拡散律速凝集モデルのシミュレーシ
ョン
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アルゴリズム
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R max
ここから出発
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フラクタル次元の計算

D
M = A R max
の両辺の対数をとる
ln M =D ln R max ln A


両対数グラフにプロット
 横軸 R
max
 縦軸
M
最小二乗法(対数で)で傾きを求める
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最小二乗法：線形な場合


データ集合 { x i , y i  } i=0, N −1
このデータを1次関数でフィットする
y=axb

二乗誤差を最小化するようなa とb を求める
N −1
E= ∑ [ a x i b− y i ]
2
i=0
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N −1
∂E
2
0=
=2 ∑ x i [ ax i b− y i ]=2 N [ a 〈 x 〉 b 〈 x 〉 − 〈 xy 〉 ]
∂a
i=0
N −1
∂E
0=
=2 ∑ [ ax i b− y i ]=2 N [ a 〈 x 〉 b− 〈 y 〉 ]
∂b
i=0
N −1
1
〈 f  x , y 〉 ≡ ∑ f  x i , y i 
N i=0
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

連立方程式を解く
a 〈 x 〉 b 〈 x 〉 − 〈 xy 〉 =0
a 〈 x 〉 b− 〈 y 〉 =0
2
係数を求める
〈 xy 〉 −〈 x 〉 〈 y 〉
a=
〈 x 2 〉 −〈 x 〉2
〈 x 2 〉 〈 y 〉 −〈 x 〉 〈 xy 〉
b=
〈 x 2 〉 −〈 x 〉2
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両対数グラフの最小二乗法フィット



両対数で直線とは
ln y=a ln xb
y=e b x a
両対数をとったデータ { ln x i , ln y i  }
これに対する最小二乗法で指数をa を求める
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
演習：データを2次式
2
y=ax bxc
で最小二乗フィットする方法を構成しなさい
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最小二乗法：一般多項式


データ列
{ X i ,Y i  } ,
i=0, , N −1
n
フィットする多項式
y=∑ c k x
k
k =0

二乗誤差
N −1
S =∑
i=0

n
∑ c k X i −Y i
k =0
k

2
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
最小化の条件
N −1
0=

∂S
=2 ∑ X ij
∂xj
i=0

n
k
c
X
∑ k i −Y i
k =0

解くべき連立方程式
n
∑ c k Ak  j , 0= A j , 1 ,
k =0
N −1
i=0, , n
Ak , j = ∑ X i Y i
k
l
i=0
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進出位置図

位 位 置 図

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