もヽ卜￥

XOLiL QULIYEV,
FiRONGIZ eLЭ KBOROVA
XOTTi ceBR Ve XO丁
Tl
もヽ卜￥
PROQRAMLAsDIRMAN:N
eSASLARI
(DЭ RS VeSAITり
Azerbaycan Respubiikas,丁 ohs‖
Nazirliyi
terefindon ders vesali kimitesdiq ed‖ mi,dir
BAKI,2001‐ Ci lL
Elm v ahsll lt'lcrkezt
,Tatekklir ' L niYerrit{ ti
Kital-,rrena
QULiYEV X M,OLOK30ROVA F M
xaTri ceBR va xeTTi
PRoQRAMLA$D|RMAN|N
ESA,SLARI
(DBrs v€6aiti)
Bakt, 2001-ci il.
Annotasiya
Tedris vasaiti iqtisdiyyat ve texniki ali mektsblerin t€lebelari ugin
nezerde Mulmugdur. Lakin o, miivafiq ali mokteb mudlimlati, elmit€dgiqat ve layihe instiudannm omokda$an i.igi.in de faydah ola bikar.
Kitab
b6lm€d6n ibaretdir. Birinci bolmede xatti
proqramlagdrrmann riyazi osa$ olan xatti cobrin osas elementlari,
ikinci b6lm6do isa xaui proqramlagdtrma meselaleri ve onlann helli
iki
Usullan verilmigdir.
Qoxsaylr misal va mesd€larin holli, must€qil hsll etmek ugun
tap$rflglann olmasr v€saiu€n serb€st maggul olmaq Ugiin imkan
yaradr.
Ra'y verenler 1. Mehdiyev M.F. Bak O<ivlat Universitetinin
profu gsoru, fi zika-riyaziy)rat olml€ri doktoru.
2. Nuriyev Z.V. Azorlcaycan M6marlq va ingaat
Universitetinin "Ali ri)Eziyyaf' kafurasrnrn
dosenti, fizika-ri).aziyyat elm-leri namizedi.
Elmi redaktor: CABRAYILOV A.C., Azerbaycan Memarhq va
lngaat Unive.sitetinin'Ali riyaziyyat" kafedrasF
nrn mudiri, fizika+iyaziyyat elmleri doktoru,
professor,
Q勒
3
MUOEDD|ME
ALIAH SANA RAHMAT
ELAS|N, S|TARE ANA!
iqdisadiyyat masalelarinin h€lli UgUn riyazi iisullann, hesablama
texnikasrntn tatbiqi mustasna ehomiyyat kasb edir.
lqdisadiyyat m€solelerinin riyazi Usullafl, halli yollan ilk dafu Nobel
miikafat laureat akademik L,V. Kantorovig tarofindon "istehsahn
planlagdtnlmas ve tegkili" mono+rafiyastnda 193$cu ilde verilmigdir.
Sonralar
bu
Usullar daha
da
tokmillogdirilmis
ve
.,Riyazi
proqramlagdrrma" adr altnda fann kimi tedris olunmaoa baglantlmDdtr.
Indi bu funn butiln iqtisad vo texniki profilli ali msktablarin tedris
planlannda mUhum yer tutur.
"Riyazi proqramlagdtrma"-ntn an g€nig yaytlmtg
oyronilmig b6lmesi "Xatti proqramlagdtrma"-dtr.
ve
hertarefli
Tadris vesaiti, asasan, "Xetti proqramlagdrrma" kilmesini ahate
edir. Xatti proqramla$dlrmantn riya2 esas (igledil€n riyazi aparat) x6tti
cabrdir. Ona goro d€ kitabda xetti cabrin esas anlaytglanntn, hell
Usullanntn $erhina g6nig yer verilmigdar. "Xotti proqramlagdtrma,,-da
"x6tti" stizu onun riyazi asa$ndan-xotti c€brdon (burada buti]n
deyiganler yalnrz birinci darecsdendir) ireli galir, "proqramlagdrrma,'
isa "planlagdrrma" kimi saslenir.
Belalikle, "Xatti proqramlagdrrma" optimal
planlagdrrma
masalelerinin helli pllannr Oyrenen riyazi fenndir.
Umumi halda, iqdisadiyyat moselesi, h6r hansr bir xetti
funksiyanrn, mueyyon Frtlar daxilind€, an boyiik ve ya an kigik
qiymetinin taprlmasrna gatirilir.
Kitab iki b6lmedon ibaretdir. Birinci b6lma xstti cebrin xetti
pro{ramlagdtrma mesalalarinin hallari Ugiin vacib olan anlayrglannr,
hell 0sullarrnr ehata edir.
lkinci boha xatti proqramlagdtrma meg€lalarinan helli usullanna
hasr 6dilmigdir.
Nezeri suallan aydrnlagdtrmaq UgUn goxlu misal va masolaler hall
edilmigdir.
M0Lstaqil hell etmak iigijn goxsaylt misal ve masalaler verilmigdir.
Bu da kitabdan m6$gele darslerinda istifade etmeye imkan yaradtr.
Umumiyyetle, kitab m0staqil, serbest magrgul olmag
l.ignn
yararfudrr.
Kitabrn gapa haarlanmasrnda biz6 gostardiklari komaklik
ra'ygilar:
UgUn
Bah Dtivlet Universitetinin Professoru, t-r.€.d. M.F.Mehdiyeva, Az
Miu-nun dos€nti, f.-r.e.n. Z.V.Nuriyeva ve €lmi r€daktoru, AzMIU-nun
kafedra miidiri, fizika-riyaziyyat elmlari doktoru, profussor
AC.C€braylova 62 samimi minnetdarlormr bildiririk.
Moalliflor.
4
XЭTTi
caBRIN eSASLAR;
:FeSiL
DETERMINANTLAR VO MATRiSLOR
l DeterFninantlar
l l lkFtertbli determinantar
熙
峨
脇
場
満
‖
P“
ム
曇
鮮
酵
i纂￨
轟ya2"aね ∞ 薇師 ‖施 ngz"ya21w"日 o Kosl
Deterrninant anlayI§ lnin yaranmast ikimechu:lu xen ten‖ kler
sisteminin he‖ lilo bao:!dlr Dogttan da
慶 11lt[1}
(1)
ikimechu‖ u xtt ten‖ kler sistemindo l tenilyl b2 ye,‖ ten‖ ―
yi
vtlrub l ten‖ kdon‖ tenliy:teref‐ terofo 91xsaq,i tenllyiク
αl-O
1‐
ら1‐ o
yo,ll ten‖ ゾ
Vurub l!tenlikdon i tenliyi 91xsaq
為
,け
=競
(2)
織
alanq.
[:
::￨=α
132 ら 2α
l
lfadesine iklterbbli deterninant deyilir Onda
‘
″
一
０
α
〓
ｑら
︲％
α
ら
Ｃ
一
〓
ら
﹃
ちら
ｑら
olduounu nezsra alsaq
1.,
I
lo,
t- /,.1
b'
.r
I
1,"
t = J--z----:!
-Y- = l--:------:!
'
^'brl
' lo, ",1,,1
lo,
r.l
1",
1",
6,1
olat.
Belelikle, (1) sisteminin
hdli ikitertibli determinantann hosablan-
masrna gotirilir.
l"' 6'l
1'l ,o"no,, determinanhrda ar,b,, a2,b2 ededlen
V'
deteminantn elementlori adlantr' a, ve D, etametleri )'6rl69en
diaqonala bag diaqonal, b, w a, elsmentlari yerlsgen diaqonala iso
k6mekgi diaqonal deyilir. a, , D, ve o2,b. elementleri yedag€n $ra
setirler- a,,a, w br,b, el€mentleri yerl€Pn slra siitunlar adlanlr'
MISAL 1.1.
i3
zl
I ititertiUi aeterminant hesablayn
4l
２
一
〓
３
２
一
４
〓
￨
引﹁ガ﹁
側
Ir
l-
mSAL■ 211=?
α
３
〓
●‘
α α
銀ｎ
ｉ
Ｓ
SALi3臓 l
一
ら
〓
α
３
一
ｂ
6耐
〓
￨
瀾刊＝ｑ
粗ユ
HЭ LLI
sinα
― COS α・ COSα
=
11: :IIII=Sinα
MiSAL■ 4[1=0勧
H錮
り面hell“ h
=0,x2=1,.2=J
11=0,[1=1-ノ
Demeliァ 1.2=± l
ala“ q
MISAL“
判
日
帥
Ⅲ
hell edla
品日 ¶判
司
,
IIII iゴ￨=(χ
-3xx+1)― (χ -2x,-1)=0,
2_2″ -3-12+3″
χ
Demeli,χ
-2=0,x=5
=5 ahnq
1.2. Ugtertibli determinan ar.
1", b, ",1
1", b2 crl= a,.br.c, +ur.br. c, + ar. br.c, -
lo, b1 crl
- a., br.
c,
- or. br. c, - ar, br. c,
7
hesablayrn.
5l
I I ugt",tioti determinantr
l-r 3
lo s -'l
-2
ulsn- t.o. lZ
￨
]楽
]豪￨
錮
Ｈ
一
５
２
年 ■
５５
︲
〓
５．
６
・
２＋
＋＋
１０
４
３＋
・
・４
輌
＋
＞
１２
・
︲
イ八＋
２
・
０〓
００
５
一
︲
一
＜
・
２
一
一
３
１
︲
一
５
ド
２
５
・
に
３
︲
一ち
︱
HOLLi Deterrninant!Sarrus qaydasl‖ o hesablayaq
-3・
5・
(-1)-7・
1・
1-2・ (-lx-2)=10-6+7+15-7-4‐ 15
HOLL:
HeLLi
〓
″ ９
α
一
Ｘ
一
α
α
一
Ｘ
一
α
α
一
＋
′
α
＋
Ｘ
一
“
〓
ガη 月 ■１ ¶
ｎ
ｄ
ｈ
ｄ
ｎ
リ
断
1
８
1
１
4
〓
Mis社 110
1
x+1
２
３一
∠-1
Ｈ
一一
一〇
０，ェ
，
２う‘
一
一０８一ヶ
〓
，
０
４
、〓︲
．
刊
︲
一
＋二．
２
1 3 DeterFninantln xass● :●
"
Xasse l Determinantn s前 10rlni uy9un sltllnia‖ a dey19dikde
onun qiymet deyl,mir
Xass● 2 Determinanin iki Semnin(sutununun)yerni deyi,dikde
onun yain!zi§ aresl deyl,ir
Xasse 3.Oger deteminantn ikl setlr● 如 n)Olemen‖ en eynldlrso
bu determinant sltra beraberdir
10
tllr,
ht
c,l
lo, 6' .' l= g
lo, b, t,l
II
Sger determinanttn her hansr bir setir (sotun)
. Xu1*.4.
srfi ra boraberdirse, bu
elementleri
lo o ol
lr, b2 .rl=o
det€rminant srfrra OeraOeralr.'-
lr' h
.,1
Xasse 5. Determinanttn her hansl bir sehinin (sutununun) ortaq
vurugunu determinant igaresi qargtsrna gxarmaq olai
.
Xasss.
6,
eger d€terminanttn har hanst bir satir
(sUtun)
elem€ntlerini her hansr bir edade vurub ona paralel satii'[siiiun;
ite
topladtqda determinanhn qiymati deyismir.
lo, b, ",1 la, + kb, h,
b2 crl=lar+*b,
b2
1",
c,l
lo, bj ",,1 lu,+kb, bj .rl
lo, h, c,l
4u lo2 b2 c, I ugtertiuti determinanbn her hansr bir
l', 4
",i
",1
elementinin yerlegdiyi setir ve sUtunlann ustundon xeft gakib yerde
qalan elemenderden determinant diizolts€k, Ou determinanta
hamln
elementin minoru deyilir. Mesalen, 6, elementinin minoru
M
=lot "tl
' lo, cr
I
olar.
A, =(-l)i*j 'M,,
beraberliyl il●
te'yln o:unan (1) tfadosino
brl
●
αグelementnin ●
r Burada■ flJ hemh demenln mmorudur,j‐
働仙nun● Omresldヤ (meselen, ク34
ebmenin yeJ● ldu Setln, ノ‐
ねmamlaylcls
de"‖
Meselen,45=ν 3S'42= ν 12 VeS
eb鳶漏ふWn棚
.器h酬 :瑞 nh橘潔r酬総
beraberdI
21
(2)
=an,4z+an.An+an'42
ayn児
鼠?‰ rrnhaninherhaFilぷ卑
1累 :Wn:詔祗
ededin cerni klmi verl:dikde, hern
comine
beraber
olar
Bu deterrninantann bidnde hemin setir
olementeri Olaraq binncl t● plananiar, o birlndo iSe hemin setr
e:ementlerl oiaraq:klnCltOplananiar"樋
ぶ kdP]麗 1脚
籠 :Or
X制
∬硼胤麗珊
蹴鼎
晶器響 :甜鵬 T嚇 1鵬鼎滉鍬
酬講
12
barabor olur). B€la determinantrn qiym€ti bag diaqonal iizr€ yerlogen
6lementlerin hasiline berab6rdir.
Masal€n,
lzool
tt
r 0l=2.r.r=o
l+srl
13
olar.
MiSAt
,
l-'
111 l2 -2
rl
I
lU6ertiUti aeterminanh h€sablalan.
l+ 5 -rl
I
HeLLi. Birinci sefi 2-ye ve 4-e vurub uygun olaraq
ikinci va UquncLi
setirlerla toplasaq (Xasse 6)
l-r 3 sl
l-r 3 il
lz -2 rl=lo + rrl
l+ 5 -rl lo rz rsl
alanq.
Axnnq determinantln
yazag. (Xass6 7)
[rr4
l0
barinci sutun elementarine g6ra aynltgtnt
rl
lll =(-l).,4rr
+0.A21
l0 17 tE
lq rrll= _(76_ 187)
= _l
lr7
olar.
rel
=
il
+0.A3t--Atr=
1
-r
lr
r.rz. l- Z 5 zl ,6.*ot'
l-, t
3l
rraiset-
determinant hesabtayn.
2l
HeLLl. Verilmig determinant Ugbucaq g€kill' determinanta getir6k.
Bunun iigtin verilmig determinantrn birinci setrini 2-ya vurub ikino
satirlo toplamaq va birinci sotirle Ugilncu satri teraf-t€raf€ toplamaq
lazmdlr. Onda alanq:
-r,l l'-r3
It
l-z s 7l=lo
lllr
l-t t
2l lo
o
:l
l3l
sl
Axnno determinant iigbucaq gakillidir' Ona giira de
Ir -t 3l
lo , 'rl=,'r'r=,t
lo o sl
olarDemeli verilmig determinantln qiymoti 1$a baraberdir'
MisAL 1.13.
Itzll zzlll ikitortibli determinantr
lrrr, ,rrr1
hesablavn.
HaLLi. Verilmig determinantl agagrdakl kimi yazaq
2272+rl
zzttl
Irztt
-ltztz+r
wz
2272
|
Determinanhn &ci xassasindon istifada etsak' axrlncl
lztz
zztzl-
|
determinant bels Yazmaq olar'
(Xassa 3). ikinci determinant
t
ll
Itztz
l=rrrz-1272=tooo.
zztzl
olar.
bemali verilmig determinantrn qiymeti 1000-e berabordir'
lrot 273 s68l
,i"*,t
t4
',0.
|,
,
ltot zts
2liigtertibli determinant hesablavrn'
stol
14
″ tertibli determ:nant:ar
Xatti tenlikler sisteminin va ba'zi riyazi
mosalalorin
Ｉ
istonilon tartibli determinantlardan istifade olunur.
Ю
一
一
ｒ
△ 壼
gaklinda
ot2 ..,
azz ...
,z
orn
a2,,
on2 "' a*
,,
sutundan ibaret
ifada n tertibli determinant
adlanrr.
Determinantlann yuxanda i.igtertibli d€terminanflar ijgun
z
l, , ,
verdiyimiz xasseleri
MISAL 1.16.
tortibli determinanflar
lr
o t
I
13
UgUn
ol
2l
I ddrdtertibti
_1 _l 0l-
'.1
l2
o
d6 dogrudur.
d€terminant h€-
-r
sablayrn.
２
・
２
・
０
︲
・
２
︲
・
３
・
４
３
生
９
・
︲
５
・
０
可
２
０
７
・
︲
・
２
２
・
１
︲
・
１
ｏ
ｈｒ Ю Ｉ＾
ｌｋ Ⅳ
〓
３
０
劉
２
１
３
１
倒
HeLLl. Verilmig determinant Ugbucaq gakline g€tir6k. Bunun tjgun
ikinci ve dordtincii sotirlordan birinci satrin elemenflerini gxaq, birinci
sotrin elementlsrini -3-a wrub Ugilncu s€trin elemenfled ile toplayaq.
Onda alarq.
２
３
４
１
１
１
７
０
︲
２
︲
ｏ
１
０
１
３
９
０
１
２
︲
３
３
２
０
︲
０
ｐ
４
２
７
０
つ
３
２
０
，
２
０
〓
︲
ikinci setri(-7)― ye vurub 3‐ cu sotl‖ e
09uncu seti(―
toplasaq ve daha sonra
O Vurb dOrdOnCO Setirle toplasaq
４
４
２
一
一３
〓
３
０
６
３
０
一
〓
１
０
︲︲﹁割幽︲
３
４１
３
１
Ⅳ
１
２
卜
０
１
。ほ
０
︲︲
６
一
〓
１
︲︲劇﹁劉
４１
３
２１７０
一
ｏ
卜か≫ｌ
:)‐
alanq.
Demali verilmis determinant -24-e borabardir'
r o
MiSAL l 17
'2 -3
4looror.niutl determinant
| 2 -31
2 3
sablayn.
h€-
4l
ｎヽフ
針
。一
５
即・
・
・
・
＜
ｕ
．
２
ｂ
．
ｕ
勧
４
ｒ
ｕ
・
ｖ
＞
︲＝﹁ ■︲
５
併５
・
・﹁ｏ＜
．
６
一榊６３
．
・２６１
＋
Ｖ
ＩＬ０
円
¨
16
3l
１１
ｂ
ａ
Ｓ
ｅ
ｈ
ｎ
ａ
ｎ
ｅ
１
０
４
５
２
２
ｌ
０
ｎ
ｙ
︲
一３
０
１
２
５
・
３
０
ｑ
悼
︲
︲
３︲
引﹁︲
﹁︲
判可１
Ｉ︲
・
１．４
一
・７
．
１
︲
17
l----Eln' vir "ttttim.rt.rt
ｍ
ｅ
ｄ
“
ｂ
お
ＯＶ
ｅ
ｂ
７３
１
０
1
１１６つ４１
１
﹁﹁
２
１０５２０１０５２一５０コｄ
Щ
トトー市 μ７半
ａ
ｈｒｂＦｈドつにｈｒｌ
︲
８
Ｌ
Ａ
Ｓ
Ｍ
1
=卜 И31=
むヽや
2
1
1
″ tertib‖ determinanh
1
1
2
MiSAL l 19
1
1
1
1
2
=卜 /51=
hesabiay,n
lokilll
n
1 1.¨
′
3.… 1
1
1 1.…
″
1
=10 0
0
0
ａ
ｑ
1
0
ｎ
ａ
1
1
ｌ
1 2 1._1
1
ｂ
ｕ
11
ｕ
ｖ
ayaq lTa†
わ
口
setrini
mqi.…
０
＜．
layln
HeLLi. Determinantrn binnci
” ﹂﹂な一脚
1
tertibli determinanh hesab-
determinant Ugbucaq gakilli oldu0undan
1
1_1
0
1
0._0
0
0
2_0
= 1.t.2-3....(n
-
1)
= (z
- l)!
0 0 0.… ″―
Demali, verilmig determinantrn qiymati (n
- l)!-la
borab€rdir.
2 Matns:。 r
2 1 0saste'nfler
lz
satri ve
n
sutunu olan di.izbucaqh adodlsr codvali mahis
adlanrr va bele igare olunur,
ヽ︱︱︱︱︱︱︱︱ノ
”
¨
２
％α
鶴
％％ ¨
鶴
︲％ ¨％
︲
α
か
イーー
ーーーーーーヽ
Burada a, (i'-1,2,...,m,1 =1,2,...,n) odadlsrino matrisin
elementleri deyilir. Matrisi qsa A--(a;i) geklinda do igara edirler.
m = n olduqda, matris n tertibli kvadrat matris, fit + n olduqda ise
,n x n olgulii diizbucaqh mahis adlanrr.
Bir setirden ibarat
tr =
(arar...a,)
matrisine s€tirmatris, bir s{itundan ibarat
19
f D,)
B=lia.il
tt
I
[a,,./
〓
И
にドい
matrisine sutunmatris deyilir. Butun elementleri stftra beraber olan
matrise srfrr matris deyilir vo 0 igare olunur.
ggar iki matrisin 6lgUlari eyni, elementlori uyOun olaraq
beraberdirsa, bu matrislor borabor matrislBr adlanr. (A = B) .
egar kvadrat matrisln bag diaqonaltndan bagqa biitiin elem€ntlsri
srtrra barabardirsa, ye'ni
matrisino diaqonal matris deyilir.
Bag diaqonahnrn elementlori vahid olan diaqonal matrise vahid
matris deyilir ve bela igare olunur.
０１
０
´ 、
′
＾
¨
¨
︶
¨
︼
﹀
一
¨
・
＾
¨
¨
・
¨
一
一
Ｅ
Matrisin elementlarindon tertib edilmig determinanta homin
matrisin determinant deyilir. egor kvadrat matrisin determinantl slfira
berabardirsa bola matris orlagmrg matris, eks halda, qrlagmayan
matris adlantr.
2.2, Matrislar iizerinde emaller.
Matrisler iizerinda ti9 omeliyyat: toplama, vurma va edede vurma
20
ameliyyatlan apanlrr-
a). Matrislerin toplanma$.
iki eyni 6l{iilu
A va B
matrislerinin oami elo hetnin 6l9UlU C
mahisine deyilir ki,
ci
i€rti
Odesin. Ye'ni
= a0 +ba
Cl matisini almaq Ueiin
A ve B
mabislsrini
uyoun elementl€rini bplamaq kifayeHir.
Matrislorin cami UgUn agagdak xasseler doOrudur,
1. A+B=B+A.
2. A+(B+C)=(A+ B)+C
3. A+O= A.
.
b). Matrisin edade vurulmas.
I
matrisini
t
ededine wrmaq aigun onun bUtun elemenfledni
1鳩 2…
鳩﹂ ¨
れ
、
れわ一
k.A=
能Ｌ
hamin €doda vurmaq laamdtr. Ye'ni
物
"
Sdedin matrise vurulmasl ii90n agaodak xasseler doorudur:
1. 1.A=A
2. 0.A=0
3. o(Fl)=(08).1
4. (a+B).A=q..A+p.A
5. {A+B).a=a.A+a.B
Burada o ve p -ededlar, I va B
ise matrislardir.
c). Matrisl€rin wrulmasr.
A$agdakr iki halda matrisl6ri bir-birine vurmaq olar:
21
譜楓
鼎
常雪暇
fξ 翻獣
よ認∬棚悪
:融
sd‖ erlnln saソ na
beraberdirse
Bu haida И ve β
matrlslo“ nin has‖ i
(C=И
elemenleri attgldak dustuna hesab!an『
olan C mat“ sinln
β):
｀ノ+α 12・ ι2ノ +・ …+α 12・ ι′
プ
(1)
Yo'ni,C matnsinin elemenJo‖ nitapmaq o9un И matnsinin , setir
e:emenlolni 3 matnsinin ブsotun elemenlo"ne vurub toplamaq
%=α
,1・
la21md!r
MamsI。「in hasili a,agidak!xasselere maiikdir:
1(И +β C=И C+β
2(И +β C=C・ И+C・ β
(〕
)・
)・
3 (И・β)・ (フ =И・(3・ C)
4 И・″ =E・ И =И
n hasi‖ 09un И・B=β・И hemil● dOoru dey‖ Yo'ni
Matns!。 ‖
И・B≠ β И olabお r
Matrisi● rin hasi‖ orinin determinantl bu matrisloln deterrninantlarl
has‖ ine beraberdir Yo'ni
・β
l=IИ
lИ
MISAL 4た
I・
IBI
n Ceml‖
C J matrSll鏑
03卜
tap:n
HOLL:
C=И +3=(: 0+(:
=(1 9,
MiSAL2 2
И =(1
22
:),
=(:￨: :10=
:)
β =(1
:
:)matrlsl・ rinin
RIo en d仰 l dmadぃ耐 an
Ve‖ 而
」漑
C=(1
1つ
'織
cemini
on arl b口
amaq
２
２・
＾
¨
¨
¨
¨
︶
一
一 ′
、 ´
ヽ
´
３１１
´
＾
＾
´
一
．
．
１
２２一
一
１
１３１３
１
ー
３
２
３
２
一
２
一２
＋
〓
６
０
０
︲
８
ヽ︱，ＩＩＩＩノ
２
・
４
︱
︱
〓
ヽ︱︱︱︱ノ
５
２
７
︲
３
佳
２３５１
Ｉ
２１
９
一
一 β
〓
５
︲
И ´
ｒｉｌｌ、
２＋
︲
再３
・６２
４
２
。８
３．
．
ト
︲
リ
﹁
３
６
２
４一
＋＋
一ｎｖ．
４６０
Ｆ翻
‖Vellmi"i「 2И +33 matns:ni tapln
SI・
mat‖
HOLLi
2 1)=(12 1:)
-2・ И=-2(」
matrisini -2 edadine vurun.
上1)
if=(f2)
MiSAL 2
(:
三
i I: I:
+〔
:)―
:
=(1
β
/―
(1=
1 )=(:li
('=(11
Ｌ戸３
．ト
３
HOLLI
nin
:)matnsi.‖
:
:), 3=(i
:
=(:
И
M:SAL 2 3
ferqini tapin
HOLLi
23
７
ヽ︱
２
３
︱︱︲︲︲ノ
５
１
︲
２
１
３
︲
′ ︱︱︱︱︱、
う
〓
β
２
＋，
И
olar
MiSAL 2 6 Yuxarldaki misahn ,Ortlo「 i dax‖ inde
＾
５
〓
И 一
一
alanq.
MISAL
２
７
０
︲
イーーーーーーヽ
HOLLl
↓釧リ
３
︲
/-23+3 C matrisinitapin
(t 0\
A=l'^ I)ilmatrisi veritmigdir. l+17'matrisini
\-J
2.7.
taPn.
HeLLi.
(1
l7'
matrisi
,4
orduounaan
,'^ =[o -3)
,
.J
24
matrisinin transponira olunmug halldtr'
３
２・
〓
イーーーヽ
ヽ︱︱︱ノ
３５
一＋
０５
０
Ｈ
勢
〓
一
イーーヽ
３・５
ヽ︱︱ノ
１０
＋
／１１ヽ
︱
︰
調
′
性に
И+И
一
一
一
一
A+ Ar
lf)
alanq.
MISAL 2.8.
-^')matrisi
n=r,
\4 0l
X
tideyen
veritmirdir. 3,4+
X=0 prtini
matisini taprn.
x'=[', xa"l o"or, edek. (xmatrisi I matrisi its top
(':
)
landorndan onlar eyni olgiilu olmaldrrlar), 0 (srfir) matrisinin
/o o\
o=l
[o o./
nau-t
I
oldugunu naz€re alsaq
3l + X = 0 matris tenliyini
r,)-r0 0)
,.('
- (4 -t\*(.,
0
,o.J (o oJ
/ [r,
(6 -r)*[,, -r,)=fo o)
U2 o / [r, xoJ [o oJ'
geklinde yazmaq olar. Buradan alanq.
(0+x, -3+.rr.)_f0 0)
(t2+x, 0+xo ) [o oJ
Matrislorin berab€rliyi gertinden
6+'r,
-3+x,
=
I
I
=61
12+x, =6 |
r.r
=o
)
ahnq. Buradan
つ´
rr
=-6, xz=3,
qiymotlarini
X
tapb
(
matrisindo yerino yazsaq alarlq
-6
^ -[-rz
1,,
=-12, xt=0
xc
3\
I
-l
MiSAL 2 9.
- A=l
oJ
2 - l)
I
[4 0)
(
matrisi
verilmigdir.
+3X = E gertini 6'deyen X matrisini taPln'
HeLLi. 2A+3X = E matris tenliyini a9aOdakr kimi yazmaq olar'
2A
-t\*3.(*' -')=fl
2.e
"[l oJ'"(,, ,oJ (o
ヽ︱︱︱ノ
０１
〓
〇
１一
イーーヽ
ヽ︱︱ノ
一一一申２
一
８
一３
一
〓
ｒ
ヽ１１１１ｔｌｌｌｌフｘ
ｌ００
一
〓
χ
三
一３
一
︲︲︲︱︱︱１１
ｌ８
一／′
χ
ａ訓Ｊ
ａ
ｄ
ｎ
ｑ０
︲
ａ
ａ
、
26
t)
yaza
ahisleri toplayb onlann baraberliyi gsrtindon istifade etsak
bilorik.
olar.
瞭諏
χ Ｘ
３３
イーーーヽ
＋
︱ノ
ヽ︱︱
２
０
・
イーーーヽ
aIrrq.
４８
Buradan
t)
to
1
=1
MIsAL 2
10
r1l-,
matrisinin
-1)
flx)=x2 +x-r4
goxhodlisinin kokii olduounu gostarin.
matsisinin 4i=r2 +x-14 goxhedlisinin kOkU olmasr
iigun bu matrisi hemin goxhadlido J -in yerine yazdrqda onu srfrr
HaLLl. ,4
matriso gevirmelidir.
RA=A.+A_14'=[],
_r{,
o)_[
[0 -l]
_il],
t.t+t+l.f-:l
_1.(_! _l_
r.(-4)+(-4).(-2)
)+
\-3. I +(-2).(-3) (-3).(-4)+(-2).(-20./
.Li _f.1i- lr=(? ,:).t, _r.(1-_:r=
fi*t-14 4-4+o ) fo o\
=[r-r*o ,u-, -' oJ=[o oj=o
ahnq.
Demeli .4 matrisi verilmig goxhedlinin kdkUdur.
t r rr [;t I matrisrerinin hasirini raprn
I
oJ
,
to
'
't6 -r)
(
MrsAL2.11
I
HaLLi. Birinci matrisin sutunlannrn sayr (3) ikinci matrisin setirlerinin
sayrna (3) berab€r oldugundan bu matrislori bir-birino vurmaq olar.
３
６１
〓
９０
ｒｌｌヽ
ヽ︱︱︱ノ
００
５
１０
＋＋
５
十＋
ｌ４
￨III:lI:il
りι うι
=(1:￨三
27
ぱじ
、
＾
・
´
´
・
＾
＾
一
︶
．
．
一
︱︱︱ノ
ヽ︱︱
MiSAL 2 12
︲
・３５ｎ
ｐ
２１４ね
イーーーーー、
a:lrlq
matrislarinin hasilini
HELL|.
(2 -t 3) f-8\ f2'(-8)+(-l)'s+3'?'\
: ,'J [;J=['11:;ii:1,'];'J=
[t(-t6-s+zr)
(o)
=l
-r.,'-,
l=lo
\-tz+zs+t1
I
101
Belelikla ahrrq ki, verilmig matrislarin hasili
verir.
MisAL 2.13.
,
=
(-r r\,.
[ ,'
ol
ts =
3
x
(z o)
[_ r
I
6lgiilil sftr matris
mahisrori verirmis-
3,J
〓
ヽ︱︱ノ
３３
︲
＋
０
・回
＾
＾
¨′
一
一
′
＾
”
″
一
、
´
ヽ
´
ヽ
４．
リ
ηｏ
３
＋
３
・ｍ
３
・
４４
・
押
中
３４
・
〓
′︱︱︱ヽ
28
一
一
Demo‖
ハ＝り
=(l12 1鋤
３４
・
02=(13
／１１１、
(И
ハ劃り
う
、
、
´
ヽ
ヽ
=(プ
３
０２一
ｒｌｌヽ
И β =(11
ｌｌノ
ヽｌ
ー０
HaLLi
〇〇
︲
＋
２
・知
dn. 11A12 matrisini taPrn
)2=(f12 11)
(И β
MiSAL 2 14
(:
:)4 matrlSinitap!n
〔
:
:)2_1ltapaq
〓
ヽ︱︱ノ
００
１０
＋＋
００
００
︱
〓
一
一
︱
２
０。
ヽ︲︲ノ
１０
０
(:
(: :)・
:)=(:￨::::i:
ahnq
００
ｒｌｌヽ
〓
ヽ︱︱︱ノ
００
三
００
′︱︱︱ヽ
﹁︱︱︱︱ＩＪ
:)
︱ノ
ヽ︱︱
ー０
００
〓
(:
レ＝ト
Onda
:)
olar
Demo‖
=(: :)
(:
:)4
alinq
29
哺
〓
、︲︲︱︱︱ノ
０００
＋＋＋
０００
０
０１
＋一Ｔ＋
０００
＾
¨
¨
¨
¨
︶
＾
・
＾
¨
¨
¨
¨
︶
一
一
り
１
ｏ
ｏ
ｏ
叫
”
１
ド
い
０
ψ
︲
・
ｏ
︲
・
１
︲
．
ｏ
︲
。
。
０
ｌ．
ｏ
．
ｏ
ｏ
．
ｏ
１
〓
０
い剤﹁リ
０１０
〓
白Ｌドい
０
ぬ剤﹁リ
０１
１
０
０
／１１１１ヽ
〓
﹁︱︱︱︱︱︱ＩＪ
０１
０
０
い剤﹁リ
１０
〓
レ＝＝＝ト
ヽ︱︱︱︱︱︱ノ
００１
０１０
ぬ洲判リ
０１０
訓
﹁
リ
１００
ｒｌｌｌｌヽ
〓
い
０１０
白Ｌド゛
ぬ訓判リ
０
０
０１０
１
イ
〓
ーー︲︲︲︲ヽ
い劇﹁リ
０１０
βＬド゛
１
１
０
０
１００
イーーーー
︲︲ヽ
０
ヽ︱︱︱︱ｌｌノ
００１
〓
１００
′︱
︲︲︲︲︲ヽ
０
い剤﹁リ
Demali
０１０ ↓ 刊刊
β
ｈ
０叶り
︲いいい
０
β
ｌ
０
︱
30
Ｊ
一
一
＋＋＋
ｏ
ｏ
ｏ
・
・
・
ｏ
︲
ｏ
＋
＋
＋
１
１
１
１
０
・
・
・
︱
〓
olar.
０
１
alrnq-
つ
ヽ１１１１１１１１１ノ
一一 matristerinin hasi-
３
４
２
B
vurduqda 4 x 4 (4 tertibli) dlgtilii matris ahrrq.
Umumiyyetle, eger ,4 matnsi rzxz 6l9UlU, B matrisi n x
matrisdirs€, onda onlann hasili olan C = A. B matrisi ,n x
matris
olur'
〓
ヽ︱︱︱︱︱︱ノ
２
２
6l90lu
ー
２
４
２
３
1x4
１２３４
２
matrisini
３３３３
I
１
Olgtllii
４
4xl
４
￨
４
〓
￨
И・β =
４
１２３４
／１１１１１１１１ヽ
HOLL:
Demeli
(4 3 2 l)
B=
ｎ
ｔ
ｉ
角ドＬμｌにＦＬ︶叩
ｎ
ｌ
И Ｉ
MISAL 2 16
matrisine
f
f
6btlu
OlgUlu
11\
MisAL2.1z.
A={4 3 2 l)
l,l
ve A=l
]|
[..i
,ati"t"rinin
hasi-
lini tapln.
０
〓
０
４
＋
２
３
３
＋
２
＋
４
2
〓
A.B=(4 3
ヽ︱︱︱︱︱︱ノ
ー２３４
ｒｌｌｌｌｌ
ｌヽ
H"LL|.
И・β =120)
a:lriq
Dogmdan da И matnsi l× 4o19o10,β matnsi 4 x l o1901u
matns。 lduoundan C=И ・お mat面 si l× l ye'ni,birtertib‖ matns
olar
MISAL 2 18
И =(:
i
:) Ve
″ =(i
:
:)matriSlerlnin
hasilini tapln
HЭ LLi Birlnci rnatrisin sutuniarlnin sayl(3)ikinCi matrisin setrlerinin
sayina(2)beraber olmadloindan on:ari bi卜 birine vurmaq ol「 naz
MiSAL 2 19 メ=(: :)matrisi/(・ )=■
ve‖ lmi§ dヤ
ノ(И )matrisini
2_5,+6 funksiyasl
tapin
HOLLi
/(И )=И
=(:
2_5/4+6=(: :)2_5・
(: :)+6 (: :)=
:)・
(:
:)― (ll
l:)+(: :)=
=(:::1:￨: :::1:::)+(「 :O II:)+(: :)=
=(: T)+( :°
二
￨:)+(:
=(tlllif Tflll∫
︱
００
〓
И
／
０
０
ｒｌｌヽ
Demeli
:)=
)=(: :)
ン
つ４
u“ o
lSetul。
/.c=σ・1/
」
P!。
:]]eH
/
υel。 /・ σ =σ・
epu‖ !x,p JollJ∝ iSu● H J!F愚 !tul口 0^pelstte山
arrd, = ar1d, ar2d2 = ay>d1
arrd, = arnd,
a71d1 = a21d2 arrd, = arrd, ... arndo = ard,
a,,rd, = an d,, ao2d1 = an2d,,
...
a,,nd, = a,*d,,
olmahdrr.
Buradan ahnq ki, ya ,4 matrisi srfir matris olmahdrr, ya da
dr=dr="'=f,,,
olmahdrr.
2.3. Tors matris.
Cebrden ma'lumdur ki, e{,o( o + 0 adedinin b adadi ile hasili
vahido barabardirse 1ye'ni a.b=b.ct =l), onda bu 6 ededi
va u-t,1ve ya -
A-t =
34
んＴんＴ
diisturla te'yin olunur.
Azt
A
A,,
A
布Ｔ為丁
ile igare olunur. Bu halda b=a'l
a
adadine a ododinin torsi deyilir. Bu ta'rif matraslera de totbiq etrnek
olar. Aydrndrr ki, burada vahid rolunu E-vahid matris oynamahdrr.
,4 kvadrat matrisinin l-1 ters matrisi ela bir matris. deyilir ki,
onu soldan ve gaodan 1{ matrisine vurduqda vahid matris ahnsrn.
A.A_t = A_t .A= l:
Cr agmayan matrisin yegano ters matrisi var vo agaodakr
yeganadir
Burada
j
A*0 I
matrisinin determinantr,
,4,
(i=1,2,...,n,
= 1,2,...,n) cebri tamamlayolandrr-
Garondtiyii kimi dusturda matrisin elementleri transponira
olunmug (ye'ni setirlar uyoun saitunlarla avaz olunmugdur) gakilde
verilib.
Crrlagmayan matrisler iigdn agaQdakt xassal€r do$rudur.
1.
detll =-1_
det A
(e'\'=e
. (r'f'=Q'Y
z
a.
(e.n\' = 3-t . Pt
miSAL 2.21.
HaLLl.
(t
I =I
[3
2\
I
4J
lt
matrisinin ters matnsini taprn.
zl
detl=A=l- 4ll=4-6=-2+0
otdugundan veritmig
13
matris qrlagmayandrr, ona g6ra de onun tars malrisi var.
(
Ar, /r, )
a A"I
a
^,,-l-l A"
I
l.^
^/
Arr--4, Atz=-3, At=-Z, l:: =1
qiymetlarini dilsturda ye-
rine yazsaq
(l- q -2)
,
*'=l- ?l=(;3
11 i)
-l
aInq.
-
l,) ' =(;i
-1,)
３
・
ヽ１１１１１，ノ
ｌ
５
２４
︲
一
一９
一
︰
︱
・
︱
司︱
︰〓斗
１
１
〓
，
８
鈍ヶキ
ー
斗十十
１
．
〓
ヽ︱︱︱︱︱︱ノ
４ぉ４
００１
・・
〓
５５５
０ ■ ２
・
／１１１１１１ヽ
10
ａ
ｖ
10
︲
︱
-14
10
Ｓ
ｉ
ｒ
ｔ
¨′
２
一
△
一
△︱〓．︱〓ィ
△
ち
４
／１１１１１１１１１１１、
△ん一
Δ
△九一
４一
9
５
５
一０５一０２
︲
・︲︲
10
２
２
・
３１６
イーーーーーーヽ
И 22
03
09
10
!=
7
01
-8
10
4
1
10
3
И
︲
〓
十︲
︰
二か
ド
一一 И12
４ И
。lduOundan
/432
名
J∴
〓
И
=― (-210+200)=10
△ =10≠ O olduoundan
matrisinin tors matrisini taptn.
-3
MiSAL 2 22
l=
И
5
HaLL:
´
０
“研＝
ヽ︱
０
〓
０
１１１１︲ヽ
１３９
０
おいわ
／
И
〓
／
１つι Ｓ︶
／１
︲︲︲︲︲︲︲ヽ
ahrq.
M|SAL 2.23.
HALLI.
l'231
l'2E
t
ol=z.Jr z :l=z.o=o
ttlt
n=lz
153rl
153rl
A = 0 olduOundan verilmig matris odagan matrisdir. Ona
96r€ d€
onun t€rs matrisi yoxdur.
2.4. Matrisin ranqt.
I
matrisinin gflrdan farqli minorlaflntn an y0ksak tartibine hamin
matrisin ranqr deyilir va
igare otunur. Matrisin ranqtnt tapmaq UgUn
onun ixtiyari ikitertibli minorunu hesablayrrlar. egar bu minor srflrdan
ferqli olarsa, bu minorun daxil olduOu Ugtertibli irlnoru hesablayrlar.
ager Ugtartibli minor da stfrdan farqli olarsa, hamin minorun daxil
L
olduou ddrdtertibli minoru hesablaydar. A96r ddrdtartibli minor da
ofirdan farqli olarsa vo egar sftrdan farqli daha yuksak tortibli mtnor
yoxdursa, demali matrisin ranqt d6rdo beraberdir.
Matrisin ranqtntn ta'rifindon altntr ki,
1. mx n 619i117 natris iigun
0<r<min(m,n)
Burada min(z,
n\
m ve ll
-nin €n kigik qiymetidir.
(r = 0).
3. /, tartibli kvadrat matris yalntz orlagmayan olduqda onun ranqt
n -e berabar olar (r = n)
2. Yalnrz slfir matrisin ranqt srftra beraberdir
.
Matrisin ranqin,n asao'dak!Xasselori var:
nT:驚淵
・ :窯ぽ
躍Ⅷ薔
訓「穐‖
驚r』 ::津器 ‖
ttLttRttL淵
ふ脚 1濯鴛昴ξ
:朧響
摯懲職驚
ゑ
許L.sir dan sra dave asek ve ya gxaぃ aq
ξttζ ¶:薇翼響
§matrlgn mttna
Ta糊酬憲留為 matrlsln m呻 "‖ 前
iょ
beraberdir
３
０
０２１
９
〓
И
２
５
２
Ｌ
Ａ
Ｓ
Ｍ
HaLLi.
ikitertibli determinant (minor) diizaldok'
ls ol
t't =l^ zl^l=18-0=18+0
15
minor
Homin minorun daxil olduou yegan€ ugt'rtibli
feo3l
[; ; ,J
bsrl=o
2 ll=-lp
ur=ll
"':'l
'l
olduEundan verilmig matrisin ranql
r,t =2.
olar.
１
３
ｌｌｌｌノ
ヽｌ
３ ● ４・１
２
‘ う乙
１１＾
′︱︱︱︱︱、
38
〓
И
MiSAL 2 26
matrisinin ranqlnl tapln.
HOLLi ■′2=￨:
il=1-6=-5≠ 0
oldugu● ぃ。rtib!i
hesablayaq
mino「 u
。lduoundan bu minorun daxii
劉
２
３
，
〓
７５
二
〓
︲
５
・
１
・
ｏ
ｌ
５１
二
刊
〓
５
・
ｐ
２１
２１３
〓
１ドｈドｈＦ
１
ν
=25-7=18*0
Ugtartibli minor smrdan forqli olduoundan ve sdtrdan furqli daha
y0ksak tartibli deteminant olmadgtndan verilmig matrisin ranqr
rrl =3
olar.
*i"*"rr.
o
3l
=('^
]
(2 3 t) ,"t,"in,
HOLLI. Matrisin setirlarinin
say m=2, siitunlannrn sayr n=3
oldu0undan, bu matrisin ranqr min{2,3}=
Her hansr ikit€rtibli minor tartib edek.
hzlI=
" --l
n{"
l23l
-l
Demeli, verilmig matrisin ranqr r,r
ur"o. ,.r".
ranqrnr raprn
, = [] ] ]l
\2 4 tl
2ian
boytjk ola bilmez.
+0
=2
olar.
,r,n",n,n
ranqrn, taprn
HeLLi. Gorunduyi, kimi verilmig matrisin ranqr 2{en ktyok ola
maz.
bil_
MUmkain olan bUtUn ikitertibli minorlan quraq.
n,.=l'
'1241'l=o r,.=[
ll=
r,*,=li
f=,
Belaliklo, butun ikitartibli minorlar sfira barabor olduoundan
verilmig matrisin ranQt /,., = | q161.
Be'zi hallarda matrisin ranqrnt tapmaq ii90n hemin matris tizarinda
cevirma apararaq onu diaqonal matriso gatitmak sarfalidir' Bu halda
verilmig matrisin ranqt altnmtg diagonal matrisin ranqlna berabar olur'
〓
１う４４．
イーーーーーーーヽ
И
Ｌ
９
２
２
Ｍ
Ａ
Ｓ
HeLLi. Matrisin 1-ci satrini -2-ya va '4-o vurub uygun olaraq ikinci va
ugiincu soiirlorla toplayaq. Onda alanq
(t 3 2)
/=lo'
[o t
-31
-3)
, 2)
r'
,=lo 1 -31
ikinci setri C1)-s vurub uguncu s€tirle toplasaq
[o
o
o)
alanq.
iknci setri (-3)-e vurub birinci satirla toplasaq
(t 0 ll)
lt
r=lo I
[o
-31
o o)
alanq.
Matrisin ranqtntn xassasine g6ra matraso elementleri sflr olan sotir
(sutun) elava etdikda v€ ya gxdlqda matrisin ranqr deyigmir' Ona gora
do Uguncii s€tri atsaq
o=(t 0t ,)
[o -3)
matrisini altrtq ki, onun da ranqt
(rI-1,
4tJ
rt =2
Ir oll=l+0 0ldugu tigiin).
=l
l0
1l
olat.
2.5- Matrisin msxsusi edadleri ve maxsusi
veKorlan.
)"
λ
-
０
〓
azz
鮨％ｒ
λ
︲︲
２
３
．
Ｈ α α
α
att
an
cr
tonliyino
(
u,, dr2
e=l
o., a
u22
"-11""
\"'
a,r
)
u"I
I
atz at )
matrisinin xarakteristik tenliyi deyilir. (.1) tantiyinin ],1 ,
kdklerina hamin matrisin xarakteristik €dedlori deyilir.
l"t , i,2 , 13 xarakteristik adadlorinin hsr biri ugtin
]"2,
1.1
(o,,
-lX, +anEz+arr€3 =0.)
ott(-r+(orr-?,Er+arr(, =gi
atr|t
+ unEz
+(ar,
-l[,
=
OJ
tanliklar sistemi qurulur ve hemin xaraKeristik adede uyQun gelen
€, , €:
ededleri taprhr. Bu 4 , 1z
matrisin mexsusi vektoru adlanan
, (,
e)
(,
ededler goxlugu v€rilmig
i =\,'i +l,j +lri
vekorunu te'yin €dir.
MisAr 2.30.
HOLLI
, =(: '.\matrisinin mexsusi ededrerini ve max_
[3 4/
susi vektodannt te'yin edin
Verilmig matrisin xarakteristlk tenliyini yazaq.
lr-i.
I 3 2 l=0
4_11
I
I
Buradan
,
41
(3-i,x4-x)-6 =o, t] -7,'+6=0, (x-lxx-6)=0'
L-t=0, 1.-6=0, ?', =1, 1.' =6
ahnq.
= I , Ir = 6 olar'
mexsusi €ded ugtln mexsusi vektoru tapaq Bunun ii9iln
Demoli, verilmig matrisin moxsusi adedleri
)"r =
I
lr = I qiymetini
7'"1
(2) sisteminde yerino yazaq
(3-l)Er +2€,
3(, +(a-1)(,
ve ya
6r +62
=0]
2Er +2€2
=01
3(, +3t, =0J.
=0f.
=0, \=-Ez
alanq.
ql iigiin mueyyon qiym€t ah€, -ye her han$ qiymat vermekla
nq. Meselan, 6z = a olduqda €t = -a alanq Onda I, = I mexsusi ododino uyOun
'- gslon mexsusi vektor
r,=1ri +1ri ---ai +fi
,
fr=-oi +6
olar.
l,z = 6
maxsusi ed€dinin mexsusivektorunu tapaq
=0I -16,+zE, =_o| E,_Lz=0, €r =Ez
3e' +(4-6X2 =0J 3et'212=o J.
(3-68, +28,
alanq.
€z =6 qebul etsek €r =b alanq'
Onda 1,, = 6 mexsusi ededin€ uyOun g€lon mexsusi veKor
7, =
\,i +\rj
= bi +
bi, f, = bi +bi
olar.
rini va moxsusi vektorlannl taPln'
HOLLI. XaraKeristik tenliyi quraq va hell edok'
42
(2‐
λx‐ 3‐ λx-2-λ )+3+2(-3-λ )+5(-2-λ )=0,
13+3λ2+3λ +1=0,(λ +1)3=0,λ =-1
Deme‖ ,vedlmi,mat● sin ya:nlz bir mexsusi edodi var Bu ededin
mexsusl voktomnu tapaq
3ctt ton‖ kdon
ζ3= ζ i
tattb u"nd ve欧 hd te‖ i‖ or‐ de ya70nq
。
2:二 ::メ },こ 1-ξ 2=0,こ 1=こ 2
a!ariq
釣er ζl=α
qObuletsek
ζ2=α
V。
こ3= α
alanq
Onda mexsusi vektor
′=ξ lF+ζ 2テ +ξ 3厖 =′ ′
+げ _α π, F=α ′
+aJ ― α
層
olar
I F9SLE AID YOXLAMA SUALLARI.
f . ikitertibli, i.igtartibli determinantlar neye deyitir?
2. Uglertibli determinantln xass€lari hanstlardtr? Bu xasssler
ikitartibli det€rminantlar UgUn yarayarmt?
3. Verilmig elementin minoru, cabri tamamlaytctsl neye deyi
lir?
4. Detorminantn setir (sutun) elemen0arine g6re aynh$ ne
demakdir?
5. z tertibli determinantr (n - l) tortibli determinanta neca
getirmek olar?
43
6. Matris neye deYilir?
7. Matrisle determinantn osas ferqi neden ibaretdir?
8. Hans matrisler barabor h€sab edilir?
9. Matrisler neca toPlanlr?
'10. Mahis edada neca vuruluP
1 1. Hansr matrislori bir-birina vurmaq olar?
12.Vahid, sftr matris hansl matriso deyilir?
13.Vahid matrisin asas xassesi naden ibarotdir?
14. Orlagan ve orlagmayan matris neye deyilir?
15. Tars matris naye deyilir va nece taplllr?
16. Tsrs matrisin di.iz taprldrQrnr neca yoxlamaq olar?
17. Ters matrrsin determinant naya berabardir?
'18 Matrislsrin hasilinin determinantl neya bsrabardir?
19. Matrisin ranql neyo deyilir?
20. Matrisin ranqtntn xass€leri hansllardlr?
21. Matrisin xarakteristik tenliyi naya deyilir?
22. Matrisin m6xsusi adedlari vo mexsusi vektorlarl n6yo deyilir va neca taplhr?
MOSTЭQiL HOLL ETMOK OoONIFOSLЭ
AID MiSALLAR
l Asao:daki ikitertibli determinantlari hesablayln
︱
１２
︲３
コ烈ゴ月
・
︱
︱
cevee' [s]
α ＲＰ
ｓ
ｍｏ
ｃ
α ｎＰ
３
ｎ曲
ｉ
ｓ
lay― 泳 ]
lsin(α
44
―β
)]
みわ
＋一
α α
４
;::￨
[4α
・5[∬ ll謝
ら]
￨
lll
2 ハ●ao:dak:ten:ik:eri he‖ edin
■1到到
22に 1ぢ
CAVAB:卜
1
￨=0
10]
231ぢ
[￨=0
、
h。 ‖
l yoxdur〕
【
241∴
iil=0
[r, =-4,x, =-1].
25[‖
﹁１１１１コ
Ｃ
Ｚ
々
３
戒一
＋
π 一６
ｒｌｌｌｌＬ
おl言￨=0
45
3. Agaodak aigtortibli determinantlan hesablayrn.
︲
︲︲
５
・２
・８ぁみ溌
α
１４７ｈｒ楡Ｆｂｒｉｌ
ｌｌｌｌｌｌ
︲
︲
２５８４７一＋ぁ “
２
３６９
101
ｌ２３
３３３
１
１
１
﹁
〓
︱
一
１３
２
１
２
︱
Ｘ
一
■レ
５
´
＾
一
´
一
´
＾
¨
・
、
．
．
．
・
，
４
46
CAVAB:Ю ]
レ
2+b2+ι 2+11
4 A● ag:dak!tOn:iklerl he‖ edin
CAVAB:卜 l=1,X2=2,x3=3]
llll
０
〓
︲
・
１
﹁﹁︱
︲
ｘ
０
３２＋
４
︱︱︱︱にけ
３
卜 4士 V死珂
5. rqtaodak yilksek tertibli determinanuan h€sabla}nn.
３
１
２
２
７
・
５
５
日
︲
６
・
・
０
︲
５
１
・
１ド０
＾
２﹂Ｐ
１
ー１１
５
[08].
０
７
０
８
１
９
３
２
５
１﹂３﹂け
わＦ︲
︲
５
︲１︲コｑＪ﹁
４２
CAVAB:
２
３・
１
１
︲
一
１
２
一５
３
ｌ﹂ド
“ Ｆ＝Ｌｌ
１
１
１
101
４
５
﹁Ｏ οｌ
。ＩＦｔＲｒ
ｌ
↓ “００
可調ｌｏ
卜8]
47
lm-"ayl
322_
232_
223¨
222.¨
pn+rl.
6. Matrislor uzarinda amellar aparrn.
(z
(-2
A=l(0 1t -r\L B=l 2r o\
I verilmisdir. 3A+28
-4./
l-3 2)
matrisini taprn.
2 5 -3')l
cevne,[[
L(-6 7 -8rl
6.1.
A.Z.
(r
(t23\
2)
L B=13 4l
A=l
U3t)
veritmigdir.
2l+B
matrisini
[,t)
taprn.
[bu matrisleri toplamaq olmaz]
6.3.
(t 2 3\
h 2 l\I verilmisdir. ,4-B matrisini
L B=l
A=l
\432)
taprn.
U34)
l(-z o 2 ')l
L[ , o -32))
(o r\
,)' t?l=x2 -2x+1, a("r)=3l+s v€rilmiedir
uo z=[i
f (A)-2tptA)
48
matrisini taprn.
０
３
一一
ヽ︱︱︱ノ
２
４
′︱︱︱ヽ
has‖ ini tapln
３
５
ｒｌｌヽ
６
６
８
８
２
３
・
イーーーヽ
一
一
ヽ︱︱︱ノ
２４
３５
／１１１ヽ
７
６
ｎ
ｎ
ｐ
ぬ
Ｓ
ａ
ｈ
４
ヽ︱︱︱︱︱︱︱︱ノ
２
７
・
／１１１１１１１１１１、
６
３３２
︱︱ノ
ヽ︱︱︱︱
■１１１１１１１１Ｊ
ヽ︱︲︲︲︲︲︱ノ
１３
／１１１１ヽ
６
９
７
５
６
︲
１
ｋ
ｒｌｌｌｌｌｌｌｌＬ
０１１
６
９
ヽ１︲︱︱︲︱ノ
ー３２
／１１１１１１ヽ
８
６
vurmaq olmaz〕
bi‖ ne
ibu matrlslol bi「
n
４３
５
／１１１１ヽ
-1
Ibel■
﹁り
ｏ瑚
２
′︱︱︱︱︱︱ヽ
〓
И
ら﹀ｎ
5
国面
印
:〕
:)]
[(:
ni tapin
-1:6)° (: :)hasl‖
sI‐
matrls1/(x)=X3_χ 2_9x_9 9oxhed‖
６ｎ
2
: I「 :l)]
[(三
ll: :)]
49
、
、
＾
・
︵
，
フ
・
´
，
・
・
ヽ
＾
′
´
´
．
・
t)l
t(:
ー０
﹁︱︱︱︱コ
ヽ︱︱︱︱ノ
２３
ｒｉｌヽ
ＬＦ
I
t
¨
︲
-2
０４５
-3
´
、
´ ヽ
´
、
＾
´
＾
一
¨
′
一
＾
¨
一
︶
一
1
一
一
И
２
７
■︱︱︱︱︱︱︱ＩＪ
ヽ︱︱︱︱︱︱ノ
２
８
１
︲
・
・
・
７
︲
１
・
︲︱︲︲︱ヽ
５
一
２
１
５０５
１
１一
３
︲
／１
一
ｒｌｌｌｌｌｌｌｌＬ
０
３
ヽ１１１１１１ノ
ー２１
０
１０・
ｒｌｌｌｌヽ
３
〓
И
７
50
(o r)
A=lI 2 _r
7.1.
hasilini tapln
t).
(4 o -2 3
6.10.
7. Agagdak matrislerin ters matrislerini taprn.
ｏほｒい
βｌ
〓
И
４
７
1 1
1 1
0 1
0 0
qiymetinde bu
matrlsin tersi var?
≠
:]
[λ
8. Agagtdak matrislarin ranqtnt taptn.
81
И =(1
:)
︲
・０
、︲︱︱︱︱ノ
３
crvne: [].
ｈＦ
二
一
ハ引﹁リ
２
３
1
イーーーーー、
︲
・
０３６
-1
〓
И
８
３
３７Ｈ５
ｌ
︲リ
﹁︲
５８︲
１
121
ｒｌｌｌｌｌｌ、
〓
И
４
８
︲リ
哺叫︲
００８
０
３
０
０
０
５
０
０
０
０
０
０
０００６０
１
２
tapln
胞需
Suj ededbn面 Ve mexsuS
9A9agdatt mat“ J慧
レ]
１
85 /=
3
15]
︱
１月
十
切
一．
耐 λ
・
一
書
り
］
一カ，
ら一
И И
２
颯 ” ５
il Fesll
VEKTORLARCEBRI
1. Vektorlar.
1.1.
r
deyilir.
n
ddilii
y€ktorlar, onlar Uzedrde smelter.
sayda .1i,.U,...,.!, hoqiqi .d€dl6r sistGmine
z Olfillii
i
t
ldilu v€l(tor
ve*bru
i=
(\,_rr,...,r;)
ヽあ・
︰
ve ya
χ
z
=
・ lit
goklindE igare olunur.
.li,-y2,...,r; ededlari
(koordinatann sayr)
eser
7
.t
vekbrunun koordinadan,
n
€d6di
veKorunun 6lgUs0 adlantr.
iki i=(1,ri,...,,q) re
?=G,yr,...,y,)
vektodannrn koordinanuan b€rab€rdiBe (ya'ni .\ =
-vl , .t, = .4
. . - . ., -ri., = .1,, ) bu vektiorlar beraberdir. (.i.=
I)
,
BUtUn koordinatlafl
O
= (0,0,...,0)
sfir olan
vektor sftr-vekbr adlantr vs
igare otunur.
lk i' ve i
vektrorlannrn cemini (ferqini) tapmaq
uygun koordinaflanru bplamaq (grmaq) lazmdr.
.i't ]
= (.t,
! yr,\ !
y2,...,.r;
t
ijdin onlann
_r;)
.P vektorunu a €d€dino vurmaq ug0n wktorrJn bitt0n koordinauannt
hernin eded€ vurmaq laamdtr.
53
・
α
t2,…
・
■・
,α
'=0・
,α
場)
Vekto‖ ar asagidakl xasso〕 ere ma‖ kdr:
1 ■+y=y+■
2α・■=■・α
3■ +ラ +7=(■ +ラ )+2=■ +(ラ +2)
4 α(■ +ラ )=α ■+`ッ
5(a+b)■ =α え+析
MISALll
χ =(-1,2,3),y=(2,0,4)vektO‖ annin∞ mini
ve
ferqini tapln
HOLLi
フ=(-1+2, 2+0, 3+4)=(1,2,7), '+7=(1,2,7)
'十
―フ=(-1-2, 2-0, 3-4)=(-3,2,-1),■ -7=(-3,2,-1)
χ
MiSAL 1 2 2a-3■ +b=2■ +δ venim● dir Burada
a=(lβ ,2),b=(1,0,1),δ =(0,0,1)olduOunu
ne2ere aiaraq χ ‐i
tapln
HOLLi Ve“ imis ten:ikdon
5χ =24 +b― τ
alanq
Bu tenliyi koordinantlarla yazsaq
5'=2(1,3,2)+(lp,1)― (0,0,1)=(2,6,4)+(1,0,1)― (0,0,1)=
=(2+l-0, 6+0-0, 4+1-1)=(3,6,4)
alanq
'￨=:(3,6,4)
MiSAL 1 3 ″=(1,2,-3),ら =(-4,3,5),こ =(-1,-2,-4)vektO「
lann!n -2a+わ -4Z xetti kombinasiyasinitapln
54
HOLLi
-2a +b-4τ =-2(1,2,-3)+(4β
,5)―
《-1,-2,-4)=
=(-2,4`)+(4β ,5)+(■ &16)=
=(-2,-4+4, -4+3+8, 6+5+16)=(-2,7,27)
-2a+b-4r =(-2,7,27)
olar
l_2 Vektorlarln xdtt ast:::lg:
BOtun″ 61el:● VektOdar top:usuna J2 619ull vetrfb―
>3
olduqda ve‖ br fe2aSi ya:n:z cebri mahiyyet da,lylr
″
Xettl tenlilder ve xom cebrln bir 9ox sahelennde vekbrla■
;deyllir
n爛
as:!:l:o:an:aylγ nin boyok ehelniyyeti vard`r
Ferz● dok kl,
al,ク 2,・・
・,α ″
(1)
′
ar slstemi ver‖ mi,dir αl,α 2,・ ¨,α
β‖
` 61"￨l vekb‖
" ixヽ
i』
rek“ l SIStem面 hemh ddlere vuraq,net∞
面
贈
請群磐
α =α l・ α“
l+α 2・ α2+・ ¨ +α 〃・α
(2)
"
vaktorunu alarq.
(2) ifadesi 41,d2,...,4- vekbrlannrn xofi kombinasiyas,
ct1,02,...,c[2, edod€lri ,se bu kombinasiyanrn ernsallan adlantr. Bu
halda deyirler ki, r7 vektoru 41"4,...,A- veKor-lanna nezeran xeni
ifado olunmusdur.
eger
a,.d,+o,.i7+...+o,r,.dr,=0
(3)
b€raborliyinde (I1,o,2,...,&11 emsallan hamtsl $fir deyils€, onda
4t,42,...,A,, v€ktorlafl xofi asth vektorlar dlanr, eg€r
ifadesinde
(3)
ct =0: =...
= o,r,
=0
oliarsa, onda hemin v€ktorlar xetti asrl olmayan vektorlar adlanrr.
Ugi5ltiilu fezada iki v€ktorun x6tti asrlr olmasr bu vektorlann bir
diiz
xstt tizorinda oldugunu, ti9 vekbrun xeti aslk olma$ bu vektorlann bir
mustavi uzorinda oldugunu gosterir.
€ge+ ir,dr,...,dz, vektorlar sisteminin her hans bir vekbru
qalan vektodann xstti kombinasiya$ g€klinde giisterile bilerse bu
vektorlar xstti asrldr.
ego r dlgulii fazada vektorlar sistemindo vektorlann say ,, den
goxdursa, bu vektorlar xetti astldrr.
eger vektorlann koordinatlaflndan tertib €dilmis d€torminant
sfirdan ferqlidirse, onda bu vektorlar xetti ash deyil.
MISAL 1.4. ar
=(1,0,0), ar = (0,1,0), ar =(1,1"0)
voktorran-
nm xotti asltlorm aragdrnn.
HELLi.
d=dt+dz-d.,
r5
4ヽ
D
=
,■ =
５
,あ
２
M:SAL 1 5■ =
１２３
yazmaq mumkun oldugundan, bu vektorlar x6tti asrldrr.
vekbrlarrnrn xetti
５
１
nChllgint arasdinn
HOLLi Ver‖ mi,vektodar:● xon kombinasiyaslnttertb edok:
αl・島 +α 2・亀 +α 3・ L=0
4
1
56
l・
3
+α ,・
3
2
4
1
α
3・
0
〓
2
α
ηＪ刊引﹁り
Vektorlarln koordinatar!n:(lD‐ de yoine yazaq
0
0
0
Vektodann adade wrulmasrnr, c€mini ve berabarliyi gertini nezere
alsaq yaza bilorik:
αl+4α 2+5α 3=°
2α l+3α 2+5α
3=0
■ 1+2α 2+5α 3=0
セ 1+α 2+5α 3=0
GOrondty● klmi 2-d,3-cu,4-cu
lklncl ten‖
α3=
αi
Ve“ 3‐ On qiymetlo薔 ni(1)do yeine yazsaq
■+α 2・ ■ α 3・
alarlq α2
αl・
v●
ekvivalent tenli撼 ordir
kdon al=a-2 tapinq Bu qiym面 binnd tenlikde yanq
L=0
ya
αl(■ +も一亀)=0
all口
q
αl≠ O olduqda、 +、 b
ヽ
=O al!口 q
Buradan
■ =■ l+ヽ
olar
Demdi,vettm●
島 Ve
vektO‖ ar xo面 ash vekto‖ ardr(9tln膊
ヽ Veb四
tt Vektonamttn xetb komЫ naSyasaり
MiSAL1 6 1
veKorlannrn xefti
asillllgini ara,d:「 :n
HOLLi VektOrlann k● ordinatlanndan determinant tettb edok
Determinant srfrrdan ferqli olduoundan verilmig vektorlar xatti aslll
deyil.
MrsAL'r 7. ,t
=(r a
;n = (:,
D, a
=(-t
3. 3),
A, 7) vektorlannrn
r =0, z. I
xetti astlhgtnr aragdtnn.
HeLLi. VeKodann sayr (4) vektorlann dlgiilerinden (3) gox olduoundan bu vektorlar xetti aehdlr.
MlsAL1.8.
ir =(1, l, l, l), .rr=(l -L 1 -l),
=0. 3, [ 4) vektorlannrn xotti asrtulllrnl aragdrrrn.
^i
HOLLI. Verilmig voktorlann xetti kombinasayaslnl tertib edok:
cr,.i, +ar'.i2 +clr'.i3 =0
Vektorlann koordinatlan tanlikde yerine yazsaq
.r,(t, I, t, t)+or(t, -1, 1, -l)+cr.(2, l, y
=
(0, o, o,
n)=
o)
Buradan
(o, +o, +2ctr, cr, -ct, *3cr3,
cr'1
*o2 *ct3,
=(0, o, o,
alanq.
o,)
Vektorlann beraberlik gertindan yazmaq olar'
or +oz + 2or =01
ci -o,
+ 3cr,
=0f
o1
+az +c: =0
o1
- ct, + 4ot =0J
|
58
cr;
-o,
+4crl)=
Bu sistemi hell etsek' dt = c[: = c[t = 0 alanq'
Demoli, vorilmig vektorlar xetti aslll deyil.
1.3. Vektodar sisteminin bazisi ve ranql-
vektorlar sisteminin ranqt bu sistemin xstti aslll
,ii , i, ,...,
olmayan v€ktorlannrn sayna deyilir.
Sayr , i, , . . ., .i;r vsklodar sisteminin ranqtna b€rab€r olan xatti
asrl olmayan veKorlar toplusuna bu sistemin baasi deyilir.
i
t
MisALl.s.
i, =(1, -1, 1, 4). h=Q, z, -5, l)'
&=(1 L 4, a\ ' *n =(0, t, 2' 5) vektorrar
sisteminin ranqlnl taPln
HaLLl. Vektorlann koordinatlanndan ibaret detsrminanat tartib edak:
1
3
2
6
-1 2
1
1
1 -5 -3 2
4
1
4
5
０
´ ４
．
１
Birinci satri C1)-e, (-4)-a vurub uygun olaraq &cU vs 4-cU s€tirlorl€
toplasaq ve birinci setirle ikinci satri toplasaq alanq.
０
一．
一
０
8
2
6
3
7
-5 -4
11 -4 -1
Bu determinant birinci sutun elementlsrine gdre ayrsaq
59
ls : zlls 3 7l
alanq.
i-*
-s -ul=l* ol=-ro*o
tlt -4
l-lr -r{ lrr a r{
Koordinatlardan tertib olunmug determinant stirdan farqli
olduoundan .ri , .E , -\ , .tn vektorlan xefli asrh deyil.
Xetti asrft olmayan v€ktorlarn say dii,rd oldugundan verilmig vekorlar
sistominin rarqr ddrd olar- (r=4).
M,SAL 1
10,
=[ll,
tt
(2j
[j]
* =[-l,)
vek,or,annn
r3)
bazis t69kit etdiyrni gosterin
ve
t,
= | O I vekrorunu
[,]
bazis vektorlar vasitosilo iltada edin.
HOLL|. Vektorlann koordinatlanndan ibarat determinant tertib €dek ve
hesablayaq.
０
≠
９
一
〓
２３２
・
︲
０１一
１１２
Koordinatlardan tartib olunmu$ detorminant sftrdan ferqli
olduoundan ii , .i; , & veKorlan xetti astft deyil v6 tig6l90li.i f€zada
da bazis t€gkil edir. (r=3, veKorlann say da Ugdiir).
-ia vektorunu qalan voktorlann xotti kombinasiya$ geklind€
yazaq:
.1;
=or..ii +o:.&
+or'ii
(1)
Vektorlann koordinaflannt (1) beraberliyinde nezere alsag
l.;l=" [;].",
olar.
[l.".',L;
[:l
I,J l.,,l [;j
α
０
〓
ヽ︱︱︱＞︱︱︱フｍ
２α ケ
α
︲
］
＋
・
¨
︰＋
︲
︲
α
α
α
２
︱メ可ｊ
３５
ｒ
〓・
〓
３
喝ｔ α
２
一
・
綬
で
２
＋
２
α ２ α
．
ヽ
一１．
０
＋１＋
＋︲
︲
α
α １
卜一
嘔ト
Buradan
olar.
Beleliklo ahnq ki,
gaklinde olar.
ia
vektrcrunun galan vektorlarla ifadesi
& = 3ir +.iz
MisAL'r.11.
;t=0 t -2, 4), & =(1, 3, l, 2),
.rt=0 s, o, r), i; =e. _s. t, t),
.i=0, -15, -lL S)vekrortarsistemi
verilmigdir. Bu sistemin her hansr bir babazisini
61
tapln va bura daxil olmayan vektorlan bu bazis
iizra ifads €din'
," & vektorlann koordinatlanrdan tortib olunmuq ikitartibli minoru hesablayaq.
b t
Mr=l l=t+o
HeLLl. 1,
I
Ir4
i'f i;2 vektorlan
lkit€rlibli doterminant sfirdan forqli oldugundan
minoru
xotti aslt doyil. Homin manoru daxiline alan Ugtertibli
h€sablayaq.
t -21
lr
rl
y,=ft
-tt t r l=-tl+o
lr s ol
,鳥
Ugtertibli determinant sflrdan farqli olduoundan ■,ち
v€ktorlan xotti aslh deYiller'
alan dOrt‐ ib‖
Hemin iigtartibli determinant (M, ) daxiline
determinantl hesablayaq.
1
う０
5
9unCu
lkind setri← 3)‐ 0,(-ll‐ e Ve l‐ 31‐ o Vurub uygun olaraq birlncl,じ
ve dOrduncl setlrlerle tOplayaq
-5
1
鳳ぇ
‖
仄翡
椰幣糧識
懲飾
lo -3 I lo
I
-3t
rl= 2.1
= -z.lt I
r
r 124 l= o,
ol
1zt
-rz
ol
-t2l
'
Mn =0
,
.r: , & , ,ti \€kbrlannln koordinauanndan tsrtib
edilmig
dordtertibli minor srftra boraber oHugundan, hemin
vekbrlar x€tti
.\
asllF
drlar
Xetti a$lt olmayan vektorlaflntn say, Ug olduoundan
verilmig vektodar sisteminin ranqr ii9 olar (2=3).
bazislorinden biri
,in ve
i
& , .i, ,
(.il , .tr, _ij )
On{a bu gitemin
.i
vektortandrr.
vektorlannr -1
,
ii , .t
bazis vektortan vasitasita if;ade
€d€k.
.?+
= or . .Ii +
o,
.ii
+
sr .-i
(1)
63
L=β l■
+β 2・
ち +β 3・ L
(2)
VektOdartn k● ●rdinatlann,(1)tenliyinde yerine yaZSaq
3'c', +cr,
+cr'3
=l
c[l + 3'cr2 +5 'CI3 = -5
=I
-Z'ar+a,
ａ
ｄ
帥
ｎ
¨
。
興
ｍ
4'o,r+2'a,+c\ =J
edib
sistemini alanq. Bu sistemi hall
=0 , or=3
-3L-2島
ktOnanmn■ .■ ,L baJЫ 02re ay山 ,
=島 +3■ -3島
鳥 =4■ -3島
darMiSAL l_121=12 L
64
ｑ
ｎ
島
ｐ
allrlLmJ ttve L“
２
L=4■
ね
一一
一一
一
¨“¨¨¨
一
．
一
．
．
Belelkle
c[z
訓﹃ｒ
島︱ゴ﹁＝Ч
c1r=1'
,ち =(2,
う
-2L
-3, -9, -121,
■=C t t -71,■
=← 2 -生 -2 -21 vOに
torlar sisteminin ranqinltapln ve momktn olan ba‐
zisl● n gosterln
voち
HOLLi lkiteniЫ i mぃ。
四 d1201dOk(■
Vektonanmn k.。 rdト
natlarlndan)
ν 2=￨:
ヽ,も ,亀
f31= 7≠ 0
VektOdann k∞ rdlnalanndan● 9tenbli mlnOr duzeld● k
■.鳥 ,L,■
VektOnammn kOOrdhalanndan dbrdtertlЫ i mho「
d● zoldok ve hesablayaq
11211
12 -3 -9 -12
ν 4=
3
1
8
-7
1
2
1
1
=-2
=0
-2 -4 -2 -2
Axnnq determinant 1-ci vo 4-c0 setir
€lemen
olduQundan bu determinant srfira b€rabordir.
ari
eyni
Mn=o'
Demeli, verilmig vektorlar sisteminin ranqr 09a bera-bardir (r=3).
Gorunduyti kimi bazislardan birini
vektorlan tegkil
! , i, , i:]
edir. (Bu vektorlar ugnn M3
indi de
i,
, .Ii , i1
* 0|
vektorlannrn koordinatlanndan Ugt€rtibli minor
duz€ldak va hesablayaq.
DemelL 鋤 , ■2' 為 VektOnan da baas te,k‖ ed「 .tl, ヽ2' ■4
minor duzeldOk vo
vekbrlann:n k00rdinatlarindan t9tertib‖
VektOnan bazls te,膊 l etmlrler l,■ ,L
vektorannin k● ordina‖ arindan ibaret u● ●rtlbli minor tertib edok ve
Demeli,1,ち ,ユ
Demoli,■ 1め ,あ Vekb‖ an da bazis tesk‖
etmi‖ er
Bddi‖ 0,Jmq k,島 ,ち ,■ ,L VektO‖ ar gstemmh ran甲
beraberdI(F3)MamЮ n olan
幕ち,鳥 V。ち,■ ,■
‖ FeSLOAiD
1
bazlslor
VektO‖ ar gstomttir
YOXLAMA SUALLAR:
″ O19tll● Vektor neyo deyI“ r●
2 Vektorun koordinatari neye deyilir?
3 Vektorun O!9usO neyo doyilir?
4 Sttr vektOr ney● deyl‖ rp
5 Hanslvekbrlar beraber hesab ed‖
66
irler7
む
9●
r?
6 Voktonann cemi neye de´ ‖
7 V●ktoru edede nece vurlnaq olar?
xen kOmbinaslyasl neye deyI“ ′
8 Ve師 ‖ann
9 Xotb kombinagyanin emsa‖ an neye deyI‖ ρ
10 Vektorlarln xom asl‖ lg!ve xoth asJl olmamasl ne do‐
mekdiρ
ll lki ve 19ol,31● vektorlar:n xetti aslh o:masl ve olmamasi
ne demekdiρ
12 Voktorlar sisteminin ranql neye deyllir?
13 Vektorlar slsteminin ba21SI neye deyi:iρ
14 Vektorun verilmi,bazIS● Zre ay● ::,:ne dem● kdir?
MOSTЭQiL HOLL ETMOK OoON‖ FOSLO A:D
MiSALLAR
l Vektor:ar Ozerlndo● Inel:o■ ye‖ ne yetrln.
11 ■=(1, 2, 3)vo フ=(-1,
ね仰n
CAVAB:卜
+ラ
12
■=(3, 2, 1)v●
2■ -3,vektOmnu
3, 2)vektOramn:n cernini
=(0,5,5)]
ラ=(1, 3, 2)vektOdan veⅢ mi9dr
tapln
R3, -5, -4)]
13 a=(1, -2, -3), ら=(-1, 2, 3), こ=(1, -2, 0)
vektodann:n-2a+3b-4δ xd晰 kombinasiyasln:tapln
膿9,1&15)]
14″ =(1 2: 3),
ι=(■ 2 1 9)VektOHan veⅢ miシ
dlr 3a-2ι xom kombinaslyas:ni tapln
CAVAB:imumkon deyin
67
15 a =(1,
2″
2,
3),
b=(3,
2,
1),
ι=(2,
+3■ ―b=-2■ ―ζ xeth kombinasiyasl ve‖
!mi゛
3,
1),
dir■
vektorunu tap!n
=←
:,一到
卜
16 島=(1 1 l ll, ら=(2 -2 1 り, 2=C t a ra,
ri4=(2 4 1 41ve‖ lmiリヤスa l+3⊃ ―ろ +2■ =a 3+a 4
tenliyini ho‖
・
・鼻
edin
=は ,事
卜
:l]2}'島
:,制
=Ca助
,a2=← tt
vettmi゛ I■ ve'VektOrlanm tapn
卜=clo,テ =(L13pl
A1 =
0, -1, I) verilmigdir. Sistemi holl edin.
2. Agaodah vektorlann xotti asthlgtnt aragdtnn.
21 島=(1 2), ぁ =(2;
68
1)
⊃
CAVAB:lXotti aslh deyl‖ erl
22島 =(1, 2),
鳥 =(2, 4)
IXetti as:lldi‖ arl
23ミ =(1 4 0, ら=2 1 め, 亀=← L 2 0, ■=0 , a
lxon asI:ldlrlal
241=(4■ 211,L=(12■ 0,L=('C■ 0
25島 =に
1Xettl aslll deyI‖ ●
嗜
■
21),亀 =(2■
1X鋪
261=c240,亀
■ 5),亀 =に
=← tQll),亀
27島 =(112-0,亀
QQ0
aSlldida嗜
lxOm as‖ !deyI:lerl
=(12QO,■
lxOm as“
=(24-1)
=CtQめ
ldi‖ a嗜
28島 =(L Q 1 4), ち=(2 1 Q め, 亀=C Q 4 3),
L=(1, 2, 3, 4)
IXeth as:ll deyl‖ o嗜
291=2-α 2-0,ち =(lQ10,■ =(1-11-め
,
L=(0, -2, 5, 4)
IXeth aQ‖ ldida嗜
2101=(α , 2), ■ =(4, 1)venlmi"Iα ‐
nn han9
qly‐
melomnde bu vektodar xet asill deylllr
la≠ 8]
3∼
oldakI Vektorar sisteminin ranqin:tapln
31■ =(1, 2), 島 =(2,
1)
鉄 V相 :[=2]
321=(1, 2),
33■
ぁ =(2, 4)
lr=1]
=(1, 1, 1), 鳥 =(1, 2, 3), ■ =(2, 2, 2)
69
lr=31
34島
=(1,2Qめ ,L=(Ql,11),亀 =0,Q10)
lF=31
35 ■=(Q l, 1, 0), ち=(l Q l l), ■=(2 1, 1 1),
L=(1, 0, 0, 1)
lr=41
4 AFgidak!vektorlar!nb・フtO toskl:etdiyini goster:n
411=02),亀
42■
=←
11), 1=0■
0,ス =Cもつ
CAVAB:L,L;■ ,L:■ ,L;■ ,L;ち ,L;島 ,L]
=(1, 1, 2, り, ち=(0, 1 2, 1), ■=(l Q l, 1),
■=(2,1,0,0)
IBtttun v● ktor!ar bazls t● lkil edirlerl
431=(1-t10,ち =02-■
),ζ =21-10,
L=(6, 1, 2, 5)
lBI仙 n VektOrlar ba2iS teskil odi‖ erl
5A9agidaki vektodann baJs te9kll etdiyln1 9osterln
ve homin baJs u2re ayrl11,nl yazln
51■ =(2, 1, 3), ち =(1, 0, 2), L=(1, 2, 3)venト
misdr L=(9, 5, 16)vektOrunun baJs 12re ay口
,:印 ya2!n
CAVAB:L=3島 +2ち +Ll
52■ =(2, -5, 1, 7), ■2=(5, 2, 7, -1),
■ =(-1, -7, 2, -5),■ 4=( 7, 1, 5, 2),
L=(-1& -9, 26, -5)
70
L=ち +2■ +3L]
53■ =(3, 1, 2, 4),■ =(-1, 3, -4, -2),
■3=(2, 4, 3, 1),■ 4=(4, 2, -1, 3),
L=(11, 27, -1, 7)
[l
=:a +a;."+3*r+0.;i].
71
:‖
FЭS:L
XO丁 Ti TONLiKLOR SiSTEMi
l lkive● 9 doyi,0● li
lkl ten‖
xJt tOnlik:● r sistemi
kdon Ve lki deyiγ ttnden ibaret x● n ton‖ klor sistemi
a,agidakl"kilde yazlllr
i;:l11:::i[::
Burada tt ve tt
b2‐ SerbeSt
(1)
lar!n emsa‖ an bl,
mechu‖ ar,α 11,α 12'rr2 1'α 22°
・
hed:er ad:anlr
ti Ve ●2 meChu‖ amnin(1)SiSteminin her iki ten‖ yini odeyon
・
sonsuzdur.
eoer bir xatti tanliklar sisteminin hor bir
trallidiise. bu tenliklar sistomi eyniguclii
adlanlrlar.
helli basqa bir sistenlin
U9 tenlikden ve i19 dayigond€n ibaretl
(。
kViValent)sistemier
xOm tenlikler sistemi
agaodak gekildo Yazlhr.
つ４
(1)SiSteminin hal“
dusturlan l:e tapllir(3)dOSturlari Kramer dus鑢 ‖an adlan,「
72
Burada
a=ltllo,,
Pt
a,rl
I
azzl
(1) sistemina daxil olan doyigonlsrin emsallanndan tertib olunub,
sistemin eoas determinant adlanrr.
lb, a,rl
lo,, 4l
Ar=l
Au=l
l,
azzl
brl
I
P,
lot1.
G6rundiiyii kimi A, doterminantn todib etmek iigun s6as
determinantda .r, delgeninin emsallannrn yerine serbeet hedleri
yazmaq laamdrr. Eyni qayda ile,
A,
determinantnr tertib etnek
iidin
.r2 dsyileninin emsallannrn yerine serbest hedleri yazmaq kifayetdir.
(2) sistemi Udin Kram€r dUsturlar bale yazlrr:
A,
A"
A.
.ta --
--.
α α
︲︲３︲
３２３
３島
︲
α
ｉ
ら
３
ち
ｂ
ｈ
ｍ
一
一
ｌ
ａ
¨
ｕ
ｍ
２
％の％％％％﹃
ｌ
〓
鮨一 α α ”
２
⋮
︱
〓い
△ ｅ
Ｖ
︱ △ 山
△
△
おり・
らの角ａ‘
場帥
宅
Burada
.!r
ｄ
判
卜
・
３ ” ｎ
らの角
２
'a'L"a
.lr --.
1)△ ≠O Bu halda slstemin yogane hei:i var
2)△ =0,
△1,
△2'
△3 deterrninan」 anndan he9 olm,7‐
(meSelen △ ≠0)sinrdan ferqlld“
sistem uyu§ mayandr)
birl
Onda sistemin helli yoxdur(yo'ni
●′
3)△ =0,△ 1=△ 2=△ 3=° Bu halda s:stemin he‖ i
ye.ni qeyri‐
sonsu2dur,
mOoyyondir
mSAL■ 1lTご
id韮
o he‖
HOLLi Sistemi Kramer usu:u‖
△ =li
雨面固劇 h
edok
lll=3≠ 0
=午 =:=1,均 =A2=:=1
・
Belo‖ kio,verlimi§
slStemin yegane he‖
.tl=1,崎
i
=1
olar
耐曖慌二
tttSIStemlnlhelledln
74
０
〓
８
]=12-12=0
Belelikle, alrnq ki,
sonsuzdur.
△1=￨:
十
△2=li
:]=-12+12=0,
８
△=￨:
一
〓
﹁﹁Ｊｑ
一
一
HOLLi
A=0'
A,
=A, =0
oldu0undan sistemin helli
Dogrudan da, verilmb sistem 2-li
- 3-t
=
I
xatti t€nliyi il€
€ynigucludur. Axmno tenlikde is€ deyigenl€rdon birine ixtiyari qiymot-
ler vermekle o biri delgen UgUn qiyrnatler alanq. Bele qiyrnofler
goxlugu sonsuz oldugundan t€flliyin helli de sonsuz olar. Ona g6re d€
hamln tenlikle eynigOdti olan verilmig sistemin helleri da sonsuz olar.
f'r..Y- 2.. - 2
"'' "
j
MISAL 1.3.
[ari -6q = +
"i"t"rini
holl €din.
HALLi.
lz -tl
13 -,
A=l
a=0.
A,
=l l=-t8+12=_6*0,
l=-12+tz=0,
t4 -61
E -q
Ar
*0.
ahnq.
Dsmali, sistemin helli yoxdur.
Dogrudan da, verilmig sistemin ikinci tenliyinin her iki terefini 2-ya
k)lsek
-3.9 =2 alanq. Gijrundiiyu kimi, verilmig sastemin
birinci tenliyinde ise 2ri - 3.U = 3 {Ur. Buradan 3=2 ahnq. Bu ise
2.ri
ｎ
ｄ
ｄ
ｎ
ｈ
ｍ
Ｓ
山
４
一
４
飢
Ｍ
れ ■ 缶
mtimkun deyil.
０
≠
つ
〓
△
９
一
〓
３２９
３２６
一
一
一
２２
・
ｏ
Ｆｌ
ｐｌ．
・
〓
´
¨
ヽ
︵
´
・
・
・
・
一
´
ヽ
．
．
一
．
．
︲
２Ｆ．
ＦＩ・
ド
■︲
︲・
〓
阻
△
●′
===ギ =2場 =キ =島 =・ :為 =午 =寺 ='
朽
a::nq
B● idikle,venimi,sistemh.Yl=2,ぁ
=-3,為 =5 yegano
helli var
2
″ tenlikdon ve″ doり寧師饉en ibaret Ж■6 tenlikler
slstomL
ち ¨
ち
一
一
︼〓
一
一
ａ
場為 ¨ 為
れれ一怖
．
．
．
・
・
・
釧＋
¨
＋
＋
前範場一場
76
Ｓ
Bele tenilkler
==,・ =キ …
,場 =午
腱
(2)
Kramer dOsturlan i:e tapl"r Burada
△
=
αH
α12
-・
´1"
α21
α22
・・
´2"
α″l
α″2
¨・
α
"
4,, A, ,..., L, determinantlan ise asas determinantda
(A) uylun olaraq -\ , .!2 ,..., t, dayiganterinin emsallannr
gerbest h6dlerl6 ovez etm€kle ahnlr. Meselan,
Gorundlyu kimi Kramer d● stunan xom ten‖ kler sisteminde
tenliklorin say deyigenlarin sayna b€raber olduqda tetbiq edile bilir.
Lakin deyigonlarin say 9ox olduqda xetti tanliklor sisst€minin Kramor
Usulu ile hell etmek serfali olmur. 9unki goxsaylt yuksak tartibli
determinantar hesablamaq lazm gelir.
3
′
″ tenllkdon ve F doy19onden ibaret xettitenilkler
sistem!
″ ten‖ kden
ve″ deytttnden;baret(″
≠ ″)Xetti ten‖ ‖er
sisteminin Omumi 9ok‖
77
αll■ +α 12■
+・
¨+α l″ 場 =bl
α21五十a22場
+・
…+α 2″ 場 =b2
a,1,1X1* A1n2\ +
...+ a,nnxr = b,rl
matnsi SiStemin esas matnsl,bu mat"se serbest hedlon sutun
elavs egnakla ahnan
И`=
αH
α12
…・
αl"
α21
α22
¨・
α2″
Aml dm2 ... Awl
matrisi is€ geniglenmb matris adlanlr'
'
KRONEKER I(APELL| teoremi: X€lli cebri tenlikler sisteminin
borab€r
6sas matrisinin ranqlnln (/.{ ) geniglenmig matrisin ranqlna
f'"rnin sistemin hellinin varlEr ilgiin z€ruri v€ kafi
otmasr (re
=
rr)
g€rtdir.
Uyugan sistemin esas matrisinin
ran$
(/,{
)
n
deyigonlerin sayrn-
Onda iki hal ola bilar:
dan ( n ) boyilk ola bilmoz. Ye ni r, S
1) r o = n . Bu halda sistemin yegane helli var'
2)
78
tA<n.
Bu halda sist€min hslli sonsuzdur'
G6r0ndiry0 kimi, Kroneker - Kan€lli teoremi xotti tenlikler
sisteminin hallinin varlqtnt miiayyenlogdirir, onun helli yolunu
gdstormir.
m<
n
hah Ugdn xottj tanlikler sistemi Qauss Usulu ile h€ll oluna
bilir.
nl> n
hah asanhqla
ya m= n,yada
m<n
halha gatirilir.
Qauss (dayigenlori ardrol yox efn€) iisulu.
α11■ +α 12｀
+・
¨+α レ場 =ら
1
α21｀十′22■ 2+・ …+α 2"場 =ら 2
…+“ ″
ηヽ =嶋
xotti tonlikler sistemi verilmigdir. Onu Qauss Usulu il6 hell etmak teleb
olunur. Bu usulun mahiyyeti agagdaklardan ibaretdir:
1) Vorilmig sistemin esas tenliyi ve asas deyigoni miieyyenlagdirilir ve
esas lanlik birinci yerde yazir.
α″1■ +α ″2為
+・
2) asas tenliyi ele adedlere vurub qalanlan ile toplaylnq ki,
.q
dayigeni (esas deyig€n) birinci (asas) tenlikden bagqa butiin
tonlikl€rden ),ox edilsin.
3) lkinci esas t€nliyi v6 esas deyigeni segirik ve esas tsnliyi ikinci
yerde yaanq. lkinci ssas tenliyi ele ededlero vururuq ki, onu qalan
tanliklarla topladrqda ikinci esas deyigen (meselen, .12 ) yox €dilsin.
Bu gevirmeleri o vaxta qeder apannq ki, verilmig (1) sistemi
onunla eynigodi.i olan ilgbucaq ve ya trapes gekilla sistema gevrilir.
Bu gevirmeleri apararken biz
0'.ri +0.r; *...*0--t,
=a
(2)
gaklinda tenlik ala bilerik. Sgar a = 0 olarsa, onda bu tanlil
sistemden gxannq vo verilmig sistemle eyni guclu olan sistem altnq.
eget a it 0 olarsa, (2) berabarliyi iidonmediyinden atnan v6 v€rilmig
sistem uyugmayan olar. Buradan goriintir kj, Qauss iisulu sistemin
hallinin olub-olmamasrnr da mtieyyenlegdire bilir. eger ('t) sisteminin
esas malrisinin ranqr deyig€nlerin sayna beraberdirse, ya'ni r., = n
olarsa, apanlan gevirmelar neticesind€ (1) sistemi
79
︱
a2214+..,+A2nJi,, = b2
︱
12)
、=瑠 →
締り
“
Ugbucaq ;€killi sist€m€ gevrilir.
Sgar bu sastgmin helli varsa, onda bu hell yegano olur. Bu yegane
-
.i; dsyigani taplllr
tonlikde yerins yazkr v6 buradan .\-l
helli tapmaq uQUn (2) sisteminin axnno tenliyindan
ve 6zunden yuxandakt
deyig€ni taprhr. Bu pros$i ardrcrl olaraq aga$dan yuxan aparmaqla
ardrcrl olaraq butijn dayigonleri tapnq.
olars, bu hell
Demeli, €gor sistemin helli vars.r v€ /J =
n
yegan€dir.
r., < n olduqda, eger (1) sisteminin helli varsa, yuxanda
g6sterilan qaydada gevirmel€r aparmaqla onunla eyniguclu olan
trapes Sakilli
a11■ +α 12均
+・
¨+α レ毛
α
・+α :rヽ
;2場 +・・
+・
¨+α レ場 =ら
+..・
1
+α :″ 為=聴
(3)
a!-D x, + ...+ a(/-l)
sistemini alartq.
Burada yox edilmig .ri, -1)
6sas dsyi9onler, qalan (fl-r)
-
,..., .\ ( r
D(t-l)
sayda) deybenlerini
sayda deyig€nl€(i isa serbast
mueyyen qiymetlor
deyigenlere
deyigenler adlantrlar. Serbest
qiymeter
ahnq. Serbest
mueyyen
09un
,e ekla esas dayigenler
(sons'l?
qiynaUer
vero
bildiyimizden
istenilen
deyigenlere
.sayda)
esij delgenler tlgiin d6 sonsuz sayda mUeyyen qiymatler ala bilerik.
Beleliite, aftnq ki, uyugan sistomin osas matrisinin ranql
deyigenlerin sayndan kigikdirs€, y6'ni /-{ < t1 olarsa, (1) sistomi
trap€s gokilli sisteme gatirilir ve her iki sistem (ahnan ve verilmig) ugun
heller sayr sonsuz olur.
80
Be'zi hallarda Qauss ilsulunu sistemin 620n6 d6yil,
gsniil€nmi9 matrisino totbiq etm6k daha sarfeli olur.
onun
4. Bazis hsll6r.
Yuxarlda gё sterdiyimiz kimi t4く
s:steml m● oyyen 9evirmeler aparrnaqla
'1。
■ +91.′ .l導 +1+・ ¨+912■
lduqda(1)xtt ten‖ klo「
"=′
1
め +α 2.′ +1■レ
+1+・ ¨+92″ :場 =′ 2
(4)
■ +′ ′Jヽ ■ +・ …+`"場 =′ ′
,′
sistemi ,ok‖ ne 9otil:o b‖
Burada `グ (′ =1, 2 ,… ., ′,
「
i=′ +1, ′+2 ,… ., ″)● mSa‖annin ham:slsnr ola b‖ mez
」
14)`on ya2rnaq olar
朽
場
=′ 1
夕
`1.′ +1・■
7+1 ・ ¨
1"場
=ρ 2 ′ 2′ +1・tr+1
・ … 92″ 場
(5)
■ =′「
α
frllヽ
′+:善 +:―・―
"
ifadasi (1) tenlikler sisteminin i.imumi helli adlanrr. Burada
,′
(5)
.r.*1, --1,12
,..., .lir dayigenlari serb€st deyig€nler,
.tt, & ,..., .r. d€yig€nleri is6 bazis (esas) d€yigenler adlantr.
G6r0ndUyU kimi bazis dayigenlor sarbest deyi;€nlede ifado olunur.
S6rb6st deyigenlere qiymat verm€kle (5) Umumi hellinden ahnan
helle sistemin xilsusi helli deyilir.
, .t
,, +
dsyii€nlarinin qiymetlarini (sarb€st deyi9snleri)
srfira beraber giiturmoklo ahnan xiisusi helle sistemin bazis h.lli
.Tr
deyilir:
,.
.
ｊ
+1=■ +2 =・ ¨ =
ｌ
為
■
フ０
〓
薔 Fl=′ 1,均 =′ 2,・・・,
・
(6)
5. M0sbet hgller.
Xetti proqramlaldtrma m€s€lol€ri iqtisadiyyat, proqramlagdtrma
meseleleri ile baoh olduOundan bu masalalerdaki deyilenlor yalnlz
musbet qiymetler almaltdtrlar- Ona 9610 de xetti tonlikler sisteminin
musbat hell€rinin taptlmaslnln praktiki oherniyyeti vardlr.
X€tti tenlikler sisteminin musb€t hellorini tapmaq 09un onun butun
bazis hollerini tapb onlardan yalnlz musbet hollori secmek lazmdlr.
Sgpr bazis hellar igerisinde miisbat hell yoxduBa ve apanlan
cevirmeler neticosinda butun deyig€nlerin emsallar menfi, serbest
heddin isaresi mUsbet, (va ya dayigenlerin biittin emsallan musbot,
sorb€st hedd m€nfi isarali olarsa) olarsa, demgli bu sistemin musbet
helli yoxdur.
MISAL
2'q+'tr=al
2.1.
I sisteminan
t
hellinin varlgtnt arag-
-3'rr' =-5J
dtnn.
HOLLI. Verilmig sistemin esas mahisinin ranqtnt hesablayaq
(z l'\
A=l
'[r
lz
l. A=l
4)
rl
l=_7*0
lt-4
Demeli, esas matrisin ranqt r,a = 2 dir.
Sist€min goniglenmig mahisinin ranqtnt hesablayaq'
A'=? 'lol,
[t 415)
o=l'
Demeli sistemin geniglanmlg matrisinin
ol=-,0*,
l'
-sl
ranqr da r,f =24ir.
Verilmig sist€min esas matris,inin ranqr qeniglenmtg matrisin
ranqrna beraber oldulundan Qu=r, =Z)' Kroneker-Kap€lli
teor€mine gore sistem uYugardtr.
82
-.r, =Sl
I sisteminin
3*r-+=61
3.Y,
MISAL
2.2.
HALLI.
-'.],
,=f'
|.r
oldugundan
-'J
trt=l
hellinin varlrgrnr aragdrnn.
o=|, -'l=o
F
-i
olar.
- (r -rF) ls
''=[, -,luJ ^=|, ul='*'
sl
oldugundan
r,{ =2
olar.
Verilmig sistemin
sas
matisinin ranqt geniglenmig mafisin
ranqma beraber olmadQrndan sistem uyugan deyil.
2xr-x,
MISAL
=-tl
2.3. x, + 2x, - sq= -2
sisteminin hellinin varl0rnr
I
x2+\=-2)
aragdrnn.
︲︲
ｏ
︱
０
-1
-1
９
０
≠
７
〓
︲
一
，
１
０﹁＝︲︲
２﹁川引
≠ 一一一
７
︲
︲
1
１
0
︲
一
2
1
1
2 -1
2
＝
︲
1
＋
2
一
一︱
△ １２２
・
・
・
︲
・
１
１
かガ
HaLLI.
rs = t .t
-- 3 . Demoli sistem uyugandrr.
q +2s +3.q
MISAL 3.1.
24 + 34-
.\
=61
=4
I
sist€minin heltinin vartrQrnr
3\i +.v, - 4r't =0]
aragdtnn vo eauss iisulu ile hell €din.
HALLI.
(t 2 3'\
A=12 3 -r
l,
lt z
3
ttt-l
[rt-4)
(t
^=lz
3l
_rl=_zz*o
p,--l
2 3t-r)
A =12 3 _rl_21,
lt 2 6t
3 4l=_22*0.
.tttt--l
^=12
r
lr -elz) l, , ,l
r.a =
rf =3 olduoundan v€rilmig sistem uyugandtr.
.
Sistemi Qauss Usulu ile hell edsk.
Birinci esas tenlik kimi birinci tenliyi, birinci esas deyigen kimi ;ri -i
qebul edek ve bu dayigeni ikinci vo UgUncU tenliklerdan yox edok.
Bunun UgUn sistemin birinci tanliyini (12)-ye ve (-3|e vurub uygun
olaraq ikinci ve UgtincU tenliklorls toplayaq. Onda aianq:
.ri +2q + 3.t,
=6 I
-12 -Z;ti-l=-e I
-5.ri -13.r.
=
-l8j
lkinci asas tenlik kimi ikinci tanliyi, asas deyigen kimi .r) _ni qobul
ed-ib bu deyig€ni U9iincti tanlikden 1,ox edek. Bunun UgUn ikinci tenliyi
(5|e
84
vurub ikinci tenliklo toplayaq. Onda alanq.
,\i+2-\+3.\ =61
-
ii
I
-
7.ur =
-81
I
22a =221
Gdrundiiyu kimi, verilmig sistemin esas matrisinin ranqr
dayiganlerin sayna beraber oldugundan (r.n=n=)) ve sistem
uyusan olduoundan, o, Ugbucaq gokilli sisteme getirildi ()€'ni y€gane
helli olmaldrr).
Axnno tenlikden .vl = I taptb ikinci tanlikde yerine yazsaq,
.t = I alanq. 4 ve .q-nin bu qiym€tlerini birinoi tenlikda yerine
yazsaq.\ =l alanq.
Belelikle, verilmig sist€min
\ =1,
x2
=1, )5=l
yegane helli
var.
2\+^r-."r -t
-"1I
M|SAL
3.2. .q - 3:t,
3x, = 7
i
5.ri -3q +3\=7)
+
sisternin hallinin varl€|nr
I
aragdtnn v6 Qauss Usulu ila hell edin.
HeLLl. lkinci tenlikden Ugtincii tenliyi teref-toreia gxsaq,
sistem
2x' +)a -.ur =S I
a -3'r, +3.\
I
= Zf
７
〓
ｔｒｌ
ヽｌ
プ
一
一
一 ■
５
０
〓
■
alanq.
¨
一甲
-4'\ =oj
alanq.
Buradan
verilmig
Axnns sistemin birinci tenliyini u9e vurub ikinci tonlikle toplasaq
&-.q=5.l
o=221
aftnq. Bu is€ mumkun d€yil. Demeli verilmig sistomin helli )oxdur.
3:c,
+2x, - 34
ll
+ 4xn =
I
MISAL
3'3' 24 +3x, -2x" +3xn =
2
I
sisteminin hollinin var-
I
4x, +2x2
l6nt
３
４
２
５
２
０
≠
２
〓
■﹁ゴ冽︱引劇
一
一
一
３
rl
〓
△
=
ハ引﹁ガ
r..t
aragdmn ve Qauss Usulu ile hell edin.
３２３
一
一
一
HELLI.
-3x" +2xo =3)
olduoundan verilmig sistem uyugandlr'
=3
Sistemin asas matrisinin ranql 3, doyilsnlorin say 4 oldulundan
(y€'ni r_1 < n ), hell sonsuz olmaldlr. Bunu giilst€rekVerilmig sistemin +cu tanldiyinden 1-ci tsnliyini, birinci tenliyinden
ikinci tenliyini tBref-tarefe gxsaq alanq
3.ri
.Tt
+2.g - 3.t, + 4'tn =3 I
- -\2- .rl+ & =-ll
.ri
86
I
I
-
2xo =21
Axnnq tenlikden
)\ =2+Zxt
taprb yuxandak tenliklerde yerine yazsaq
vo ,2 ve ,t
_U :tr -le ifade
elsek
場=:(4-t4),
ギ
b=:l11+16■ )
alanq.
Jr1l-o ixtiyari qiyrneUer vermekle,
ri
, ,i,
mueyy€n qiyme0er alanq. Me6€len, -ya
=
.! =.,4ttrit
)) =4
.\ = ^l, .h =;.,
))
0
Jr3 deyig€nleri U90n
qebul etsek
_xi
= 2,
alanq. Beletikle, verilmil sistemin hellednden biri
,q
=
ll
-:-,
-r:, =
0
otar.
.q -6 bagqa qiymeflor v€rmoklg sistemin bagqa hollerini alanq. .r4
deyiggni ixtiyari qiymetler aldrgrndan bele h€llerin sayr sonsuz olar.
.\i+r)-.\=2
MISAL
I
-2\ + xr* ra = 3l
3.4.
sistemini eau$s usutu ite he1
I
.\+,r2 +.\ =6 j
edin.
HeLLl. Qauss itsulunu sistemin Ozune deyil, onun g€niglonmig matrisine totbiq edek.
Verilmig sistemin geniglenmig mahisini yeTaq
ヽ︱︱︱︱︱︱︱ノ
２３６
一．．１．
︱︱︲︲︲︲ヽ
２
︲︲
・
′︱
〓
И
Bu matis iizerinde gevirmeler aparaq. Birinci setri C1)-o wrub
Uguncti setide toplayaq sonra is€ birinci satirle ikinci sehi toplayaq
87
ｑ
ａ
年ｙ
ａ
ａ
ｐ
ｅ
¨相
” 卸
珊
′
、
ィ
¨
刺
¨
肺
呻肺
一
一
〓
一
一
︲︲
︲
３叫劉
ｌｌｌリ
あ、あ
＞
ヽ︱︱︱
＾
¨
一
一
¨
¨
・
一
＾
︵
一
¨
´
一
．
一
一
一
一
一
一
九﹁れ
alanq.
Buradan
ｑ
ｎ
８
ａ３
ｌ
ａ
Belelikle,
ve
lmis sistemin helli
. 4.1.
MISAL
.ri
2l
-.t
-2.U
+.q
ri =1,.*, =l,.rj =2
+ xn
=)
I
I
sisteminin han$ deyi-
3q + 7-r; = 4J
+
olar.
genleri bazis deyis€nler ola bilor?
HeLLl. Verilmii sitemin tenliklarinin say 2, deyiganlerin say ise 4
olduoundan, bu deyigenlerdan ikisi bazis dayigenler, ikisi iso serbest
dayigonl€r olmaldu. Bu d€yi$onl$i tapaq.
agor deyit€nlerin emsallanndan tertib edilmig minorlar sfirdan
farqlidirs€, bu minorlar bazis minorlar, hsmin minorlara u)€un
dayigenler bazis deyigenlar olur.
Gtirunduyu
kimi verilmig sistemden muxtotif ikitortibti
determinantlar dUzeltmsk olar.
Ar
Ir
=l
-
rl
l=0
12 -21
Demeli, bu minor bazis minor deyil vB hsmin minora uyoun
Jri
.r2 deyiganlari baZs deyigenler ola bilmezler.
MiimkUn olan bUtiin ikitertibli minorlan tertib €d6k.
gslen
,
Ir
rl
12
3l
=l
^,
l=t*o
Demeli, bu minor bazis minordur
Ir
rl
12
7l
=l
^,
v6 .\
Ya'ni
.t ,
l-t
' =ll-z
a,
bazis deyigenlsrdir.
l=s*o
Demeli, bu minor da bazis minordur.
deyigenlerdir.
, .t
,rrl
,
-T4 deylgenleri bazis
ll
l=-l *o
sl
.t3 bazis dsyisenlardir.
89
A,
h, \
l-r ll
=l 7ll=-s+o
12
-bazis deyigsnlerdir.
Au
hll
=l
13
iq|
,
.q
-bazis d€Yigenlerdir.
Belolikle, alrnq ki, .q
ditleri bals deyilenlerdir.
MISAL
l=c*o
7l
,
.x) cil(arindon
bagqa qalan doyigenlerin
3xr+2.9+&-.ri-4=7 l
4.2.
2tt,
+3xi +2sq -Zxo
-2X
I
sisteminin hansr
=8)
dayigenlori bazis d€yigenloI ola biler?
(3z l -l -l\
132l
xau-|. l=l
l, a=l l=s*o otdugun\232-2-2)
123l
dan matrisin ranqr 2-ye bsraberdir. (r.c --2).Demeli sistemin n = 5
deyiganirden 2-si bazis, qalanlan ($U) sorbest d€yi9€nlerdir. Bazis
deyiFnleri tapmaq u9un dsyigenlerin emsallanMan mumkiin olan
biitun ikitertibli minorlan quraq.
ltzl
brl
l=s+0,
l=++0,
3l
^,=l
^,=l
12
12
lr -rl
b -rl
=l l=+*0, ^n =l l=-+*0,
^, 12 -21
12 -21
b rl
lr -tl
Au=l
l=r*0, "
l=-t+0,
" lzzl
^,=l
lz-zl
2l
90
―
1/0名
幾
イ朝判
義
裁
ち
→瑚粥コ
GottndOyu kimi△ 8,△ 9'△ 1。 minodanndan ba●
qa b也 lon minorlar
s!irdan fbrq:ldir,yσ ni baゴ s minoflard:‖ ar ve on!ara uy9un doソ 9on:er
bazls deyll● nierdlr
Beldik!o, a!:口
q ki, venimi, sistemin △8,△ 9' △1。
i鰤
b‖
minOnanna uygun gelen朽 ,■ : 薔 ,お ; ヽ4,■ 3 dltenndon balqa
qalan deylsenienn mOmkan ctl‖ en bazls dey19enlerdir
Mi五 43 211争
::[LISIStemininbttnbazIShelle_
ni tapln
巧
4¨
r/2
画た
ti]4到
“
dir
Yo'oi sistemin 09 doブ leninden ittsi bazls dey19on,bin serbOst
deytspn o!malld『
Molce, hansl deyII● nlonn bazis dey10oni● 」 Oldugunu te'yin
ヨ
裁
判
弓到 4コ
edek Bunun 09un b● tun
ilotertlb‖
mino‖ an quraq
△3=lfl[:￨=-5≠ 0
GO嗜 nd● yu klmi b薔籠n
ikltertlb‖
min● dar sirdan fbrq‖dilor,yo'ni
bazis minollard:r Ona g6re de slstemin b薔槽n dey19on:erl bazls
deyilenl● r ola biler
91
indi de sistemin bazls hellerini tapaq Bunun 09un sistemi Qauss
ゾni(‐ 2)ye
vurub ikind ten‖ kle toplayaq Onda
ｌ
ｊ
４
一
一
〓
５一
ヽヽ
一一
ヽ
＋一
alanq
れ九．
Osu:u ile hen edek
Sistomin binnclten‖
iklnct ten‖ kden
14 1
場 =了百亀
tap:b birlnd teniikde yerlne yazsaq
7
■=了｀
3
百
a:anq
B● lelikl。 ,
ハ
1 ,場 baZiS deyi,onierl ,b serbest deyl,oni ll●
)柵
"'臨
uЪ
aas hd‖
照
面
ね
pmaq O"na測
口na
ttd“
調
e
(umumi heldo)亀 =O qObuledok Onda alamq
7
14
■=τ '場 =了
Bol● liklo,birlnd ba2iS he‖
・
=:,
場
=:l,
場
=0
olar
Yuxanda g6sterdik kl,verl:mi,slstemin isten‖
en iki deyl"ni baZiS,
190nCu deyilen ise serbest dOyi,on ola bil● r Ona gore d●
12
deyt,onini serbest, ,1 ,■ うdeyi§ en!erlni ise bazls deyil● nler qobu!
edok ve bazls deyilenten Serbest doyt,onin vasitesilo fado odok
92
χ,deyI"ni‖ e rade
(1)SiSteminin iklnd ten:iylnden■ d。メ
edok ve birlnd tenlikde ye"ne yazaq Onda 'enini
alanq
l[￨:I:モ￨
Buradan .■ 2‐ O qObul etmekl●
Bel● liklo,ve● :mi,sistemin
ヽ
、
=19,
ヽ ‐14
a:anq
iknd b″」
s hel‖
=19,毛 =0,為 =14
olar
indi .■ l deyll● nini serbest deyl"n, .■ 2
｀ deyl"n:● nni bazis
de,,anl● ‖qobul edok ve 範、 deyi'Onl●
ゾ￨● ni‖ e rade
"ni
tt
d●
edok Bunun 09un verl:mi,slstemin bi薔 nct ten‖ ylni← 3)o vurub iklnd
ten‖ klo toplayaq Onda alamq
・rllil;][1191
Buradan
19
1
■=7 7■
taplb iki● citeniikde yo「 ine
ya2Saq
3
5
亀=7+7・・
Vi
alar:q
Be:o‖ kb,ぁ
,Ok‖ nde lfad●
、 bazls deyil●n!o‖ ■ serbeSt deyl"ni vasltes‖ o
olunur Bu umumi helldoつ
=0,穐 =;,ヽ
u9tlncu bazls he!li“
alar,q
1=O qebu:etsok
三
:
Sistemin bazis hellini axtararken serbsot hedleri sfira beraber
gobul €dirik ve adeten bazis deyigenler sfirdan ferqli olur. Lakin ele
bazis heller ola bilar ki, bazis dsyigenlerdan ba'zileri de srflr ola biler.
86l€ bazis halle C,rlagmrg bazis h6ll dsyilir.
3.r,,
MISAL
+a.t,
-aa
=31
4.4.
l sBteminin bazis hell€rini taprn.
2tr+4-\=2 )
/3 4 -4\
l: d
l=l
ri
l, a'=l l= -s* o olduoundan
1-t)
[2
lz 'l
ve rr2 dayigenlori bazis, .ri deyigeni serb€st
dayig€n olar. Onda
xau-i.
.ri = 0
qebul edek.
にｒｌ
リ
ヽ︱
３２
一〓
一
熟れ
Onda
も﹁
birinci bazis helli taprnaq UgUn verilmig sistemde
alanq.
Buradan.q
=l
,-r: =0
allrrq.
Bel€likle, bazis (osas) dsyigon
{ =l
,.a)
.q = 0 oldugundan
=0, & =0
'
lr
birinci bazis h6ll orlagmrg hall olur. A, = I
oHugundan
.r, ,:q
lz
-+l
I
=
S
*
O
-11
deyigenleri bazB, x2 deyigeni serbost dayig€n
olar. .q = Q qebul etsek, verilmig sistemdon
3.t - 4.r, =3.)
t
(
2q-+=z)
alanq-
Buradan .q
=1
廂％
,-ri =0 alrnq.
.q bazis deyi$eni sfira berabor olduoundan
ahnmrg ikinci bazis
'\ =l
,.r2
=0,
orlatmlg h€ll olur.
-L =0
tq _ql-l=o
'l'-'l
^'=l'
oldugundan ,v2 ve -ra deyigenleri bazis deyig€nler deyil, ona g(ire ds
0"n`油 bazls hel:yoxdur
着
MiSAL45 7■
+2毛 +3■ =0
+8場 +Hぁ =2
10■
sisteminin baJs he‖ erlni
+場 +朽 =1
2■
+H場
+15毛
=3
tapin
a'“
鰍∫
°
識ll鳳驚瀧::1器齢ll棚出翼
>魔鷲農
.Iti+2、
+3、
=0
5
1
Y2+了場 = 百
・
0・
為
=0
為 =0
Udinc0 ve dordUncti 0=O tenliklorini atsaq
.q + 2.n +34 = 0l
0・
.9
: = -;r|
+;-\
J
J]
I
ahnq.
.15
lkinci tenlikden .\,
ya6aq
=
-;-;.\
JJ
taprb birinci tenlikde y€rine
95
.xr
2l
=;+;.rt
alanq.
Bbtetitte, vorilmig sistemin 0mumi holli
,tl =
2t
I
5+trr, I
t5l
r) = _r_r&J
olar.
Burada
,\i
serb€st deyi96n, i\.i
va -t
bazis doyigenlerdir'
Bazis helli tapmaq UqUn iimumi helds serbest deyigeni 'v, = 0
giitUrmek lazmdrr. Onda bazis hall
2 --l'
t=5'&
3
u =o
olar.
.r,
MISAL
5.1.
-
2.r; + 3.t" = I I
I
3r1 -5't +7\=2)
sisteminin her hans m[sb€t
hellini tapn.
HeLLl. Sistemin birinci tenliyini C3)-a vurub ikinci tenlikle toplayaq'
'rr -2r; +3'rl =
lI
v-2q =-t)
lkirrci tenlikden
.t: =-1+3:ql
il -'\
=
taprb birinci tenlikde yerine yazsaq
-l
alano.
Onda sistemin umumi helli
'\ =-l+'o i
a ='t+2a)
olar.
Sistemin bazis hellini tapmaq ugun umumi h€llde
96
&
= 0 qabul edek
Onda birinci bazis hell
-!
=-l
,.I2
=-1,.t
=o
olar-
Gdrtindtiytl kimi ahnmE bazis hell miisbet heu deyil.
V€rilmis sistemin bagqa bazis hallini tapmaq U(nn s€rbost deyigen
kimi -$ deyig€nini qebul €dok (vedlmig sistem ugiin biitiin deyigonlor
c{itluyu bazis dayig€nler ola bilor. Ne iigiin?)
vo .rq, &
bazis
deyigonlerini .r2 vasitesile ifade €dak.
ll
I
*=r*r+
ri f
\=_r+rk)
I
Onda bazis hell
n =-
l-l
,
=tl
,xa
,\ =i
olar.
G6riindiiyu kimi bu bazis holl de musbet hell deyil.
Uguncu bazis helli tapaq. Bunun iigun ,ri deyigenini serbest, .rr,
.t
deyigonlerini
dayigenleri
.lj
ise bazis deyi9enl€r kimi q€bul edek ve
bu
deyigeni ile ifade edek.
.t,
=l+{
J
.rr = l+2.rr,j
umumi hellinden .tr = 0 qebul ederek
alanq.
Belelikle,
=0,
=l
-rr
,-t
"U
bazis holli sistsmin musbet h€lli olar.
.v2
=
I
,Jq =
I
bazis hellini
=l
.rl+.r2 +.ra +6x4 = 6
MISAL
5.2. 4 + x, +24
+9.r4 =9
sisteminin musb€t heF
Zxr+ x, + 2:rr + l0.xn = l0
97
"ni tapl●
HOLL: Sistemin o9uncu ten‖ ylnden iklncl ten‖ yi 91xaq ve a"g!dak,
klmi yazaq
Bilncl tenliyi(‐ 2>ye vurub lkinciten‖ k:e toplayaq
=2-2ェ ■ =1-■ 4 taplb,bu
`,
amumi hel‖
binnd tenlikdo ya2aq onda ve‖ !mi,sistemin
lkincl ve 19unou ten‖
qiり metiol
klerden場
olar
Omumi hollde serbost.t4deyl"nine r14=° qlymetl vermokle
.tl‐
1,乃 =2,島 =3,、
bazls he‖ ini al:nq
GOr● ndly● kimi bu ba2iS he‖ musbet he‖ dir
6 Bircins xetl tonlik!● r sistemi
Sag ter`誦 (serbest hediol)snra beraber olan
98
‐0
ten‖ k:er sistomine birclns xetb ten‖ kler sistemi deyl‖ r
herni"
■ kardir kl,(1)siSteminin■ =場 =・ …‐ ■
"=O he‖
var Ona g6re do (1) SiSteminin sllrdan ferqli hellinin vart:ol
ara":口 lmalldr
Birons xeth ten‖ kler sisteminin sltrdan ferq‖
hd‖ nin va山 o109un
onun esas deterninantn!n ttr olmas120run Ve kan γァロI
j餐前 n剛
MISAL飢
軍
面 tapln
:]‖
HOLLI Vollmi,teniikler sistemi bidnsdr
slstemin sttr helildlr Sistemin sttrdan forq‖
巧
=0,場 =o bu
he‖ n:n va‖ lginl yoxlamaq
190n Onun esas determinanini hesablayaq
△=￨
-121=7≠ 0
Vel:m:Osに bmin esas deterninant slnrdan ferq‖ oldugundan onun
sllrdan ferq‖ hel‖ yoxdur
耐銚
a2ム
由面 n helll雨申
t覗
HOLLi Vedlm●
n
卜
slstemin sttrdan fbrq:i hellolni axtaraq
△=￨:
::￨=0
al:nq
Sistemin esas determinant sttra beraber o:dugundan onun
slnrdan ferq‖ hell● ri var
Dogndan da venimi, sistem .Fl-2毛 =O xott ten‖ yl ‖o
eynlgldudOr Bu ton‖ yln(eyni ilo Sistemin)sonSuz sayda he‖ i var
"
Mosel● n.t2=l
ves a!anq
qobu!etsek l.i=2,
、
=2q● bul otsek.tl=4
HOLLi
oldugundan vellmi§ sistemin yalnlz s:ir hel‖ var Yo'ni
‐ 0,ヽ =0
輪 =0,ヽ
HOLLi
。ldugundan slstemin s■ rdan ferq‖ hei“ var Bu he‖ i tapaq Bunun
剛誌訛織踏「糖鶴漁∫
甜酬噛m damq ttd
l∞
lkinci ten‖ yi(-2}yo
vurub 3‐ cl ten‖ kle toplayaq
4+4x.-7xi=0
-7.rr+1l:ur=0
0=0
Axlnno ten‖ yl sistemdon atsaq
、
+4範 -7:]1崎
￨
yazmaq oiar
12‐ nin
bu qiymetini l o tenilkde ya2Saq
5
i=亨｀
m・
a:ar:q
Bele!lklo,■ =7α qobul etsok,venlmi,sistemin ho‖
■ ‐5α , .t2=1lα , 為 =7′
。lar(α ‐
iStenil● o odeddir)
7. Xetti tonliklsr sisteminin matris Usulu ile helli.
Fez edek ki, asas matrisi orlagmayan (slfirdan ferqli olan)
αll■
+α 12‐t2+・ ¨
+α レ
祐
α li+α 22場
+・
…+α 場 =ち
α
n tl+α
+・
…+“
21・
xetti ten‖ kler
=a
sistemi venimiコ
「
"2範
2″
"為
=ち
101
２
︲
ち
２
２
a2n
・
︰ち
B=
χ
=
igare edok. Onda (1) sistemi
A.X=B
matris tenlik 9€klinde Yaaltr.
ters l-1 mabisi
9ert6 9610 A * 0 oldugundan ,4 matrisinin
-a vuraq Onda alanq'
(2) tenliyinin h€r iki ter€fini soldan
l-l
A-t
.A.X = A-t .8. A1 .A= E. E.X = X
olduOundan (3}den
alanq.
(i)
'
x=A-1 .B
Ufisturu (1) sisteminin mafis usulu ile hellidir'
'
24 +:rz = -tl
MISAL 7.1.
34-
\=4
sistemini matns usulu ile h€ll 6din.
J
o=l' 'l=-,,*0
'l
(r -tJ ls -tl
uattt.A=12
orduoundan A
mafisi crrlagmayandr. Ona gore ds onun ters matrisi var ve
(
4, 4')
,--lEEl
l.A Al
4t = -1, 4z = -3 , At = -3, 4z = 2 oldugundan
102
。﹂。。
ク″
2 ・¨ α"ノ ,
α″
1
︰場
“ 場・
ａ
α α
α α
イーーーーーーーーーー、
И=
dt,
莉刊
１一
ｎ３一
■
〓
′ ︱︱︱︱︱︱ヽ
一
И
aianq
Onda
χ =И
matns tenundon
l・
′
alinq
Buradan verllnni,sistemin hellinin
=1, ・r2= 1
oldugunu tapl口 q
“
MISAL 72議
slStemlnl mtt usulu lle剛血
二
HOLL:_ И=(:
鶴需 :累淵
:動
:i) ,
:鰤鵡
△ =￨:
:il=0。 ldugundan
雨
席
y°
И mattsi
Xdur腱 m引
高酬よ鵠』
edin
ハυ
３
，
ハ”﹀
＾
︲
一７
・
刹割割
︲４
一
９
一
〓
４
〓
２１
︲
軒
．
卜
〓
︱
︰
△ち一
△４一
△
ろ一
一
〓
И ４，
４
一
一
イーーーーーーーーーーー、２
２１
︲﹁︲
︲
︰
一
△ん一
△４一
△
４
ｎ
一
２
〓
３４
Lち
毛
名
イト引 4→
￨:
＾ ′“
〓
１００
３２
４４
＾‘Ｊ
一．
．
２
△ “
ｌＦ＾
﹄１
ＩＩレｒｌ﹂Ｈド ¨
一
一
Ｗ
１
︲２・
７Ｈ・
０
︲
〓
４１
１９一
・
′‘ ︲︱︱︲︲１１１ヽ
一
И
104
´
ヵ
一
．
ahnq.
〓
oldu0undan
ろ2=l il=1, ノ
ち
3= ￨￨
41=―
赫
Demoli
３２
41
=-1≠ 0
ｍ
２３２ И
HOLLi
１
１
一
︲
一
ノ
︲０
一
︱
イーーーーーヽ
〓
ヽ︱︱︱︱︱ノ
０６１
イーーーーーヽ
ヽ︱︱︱︱ＩＩＩノ
９
︱
〓
Ｂ
一
И
〓
︱
７︲
Ｈ・
２
４
︲
・
︱
／１１！︱︱︱︱ヽ
ヽ
鋤場朽
〓
′︱︱︱︱︱︱︱ヽ
χ
olar.
Belalikle, veralmig sistemin halli
.tl
=1, &=1, ,r3=-l
olar.
III FESLAAID YOXLAMA SUALLARI.
1. Tenliklor sisteminin helli neye defllit?
2. Uyugan, uyugmayan t€nliklar sistomi neye dsyilir?
3. Qeyri-mueyyan hall neye dayilir?
4. Eyniguclu (ekvivalsnt) sistemler neye deyilir?
5. Kroneker- Kap€lli teoremi.
6. Qauss usulunun mahiyyatini aydrnlagdrnn.
7. Sistemin umumi helli naye deyilir?
L
Sistemin xUsusi helli neya deyilir?
Sistemin bazis helli neye deyilir?
10. Bazis minor naye deflir?
1 1. Bazis deyig€nler neya deyilir?
12. Serbest deyigenler neye deyilir?
13. Bazis hellin clrlagmasl ne demekdir?
14. Miisbet hell nsy€ deyilir?
15. Sistemin helli nB zaman y€gane olur?
16. Sistemin holli ns zaman sonsuz olut?
17. Sistemin helli na zaman olmur?
18. Kramer qaydas (dusturu) han$ xatti tenlikler sistemine tetbiq
edilo bil€r?
19. eger sistemin tanliklerinin say deyipnlarin sayndan kiyiikdurse,
{m > n) , bele tenlikler sistemi nece hall edilir?
9.
20. Xetti tenlikler sist€mi matris Usulu ils nece hell €dilir?
105
°N
‖
罐習k肌温踏 9°
1輌
ldak:itt v● ●9
欄ユ
1:[:￨
xettl ten‖ k:er
slstemini hell● din
CAVAB:L=1,均 =2]
[helli yoxdur].
﹁︱︱コ
３
洲一
=1,祐 =1]
〓
鋤
α
〓
乃
均
輸
，
ｈｌ
ｄ２ ■ ４６
106
dOylpn‖
[r,
=1,
.U
=0,
,a
=-l]
2. A$aorlakl tonlikler sistemini Kramer gaydas ile holl
edin.
１
・︼
〓︼６
〓
２
CAVAB:
[.r1
= -1,
Xz
= -1,
Xz = 0, .x+ =
l]
\+2x2+3t;, -2xo =6
2\-\-2rt-3xn
=3
3xr+24-\+2x4=4
2tt -3x.
+
2q + ,rn = -$
["*i
=t, ,, =2, n=-1,
*o=-21
24-4+34+2x4=4
2.s.3\
*3r,
+ 3x, + 2xo = 6
3\-xr-1'+2xo=$
3,x,-4-34 -xq=6
107
1.tl=2,場 =0,■ =0,■ =Ol
3 Ala91dakiton!ik:er sisteminin he!linin var:19:nl
arasdinn vo Kramer qaydasli:● hell edin
CAVAB:IXl=3,χ 2=1,χ 3=lhdl yeganed可
いd‖ yOXdu嗜
i=1,.F2=1,■
l・
4へ澤oldakl ten‖ k:o「 sistemini
edin
108
= 1]
Qauss usu:u‖ 。hel:
〓
■
〓
ｕ
現場め
＋＋＋
れ為勢
一
〓
■ 為
，
︲
畑〓
４
３
亀
１２
〓
４４
,\ +'t2 -3q =-1
2.r,
4.4.
+.9 - 2.q = I
.\i +.q +.r3 =3
.\
+2.v,
-3q
=|
[halli ]roxdurl.
5. Agagdakr tenlikler sisteminin bazis
hallerini taprn.
lcr)
51ム
ttlllち }
CAVAB:l■ i=2,場
=2,■ =0:■ =2,場 =0,■ =つ l
」
、
"1lrl■1■
=2,場 =―
[■
}
■
毛=0,■ =Q■ =ち ,均 =Q場 =:,,%=0]
6 Alaoldakl teniik:o「 sisteminin masbet
he::erini tapln
一
一〓
︲卜句
５
範均
”猛
６
CAVAB:ImOSbet he:‖ yOxdurl
02ち
11百 1
L=1,毛
110
=11
３
〓
場
，
斗
﹁う
れヽ
７
.l,, = 0I
0,
７
２
動
﹁︵ち
れ缶
CAVAB: [.r, =
２
〓
亀
１
︻︸︺ト
＋＋一
３
場場場
け辱響
３
６
hel!edin
‖er sistemin:
oidak:bi● dns xettl ten‖
7神
α
〓
為
一
一
一
α α
２２
７
札
Ｓ
Ｍ
edin
he‖
=5]
CAVAa L=1,場
回 ■
ｂ〓
ｅ
ｍ場
ｅ
，
，
１
同〓
お亀
ｕ
ｕ 112
ten:ik:or slstemini matris● su!u‖ o
8∼ 諄oldaki
81 51::: [I10}
IV FASiL
XATT| TANLIKLAR VA XATTI
BARABARSIZLIKLAR SISTEMININ ARAFIKI
OSULLA HALLI.
1. Xetti tenliklor sisteminin qrafiki
itsu a helli.
Faz edek ki, ikimochullu iki tenlikden ibaret xetti tanlikl€r sistemi
vgIilmigdir.
arrx, + arrx,, =
A
2t\
brl
.t !
(1)
+ A22Xz = b2 )
Bu sistemin qrafiki Usulla helli teleb olunur.
Me'lumdur ki, (1) sisteminin her bir tenliyi hendesi olaraq m0stevi
Uzerinde diiz xetti ifade edir. Bu sistemi qrafiki iisulla hell eknek U{ijn
onun her bir tanliyinin qrafiki qurulur.
Burada agagrdakl hallar mUmkiindur.
1. Her iki tenlikl€ri ifad6 ed6n duz xefer bir n6qtede kesigir. Bu
halda sist€min yegane helli var vo dUz xaflarin kesigm€ rxiqiesinin
koordinaflafl hemin yegane helldir.
2. Diiz xeuer kesismir (pa.aleldirler). Bu halda sistemin helti
)roxdur.
n6qtalari var.
︲︲リ
５
一
〓
一
場場
MISAL 1,1.
希響
3. DUz xeUsr Ust-tlsta dulurlor. Bu halda sistemin helli geyrimueyyandir, ye'ni sonsuzdur, gunki duz xEtlerin sonsuz sayda ortaq
sistemini qrafiki rculla hell edin.
g3q-11. Aqkardlr ki, dtiz xattin qrafikini qurmaq Ugiin onun istenilen iki
n6qt€sini qurmaq kifayetdir.
2xr-sr=5
tenliyinin qrafikini quraq. Bunun
diprini tapmaq lazmdtr.
genlerdan birine qiymet verib
usrn
dayr-
Meselon, "t = I qebul etsek, tanlikden "ri =
g6tursok,.\ =4 alanq.
I
sl21q. .s, = J
Beleliklo, doz xettin iki 43,1) ve {4,3) ndqtelerine gore onun
qrafikini qurmaq olar. (gakil 1).
Eyni qayda ile,
- 2& = I diiz xettini qurmaq ugun .r2 = 0
ii
qebul etsek, -\ =1, -12 =2 qebul etsok, 'li =5 alanq. Belelikle,
hemin d0z xetti iki C(1,0) ve D(5,2) ndqtel€rin€ g0re qurmaq olar.
gokildon gortinduyu kimi duz xeuer {3,1) ndqtosinda kosigirlor.
.\ = 3, ri
Demeli, verilmig sist€min yegane
ー３
ｔｒｌ
プ
ヽｌ
一
一
〓
め範
２２
一
一
HOLLi.■ -2場
■ ■
MISAL 1 2
=
I
helli var.
sisteminin qraFlki Osu‖ a he‖ edin
=i ten‖ yl―
nin qranki,Oki!1‐ den mo'lum―
dur.■ l-2.● 2=3d● 2
nin qrankini quraq
o!duqda
、 =31
Xettト
=0
,ぅ
=1
alamq
場
olduqda
.■ l=5
Bol● likle, (3, 0), (5,
1)
llleru
nOqtelenni al!riq Bu dOz xetti
,。 na
ｔｒｌ
ヽｌ
リ
ー２
一
一
一
一
一
一
MiSAL 1 3
腱れ
器牌褥I配 l:‰
れ句
1胴 l速
g6Ю do Stte而 n helll p刈
l14
旺
sistemini qraFlki Osu‖ a heli● din
pl° dedla
dだい
I輩[l∬
増
鯛鴇朧缶
欄:鵠r鐵電懲
Bololiklo,bu d● 2 XOtlerln sonsu
2.
oldugundan,sistemin sOnsuz sayda helli var
2 ikideyil● nli xメ ‖ berabenJz:ikler sisteminin
qranki osu‖ ah● ‖i.
lkldey19on‖
の1+b乃 +ε ≧0
beraborsizliyine baxaq.
Yuxanda g6sterdik ki, r/.\ +6.\i
mustevi Uzerinde dtiz
xotti ifade edir vs bu diiz
xatt hemin mustofini iki
yanmmtistaviye Hilur.
Bu duz xettin niiqteleri
6yni zamanda her iki
+r=0
tenliyi hendesi olaraq
=2
aXl+b=2+C=0
II
●Xl+bX2+C'0
I
yanmmtistovinin n6qtolari olur. Bagqa sozle bu
diiz x6tt hemin yanm-
axi + b!2+c<)
mustavilarin serhedi olur.
D>0 haI iig.in)
Belelikla, gorunduyu
kimi a.xr + 6-q +c < 0,
(gekil 3,
bi +b\
111● КttЛ
&
0, ll yanmmustovini ifade €dir. Bu
yanmmiistavilerin serhedi ise a$ + bh + r = 0 diiz xettidir.
Berabersizliyin hanst Y*
I yanmmiistevini,
nmmiisteviyo
+c>
aid
olduounu
mueyyonl€sdirmok ugiin s€rhodde yerlegmsyen ixtiyari ntiqteni
gotiiriib yoxlamaq olar (koordinat
baglanorcrnr gtitiirmek daha
X1 2X,+3,0
serfelidir). eger hemin noqtenin
koordinatlarr berabersizliyi
od6yirs6, demeli berabarsiy'ik
homin noqt6 yerlag€n Yanmmiisteviye aiddir. aks halda,
b€raborsidik o biri yanmmiisteviye aid olur.
lllerrr
4.
.. .. BeraPer.sit-liyin hansl yaflmmosteviye aid oldugunu gostermek
iigiin serhed diiz xett hemin yanmmiisteviye tersf gtriilenir. MISAL 2.1. x,
-2xi
+3 > O berabarsizliyi
hansr yanmm0stevini
ifade edir?
HOLLI. Koordinat baglangronrn koordina annr (.I =0, .U
=0) veritmiS
berabersiZikde yerino yazsaq $0 dogru b€rab€rsizliyt alanq. Bu, onu
glirsterir ki, b€rabersizliyin airJ oldugu yanmiistevi koordinat iaglangrcr
yerlagen yanmmiistevidir. Ona giire do .rl
+3 > 0 diiz xetti
-24
(sefted) koordinat bagtanglo t€rofe gtrixlonmolidir. (gekit 4).
MISAL 2.2.
.t + 2.t < 0 berabersizliyinin aid oldu$u
yanmmiis-
tavini tapm.
HOLL|. .ti +2x, =Q duz xetti
koordinat baglangGtndan kegdiyinden, b€rabersizliyi yoxlamaq UgUn
ba$qa bir noda g6ti.ir€k, meselen,
{3;0).
Onda
3+2.0<0, 3<0
alang. Bu isa mtimktin deyil.
Demeli, ,(3;0) ntiqtesi axtanlan yanmmtistovide yerlogmoyib.
(g€kil 5)
Fez edok ki, ikidayigenli rz
beraborsizlikden ibaret sistem
1llnムョJ15.
verilmigdir.
αl■ +a場 +`l≧ 0
α2■ +ち毛 +`2≧
0
(1)
Qntxt + bn X2 + Cr, > 0
蒲搬指lぢ Li蹴:寓1臨 ‖
霊 ::日]躙‖
潔」
鰤1乱譜
116
goxluou bu yanmmustevil.rin k€sigme oblash olacagdtr. Bu oblast ('l)
sisteminin heller oblast adlanrr.
Xefti proqramlagdrrma meselelerinin halleri hemige qabanq
goxbucagl geklirde olan oblasdardtr. Bu gorbucaqlar qapalt ve ya
agq ola bilorler.
M oblast (goxbucaqisr) o zaman qabanq adlandtnlrr ki, onun
ixtiyari iki noqtesini birla$iren duz xett pargas bu oblasEan kenara
gxmasrn. Meselen, iakil fua gostorilon oblastlar qabanqdrdar, gunki
onlann ixtiyari ll ve ri nthtelerini birlegdirsn dtiz xet pargas
biit0nltikle h€min oblasta daxildir.
96kil 7de gdstarilen oblasUar ise qabanq deyiller, gtinki
hgmin oblasdann iltiyari iki Jl v6 )a rxrgtelerini bidogdiren duz x€tt
pargasr oblastlardan k€nara gxtr.
gger xotti berabersiziker sistemindo dayigonlerin sayt
￥リカ
IIIaxs.r 7.
irg olarsa, bel€ sistemi qrafiki iisulla hall etrn€k mumkiindur, lakin
semereli deyil.
Deyigsnlerin
say tigd€n 9ox olan hallarda x6tti tefllikl€r
va
コ釦釦
鋤 ■ ■
MiSAL 2 3
↓﹁も
berab€rsizlikler sisteminin qrafiki tisulla helleri mumkiin deyil.
sistemini qrafiki i]sulla hell edin.
117
HeLLl. :q -& =0, ,xr +,xa =0, .ri +2r) =0 tenlikleri koordinat baglanlrendan kegan duz xetlorin tenlikloridir. Bu berabersiriklari ifade eden yanmmi.istevilsdn yalnz bir ortaq ndqteleri var.
Bu n6qte koordinat baglanglcldrr.
B€leliklo, verilmig sistomin halli
:lr
=0' & =0
olar.
24 +3.r, > 6l
I
M|SAL 2.4.
-,rr + -\2 < 2 |
sistemini qrafiki iisulla helt edin.
I
.q+q<3 J
HaLLl. 2{ + 3.v, = ( duz xattini quraq. .12 = 0 qebul etsek,
{ =3, ,\) =2 qebul etsek ,q =0 alanq. Belelikle, bu duz xetti
(3;0) va (0;2)
nOqteterine giire qurmaq olar. Birinci berabersiztiyin
han$ yanmmUstoviye aid olduounu muoyyenlasdirek.
Berabarsiy'ikde .xt =0,.l, =0 qebul etsek 0>6 alarrq. Bu ise
miimkun deyil. Demeli, koordinat baglanotcl axtanlan yanmmi.lstevi
ijzarinde yedegmsyib- '\ + .t2 = 2 dnz xettini quraq. .t, =0 olduqda .r, =2,
.\) = 0 olduqda rr = -2
alrnq.
Ye'ni dtz x6tt (0;2), (-2;0)
noqtelarindan kegir.
--rt +.r2
<2
x2
-Xr
berabersizliyini
Ll +x2=3
ifade edon yanmmi.lstevini tapaq.
'\=0, rz =0 qebul etssk
0 < 2 berabersizliyini alarrq. Bu,
dooru
borabersizlik oldugundan
koordinat baglanorq
+X2 =2
2i,
+
axtanlan
yanmmUstovide yedasir.
Eyni qayda
ile t
tenliyinin qrafi kini quraq.
118
+ ra = 3
IIIarr-l
8.
3a, =5
otsuqda h=3,
=0 oHuqda .ri =3 alanq. Belelikle,
^2
homin duz x6tt (0;3) ve (3;0) nthtol€rinden keg€n dtiz xsttdir.
.ri
=0
+.x2 <3 berabersizliyinde .,ti =0, .t) =0 yazsaq 0<3
do!ru borabersizliyini alanq. Demali, koordinat baglanltq axtanlan
yanmmajstovi tjzerindedir. Ye'ni dUz xotti koordinat ba$angs tarefe
gtrixlamak lazmdrr.
Belelikle, verilmig sistemin helli t€p€ nOqteleri ,{0; 2),
.\
B(0,5;2,5), C(3; 0) otan ABC ugbucaOdrr. Bu ugbucaOrn
ist6nil6n niiqtosi verilmig sistemin butun berabersizlikl€rini Crdeyir.
(gekil 8)
2,v +3,u <6)
I
MISAL 2.5.
- .\
.ri
+ .v2 < 2
+r, <3
I
I
sisteminin hellini tapn.
I
.j
HeLLl. Gdrunduyti kimi, verilmis
sistem yuxandak sistemdan yalnz
birinci berabersizlikl6 ferqlenir.
2ri +3q
S6
-rt
+12 =2
berabarsizliyi
09un koordinat baglanorcl axtanlan
yanmmUstevi Uzerindedir.
Belalikle, sistemin helli tep€
nosteled .4(0; 2) , C(3; 0) olan
agq goxbucaqhdrr. (S€kil 9)
IILК H」 9.
2xr+3xr<6
MisAL
2.6.
- x, + x, 2 2
r,
+ -rr
sistemini qrafiki iisulla hell edin.
23
119
HaLi GOrundo" klmi Ve‖
sistemdon
i,aresi
imi§
berabersizliklo● n
llo ferql● nir
Bu
sist€m yuxandak
bera‐
=2
bO画 2‖ klerln
ald
Oldugu
yammmOsttM!er "kl1 1● da
g6ste面 :mi"「
sOkildon go
(misal 2.5.)
―Xl+x2_2
rundO" kimi bu sistemin hel‖
yoxdur
Yo'ni tt ve ■2 deyisenlerl
u9un bl働 n berabersizlik!● 1 6deye
bilen qiymo旧 er
tapmaq mOmkOn
2xl
deyII
=II●
EH■ lo.
:V FOSLO AID YOXLAMA SUALLARl
l DOz xettln qralkini mlstevittzo‖ nde nece qurrnaq olar2
xetti tenlikler sisteminin he‖ inin yogane:iylni, he‖ n
2 1kide´
in olrnamasin: qralkl yo‖ a nece te'yln emek
sonsuz:uounu,
he‖
"n‖
oiar●
3α :鋤 +島場 +ι l≧ O
bOraberslJけ i hendesi me'nada ne, fade
ediρ
4 1kideyl"n‖ xetti berabersiz‖ kler sisteminin hel‖ hendosi mo'nada
nedir●
5 Borabersizllyin aid olduou yar,mmlstevl nece te'yin olunur?
6 Qabanq Ob!ast(9oXbucaql!)neye deyi:ir?
7 09deyl"n‖ 刈面
momkundurmo?
120
berabersizlikler sistemini qrafki usu‖
a he‖
etnek
MOSTOQ鶴
ど詰試
]瀞
°9° N Ⅳ
l AFgldaklten‖ k:er sisteminl qrankl●
FOSLЭ
su‖ a hell
ed:n
‥ム
tl讐
CAVAB:L=1,場
■
2鼻
11亀 ll}
[.ti=3-2α , 場 =α
=1]
,he‖ i sonsuzdurl
13 :li:t]:}
Ihd‖
2 AF91dak:berabersiz‖
yOXdu可
k:er sistemini qraflkl lsu‖
a
hdl edin
2p),ス 1■ ),C110)]
CAVAB:[バー
121
瓢夢♂
＋＋
“ ■
２
２
２
lhelli )oxdurl.
-.1i +.q <3
2.?.
\+x2>l
x, >0
.r4
>0
[,(o;r),r(o,rl,C(t;o),awz
o6aacm).
ｔｒｌ
ヽｌ
リ
２２
＞一
く一
場場
＋一
■ ■
４
２
５
２
＋一
腱朽
２
２
隊
“ ココ
九九場
lAlz;o1,o,ttrz o6wcml.
0;0),
122
{l,sJ),
{3,0)].
XETTI PROQRAMLA9URT'ANIN
ESASLARI.
V FESIL.
xeTTl PRoQRAMLA9DIRMA MaSaLeLsRl.
1. Xetti goqramlagdtrmanln
be,l moe€lderi.
iqtisadi!4yat, ptanlagdrrma, istehsatata bagtr
_
- I?tl ryoqr"rlagdrrma.
mesel€lerin
en serfuli hollini tapmaq zeruratinden yaranan yeni riyJi
fonndir.
Xetti programlagdtrmada
.berabersizlikler
(tenlikler)
baxlan mes€lelerin 9€rfleri x6tti
sistami geklinde, optimallq meivan ise
goxdeyigenli xotti tunksiya goklinde verilir. Bu heseldbr
Uciin esas
xaraKerik xususiyyot qaryftqh alaq€de olan f;aKorlar sistemirin
olmas, . g€rflerin .deqiq qoyulugu w optimalhq ," y"nn,n
mUeyyenleldirilmesidir.
Xetti proqramlagdrrmanrn agagdakr meselelerini
miimkundUr.
hell etnek
1. Resurslann optimal istifadesi.
2. Optimal mehsul istehsalt.
3. Optimal qangrq hazdanmae.
4. Avadanhorn guctinden optimal istifada edilmesi.
5. Materialtn optimal bigimi.
6. Pehriz mecelssi.
7. Neqliyyat meselosi.
8. Kompl€kt avadanlgrn optimal istehsah.
9. ekin sah€sinden optmal istifade olunmas.
10. Teyyarelerin aviaxellsr
meei ve s.
arasrda optimal b6li1$dajruL
2. Xetti proqramlatdtrma mgEelelerinin riyazi modelle,ri.
Xetti proqramlagdtrma m6selesinin riyazi modeli dedikde, bu me
t23
sel€nin gsrtlerini riyazi forma geklinde yazmaq, hamin meselede
igtirak €den d6yit6nler arasrnda riyazi asrhlq nazordo tutulur.
Riyazi modeli tertib elm6k Ugiin awdc€ hell edilen mesolenin
mahiyyetini aydrnlagdrrmaq lazmdrr. Riyazi model iimumi, h€rf,
ifadeler geklinde tartib edilir.
Xatli proqramlasdrrma meselesinin riyazi modeli xetti tenlikler ve
ya xetti berabersizlikler geklinde verilan sistemlerin, meMudiyyotlerin
va xetti funksiyanrn (formanrn) tertib edilmesinden ibaretdir.
Meselenin riyazi modeli tertib edildikden sonra onun helli yollan,
metodikasl mUeyy6nla$dirilir.
2.1. Xammahn optimal istifade edilmesi mes€l€sinin
riyazi modeliMiiossis€d€ miieyyon miqdarda ,n n6v xammal var- Bu xammalnov mehsul istehsal odilmelidir.Her vahid mshsul iigun
(butiln mehsul novlori nozard€ tutulur) her xammaldan ne qsdar t6leb
olundugu me'lumdur. lstehsal edil€n vahid mehsulun satrgrndan 6lde
edilen gelir de me'lumdur.
Musssiso mohsul istehsatnr nocs taskil etmolidir ki,old● ed‖ on
gelir maksimum olsun.
Meselenin riyazi mod€lini quraq. Bunun ii90n a,agidaki ,ertl
lardan
fl
igaraleri qebul edek.
zr - xammahn rKiviiniin sayr.
r' - xammalrn ndvunun n6mresi (i = 1,2,.,.,m)
/, - istehsal edilon mehsulun sayrnrn miqdan.
Jt - mehsul nowniin n6mr66i.
b, -
miiessisenin
ar- /
c
i
nomreli xammatnrn miqdan.
nomreli vahid m€hsulun hazrrlanmasr ii90n
i
nomreli
xammaftn miqdan.
nomrcli vahki mahsulun saugrnda elde edilen gelir.
j- j
.Tj
- istehsal edilen
,l
nomroli mehsulun miqdan.
Riyazi modeli Umumi iekildo ifad6 edek.
124
.
Atkardrr ki, I n6v mehsulun ist€hsah ugiin serf olunan I niiv
xammdm miqdan al I ' }l , ikinci n6v mghsulun istehsah u90n
atz. xr, n-d rl6v mohsulun istehsah tlliin aro'xnolat.
Onda biltiin novlerden olan mehsullann istehsah U9iin
olunan I rl(iv xammahn miqdart
xr + cln' x2 +
at'
...+ atn'
teleb
x,t
olar.
I
n6v xammahn
Ayrndrndrr ki, bu miqdar, muessis€de olan
miqdanndan gox ola bilmez. Ona 96ro da birinci meMudiyyet bele
yazir:
at.
)ct +
ar2'x2 +...+ Ltn' xn 3 br,
Eyni qayda ilo ll n6v xammal UgUn
at. \
m
+
arz'x2 +...+ at,t'xn 1bz,
nomreli xammal USiin
Ad
'
\
+ An2' X2 +
aInq.
Belelikle, t? doyigendan ve
...+
Ctn
t' X, a b^
m
berabercizliklerden ibaret sistem -
+...+arn'\ < 4
mohdudiyy60€r ahnq.
\
azt. \
+aD.
x2
+ a22.
4 +...+
A2,r.
a 11. \
I
\ +,'.+
Arnn' Xn 3 brn
afi-
.\
,
&
,..
brr2.
X, 3
bZ
(1)
., .t',, deyigenleri iqtisadi mahiyyat dagdrolanndan monfi
qiymot ala bilm€zlar. Demoli,
x,
olmaldrr.
>0, (i =1,2,...,n)
Xetti funksiyanr (formanl) qumaq
iifiin
(2)
masolenin gertinden
istifada edek.
125
I n6v mehsulun realizs
rr
,t , ll nOv
-ci n6v UgUn c, . .q olar. Onda mtioasis€nin butun
mehsulun realiza €dilmesinden elde etdiyi gelir
-
Ugiin c2
J$2
,
edilmasinden allnan gelir
,r
-f =
ct.xr+C2.\ +...+Cn.:Cn
(3)
olar.
Magelenin gortine g6re gelirin maksimum olmas toleb olunur.
D€meli, m€selenin helli (3) xetti tunksiyasnrn (brmasrnn) (1), (2)
gertbdni Odeyen maksimum qiymetinin taptlmastna g€tirilir.
Belelikle, (1), (2) ve (3) Frueri vedlmig mos€tonin dyazi modoti
olur.
2.2. akin sahesinin en serfeli istifade olunmasr
meselesi.
m n6v bitkinin her bir nirvij Ugiln mii€yy€n ekin sahesi ayrrlmrgdrr.
Her hektardan g@turubn (buffin n6v bifldler irgiin) mehsulun miqdan
me'lumdur. Her n<iv bitkiden miieyyan miqdarda istehsal etmek teleb
olundugunu ve her senher mehsuldan (bUtUn niivl€r Uzre) mUeyyen
q6d€r gelk g6torulduytinu nazere altnq. Hor nov bitki Ugtin no qod6r
okin sahesi ayrmaq lazmdrr ki, alde edilen Umumi gelir maksimum
olsun.
$erti igarelori gebul edekrn -bitki n6v0nun
say.
i -bitki nOvUnUn n6mresi (i =
1,2,
...
,m\
.
,r - torpag sah€larinin sayl.
rr -
6r
toeaq sahesinin nomr6si.
-i
ar,
-
ndmreli bitki tigun aynlan ekin sahesinin miqdan (heharla).
,f
n6mreli sahonin her hektardan gdtiirulan
i
bitkinin miqdan.
rl6v bitkiden tel€b olunan mehsulun miqdan.
c;
n<tmreli
-i
d, - i n0v bitkinin h€r senherinden alde edilen gelir.
.Ij - i nomroli bitki tlgun aynlmtg / nomreli tcrpaq sahasanin
miqdan.
126
Agkardrr ki, I n6v bitki il$in butiln ekin sahel€tinde aynlmE torpaq
sahasi
+ ,62 +...+.q,
=4
{t
olar.
lkinci rxtv bitki
iidin
ht +
xzz +
...+
x2n = b2,
,n -ci nOv bitki u(Xin
x6
olar.
B€lelikl€,
I
xrL
+...+
xrr, =
$-
aiaodak teolikl€r sistemini alanq鋤1+■ 2+・ …+■
"=bl
場 :+｀ 2+・ ¨+場 ″―ら2
1+に、2+・ ¨+｀雨
=b"
'卜
Bir n6mroli sahedon g6tu戯 len bir nomreli bluKl mehsulunun
miqda口 αll・ ■1,iki nomreli sahedon"地山den mehsul a12・ ■2'″
nomreli sahedon"鮨由!en mehsui α ・五
"oiar Onda buttn ettn
d mehsulunun m:qdan
lヵ
sahdon 02re bir ttmreli b‖
all・
■ 1+α 12・ ■2+・ ¨+α レ・着
"
o!ar
Ayd:nd:r kl, bu m!qdar bir nomreli bitkl 19un tel●
b olunan
mlqdardan az ola b‖ me2 0na gOre do
olar
α11・ ■1+α 12・ ■2+・ ¨+α l"・朽
"≧
`1
Eyni qayda ilo ikl nomreli b蘭 09ttn
a21・
毛1+α 22・毛2+・ ¨+α 2"・ ■2"≧
″ nomre‖ bletl l"n
`2
127
t7m2+・ ¨+α ttu・為
α
場 1+α
"2・
"・
olar.
≧ε
"
Belelikla
k12+・ ¨+α l″ ・肴
αll・ .rll+α 12・・
"≧
α21・｀ 1+α 22・
''2+・
¨+α 2“ ・場
`1
"≧ `2
(2)
α7711・為 1+α ″2・場 2+・ …+α ル・,稀 ≧ ら
alrnq.
Agkardtr ki,
>-0, (i =l'2,...,m, i =1,2,"',n)
\
(3)
olmaldtr.
Bir n6mreli bitki mahsulunun sahglndan oldo edilsn gelir
d, '(d,, ' .ri, * atz' \z+... + a,,, ' .r,o),
rn n6mreli bitki m€hsulunun satrglndan elde edilen galir
d. '(o^t'
xmr
+ amz' x,,2
+..-+
cln
t'
x,,n)
olar.
Onda buuin bitki mehsullarrntn sahglndan eld€. edilen gelir
f = dr.(at. \t
+
dr.(a2y.
+
d.
kr
.(a^1 .
+
arz.:li2 +... + arn '.tr,,)
l azz ' x2z +...+ ax,t '&, )+... +
xrnt
+ an2 '
**
+
...+ o-rr' x.n)
(4)
哺欅淵蝉:鶉響蠍lfTT° :
割
128
erlndOn ibaret olur
2.3. Tayyarelerin ayia xotlor arasrnda biilUgd0r0lmesi.
muxtolif tipli tayyareleri n sayda avia xetlar arasrnda
ktliigdiirumek lazmdtr. Har bir tipden olan teyyarelenn miqdan, bir
m
tayyare ile (hor tipd€n) bir ayda dagtnmalann miqdan, avia xetler Uzre
bir teyyar€nin istismanna gakilon xercler ve her bir avia xett iizre teleb
olunan dagnmanrn miqdan m€'lumdur. Teyyareleri avia xetler
arasrnda ele b6l0gdUrmek lazmdrr ki, qakilen istismar xercleri minimal
olsun.
$arti igareleri qobul ed6k,
m - teyyara tiplerinin saY.
i - teyyare tipinin ndmrasi (i=1,2,...,m).
n - avia xe0erin miqdan.
7 - avia xettin niimresi.
6,
-i
tipli teyyarelodn miqdan.
aii- j
crd;
-
d1i-
nomreli avia xatte aynlan
ayda dagrmalanntn miqdan.
nomrali avia xotto aynlan
/
i tidi teyyarelerin
i
h6r birinin bir
tipli teyyarelerin h€r birino
gekilen xerdar.
7 nomreli avia xstt tig.ln teleb olunan da$nmalarrn miqdan.
j
nOmreli avia xette aynlan
Bu i$arale
i
tidi toyyarelerin say.
mesalenin g€rtine gore nazero alsaq
I
tip
teyyaralerden bu(in aviaxafler ozra aynlan teyyarelerin migdan
.tll * .Iz * ... * tr,
olar.
lg,kardrr ki, bu cem I tip to)ryarelerin Umumi saylndan gox ola
bilmez. Y6'ni
lr r + .t: +...+ .\, < 4
olmaftdrr.
ll tip teyyarelordon butiin avia xodare aynlan toyyarolorin miqdan
Ugln
ht+xlz+.,.+xrn<b2,
,r- ci tip teyyarelerden bUtiin aviaxetere
aynlan tayyarelerin
miqdart
129
勒 +場 2+・ ¨+為がら
,
o!ar
Bel● lik:o,
綺 1+■ 2+・・・+■ ″≦ら
1
r21+あ 2+・ …+均
‐
"≦
b2
(1)
・+、翻 ≦嶋
場 Л+場 2+・・
sistemini alar|q.
I avia xette aynlan I tip toyyarelorin dagrmalan al r . .rl I , ll tip
teyyarslerin dagrmalan azr - xzr, m- d lip tayyarelerin dagmalan
dmt-xmt olar. Onda I avia x6tt butiin Uplord€n olan teyyarslerin
dagrmalan
at.
a\t + a2t.
)c2t
+...+ ahrt.
xml
olar.
Agkardrr ki, bu cem I avia xatt aidjn teleb olunan daglmalann
miqdanndan az ola bilmez. Ye'ni
at. 4t + a2t. x2t +,.. + ad, x^, 2 dr.
Eyni qayda ile ll n6v xett ug{in
aD . 42 +
n
a22
.
x22
+
...+ an2 . x^'
2.
d'
n6mreli avia xett iigun
Ay'
\r I A2o ' x2n + ...+ ann' x-n2 dn
olar.
Belelikla,
αll・ ■1+α 21・ ■1+・ ¨+α ″
′
,1・場ll≧
l
α12・・
■
・+α ″2・コ
i2+α 22・範2+・・
%2≧ ″2
(2)
rl"+α 2″・
r2"+・ ¨+α .71i■
″
・
・
レ・
"
“
"ll≧
130
slstemini alinq
iqtsadi noqteyI― ne20rdOn
場
≧ 0,(J=1,2,...,″
'
ブ =1,2,¨
.,″
)
(3)
olmalld『
rc`‖ ・.Yll, ‖ avia
:avla xette ayr‖ an!lp teyyarelere 9oklien x●
xette aynlan l tlp teyyarelere 90kilon xerc r12・
ayr:lan i bp teyyarelere 9oklion xerc ri″ ・.tl"Olar
Onda bO譴 n avla xoter 02re l薔 p
″ d avia xette
'12'
teyyarelere 90kl:● n xerc
ιl:・ ■1+ι 12・ ■2+・ …+ε レ・■
"
olar
Eyni qayda‖ o bOtun avla xoJer ozre‖ lp teyyarolere 9okl:on xerc
C21・・Y21+で 22・あ 2+・ … +ι 2"・あ
″ _d up teyyareler O"n9okl:On xerc
r″ 1・
"'
り
翡・X_
%1+r″ 2・西m2+・ ¨+ε ′
olar
Onda bl籠 n teyyarelenn istsrnanna 9okl:en xorc
/=`11・ ■1+r12・ ■2+・ ¨+`1"・ .rl″ +ε 21・場1+
+r22・
務1+`″ 2・場2+
場2+・ ¨+`2"・ :ち "+・ ¨+C"1・ ■
+.… +`.″
olar
"・
ヽ
m
(4)
舅
淵認F:謝島瞥驚ξ
IR糧
:r)01(″
9酬
曇急面
3 Xettl proqramla゛ imlan:n esas meselesI
Ferz edok ki,bizO″
t ten:ikl● rdon
ve F deyllonierdon ibaret
αll・ .i+α
場
+・
…+α :″・xll=ら
α21・ ■ +α 22・均
+・
…+α 22・場 =わ 2
.●
"・
ad. \+
am2.
1
\ +...+arur. x, = b_
sistemi ve
J' =
ct'.\
+ c2. x2 +.,.+cn.
xn
e)
xetti formasl verilmigdir.
(1) sisteminin 6le
.r,>0, "t>0,...,
.t,>0
(3)
mtisbat hollini tapmaq teleb olunur ki, ,f xatti furmasr minimum
(maksimum) qiymet alstn.
Bu meselg xetti proqramlagdrrmantn esas mas€losi adlantr.
Xetti tenliklerden ibar6t olan sistem, kanonik gokilli sistem adlanrr.
eger sistem
α:1・ ■ +α 12・・
F2+・ ¨+α レヽ
"≦
a劉・■ +α 22・
bl
範 +・ …+α 2"・ L≦ 場
14)
oni.
\ I
antz , x2 +
...+ ahn. tn 3 bo,
berabersizlikler sistema pklinde vedlmigs€, bu sistemi kanonik gekla
gstirmek Ugiin birinci berabersizliyin sol terefine musbat ,r,+l , ikinci
berabersizliyin sol torefine xnr2,
m- ci berabersizliyin sol
.rn+,, deyigenlerini olave etmek laamdtr.
gger sistem
132
terefina
αH・ ■ +α 12・毛
+・
…+α l″ 場 ≧bl
α21・・ti+α 22・範
+・
…+α 2″ 場 ≧b2
(5)
α
"1・
■ +α ″2・場
+・・
・+α
"・
場 ≧ら
beraborsizliklor sistemi geklinde verilmigs€,
onu kanonik t6kle
gstirmok iiciin birinoi berabErsizliyin sol ter€finden musb€t Jfr+r, ikinci
borabersidiyin
sol
teref
,
nden \+t
m
- ci
barabarsizliyin sol
t6r6findan .T,*- deyigenlerini gxmaq lazmdlr.
Minimumluq m€6€le6i ile maksimumluq m€sel€si arasmda
mueyyen elaqe var:
min/= - max(-,f)
V FOSLO AID YOXLAMA SUALLARI
l Xettl proqramiasdirmanin predmet nedon ibaretdir●
2 Xoti proqramia“ :rnanin meselesi hans:lardir7
3 Xettl proqramia"lrma meselesinin“ ya21 mOde‖ neye deyIliρ
4X調 PЮ qramia"「 manin esas meselesi nedir2
5 Sistemin kanonik formasl neyo dey‖
ir?
6 8erabersizlikler slstemini kanonik,okle nec●
MOSTЭ Q鶴
9etFnek O!ar?
U。 N V FOSLЭ
ぎ3健健尾肥8警・
1 09nov И, 3, C okskvatoran o9 nOv torpaq i,i gorulor i,!●
hecrni
uygun
olaraq
30000,
10000,
Ekskvatodar,n heri,uzre l,noFnalarl cedvelde vo■
25000″
lm:輌 ir
"n
3_dur
ekskvatorlar
￨●
A
B
C
￨
105
107
64
￨￨
54
66
38
56
83
53
novu
iglori ekskvatorlar araslnda ela kilugdurmek lazmdlr ki, gorulen
iglere gekilen xarclor minimal olsun. Meselenin riyazi modelini qurun.
﹁﹁Ｊ
月ｌν
く一
く一
く一
﹄﹄Ｌｉ
ｎ
＋＋＋雨
物場場叩
ｎ
＋＋＋ｑ
ｍ
ｕ
＝
ｍ
︲
¨
134
Ⅵ
FOSiL
XOTTiPRⅧ
M°S°LaOR!MN
寵湿躙
l.Qrallk asu:
Ferz edok ki, iki
、
ve
ヽ de,oOnl● nnden ibaret ″ xettl
berabersizllkler sistemi
α
0
ll・ヽ+α 12・ぬ+ら ≧
α
0
21・ ■+α 22・場+ち ≧
Qni.\+an2.rh+bn >0
Ve
●‘
/=ι l・ i+`2・場
.・
xOnぉ masl venimi"「
(1)slSteminin el●
mOsbet
ヽ ≧0, 場 ≧0
he‖ ni tapmaq telob olunur ki,ノ
(3)
Xetti brmasl minimum(makSimum)
qlymet alsin
135
Belelikle, xetti proqramlagdlrma mesolesini qrafiki usulla hell
€tmok Ugun:
1. Verilmig xotti b€raborsizlikler sisteminin hallar oblastnl
taplrrq.
Bunun uCUn sistemi teskil sdsn b$abersizliklsrin qrafikleri qurulur (bu
berabersizliklarin aid olduqlan yanmmusteviler mU€yyenl6gdirilir).
2. Heller oblastrnrn (qabanq goxbucaqtntn) tepa n6qtelerinin koordina an muoyyanletdirilir.
3. Xetti formantn goxbucaqllnln buttin tep€ noqtelerindoka qiymotlari
h€sablanrr v€ bu qiymetlorden an b6yiiyu vo ya €n kigil segilir. Bu,
maksimum ve ya minimum qiymetler meselonin optimal holli
h€sab edilir.
Ele hallar ola bilar ki, xotti forma 62 maksimum ve ya minimum
qiymetini goxbucaqhnrn bir top€ no'qtesinde deyil, bir tersfinin.istanilan
n5qtasinOe atrr. Bu, o zaman ba9 verir ki, xatti formantn qrafiki qabanq
goxbucaqhnrn tereflarinden birino paralel olur.
5.■
l+3均 ≦15
2.ti+6場 ≦12
2■ 2≦
MiSAL l l_
2■
■
4
≦6
f
-- 2x,
+3x,
verilmigdir.
≧0
場 ≧0
Xottiformanin mak● mum qlymo“ ni tap:n Moseleni
qralki usu‖ a he‖ edin
HeLLl. Verilmig sistemin h€ller oblastnr tapaq. Bunun iidin beraber-
sizlikledn aid olduou yanmmustevileri muayyenlegdirek.
5.ri + 3.r, = 15 diiz xettini quraq.
.q
=0
olduqda
Belelikla, d0z xett
2x,, +
136
h--5, \ =0 olduqda '1 =3 alarrq.
(0; 5), (3; 0) n6qtolerinden keg€n duz xstdir.
6x, = 12 diiz
xettini quraq.
.rl
=0
=2, .ri
(6; 0)
olduqda .r2
xetr (0; 2),
= 0 olduqda .\t =
6 alnq.
D€meli, duz
r2
n6qtslarindan kegir.
2*r=q' \=2
dtz x€ttini, 2q = 0
1r =3 dilz xsttini, rzl
li =0, .t=0 duz
,
2xr+6t 2=l:l
xettlarini qurub onlara
u)rgun berab€rsiriklerin
aid old4u
yanmmustevilari miieyyenle*
direk. Verilmig sistemin
hallori
oblastlnln
0l8Coqabanq
xr=3
IUatur
1
+8x"=
15
11.
goxbu-
caqlsnrn olduounu
Bu
g6r0ri1k.
goxbucaqhnrn
tepa ndqtolerinin
koordinatlannr tapaq.
Aekardrr
ki, 0(0; 0), 4Q' 2), C(3; 0) otar. B
tepe
niiqtesinin koordinatlannr tapmaq Ugun 5,\ +3& = 15 ve
2x, + 6x, = l2 tentkbrini birge hall efnek lazmdrr.
ｔｒｉ
ヽｌ
リ
５２
一
〓
一
２
めヽ
３６
＋＋
５
■ ■
l})
{z};
Verilmig xotti formanln tepe ndqtelorindeki qiymetlerini
Burada :q
=r1, ,=t|
arrnc.
vam
"r*
tapaq.
=2.0+3.0=0. [..t=2.0+3.2=6. fa=z
fc =2'6+3'O=6 atn.q.
fo
].t l=1,
137
B€ldiHe, xetti tunksiyanln maksimum qiyrn€ti -Yl
=Zl'
4'4,r=l
1
olduqda
fo,, = 8i
2鉤
-e berauerait'
+4場
≦6
3朽
MiSAL l_2
≦8
5朽
≦5
f=q+2x2verilmildir.
≧0
■
■2≧ 0
ん藤
HOLL1
2■ +4均 =8 d● z
xdmni quraq
。iduqda
ヽ =0
場
=?
■
=2,
=0。lduqda.tl=4 ahnq
Demeli, d02 Xett (0;2),
(4;0)n6qtelonnden ke91r
3■
場
=6, .rl=2, 5■ =5,
=1, 鋤 =0, 場 =Od。 2
xo薔 erlni
sistemin
quttq,
he‖
0百
venlmi9
Oblasti
oИ BC0 9oxbucaqhsinl
alarlq Bu 9oxbucaqlin:n tope
lllarra
n6qtelen 4Q l),a21), αa o)da「
12.
xettl fOrmamn homh
n"tel● nndekl qlymetle‖ nitapaq
/。
138
=0+2・ 0=0,ん =0+2・ 1=2,/a=2+2・ 1=4,
fc =2+2'0 = 2
almq. B€lelikle, alrnq ki, xotti fiorma oziiniln
maksimum qiymetini 42; 1) noqtesinde ahr ve bu qiymet l.* = 4
olar.
Demali, verilmig mosol€nin optimal helli -r, =
.4*'. = 4
2, -t = I olduqaa
olar.
44+34
<12
74+5x2335
MISAL
1.3.
2.t
f = 8\
s6
+ 6xz verilmigdir.
3t4 <15
-t >0, ra >o
HeLLi. 4'ri +3x, =l) duz xettini quraq'
,ri =0 olduqda \=4,
\ =0 olduqda t =3 ahnq Ye'ni bu
dilz xett (0; 4) ve (3; 0) n6qtelerinden kegir.
7 4 + 5x, = 35 doz xettini quraq.
.\ =0
olduqda,
bu diiz xett
\ =7,
x2
=0
olduqda rr
=5
ahnq Belelikle'
(0; 7) ve (5; 0) noqtalorinden kegir.
2Jr=6, rr=3, 3.t--15, \=5,
.\=0, -rz=0dtiz
xetlerini quraq.
Gijrunduyu kimi vorilmil sist€min hell€r oblast
Aolrdir. ($€kil
'r3). Tepo niiqt6lerinin (0; 0), 40; $, {3; 0) oldugunu
nezgre alsaq
,fo
=8'0+6.0=
0, f,r=8'0+6'4=24, -fa=8'3+6'0=24
ahnq.
Gorundiryii kimi, xetti fiorma maksimum qiymetini ,4d0; 4) ve
xetti tunksiyasnn
^q3; 0) n6qtelerinde ahr. Lakin "f = 8\ + 6xz
139
4.r'i +3x, = lf
duz xettine paralel olduOundan 1./=!4 q65r;
qraf,ki
etsek,
8.\i
+6&
= 24,
4.1 + 3q = 12 duz xBr
tini alanq) xetti
lB
forma
parQasrnrn har bir
nOqt6sind6 oziinajn maksimum qiymatinl ahr.
Belelikle, vorilmig m€-
7r1 +54
2
=$g
selonin h€tti 4A, q,
{.}
0) n6qtelerini birteg-
i+Bx,
diren diiz xaltin her bir
n6gt6sind6 xotti formanrn aldEt Joo, = 24
lllaxrr
=12
1E.
olar.
4
.
x, + 2tc, >9
7_ri +
.ri >7
f
MISAL 1.4.
3.r, >3
Jcl >
HeLLi. 4.q
+2x, =)
0,.ri >0
duz x6ttini quraq.
-ll
.\j = 0 olduqda, .rl = 4,
meti, bu duz xott
7xt+a=7
1,10
.q
= 0 olduqda x,
t \
L
2) ttttoJ
[0, o ]-)
\
= 2x, + 3x, verilmigdir.
-
diiz xettni quraq.
=2i
atanq. De-
noqtalerind€nk€gir'
.■
l=O olduqda,■ =7,■ =O olduqda■ l=l ah口 q Demo‖
(1:0),(Q7)n● qtel● nndon keor
3:、ゥ=3,
均 =1, ti=0, 範 =O d02 Xtterini
bu d● z xo■
qursaq
verilmig sistomin hel-
l€r
oblashnr alanq.
$ekildsn (S6kil 14)
g6riindiiyii kimi bu
7■ 1,■
oblast agrq oblastdrr.
Bu oblastrn tep6
n6qt6leri B ve C-dir.
Bu noqtalerin koordi-
2=7
r:=1
natlannr tapaq.
B
noqtssinin koor-
dinatlannr tapmaq
ugun 4.1j + 2t., = Q
Xl
4XJ+2■ 2=9
=7 tenliklarini birga hall
va 7.1i +.1)
1lLК ョ■ 14.
etrnak laamdrr.
4.ri+2.u=91
7xr+xr=l
I
)
Buradan tl=:, .■ 2=3:taplnq Yolniく
::3:)。
lar
C noqtesinin koordina‖ ann,tapmaq 09un 4.li+2χ ぅ=9
範 =l ten“ klenni birge heli etmek lazlmd『
ヽ封
:,曰
海
面
山
「
(争う
ven!m:,xen ttnkslyan:n tepe nbqtele‖ ndokl qり md晨痛nitapaq
ん =2・
:+3・
3:=11:
141
,
/c_=2・ 1:+3・
cOrund6" klmi X酬 [ forrna
め。
訥
くう
6■
4.■
M:SAL 1 5
2
●2unOn
minimum qiymetini
r"bu q:卿 d/_=6:d旺
q鷹 i劇
1キ
1=61
+6場 ≧36
l+8,っ ≧32
≧2
2■
f
= 3xt +
4xz
verilmigdir-
■ ≧0,均 ≧0
塩
=?
HeLLi. 6.1 + 612 =36 daiz xottini quraqrr=0 olduqda, r:=6, rz=0 olduqda
xett
.\ =6
ainq. Diiz
(6; 0) ve (0; 6) ndqtelerindon kegir.
4.ri + 8-q = 32 dtiz xeftini quraq.
{ =0, & =4, \ =0, -rj =8,(8; 0), (0; 4) atmq.
2l=2, -I =1, .ri =0, .T: =0diiz xe0erini qursaq verilmig
sistemin helleri oblastnr tapanq.
g6kil 1$den g6rtlndtiyii kimi bu oblast trape n6qlabn A, B ve C
olan agq oblastdtr.
noqtesinin k@rdinatlannr tapmaq u90n 6.x, + 6-q = 36 ve
I
it = I tenlaklerini birge hell etnak laamdlr. onda q = I
alanq. Demeli, {l; 5) olar.
-B
n6qtesinin koordinaUannr tapmaq ugtin
4.x, +
142
8.li = 32
ve
"rz
=5
6x,+6x, =36
tenliklerini birge hall etmak lazrmdrr.
ve
6.\ +6&
= 361
a.1 + S.r., = 32J
Buradan
\=4, \=2
OXl+●
・
alrnq. Demeli,
q4; 2) olar.
C
2 35
n6qtesinin
koordinadannr
tapmaq
Ugiin
4rt +8r, = 32
ve
.r2
=0
larini birgts
etmek
Onda
rr =1
tenlik-
IIIaxEr
hell
15.
laamdlr.
C(8t 0)
alanq.
Xatti iormantn hemin noqtolorindeki qiymefl arini h€sablayaq.
f ,t =3'l+ 4'5 = 23 '
"fs=3'4+4'2=20,
fc = 2'8+ 4'0 = 24 '
Belelikle, alrnq ki, xetti funksiya 62 minimum qiymetini
n6gt6inde
&4;
2)
alrr.
D€meli, meselenin optjmal holli
oduqda
\=4' \=2
.f*a -20
olar.
2. Simdeks - iisul.
Simploks - Usulun €saslan amerika riyaziyyatgst C. Dantsiq
tor€find€n 1949cu ilde verilmigdir. lkitilgiilu bzada simpl€ksa
.rr+& =1, ri >0, .U>0
ugbucagr,
ot{rldrlu
[ezada,
+rt =1, ,\i >0, x2>0, 4 >0 tetraedri,
6l9i]lu lazada simplekse
iimumiyyaue, n
simplekse jq +.r2
-!-
).f
I, ri > 0, & 2 0, ... .r; 2 0 sistemi uyoun g6lir.
Usulun adr xtisusi bir simpleks mesalesinin hellindan
=
gOtUrailmUSdilr.
Simpleks - Uculun asas ideyasrnr agaQdakr misalla aydrnlagdrraq:
= 3-y +2tz xotti formastnln
"f
12:q +
I
I
I
-r,
[q
x, s12
+;c, < 7
+ 3.r, <
(1)
l5
sistemini ddeyan maksimum qiyrnetini taptn.
Verilmig sistemi kanonik gekle getirak, bunun ug{n
berabersizliklere uyoun olaraq musbet iti , r.r , & doyigenlerini
elava €dek
=12
+xs =15
.t ,
,
］↑］
dsyig€nler vasitosile ifad6 edek.
一
一
一
７５
２ 144
わいれ
.r5 dayigonlerini bazis doyigenlari kimi qebul €dek.
Onda .q ve .t2 ssrbest deyigenler olar. Bazis deyigenlori serbest
.t4
(2)
Xatti forma
/
hemin ssrbast d€yigonlorl€ ifado olunmugdur, Birinci
-q ve :, serbast doyigenlarla slir
.t =12, xt =7, \ =15 ala q.
Belalikle, birinci bazis hett (0; 0; 12; 7; 15) otar.
Xatti funksiyanln bu hella uygun qiymeti jf = 0 olar.
Agkardrr ki, ,f = 0 qiymeti, xatti formantn maksimum qiymoti
bazis hslli tapaq. Bunun ilgiin
qiymetlari verak. Onda
doyil. Xafti formanrn daha b6yiik qiymaua ni tapmaq UgUn
.ri v€
.rr2
d€yigonlorinin qiymatlorini artlrmaq laztmdlr. Ooorudan da .rl
dayisenina (eloca da -li deyiSsnina) ne qader kiyijk qiymeflor
versek, x6tti forma Ugrin bir o q6der Hiyuk qiymot alarrq. Lakin x,
dayiseni istonilen q€der bdyiida bitmerik, gunki hamin dayigenin
mueyyen qiymatinden sonra li , a; , x5 deyiganleri manfi qiyrnet
ala bilsrlsr. Bu iso, xetti proqramlagdtrma maselelerinin gortino zidd
olardr. Demeli, .! deyigenina yalnz o qiymederi vermek olar ki,
.ri , ,+ , .1 deyiganleri (-q = 0 Sertr helolik quw€dedir) sfir va
ya mosbet qiymetler alstn.
(21 sisteminden g6riindi.iyii kimi .t = 0 olmasr
-vr =6, .ro =0 olmasr iigiin x1 --7, xr=Q olmas
-\ = l5 olmaldrr.
iigun
iigUn
Demeli, (2) sisteminin birinci tanliyindo .ri = 6 milmkiin olan
qiymetini vermekl€ ( .tz = 0 ), ,tr deyiganin bazis d€yigsndan sorbest
deyigano
(,vj = 0 ) geviririk.
Belelikla, ahrrq
ki,
.r.i
,
.r4
, .y5 bazis, .v, , -1, sarbast
dayigonlor olur. Onda bazis delganleri yeni serbost d6yigenlorla ifade
etmek laztmdtr. Bunun U90n
.ri
dayiganini (2) sisteminin birinci
tenliyind6n taprb, qalan tanliklerde yerine yazaq. Onda alanq.
145
一
一
場九
嗣封
一一
一
一
一
２場一
２
２め一
為一
Buradan
+;
二
`=1-券
ヽ
(3)
=9-子 +=
olar.
/
xetti formasrnt da yeni serbost deyigenlerlo ifada etmok
laamdrr.
'r=t.(el. -!z-L)*2.'.
2 2) ' =l8+'t)2 -3^i2
lkinci bazis
helli
Onda (3}dan .1 =
6,
Belelikle, ikinci hell
tapmaq ugiin -q =
xr = l,
.t
(6; 0; 0;
Q,
Jc3
=
0
qebul ed€k.
9 alanq.
1; 9) olar.
=
xottiformanrn bu bazis helle uyoun gelen qiymati ,/ = 18 olar.
Xatti formanrn
f = f S**-*
-22
ifadesinden goruntir ki, onun
qiymatini artrmaq 090n .r2 deyig€ninin qiymetini artrmaq
somerElidir, lakin
.q
doyigeninin qiymetinin artlnlmasl xetti formanln
qiymetini azaldrr. Ona 9610
ds "t = 0
qiymetini saxlayrb r2
d€yigoninin qiymotini artrmaoa gahgaq.
(3) sisteminin ikinci tenliyinden ,r2 doyig€nini tapaq va bu qiymeti
qalan tenliklarde Yerine Yazaq146
場
=2+ら -2れ
.ti=6-:12+場 -2■ 4) 券
ち
=9-:12+x3 2● 4)
/=18+12+、
-2.■ 4)
1争
L
一＋＋
れれれ
Buradan
・
f4)
f=19-\-xt
aInq.
Goriindiiyu kimi burada
\ ,
.\1
,
(5; 2: 0;
xj v6 x4
serbest defgenler,
:t6 deyigenleri bazis defgenlerdir. Onda yeni bazis hefl
0; 4) olar.
Xetti formantn bu bazis h6lle uyOun gelen qiymeti
-f =19 olar.
Xetti funksiyanrn J- = 19 - n - .r, ifadesinden gorunur ki, ra v€
.r4 deyiganlerinin h€r hans birinin qiymetinin artnlmas xetti
funksiyantn azalmagna sebeb olar. Ona gore da ahnq ki, axtnnct
bazis hall optimal h6lldir.
Belalikle, verilmig m€€olenin optimal helli x, = J , y^ = 2
olduqda /-,* = 19 olar.
Hemin misalt simpleks - Usulla hell edek.
Simpleks - Usul ayn-ayn addrmlardan ibaratdir. Bu addrmlarr
hemin misal aizerind€ g6st€r€k.
Biinci addtm. Verilmig xetti barabarsizlikler sist€mi kanonik tekle
getirilir ve x6ttiforma
beraberliyin o biri terefine kegirilir.
/
147
＋
為
¨一れ
、
ｒｉｌｌ
りヽ１１１
=12
*.{l
+
=7
.r5
= 15
-.f+3xt+24=O
ikinci addm. Birinci simpleks - cedvel tartib edilir' Simpleks
ced;"i, n.i hanst bir c€dvel kimi bagfiqlardan, satir vo..sutunlardan
il-uLtolr. C"ar"fin birinci baglEr "Bazis", ikinci baglrgr "Dsyilenlef"
iiciincti baslqr "sarbest hodled' adlanlr' Cedvelde satirlenn sayl
i'*"f.a"Ni""nf
,Xl€rin (x€tti fiorma da daxil olmaqla) saylna berabardir'
ise dayiganlerin sayrndan iki vahid gox olur' codvalin
eks
xanalannda bazis dsyigonler va xetti forma
blrind
"i:trnunun
isa€ ilg
vazthr. Axnno siitunun xanalanna isa biitiin tonliklerdeki
yaztltr. qalan sutunlarln xanalan tenliklardeki
"'Jri."r
doldurulur'
amsallarrndan
davisanlarin
'Verilmig mesele ijgun ikinci addlml ataq'
f,+
'rs dsyigonlerini
Bazis deyigenlepr kimi alave edilmig 'ri
qebul edek. Onda birinci simpleks - codvel agaodak kimi olar'
3;Gt-ail
";rt
,f
itJr".
,
,
yiganler
Serbest
Bazis
→
巧
ヽ
ら
―/
ヽ
L
お
2
1
1
0
0
12
1
1
0
1
0
7
1
3
0
0
1
15
3
2
0
0
0
0
↑
plan adlantr'
Ahnmrg birinci simpleks - codvol dayaq
148
hedler
t2
ヽ
Ociinci) addrm: Birinci simpleks - cadval iizarinde gevirmel€r apanllr'
eJ ;virmater neticasinda allnan plan (codv€l) dayaq plana
(birinci
plan
olmalldlr.
cadvel) nezaren daha semereli
Birinci cedvelin axnno setrina diqqet yetirek.
egar axnno sotrin xanalannda mijsbst adsd yoxdursa, demgli' bu
olan Jotimal plandlr. eger axnnq sotrin xanalannda heg ohazsa bir
iiiisuat eoaa varsa, demeli, bu plan optimal deyil Birinci cadwlden
oorunauvu kimi varilmig mssslenin dayaq planr optimal deyil, gunki
ixrnnq setirin xanalannda miisbat €dodlsr (3 ve 2) var'
Birinci cadvel Uzerinde gevirmeler alaodak kimi apanllr'
Cadvalin axnno sstrinin xanalanndakt musbst 6d6dlorden birini
sscok (mes€len, 3-ii). Bu ad€d yerl6gon sutunu ox igaresi ila qeyd
edlk.
'serbest hadleri oxla qeyd olunmug siitunun
u) gun
iinatannaan ededlara boliib (bttlgiido yalnrz miisbat ededlar igtirak
edir) onlarrn igorisinden minimumunu segirik.
Verilmig mossls iigun
. {12 7 l5l
mtn<_._._f=o
[2 I t)
-
olar.
Cadvaldan gdrtindUyii klmi bu minimum qiymeto birinci setir
uyoun gslir. Bu satri ox igarcsil6 qeyd edok.
'-Oxtirla qeyd edilmig siitun ve setrin kasigdiyi xanada yerlegen
adada (elemente) 6sas ad€d (element) deyilir.
G6;0nduyt] kimi, verilmig mesele uqtin birinci osas elem€nt 2dir'
Bu €dadi kv6drata alaq. Bu andan baglayaraq yeni c€dvolin tertibine
baglanrlrr.
'ieni
cadvelin (ikinci cadvalin) tartibine yeni bazis dayigenin
taprlmasr ile baglanrlrr' Cedveldan g6runduyu kimi oxlartn istiqameti
g6starir ki, yeni cadvalda .t bazis dayigenini -xl doyigeni avez edir'
Ye'ni yeni cedvald€ bazis dayigsnlar 'dl , 'r4 , -lit olar'
Yeni cadvelin tertibina yeni bazis doyigen yedegan satrin
xanalanntn doldurulmaslndan baglanrlrr. Bunun iigiin asas. elsment
verlessn satrin xanalartndakt butun odedlari asas elementin 6ziino
sehin
6ii:d, neticani yeni cedvalde yeni bazis deyigan yerleson uylun
elemento
esas
setrin
hamin
Onda
ianalanna yazmiq latmdtr.
xanastnda vahid ahntr.
"-'
i"nioor.fin qalan xanalannl doldurmaq
bu cadvelde yeni
ki,
netic'ni ewalki
uazise uygun ;tn ele edadlere vurmaq lazmdtr
yerlslen
siitunun
elem€nt
osas
divetin sotirlari ile topladlqda
09Un
iuirinci)
149
λVL雷辮蹴認瀾 y.猥 F縄]『
謝郡
Bo:● liklo,ikincl codve!in bOtun xana;an d。
IFnu,01ur
COdve1 2
Deyigenlor
Bazis
(‐
1,‐
1,‐ 3)
１
一２
hedl● r
ヽ
ヽ
0
0
6
1
0
1
0
1
9
0
0
-18
１
一２
１一２
１
３
一２
一２
0
ヽ
一２
―/
0
５
ヽ
0
ｈＰ広ν
ヽ
1
場
１一
コ
祐
→
Serbest
tl
↑
Axnno cedvatin axrno setrinde bir mijsbet
*.0 []l
(2/
,"r.
Demali, bu plan da optimal deyil, lakin owalki plana nazeron daha
samereli plandrr, gtinki xetti formanrn qiymeti artmrgdu (srfrrdan 1&e
qader).
Optimal plant tapmaq i.igiin yuxandakr gevirmeleri o vaxta qadar
aparmag laamdlr ki, csdvelin axrnno sotrinda butiin elemenflar menfi
olsun.
Optimal hell hamginin o zaman taptlmts hesab edilir ki, cevirmelar
biitiin elem€nfl eri menfi igarali'olsun.
netic€GirxCo istenilon siitunun
150
!klncl cedvel 12erlndo 9evirne aparaq MOSbet eded (:)
ye■
"mis sttunu oxla qe"edOk nlin{6::,1::,9::}=2 taplnq
r,onu oxla qeyd edok Onda esas
][1111T!惜 IISetlruygunge‖
2
Yoni(3‐ cl oOdveり COdVelde,l bazls deyl,onini
d「
■
deyi§ eni
evez
%bmm O"n ttnd
Yo面 ba21S d¨
"n plooOn setrl dddu●
cedvede osas dement yed09en setnn bmn ettmen」 en百
bolok
09uncO codvelidO yenl bazls de´
"n(場
-0
万
n
)ye101● n s勧百
。Wttb u"un daraq ttnd cedvttn
面
引
∞
・
勇
爆
静
蝿l]鱗:淵r聴郡艶替
demetterlnl(―
:,一 :,一 :)―
"n“
Cedvei 3
Serbest
Bazis
１
５
１
一２
一
２
一
一２
一
ヽ
ヽ
ヽ
―/
鋤
場
1
0
0
1
0
0
0
0
X3
Ⅲ
hedlo「
0
5
2
0
2
-5
1
4
0
-19
1
2
ら
Gorunduyu kimi cadvslin axnno setrinde miisbat elementlar
optimal plandlr. Bu plana g6re
bu
yoxdur. Demeli,
Plan
.r, =
5,
-r, =
2
olmaldtr. Onda xefti iormanrn qiymati
olar.
.
l;.
= 19
Gdrii.nqiiyii kimi, biz verilmig mesolanin bagqa yolla tapdEtmtz
neticelerini aldrq.
-2.q s I
xn
MISAL 2.1.
I
-2r; +.\ s2f f =- xo+ \verilmigdir.
:-q +a sf j
J,** = ? . Misalt simpleks - usulla hall edin.
HeLLi. Verilmig sistemi kanonik gskle gotirek_ Bunun
barabarsizliklerin sol terefins uygun olaraq m0sbst
doyisonlerini elavo edek.
[ .i
+,r4
J
I
I
-
.\2
,
-2.r; = I
q+3xo+.g=J
Birinci simpleks
,
rj, .ri, ,t
.r, - 2.r; +.q = 2
I
-Yl
UgUn
f - xo +.x5 = 0
-
codv€li quraq. Bazis doyigenlor
rn -ii qebul ed6k.
kimi
Cedv● 11
-Eeyieenler-Bazis
祐
■
・
5
-f
範
ヽ
Ⅲ
ち
1
“
0
U
1
‐
2
1
1
0
1
0
0
1
3
0
0
0
-1
４１１
152
□
Serbest
hedler
1
2
1
3
1
0
Axrnnq s€trin yalnrz bir elementi musbetdir. Bu element
y€rle$en sutunu oxla qeyd edak ve
(+l)
.(zz1
minl---i=2
t
I
lJ
tapaq. Bu minimum qiymeto ikinci s6tir u)4gun gelir. Bu setri oxla qeyd
edak. Onda asas €lement 1 olar. Onu kvadrata alaq. Onda yeni
cadveldo .r; dgyii€ni .1,) bazis deyigenini avaz €decsk. D€msli,
.t
v6 :q bazis dayigonlor olacaq. Y€ni csdvelin
yeni bazis dayigani yerlogen satrini dolduraq. esas element vahid
yeni cedvalde -tl
,
olduoundan asas element yerlogon s€trin elementlori olduou kimi yeni
bazis yeria$en sotr6 kt gtirolur. Qalan xanalan doldurmaq ugun yeni
bazis d6yi96n yerlegan sotri (2, -1, -1)e vurub u)4gun olaraq awalki
cedwlin birinci, ogiincu, d6rdiinc0 setirlari ile toplamaq lazmdtr. Onda
cadval 2 agaodakt kimi olarCedve1 2
腱
b€st
hedler
.ll
場
毛
ヽ
ヽ
1
2
0
-3
0
5
1
2
0
4
つ‘
ヽ
Sar-
Dayilenlor
Bazis
0
ヽ
0
1
-f
0
0
□
1
0
0
(2,-'.t.-1)
1
a
1
Cedvelin axnnq s€trinde bir mUsb€t element (+l) var. Bu element
yerlsgan sutunu oxla gosterak. Bu siitunda elava yalntz bir mi.isbet
6ded (+5) olduoundan, homin aded osas element olar. Bu elementi
kvadrata alaq.
G6dindi.iyu kimi yeni (tigiincii c€dveldo)
cadveld.
.q
bazis
d● yl,eni
deyi,enl●
eve2ine ■l dOyi゛ eni gelir Yo'ni yoni codve:d● bazis
n
、, ●
ら, 7t4。 laCaqdir
a″ velce
yeni bazis deyi9eno (■ )uygun setrl dolduraq Bunun
090n iklnd cedveld●
●sas eiement yeriesen setnn (1■ ) bOtan
●:● mentl● nni〔
"o(osas deyl,ono)bOlok Ve netlooni yeni o●
dvelde 働
setnne ya2aq Qatan xanalan doldurrnaq o9un yeni COdvelde 、
setnni(+3,+2,‐ 1)o Vurub uygun olaraq iklnd cedve‖ n binncl,ikind
ve dbrd● ncu setl‖ ●rl ile toplayaq, netceni ise yeni cedveldo bi‖
nci,
ikind ve dbrdOncu setrde ya2aq onda oodvo13 a,aoldak:kimi olar
Codve1 3
Bazis
.■
ts
■
0
一５
一５
0
hedl● r
８
２
３
1
0
一５
一５
1
１
１
0
一５
一５
２
︲
２
(+3,+2,-1)
︲
１
１
0
0
一５
一５
一５
0
４
―/
一５
0
１
■
一５
0
朽
３
お
一５
1
毛
７
i
鋤
So「
best
Dayiganler
Gd'rtndilyu kimi @dvelin axnns s€triMs miisbot olementler
yoxdur. Bu, o demekdir ki, alrnmrg plan optimaldr.
Belelikls, verilmig mssolenin optimal helli
*.=4.
5
..r.
=0.
.r.
=o
.'4
I
t2
=s' ,.5 =T, l'"* =tll
olar.
Hollin doorulugunu yoxlamaq olar. Bunun iigiin dayigenlerin
taprlmrs qiymetlerini verilmil beraborsi/ikler sistemind€ ve xetti for154
mada yorlne y― aq ttattlr
■
-2、 =:-2・
-2●4+｀ = 2・
3,嚇
+、
=3・
,-1;く
≦1
:ξ
:+l;≦
2
, 2=2
, 3=3
≦3
:+子
1
/=― ■ +お =― :+子 =彗
all口
q
Demeli,ho‖ do9■」 ur
Biz slmpleks-Osulu(≦ )ittreli beraberslzlikler slstemini odeyon
xettl ttnkslyanin maksimum q:ymdni tapmaga tetbiq etni"ik ager
gstemi(≧ )i平 mll beraboHJi‖ er"耀 hde
(x蘭
vedl● rse,onda xon fOrnanin minimum qlymet taprmalld『
x● tb
・
beraborsi」 i‖ er
認
■ 背鼎雲臨鮮「
holli o:maya da bi:er
1緊
昭
:P場
:鳥 a
mesel側面no"mJ
面
SAL2211iご
“に
』
:1 /=けヽ
dmぃ Xet
forman!n makgmum qlymttnitapln
HOLLi_Verl!mi,sistemi kanonik l● kle gttrek
llli:+薔
+Ⅲ I:
一_/+、 +場
BI‖ nd
simpleks―
=0
cedv●li terbb ed● k
Cedv● 11
Bazis
Dayigenlar
.tl
.■
3
場
亀
t3
1
1
-2
回
-.f
1
1
Ser■
0
best
hadler
1
0
1
2
0
0
0
‘︱︱
Gtiriinduyii kimi c€dvolin axtnnq s€tirind€ iki musbot element var.
Onlardan birini segek ve h6min €lement y€rlagen siitunu oxla
gristor€k. esas €l€menl 1 olar. Onu kvadrata alaq.
Yeni c€dv€lda .rn bazis deyigenini .ri deyigani avez 6dir.
lkinci simpleks - cadvoli lertib edsk.
。
国﹄
，
Ｓ
Cedv● 12
Bazis
Deyigenler
■
0
ヽ
1
-f
0
ヽ．
ヽ
ヽ・・ 4
1
-2
3
1
0
0
1
3
2
(+1, -1)
-2
Gtrundtiyii kimi c€dv€lin axnnq setrinda bir musbat element (+3)
var. Demeli, bu plan optimal deyil. Lakin bu €loment yerlsgen sUtunun
qalan elementlari menfi igaralidir. Bu plant yaxgrlrgdrrmaq tigun
yuxarda apardgtm,z gevirmelari apara bilmirik (€sas el€menti tapmaq
mijmkiin olmur, gi.inki esas slBment yalnE musbat
edadlarin
bdlainmosinden altnan minimum edsd6 g6re taprlrr). Demali, verilmig
mosolenin optimal helli yoxdur.
156
3. Hellan qrlagma$.
Xatti proqramlagdrma mosol€larinin halli bo'zi Ptinliklorle bagll
olur. Bslo gatinliklerden biri 6ytii qiymegi bir nege esas 6lem6ntin
olmasrdrr. Bu hala hellin clrlalmasl deflir.
Misala mtiraciet ed6k:
formanrn maksimum qiymetini tapm.
HaLLl. Sistomi kanonik gekle getirek.
|
34+2xr+
x"
3-r,
*
I
I 5r,
I
[r'
+
= l5o
xt
+4r"
= 250
+.t
=100
-f+2xr-&=0
Birinci simploks c€dv€l duzaHek.
Cedvel 1.
Bazis
Ser‐
D€yigan16r
best
ヽ
巧
崎
■
も
hedlor
・R3
3
2
1
0
0
150
■
□
3
0
250
4
ts
1
―ノ
2
0
1
0
0
1
0
0
0
100
0
‘︱︱
157
︱
則一
︲
ト
０
５
〓
リ
。
５一５
２
。一
３
５
︲
Ｊ■
面
G6rUndUyU kimi cedvelin axflno setirinde bir miisbet element
(+2) var. Bu element y€rleqsn s0tunu oxla gostarok. esas elementi
tapaq. Bunun ogun
tapnq.
Goriinduyu kimi, minimum qiymeta (5O) hom birinci, ham da ikinci
satir uyoun gelir, Ye'ni iki eyni esas elemenl ahnq. Bu, hellin
odagmasdlr. Ssas €lements uyoun gol6n hansr satri segmak
laamdr.? Bu suala agaodah praktiki qayda cavab verir.
Hellin crrlagmrg halndan gxmaq ugun, ye'ni 6sas elemanto u)€un
hansr satri segrnayi miiayyenlagdirm€k iigun, hemin s€tirlerin
elemenflerini asas element ola balecek ed€dlore bolUb stra dUzeldirik
vo bu slranrn hedlerini soldan saga herekat otrnokle tutugdururuq. llk
kigik element hansl s6t6 aiddirsa, bu selir qebul edilir.
Verilmig misal u90n h6min ededler 3 (birinci setir) ve 5 (ikinci sstir)
olar. Onda a$aodak sralan alanq.
3' 3'
5
3
0
3' 3' 3'
0
1
0
150
3
250
f))))
一３
一３
L:,Q
１
２
ve ya
0, 0, 50
:, 0, 50
Bu srralann uyoun elementlsrini tutugduraq- Goriinduyu kimi, bu
srralann birinci el€mentlori bir-birine beraberdir. lkinci elemenUeri
tutugdursaq
23
-J)> -
aftnq. Ona gore da osas elementi kigik €d€da
uygun gel6n ikinci setirdo gOtiirmek lazmdrr. Onda ikinci setri oxla
gtistorak. esas eloment 5 olar, onu kvadrata alaq va yeni c€dveli
tertib edek. Yeni cedvelde .r4 bazis deyigenini .:ti deyigeni evez edir.
158
﹄
跡
回
Cadval 2Bazls
Dayigenlar
一５
1
0
一５
0
50
0
1
∞
0
-100
(-3,-1 ,-2)
７
ll
-=
0
)
一５
0
一５
-f
0
１
７
︲
0
一５
一５
も
為
１
３
1
ヽ
・t4
一５
0
■
■3
３
ヽ
１
ヽ
Gorunduyii kimi cedvelin aonncl s€bindo musb€t el€ment€r
yoxdur. Demeli, ahnmq plan optimaldr. Optjmal halli qrlagmant
aradan qaldtrdqdan sonra almaq miimkon oldu.
Meselanin optimal h€lli
-\ =50, .\, =0, -\ =0,
olar.
.x4
=0, .\ =50, l*,
=t00
Vl FASLA AiD YONAI'A SUALLARI.
1. Xafti proqramlagdrrma meselesinin qrafiki osulla hallinin
mahiyyeti nadan ibarotdi,
2. Qrafiki Usulla optimal hall n€ca taphr?
3. Simpleks - 0sulun riyazi asas n6dan ibaraEir?
4. Dayaq dan nay€ deyilir?
5. Simpleks - cadvel nece tertib olunur?
6. Ssas element neye deyilir?
7. Simdeks - 0suHa optimal hall n€cs taprlu?
159
Simoleks - codvel uzannde gevirmeler nece apanhr?
naye deyilir va o neca aradan qaldtrtltr?
s. i.tiin
"nt"s.rst
olmamasl nec€ m'i€yyanlogdirilir?
optimal-hellinin
iO. ttlasalonln
8
MOSTЭQiL HOLL ETMaK 090N
V:FOSLЭ AID MISALLAR
l AFgldak:misa::arda optimai he‖
i qraflkl tSu‖ a
tapln_
f=2a+4x2.
[r, =1,s, -t
=3,
l,*,. =15]'
ノ=10■ +14場
団
Ⅲ
剌
岬輛
…司
3■ +7y≧ 19
7ぉ +3ッ ≧ 21
13
≧4
2■
5ッ
.f =2x+14v.
≧5
.v>0,-1:>6
2 Asaoldak:misa‖ arda opimal helF simploks_● su:ia
tapln
-2x,
-.ai
+
t4 <2
+ 2.f,2
<8
2.1.
.rr
+-1i < 5
-q >0,.rr
["r
f =-q+
xz.
20
均 =12,■ ‐13, ち =0, /鳳 =-5]
=5' ,, =0,
2.tl+4■ ≦16
22
-4■ +2場 ≦8
.■
l+3均 ≧9
f=\+4.
■ ≧0,場 ≧0
L =6,x2=1,/息
=7]
161
■ +2x2≦ 14
-5■ +3場 ≦15
f=q+xz.
i+6■ 2≧ 24
4.￨・
.Yl≧
Q.X2≧ 0
l=0,
L=14,
4■
-2■
+4乃
≧16
.u >o,rq
>o
f
[r, = a,8,
.q +3.r2
-4x, +34
-1
4+2x2.
=121.
/=場 -3■ +2ぉ
>0,i=1,2,...,6
h =0, ,, =4,
162
=
-:lt
-2x2 +4x" + xn
2.5.
-=Ml.
≦12
-■ +3場 ≦6
2巧
.f,
"B
=s,
、=H,メ鳳=-lll
V!lFOS:L
X
却
騨
l Xammahn optmaliStnd● o!unmaSi meSOlesi
1肌
騨鸞
∬
嚇
11撒
誓里
nov xammaldan αl=3κ 2tel● b olunur Vahld B mehSuiunun istehsa‖
09un bllnd nov xammaldan ιl=2κ′, iklnd noV Xammaldan
蹴
∬
teleb Olunur
ら2=6κ2,39uncO nOV Xammaldanら 3=12κ′
MOoSSも O
Ы nnd
nOv XammJh
η
=300″ ,kind noV XammJh
m● daだ a te'mh
R=306″ ,0"nCu nOv XammJh P3=360″
oisun
iぷ
鳳1∵ 留
淵『
蝋L亀胤癬rl肌』
mehsu:un miqdannI、 210i"re edOk Onda A mehsulunun istehsah
O"n bi"F洒
nOV Xammaldan al・
.■
l, B mOhSulunun iStehsah」 9un
蝋詔静
朧 ln"meh側
踊l電ふ器需悧
α
、
l■
前
由h釧
に
+わ 1・
olar
163
. Teleb olunan xammaltn miqdan miiossisenin hemin xammaldan
olan ehtiyabndan 9ox ola bilmez. Ona grire Oo Oirinci 'nOi'xammaf
ugun
ar.\+br.xzS
pt
olar.
Eyni qayda ile ikinci nov xammal ugun
a2.\+b2.xz<pt,
oCUncU n6v xammal iigun
a3.\+b3.xiSpz
olar.
Vahid A mahsulunun realiz€ edilmesinden elda edilen golir ca.
.t miqdarda A mehsulunun realize €dilmesinden o . .rl
manat gelir ald€ ediler. Onda B mehsulunun realiza edilmesinden
elda edilan gelir p . ,r, olar. Miiossisanin elda eHiyi iimumi gelir is6
olduSundan,
f o.-\
+F. x2
=
olar.
Belalikl€, verilmig m6s6lenin riyazi modeli
.-u,
I a,
+br.
I
I
\ar.xr+br.
\
3 pr
xz S
pz
(1)
I
[zrr.q +D, .h3 pt
.r,
)0,
-ri
>0
,/=Cl'..\ +p..q
e)
(3)
olar-
_-. !-uladan goruniir ki, v€rilmig meselanin halli (3) xetti formasrnrn
(1), (2) gertlerini dd6y€n maksimum qiymatinin tapilmasrna qetiritir.
Meselenin gortindeverilenlari (1) ve (3)-ie yerina yazs6q 6;610Y
|.t
5.V +
2r,
< 300
I
{t24 +6:q s306
I
[3.r,
t64
+t2.q <360
≧0,鶴 ≧0
“ =9■ +6■
ノ
Mos● Ioni s:mpleks‐ Osuila he‖ edok
Sistemi kanonik● ●klo 9otrok
― /+9、
+6t2‐ 0
Birnd simp:eks― cedvdi quraq
軸
翻
跡
Cedvel l
Batts
Dayiganlar
2
ヽ
12
ヽ
3
―/
9
ヽ
■
ヽ
□
1
0
0
300
6
0
0
306
つ‘
■
ふ々
ヽ
6
1
0
0
0
0
1
360
0
0
￨
０
２
ｒ
〓
ｌｔ
リ
,
蜘一
３
２
螂一
︲
面
n{響
lkind slmpleks‐ cedve‖ tettb edok
Cedvo1 2
165
・t3
及
１
一５
︲
1
■
２一
“
・■2
鋤
←12,‐ 3,‐ 9)
剛剛
跡
Deyigonlor
Bazis
ヽ
0
20
1
0
66
４
0
0
日
一
0
24
0
一５
―ノ
１
0
５
お一
も
一５
燕
0
0
-1
0
300
-180
5
5
↑
m120:台 ,“ ::,300:封 =5,
09uncu simpl● ks‐ codvelitettb edok
ｒ
．
ｅ
脚饉
ｓ
Codvd 3
Bazis
Deyiganler
0
●︱︱
166
15
1
126
２Ｈ
︲一
0
0
” 一Ｈ
―/
田
18
0
256
一２
２
0
お
0
５
0
３一Ｈ
も
緻
一３
３
1
２一Ｈ
0
均
︲
0
tl
・t2
巧
︲一Ｈ
朽
紛
６
６
〓
６
２
１一
＝
８
■
ｒｌ
、
く︱
ｍ
Dorduncu slmpleks― cedveli tertb ed● k
跡
ｈ軸
Cedve1 4
Bazis
0
一７
0
１
0
Ｈ一２
0
一７
1
５
0
９一︲
２
２
0
一︲
２
0
12
２
1
一︲
２
0
ヽ
︲
0
・■4
一２
４
―ノ
1
ヽ
︲
.ll
場
一︲
２
ヽ
ヽ
２
■l
Deyigenlar
27
66
270
. Gorunduyii kimi d&duncii cednelin axnno sakindo miisbet ,garali
edad yoxdur. Bu o, demaldir ki, alnmrg plan opti."fa,r.
e, pi.;.
.rj
=12,
.rz
=27, \=66,
.ri
=0, .t =0,
g"-
-f,.* =270.
Belslikla, altnq ki, muessise A n6v mehsuldan .1i
= 12 vahid, B
n6v mehsuldan )r2 = 27 vahid istehsal etnalidir. Bu halda
birinci n6v
xammaldan 66 kq istifade olunmam,, qahr. ikinci vs
Uauncit n6v
xammaltar is€ tam istifada olunur. Muessiienin .fOJ eUiy,
golir
inlliiru,
.f,.* = 270
olur-
167
2. Tsmoloia avadanlrym oPtimal istifada olunmasl
masalesi
A v6 B mahsullanntn istehsah ii90n iig n<iv texnoloji avadanfu$dan
istifad€ olunur- Vahid
.ura".f,q
A
mahsr:lunun istehsah iigiin birinci niiv
3 saat,Ug0nc0 n6v avadanhq 3
C saat, ikinci n6v avadanllq
saat igladilir.
Vahid B mehsulunun istehsall U90n birinci n<iv avadanhq 3 saat'
n6v avadanlq 4 saat, iigunco n6v avadanhq 5 saat iglsdilir'
''ikinci
' gait0n
mahsubh istehsat ugun birinci niiv avadanlrq 440 saat'
ikinci nti,v avadanlq 393 saat' UgUncU nov avadanhq 450 saat i9l€dila
bilor.
mehsulunun realizo edilmasinderr cr' = 6 vahid' B
mehsulunun realiza edilm€sindan p = J miqdarda galir alde €dilir'
A ve B mahsullannln istehsal plantnt ela togkil etmak lazmdtr ki'
gelir maksimum
hamin mahs llann realizo edilmesinden slda edilon
Vahid
A
olsun.
matrsulunun miqdartnr 'q, B n6v mehsulunun
birinci
miqdannr -t, il€ ilara 6dek Onda A mahsulunun istehsalt iigiin
igladiler'
nov avadankq 4.ri , B mehsulunun istehsalt iigiln isa 3"r1 saat
avadanltq
n<iv
Onda biitiin mehsullann istehsall iigiln birinci
4.q +3'q
saat isladilo biler. Messlenin gartino gdro binnci nov avadanltq cami
440 siat i$adita bilor- ona gora da yaza bile k'
4.t, + 3.r. ( 440 .
Eyni qayda ila ikinci niiv avadanhq UCUn
3.r; +4.q <393,
Ugiincii nov avadanllq ugun
HaLLl. A nov
34 +5-t, <450
olar.
A mshsulunun realize edilmesinden 6-ri , B mahsulunun realiza
edilmesindan 5ri miqdarda galir alda edilir. Onda miiessisanin
umumi geliri
olar.
16E
/' = 6\ +5:'z
klo,Ve‖ :mi,meselenin
Bel● ‖
nyazl mode‖
腱 ≧0, 毛 ≧O
.′
12)
(3)
=6■ +5場
o:ar
Moselenh"面 ne gore/=6.■ i+5ぁ
,o!■ olni6deyon
xettl bmaslttn(1),12)
maksimum qttetnitapmaq tel● b olunur
―、
/+6■ +5場
=0
Bi"nd simpleks― codve‖ ‐dayaq plani quraq
跡
国師
Cedve1 1
Deyigenler
Bazis
ヽ
ヽ
熟
□
3
1
0
0
440
3
4
0
1
0
393
3
5
0
0
1
450
5
0
0
0
ヽ
ヽ
―/
t4
場
■
6
0
●︱︱︱
169
面
n{響 ,等 ,響
}=H∝
lklncl simpleks― ●●dveli tertib edok
Cedve1 2
Bazis
So「
Deyigenler
best
ヽ
4
１
一２
一２
0
11
３
―ノ
日
一４
0
l
ヽ
も
hedier
0
0
110
4
３
ヽ
R
0
一４
0
極
.■
３
→
1
ヽ
３一４
←3,-31-6)
場
63
0
1
120
0
0
-660
↑
ni10::,63::,鯰 0:丹 =36,
面
09undu simpleks_cedve‖ tertib edek
170
師
饉
鏃
Cedvo1 3
Bazis
Dayigenlar
1
0
祐
一７
ヽ
７
Ｈ一
２丁
.tD
-"f
0
一７
９Ｔ
0
一７
0
３
1
一７
0
も
0
83
0
36
４
３
場
ヽ
３一７
ヽ
４
鋤
21
0
-678
Gtirundiiyti kimi iigt nctl cadvelin axrnncl satrinda miisbet ed€d
yoxdur. Demali, bu plan optimaldrr:
0,
0,
.tq =
.\ =21, f,,-*=678.
= 83, .t = 36, .\ =
Belolikla, ahnq ki, A nov mehsuldan 83 vahid, B n6v mehsuldan
36 vahid istehsal etrnak lazmdrr. Bu halda birinci ve ikinci n6v
avadanhq dayanmalarsE igl€dilir, iiguncu n6v avadanlq iss cemi 21
saat dayanmat olur v€ muessisanin elda etdil maksimum gelir
t
f.**
= 678 vahid olur'
3. Materiahn optimal bigimi haqqtnda mesela.
iki ntiv pargadan qadrn kostyumlan va paltarlan tikilir. Bir kostyum
ugun birinci ndv pargadan 1,5 m?, ikinci nov pargadan 0,5 m2, bir
paltonun hazrlanma$ Ug0n is€ uyQun olaraq 1,6 m2 ve 0,8 m2 parga
igledilir. Bir kostyumun sahgrndan elde edilon golir 3, bir palto
satrflndan alde edilen gelir iss 5 vahiddir.
Birinci nov parganrn 141 m2, ikinci ndv parganrn 63 m2 oldugunu
bilorok , ne qeder kostyum ve palto istehsal €tmok laamdrr ki,
miiassisa en kiyiik rentabelliklo islesin?
171
HeLLl. .1 - hazrlanma[ olan kostyumlann miqdan, .r2 - paltolann
miqdan olsun. Onda kostyumlam igladilan I ndv parganrn miqdan,
1,5.q paltrclara igledilen birinci ndv parganrn miqdan
messlenin gertino gKir6
1,5.r, + l,6ri < 141
1,64 olar. Onda
olar.
Eyni qayda il6 ikinci n6v parga Ugtin
0,5.r,
+0,8r, <63
olar.
Buttin kostyumlann satErMan elde edilen gelir 3x, , paltolann
sat$ndan €ld6 edilen gelir 5;q olar. Onda muessisenin iimumi geliri
J.=3\ +5xz
olar.
Belelikle, v€rilmig mas€le
|.1,5.q
I
I
[0.5.v,
f
=
3q
+
5y
xatti formasrnrn
+1,6.q s 14l
+0,8x, < 63
gertlerini odeyen maksimum giymstin;n tapllmasna getirilir.
Mes6l6fli qrafiki Usulla hell edek.
Verilmig masdenin helli qapaft oABCO ddrdbucaqlrsdrr. Bu
dordobucuqhnrn tepe n6qtalerinin koordinatlannr tapaq. 0(0, 0),
,40; 78,73), C(9a; 0)
olar. B ndqt€sinin koordinatl"annr lapmaq
iigun
fl,5.t +1,6.t2 = l4l
{
[0,5{ +0,8.t,
= 63
sistemini hell 6tmek lazmdtr.
Buradan ahnq ki,
rr =30, Iz =60
Belelikle, ,(3Q 60) olar.
Meselenin gertin€ gairo hem
koswm, hem de palto haarlamaq
laam geldiyinden :q = 0, .1i = S ola bilmoz, ba$qa sdre
0(0; 0), ,4{0; 78,75), C(94; 0) ndqteleri moselenin sertini
172
irdemir. Ona 96ro xetti formanrn yalnrz
qiymotini hesablamaq laamdrr.
{30;
60) tepe nt qtosiMe
J.u--3.3O+5.6O--390
Belelikla, ahnq ki, mUossis€ x, = 30 kostyum,
hazrlamaldrr. Onda maksimum gelir
f,**
-tz =
60
palto
= 390olar.
4, Optimal qangrq haqqrnda mosala.
A ve
iki n6v bonzinden iki miixt€lif
B qangrgr hazrrlanrr. A
qan$grnrn 6096i birinci n6v benzinden, 40%-i ikinci n6v b€nzindan
haztrlantr. B qangErnrn 80o/6i birinci n6v, 20o,Ci ikinci n6v benzinden
hazrrlanrr.
1 kq A qanggmrn satg qiymeti 10, B qanggrnrn satg qiymeti 12
vahkidir. Ehtiyatda 50 t. birinci n6v, 30 t. ikinci ndv b€nzin oldugunu
bil€rek, qangrq hazrlanmasnrn elo planlnr t€rtib edin ki, onun
satrgrndan eld€ edilen gelir maksimum olsun.
HeLLi- .ri - A qangrgrnrn miqdan,
.v2 - B qangrgrnrn miqdan olsun.
qanggrnrn
hazrlanmasr ugiin birinci n6v benzindon
Onda A
0,6-q , ikinci r(iv benzinden 0,44 , B qangrQrnm hazrlanma$ UgUn
ise birinci n6v b€nzind€n 0,8.q, ikinci n6v benZnden 0,2x,
miqdarda teleb olunar.
Msolenin gartine g6ra yazmaq olar.
0,6.ri+0,8.9<501
I
0,4.ti +0,2q s 30J
Butiin A qan${inm saugrdan elde edil€n gelir 10x1 , B qangornrn
l2x, olar. Onda Umumi
=tOn +12\
sattrndan elde edilan gelir
f
golir
olar.
B€lelikle, verilmi$ me66l€
f =10\ + 12.ri xatti turmasrnrn
t73
+0,8& =50
[0,6r,
I
1
[0,4.v, +0,2:ti =30
gortini iid6y6n maksimum qiymetinin taptlmasna gstirilir.
Maseleni grafiki alsulla h6ll ets6k, yuxandak moselade olduou kimi
,ti = 0, .r2 = 0 ola bilmez (har iki mohsuldan ist€hsal edilmolidir).
Ona gdre de haller oblastrnrn yalnz bir t€pa noqtesi m€solanin gartine
uygun g.lir. Bu n(htanin koordinatlan sfirdan ferqlidir. H6min t€pe
n6qt€sinin koordinauannr tapmaq ugun
[0,6.\ +0,8.v2 =50
)I
[0,4.rr + 0,2-r, =30
sistemini hell etmok lazmdtr.
Buradan .ri =7O, sh =10 ahrrq.
BelElikle, t =70t A qangrgrndan, &=l0t B gan$Elndan
istehsal etr ek lazrmdrr. Onda elda edilen maksimum Salir / = 8200
olar.
G6r0ndiiyu kimi daha baha mahsulu ist€hsal etmok heg da hemige serfiali deyil. Nisbatan ucuz A qangrornrn istehsah daha gox g6lir
getirir.
MOSTOQiL HOLL ETMaK OoON
V!:FOSLO A:D MOSЭ LOLOR
1. Qapr ve pencere hazrrlamaqdan 6trij d6rd n6v oduncaqdan
istifudo edilir. Bir qaprnrn hazrlanmas tigun ikinci nov oduncaqdan 4,
0gtincu n6v oduncaqdan 2, dcirdUncu n6v oduncaqdan 1 vahid
igledilir. Bir ponceranin haarlanmast ugi.in birinci oduncaqdan 4,
UgUncU oduncaqdan 2, dordiincu oduncaqdan 2 vahid igledilir. Birinci
n6v oduncaorn miqdan 120, ikinci n6v oduncagtn miqdan 160,
Ugiincu n6v oduncaorn miqdafl 120, dorduncu n6v oduncaorn miqdan
80 vahiddir.
174
Bir qaptntn satflndan alda edilen galir 2, bir Psncaranin satErndan
alda edilen galir 3 vahiddir. Qapl va p€ncero istehsahnr neca t69kil
etmek laztmdrr ki, alde edilen Omumi golir maksimum olsun?
CAVAB: [-ri
=40, :ti=20, ,\=aQ .ra=0, 't=0, l*-=14q]
2. Mtiessise agaodakr 4 ndv istehsal gticune (saatlarla) malikdir:
Mr =16, Mz =10, Mz = 6, Mt = 7. Birinci nov vahid mahsulun istehsah iiaun istehsal guc0niin sarf uyoun olaraq 2, 1, 0, 1,
ikinci niiv vahkl mahsulun istehsall UgUn istehsal gUcUnUn s€fi 1 ' 1, 1 ,
Gdrr. Birinci n6v vahid maheulun sa$glndan elde edilon golir 3' ikinci
n6v vahid mahsulun satElndan elde edilen galir 4 vahiddir'
Mehsul istehsahnt ela tsikil etmak lazmdtr ki, elde edilan ijmumi
galir maksimum olsun.
[r, =4,
3.
,, =6, f,**=367'
Fermada iki n6v xezdarili heyvan artlnltr. Onlann normal
boyum€si 09i1n U9 mUxtelif yemdon istifado edilir. Har bir birinci nov
heyvan ajgun birinci ndv yemdan 2, ikinci n6v yemdan 4, U9tincii ndv
yemden 6 vahid tal6b olunur. lkinci n6v bir heyvan tigun uyoun olaraq
1, 7 vahid yem tsleb olunur. Birinci ntlv yemin ehtiyat 180, ikinci
n6v yemin ehtiyah 240, iiguncu n6v yemin ehtiyatl 426 vahiddir. Birinci
n6v heyvanrn xazinin satlmaslndan 16, ikinci nov heyvanln xelnin
satrlmasrndan 12 vahid gslir g6turiiltlr.
Her xezdan no qodar olmaldlr ki, elda edilen umumi gelir
maksimum olsun?
i,
L=57,毛
=り ,魚 x=Ю 54
′
´
vilt Fesll
xaTTi PROQMMLA$DIRMAN|N
Qo$MALTQ MaSeLaSt.
'1. Simmetrik qoqmaftq
(ikilik) mes€lesi.
Her bir xsfti proqramlagdrrma mosglasino onun
qogmahq
maselesini qar$ qoymaq olar.
F€z edek ki,
αll■ +α 12・t2+・ ¨+α l"■1≦ bl
´21・Yl+α 22■
α嗣■ +α
Iブ
+・
…+“ 2,tll≦ ら2
・
・+α
+・
"2め
≧0, (プ
=1,2,¨
"場
.,″
≦場
)
(2)
gertl€ri daxilinde
f =q\+c2x2+...+cnxn
(3)
xatti tormasrnrn maksimum qiymetini taprlmasr tel6b olunur.
Xatti proqramlagdrmanrn bu meselasinin qogmahq
agaodakr gekilde gurulur.
176
masalosi
/, > 0,
gertleri daxilinde
(,
=1,2,...,m)
@=bA+b2Y2+"'+b.Y.
(5)
(6)
xetti forma$nrn minimum qiymatini taptlmas telab olunur.
(1), (3) (l-esas masol6) va (4), (6) (ll-qosmahq meselasi) mese-
lelari simmetrik qosmahq mesaleleri adlanlr. Goronduyii
kimi,
simmetrik qogmahq mes€lalari ugiin butiin komponenuar, o cumleden ,t7 )0 olma[drr.
G6stormok olar ki, simmetrik qogmahq meselolori ti90n esas
mesalani (l mesala) qogmahq, qogmahq (ll m€sala) m€selasini ise
esas masala kimi g6tiirmak olar. Ona gSra de bela meseleler qargriqh qogma[q maselalari adlantr.
Bu masalolsri tutugdurduqda g6ruruk ki:
1. Qogmahq mssalesinin (ll m€sole)
41
AZt
Amt
0tZ AZZ
dm2
Ar=
al“
α2●
・・
・
α″
"
matrisa osas mosalanin (l mssela)
／１１１１１１１１１１１１１、
A=
o|
atz
aro
AZt 0ZZ
α″1
“"2
A2o
…・
α
""
matrisanin transponira olunmug goklidir.
177
2. ll
mesel€nin (qogmalq meselesinin) xatti formasrnrn smsallan I
meselenin (asas masal€nin) serbast hedleridir. I mas€lenin xett,
formasrnln emsallan ll m€salgnin sarbest h€dleridir.
3. Ssas maselenin xetti formasrnrn maksimum qiymetinin taprlmasr
qosmahq meselosinin xotti formasrnrn minimum qiym6tinin taplmast
demakdir vs €ksing.
4. Bir
mesalenin berabarsizliklerinin
say, o biri
mesolsnin
deyiganl€rinin saytna bsraberdir.
egsr €sas meseleni matrislarin kdmakliyi ilo ataodak
F
３
９
・x≦
И
χ≧0
gokildo
７
yazsaq alarq.
/=ぐ・″
Burada
=
β
=
︰場
ａち・
鋤あ︰
χ
場
igara olunmugdur.
(7), (8) gortleri daxilinde (9)
taprlmas telab olunur.
Onda qogmahq moselasi
xetti formasin:n
maksimum qiymatinin
ツ・И≧(〕
(10)
ノ≧0
(11)
Φ =ッ・B
geklinda olar.
Burada
178
Y=(h, yz,..., );),
(12)
C=(ct, cz ,..., c,)
igare olunmugdur.
(10), (11) garderi daxilinde (12) xatti formasrnrn minimum qiym+
tinin tap{mas taleb olunur.
2- Simmetik olmayan qoqmahq
mesel6i.
esas mesele (l m€ssle):
an,,t + anl2 + ...+ arnx, =b,
... + tt 2rXo = b2
U 2tlit + A 22-Y2 +
a n tr +
ad2\ t
.1 >
0,
... + a-nx, =
h-
(i = 1,2,.."n)
(2)
gorteri daxilindo
l
=ctxt+c2x2+---+cnxn
(3)
xetti fiorma$nrn maksimum qiym€{ini tapmaq tal€b olunur.
QoEnahq meselai (ll mesela):
ロツl+α 21ツ 2+・ …+α 711y"≧
`1
“
+α
≧
a12y:+′ 22ツ 2+・ … ,2ツ ″
`2
atnlt
t
14)
Lznlz + -..+ 4nryn 3 cn
Serti daxilinde
F
=4h+hryr+...+b,y-
(5)
xeti formasrnn minimum qiymetini tapmaq taleb olunur.
I w ll mGddsr dmmetrik olmayan qosmalq maselolari adlanrrlar.
179
Q€yd etmek z€ruridir ki, simmetrik olmayan qotmaltq m6s6l€leri
Ugon optjmal hallin ba'zi, hetta b0tun komponentlara monfi
igareli ola bilor (simmetrik qogmahq mesalolorindsn farqli olaraq)_ Ona
g6re de bu qolmalq maseleleri Ugiin ]rj > 0 t6rti qoyulmur.
(ll mos6la)
B6yUk praktiki shomiyy€ti olan iki teoremi isbatsz, qsbul edek.
Taorem 1. gger €sas vo ya onun qogmahq masalslerinden her
han$ birinin optimal halli varsa, onda o biri messlenin da optimal helli
var v€
mu<
f
=
111i11f
,
/
T@rem 2. eger bir mes€lsni optimal hellinin
komponenti sfrra
borabor olaasa, qolmahq mesgl€sinin optimal halli
b6rab6rsizliyi ciddi berabsrsizliye gevirir.
/
n6mreli
3. Qogmahq mesolesinin iqtisadi mahiyFti.
Ferz €dak
ki, n
Ugiln
i
n6mreli xammaldan
xammalrn miqdannr b,
,, ndv
nomr€li mehsulu hazrrlamaq
sayda mshsul hazrlamaq 09iin
xammaldan istifade olunur. Vahid
, vahid
aij
/
/
vahid istifade olunur.
i
niimreli
n6mrali mehsulun satgrndan elda
edilen galiri r,j , istehsal olunmu$ ,l nomreli mehsulun _miqdannt ,t'j
igaro etsek, bu iqtisadiyyat maselesinin (xammaldan optimal istifado
sdilmasi mosalesi) riyazi modeli:
′H■ +`″ 物 +・ ¨+α レ場 ≦島
α21
rl+′ 22毛 +・
α冽■ +′
"範
+・
¨+α 2″ 場 ≦ち
…+α
"ヽ
乃 ≧0, (ノ =1,2,.¨ ,″ )
180
≦転
(2)
/=Cl■ +r2場
+・
…+ご ″
場
(3)
olar.
Meselenin optimal helli (1), (2) lerdarini tjdeyen (3) xetti
formasrnrn maksimum qiymotinin taptlmastna gatirilir. Bu optimal holle
istehsal edilan baitun mahsulun realize edilmesindan alde edilen
maksimum galir uyoundur.
Bu mssdsnin qogmaltq mosalasi agaOdakr kimi olar.
14)
t > o' ('i = 1'2'" ''m)
(5)
F = bg + b2y2+---+bny,
(6)
(4), (5) gertlerini Od6y€n (6) xatti formasrntn minimum qiymatini
tapmaq telab olunur.
Bu qogmalq meselosinin iqtisadi mahiyyati ondan ibaretdir
ki,
maiayyan gartler daxilinde mdvcud xammal ehtiyatrnr mehsula gevirib
satrlmasrndan 6lda
ilmumi golir, xammalrn Oztinun
dilen
２２
く一
く一
︱
lerini 6dayen
祐場
∫
＋＋
ヽ ■
２４
MOSOL0 1 1
ヴ辱
satrlmasndan elde €dilen gelirdan gox olmaya da bilar. Ya'ni, bu
qogmalrq meselesinin intisadi mahiyyetini bsle qiymetl€ndirmek olar:
Ehtiyat d vahid olan j xammaldan vahid miqdannt hanst
qiymata satmaq lazmdrr ki, haar mohsulun sat$tndan olda edilon
me'lum goliri nazora aldrqda mtiessisa ziyana d09m0r ve xammal
alanrn Umumi xerci minimal olur.
Buradak yr-xammahn qiymeti mi.iessisenin hemin xammah aldrgr
qiymatlo eyni defl. Bu qiymet, hemin xammaldan istifado edilerok
mohsul istehsatndan eldo €dilen galirle muqayise edilsn qiymetdir.
.f = xt + h
-q
)0,
.r2
>0
gart-
+ .ra xetti formastnrn
181
m€sslsinin
maksimum qiymstinin tapllmasl
qogrnahq m€s8l€cini
qurun.
HaLi. esas masel€flin matdsi
/2 t
A=t
Z\
I
[o , t)
olduoundan, qogmahq maeeleeinin maaisi
olunmug gokli olar.
,c"
I
matisinin transponir6
rrl
t
tt 2lt)
=l
[z
Onda bu matriss u)rgun bsrabersi'ikler sistemi
12Y', + 4Y, >l
I
{t-'
'ri +21''
olar' (bnmda
brma
olar (burada
4 = l,
('
>I
[2y,, +-r,
>l
h>o'
Yz>o
z=
l'
6, = 1 )' Qogmahq meselesi iig{in xetti
F =Tyt+Zyz
bt =2,b, =21'
BeleliHe, verilmb messlenin qotmahq mos€lesi
[ZYr+4Yr>1
I
| 1,r+2yr2l
I
lzv,+ vr>t
Yt>0, Yz >-0
f = 2y, +2y, xatti formasntn minimum qiymeiinin
g€rt€tin 6de)rsn
taplmasna g€titilir.
t82
(4.r, +3s^ <24
MeSeLa1.2.
4 >0,
{
.rr
20
gertlerini
l3:i, + 4x, <24
tideyan ,[ = Jai + 4.t xetti formasmtn maksimum qiymetinin tapllmasl m€€€lBinin qo$mahq
meseleini qurun.
HALLI.
f4 3\
f4 3\ l4v, +3v., >5
A=l +J'
l. a=l +JI {-'
[l
[:
.13y,+4yr>4. h>o,vr2o
F
=24y+24yt
olar.
Belelikle, verilmig meselenin qogmahq meeelesi
{4y, +3yr 2 5
I
13y,+4yr>4, lr>o,Yz>o
gertlarini irdeyan F = 241..
qiymatinin taprhasrna g6tirilir.
12y,
+3y,
+24y2
+
xetti formastnln
minimum
4yr 23
I
MeseN-e1.3.
1 -yr -2yr+yr>l lr20,!z 20,yr 20
l3yr* yr -3yrr-2
I
garferini atdeyan
F = 2h +3yz
+
4y,
xetti
formaontn qoynalq m*desinin esas mesel€sini
qurun.
HeLLi. Qogmaltq mssel€sinin matisi
183
島 =2,ち =3,ち =4。同uOundan
`1=3,(2=1,`3=2,
meselenin mat‖ sI
esas
olar
Onda esas moselenln xettlfomas:
/‐ 3.tl+場 +2為
beraberslzliki● r sistemiise
olar
Be!o‖ kle,vellmi,qosma“
q mes● ￨●sinin esas meselosi
+2場 xett fOrmasnln maksimum
"rtelennl
odeyOn/=3.tl+、
qiymetnin
taplirnasina
getri:ir
184
/=3 tl+2挽 venlmi"■ oSas mesole雨 n oP
u―
薔
mal hel‖ nln.tl=5,ぁ =2 ve=、 ‐19,。日
Ounu bilerek,q● lmahq mos● lesinin
optlmal hel‖ ni
tapln
HЭ LL1 0sas mesele由 9un
`1=3, `2=2 olduOundan qo,mallq meseles1 09un
4=(il:),1魚
稚 li乃 ≧≧≧
:∬
0,乃
0,乃
0,
F=12yl+7J22+15乃
olar
Belo‖
kle,F=12Ji+7y2+15y3X°
ttlわ :]::as!nin
僚革に,Й 拘劫刈
:郡叩
温:欄鼎駆撃J畷期般鋼蹂
(12・ 12,7=7)09unCu
beraberslzlik ise
8く 15
185
dddi bsrabersizliyine gevrilir. Onda yuxardak ikinca teor€mo g6re
qogmahq m€a€losinde
,\ +0
\+0
./t = 0 olmatdrr.
oldugundan qogmahq mes€lesind€ bsrabar-
sizliklor sistemi
2y, + y, =3
h+lz=2
h --1, Yz =1
tanlikl€r sistemine g€vrilir. Bu sistemi hell ets€k
tapanq.
Belaliklo, qolmahq masalasinin optimal holli
h=0'
lr =1, lz
=1,
-f^;,=19olar.
MaSaLg 1.5. Vll feslin xammahn optimal istifade olunmasr haqqtnda m€s€lssinin qo$malq mesolesini qurun ve
optimal hellini taprn.
岬婦甲
HeLLi. gsas mesde ./ = 9-a, + 6.r, xatti formastnrn
３
３
ri >0, q
０
∞ ６
く一
く一
２６２
均均朽
s 300
)0
Q)
gertlerini ddayen maksimum qiymstinin taptlmastna gotirilir.
Mosalanin
-xr
= 66,
= 0, .f^,* = 270 4ir. Ye'ni birinci n6v m€hsuldan 12,
ikinci n6v mahsuldan 27 vahid istehsal etmek lazmdtr. Onda ikinci ve
iigiincii ndv xammaldan tam istifade olunur. Birinci n6v xammaldan
ba 66 vahid istifado olunmamli qahr. Ads edilan maksimum gelir is€
xr
=
0,
optimal hslli \--12, h=27,
.vs
270 pul vahidi olur.
indi de esas messlenin qogmahq m€sal*ini quraq.
esas mesolonin matrisi
186
ヽ︱︱︱︱︱︲︲︲ｉノ
２６２
︲
５２３
︲
︲
′︱︱︱︱︱︱︱ヽ
〓
И
cr
a=3∞ ,場 =306,ヽ =3ω
=9, c2=6
oldugundan qo$malq m$el€sinin matrisi
(ts tz 3\
I
t2)
亀喝］
吻”
軸リコ
，
4=l
' [z 6
ｆリｌｔ
カ
コ “ Ｐ
bu matriso uyoun berabarsidikler sistemi
(3)
(4)
olar.
Qolmahq maselesinin xetti brmasr iso
F=300yr +306y, +360y.
(51
olar.
Belelikle, qogmalrq m€sel€oi
F = 300yr +306y, + 360y, xetti
formasrnn
+12y, +3y..
>9
l2y, +6y, +12y,
>6
(15.v,
l
h>-O, lz
)0,
y. >0
gorterini &eyen minimum qiym€linin taprlma$na g€tirilir.
Qoynalq m6al€6inin iqtisadi mahiyyetini aydrnlagdrag.
(3) sist€mird€ ),I-birinci n6v vahkl xammahn, y1 -ikinci n6v vahil
xammalrn, /3 -UgJncU n6v vahid xammahn satg qiymetidir. Onda
l5y, -15 vahid birinci rl('v xammaln saiE qiyrneti, l2y, -12 vahtd
ikinci ndv xammahn qiymeti, 3y1 -3 vahid iiliincti n6v xammatn
187
qiymati olar. fi5y,
+l2yr+3y.)
cemi ise vahid birinci
ndv
mehsulun satErndan 6ldo 6dilon gelirden az olmamaldrr. Ya'ni
15y, +12y,
olar-
Eyni qayda
+3y, >-9
(6)
ile (2y, +61,, +l2yr\ cemi vahid ikinci
ndv
xammahn sabgmdan alda edil3n gelirden az olmamahdrr. Ye'ni
2yr+6yr+l2yr>6
(7)
olmaldrr.
\, /2,
)rj -un iqtisadi mahiyyotino giire onlar monfi ed€d ola
bilmezlgr. Ys'ni
\>-0, lz 2 0,
y.
20
(8)
olmaldrr.
Miiessisonin ehtiyatda olan birinci n6v 3@ vahid xammalrnln
sahgrndan elde edilen gdir 300y1 , 306 vahid ikinci n6v xammahnrn
sat$mdan 6lde edilan gelir 306y, , 360 vahid i.igiincii nov xammalnrn
sat$ndan olde edilen gelir 360.y, pul vahidi olar. Onda muessisonin
biitiin xammalrn satgtndan elde etdiyi Umumi gelir
F =300h+306yr+3601':l
(9)
olar.
Belelikle, verilmig esas ms$lenin qoynahq meselesi
115y,
+12y, +3y, > 9
{
l2yt
+
6y,
+12
1,20, h '9,
y,
26
-v.
>0
gorterini tidoyon F =3O01,+306yr+360y1 xotti
formasrnrn
minimum qiymetinin tapdmasrna gatirilir. Minimum qiymotin tap masr
telebi o dsmekdir ki, xammallan minimum els qiymete satrnaq lazrmdrr
ki, bu sattdan elde €dilen gedir, mahsul sattgtndan elde edil€n
gelirden az olmasn.
Qogmalrq meseleeinin optimal hellini taPaq.
esas mesolenin optimal helli ma'lumdur:
188
彎=12, .r2=27, /_=270
Bu optlma!hel:l osas mesolenin(1)berabttS21ikler sisteminde
ye口
ne y― q
alanq
GorundOyu klmi optmal he‖
(1)siSteminin birincl beraberslzliylni
dddi berabersizliyo, !klnd ve u"nctl beraberslzliyl ise beraberliye
9eVl‖ r
Ona gore de yuxandakl ikinci teoremo gOre bi"ncl
berabers口 iyo uygun gelen yl deyl"ni snra beraber o:malld『
01=0)Onda(3)gstemlndOn
{:"1:i[i
ve ya
l槻1]i
olar
Buradanノ 2=:'y3=:出
"q
Onda
F=300・ 0+305・
fLぬ
ahnゝ
:+360・ :=270
=270
m引 ,vettm● meSOlettn q"mahq mosoles輛 n optmJ h』
i
G=0),乃 =:,y3=:'端 m=270
olar.
189
Beleliklo, ahrq ki, muossis€nin istehsal etdiyi mehsullann
etdiyi f =27O maksimum geliri elde etm6k ugtn
satugrndan elde
t2
ikinci n6v vahid xammah an azt
=
t
-,
Ugiincri ntiv vahid xammah
I
is€ en azr .yr = : qiymeto satmaq lazmdtr. Onda
I
4in
= 270
alartq.
G6runduyii kimi f = 270 naksimum geliri €lde etmok ilgrin
mii66sis€nin birinci nov xammalt satmaoa ehliyao yoxdur
し,=0)
Qogmalrq m6sol6inin helli fritsterir ki, m0essise UgUn xammalr
muoyy€n qiymoto satmaq, hemin xammallar ssasrnda istehsal olunan
mehsullafl satrnaqdan daha serfolidir. Bu fakt, h6min muassisoda
istehsalrn semor€li togkil edilm€diyini siibut €dir. QUnki, her bir
miiessiss i190n biitirn xammah mehsula gevirib satmaq daha serfali
olmaldrr.
Hem 6sas, hem de qogmafuq moselelorinin hellarinin taprlmasr
muossis€de istehsahn tegkili voziyyatini miioyyenlegdirir ve m6vdrd
gatrgmazlqlarr aradan qaldtrmaga imkan yaradtr.
MISAL 1.6.
f.<i
I.Y -?.-
1
lri -4&
,,
<4,
)0,
"r,
>0, f =2\+3-
ssas m6sel66inin ve onun gogmahq moselosinin
timal hollini taprn.
op
HeLLl. Swelce esas mesdanin optimal hallini simpleks-iisulla tapaqBerabersizliklsr sistemini kanonik gekl6 getirek.
＋
+x4=4
+2x, +3;6 = Q
Birinci simpleks-ceveli tertib edak.
t90
■
f
場毛
３４
一
一
ｒｌ
ｔ
りヽｌ
■ 彎
-
=3
ｒ
ｅ
国動
Ｓ
Cedve1 1
Dayig6n16r
Bazis
ヽ
ヽ
―ノ
□
■ ・t4
・t2
着
‐3
1
0
3
1
‐
4
0
1
4
2
3
0
0
0
↑
min{:, :}=3
鋳
翻師
Codve1 2
Dsyig€nlgr
Bazis
.tl
.ti
1
・t4
0
―ノ
0
場
-3
9
場
・t4
1
0
3
1
1
0
‐6
-2
(‐
1,‐ 2)
Cadvolin axnno sstrinde miisbot odad var. Bu, onu g6sterir ki, bu
plan optimal plan deyil. Lakin bu planr yaxgllagdrmaq m0mkun doyil,
gilnki esas €lementi tapmaq mumkun deyil (minimum yalnlz musbet
ededlerin nisbetlerindon segilir).
Demeli, esas m€salenin optimal helli yoxdur.
191
va週
mttq meselesi面 bttb edok ve o口 imJ helllnl bpaq(Oger
ド
l_↓ ド
ji3
、
, ツ
ツl≧ °
2≧ 0, F=3ッ 1+4ッ 2, ′
hin=?
Moseleni s:mpleks‐ Osu:ia he‖
edok
lム iti有 _ヵ li
―F+3y2+4y2=0
Dayigenler
Baz!s
ツ1
ツ3
□
均
カ
0
1
ム
‐3
4
0
―ノ
3
4
0
０１１
min{:}=2
192
y3
跡
国師
Cedve1 1
2
4
0
0
跡
国躙
Cedve1 2
Doyigsnler
Bazis
ノ
乃
1
回
1
yl
0
ツ4
-f
y3
九
0
2
0
-6
(3,-3)
‐3
0
J
1
‘︱︱
DeyiSanlar
Bazis
yl
ツ2
乃
14
ν
´
0
1
1
0
0
‐
4
1
0
4
0
-f
０
。
躙同
．
Ｓ
Cedve1 3
2
(1,-1)
-8
Goriinduyu kimi cadvalin axlrlncl sotrinda musb€t elemont var.
Demeli, bu plan optimal deyil. Lakin prosesi davam etdirmak miimk[n
３
２＞一
一
＞一乃
︱
ム助
∫
切響
deyil, gUnki m0sbot elementin yerlegdiyi s!tunun qalan elementlari
manfi isaralidir. Qoynalrq maselesinin hallinin olmadqlnl bagqa yolla
da g6stormok olar. Dolrudan da
193
sisteminin birinci berabarsizliyini 3-a vurub ikinci borabersizlikle tareftar€f€ toplasaq
- Yrz9, YrS4
alanq. Bu is€ y2 > 0 gertine ziddir. D€meli, bu borabersizliklor birbirin€ ziddir ve mesel€nin halli yoxdur.
MII FASLEAID YOXLAMA SUALLARI.
1. Simmetrik va simmetrik olmayan qogmahq meselsleri nsya deyilir?
2. asas meselanin matsisine 9616 qogmahq m6s6lesinin matrisi nece
qurulur?
3. Qogmalrq maselesinin xetti formas nec6 tortib edilir?
4. Qogmaltq meselesino 96r€ esas meselenin xetti formast neca tertib
edft?
5. esas
masal€nin berabersizliklar sistemine g6re qolmahq
mesalesinin berabersizlikler sistemi neca t€rtib 6dilir?
6. esas m€selonin optimal helline goro qotmahq mesolosinin
optimal h€llini n6ce te'yin etrnok olar?
7. Qogmalq messlasinin iqtisadi mahiyyeti n€d6n ibarotdif
MOSTЭQiL HOLL ETM8K 090N Ⅵl:FOSLЭ
AID MOSOLOLOR
sas
194
６４︲
＞一
＞一
ヽ
ど
■ 鋤
j\ >0,ra
>0,.u,
>0, f =2$+\
mesalesinin qosmalrq moselosini qurun ve optimal hellini tatrn.
CAVAB:
yl≧ 0,y2≧ 0'ツ 3≧ 0'
鳥嗽
-rt
=3:
<5
+.x4 <3
4+2x4 <6
-r1
>0,.t2 )0, -q >0,x,,
>0, f =-xr+xz-4
＞一
乃
０
＞一
ツ
０
＞一 ´
０，ス
＋
Й 力Ｆ
ヵ勾
うな
ＩＪ
﹁︱︱ｌｏ
，
esas meselesinin qolmahq mosel6sini qurun'
L
195
2■
+3場 ≦19
2■
+場
≦13
3■ 2≦
15
＋
〓
﹁︱︱︱ＩＪ
場
く一
２５Ｌ
一
.! >0,-t2
れ李ノ
ニ
萌>0,
鷹颯
０
＞一
5性
1C = 3.ri +.r2
asas meselosinin qogmaltq meselesini qurun ve her iki maselenin
oplimal hallini taptn.
l96
﹁︱︱ＩＪ﹁Ｊ
ｅ
ｈ
乃
＋
５
6-
Ssas masela: lki munelif A vo B mehsullanntn istshsah Udjn iki
n6v xammaldan istifade edilir. Vahid A mehsulunun istBhsah UgUn
birinci n6v xammaldan 1kq, ikinci nciv xammaldan 2kq, toleb olunur.
Vahid B mahsulunun istehsah iigiin birinci nijv xammaldan 2kq, ikinci
n6v xammaldan 3kq teleb olunur.
，
一
一
一
一
﹁︱︱︱︱コ
５
５，７，
７，
塩塩
５
１，０
一
一
〓
■ 乃
一
︱
コ︼
Muossise birinci naiv xammalla 4kg, ikinci nciv xammalla 3kq
miqdannda te'min olunmugdur.
Vahid A mehsulunun satflndan alde edilan gelir 5, B mohsulunun
satrgrndan elda edilan galir 4 pul vahididir.
A vs B mahsullannln istehsaltnt n€ce tegkil etnak lazmdrr ki,
m0essis6nin hemin mehsullann satlgrndan olda etdiyi golir maksimum
olsun?
esas va qogmaltq meselelerinin optimal hallini tapn.
197
IX FESIL
NEOLIYYAT MESALASI.
1. N€qliyyat mesel6sinin riyazi modeli.
Ferz edek ki, m syda mant€qeda mtieyyan miqdarda bircins yuk
var. Bu yuku fl sayda qabul montaqelarino datrmaq t6leb olunur Her
bir qebul menteqesine yalnrz mueyyen miqdarda yuk dagrmaq olar.
Vahid yukon bir mgnteq€don (bazadan) bagqa bir mant€qeyo
(istehlakgya) dagrma xerci me'lumdur. Bazada olan botiln yarkti qabul
menteqelerine elo dagrmaq lazmdrr ki, yukdagrmanrn Umumi xarci
minimal olsun.
ASaodakr gerti igareleri qobul ed6k:
l,n - ytikgondarmo mentoqalari.
,t2 - yukgonderme manteqolarinin (bazalann) sayr.
- y0kgirnderma monteqolerinin n6mresi (i = 1,2,..
i
.,m)
B, - yiik qebulu menteqelen.
n - yuk qebulu menteqelerinin say.
./ - y k q€bulu montoqelerinin nOmrosi (/ = 1,2,..., r?)
a, - i nomrsli yiikgondarma menteqasindaki yuklerin
.
miqdan.
6; - 7
ndmreli yiik qobulu mentaq6lerina dagrnmah olan
yilkun miqdan.
ri,
- vahid
yiikun
i
nomreli yukgondorme ment€qosindon
Jr
ndmr€li yiik qebulu menteqesine dagrnma xerci (tarif).
.1i - nomrali yukg6nderma mantsqasinden jt nOmreli yuk
i
qabulu manteqesine dagrnan yukun miqdan.
Naqliyyat meselesinin helli -q, yi.ikilntin taprlmasrna gstirilir.
eg€r yiikgonderme mant6qasindeki yukun Umumi miqdan yuk
qobulu menteqolorina taleb olunan yukun miqdanna berabardirso,
ye'ni
198
i,,=f.4
i=t
(1)
j=t
gerti t denirs6, bel€ naqliyyat m€s,ol6si qapalr neqliyyat m6d€si
adlanrr. agor (1) garti 6d€nmirs€, bu, agq n6qli]4yat meselesi adlanr.
Naqliyyat mGolosinin ger0ori adeton agaodak cedvol l€klinde
verilir.
C€dvd 1.
YOk gond
Y口 k
monteqo
qebu!u menteq●
α QM)
￨●
市
Ehtiyat
lerl
(YGM)
A,
Bl
」
B2
B,
8。
」
」
」
X42
Xll
A2
」」」
X22
X21
ヘ
bl
」
X2n
ヽ
Xi
為
」
」
Xml
Tol● bat
al
Xl。
a2
」」」
」
ヽ1
鳩
X,i
」
稀
b2
Xn
」
an
稀
穐
bl
ai
bn
4‐ Σり
Σ
■
〕
プ
i・
1
199
A$kardrr
ki, 4
yiikg6nderma mentaqasindan biitun
B,
vuk
qobulu mantaqolarino g6ndorilon ytikiin miqdafl bu yuki..in
,4,
ment€q€sindoki ehtiyatrna baraber olmaltdrr. Ye'ni
-!l + -v,2 +...+a;j *...+.1,,
Diger
t€rafran
,4,.
=a.
(2)
yiikgirnderma msnt€qolarindan 87 ytik eebulu
monteqesine gondorilon yuk0n miqdan, B, menteqesinde teleb
olunan yi.ikiin miqdanna barabsr olmahdtr. Ye'ni
+...+-I, +...+.q, = 6,
(3)
(2) ve (3) boraberliklari i ve j-nrn (i=1,2,...,m, j =1,2,...,n)
xtj +
xz.i
baitiin qiymatlorindo dooru olduoundan
12+・ …+■ ノ+・ …+着
鋤 1+・■
F21+r22+・ …+■ 2ノ
・
.r
xmt
*
+ jl;r2
+...+
x,r2 +
...+
+・
m+ n sayda tenliklar altrq.
"=α
】
¨+''″ =α 2
14)
.rr) +
xD{
'..+
+..,+
4n = A
.\mn = am
巧1+場 1+・ ―+番 1+・ …+場 1=島
・+■ 2+・ ¨+為 2=ら
■2+乃 2+・・
+物
=与
$, * xzn +... + -\, "l ...* x*
=bo
・+場
鋤ブ+場ノ+・・
+.…
14)ve(5)sistem‖ 。‖ni q,sa,Ю k:lde yazmaq olar
200
(5)
GOrundO,撼 mi 12)ve(3)ten‖
erl面
‖
Cedve1 1‐ don
menteqelerlnh yo‖ ●ldiゾ uyoun Setrd● ‖ Ve
y°
k躍
4 V●
ら
sutndatt bttun場
旧
riT訛細鵬琴nma xora
・
・
■
12+…・+`1ノ・■ノ+ ・ +CI″ ■.+… +
/=C11・ ■1+C12・・
・+`J・
+C■ ・■1+・・
=ζ
●ソ+…・+ι
"・
・+
Ⅲ″+`"1・ヽ
"+…
・
+`"″ ・
協=Σ Σ ・
持
″
動+…・
r″
(7)
ノ‐1 '=1
olar.
Yuxandak butain tenliklorde
(8)
c, > 0, (i = 1,2,...,m, j =1'2,...,n)
Belalikle, n.qliyyat maselasinin riyal modeli (4)' (5), (7), (8)
ifadelorindon ibaretdir.
Telab olunur: x, dayigonlerinin (4), (5)' (8) gertorini ddayen 6l€
qiymetlerini tapmaq lazrmdrr ki, (7) xatti formas minimum qiymet als|n.
'- (4) va (5) sistemlarine diqqet yetirsek, g6rerik ki,
butun
deyi$nbrin emsallafl vahido barabardir. (5) sisteminin ssas matrisi
(4f sisteminin asas matrisinin transponire olunmug (ye'ni uygun setir
v6 siitunlar yerlarini dayigmigler) gaklidir.
Neqliyyit masalesini simpl€ks-ijsulla h6ll etmek mirmkiindiir.
Lakin ne{liyyat mosalssinin bo'zi sp€sifik xususiyyousri onun mustaqil
hell yollarrnr tapmaga imkan verir.
2- Naqliyyat mesolasinin dayaq plant-
proqramlagdtrmanrn buttin maseleleri kimi naqliyyat
meselesinin halii da dayaq planlntn qurulmaslndan ballanlr. Dayaq
Xatti
201
dann qurulmas bir nege etapdan ibaretdir. Har bir otapda csdvelin
yalnz bir xanas doldurulur. Har bir xana doldurularken nszarde
hrtulur ki, ya telabat tam ddenm€li, ya da bir menteqedon yuk
tamamilo da$nmaldr. agar tel€bat tam 6denirs€, onda hemin
doldurulmu! xanaya uygun sutrn codvalde{r gxar ms (doldurulmus)
hssab edilir. ag6r hor hansl yukg(indarma monteqasindeki bttiin yuk
dagnarsa, hemin menteqa yerlegan seti doldudmug h€sab edirik.
Yiik paylanma$ prosesi o vaxta q€der davam eEirilir ki, biitiin yilk
paranmls olsun-
eg6r yukgitrdsrme
m€nt€qelednin
say
z
menteqelerinin sayr ,r, , yUk qebulu
olarsa, Wxanda gitsterilen proses rn +z-l
de(u tekarlanrr. B6lolikl6, doldurulmug xanalann
xanalann
olur.
olduoundan, doldurulmamtg (qalan)
sy m.n
sayr m.n-(m+n-l)
Butiin xanalann
*yt m+ n-l
olar.
Xanalan doldurarkan doldurulmui xanalann say ,t + n - l-den
az ola bilar- Bu zaman her hang bir eta@a (axnnodan bagqa)
g6nderil€n ytikun miqdan ila talebat Ust-ilsta doiur. Bele hallara hellin
orlagmasr deyilir. Crrlagmanr aradan qaHtrmaqdan iitari hemin etapda
doHurulmamrg xanada slfrr ya,amaq ve hemin xananr doldurulmug
hesab etmak laamdrr. Yuxanda g6sterilan proseslar bir cadvel
uzerinda apanhr.
Dayaq planrru tartib etnek (mumkon bazis h€lli tapmaq) UgUn bir
nega iisul movcuddur. Onlardan an gonag yayllmtglan $imal{erb
(diaqonal) 0sulu ve sn kigik tarmer usuludur.
2.1"
$imal{erb iisulu.
Bu ilsulun mahiyyeti ondan ibaratdir ki, yUk dagrnma cadv6linin
doldurulmas c€dvolin Wxan sol ($imal-Qerb) kunc[ndan-xfi
yerlagdiyi xanadan ba$ayrr ve sao asaor kiinodo (xn yerlegdiyi xana)
qurtaflr.
Usulu misal 0zarind€ aydrnlagdrraq.
yiikg6ndermg mantaqsl€rinde
telabaflan
uylun olaraq 200, 12O, 180, 30Ot. olan Bi, 82, Br, B., Bu yiik qabulu
Mosele 1. Farz edek ki, A,,
&, &
uyQun olaraq 300, 200, 5()ot. bircins
202
ytk var. Bu yiikleri
ment€qalarin€ dagtmaq lazmdlr. YUk g6ndenne ve yiik -qebulu
manteqelari arasndakr mssafelar agaldak codvelda verilmigdir '
Cedvel 1.
Yok gonder Yuk qobulu msnteqeleri
monteq
Bl
B2
B4
B5
50
30 80 40
90
A2
40
35 50 15
60
A3
55
30 55
65
Al
33
5
Birinci dayaq planr tertib etnek taleb olunur. Bunun iigun c€dwl 1deki mesafuleri uyoun xanalann sol kiinciinde ya?aq ve kvadratla
ayraq.
Aragdak! cedv6li tortib edek.
¨
¨
剛
Hvd
Y● kq●bulu
知
」
B。
B4
B5
」劇劃
」
」」
国柳
劃
Ehtiyat
０
Ｊ
ｕコ。ョ。
２
ゴ観
。︲
０
ｏ
一
劃Ｊ２
型ｌ
＾
B2
劃
Al
A2
menteqo:oロ
(YQM)
Bl
A3
Tol● bat
200
2.
120 180 200 30C
300
200
500
1000
203
C€dveli doldurmaoa Xj1-in yerlegdiyi sol Wxan kunc0nden
baglayaq. GOrUndUyU kimi A1 ytik giind€fmo mentaq€sindeki yukun
miqdan (300t) B, yiik qebulu mentoq€sinin tolabatrnr (200t) tarn 6d€ye
biler. Ona gdr6 de birinci xanaya (xil), a9aot sao kiincd€ 200 yazrnaq
olar. Onda B, mentaqesinin telabat tam iidediyinden homin mont€qe
yedegan siitun srradan gxr, doldurulmug hesab edilir. Ona giira de A,
menteqesinda
artq qalan 100t. yuk 82
montaqesing (Xr2)
dagtnmaldrr. Lakin 82 manteqeeinin talabat 120t. oldugundan, onun
gahgmayan 2Ot y'Ukij X22 xanasrna yazmaqla 82 msnt€qssinin
telabatnr da tam ddeyirik. Ona gore da B, yerlagen sutun da
doHurulmug hesab edilir. & mentaqasinin buttin yiikti payland€mdan
o m€ntoqe yedegon setir do doldurulmug h6sab edilir.
Mivbeti doldurulmah xana x23 olar.
A2 ment€qesind€n 2Ot goturiildUyundsn orada 180t yuk qatr. Bu
ytik 83 m€nteqssinin telabatnr (180t) tam odayir (X23 xanastntn agaot
sao kilnctindo 180 yaznq).
Belelikla, A, mentaqesi yerlagen satir ve 83 monteqosi yorlegen
sutun tam doldurulur. Niivbeti doldurmah olan xana
x..
yerlegen
xanadu. Yuxanda gdstardiyimiz kami Ar{€ qalan yaik B"-Un telabatrna
beraber olduou ugtin x2{ (v6 ya x33) xanasrnda 0 (srfir) yazmaq lazrmdrr
ve bu xananr doldurulmug hesab etmeliyk.
Prosesi davam otdirsok, x31 xanasha 200, xuu xanasna 300
yazmalryrq. (cedvel 2)
Gorunduyti kimi doldurulmug xanalann say
7{ir.
(m+n-1=3+t
1=7)
Cedvelden g6runiir ki, birinci dayaq plana g6re yiikdaglnmantn
umumi xerci
f.50.20O+30.
1
00+35.20+50. 1 80+1 5.0+5.200+65.300=43200
f=43200
olar.
2.2. en kigik tarif,er iisulu.
Usulun mahiyyeti ondan ibaretdir ki, cedvBlin doldurulmasrna an
kigik tarif€ (xarc€) uyoun gelen xanadan baglamaq lazrmdr. Sger bela
tariflerin say bir negadirse, onlardan istenilenini g<ltiirmek olar.
204
Yuxaridakl mesel●
dVe1
(● 。
●90n en ki91k tartter ●sulunu tetbiq edok
3)
Codve1 3
YQM
YGM
Ehtlyat
Bl
」
」
0
Al
40
A2
B2
」
B4
」
劃
120
□
B5
180
50
15
劇
200
」
５
５
55
180
A3
Tolobat
B3
200
120
180
300
200
」」
200 300
20(
30(
500
1000
YUk gdndorma va yi.ik qebulu mentaqolori ara$nda qalan on kigik
mosafo (tario $s bsraberdir. Bu, A. va B. mentgqel€ri arastMakl
mesafadir. H6min mesafuyo x3. xanas uyoun gelir. Ona g6re da
hemin xanaya 81 mgnteq€sinin tElabatn tam ()d6yen 200t yuku &
mantoqesindon g6nd6rmek laamdrr. Onda % menteqesi yerl€gen
si.itun . doldurulmug olar. Bundan sonra A3 menteq€sinde 300t yiik
qahr. lkinci 6n kigik tarif (mesafe) 3Ga barabordar. Bu mesafuye x,r,
x32 xanalan ul6un galir. xi2 xanasm (x32 xanaslnr da doldurmaq olardD
dolduraq. Bunun UgUn Ar montsqesindon B? mant€qesinin tolabatnt
tam 6deyib 12Ot ygk g6ndsrmak olar. Bu halda 82 yerlegen s0tun da
doldurulmu$ hesab oluna biler.
Sonrakr en qsa masafra 4Hrr. & menteqasindan B, mentaqesine
onun telabatnr tam ddoyon 200t yirk gonderirik ve & yerl€96n s€tri
doldurmug hesab edirik- Ondan grinderilen ytik telabata uyoun
geldiyinden xll xanasnda 0 (siftr) yazmahyq ve bu xananr dolmug
hesab etmaliyik.
Sonrakr minimal tarif sGdir. 8u tarifia
xfl xanas uloun gElir. Lakin
hemin xana yed€gen sotun dolduoundan ora elave yuk qobul etrnek
olmaz- (xfl=0).
s$dir. Bu tarifu xrs (A vo B. menteqalari)
xana$ uyoundur. Bu xanaya 18Ot yiik dagtyaraq 83 montaqesinin
Sonrakr minimal tarif
telabatnr 6deyirik ve bu s0'tunu doldurulmug hesab edirik. Onda ft
m€ntoqesinde 12Ot yuk qaltr. 85 mentoqesinin tolabahnl (300t)
tEemak ugiin Ar w A. mantaqalerindsn uyoun olaraq 180, 12ot yuk
(x,3=180, x35=120) dagmaq lazmdlrGdrunduyti kimi doldurulmw mnalann say 7-dir.
Gedvel 3{en yiik dagnmasna gekilan umumi xerci h€sablaya
bilerik.
f:50.0+30.1 20+90.1 80+40.200+55'
1
80+5'200+65"1 20=46500
f=465ff).
Maraqldrr ki, bu mes€le UgUn 9imal-Qerb iisulu ile tartib edilmB
dayaq plan iizre h€sablanan Umumi xerc (43200), an kigik tariflar
ilsulu ile tertib edilmig dayaq plan ii4e hesablanan iimumi xerce
(465m) nisbet€n optimal plana daha yaxtrdtr.
3. Dayaq plandan optimal plana kegilmesi.
Yuxanda g6sterdik ki, noqliyyat meselasinin helli dayaq plantn
tertib edilm€sinden baglanlr. Lakin bu iisullann heg biri optimal plant
tapmaoa imkan vermir. Ye'ni her hang bir iisulla allnmq dayaq plan
optimal plan olmaya da biler. N€qliyyat meselasinin helli ise yalntz
optimal danrn taplmasrnr telsb 6dir.
Biz grdsterdik ki, neqliyyat mesal€sini simpleks Usulla hall etmek
mumkundur. Lakin neqliyyat meselesinin spesifikliyini nezere alaraq
onun helli iigiin bagqa pllar taplmqdtr.
lndi ise neqliyyat masaiesinin optimal hellini tapmaq u9un movcud
olan osullardan bo'lledni aragdlraq.
3.1. Paylama 0sulu
a/velce bir negs te'rff wrek.
Tepe ntiqtel€ri xanalarda yedagan ve yalnz
iki tarefinden biri
setir, o bid su'tun boyunca yon6len s,nlq xatt tsikl adlanlr. Girrundury0
kimi her bir xanada yerlegen tep€ niiqtasinin iki qongu tepe noqtesi
var. onlardan biri hBmin tap€ n6qt€si yerlegen setirda' o biri ise hemin
206
tep€ noqtasi yerlosen siitunda )rerlosmigdir. Balga s6zlo, bir satirde
(va ya sutunda) 0g tepe n6gbsi ysrlale bilm€z. Y€'ni xanalarda
yerlo$€n elemenuarin Qq) indekslari yalnE iki defB tskrar oluna bil€r
(mes€len, X12, X13, X2a, xx). Tsikller yalntz qapafu slnq xeft olub 626zunu kasa da bilar (t€kil 15)
A.
A.
a)
A$kardrr ki, her bir
tsiklde tapa
noqt€16-
rinin sayr cutdilr. Ona
gdre da h€r bir t6pa
noqtesinin (hamin n6qxanada
yerlspn elementin) 0zerindo rxtvba ila "+', "-''
tays uyoun
i$arderi (her biri iigtin
musb€t iiarodsfl ba?
gakil
ls c!)
lamaq lazrmdrr) yaz-maq olar.
Yuxardagostermiidik ki, naqliyyat mosolasi ugun dayaq plantnt
tartib eEikd€ m+*1 sayda xananr doldurmalr olurduq (rly0k
gonderma, /}yaik qabulu menteqelorinin saydrr). Doldurulmug xanalar
bazis, bo9 xanalar ise serbast xanalar dlantr.
n?+D1 sayda bazis xanalara bir sarbast xana dava edak. Onda
qeyd edilmig xanalann say zF, olar. Bu halda hemin )@nalar ugun
tsikl drzalbnok hamig. mumkiindiir. Belolikla goriiruk k, hEr bir tsiklin
247
bir elementi s€rbast xanada (bog xanada), qalan elemenfler is€ bazis
)(analara (doldurulmug xanalara) u)€un gslsn €lem€nfl 6rdir.
xii elemenllorinin mtisbot igaroli xanalaflna (elemenflorin€) hor
hansr bir X €d€dini alavo ets€k ve msnfi igareli xanalardan
(elementlardan) hamin odedi gxsaq, bu emeliyyat naticasindo altnan
ededler dayaq planlna uyoun g€l€n sistemi Odeyir. gunki x,i
.dodlarinin setirler va siitunlar iizrs oami dayigmaz qahr. BJ
emeliyyata tsikl iizra siiriigms d6yilir.
Yuxanda deyilenlari misallarla aydlnlatdlraq.
Cedval 3den gtiriinduyu kimi
xlr, x12, xr5, x2r, x33, x3., x35
bazis xanalardrr (d€yissnlordir).
Bu bazis xanalanna bir bog (serbest) xanaru (deyiFni), moselen,
X3r-ii elav€ 6dek. Onda bu xanalar tigiin
+-+-+
-\:' lis, -ts' -Er, -ri:
tsikli uygun gelir.
.q, = 0, .v,, = 180, -q5 = 120, ,h = 180, xr: = 0.
olduoundan "+" igar€li elementlera -r 6lava edib "-"
igar€li
elementlarden .v-i gxsaq, yeni elementlar alanq:
= 180 - rd, .r':s = 120 + :q -t'., = 180 -.q .t',, = .1
A$kardrr ki, bu arneliyyat naticasind. yiikl€rin sotir va sutunlar
iizre paylanmas pozulmayacaq, gtinki h6r bir setir ve ya si.itun uzra
.t',, =
-q
"t'15
yriklarin comi deyigm€z qalacaq.
eger serb€st (bog) xana kimi
・t23,■ 1,・
olar Yeni deyIDenierise
X23-U
q€bul etsok, oMa tsikl
il,朽 5,■ 5,・ L33,場 3
￨・
χ‖=二 /15=180-ムダ35=120十二
ダ33=180-二 ″23=エ
GoNnduyu ttmi ttk!yatn:z her bl『 bo9 xana t9un mumkundur
χ23=ニダ21=200-■
BO柚 n dey19en!erl yainlz bazls deyilenier olan sistem
qurrnaq olFnaZ
208
●9un tsikl
“
1思
ぶ
r椒 :覇ポ驚ぶ FttrT」
I魔
。
認網
serbest doyi9eno 9evnlo「
Misa‖ ra mura● et edok
Codve1 3‐ den X24 b●●Xanas:u9un tsikl tertlb edok
■24, 鳩
4,
■35,
'15,
苅 1, ■21, ■14
3u tsikl(sin:q xettin)tOpe noqtelo‖ ndo
■
・
24=0,均 4=20Q毛 5=120,■ 5=180,.ti l=0,
毛l=200, 場4=0
劇
理溜悪癬ぜL酬 qeder s.籠 “ pnd中 nbr
メ】
"む
J24=｀メ34=211tl一二 r35=120+ヘ
5=180-ニム 1=ム
oに
ゴ21=200-、
￨●
ヽ24=え
olar
‐
"i,areli ededl● ri9erisinden en k191k edodi Se9ok:
“
x3mln42∞ ,180,20o=180
.
Onda,yeni deyi,onler
メ24=180, ■34=20, マ35=3∞ , マ15=0, t111=180,
■21=20, マ24‐ 180
olar
Ola b‖ er
ki,Xdり ,ninin minimal qiymeti br ne90 mo雨
i"re‖
甜堂
灘躙 :l朧棚製認凛禦潔翻 ∫賠
olan bazls deyl"ni● r kimi qobul ed‖
i「
魃
聰
ha!larda o:ur_
Gorund● yo kiml,codvel●
m・
1需
edir?
zo哺 nde
aparilan bu 9o宙 71neler neqliyyat
d。 ‖
ne ne∞ 歯
nmtt Ю
事潔霊讐漁 1場R認 ‰り
:魁
r
Serbest(b● ￨)Xana klmi Xl olemenlni se9ok ve bu oloment 09un
tsikl tettb edok vo hemin tslkle X su祀 ,mesi verek
209
Agkardtr
E1
,2-
..
i
ki, "+" igarsli xanalarda xercl€r C^. X
g€dot artar, 1" igareli xanalarda bir o q€dsr azahr.
(b1,2,...,i,
Burada Crrtarifdir.
.
Tsiklin musbet i$areli elementlorin€ uyOun x€rdori toplaytb m€nfi
igareli elementera u1ryyn xerderi grxsaq iimumi xsrcin arhbartmadqtnt gostaron bir ad6d ala q. bu edod X-e 96r€ mutanasib
dayi$ir- Praktiki otaraq bu, bela yorins ),stirilir_
Tsiklin elem€ntlorin€ uygun gelen igarelBri tarifler UgUn de qebul
edirl€r Bu tarif,eri bplamaqla h€r han$ S, €emini ahflq. bu c€me xi
s€rbest doyig€nlori U{iin tariflerin cobri c€mi deyilir. Onda yiikitri
da$nmasrnn iimuma xorci
six
q€dar deyiger.
egor S;>0 olarsa, bu onu g6storir ki, X, d6yi$6ni ozre apanlmE
gevirme dagnma xercini azaldacaq va bu plan optimal plana daha
yaxn olacaq. eger 560 olarsa, d€meli, bu gevirme serfeli deyil, Rinki
gakilan xerderin artdornr bildirir.
Yeni daytganl€ra g6re alman plan )zre gakilan iimumi xarc (c€dval
4)
,850. t 80+30. 120+40.20+'t 5. 180+55. 1 80+5.20+65.300=45600
,E45600
olar.
Cedve1 4
YQM
YGM
Ehtiyat
Bl
劇
180
A,
A2
d
20
」
32
33
剛
聖
120
210
9
翻
300
劃
」
国
国
劃
」
劃
180
200
B6
劃
ヘ
Talebat
B4
120
180
180
200
20
300
500
200
300
1000
melki mesi.y● qayldaq
Tarllem cebn celni menfl● lan serbest deton se9ok ve onun
u9un tslkl d●
201dOk Belo serbest dey:,on kimi X23 ug。鑢rrnok olar
場3,為 3,■ 4,■4,｀ 3
C24=聾 55+,15=‐ 15
S23く 0
S20=C23‐ C33+C34‐
Tsikldo menl i,areli● n k191k edod
X→180,180)=180
oiar
X=180 ododine beraber su由 ,me aparaq ()nda yenideyl,on!er
」23=180,■ 33=0,マ 34=200,マ 24=°
olar
Moselenin yeni baz:s heni(yeni plan,cedVel関。goste"lmi,dir
Codvel
YQM
YGM
Bl
四
聖
12C
劃
120
130
200
０
0
200
300
２
Telebat
」
」」
」」」
A3
B.
。
１
劇ヨ３
」20 」
Ehtiyat
B4
劇劇
A2
180
B3
櫛
コ
則
コ
Al
B2
300
200
500
1000
つ´
Bu plana gbre yuk da,Inmasin:n Omumixeru
β50・ 180+30・ 120+40・ 20+50・ 180,65・ 0,5・ 200+65・ 300=42900
μ 2900
i鵠
1酬
Ⅷ
出
襦
響
fⅧ脚 1脚旨
“
霧撫織棚躍満鶉 l朧拙
n譜
la21mdr
Bo,Xanaya uygun gelen Xl.Serbest deⅢ nl 19un tsikl du201dOk
ve tartRer ceminitapaq
ー
キ
+ +
I13,場 3,あ 1'■ 1,■ 3
S,3=30‐ 50'40‐ 50=20
S,P0
olar
X44der抑 lЧ Ⅳ n
.trl,
.14+, '1rrr.
r::' -tl, rtt"
'rtl
S,.=4G5t5$50+4&50=20
Sr.>o
B€l€liklo, b0t0n serbast deyigenler iizra tarifler comini taPsaq'
oorerit fi. bu comlerin hamEl musbet iFrolidir' Bu' onu g6stsrir ki'
Ihrr-rs ,xrnnc' plan optimal Plandr.
Demeli yiikun daflnmas ilg0n gakilen iimumi xarc F4290,0 olar'
18o
eet f<i, iririnci yiii (Si'ndarma \ manteg€Gin€olan 3oot-yukiin
qayda
g6ndor,m€k
Eyni
lazmdtr'
tonunu B, yuk qetiulu hent'aq$in€
il" ;.;6o*i"d€ olan 2Oo bn yuku'n 20 bnunu q monteqasitlo'
ia6 ionrnu B" menteqesina, A manteqosinda olan 50O ton yiiktin
200 bnunu B. menteqesine, 300 tonunu 85 msnteq€sine da9maq
laamdr.
v6rilmis meselonin bu hell iisuluna pay'anma ijsulu deyilir'
g€loLk6, n€qlitryat meselasini hall etmak uKiin paylama Osulunu
agaodak qaydada t€tbiq etrnek laamdtr:
212
ざ烈 _習服獄響鵠轟憫ぽ
b農
'酬
3_2 Potensia‖ ar tSulu
Neq‖ yyat moselesinin he‖ i190n daha bir usulu ara":raq Bu osu;
potenshlhr uSub adぬ剛r
4-yok gonderrne mentoqeshい her
‐,“ )eded10nni ve島脚k qebub menteqeler― heF
α′ (J=1,2,‐ ・
=1,2,… ,″ )・ dOdlerl雨 qobul● dok Bu
blne uy9un gelen β
ЫlnO uygun gden
プ
(′
ededl● n el● 90turek ki,
αj+β ノ=r〃
(1)
beraberli,Odensin
3urada r,,持 baZiS doylsenio"ne uygun gelen tarnerdir
α′Ve βノedodbine
uygun daraq yuk gonderme Ve yuk q●
bdu
213
':謂 k動脳
謂畷『欄 LT甜品露柵濫菫
品
議溝
bZ″ +″ -l tonllkdOn"″ +″
ndmわ ad
j“ 翼
齢
器
‖
eh副よ
准聞出諄設需1樫晋
器響識ツ
“
deyll●
`11=α l+β l=50
r12=α l+β 2=30
`22=α 2+β 2=35
2+β 3‐ 50
`23=α
ο
24=α 2+β 4=15
O)
`34=α 3+β 4=5
ら5=α 3+β 5=65
静:躙柵鵠
濡聯翻鯨珊寝
匈 Or pOtenslallar mざ :um
olaM,onda ixbyal■ t′ serbest deyi"ni
un su tartFer cernhi
dl由 ru
Str=ι ″―(α .+β ′
)
(3)
ile hesablamaq oiar
α.+β ′―rAr
i"re edOk VO onu■
a11■ q
kl,
1′
SOrbest deylξ pninin lkov tatt adland,raq Onda
■″ SerbOst de"抑 i09tln tarlnenn cebl∞ mi heqiqi ta‖ 10
fktv tattn ttqhe berab調
「
StF=rir あ
Buradan"runar ki,tarllttn cabn cerni menn isareli olduqda
mOsbetlpre‖
214
。lduqda
`″
くでAr
)
“
(5)
ι″
>ι ″
ve ya
rtr―
o:ur
`L>0
(6)
Belelkle, allnq kl, o9or bttn serbest doneder じ o(61
borabers121iyl odenttЮ , yび ni heqlqi tarnerle鳳
musbet edOd olatta ahnm,,plan op籠 ma:plan olar
“
"tattbrln ferqi
O)SIStemini hel edok Bunun 09un αl=O qobuledok Onda
αl=° ,α 2‐ 5,α 3=
5,
βl=5Qβ 2=30,β3=45,β4=1° ,β 5=70
alartq
Bo, xanalar u9un c17
muqarЮ
均l
heqlq: tanlelni c, lkhv tanlerl i:o
edOk
Xanas!u脚
ι
a=40,`:1=α 2+β l=5+50=55
olar
Gorund● yu kimi hemin xana 090n fktiv tar15n qlymet heq:qi tarttn
nden bOyukdur Yぴ nitamenn cebri ceFni mOnlヽ滲 FOlld「
●ソ瞑蒟
S21=C" ril=40-55=-15,S21く 0
島面 qanわ購場s xa― 鄭沖n hqltarr a25=60,締
ね市 ι:5=α 2+β 5=5+70=75 olar ttda helnh xana…
tanOorln● ●b‖ corni
S25=で 25
・
`基
=ω -75=-15,S25く 0
olar
Qalarl b● l
xanatar■ 3,■ 4,■ 5,あレ為2,■ 3・ 9un tmttn∞ 昴
cernini tapaq
■3・ 9un:heqnita面
q3=鉤 ,43=α l+β 3=0+45=45,43=45
■3=q3 43=40-55=-15,亀 >0
■4u9un:
215
+10=10, `i4=45
S14==C,4 `i4=40-55=-15, S14>0
`14=40,ci4=α l+β 4=°
■,u● In`
q5=90,45=α l+β 5=0+70=70,45=70
■5=q5 45=90 70=20, ■5>0
,ril
―
:
`3:=55,41=α 3+β l= 5+50=45,c:1=45
S31=ι 31
`:l=55-45=10,S31>0
■ 2 u9un:
3+β 2
5+30=25, `32 25
`32=30,`32 α
S32=`32 ι :2=30-25=5, S32>0
場 3 09un:
C33 55,c33 α 3+β 3 5+45=40, c33=40
S33=C33 ● :3=55-40=15, S33>0
GO両 ndOyl klmi tti vO■ 25 bO'Xana:a‖ ndan ba,qa qalan b● ￨
xanalar睦 tarlflenn cabn cemi musbetisareltt Ona gore de plarll
ya埒 ‖
a":maq l¨ n亀 l Ve L5 deylsenlerine gore tsl‖ br tenb
ehekla2ndに
場 l deyl'eni 09un tSlkl
洩
1,■ 1,詢2,泣 2,均
l
ギぉ deyll● ●l● いm Hkl
+―
り
つ
け34,
`25,
olar
en
+―
つ
じ24,
H―
216
つ
じ25
"5,
均l deyIleni ttn menfI■ reli
k191ylnin qiym前 20,場 5 dey● eni
qlymetlerむ
十
つ
Xanalada ye■
o9en deyumlerdon
190n iso O(sllr〉 d:r
""-9me aparaq_Onda yem deyt,omer
:rrr = l80,.rrz = 120, -hr =
20,ra
= 180,
'tr =200,qs =300
olar.
Yeni ahnmE planln optimal olub-olmad€tnt yoxlayaq. Bunun Ug{in
potensiallan hesablayaq-
αl+β l=50
αl+β 2=30
α2+β 2=35
α2+β 3=50
α2+β 4=15
α3+β 4=5
α3+β 5 “
αl=O qobul● tsok,β l=50,β 2=30, α:=-10,β 3=60,
p5=70,α 3= 5,β 4=10 alanq
brl comlm h― blayaq
恥 Xanalar● 9un ta赫
・・
:+β 3=60,ι i4=α l+β 4=10,`15=α l+β 5=70,
`i3=α
`22=α
2+β 2=20,ζ 24=α 2+β 4=° ,C31=α 3+β l=45,
`32=α
3+β 2=25,`33=α 3+β 3=55
■3 deysen1 0"n:
S13=`13 43=80-6Cl=20,S13>0
・・ 14 dey10oni uelni
St4=r14 r14=40-10=30,St4>0・
■5 dey19oni o9un:
■5=ι 15 45=90 70=20, ■5>0
・Y22 dey19en:u9uni
217
S22=ι 22
`:2=35-20=15, S22>0
場 4 deyll● nittφ n:
S24=σ 密 Ct4=15-0=15,S24>0
■ l dqr絆雨￨"配
S31=ι 31 ι :1=55-45=10,Stl>0
■2 deylsoni C● 由n:
S32 C32 `32 30-25=5,S32>0
'を
3 dOyl,oni● 90n:
島3=`33 ら
alinq
=55-55=0,AS33=0
bOP XanalaF u2re a赫 00brlcem mef
uyu‖輛輛
… deyll Demol,a!:nm:,plan optlma:plandir Homin plan:oodvel
■ ren
kllnde"sterek
「
YQM
YGM
Ehtlyat
B2
０
２
︲
︲
。
コ．
３
ま
︲剛コ．
Bl
B3
B4
B5
」」」
Al
4叱
AR
Telabat
。
J
200
」
乳」
」」
120
180
劇﹁コ２
A2
200
」0
」
300
200
300
500
30C
1000
Bu cedvel Uzra yiik dalrnma$na gakilon aimumi xerc
218
/
.l2O + 40.20+50.180 +
= 50.180 +30
+ 60 .0 + 5 . 200 + 65 .300 = 42900.
f
=
a2900 '
altnq.
Biz bu n€tic€ni paylama usulu ile almqdq.
Belelikle, poteosia[ar Usulu ika noqliyyat msel€sinin h€lli tigiin:
1. A,
y,Jk gondarma mantaqal€rinin
ve 8,
yuk
Qabulu
o, va p, pot€miallannl taplrq. Bunun ugiin
m+n-l sayda ta{ ikdan w m+n sayda d€yigenden iba€t xstti
menteqelerinin
tenliklor sistemini qurub h6ll edirik. Bu sistemi hell eBnek u9un
dsyig€nlarden birine (meselen, ct, -a) mtiay)En (m€s€lsn, srfn)
qiymet verib qalan deyiganlarin qiymetlodni tapnq.
2. Bog xanalara uygun .ti, doyiganl€dnin fiktiv c*1 tarif,erini
tapflq vo ho9 xanalar 0trro tarifl€rin cebrri cemini (ye'ni hemin
dsyigenlare u)4gun heqiqi v6 fiktiv tariflerin ferqi) h€sablaynq. ag6r bu
qiymatter manfi igareli deyilse, onda aknmrg plan optimal hesab
olununr-
3. agor her han$ bar doyig€n iidin h€qiqa vo fKiv tariflerin ferqi
menfi igaroli olarsa, onda bu d€yigone gore tsikl tertib edilir ve yeni
bazb hall ahmr. Bu yani Hlin or,tilnalltgr )^rxanda go€terilen qalda ii€
loxlantltr.
4. Yuxanda g0steril6n pros€s o vaxta q6der davam eHirilir ki, h€t
bir bog xana iIii,n tarifl€rin cabri cemi miisbd €d€d olsun.
4. AOq n€qlifyat meseleei.
Fez edek k:, ,4, VtX g6nderma menteqalerindeki
miqdan 8y yirk q€bulu menteqelaine tel€b olunan
midanndan bdyilldiir. ys'ni
yUkun
yti,ldi'n
>Σ ち
Σ
j=l
i=l
"
ll
`′
Yiik qabulu m€nt€qolerinin trotiln tohbatrx 6doy6n vo minimal
xsrc aekalen yilk dagrnmasnl tegkil eknok teleb olunur.
8€16 nogliyyat mesalosi agq negliyyat m€salosi adlantr.
Apq noqtiyyat mssslEini hall €tmBk 0giin onu qapal, naqliyfat
fiktav yuk qobulu
mas€lesina g€tirirlor. Bu maqsadla olave bir
mantsqasi daxil €dilir- Bu mentsqonin gabul etdiyi yuk aikardrr ki,
4*l
ちJ=Σ1 脅―
Σり
‐
′
(2)
ノー1
olar_
3u釉曲 menteqeye yuk daslnmast鮨面 slk(ら .=0)qobul
,″
edi!ir
Sayda yuk gondeFme mOnteqeleFlndOkl yuku
r2+l sayda y● k q●bulu menteqol● rine da,inmasi 090n qapa;:
&耐
鮨
,b12″
Ц
k"ndorme mm輌 derlnd菌蜘n
ず
ぃ
蹴
野
miqdarl yuk qebulu rnenteqo:olnin tolabatindan azdirsa,yo'ni
角く
り
Σ
Σ
j=l
i=l
(3)
tir
‘
︲
〓
ブ
“
一︲
い
一
う
，
ん
＋
〓
“
一
Ｌ
″や
,4,*, fiktiv yt* gond€n$o mont6q€si daxil ekn€kle
olaGa, alava
qapah neqliyyat moselesino galirik. Onda alave (fiktiv) yuk gonderme
mentaqesindeki yiiktlfr miqdafl
14)
challdlr
8o:eliklo,biz ″
sayda yuk gOnderlne
ylkt
sayda tt qebull`+l
menteqelerlne
da9nmasl menteqelorlndoki
run qopall neqllyyat
“
meseieslno
ge‖ rlk
MOSOL0 4,/2,4 yuk g6nderme menteqdennde uygun
olaraq 300,400,500bn)油ku telabatlaFl uy9un olaFaq 200,120,180,
220
200, 300ton olan
{, 4, Br, Bn, Bt y k qebulu mantoqelerine
dagnmatdr.
YUk da$nmasrnm tariflari cadveHo verilmigdir.
T€labab 6d€y€n ve €n az x€rcle yii,k
da$nmas
16$kil ebn€k
teleb olunur-
HALLI. Yirk g6nd6rme mar@elerindaki yiirlrti'n miqdan
300+400+5OO=1200bn, telob olunan yilk0n miqdan
2U)+120+180+2m+3OO=10()o bnduI, ya ni bazada (e.htiyatda) olan
yukon miqdan teleb olunan yUktn miqdanndan 20obn goxdur.
Dsm€li, m€s€l'a agg n€qllylal rnseleGidir.
,6 -fiKiv yiik qebulu m€nt€qesinin c€dvele daxil edek- Onda
hemin monteqsye teleb olunan
crc=c2r, =c:e
ytk
be = 200 ton, uygun tarifler be
=0 olat. Bu halla
masEle qapal n€qliyyaf
mmelesine gewilir. Onu hell edek.
Dayaq planr $imal4lerb qsufJ ilo tertib €dek.
Cadvel
1.
YQM
Ehtiyat
YGM
31
B2
B3
B4
B6
B。
jgl
E
」
」
」
」
200
ヨ
20
」
」
]130
劃
馴
」
0
qd
300
ヘ
Telabat
300
知
』
ち
100
コ
A=
200
120
180
200
300
剛
400
-e-l
200
200
500
1200
fuEnsiallar sistemini qtn-aq wa hell edak.
zzt
αl+β !=50
αl+β 2=30
α2+β 2=35
α2+β 3=50
α2+β 4=15
α2+β 5 60
α3+β 5=65
α3+β 6 °
αl=0,α 2=5,α 3=lQ
L=50,β 2=30,β 3=45,
β4‐ 10, β5=55, β6= 10
v tarmon taplb,heqlqltamerle mⅢ
F関腱
14=40,
l+β 4=10くご
13=80,ι i4=α"raq
l+β 3=45く ι
`i3=α
l+β 5‐ 55く
r15=90,`16=α l+β 6= 10く c16=0,
`is=α
ε
26 α 2+β 6
21 α 2+β l 55>ι 21 40, ι
5く r26 0,
41=α 3+βl=60>c11=55,42=α 3+β 2=40'r32=30,
`33=α
3+'3=55=`33=55,`34=α 3+β 4 20>rR4 5
0● Ettn"mme
x21'為 1'X32,'軌
deySenlerl ttm flktlv tarer
heqlqi tarllerdon"〕滝kdur
tSN tertlb轍 :Bu tslkller― lf
均 l Ve■ 4 dey…
xana:ardan ke9dlylnden cedvelde
… deyijk‖ ylikl dtt apamaga ehlyac
yoxdur Sadoce heF d… u9un mun surulrle apamaq myetdir
■21 deyt9eni 090n tsikl:
場1,■ 1,“ 2,あ 2,あ 1'
222
■ 4 dey!￨● ni u9un tslk!:
++
+―
+―
毛4,・t24,均 5,も5,あ5,為 4
olar
l dey:,en;● 90n
'を
'も
χ=min{200,20〕 =201
4 d・Yl'Oni o9an
x=minp∞ β∞)=200
olar
Onda yonldり摯 ni● r:
二1=1晦二2‐ 120,二 1=",■ 3=180,二 5=知
島4=21Xl,15=65,電 6=2C10
,
olar
Bu deyi,on:enn qlynedo■ ni cedvelde yenne yazsaq, yeni plan
alarl年
Cedve1 2
YQM
YGM
Ehtlyat
32
ヨ期コ
T● Iobat
」
劉
200
120
180
5
200
400
0
35
200
300
」
加
A3
」
到一
∼
B。
」」」」
慨
ａ
」
B5
劃
”
ー
８
Al
B4
B3
劃
ヨ
剛
コ︲劃
B`
100
300
2∝
200
500
1200
Potensiallar sistemini quraq ve holl edak.
223
αl+β l=50
αl+β 2=30
α2+β :=40
α2+β 3=50
α2+β 5 60
α3+β 4=5
α3+β 5=65
α3+β 6=°
α]=0,α 2= 10,α 3= 5,β l=50,β 2=30,β 3=60,
β4=lQ β5=70,β 6=5
nabr O,m flktⅣ
rno‖ hesattyaq"hqlqIね
ね
枷論ど
43=α l+β 3=60く
■
謝。
「
ら,=80,44=α :+β 4=1° くら4=40,
l+β 5=70く
`15=α
`15=90,`16=α l+β 6=5く `16=°
ご:2=α 2+β 2=20>て ,22=35, cL=α 2+β 4=° くr24=15,
`.挽
,
=α 2+β 6= 5く ι
26=0,C:1=α 3+β l=45く r31=55,
l+β 2=25く
`:2=α
`32=3Cl,ci3=α 3+β 3=55=c33=55
GO由 nduyu kimi yaln12 .ti6 dOyt,erH o90n fkt市僣 nf h● qlql
tarlnerdOn bOyukdOr Homin deyl,onier u90n tsikl duz● idok:
,
:
Ⅲ6,島 ,■ 5,な
鰤
岬
￨
￨
,場 1,・t11, t16'
XanalaFda yerle9en edodleFdOn en k491ylni・
・
e9ok
、=min{200,200,180}=180
■=180 odedi qeder y― rldakl鶴 ‖破
"suttpe aparaq Onda
yeni deylsonler
224
3=180,場 5=20,
=2=120,16=180,ti=200,■
二4=2∞ ,二 5=280,二 6=20
olar.
Bu deyigsnl€ri c€dv6l6 daxil edok.
Cedve1 3_
rQM
YGM
Elrbyat
Bl
」
B2
B3
」
d
d
86
B6
』
」
120
A,
劃
180
」
A3
200
J
割
200
A2
Tttt
B4
180
劃
劃
120
180
J 20 J
」」
200
200
280
300
_Ql
300
400
20
200
500
1200
Alrnmrg planr qiymetlendirmek UgUn potensiallar sistemini quraq ve
hall edek.
αl+β 2‐ 30
αl+β 6=°
α2+β l=40
α2+β 3=50
α2+β 5 ω
α3+β 4‐ 5
α3+β 5 65
α3+β
つ´
ウん
` 0
αl=0,α 2= 5,α 3=0,β I=45,β2=30,β 3=55,
β4=5,β 5=65,β 6=0‐
Bo, xana:ar u9un lktlv tarllon hesablayaq ve heq:qi tarllerlo
tutu゛ uraq
で
il=α l+β l=45く cll=50,ご i3=α l+β 3=55く r13=80,
Ci4=α l+β 4=5くら4=40, ι
15=α l+β 5=65く r15=90,
Ct2=α 2+β 2=25くご
22=35, rL=α 2+β 4=0く r24=15,
r26 α 2+β 6= 5く r26 0,C31 α 3+β : 45く r31 55,
ε
32=α 3+β 2=30=`32 30, `33 α 3+β 3=55=r33 55
GOrOnduyu kiml lktlv tarlnerin he9 b″ ih● q:qi tartterl a,m『 Ona
gore de ax:nna plan(cedV● 13)optimal plandir Bu piana gore yok
da§ !nmasina 9okilon Omumi xerc
/=30・ 120+40・ 200+50・ 180+60・ 20+5・ 200+
+65・ 280‐ 41C100
/=41000
olar
5 Paylama ve potensia‖ ar Osulunun muxte!lf neqliyyat
mesolol● ‖nin holline tetbiqi
MOSOLЭ 5 1 Topdan satl,baza割口n lk1 4 vo 4 anba「
lanndan uygun olaraq 20,15ton unu, telebat
hm uygun ohraq 18,10,7ton dan 09 Bl, ら
,
島 mag,7Janna dattmaq lazlmdlr YOkun da‐
9inma tarlneri
C=(i
:
:)
matrisi‖ ● verllmi“ lr
YOk da)nmaslnl ele te9-
kll etmok laz:mdr kl,da,:nmaya 9ok‖ On lmumi
xerc minirna!olsun
22θ
´
Msselenin gartinde verilenlsri cedvel geklinds g0s6arok
Dayaq planr minimal tariflor iisulu ile quraq.
H8l-Ll.
Codve1 1
YQM
Ehtiyat
YGM
B2
Bl
13
Al
B3
J
7
」
」
10
A2
Tolobat
20
10
18
15
7
35
GoFiindiiyii kimi doHurulmug xanalann say
4{0r. (m+ n -1)
Dayaq plan ugiin umumi xordori hesablayaq.
f
=3'13 +2'7
+
4'5
+ 3'10 = 103
f =t0t'
almq.
Dayaq planrn opfmal olubolmamasnt aragdtraq. Bunun ti90n bo9
xanalar ilzre tariflar cemini m0oyyonlagdirek.
,q2 deyigenine uygun gol€n bo9 xanant gouirak, h€min d€yi96n
ugtin tsikl dUzeldek ve tarinor camini tapaq.
+-+-+
\2,
S,,
xzt, &r,
'tr,
rrz,
=4-3+4-3=2>0
s,,,o
.r)? d€yi$oni Ugon tsikl duz6ldek va tarifrer comini tapaq
+-+-+
-r2:, -tr, Jrr,
rrr,
rb:,
227
ら3=5-4+3-2=2>0
S23>0
BOtun bo,xana:ar● 9un tar1ler comi mOsbet olduoundan,dayaq plan
optima:plan olur
Be:olikle,yuk da,lnmaS:na●
●
kllon
=103)o!maSi
190n切 nd ambardan(4)Ы nnd maOa2aya(31)13ton,o9oncu
“
maga2aya(鳥
)7ton,khd ambardan(4)Ы
)
"nd maga2aya(■
xercin en az(_′
5ton,lklnci magazaya(32)1° t° n un gOndormek la21md『
GOrund● yu kimi birlnci ambardan ik:ncl maon7,ya, ikind
ambardan o9uncO maoazaya un gondermok serf● ‖deylL
MOSOL042 0,mOxtel1 4,4,4 demiryol stangyalannda
uygun olaraq 100,150,50 bo,vaqOnlar var Bu
vaqonlariteiabatlari uygun olaraq 75,80,60,85
vaqon dan島 ,島 ,鳥 ,■
Stansiyalamna gon―
dermek la2:mdir Bir vaqonun gonder‖ me tarlneri
Vaqonlann gonderil「nesini ele telkil etmok la21m―
dir ki,9oki10n umumi xerc minimal olsun
HOLLi Ve‖ lonlerl
uzro umuml xerc
cedvelo k● 9urek ve dayaq planl luraq Dayaq plan
ノ =7・ 5+3
60+5・ 35+1 75+1・ 60=675
/=675
olar
う４
Cedvet l
YQM
YGM
Ehtiyat
Al
A2
」
」
B3
B2
Bl
」」
」
5
J
B4
60
35
」」
100
150
A3
」
』
到
」
50
Tel● bat
_■
75
80
60
50
300
85
li dey19eni 09un tsikl duzoldok ve tartter cernini hosab:ayaq
■1,・ti2,め 2,■ 1,■ 1,
SII=6-7+2-1=0
SII=0
■ 3 deyl"nl 19un
均3,乾 2,■ 2,・r13,場 3,
S23=5-2+7-3=7>0
S23>0
場 4 dOy,,eni 19tan
+―
+―
+
場 4,場 2,・■
i2,・■
14,場 4,
229
S24=6-2+7-5=6>0
S24>°
'を
l deyl,on1 090n
+―
+―
+―
+
■1,■ 1,あ2,■ 2,・F14,■ 4,■ 1,
S31=8-1+2-7+5-1=6>0
島1>0
毛 2 dOyll● ni 190n
+―
+
+―
｀2,・Y12,■ 4,あ 4,■ 2,
S32=10 7+5-1=7>0
島2>0
■ 3 dey19ooiむ
"n
■3,・
・
i3,■ 4,場 4,■ 3,
・
S33=20-3+5-1=21>0
S33>0
Belelik:●
ねrmr
allnq kt, .rll deyilenindon ba,qa butun b● l xanalar 09un
celni mOsbeld「 Yahに
Bu dOゾ
■l
deylleni 09tun sl=0司
『
"nun
χ=min{5,75}=5
ododine beraber tslklセ
:υ
su山抑
e aparaq onda yenido漁 ml● r
ヽ1=5,三 2=0,場 2=80,場 1=70
olar Bu deyI"n:on cedv。
al:nar
230
￨●
daxll etsok yenicodvel attldakl kimi
codve1 2
YOM
YGM
Ehtiyat
国
A2
I
60
,)
国
」
型
il
50
Telebat
80
75
100
」」
8t)
70
A3
il
」
５
Al
B4
B3
ヽ
ヨ４
B2
Bl
60
85
150
50
300
Yeni cadvel alzre umumi xercleri hesablayaq.
J
= 6' 5 +3'60
+5'
35
+l'70+ 2'80+ l'
50 = 665
f=665
atnq.
G6rifndUy'i kimi Umumi xerd€r azalmEdlr.
Qalan btitti,n bo9 xanalar ugiin tarinorin cabri c8mi miisb€t igaroli
olduOundan altnmE axnnd plan optimal plandtr.
Belelikle, ,{ stansiyasrndan S stansiyasrna 5, 83 stansiyasna
60, Bo stansiyasrna 35, l, stansiyaslndan B, stansiyasna 70, B,
stansiyasna 80, .,43 stansiyasrndan Bn stansiyasna 50 vaqon
gOndsrmsk laamdtr.
Bu haHa iimumi xerc
.f = 665
olar.
MaSeLa 4.3. Neqliyyat mes€lesinin gertlari agaodak cedvello
va matrisle verilmigdir.
う４
Cedve!
YQM
YGM
B2
B4
」
B3
」
」
Al
Ehtiyat
B4
B5
」
」
120
J
A3
J
」
」
A2
J
」
4」
220
」
140
J J
￨^n
80
Tslabat
140
90
130
60
∞
70
∞
70
∞
∞
∞
520
ヽ︱︱︱︱︱︱︱ノ
∞ ∞ ∞
〓
仲ＬＦい
Ｄ
∞
80
Masalanin ophmal hallini taptn.
HeLLl. D
mahisindan gorunduyu
kimi At yiik
gondorme
4
yuk qebulu montog€sin€ maksimum 60ton, l,
mantoqesindan B, mentaqesine maksimum 70ton, ,8, m€ntaqosine
isa maksrmum 70ton yUk g6ndadle bilsr. Matrisdoki ao isarss o
demokdir ki, yuk gondsrm€ manteqasinden ytik qobulu mentaoesina
g6ndarilen yuk UgUn mehdudiyyat yoxdur (eibette, ehtiyat vo dtabat
msnt€qosinden
daxilinda).
Minimal tarifler [isulu ile dayaq planr tsrtib edok v6 bos xanalar
Uzrs tariflerin c€bri cemini hesablayaq.
232
Cedve1 1
YQM
Eh‖ yat
YGM
Bl
」
B2
」
」
」
B5
B4
B。
A,
」
lnn
」
」
」
」
,,0
」
０一
４・
A2
An
J 」」」
A3
Tol● bat
80
70
90
140
90
」
130
160
80
520
kl duzeldOk Ve tartter cemini hesab:ayaq
■2 dey19on1 09un Ы
■ 2,
F22,場 l'・ti
l,■ 2
S12=8-3+6-5=6>0
S12>0
■3d° ylseni 09un
ti3,■ 3,■ 2,場2,崎 1'■ 1,■ 3
・
S13=7-2+4-3+6-5=7>0
S13>0
■
を3 deyi,oni 09un
+―
+ +
場 3,■ 3,為 2,・Y22,あ 3
S23=5-2+4-3=4>0
233
S23>0
■14 deyl,oni 09un
■4, ■4, ■
11, 場 1, ｀5
S24=4-2+5-6=1>0
S24>0
毛 5 deyl,oniむ
9」 n
Y25,■ 5,・ tli,■ 1,ぁ 5
S25=6-1+5-6=4>0
S25>0
'な
l deyil● ni u90n
■ル・t21,■ 2,■ 2,・t3:,
S31=7-6+3-4=0
ユ:=0
｀ 4 deyl,oni由 9un
+―
+―
十
一
+
t11,ぁ 1, 場2, ｀2,｀ 4
｀4,■ 4, ・
島4=3-2+5-6■
島4く 0
3-4=-1<0
■5 deyl,oni 09un
1,■ 2,場 2,・r32,為 5
S35=2-1+5-6+3-4=-1く 0
乃 5,・tiS,着
St5く 0
GO由 ndtyu klmi、 4'■ 5 deyl,onl● ‖ 19un tattOnn ceb‖ cemi
mett ittre‖ .、 l deyl'eni 09tln iso s:ira beraberd「 Ona g6re de
hemin deyi§ ●●￨● re gore tsik‖ or u2rO S● ru§ mel● r aparrnaq lazirndI「
234
場 1, 場 2, 場2,
■4, ■4, tlル
0
130
10
70
70
＋Ｌ０
島4 deyl"ni uzre ttklde surulme aparaq
70
.r= min030,70,70\ --70
olar. Onda yeni d€ytPnl€r
.\n =70, rr,r =60, xir =80,
\t=0,
xzz=lufS, '1, =0
ahnq.
G6runduyu kimi yeni planda "r22 = 140 ahnm$dtr' Bu isa
mesalanin gertina ziddir, gtinki .t22-in qiymati gsrta 96r€ maksimum
70 ola bil6r. Demsli, bu gevirmeni aparmaq meselenin gertin6 zidd
n€ticsyo gatirir. Ona g6re do dayigonlain ewolki qiyrnetl€rini
saxlamaq lazmdlr. Eyni qayda il€ .tjs w .li r d€yiPnla tjzre
gevirmelar aParsaq, yen€ do hz =140 alanq' Bu iso m'selenin
gertina ziddir
Belelikle ahnq ki, dayaq Plan verilmig meselenin butiin g€rtlerini
iideyan serfeli plandtr. Axnnq plant matris gaklind€ yazsaq
０
３
０
０
００ ”
。 η
０７
Ｏ η ０
ｌ
〓
′︱︱︱︱︱︱︱︱︱、
χ
ｑ
ロ
ａ
ｄ
Bu plana uygyn Omumixerder
∫=5・ 10+2・ 130+1・ 80+6・ 70+3・ 70+4・ 70+2・ 90=1480
/‐ 1480
olar
MOSeL044 N● q‖ yyat
meselesinin l● rtleri a,aoldakl cedvello
vedimi"「
う４
Cedvel
YQM
YGM
Ehtiyat
Bl
」
B2
B3
」
」
A,
40
A2
国」
」
。
Tolobat
コ
」
ヘ
20
60
︱
4(
A4
40
」」
」
100
」
20
80
20
100
120
20
220
Moselanin optimal hollini tapn.
HeLLi. Dayaq plant gimaFQerb iisulu ile tartib edek. Cedvetdan
giirundilyii kimi butun yukler selir ve siitunlar iizre txtlilgdurulmilgdur.
Lakin bU((in bog xanalar ii90n (mesalen .q3) tsikl gurmaq miimkiin
deyil. Bu iso "biltiln bog xanalar Ugtin tsikl qurmaq hsmis€
mumkiindij/' mulahizesina ziddir. Bes n€ a.igtin bele ziddiyet
yaranmrgdrr? Ona gdra ki, doldurulmug xanalann say 6
(m+n-l =6) avazina ftir. Bu hala hellin ctrlagmasl demigdik.
Crrlaynanr aradan qaHrrmaqdan 6teri bog xanalardan birina sfrr
yaznq (s6tir ve siitunlar Uzre yukl€rin balansl pozulmasln deye yalnrz
srftr yazmaq olar) ve bu xananr doldurulmug hesab etmeliyik. Beloliklo,
e6as (bazis) d6yiganlordon biri $fira gevrilir.
236
Qeyd etmeliyik ki, eger doldurulmug xanalann say 4 olsaydt, onda
doldurulmug xanalartn saynt 6-ya
iki bog xanaya sfrr yaab,
gatdrrmalrydrq.
.riz bol
xanasma stfir yaab onu doldurulmug h6sab €dgk,
Belaliklo doldurulmug xanalann sayl 6 olur.
Dayaq planrn optimallgrnr potensiallar iisulu
ile
aragdrrag.
Potensiallar sistemini quraq ve hell edek
`11-α
`21=α
`22=α
`32=α
`33=α
l+β l-6
2+β l=2
2+β 2=5
3+β 2=6
3+β 3=8
ζ
43=α 4+β 3=5
αl=0,β l=6,α 2= 4,β 2=9,α 3= 3,β3=‖ ,α 4= 6
al:nq
BO,Xana:ar 093n lktlv tarlleri hesablayaq
ε
12=α l+β 2‐ 9=C12=9,`12=r12,
ri3=α I+β 3=11>ri3=10,`i3>ι 13,
r23 α 2+β 3
7=`23 7,`23 `23,
C:l=α 3+β l=3=`31=3,`:1=`31,
41=7,cilく
4+β l=0くで
`41,
`il=α
Ci2=α 4+β 2=3>`42=1, ri2>ι 42,
Gorundiッ哺 klmi石 3V● ■ 2d° yl"n:or1 0"nl緬 V
tanf heqiqi
tarrden""kd● r Demelidayaq plan optma:doyIL
■ 3 deyseni● 9un Ы kl d0201dOk
237
+ + +
+―
■3, ■1' あ 1, 場2, ■2, ｀3, ■3
0
40 40
20
0
x=min140,20,100}=20
120
0
覇3=20,ヽ 1=20,■ 1‐ 60,t2=0,12=20,二 3=80
olar
ko"『 ok, potensla‖ ar sisiomini quraq ve he‖
Yeni plani cedvel●
edok
Cedve1 1
YQM
YGM
Ehlyat
Bl
B2
B3
b」
」
」
Al
20
20
A2
」」」
3」
劃
20
」
」
A・
238
80
20
100
120
220
０
A3
60
８
珂ヨヨ乏
60
Tol● bat
40
20
ι
l:=α l+β l=6
ι
13=α l+β 3=10
`.21=α
2+β l=2
r32=α 3+β 2=6
`33=α 3+β 3=8
ι
43=α 4+β 3=5
αl=0,β l=6,β3=10,α 2=4,
α3=2,β 2=8,α 4= 3
Fikuv tari10ri hesablayaq
て
'12=α l+β 2=8く
ε12=9,Ci2くで12,
`:2=α
2+β 2=4く r22=5, `Lく
`2,=α
2+β 3=6くこ
23 7,ι 23く
`:1=α
`11=α
`22,
r23,
3+β l=4>ら 1=3,ι :1>`31,
4+β :=3<`41=7,chく
r41,
ι12=α 4+β 2=5>ι 42=1, ri2>`42,
Gonlnd● yo klmi、 l vo Ⅲ2 deyleenl● 1 09un fk市 tamer heqiqi
ふ
ll鳳ゴ
翼阻
視
弘鳥P懺][F:皐『机ギ
邸:1:蹴靴出
umumixorc
/1=6・ 40+2・ 40+5・ 20+6・ 0+8・ 100+5・ 20=1320
Ax:nnc:plana gore
/2=6・ 20+10・ 20+2・ 60+6・ 20+8・ 80+5・ 20=1300
olur.
tXbl deyisoni● 9un tslk:du2● :dOk vo 9evirrne aparaq
■ 1, ■1, ■3, 均 3, あ
0
20
20
1
80
0
x=120,80〕 =20
olar Onda yonidenenler
ti=20,二 1=0,13=40,二 3=60
olar
Bu deylsen!en codvele daxIl edok
Codve1 2
YQM
YGM
Ehtiyat
31
Al
A2
」
40
40
」」」
60
」
０
１
劇
コ２
︲
A4
ロ
」
ゴ
A3
B3
32
60
1∞
」」」
うn
Tel● bat
80
20
120
220
Yeni plan uzro Omumi xerder
/3=10・ 40+2・ 60+3・ 20+6・ 20+8・ 60+5・ 20=1280
240
olur.
Fiktiv tarifleri hesablayaq v€ hoqaqi tariflorle tutugduraq'
`13=α
l+β 3=1°
2+β l=2
`21=α
r31=α 3+β l=3
3+β 2=6
`32=α
ι
33=α 3+β 3=8
4+β 3=5
`43=α
αl=0,β 3=10,α 3= 2,
βl=5,α 2= 3,β 2=8,α 4= 5
l+β l=5く rll=6,`ilく `:1,
`11=α
ri2=α l+β 2=8く ι
12,
12=9,ι 12く ι
r22 α 2+β 2
5=r22=5,`22 r22'
2+β 3=7=`23=7,`23=r23,
`23=α
4+β l=0く r41=7,41く
`:1=α
`41,
(':2=α 4+β 2=3>ぐ 42=1' `わ >c42,
GorundOyu klmL bu plan da optmal deメ￨,9unki =42 dey19en;
°901瑞
鶴野電∬ 脚謂
蹴
9eurme a“ 崚q
r42
■2, ■2, ｀3, ■3, ・
0
20
60
20
0
、=min,0,20}=20
alrnq. Onda lreni deYigenler
rrz = 20, -riz =
0,
-vr = 80,
{3
=0
olar.
241
Yeni doyi,enl● ri codvele daxil edok
Cedve1 3
YQM
YGM
Ehtlyat
B,
Bl
」」
」
40
ヨ
A`
B3
‘
A2
60
」
_61
A3
」
80
2(
」
A4
40
」
」
」
100
」
20
Tolebat
20
80
`13=α
120
220
l+β 3=10
ι
21=α 2+β l=2
(22=α 2+β 2=5
`31=α
3+β l=3
ι
33=α 3+β 3=8
`42=α
αl=0,
βl=5,α 2= 3,β 2=8,α 3 =-2, β3=10,
`ll=α
`i2=α
242
4+β 2=1
l+β I=5く
ら1=6,
`11く `11,
l+β 2=8く r12=9, r12く
で12,
α4=
7
`23 α
2+β 3 7=`23 7, `23=`23,
3+β 2=6=`132 6,`32 ι 32,
`32 α
ril=α 4+β l= 2く
`41=7,4:く `41,
ε
43 α 4+β 3 3く c43=5,`43く r43,
Beleliklo, a::口 q
ki, butun bo, xana!ar Ozre lktlv tarller heqiqi
tarllerden boyuk deyil Deme‖ ,axlrincl pian optlmal pland:「
Bu plana gOre yuk daγ nmalannln Omumixera
/=10・ 40+2・ 60+5・ 0+3・ 20+8・ 80+1 20=1240
/=1240
olur
MOSOL0 4 5ヽ
09/1,ろ ,/R
anba‖ annda uygun daraq 120,
110,130ton yこ k var Bu yukむ tel● batl uygun
ohraq 80,60,70,100,50,ton dan 31,島 ,
33,34,35 magaZalanna da,;maq lazlmd『
Lattn n●zere dmaq hamd『膊
,yuklnろ anba―
nndan tt Ve B4 maga2aLnna d∞ lnmatt mOm―
kun deyil YOkun da,lnma tannen
matnsi‖ 。 Ve“ lmi"「 Y● kun da,lnmasln! el●
te9kll et■ ok:azlmdr kl,9okll● n Omumixerc minト
mum olsun
HOLL: Bu meselenin ewe:ki he‖
Ondan baretd「
mesolelerdon esasね rqi
Ve a magazasna yむ kun
ed‖ mi§
k,/2 anba口 ndanら
da,`nmasln:n mlmkun olmadioini,ye'ni 場2=0,● 24=0 °lduounu
qab酬
qu.年
Ⅳ器i譜署脚1:Lu‖。
243
Cedvol l
YQM
Bl
」」
」」」
０
５
J
」
」
」」
80
60
120
110
130
100
3C
T● :obat
」」
ヨ
A3
∞
A2
30
Ehtiyat
B5
B`
剤
引劇
2C
B3
０
Al
B2
︱劃・
７
YGM
70
100
50
360
Apanlan 9evimelar neticosind€ ikinci csdvoli altnq.
Cedvo:2
YQM
YGM
Ehtyat
Bl
∞
」
B4
B5
」」
」」」
ヨ ‘
︲
３コ
A2
０
７
」」
B3
利コ
Al
B2
130
10
244
110
」」」」
A3
Tol● bat
120
80
60
70
100
20
100
50
360
Bu codve1 0zorlnde aparllan 9eurnelerdOn sonra 19uncu codveli
a::r:q
Cedve1 3
YQM
YGM
EhJyat
B,
Al
A2
B2
B3
B4
」」」」」
J J J J
60
10
1∞
70
100
厖
」」
」
80
110
∃
Telabat
」
120
30
8C
A3
B5
50
130
360
B● l xana:ar 02re(場 2,範 4‐ den batta)ta湘 orn ceb‖ ●
●mini
hesablasaq, onlann mOsbet i,areli olduqlanni alinq Domoli, ax,nna
pian optima:pland:r Bup:ana gore Ⅲ ilen tmumixerc
/=4・ 60+1・ 60+3・ 80+2・ 30+6・ 10+3・ 100+4・ 20=1040
/=1040
olar
MOSOL0 4_6 Neqllyyat meselesinin,o酬 o"alag:dakl COdvelde
verllmi"r
245
Codvel
YQM
YGM
Ehtiyat
32
31
Al
A2
A3
Tol● bat
」
」
」」
B。
84
」
」
J
」
」」」」
45
35
55
40
60
90
65
YUk dagnmasnr ele togkil etmek lazrmdtr ki, gekilen omumi xerc
manimum olsun.
HaLLl. YUk gond€rma mentaqaledndeki ytikon iimumi miqdan 190 t,
yuk qabulu mant€q€lerinin iimumi talebatr ise 200 tondur. Goriinduyii
kimi verilmig m6sol€ a9lq naqliyyat masolgsidir'
Yuk qebulu monteqelorinin telebatlnt tam iid€mok iigiin 10 t alave
ytik lazmdtr, Ona gore de ehtiyab 10 tona borab€r olan fiktiv ,{4 yuk
gKinderme mentoqasini verilmig cadvele daxil €dak. Onda qapah
neqliyyat meselesi alarq.
AFkardrr ki, -/o menteqesindan yiik qebulu mentoqelorins
da$lnan butun yUk tarifleri s,fira borabar olmafudtr. Onda verilmig
maselo asagdak cedval gaklina d ger.
246
Codve:1
YQM
YGM
Ehtlyat
B2
Bl
A3
A4
Tel● bat
B4
」
」
」
」
」
」
」
」
」
」
」
」
」
」
」
」
Al
A2
BJ
35
45
40
60
90
10
65
55
200
Dayaq pianl● n ki91k tarm。「 ●sulu ilo tertlb edok
Cedv● 12
YQM
YGM
Ehtlyat
B,
」
」
うヨ
到
40
」
60
Ｊ
J J
“
」
」
５
５
４
A3
」
35
︱
A2
B4
︲
Ｊ
”
劇
Al
33
B2
25
A4
」
」
」」
90
10
10
Telobat
45
35
55
65
200
247
Doldumlm」
phW慇
ゝmhr."n● 湘● ∞前雨he“ Ы
,xanalann say:7,dolduruimam:,xana!ann say1 9‐ dur,
aya年
"n cob‖
■ :deyl'mi● 9un tsikl鮨雨 b edok ve tarlner cOminitapaq
il,
埼 1, ■3, 場 3, 均 1, ・■
sI=4-3+3-2=2>0,
SI]>0
■4 deyi寧Dni
09un:
巧4, 為4, 均3,■ 3,■ 4,
S14=5-3+5-3=0,
S14=°
ユを2 deyt,oni u91n:
+―
+ +
為2,■ 2,■ 3,為3,■ 2,
S22=2-1+5-3=4>0,
S22>°
｀ 4 dey10oni O"配
,■ 4,■0'■ 3,場 4,
S24=7-3+5-3‐ 6>0,
S24>0
物
ヽ l deyl'Oni。 9un:
為 1,乃 1,■3,為 3,場 1,
S31=4-2+3-5=0,
S31=0
｀ 2 deyII● ni 69un:
248
+
+¨
+―
i2,・t13,為 3,毛 2,
｀2,・■
S32=3-1+3-5=0,
島2=0・
■41 dey19on!u94n:
熟 1,あ 1,ち ,■ 3,■ 1,
S41=0 2+3-0=1>0,
S41>0
'42d■
90n:● 9薔 n:
+―
+―
+
■2,X12,■ 3,■ 3,X42,
S42=°
1+3-0=2>0,
S42>0
熟
d“ ,001u9un:
+―
れ
+
+―
,■ 3,■3,■ 4,を
,
S44=0 0+5-3=2>0,
S44>0
Bel● likl● ,alinq
kl.b口働nb● l xanalar 09tln tamerln α受面 colni
menn deメ l Demeli,dayaq plan opbmal phndr_
Bu plana g6re yuk da9nmaslna
γttlon
Omunixerc
/=1・ 35+3・ 5+2・ 45+3・ 15+5・ 25+3・ 65+0・ 10=505
ノ=505
olar
iX FOSLO AiD YOXLAMA SUALLARl
１
２
Xettl proqramla"『 manin neq‖ yyat mese!● sl neye deyI‖ ρ
A9q ve qapah neq:lyyat moselesi neye deyI‖ r2
249
3.
ACrq noqliyyat meselasinden qapalt neqliyyat meselesine neca
kegilir?
4. Noqliyyat meselosinin riyazi mod€li neco tortib edilir?
5. Neqliyyat m€sel€€inde tarif n€ye deyilir?
6. Nsqliyyat moselssinin xotti formasr nece trartib edilir?
7, Naqliyyat moselesinin dayaq planr ney6 deyilir?
8. $imal - Qerb usulunun mahiyyeti nod€n ibar€tdir?
9. en
kigik tarifler tisulunun mahiyyati neden ibaretdir?
10. Naqliyyat meselesinde doldurulmug v6 doldurulmamtg xanalafln
sat/t nec,o mo€yyonlosdirilir?
11. Neqliyyat maseleeinde hellin orlagmas naye deyilir vo drlagma
neca aradan goturiiliir?
12. Paylama Usulunun mahiyyeti neden ibaretdir?
13- Potensiallar Usulunun mahiyyati n6den ibarstdir?
14. Tariflerin cabri cami neye deyilir?
'15. N€qliyyat meselesinda bir plandan bagqa plana neco kegilir?
16. Neqliyyat m€E€losinda hollin optmal olmasr nece muayyenleg-
dirilir?
17. Neqliyyat mes€lesinin sp€sifk xiisusiyyetlari neden ibaraHir?
MUSTaAIL HaLL ETMa( 090N rX F€SLa AiD
MS€LELER.
satl
A,
bazaslnm iki
ve A2 anbarlanndan u)€un
Topdan
olaraq 10, 5 ton unu, telebauafl uygun olaraq 4, 5, 6 ton olan U9 8,,
Bz, 83 maoazalanna dagmaq laamdrr. YUkUn dagmma tarmori
9.'1.
(zl3)
c=t
ltzz)
I
matrisi ile verilmigdir. Yuk dagrnmaslnr ele tegkil edin ki, da$nmaya
gekil€n omumi xerc minimal olsun.
[
cAvAB:
/+ s
lx=l
t.t
"l
1.hi=Z0l
L \oos/
_J
250
92 0, At,
メ
し,
A3yuk gonderne menteq● lerlnde綺 20,18.12 bn
yuko, telebatan uygun olaraq 12, 18, 20 ton olan 31, B2, BO yuk
qobu:u rnenteqol● ‖ne da,:rnaq tel● b olunur.Ylkan daoinma tan■ On
matrisi‖ o verllmi,dir YOk daynmas:nl ele te,kl!(■ mok laz:mdir kl,
umumlxerc m:nimum olsun
93 Neq‖ yyat mesolosinin,oruo‖ a,agldaki cedvelde ve雨 lmi寧メir
Yむ k
da,:nmasinl eie teskil edin ki,9okilen xercler minirnum olsun
Cedvel
YQM
YGM
Ehlyat
Bl
B2
83
B4
」
」
」
」
」
」
」
」
Al
400
A2
A3
Tol● bat
400
」
300
」
350
」
150
」
200
200
1000
つ‘
mattsl‖ o venimi,dir Yこ
kd苺 lnmast planinl de qumn ki,9o膊
￨●
n
Omumi xerc minimal olsun
9 5 Neqllyyat mesolesl a平 ℃ :daki codvell● ventmlldI Mosolenin
optmal hellin;tap:n
YQM
YGM
Ehtyat
81
Al
A2
cedvei
B2
33
J J J J
劉」 ] ]
」
」
」
B4
150
70
」
80
A3
Tolebat
252
55
45
125
55
１１ｄ﹁ＩＪ
〓
”
塩
哺︲
５リ０
５
０１
５ ”
３
５００
４
饉ｏい
ｌ
〓
χ
ｒｌｌｌｌｌｌｌｌＬ
¨
253
X FOS:L
MOSTЭQ:L HOLL ETMOK 090N OLAVO
MiSAL VO MOSOLOLOR
l_神 Oldak:ikl
ve u,tertibli deterlninantlan
hesabiayln
m二
]
CAVAB:151
■
2ほl∬
]
協
「劇
[11
α
[五 1石 I=Sec2
]
4α bb¶
・
J掏
蝠
%脚判
″
蟷
〆
・
・
議
ゎ
に
HOLL:
b11・
101.
15 131
254
」
χ
ノ
+￨
HaLLi
]1
lじ
ノ +lx+￨=(χ
-lXノ +χ +1)― ヌ
1=,′
-1-,1=-1
卜1]
“1胤胤
￨
HaLLi" ikinci su'tun
elementlorindsn birinci sotunun elemenflorini
9xaq
・
ヨ
∞
珊 1悦:ト
1胤:胤￨=1胤
= 100 . (13547
- 2U23) = -149760s
[‐
14876001
[11.
2(α
レク
19 204,527 ve 255 odedlo‖
+.)]
17-y● bol● nur isbat edin kl,
255
1Ga vurub
ｅ
ｎ
ｉｎ
ｕ
︲
Ч
湖
﹁
Ｊ
到劇
赫
赫
呻
・
。
２
５
ｍ
輸
げ
［
ｅ
２
︲
¨
５
︲
︲
ｍ
．
７
︲
10Ge vurub
”
︲
２
判﹁引︲
６
中 ¨
ｕ
．
︲
︲
一
Ｗ
” ︲０。
９一
呻
儀
０
ｍ０
︲
師
¨ ﹄
け
ｍ
﹄
げ
﹄
げ
︲
︲
2 AF91dak:ten:ikl●
"hol:edin_
rJ
21
CAVAB:L=1,均 =21
Ｃ一
３
２
山
山
11 :￨=0
凛
i yOXdurl
い。‖
:1=0
257
０
＋
ヽ
ヽ
一
．
\.2=4tJ22
３
＋
↓
＞
--4iln1
cAvaB: [.ri,,
制 ¨
一一︲
・
ｒＦ﹂ｏ＜
一
一
■
０
〓
６７８
＋＋＋
Ｘ χ χ
３４５
＋＋＋
χ ＩＸ
ｌ２
Ｘ計計
５
２
258
︲
２・３
︲
２・３
ｉ
・・
ｌ
ト・・
﹁ ■
r: +8r-6=0
0
- (-r).(-l).(-x+ l0) - 3.3. I - l. 2..r'=
HOLLi
+(■ +2)・
(■ +3)・ (■ +7)+(x+1)・ (■ +5)・
―(x+2)・
(χ +4)・ (■ +6)―
(x+6)―
χ。
(X+5)・ (χ +7)―
―(■ +1)・ (X+3)・ (x+8)=0,
3+1。
ヾ +21■ ■2t2+20x+42+J+11ノ +
f+12ノ +32■ +■‐
+30x+子 +H″ +30-f-lor-24■ -2ノー24χ -48-f―
-12ヾ -35■ ―ギー11ノー24″ ―r-24=0
0=0
a::nq
Demel;ve"lmis tttlik″ ●n bttn qiym』 ennd● ●donir
CAVAB:卜
3.輌
∞
,・
c・
]
ldatt beraboMilderl hel:edin
く
２
一＋
丼Ｉ
ＸＸ
３
４＝
∞1)]
CAVAB:К ―
259
０
く
２
・︲・
・
１
﹁１
刊︱う
・
・
口
﹂
Ｆ＾
ｒ﹂
︲
︲
︲
鯰胤
CAVAB:R4,Ic● )]
CAVAB:k― C-4)]
4 Apgldakl yoksok terbb:i dete■ ninantlarl hesab:ayln
1
-1
41
1
1
1
1
2
-1
1
2
3
-1
HOLLi Bi"nd setrl← ll‐ e Vrub qaian setlrlerle top:ayaq
260
-l
I
1
)
-t
I
)
3
-l
0
0
-2
0
)
-2
1
０
+l;2
-2
０
(c
I
０
I
２
１００・
１
o
I
〓
l"'
I
1
=
-,
0
-2
)
0
l-,'
t
= -8
鉱 VAB:卜司
(a+2)2 (a+3)'?
r lr' (F + l)'? (g + 2\'1 (F + 3)'z
(',t +T2 (y+3)2
lr'(y+l)2
(6+2;2
(6+
la'
l)2
(6+3)2
HeLLl. Determinanttn birinci siitununu qalan siitunlardan gxaq
(a+2)2 (cr+3)2
(9+2\'(F+3)'
Q
(δ
+2)2 (r+3)'
+の 2 0+の 2
261
＋
助
０
＋
助
助
＋
助
０
＋
０
CAVAB:101
１２３
一
一
一
HaLLI- Determinantn biranci suhrnunu qalan sutunlara €lave edak
〓
ｌ劃可鳳判Ｊ﹃ｌ γ
う
α β γ δ 躙
血
ｂ
α β γ δ ¨
︱
α
く
１
２０
・・
＾
¨”︶＾‘”︶
一 262
0
″
″ "・
43
=0
″
-1
″ ０
０
１２
一〇０
一一 ″ ″
〇
一一一一一 ¨ ソ
″―
′３０２一〇０た
HOLLi Birincl setrl qalan
″
＜
=1・
﹁
］
一
一 -2)・
“2-・
2″ ―
-1
1 2 3 -・
(″
0
″
―
〓
１
０刊劇 Ⅵ ｌＩ
ＯＩコーー引
¨
・
００３一シ
2 5
” ４
=1・ 2・ 3-・ ″
０２６一
幼
-1
″
″
３一
CAVAB:
〓Ｉ
︲
︲
¨
・
″ ・¨
２
″
0 - -3
１
0 -2 -・ -2
１
１１らＦｈドーＦｌｒ
3 3
″
-1
2″
″-1
…
123・
“
″
″
2 3 -・
01
3
″
-3
2″
1 2 3 -・
-3
・… 2″
1 2 3
-1 -1 -・ -1
44
263
２
２
１
CAVAB:[(″ 1)]
●４２
２一２一３一２
２
２
２
５
４
2
2
2
″
[2(″ 2)]
5 A● agldaki teniiklerl hoil● din
l
51
1
l
2 __ χ
″ χ
"-1
ら α
f … aF」
α
2 α: … αダ =0
l α. α
… α
属
“ れ1
HaLLi. Gorunduyti kimi -y=lr, (F1 ,2,...D1) eyni elementli setirteri
verdiyinden determinant sfira beraber olar, ye'ni verilmig tanliyi
6deyir. Ona g6rEde
.\ =ar, "ri =42,..,,xa-t=an-t
CAVAB: [x,
264
=at, h
verlimi,
tenllyin
olar.
= a2,...,x,t-t
= an-tl.
k6kleri
一１
ギ
´
一．．．．．
﹁︱︱︱︱︱ＩＪ
︲︲︲︱
ヽ︱
ノ
ｒ
ー
ー
副
４
ワ
ｒｌｌｌｌｌｌヽ
ヽ■１１︱︱︱︱ノ
一一
２
４
２
６
１２３
／１１１ｌ
︲︲︲︲︱ヽ
６
０
０
０
ⅥＨ＝＝刀
ｏ
ｏ
ｏ
＾
ＩＩ
Ｉド
．．２Γ
／
︲
２
２
¨
︱
・
・
ヽ︱︱︱︱ノ
ー２ｒトト、３６︲９︲
11)
く
●
-1)一
l
1
=0
l
―
1
1 1-χ
1
l
2-■ …・
l
1
・
…
・
1
1
1
L=Q場 =1,.."場 J=″ -2]
6 Matnsler 02erlnde● Inellerl yerloo yetirin
265
63 (￨
￨)″
HOLLi
Эぃゎl∞ ″ 2,3,4 ves ha:lara baxaq
ヽ︱︱ｌｌノ
２１
(￨￨)3_〔￨￨)2.(: lx: i)・ (l l)=
ヽ１１ＩＩノ
３１
１０
／１１１１ヽ
〓
ヽ︱︱︱︱ノ
︱
〓
ヽ︱︱︱ノ
︱
・
〓
︱
︱
︱
↓
〓
■
ヽ！︱︱︱ノ
３１１０
′ ︱︱ヽ
︱
︱
ハ﹁＝り
０
︲
︲
・・
︲ｏ
１
１
ｏｏ
２１
ｌ
＋＋
１０
︱
〓
ヽ︱ｌｌｌノ
″ １
一
１
ー
︱︱︱︱
〓
ノ
１０
／１１１１ヽ
ヽ
リ
″ ＋
．
卜０
０
一１
り０
・
“ ＋
．
卜０
〓
′︱︱︱︱ヽ
ヽ︱︱︱︱ノ
︲
ａｌ．
．
鋼︰
′︱︱︱︱、
４３１
０１
ｌ＾
０＋＋
・
１
︲︲
一
一
１．０．
︲
＋
”
︲
・
１０
１ヽ
″ ｌ
■ １１１１Ｊ
ヽ︱ｌｌｌノ
ｌ０
γ＝よ
266
卜０
〓
′︱︱︱︱ヽ
／１
ａｄ
Щ 訛
︲
CAVAB:
=(￨
￨)==〔 :i1liil lilil:￨)・
￨
￨)2=〔 :
￨)・ (￨
〔
〓
呻
ヽ︱︱︱ノ
呻
９
〓
ヽ︱︱︱ノ
血
９﹁
鰯い
一
＋
９９
一
∞
〓
ヽ︱︱︱ノ
呻呻
Ｃ
一９９
′ｌｌｌｌヽ
螂
鋤
ヽ︱︱︱︱ノ
Be:ollklo
Ｃ
一９９
¨
ｍ
０
い
師
婦
呻
′︱︱︱︱︱ヽ
︱ノ
ヽ︱︱︱
¨
９９
鰯
ｍ
・
〓
′︱︱︱︱ヽ
〓
／１１１１ヽ
lII)
ボ∫
)"=(∬ II 」
(lil
ヽ︱︱ｌｌノ
(∬ ￨
ｌｌノ
一
一
一
一
irilで1瀞 )
=〔
∬illi[￨「 I:￨::II :IIiliFIIIIlillil)=
=〔
ヽ︱ｌ
HOLLi
］
¨
螂
中
豹 ¨
ぃ
卜
Ｌ箇俸
¨
¨
￨
呻
¨
64(:∫
¨
■ ︱︱︱ＩＪ
ヽ︱︱︱︱ノ
﹃
司
呻
一
呻
︲
に
〓
９９
ヽ︱︱︱，ノ
嗜
鋤
﹃
呻
Ｃ・
ｒｌｌｌヽ
):・
卿卿
＋
子(fil[ lll)″
=(1+う
２一
αノ
〓
Yuxarldak:rnisala gore
′︱︱︱︱ヽ
イーーーーーヽ
α 一″
︲一
哺引り
+あ
凛
{蝋 0=ψ
蝋翼
〔
‖
=厚織ユ
0
alarlq Onda
７＝供
賂諏
．
α
︺
﹄
﹄
ヽ
角
ド
︲
Ｂ
胤
“
268
咄
olar.
=
=鳥
ヽ︱︲︱︱ノ
η ”
ｓ
ｍｏ
］
ＳＣ
¨
〓
Ｃ・
／１１１ヽ
ヽ︱︱︱︱ノ
“ η
ｍ ¨
ＳＣ
0 iig0n ,gp
! e qebul etmek olar. Onda
g. n= n. tg<p - n.9- a
q
+
olar.
鴎︲
″ ″〓
浦
ザ
。ldugundan ya2a bil● 雨k
頭頭
fil[ :11)π
〔
Demali
n
:11)
α α
ｎ
︲
︲
︲
︱
︲
ｍハ
ｉ
﹁
嗣
ツ
判
ｓ
︲
■︱︱︱︱ＩＪ
ヽ︱︲︱︱ノ
/=?
И・3-3・
Ｌロ
ａａ
︲
︲
Ｏａ
０ｑ
ａ
ｎ
ｇ
α ｌ２
¨
Ｉ
Ａ
Ｖ
︱
〓
１２
６
６
〓
И
１２１
／１１１ＩＩ
︲︲︲︱ヽ
２
″
︲
︲
α一
釧
・
﹁
︲
ハ
引
引
﹁
ツ
裁Ｉ
α一
″
︲俎Ｂ
１
２
Ｐｈ︲２︲
Ｔ
¨
４
４
・
limz'9=61' lim Q = o,.
z-r@
e''}otg-q
269
０
１
・
６
７
・
Ⅳ＝＝＝Ｒ
？
〓
И
′
一
，〓
●
３
И ヽ４
，
ヽ︱︱︱プス
＾
。隔ド ″
み陥ｒｌ
ｌ
︲
＝
︲
ヽ︱︱︱︱︱︱︱ノ
０２１
１１２
２１・
＋
■
■︲
ｉ５
・
＋
︱
︰
︲
〓
270
ｒｉｌｉ
ｌｌヽ
HALLI.
5.r+ 3 ,
.r,-2
=
/(x)
s.a.
〓
И
6.7.
嘲
■ィ厭
酬
︲
/(.t)
= .r2
-.t-
I,
１
・
３
３
/(И )=?
２
・
ヽ︱︱︱︱︱︱︱ノ
ー２０１
ヽ︱︱︱︱ｌｌｌノ
︲
6.9.
6 10 Kvadratarl slir Fnatrise beraber o:an b110n iklterbbli
matrls:orl tapin
И
HOLLi For2 0dOk ki,hemin mattsler
=〔
￨● klinde ve」
￨口 1,dir
: :)
Burada a,b,c,d inyarl edOdl● dir Onda,erte
gore
/2=〔
:)2=(￨
′
２
〓
ヽ︱︱︱ノ
″ ら
Ｃて
〓
ル脅
′ ″い︱り
︰
︱
: ;)2=〔 : ;)・ (1
′︱︱︱︱ヽ
か
〔
￨)
”
“
:
oima:ld『
Onda buradan
271
42+ゎ .r=0
・′=0
α。
み十み
・
´
・
`+グ `=0
2=0
.ζ
ら +′
alanq.
a+d=O, d=-a, b-c=-a2 ahnq.
axtanlan matrisler iigtin
(a b\
A=l
I h., = -o'
tt
Buradan
\c - d)
alartq.
7. ASaOdak matrislodn tsrs matrislerini taprn.
(t
2\
I
´ ＾
．
一．
２
５・
／１１１１ヽ
︱
３
０
︲
２一
１
２
２１一
ｒｌｌｌｌｌｌヽ
〓
И
７
２
〓‘
．
一
Ⅵ＝＝＝刀
１
３
３
４
・
・
４
５
６
・
・
１
イーーーーーーヽ
︱
272
■１１１１１Ｊ
ヽ︱ｌｌｌノ
うι
s)
ＦＩＩＩＩＩＬ
tt. A=l
\2
Onda
ヽ︱︱︱︱︱︱ｌｌノ
３２１
・
２１０
１
０
０
イーーーーーヽ
〓
３
И
７
０
1
０
0
Ⅵ＝＝＝刀
２
７︲
・
１
７＝＝＝よ
-2
8_‐ oldak!mamsten:iklen
hel:edin
81(i :)・ X=(1 16)
HOLLi ∠=(i :),3=(1 16)i"re edOk Onda ved:mi§
勧
[f鷲
鳳
講
面
・χ =И
/:・ И
Onda buradan И
aianq
1・
И=E,
χ =И
E・
l・
"眈
B
nが
。 vuraq
l・
χ =χ oldugunu ne20re alsaq
3
Deme‖ ,X matrislni tapmaq● ¨ n3matlslni soldan A maMslnin
ters matrislne vunnaq krayetdir
273
〓
嘲■︱■■
〓
alanq.
２１
△
２０
１
l.ri
２
〓
[.i
〓
一
И
〓
１１１ノ
︲
３一
′︱︱︱︱ヽ
ヽ１
１
一
〓
ヽ︱︱︱︱︱ノ
ー００
１
３５
・
χ
′︱︱︱︱ヽ
ヽ︱︱︱︱ノ
ー２
83
χ のＦＬ︶
274
１２１
イーーーーーヽ
32
i3)
x=l
:5)
３一
イーーヽ
0!duOundan
―
場熟
Onda
=3,42= 1,41=-5,42
41
9. Agagdak matrislerin tanqrnr taprn.
０
２
１
り
６
︲
８
﹁
１
１
り
４
２
=2]
２
１
１
３
０
１２３
９９９
０
０
ヽ︱︱︱︱︱︱︱ノ
３４１
lrИ
〓
一
一
一
一
И И ″
CAVAB:L=■
レ
″=1
５
一
４
α ¨
︰■
一
一り
０
，
場０
；
︲
ト
出
﹁
︲
︲
０
００
１２
６
︲
＝
２
刊
ト
一
一
一ｌ
α
一
一猜岬
０
Ｍ
プ
︱
４２
く下守
10. AgaQdak matrislarin xarakteristik ededlerini ve
maxsusi vektorlannt taprn.
275
２
２３・
１
３０
・・
イーーーーーヽ
﹁
２５．
〓
И
０
３
卜=-1,χ =´ (1:1:
1)]
11 ■ agldak!vektorlar fOzasinin O19usuno tap:n
ll l■ =(2:1:3;1),■ =(1:2;0:1),■ =(-1;1;-3:0)
HOLLi Vekto‖ ar slsteminin ranqint te'yin edok
Hor hansi bir itttottb:i deterrninant gO田 rok
0
li :￨=3≠
0● atibli deterrninantlan hesablayaq
276
Bctun● ゛ertlb‖ determinantlar sttra berabor oldugundan ve●
lnnis
vekt● rlar sisteminin ranql ′=2 olar Vekb‖ ar fbzasln:n O100s●
sistemin ranqlna beraber ′=″ oldugundan vo‖ lmi, vekb‖ ar
fbzasinin O190s● 2‐y● beraberdir
CAVAB:レ =2]
112 ■ =(2;0;t3;-1), ■ =(1;1:0:-1:1),
■ =(0;-2:1:0;-3),■ =(1:-3;9;-5)
レ=2]
113、 =(2:1;3;-1),
■ =(-1;1:-3:1),“ =(4:5;3:-1),
、 =(15:-3;1)
レ=2]
12 Apgidakl vektor:ann xom as!:l olub― o:FnadiOin:
goster:n
121、 =(3:4:5),
、 =(2;3;3),祐 =(3ュ 8)
CAVAB:[xottl as‖
122 tl=(1:2:3),■ =(1:3;3),■
ldl‖
arl
=(1;1;1)
lXtt aS!h deylllerl
277
１
hol
sulu i!●
一
〓
均
一
〓
Ｌ
¨
︲
・︲
〓
〓
14 AF9:dakiton::k:or sistDm;ni Kramer●
edin
ｍ
ｄ嗜
０＝¨
ｈ鴨
¨¨¨
申
︼
一
中
中
︺
↓
５
nin va‖ loin,
13∼ oldakl ten:ikler sisteminin hel‖
ara,dir:n
∫
４
︱
れ一“れ¨れわ一一一
２３
ｒｌ
ｔ
りヽｌ
ｌ２３
３３３
278
=(1:1:-1:-1)
■
場 =(3:4:1:2), .■ i=(1:6:1:2),
123■ =(4;3:1;2),
lXettl as:lldrlarl
３
〓
■ ■
．
﹂
庁
︲〓
２３
４４
15. Agagrdakr tenlikler sistemini Qauss iisulu ile hell
edin.
[2ri+3sr+r;=l
rs.
r. I r.r, + 2r,
I
[2.r,
+
jr. = 5
*r, +3t =ll
cAVAB:
x1+2x2
.ti
!q
= 2,
\
= -2,
- 3x, =l
+.t + -Ij =3
2s, + x,
-2rz =t
.!
3-rj
+ r'rl
-
=-l
[Halli yoxdur].
4
= 31.
一﹄一一
３
５
16.
[.*, =1,.*, =2,1=al
fuagdak tonlikler sistemini matris Usulu
ile holl
edin.
一
一
ｌ
５
２
■
祐・１
・
，
４
ケ
ケ
〓
義
¨
一
田 ” “
17. A$aodak tanliklar sisteminin mUsbat hollorini
taph.
280
２
〓
ヽ４
ｈ
ｕ
，
呻
炉
ｌ
一
一
ｄ
ｌ２
７７
:t[15
二
182111:+t等
o● ni tapln
18 A● aoldak:tOn:ikler sisteminin bazis he‖
1811211::1:[[2
[HOIli yoxdurl
281
場
Ｉ
Ｉ
Ｉ
Ｌ
﹁︱︱︱︱ヨ
０
〓
鋤
Ｉ
為鳩
Ｉ
０
５一４
２
︲
〓
Ｉ
５４５一４
︲一︲︲︲
〓
一
一
Ｆ
絆け
５
﹃一７
〓
一
一
■
均
ｔ
３９
＋＋
ｌ
■ ■
３
Ｊ
２６
ｒ
８
L__
19.
Afa$dah tanliklersistemini mafis 0sulu ite hell
[2.ri +3.t, = 5
19.1. {
[4.q +6.ri = lO
GAVAB: [Bu slsterni matris 0sulu
[r.,
19.2.
I
*3r) -3*A =-4
ifte
helt eEnek otmaz].
-.q r.r1 = 5
[ .*, * 2*, -]-i = -l
3.r,
I
[.ti = l,
ru2
= 0".p, = 2J.
=Lr]
=2,:r3 =31.
I r.i *.t -.r.i = 2
I
19.3.
i
-.E *.vs = 3
[ri +2q +3.ur = [4
2.r,
I
[E
282
20.A鮮●ldakl
bin"ns tenilkler slstemini heli edin_
201111:[:
L=0,毛 =01
2.1211r」
"ヽ
10
lXbyarl ededdirl
[■ =“ ,■,=― α,α ‐
L=1,■
=2,_tt=-11
21 AFgldaklttm“ klor slstemin:qraflki hell edin_
2111:1:::[二
CAVAB:L=1,、 =2]
５
一
一
〓
３
ヽ一
ヽ
２２
＋＋
︱
■ ■
∫
２
２
４８
〓
〓
︱
３
■れ
∫
２
もも
yOXdul
"d‖
283
[Sonsuz sayda halli var: )i2 = a,
2.
= 4 -2a1.
borabarsirikler sisteminin hellini
qrafiki Osulla taptn.
A?Ela'd,atu
(\-
22.1.
\
I
xrs-3
[', -',
>3
lHolli yoxdurl.
[*r- r">-3
I
n.2
1",
[
>0
I
'a
>o
。pe nOqtel● ‖(0:0),013)o:an a91q ob:astd!rl
「
・■
i
毛
2■
+毛
.■
l
≧0
≧6
≦5
・r2≧ 0
●pO noqtelert(3:0),(1:4),(5;8),(5:0)olan qapall oblastd!rl
「
23A9agldakl'Ort!● r
daxi‖
ndo xdtt fOrmanin
maksimum ve ya minirnum qiymetlni qrallki tsu‖
tapin
284
a
xr-
xz
>0
- 5x, >- -5
>o
-tl
x,
\
>0,"f
"or*' [,
=2\-10'
=i.ri.r.- =-,r]
24 +2xr Sl2
4 +2x, <8
4x,
< 16
Axr 312O,f =2q+3xz
[.r,
31,
+24>
=+,q =2,f,,-*=l4l
9
24 -3x, s8
-4+xr32
ri<5,/=-q-5;q
[.ti = l, rr, =3,
24.
f,h
= -141.
Alaodak gartler daxilinde xatti formanrn
maksimum va minimum qiymetini simpleks-usulla tapn.
285
９︲
２
︲
≧ ＞一
場均
７３
＋＋
Ｐ響Ｆ
Ｚ
≧4
5為
≧5,ノ =2■ +14場
坤η
Ｐ
︲
劉司
〓
０
２
れ魚
＋３，
ヽ〓
〓
６疑
〓
／″２
５
︲一
２
０崚２６
６６
イーーー︰︱１２１１１
２
２
３
１
事が ≦ ギＬＦ
CAVAB:L=4,め =1,九 n=221
３
２
ｒｌｌｌく︱︱ｌｔ
、 +場 ≧4
2■
≧6
■ ≧0,ノ =2.■i+3乃
h=4,■ =0,鳥 n=8]
25.
A;aldakl
meselelerin qosmahq moselaletini qurun-
2.ti+3,ち ≦5
251
3.Fl+4■ ≦8
石+2め ≦4, ノ=2xl+5ぁ
｀ 0,■ ≧0
286
﹁＝判Ｊ
≧
乃
０
≧
乃
251
﹁︱︱ＩＪ
０
≧
乃
Ｏ，乃
≧ ２
︲
乃＋
乃
０，
＋
≧ ８
︲
カ
勒
中”
現％
＋一
Й 乃
ｔ
ｒｉり
ヽｌ
２５
ｒｌｌｌＬ
朽
２
＋
ヽ
４
＋
３
綺
７５
〓
く一
く一
′′
３
５
２
﹁︱︱︱︱ＩＪ
０
＞一
乃乃
，再
０
≧
Йη
，〓
２
＞Ｆ
３４ ≧ ＞一乃．
乃乃＋
僣“甥
力乃
５
ｒ︲棒︲ｔ
ｒｌｌｌｌｌＬ
287
26. Asagrdak noqliyyat mesel€lorini holl edin.
261
YQM
YGM
Ehtiyat
B2
B,
」」」
Al
A2
Telobat
」
J
」
4
8
10
12
10
22
６
﹁︱︱︱︱ＩＪ
〓
２
５
瑞
Ｆ
ヽＩ
ノ
００
︲
２
０４
イーーヽ
〓
■
ＦＩＩＩＩＩＬ
¨
262
YQM
YGM
Ehtiyat
Bl
Al
B3
34
」
望
」
」
Q」
J
」
LJ
82
A2
A3
Tolobat
288
」」」」
180
200
350
90
240
280
300
820
」
」
」
」
J J
160
90
洲﹁
為
」
80
Ю
」
120
。
６
」
Bl
０
︲
２
０知０
∞ ００
〓
χ
ｒｌｌｌｌｌｌｌヽ
一
︱
500
50
引
Tolobat
82
100
」
A3
B5
220
J J J
A2
B4
B3
YGM
180
」
Al
Ehtlyat
YQM
哺詞Ч刺
263
︲
︲
〓
︲
ｏ
５
０
塩
︲
ｊ
ω
０
８
。
３
０
６
０
４
０
トー
ノ
ヽ︱︱
００
０５
０
４
哺劇﹁可
０
６ ∞ ∞
０
２
０
８
０
一
︱
χ
三
０００
８
／１１１１１１１１１、
０
４
０
４
０ ∞ ∞
７
仲ＬＦい
〓
Ｄ
¨
289
ЭDOBiYYAT
χ
瑞慧脚 IWぶ鮮 v
櫛樹性
。穏X=IjЛ l濫￨￨
鷲鵜≫tttЧ ∝
日
Zade“
魚
』島
耽
4,lbン
戦
“
=卜
290
adaⅢ mattn‖
"」
●
sdbΠ Ю
MONDORICAT
l
Deteminantlar_ _ _ … …_ _ … ……
… … … … … … … … … … …5
11_ikltettbli determinantar… …… …… … …… … … …… …… …… … 5
[蝠
電蝋
騰
II‐
,I‐
II瑶
……… …15
… ´… 19
_…
… … …19
……
… …… …… ……
2 1 0saste'rtter_ ¨ _
2_2_M網 ●r u20nnd● omeller… … …… …… …… … … …… …… …… 20
・ 34
2 3 Ters matrls… …………………………… ………… ………… …………………
14″ terbbli deterrninaniar… … …… … …………… … ………
2 MaMslor… … … … … … …… … … … … …… … … … … … … …
〕よ躍寵
11翼
遺ζ ededlerliハ
:轟置 vebraniIIIIi:コ
I FOSLO AID YOXLAMA SUALLARl…
MosTaalL HOLL剛
LAR…
… … … … … … … …… … … …43
OK 090NIFOSLDAID MISAL‐
… … … …… … …
…… …
I
……… …
…… …
…44
1l FOSiL
VEKTORLAR COBRI… ……………………………
l Vekbrlar…
53
…… … … … ……………‐
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53
翻:欄諦 FЪIIII:重
は
=鷲
YttI撃
67
1,■1'PTIサl_… …
ヽ
讐1■ 7Y腎撃望
291
il
FesiL
xaTTl TeNLiKLeRS|STEMi
l-
...........
..........72
IkiveU9deyiganlixettitonliklersistemi.........................,...._...72
2./, tonlild€{r vo, d€yig€rdon ibaret x€tti tenliklff sistemi............76
3. /r? t€nlikden w , deyigond€n ibaret xett tenliklor siste-
mr...-..........-.....
Bazis h€llar. ..
5. Miisbet heller.
6. Bircins xdti t€nlikler sistsmi..
4.
... "..-........77
......... .........91
...................92
....._................98
7. Xetitenlikl€rsistemininmahisUsuluilehdli..............,._.....,.. 101
.
ilt FaSLa AID YOXLAMA SUALLARI..................... "..... .... 1 05
MUSTaOIL HaLL ETMfi UQoN ilt FOSLaAiD MISAL-
14R........
.........
..... ,......106
IV FEAIL
XATfl TENLIKLAR VE XSTTI BERABERSiZLiKLSR
sisTEMiNiNoMFlKiUsuLLAHeLLl....... ... ..
l.
2.
.........1i3
X6tti tenlikl€r sistgminin qrafiki iisullahalli._..........._...,........_.113
lkirleygenli xetti borabersizlikler sisteminin qrafiki tisulla
he11i..................
IV FEELEAID YOXLAMA SUALLqRI
...........11S
..,..-...12O
M0STealL H€{_L ErMa( U9UN tV FaSLaAID MISAL1AR..................
..................121
xaTTl PROORAMLASDTRMANTN SASLART
V FESIL
xefi I PRoQMMLA$DIRMA
MsSe{_eLaRi.......... . ...... ....... 1 23
1. Xetti proqramlagdrrmanrn be'zi mas6l€1eri.......... ................_.129
2. Xeti proqramlagdrma mesCelerinin riyazi modelleri. _. .. _,...... 1 23
_
2.1. Xammahn optimal istifado edilmasinin riyazi modeli._........ _.."124
,o.,
22
舗 n saheslnin en serFelilstrade O:unmas:meselesi_ __ 126
2 3 Teyyare!onn avla xouer araslnda b010"urulmesi… …… …… … 129
3 Xdu prOqramla"1● nanln esas meselesl… … … … … … … …… 131
V FOSLO AID YOXLAMA SUALLARl
… …………………… …
…
133
MOSTOQIL HOLL ETMOK 090N V FOSLЭ AID MOSa
LO__…
……… …… … …… … …■ -133
……… …… … …… …
Vi FOSlL
XЭ TTi
PROQRAMLAsDlRMA MOSOLOLORININ HOLLl
OSULLARI…
l
………
… …
…… …
…
…… …
………
135
…………… ……
… …135
… … …… …… …
143
… …… …… … …… …… …… ………………… … … ‐
citlasmamasi___
_
…
…
…
… … 157
… …… ……
Qrank tsul _ _
2 Simpleks usul…
3 H● ‖in
Ⅵ
FOSLO AiD YOXLAMA SUALLARI…
… … … … … …… …
MOSTOQiL HOLL ETMOK 090N
LAR… …
…………
V‖
……
Ⅵ FOSLЭ A10 MISAL―
…… … …………… … … …………
159
……160
FOSiL
翼比蟹鵬菅上
謂破f霧雹駕賦罫服謂
LiNO TOTBiQl… …… …
…… ………
……… …… …
… 163
…
………163
…
…1“
TΨ T'11'rザ Tデ 1背:ず IT「 ]T言 …
IIIII彬 :
:郵認漑惚鋼:Tザ ■
f酪緒躍
l Xammahno画 ma!istfad●
o!unmnOi meselesi…
2iξ
Ⅵ IFOSLO AID MOSOLO‐
…… …
……… ……… ………
MOSTOQ:L HOLL aヽ OK 090N
LOR… ……
……… …
174
V‖ :FOSiL
176
FTlT'1翌 T77Wザ￨'??'Yサ 9T'11… …
１
轟
¨
釦
２．
”
¨ Ｍ
¨ Ｄ
一
Ｎ
¨ Ｌ
Ｆ
¨ Э
Ｌ ∝
一
朧 Ⅷ
Ｙ﹂
294
題置
Ⅵ ｍ
3. Qogmalq m*elesinin igtisadi mahiy)rsti...,.-......_...................190

Download Report

A. Platon Akademiyası: Başlanğıc dövr, Riyaziyyat və Astronomiya

目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 技価

もヽ卜￥

A. Platon Akademiyası: Başlanğıc dövr, Riyaziyyat və Astronomiya

目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 技価

expydoc.com

Your ExpyDoc

も ヽ卜￥

A. Platon Akademiyası: Başlanğıc dövr, Riyaziyyat və Astronomiya

目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 技 価

expydoc.com

Your ExpyDoc

もヽ卜￥

目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 技価