 度
点 P → 360 度÷ 24 秒＝秒速 15 度
解
◎まずは，一周あたりの時間を求める。
答 点Ｐ 毎秒 18 度，点Ｑ 毎秒 10 度
点 Q → 360 度÷ 18 秒＝秒速 20 度
⑵ 2 点がもっとも離れるのは，差が 180 度のとき
なので 180 度の旅人算
180 ÷（18 － 10）＝ 22.5 秒後
180 ÷（20 － 15）＝ 36（秒後）
答 22.5 秒後
答 36 秒後
説
→ 180 ÷ 18 ＝ 10（秒後）
基本Ａ４
例
⑷ 初めて直角三角形になるのは，AP が直径になるとき
次は，PQ が直径になるとき
◎直角三角形になる時の図を書かせると理解しやすい。
3 回目は AQ が直径になるとき，
⑴ 点 P と点 Q が一直線にはじめてならぶとき
P は 1 周に 20 秒かかり，Q は 36 秒かかる。
180 度の差ができる
AP がもう 1 度，直径となるのは
180 ÷（36 ＋ 24）＝ 3（秒後）
10 ＋ 20 ＝ 30（秒後）
答 3 秒後
より，Q が 1 周する前にもう 1 度ある。
よって，合計で 4 回
答 4 回
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
12
指導のねらい
①比の利用
▼指導ページ P161 ～ 168 ▼
★ 2 つの比の積や商から新しい比をつくて解く。
★ 2 つの数量があり，，一方が変化しないときの比の変化を連比を使って解く。
例題１ 比の積・比の商
授
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
◎比の積に対し，比の商は理解させづらいが，比の積
をしっかり定着させる事で，比の商にスムーズに考
例
② 2 つの比を○や□で区別して表す
B についての比 c：d である
③比の積 c について（a × c）：（b × d）である
例題２ 同じ数量を表す比をそろえる【基本Ａ３，Ｂ３】
●ポイント●
①変化のあるなしをそれぞれ確かめる。
※線分図を使うとよく整理される。
例題４ 差が一定の倍数算
【基本Ａ６，７，Ｂ２，３】
◎差が変化しないことに目をつけて，比をそろえて解
●ポイント●
①差が一定であることを確かめる
②変化しない一方に注目し連比を作る。
③連比を使って問題を解く。
②差に注目し 2 つの比をそろえる
基本Ｂ２
⑴ 17 と 7 を比の値とすると，もとの比は
23
9
17：23 ，7：9
◎成り立っている関係をはっきりさせる。
⑴ 金額×枚数＝合計金額ので
1 枚あたりの比 50：100 ＝ 1：2
となる。分子と分母それぞれに同じ数をたすので，
枚数の比 2：3
要
③和に注目して 2 つの比をそろえる
く。線分図の扱いは ｢年令算｣ の場合と似ている。
基本Ａ１
重
をそろえて解く。（＝やりとり算）
●ポイント●
①和が一定であることを確かめる
比の商 c について（a ÷ c）：（b ÷ d）である
開
◎ 2 つの数量の和が変化しない。和に注目し 2 つの比
A′：B′から A′＋ B′
●ポイント●
① A × B ＝ C，A ÷ B ＝ C が成立
② A についての比 a：b である
展
【基本Ａ４，５，Ｂ２】
A：B から A ＋ B A ＋ B と A′＋ B′
え方を移行させる。
業
例題３ 和が一定の倍数算
合計金額の比 （1 × 2）：（2 × 3）＝ 1：3
答 1：3
⑵ 100 円玉だけの金額は
1600 × 3 ＝ 1200（円）
1＋3
よって，1200 ÷ 100 ＝ 12（まい）
差は変わらない。
17：23 → ⑰：
7 ： 9 → ：
× 3
差が④となる。よって，たした数は 4
答 4
答 12 まい
問
基本Ａ５
⑵ 分子をひいた数と分母にたした数が等しい
◎比の和をそろえることに注意する。
→和は変わらない
ゆうすけとしんじの間でのカードの移動なので，合計
題
は変わらない。
21：23 → 44 × 1 ：
3 ： 8 → 11 × 4 ⑫：
ゆ：し⇒ 7：5 ⇒ 12 × 4 ：⑳
差が⑨。よって，ある数は 9
ここで最小公倍数を考える
の
解
説
例
答 9
9：7 ⇒ 16 × 3 ：
比の結果から，4 ÷（－）＝ 4（まい）…①あたりの量
基本Ｂ３
ゆうすけ：4 × 28 ＝ 112 円
⑴ 女の人数は変わらないので，女の人数をそろえる。
答 112 まい
7：8 → ：
× 9
さやかとつづる，同じまい数をもらっているので，差
8：9 → ：
× 8
基本Ａ７
は変わらない。
さ：ち 3：1 → ⑨：③
× 3
合計は 272 人なので，
5：2 → ⑩：④
× 2
男の増えた割合は－＝①より，
272 ÷（＋）＝ （
2 人）…①あたりの量
1 × 2 ＝ 2（人）
差が①となり，
答 2 人
7 ÷①＝ 7（まい）…①あたりの量
さやか：7 × 9 ＝ 63（まい）
答 63 まい
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
12
指導のねらい
②比例式と比例
▼指導ページ P169 ～ 176 ▼
★比例式の理解とわからない量を求める。
★正比例の関係を理解し，問題を解く。
◎この単元は比の性質のまとめなので，しっかり比を
授
理解させる。
例題１ 比例式
【基本Ａ１，Ｂ１】
◎例題１にあるように小数や分数の計算が良く出てく
業
展
開
るので，ケアレスミスに注意させる。
例題３ 正比例の文章題
【基本Ａ３，４，Ｂ２】
説明すると良い。
例題４ 比例式を使って解く問題 【基本Ａ５，６，Ｂ３】
【基本Ａ２】
◎ 2 つの量がともなって 2 倍，3 倍と 2 量が同じように
変化するとき正比例という。
例
が多くいるので柔軟な対応をしたい。
◎文章の内容をしっかり理解させ，板書では図示して
●ポイント●
外項
A：B＝C：D
内項の積＝外項の積
A×D＝B×C
内項
を定着させる
例題２ 正比例の性質
◎この正比例の問題は，比や比の値を使って解く生徒
●ポイント●
x が P 倍のとき y が P 倍ならば，x と y が正比例
◎比をそのまま量として考えさせる。
例題４では，はじめの所持金を 4：3 と表しているの
で，姉④円，妹③円と単位をつけ，実際の量として
考えさせる。
している。
重
要
基本Ａ１
基本Ｂ２
1
⑷ 2：x ＝ 2 2 ：4
帯分数→仮分数
5
2：x ＝ 2 ：4
5
外項の積＝内項の積より，2 × 4 ＝ x × 2
5
16
x ＝ 2 × 4 ÷ 2 ＝ 5
⑴ 30g から 40g まで，
40 － 30 ＝ 10g
28cm から 32cm まで，
32 － 28 ＝ 4cm
10g のおもりで 4cm ばねがのびることになる。
30g のおもりで xcm のびたとすると，
16
答 5
基本Ａ２
28 － 12 ＝ 16
答 16cm
x ＝ 15 × 120 ÷ 3
x ＝ 600 円
答 600 円
題
⑵ 3m：120 円＝ xm：1800 円
x ＝ 11.2 × 3 ÷ 2 ＝ 16.8（cm）
x ＝ 45m
答 45m
⑨まい，⑤まいとおく。
16 ＋ 16.8 ＝ 32.8（cm）
答 32.8cm
基本Ｂ３
⑴ はじめの持っているＡの金額を④，Ｂを③とすると，
（⑨－ 8）× 4 ＝（⑤－ 4）× 7
（④－ 600）：（③－ 300）＝ 6：5
－ 32 ＝－ 28
→元の金額から残りの金額を引くと使った金額になる。
◎ここで線分図を使うと理解しやすい。
例
よって，ばねの長さは
⑵ はじめのまさひろ君とだいすけ君のシールの枚数を
（⑨－ 8）：（⑤－ 4）＝ 7：4
説
27.2 － 16 ＝ 11.2（cm）
2：11.2 ＝ 3：x
基本Ａ５
解
⑵ おもりを 2 個つるしたときのばねののびは
ゆえに，3 個のときのばねののびを xcm とすると
120 × x ＝ 1800 × 3
x ＝ 1800 × 3 ÷ 120
の
x ＝ 4 × 30 ÷ 10 ＝ 12cm
よって，おもりをつるしていないときのばねの長さは
⑴ 3m：120 円＝ 15m：x 円
3 × x ＝ 15 × 120
問
10：4 ＝ 30：x
32まい
4まい
（④－ 600）× 5 ＝（③－ 300）× 6
4 まい＝①
⑳－ 3000 ＝⑱－ 1800
3000 － 1800 ＝②
①＝ 600
28まい
600 × 4 ＝ 2400（円）
よって，9 × 4 ＝ 36 まい
答 36 まい
答 2400 円
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
13
指導のねらい
①合同と相似の性質
▼指導ページ P177 ～ 184 ▼
★合同や相似の性質に注目し，問題を解く。
★縮尺に注意して，地図上の長さや面積の問題を解く。
授
業
展
開
例
◎この単元は①合同②相似③地図上の長さや面積の
順で進行させ，相似な図形の応用への導入の単元に
なっている。
例題１ 合同な図形の性質
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
◎ 2 つの図形が形も大きさも同じであることを合同で
あるという。対応と対応の順に配慮する。
●ポイント●
①相似…形が同じ
②縮める → 縮小 →縮図
広げて大きくする → 拡大 →拡大図
③対応する辺の長さの比はそれぞれ等しい
（対応する角の大きさは，当然等しい）
●ポイント●
①合同…形も大きさも同じ
②重なり合う辺や角→対応する辺・角
③対応する辺や角は対応の順に表す
例題２ 相似な図形の性質
【基本Ａ３～５，Ｂ１，２】
◎ 2 つの図形の大きさがちがっても形が同じであるこ
とを相似という。（相似＝相い似る）縮めることを縮
小，大きくすることを拡大という。
拡大(拡大図)
───→
←───
縮小(縮図)
※拡大・縮小すれば長さは異なる。そのちがった長さ
を比を用いて解いていく
例題３ 縮図と拡大図
【基本Ａ６，７，Ｂ３】
◎ここでは，地図上の長さや面積を扱う。縮尺は分数
や比で表される。地図上の長さは，実際の長さ×縮
尺で求められるが，面積はたても横も縮小されるの
で（縮尺）×（縮尺）だけ縮まる。
●ポイント●
①地図上の長さ…縮尺分縮まる
②地図上の面積…（縮尺×縮尺）分縮まる
基本Ｂ１
基本Ａ１
◎合同…ぴったりと重なる（※対応する順に表す）
⑴ ∠ BCG ＝∠ DCE ＝ 90 度
ＡＢＣ → ＦＤＥ
BC ＝ DC，CG ＝ CE より，
○□× ○□×
三角形 BCG と三角形 DCE は合同
⑴ 合同のとき，対応する辺の長さは等しい
重
答 三角形 DCE
よって，辺 AB を対応する辺は辺 FD
⑵ 2 角が等しければ相似
※辺 DF と答えないようにする。
答 辺 FD
要
⑵ 辺 DE と対応しているのは辺 BC より，10cm
答 10cm
基本Ａ４
問
題
三角形 EFH
（∠ DGH ＝∠ EFH ＝ 90 度，∠ DHG ＝∠ EHF）
三角形 DCE
（∠ GDH ＝∠ CDE，∠ DGH ＝∠ DCE ＝ 90 度）
⑴ 四角形ＡＢＣＤ → 四角形ＨＥＦＧ
三角形 BCG
○□×△ ○□×△
（三角形 DCE と合同なので）
あと対応する角は角 M
答 三角形 EFH，三角形 DCE，三角形 BCG
角 H ＝ 360 －（105 ＋ 85 ＋ 65）＝ 105
答 105 度
の
三角形 DGH と相似な三角形は
⑶ 相似な正方形から相似な三角形を引いてできた台形
は相似となる。
⑵ 対応する辺の比は等しい。対応する辺の長さがわ
台形 ABGD ＝正方形 ABCD －三角形 BCG
かっているのは辺 CD と辺 FG より，
台形 CEHG ＝正方形 CEFG －三角形 EFH
6：9 ＝ AD：6
解
説
例
よって，台形 CEHG
AD ＝ 6 × 6 ÷ 9 ＝ 4
答 4cm
基本Ａ６
⑴ 1 に縮めてあるから，もとにもどすには 50000 倍
50000
する。
8 × 50000 ＝ 40000（cm）＝ 4（km）
答 4km
⑵ 7km ＝ 7000 ｍ＝ 700000cm
700000 × 1 ＝ 14（cm）
50000
答 台形 CEHG
基本Ｂ２
◎図中の角に◦や×などの印を入れて確かめていく。
A
⑴ 答 三角形 DBA
⑵
⑶
答 イ
◦印は 34 度より
あ＝ 180 －（90 ＋ 34） 6cm
＝ 56 度
い＋◦＝あより
B
答 14cm
4cm
D
5cm
C
い＝ 56 － 34 ＝ 22 度
答 あ 56 度，い 22 度
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
13
指導のねらい
②相似の利用
▼指導ページ P185 ～ 192 ▼
★相似な図形の相似比と面積比の関係を理解し問題を解く。
★平行線によってできるピラミッド型とクロス型の相似を利用して問題を解く。
◎この単元は相似な図形の発展問題を①面積比②ピラ
授
ミッド型の相似③クロス型の相似を理解し，それを
クロス型はその 2 つの基本形をなし，どちらの形も斜
【基本Ａ１，２，Ｂ２】
辺での辺の対応に間違いが発生しやすいので抜き出し
や色わけなどで注意させる。
◎この単元では相似な図形として三角形のみを扱って
いるが，どんな形でも相似でさえあれば，成り立つ
開
右図で，6：8 ＝ x：12 とする例
を取り上げ，すべてについて成り立つことを調べる
ことにより具体化されイメージされやすい。
●ポイント●
相似である図形すべてにおいて
◎「チョウチョウ型の相似」と呼ばれ，この型を含む
問題は多い。斜辺での辺の対応に間違う例がある。
《間違いのパターン》
4
3
右図で，4 ÷ 8 ＝ 3：x…×
8
※見せかけの数値に惑わされる例
相似比 → 面積比
基本Ａ１
基本Ｂ１
⑴ 対応する辺は BC と DE
◎複数の相似がある場合，求めたい辺を用いている図
BC：DE ＝ 9：15 ＝ 3：5
形の相似を考える。
答 3：5
⑴ 三角形 AEG と三角形 ABC の相似を考える。
⑵ 相似比が 3：5 なので，面積比は
相似比 AE：AB ＝ 6：（6 ＋ 10）＝ 3：8
（3 × 3）：（5 × 5）＝ 9：25
よって，EG：BC ＝ 3：8
答 9：25
⑶ AB と対応する辺は AD より，
答 3：8
⑵ 三角形 CFG と三角形 CDA の相似を考える。
3：5 ＝ x：25
相似比 CG：CA ＝（8 － 3）：8 ＝ 5：8 より，
x ＝ 3 × 25 ÷ 5 ＝ 15（cm）
GF と対応する辺は AD なので，
答 15cm
問
GF ＝ 5 × 8 ÷ 8 ＝ 5
⑵ 相似比 BC：DE ＝ 12：18 ＝ 2：3
答 5cm
⑶ EG ＝ 16 × 3 ÷ 8 ＝ （
6 cm）より，
2：3 ＝ 8：x
EF ＝ EG ＋ GF ＝ 6 ＋ 5 ＝ 11（cm）
x ＝ 3 × 8 ÷ 2 ＝ 12（cm）
答 11cm
答 12cm
の
5：8 ＝ GF：8
基本Ａ３
x と対応する辺は AB より
題
⑶ y ＝ AE － 10
基本Ｂ３
⑴
E
相似比＝ CD：EF ＝ 15：40
2：3 ＝ 10：AE
＝ 3：8
AE ＝ 3 × 10 ÷ 2 ＝ 15
解
よって，y ＝ 15 － 10 ＝ 5（cm）
3：8 ＝ BD：32
BD ＝ 32 × 3 ÷ 8 ＝ 12（cm）
15cm
⑵ 相似比 BE：CE ＝ 18：30 ＝ 3：5
D
32cm
B
3：5 ＝ x：25
よって，DF ＝ BF － BD
F
＝ 32 － 12 ＝ 20（cm）
答 20cm
x ＝ 3 × 25 ÷ 5 ＝ 15（cm）
例
BF と対応する辺は BD より
40cm
C
答 5cm
基本Ａ６
説
12
【基本Ａ５，６，Ｂ２】
例題３ クロス型の相似
例
要
8
正しくは，6：（6 ＋ 8）＝ x：12
a：b a × a：b × b
重
6
《間違いのパターン》
性質であることを強調したい。正方形，長方形，円
展
【基本Ａ３，４，Ｂ１，３】
◎「平行線があるところに相似形あり」ピラミッド型と
使って問題を解くことを課題としている。
例題１ 相似比と面積の比
業
例題２ ピラミッド型の相似
答 15cm
⑵
A
⑴より，DF ＝ 20cm
◎比例配分を使う。
⑶ y ＝ 36 × 3 ÷（3 ＋ 5）＝ 13.5
答 13.5cm
相似比 BF：DF ＝ 32：20
C
15cm
B
D
32cm
＝ 8：5
20cm
F
8：5 ＝ AB：15
AB ＝ 8 × 15 ÷ 5 ＝ 24
答 24cm
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
14
指導のねらい
①対称な図形 図形の折り返し
▼指導ページ P193 ～ 200 ▼
★線対称な図形や点対称な図形の性質を理解する。
★四角形の折り返し問題を解く。
◎この単元は，①線対称な図形②点対称な図形③折り
授
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
●ポイント●
①語句・用語の意味
◎国語の授業展開の原則は「読み合わせ→新出語句の
業
意味調べ→…」の順である。算数についても同様な
点対称…180 度回転させぴったり重なる
ことがいえる。例題１でみるとまず読み合わせをし，
②点対称な図形の性質
「新しいことばが 2 つ登場しました」→（＝ことばの
説明）→問題を解くという順である。
展
開
例題３ 図形の折り返し
●ポイント●
①語句・用語の意味をしっかりつかむ
形がいくつかできる。折り返しでできる相似な図形
線対称…二つ折りでぴったり重なる
行線の角から等しい角に • や×で印をつけることで角
は「2 つの角が等しいこと」で足りる。折り返しや平
対称の軸…二つ折りの折り目
度や相似を正確に考えることができるようになる。
●ポイント●
①図形の折り返し→合同・相似の応用
※基本問題で線対称な図形をかかせる問題がある。
②重なりの角と平行線の角に注意する
⑵ 切り落とした部分の面積を考えると，
基本Ａ１～４
1 × 1 × 4 ＋ 2 × 2 ＝ 8（cm2）
◎対応する点がどれなのか。線を引いて確認する。
基本Ａ５
四すみ 中央
⑴ 三角形 BCE において，
これを正方形の面積から引くと
6 × 6 － 8 ＝ 28（cm2）
∠ BEC ＝あより，
∠ BCE ＝ 180 －（90 ＋ 35）＝ 55 度
重
答 55 度
⑵ 三角形 EBF において，
い＝ 90 － 35 × 2 ＝ 20 度
答 20 度
基本Ａ６
A
⑵ DF ＝ 20 － 8 ＝ 12（cm）
より，
CD：8 ＝ 12：6（＝ 2：1）
8cm F
D
6cm
⑴
E
答 16cm
⑶ BE：16 － 6 ＝ 10（cm）
D
B
C
9cm
よって，FA ＝ FC の二等辺三角形
B
20cm
C
答 100cm²
基本Ｂ１
⑴
F
∠ ACB ＝∠ ACF なので，∠ FAC ＝∠ FCA
20 × 10 ÷ 2 ＝ 100（cm2）
解
A
⑴ 平行線の錯角より，∠ ACB ＝∠ FAC
E
CD ＝ 8 × 2 ＝ 16
の
説
基本Ｂ２
3cm
◎等しい角に印をつける作業を入れる。
⑴ 答 三角形 AEF
題
答 28cm²
∠ EBF ＝∠ CBE より，
要
問
【基本Ａ５，６，Ｂ２】
◎長方形や正方形を折り返す，合同な図形や相似な図
②線対称な図形の性質
例
【基本Ａ３，４】
◎線対称と同様にすすめる。
返してできる図形の 3 つを学習する。
例題１ 線対称な図形
例題２ 点対称な図形
答 二等辺三角形
⑵ ⑴より，AF ＝ 5cm
これを底辺とすると，高さは 3cm となるので，
5 × 3 ÷ 2 ＝ 7.5（cm2）
答 7.5cm²
左の図のかげの部分が切り落とし
た部分。折り目を軸にして，線対
称な部分を考える。
⑶ 三角形 ACD と三角形 CAE は合同である。ゆえに，
AC を底辺としたときの高さは等しくなる。よって，
AC と ED は平行である。
※平行ならば高さは等しい
例
答 平行
⑷ DF ＝ 9 － 5 ＝ 4（cm）よ り， 三 角 形 ACF と 三 角 形
DEF の相似比は，三角形 ACF：三角形 DEF ＝ 5：4
よって，面積比は，（5 × 5）：（4 × 4）＝ 25：16
答 ⑸ 7.5 × 16 ＝ 4.8（cm2）
25
答 25：16
答 4.8cm²
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
14
指導のねらい
②角すい 円すい
▼指導ページ P201 ～ 208 ▼
★角すい，円すいの性質と展開を理解させる。
★角すい，円すいの表面積，体積を求めさせる。
例題１ 角すいの性質
授
業
展
【基本Ａ１，２，Ｂ１】
例題３ 円すいの表面積・体積
◎展開図から投影図を書けるようになると理解しやす
い。
●ポイント●
①底面がどこになり，高さはどこかを見つける。
1
②角すいの体積＝底面積×高さ× 3
例題２ 円すいの展開図
【基本Ａ５，６，Ｂ３】
●ポイント●
1
①円すいの体積＝底面積×高さ× 3
②円すいの側面積＝母線×底面の半径×円周率
③円すいの表面積＝底面積＋側面積
【基本Ａ３，４，Ｂ２】
◎母線と底面の半径を混合させないように指導する。
開
●ポイント●
①頂点と底面の半径の円周上の点を結ぶ線＝母線
②母線＝展開図におけるおうぎ形の半径
例
③おうぎ形の弧の長さ＝底面の円周の長さ
④母線×中心角＝底面の半径× 360
基本Ａ１
基本Ｂ１
◎角すいの頂点，辺，面の数の求め方を確認したい。
□角すい：頂点＝□＋ 1
取った図形は三角すい 2 つなので，
三角すいの体積＝ 3 × 2 × 1 × 5 × 1 ＝ 5（cm3）
2
3
よって，求める体積は
辺＝□× 2
面＝□＋ 1
重
⑴ 面＝ 4 ＋ 1 ＝ 5
2 × 3 × 5 － 5 × 2 ＝ 20（cm3）
頂点＝ 4 ＋ 1 ＝ 5
答 20cm3
辺＝ 4 × 2 ＝ 8
要
答 面 5 ，頂点 5 ，辺 8
題
x ＝ 36 × 70 ÷ 360
表面積…256 ＋ 544 ＝ 800（cm2）
⑶ 256 × 15 × 1 ＝ 1280（cm2）
3
答 800cm2
答 1280cm2
基本Ａ４
⑴ おうぎ形の弧の長さ＝底面の円周の長さより，
の
5 × 2 × 3.14 ＝ 31.4（cm）
答 31.4cm
⑵ 母線×中心角＝底面の半径× 360 より，
解
例
x＝7
答 7cm
基本Ｂ３
⑴ アの面を用いると
24 × 150 ＝ x × 360
x ＝ 24 × 10 ÷ 360
x ＝ 10（cm）
答 10cm
⑵ ⑴を用いて
x × 225 ＝ 5 × 360
15 ×あ＝ 10 × 360
x ＝ 5 × 360 ÷ 225
あ＝ 10 × 360 ÷ 15
x ＝ 8（cm）
説
基本Ｂ２
⑴ 36 × 70 ＝ x × 360
⑵ 底面積…16 × 16 ＝ 256（cm2）
側面積…16 × 17 ÷ 2 × 4 ＝ 544（cm2）
問
直方体の体積から切り取った部分を引けばよい。切り
答 8cm
あ＝ 240
基本Ａ６
⑴ 円すいの体積＝底面積×高さ× 1 より，
3
1
7 × 7 × 3.14 × 24 × ＝ 1230.88（cm3）
3
答 1230.88cm3
⑵ 母線×弧の長さ× 1 ＝側面積より，
2
側面積＝ 25 × 7 × 2 × 3.14 × 1 ＝ 549.5
2
表面積＝ 7 × 7 × 3.14 ＋ 549.5 ＝ 703.36（cm2）
答 703.36cm2
答 240 度
⑷ 中心角の大きさは底面の半径と比例する
ゆえに，アの中心角とイの中心角も比例する
× 1
2
アの中心角：150 度 → 75 度
イの中心角：240 度 → 120 度
× 1
2
答 120 度
中学受験新演習 小 5 下基本 算数 指導のポイント
15
指導のねらい
第 11 回～第 14 回のまとめ
▼指導ページ P209 ～ 214 ▼
★第 11 回～第 14 回の学習内容の定着。
★月例テストの準備・対策。
2 学習回の内容と基本問題との対応
1 第 11 回～第 14 回の学習内容の確認
授
業
展
開
第 11 回
第 11 回
①多角形上の点の移動
①基本問題Ａ１
基本問題Ｂ１
②円周上の点の移動
②基本問題Ａ２
基本問題Ｂ２
第 12 回
第 12 回
①比の利用
①基本問題Ａ３
基本問題Ｂ３
②比例式と比例
②基本問題Ａ４
基本問題Ｂ４
第 13 回
第 13 回
①合同と相似の性質
①基本問題Ａ５
基本問題Ｂ５
②相似の利用
②基本問題Ａ６
基本問題Ｂ６
第 14 回
第 14 回
①対称な図形 図形の折り返し
①基本問題Ａ７
基本問題Ｂ７
②角すい 円すい
②基本問題Ａ８
基本問題Ｂ８
例
⑵ 3：5 ＝ AB：12
基本Ａ２
AB ＝ 3 × 12 ÷ 5 ＝ 7.2（cm）
◎ P と Q の速さを求める。
よって，y ＝ 12 － 7.2 ＝ 4.8（cm）
⑴ P は 1 周に 12 秒
答 4.8cm
Q は 1 周に 9 秒かかるので
基本Ｂ１
同時に A にもどるには，
重
◎四角形 PBQD が台形となることを確認。
12 と 9 の最小公倍数の 36 秒後
答 36 秒後
PD ＋ BQ ＝ 24
⑵ P…360 ÷ 12 ＝ 30 度
要
問
（PD ＋ BQ）× 36 ÷ 2 ＝ 432
（AD － AP）＋ BQ ＝ 24
Q…360 ÷ 9 ＝ 40 度
PQ 間がもっとも離れるのは 180 度離れたとき
36 － AP ＋ BQ ＝ 24
180 ÷（40 － 30）＝ 18（秒）
AP － BQ ＝ 12（cm）
答 18 秒後
ゆえに，P と Q の道のりの差は 12cm
よって，12 ÷（8 － 5）＝ 4（秒後）
基本Ａ４
答 4 秒後
◎時間と変化した長さが比例していることに注意。
題
⑴ 25 分 か ら 35 分 の 10 分 間 で ろ う そ く は（15 － 9 ＝）
6cm もえた。25 分間でもえたろうそくを xcm とすると
解
x ＝ 6 × 25 ÷ 10
→ AC を底辺としたときの高さは等しい
x ＝ 15（cm）
→ AC と ED は平行
よって，もとの長さは
これより，三角形 ACF と三角形 DEF は
15 ＋ 15 ＝ 30（cm）
クロス型となり相似
答 もえた長さ 6cm，もとの長さ 30cm
⑵ 10：6 ＝ 5：3 より，x 分間もやしたとすると
説
EF ＝ EC － FC ＝ 18 － 13 ＝ 5（cm）
相似比…FC：FE ＝ 13：5
面積比…（13 × 13）：（5 × 5）＝ 169：25
5：3 ＝ x：（30 － 21）
答 169：25
x ＝ 5 × 9 ÷ 3
基本Ｂ８
x ＝ 15（分）
例
◎相似比＝○：□→面積比：（○×○）：（□×□）
⑴ 三角形 ACD と三角形 CAE は合同
10：6 ＝ 25：x
の
基本Ｂ７
答 15 分間
基本Ａ６
◎対応する辺がどこなのかに十分注意をうながしたい。
⑴ 相似比 AC：AE ＝ 6：（6 ＋ 4）＝ 3：5
3：5 ＝ x：14
◎円すいの展開図をしっかりかけるようにする。
13cm
⑵
側面積＝母線×弧の長さ× 1 より
2
側面積＝ 13 × 5 × 2 × 3.14 × 1
2
＝ 204.1（cm2）
5cm
x ＝ 3 × 14 ÷ 5
底面積＝ 5 × 5 × 3.14 ＝ 78.5（cm2）
表面積＝ 204.1 ＋ 78.5 ＝ 282.6（cm2）
x ＝ 8.4（cm）
答 8.4cm
答 282.6cm2
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