ﻣﺠﻠﻪ ﻛﻨﺘﺮل
ISS N 2008-8345
ﻧﺸﺮﻳﻪ ﻋﻠﻤﻲ -ﭘﮋوﻫﺸﻲ
اﻧﺠﻤﻦ ﻣﻬﻨﺪﺳﺎن ﻛﻨﺘﺮل و اﺑﺰار دﻗﻴﻖ اﻳﺮان -داﻧﺸﮕﺎه ﺻﻨﻌﺘﻲ ﺧﻮاﺟﻪ
ﻧﺼﻴﺮاﻟﺪﻳﻦ ﻃﻮﺳﻲ
ﺟﻠﺪ ،4ﺷﻤﺎره ،3ﭘﺎﻳﻴﺰ 1389
ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻣﻘﺎﻻت
ﺑﻬﺒﻮد ﻋﻤﻠﻜﺮد ﻛﻨﺘﺮﻟﮕﺮ ﭼﻨﺪﻣﻨﻈﻮره ∞ H2 /Hﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﻛﻠﻴﺪزﻧﻲ ﺑﺎ ﺳﺮﭘﺮﺳﺘﻲ و ﺗﻀﻤﻴﻦ ﭘﺎﻳـﺪاري
1
ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎي ﺗﺎﺑﻊ ﻟﻴﺎﭘﺎﻧﻮف ﻣﺸﺘﺮك
ﻓﺎﻃﻤﻪ ﺟﻤﺸﻴﺪي ،ﻣﺤﻤﺪ ﺗﻘﻲ ﺣﻤﻴﺪي ﺑﻬﺸﺘﻲ
ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻓﺎزي ﺷﺒﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي ﺗﺎﻛﺎﮔﻲ -ﺳﻮﮔﻨﻮ -ﻛﺎﻧﮓ ﺑﺎ ﻛﺎرﺑﺮد در ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ و ﻛـﻼس ﺑﻨـﺪي
15
اﻟﮕﻮ
آرش ﺷﺮﻳﻔﻲ ،ﻣﻬﺪي ﻋﻠﻴﺎري ﺷﻮرهدﻟﻲ ،ﻣﺤﻤﺪ ﺗﺸﻨﻪﻟﺐ
ﻧﮕﺮش ﻧﻮﻳﻦ ﺑﻪ ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺗﻌﻘﻴﺐ و ﮔﺮﻳﺰ ﺑﺎ اﻟﻬﺎم از ﻫﺪاﻳﺖ ﻧﺎوﺑﺮي ﺗﻨﺎﺳﺒﻲ
29
ﺟﻌﻔﺮ ﺣﻴﺮاﻧﻲ ﻧﻮﺑﺮي
ﻃﺮاﺣﻲ ﻳﻚ ﻛﻨﺘﺮﻟﮕﺮ ﺑﺎزﺧﻮرد ﺧﺮوﺟﻲ ﭘﻮﻳﺎي ﻏﻴﺮﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﻣﻘﺎوم از ﻣﺮﺗﺒﻪي ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺮاي ﺳـﺎﻣﺎﻧﻪ ﻫـﺎي ﻣﻘﻴـﺎس
36
وﺳﻴﻊ ﺑﺎ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ
ﻣﻬﺪي ﺳﺠﻮدي ،وﺣﻴﺪ ﺟﻮﻫﺮي ﻣﺠﺪ
ﻃﺮاﺣﻲ روﻳﺘﮕﺮ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ اﺗﻔﺎﻗﻲ ﭘﺎﻳﺪار در اﺣﺘﻤﺎل ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ آﺷﻮﺑﻲ ﻧﺎﻣﻌﻴﻦ ﻧﻮﻳﺰي
47
ﻣﻮﺳﻲ آﻳﺘﻲ ،ﺣﻤﻴﺪ ﺧﺎﻟﻮزاده
ﻃﺮاﺣﻲ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺧﻄﺎ ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎي LTIداراي ﻧﺎﻣﻌﻴﻨﻲ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺣﺪاﻗﻞ ﺳﺎزي ﻧﺮم ∞ Hﺧﻄﺎ
56
ﺣﻤﻴﺪ رﻧﺠﺒﺮ ،ﻣﺤﻤﺪﻋﻠﻲ ﻧﻜﻮﺋﻲ
ﻛﻨﺘﺮل ﺳﺎﺧﺘﺎ رﻫﺎي زﻧﺠﻴﺮ ﺑﺴﺘﻪ ﺳﻴﻨﻤﺎﺗﻴﻜﻲ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺪل SPFﺑﺪون اﻧﺪازهﮔﻴﺮي ﺳﺮﻋﺖ
ﺣﺴﻴﻦ ﺑﻠﻨﺪي ،اﻣﻴﺮ ﻓﺮﻫﺎد اﺣﻴﺎﺋﻲ
www.isice.ir
66
µfÀ¯ ĸn»
(ISSN 2008-8345)
,Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ,ÊÅÁa -ʼ¸ ÄË¿
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m
[email protected] :Ê°Ì¿Áf°·Y da
½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y :ZÌf»Y \uZ
ZÌ¿{³ kËY §Áa :µÂX» Ë|»
[email protected] :Ê°Ì¿Áf°·Y da -84062317 :¾¨¸e -ªË| ʯZy ʸ §Áa :Ì]{
Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ ©] Ã|°¿Y{ ,½Y|Ày|Ì ¶a ,Êf Ë f¯{ ½Z]ZÌy :Z¯ ¶v»
{M
ÃZ´¿Y{ {ZfY :d¼
ÊveZ§ Z̸ f¯{ ,Ã{Y·Zy |̼u f¯{ ,ªË| ʯZy ʸ §Áa :ÉÌ]{ ÉYÂ
Ã{Y·Zy |̼u f¯{ :ÊËYmY Ì]{
:ÄËËve cPÌÅ
§Áa -({ZfY) Ê¿ÓYZ» Y{ Ä^m ËÁa §Áa - (ZÌ¿Y{) Ã{Y·Zy |̼u f¯{ -({ZfY) ZÌ¿{³ kËY §Áa -({ZfY) ªË| ʯZy ʸ §Áa
ÉÌ» {YÆ] §Áa -({ZfY) Ê Ì¨ { » §Áa -({ZfY) Á°Ì¿ ¾Ë|·Y µZ¼¯ |Ì Â§Áa -(ZÌ¿Y{) ÊÀ»Â» Z|̼u f¯{ -({ZfY) ÉZ¨£ ʸ
({ZfY)
:½YÁZ» cPÌÅ
,ÉZ¨£ ʸ §Áa ,Ê¿ÓYZ» Y{ Ä^m ËÁa §Áa ,ªË| ʯZy ʸ §Áa ,Ê Ì¨ { » §Áa ,ÉÌ» {YÆ] §Áa ,ÊÀ»Â» Z|̼u f¯{
ZËÁ f¯{ ,ʼZ¯¨ m {Y§ f¯{ ,ÊfÆ] ʬe|¼v» f¯{ ,ÊËZv] ʬe|¼v» f¯{ ,ÉÁ» ½YÂ̯ f¯{ ,{Y ʬe Z|̼u f¯{ , ,Ã{Y·Zy |̼u f¯{
|uY f¯{ ,Ê¨Ì ¾Ìu §Áa ,ɨ ^¯Y ʸ |Ì f¯{ ,ÉËZu |¼v» §Áa ,\· ÄÀe |¼v» f¯{ ,½ZË» ^¯Y ʸ |Ì f¯{ ,{§ É|n»Y
Ê¿YÌu ¨ m f¯{ ,É{YÂm {Y{Æ» f¯{ ,Ëa Z¿ f¯{ ,Z°¸³ ^¯Y ʸ { » f¯{ ,Êr¿ÂeÂe Ã{Y^¯Y Z|¼v» f¯{ ,ÊveZ§ Z̸ f¯{ ,ʼZ¯
.ZÀÌ] ʸ¯Âe |¼v» f¯{ ,½YÁZ |¼v» f¯{ ,Ê·{ àÉZ̸ É|Æ» f¯{ ,Ê¿ÁZ » ½Ì] f¯{ ,ÊËZ]Z] ¾Ìu »Y§ §Áa ,É]¿
:ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ÃË|» cPÌÅ
ʸ
|ÀÆ» ,½Z³{Y ºË¯ {ÁY{ f¯{ ,É{YÂm {Y{Æ» f¯{ ,Ã{Y·Zy |̼u f¯{ ,ÊÀ»Â» Z|̼u f¯{ ,Ê Ì¨ { » §a ,¹|¬» É
Z^
|ÀÆ»
.ʿZ̯
241 ©ZeY ,¹Á{ Ĭ^ ,71 Ôa ,(d§) É»
Z^ ½Z]ZÌy ,ÊÁ{§ ½Y|Ì» ,[Ô¬¿Y ½Z]ZÌy ,½YÆe
88324979 :¯Z§
88813002 :¾¨¸e
www.isice.ir
15815-3595 :Êfa ©Á|À
Ψ೯Ϟฬଘ
˰̶ਉΨϤੀय़ ϩ̶˰ਣभ Ϧ˰ඇඖέ భ ୃୀ̶˰ਖ࢙ω ଢά˰ඩি ϡϪ˰ࣨࣔ ଘϛά˰න Ϧ˰Ξख़ ߰Ψ˰˰ҤΧඟ໋ Ϋච˰໋ୀ ߵ߷߽ ϥ߮˰Ϡ ̵Χϟ࣎˰ൈএ ໝΫหభୃୀϡΫϩ߮˰Ϥभ ϩϡඟࢂ˰พϩέສ˰ࣱൎΞূ ϥΫϪࣨ˰ੇࣻ ϢൕঙΧέ߮˰Ҥ భ
ϟΫච໋ ඟࢁε ߰ΫϪই ສऊΧభ̶ਉΨϤੀय़ ϩ̶ਣभ ϥέϪऑ భ̶ϩϩ̶ਖ࢙ω ̵ϦΞख़ ̵Χ߮ҤέΧ Ψϊৎ ΧϪओϩ߮Ώ ̶ਖ࢙ω ϦΫϢଌଘ̶ਟ߮Ҥ Δ॥Χ̵ୀ Ϋ ϟ࣓ൊΡ ϩϟ࣓ൎω Ψ৯ϩ Ψ೯ Ψ॰̶ජࡁग़
̶˰ਉΨϤੀय़ ̵ ϥέϪ˰ऑ ϡඟࢂ˰พϩϞ߮˰ଶ৳ έΔ˰॥߮˰Ξম Ϊ˰ঁ Δ˰॥ϥΨ˰˰॰ ά˰ඥࣂඖ Ϧ˰Ξख़ ϡΫ̯߮ΫΨ˰˰৯ Δ˰॥ΧϞ߮˰ଶ৳ δ˰ॳϪঈ ϩγϸ˰Ε ଢ߮˰α భ̵Ψ˰˰৯ϩ Ψ೯ࢌ˰শ߮Ϥࣅ Ϣ˰ଌϡϩΨ˰˰
ࢠঙ
ϡϷϪ˰ज़ Ϟ߮˰ଶ৳ έ Ϣ˰ൾ ϩΨ˰Ϥশ߮ଶ৶ ̶˰ਗ ϛ߮˰αΫ Ϋ ̵ΫϩΧ̵Τ˰।̡߮ Ϋජ˰ࡺग़ ϡ߮˰Ϡέ ΓΨ˰ॠ భϡϩ˰່ Ϧ˰ιϪऑ ϩࢌ˰मΧ߮˰Ώ ̶ΫϩΧϞ߮ଶ৳ ϩϦΞख़ ଘΫ߮Ώ ΓϷ߮ϖग़ ϛ߮αΫ߮Ώ ϛάන
ह
̵ࢌ˰শ߮ଶॐ Δ˰ࢨग ̶˰ਉϪੌ ϢଌΨঁάඵ˰ো ଥϪ˰ऒ ̶ਠൌ࣡˰ી ϥΧ̶˰ϩࢌ˰ষϩ߮ϊग़ ϩϔ˰࣪ਲ਼ΧΫୁϩϛά˰න ϡ߮˰αΨϤੀय़ Ϣ˰૱ ߰ϡΫϩ߮˰ζज़ Γ˰ϰঘ ϩଢୌ˰මূ Γϰঘ ߰ϦΞख़ ̶ਪඟ໔
Χభ Ϋ δীϪ˰ऒ Ϧ˰ࣣಮϩϟ࣓ষϪ˰ࣥದ ϩϟ࣓˰˰ত߮Ώ ΫϪ˰ই ̶˰ਖ࢙ω ̵Ϧ˰થ భϦ˰Ξख़ ୃϔ˰रϪड़ ΫϪ˰अ Ψগ߮˰ε ϡ߮ࣄ˰˰ণ Ψ˰˰৯ϩ Ψ೯ Γ߮˰Ҥ߮Ϥࣅ ߮˰Ώ ή˰ඵ ϥΨ˰˰ϤশͿ భΔ˰॥Ψ˰˰ϰঃ ϟ߮˰ଶ৶ ඟࢁ˰พ় Ϧ˰Ξख़ έό˰భ̶˰ਟ
ϟ࣓ঘΧଓΧϢ૮ࣹϪ࡛ ଘ̶ਗϸαϢගঃ ̶ਖ࢙ω Ϗ Ψগ
̶ਙঀϔ࣪ਮϪ ̵ϩέΫͿ߮Ώ
ϛάන ϦΞख़ άඵැΧάໆ ϔΨι̶ਕ߮Υ ̶ਚω
Y|y ¹Z¿ Ä]
cÓZ¬» dƧ
1
¾Ì¼/e Á Êf/a Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/Hь ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
15
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
´·Y É|À]
\·ÄÀe |¼v» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
29
Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Y ¹ZÆ·Y Z] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ Ä] ¾Ë¿ ´¿
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m
36
ÉZ/ÅÄ¿Z»Z/ËY] d/]Zi ÉÄ/^e» Z/»ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬»
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
47
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉY] µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
Ã{Y·Zy |̼u ,ÊfËM Ê»
56
Hь ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
Zy
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
66
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
¦¸fz» ¹Â¸ { É{]Z¯ Á É¿ cZ¬Ì¬ve lËZf¿ ¾Ëe ÃZe Ã|¿Ì³] { į dY ÊÅÁa – ʼ¸ ÉY ĸn» ,µfÀ¯ ĸn»
.|ÀZ] Ê̸´¿Y Ã|Ì°q ÉYY{ Á ÊZ§ ½Z] Ä] dËZ] Ê» µfÀ¯ ĸn» Ä] Ê·ZY cÓZ¬» .|Z^Ì» ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ Ê|ÀÆ» Z] ^e»
:{¼¿ ÃZY Ë {Y» Ä] ½YÂfÌ» ĸn» ¾ËY ¿ {» huZ^» ½ZÌ» Y
.ZƼfÌ ÉZ ÄÀÌÆ] Á ÉZ ÄÌ^ ,ÊËZZÀ ,ÉZ·|» (1
µfÀ¯ ,ʬÌ^e µfÀ¯ ÉZƼfÌ ,ÊyÌ£ Á Êy µfÀ¯ ÉZÅ ºfÌ ½Âr¼Å Äf§Ìa µfÀ¯ ÉZÅ ºfÌ ÊuY Á ¶Ì¸ve (2
,Ê/^̯e Á |»Z/Ìa Äf/³ µ/fÀ¯ ÉZƼf/Ì ,ʧ{Z/e µ/fÀ¯ ÉZƼf/Ì ,|À¼ÂÅ µfÀ¯ ÉZƼfÌ ,ÄÀÌÆ] µfÀ¯ Á ¹ÁZ¬»
.ÌÁ {Z ]Y ÉZƼfÌ
.®ÌeZ] Á ®Ì¿ÁeZ°» (3
.ÉÂÀ cZÔY Á Ã{Y{ \̯e ÉZƼfÌ Á ªÌ«{ Y]Y (4
ÉZƼf/Ì ,Z/y Ìze Á ÊÀ¼ËY ÉZƼfÌ ,¾ÌZ» – ½Z¿Y ]Y ,Ã{f³ µfÀ¯ ÉZƼfÌ ½Âr¼Å Êf À ½ÂÌZ»ÂeY (5
.ÉËYÁa µfÀ¯ ÉZƼfÌ Á ʬ̬u ½Z»
:| Z] Ë {Y» Ã|¿Ì³] { |¿YÂe Ê» Á Ã{Â] ÌÁ ,ĸn» ¾ËY Ä«Ô {» ÉZÅ{]Z¯
.É]ÁZ¿ Á dËY|Å ÉZƼfÌ (1
.É·ÂÀ°eÂÌ] Á ÊËZÌ¼Ì ÉZÅ|ÀËM§ ¶»Z Êf À ÉZÅ|ÀËM§ (2
.Ê¿| » {Y» ÉÁY§ Á kYzfY ÉZÅ|ÀËM§ (3
.Z¯{Ây ÉZÅÁ{Ây Á ¶¬¿ Á ¶¼u ÉZƼfÌ (4
.©] ÉÁÌ¿ ËÂe Á |Ì·Âe (5
.ÊZÀYÂÅ Á dË Ìv» Ê|ÀÆ» (6
.|Ì·Âe É·ÂÀ°e Ê|ÀÆ» (7
.Ê·Z» Á É{Zf«Y ÉZƼfÌ (8
.Êf À ÉZÅ Ä°^ Á ÊeY]Zz» ,ÊeZÔY ÉZƼfÌ (9
.Ê°a Ê|ÀÆ» (10
.|À¼ÂŠ»M ÉZƼfÌ (11
lËZ/f¿ Á cÓZ/¬» Ze |ËM Ê» ¶¼ ] cÂ{ ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ Ê|ÀÆ» Z] ^e» ÉZÅ ÄÀÌ» { µZ § ½ZZÀZ¯ Á ½Y´ÅÁa Ä̸¯ Y
Ä/] Ê°Ì¿Áf°·Y c Ä] Y {Ây cÓZ¬» dY |À¼ÅYÂy .|ÀËZ¼¿ µZY ĸn» ¾ËY Ä] Y {Ây ÊÅÁa Á ʼ¸ ÉZÅ{ÁZf{ ¾ËyM
dËZ/ Ä/] |/Ì¿YÂe Ê/» cÓZ/¬» µZY Á ÄÌÆe ÃÂv¿ d§ZË{ Á fÌ] cZÔY \¯ ÉY] .|ÌËZ»§ µZY [email protected]
{M
.|ÌËZ¼¿ Ä mY» www.isice.ir
{M Z] ĸn»
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
¾ËÁ|e ÃÂÌ
A4 cZv¨/ { ,Â/y ½Z/Ì» double ĸ/Z§ Z] Á B Zar 12 d¿Â§ Z] |ËZ] ZÆËÂ¿Ë Á mY» ,Ä·Z¬» Ä¿|] ,Ã|Ì°q ¶»Z cÓZ¬» ¾f»
.{{³ ÄÌÆe Word Y§Y¹¿ dve Á Ê¿Âf ®Ë
½Z³|ÀË¿
{M
{ cZ/^eZ°» Y{Ã|/Æ Ã|À/Ë¿ (email)Z/´¿¹Z/Ìa Ê¿Z¿ Á (°§)Z´¿Á{ Á ¾¨¸e ÃZ¼ Z] ÃY¼Å ½Z³|ÀË¿ ļŠ¶»Z¯ Êfa
{M
.{{³ µZY Ä·Z¬» ÃY¼Å Ä] Á _Zq ʸ¬f» ij]
Ã|Ì°q
(Ê/̸´¿Y Á ÊZ§) ÃYÁ|̸¯ ,ÃYÁ 200 j¯Y|u { Ä·Z¬» (Ê̸´¿Y Á ÊZ§) Ã|Ì°q ,(Ê̸´¿Y Á ÊZ§) ½YÂÀ ,¶»Z |ËZ] Ä·Z¬» Å
.|Z] ÃYÁ 5 j¯Y|u {
ZÆ° Á ËÁZe
Y /a .|/Z] t/YÁ |/ËZ] Ê·Z/Y d/¿Á Ê·Á ,|Z]ʼ¿ ZÆ° Á ËÁZe ¶Y µZY Ä] ÉZÌ¿ ÉÁY{ dÆm Ä·Z¬» µZY ¹Z´ÀÅ {
.|Z]Ê» ÉÁ Ä·Z¬» _Zq dÆm ZÆ° Á ËÁZe ¶Y µZY ,Ä·Z¬» |ÌËZe
mY»
Ä/] Ä/·Z¬» ½Z/ËZa { /Ë s/ Ä/] Z/Æ¿M cZ/ÌWm Á |¿{³ z» ÃZ¼ Z] |ËZ] mY» .|Z] Ã| Ã{Y{ ZmY ¾f» { |ËZ] mY» Ä̸¯ Ä]
:{{³ ÅZ ½Z³|ÀË¿ ÉZ^¨·Y ¥Áu \Ìee
Z/Ë ÄË/¿ ¶/»Z¯ ¹Z/¿ ,"Ä/·Z¬» ½YÂ/À" ,ÉY³] xËZe ZË Zf¿Y µZ ,¹Z¿ µÁY ÉZfyY d»Ô Á ʳ{Y¿Zy ¹Z¿ [m» ÃZ¼] :cÓZ¬»
.cZv¨ ÃZ¼ ,|¸m ÃZ¼ ZË Ä¸n» ÃZ¼ ,¿Y¨À¯
µZ/ ,/Z¿ ¶/»Z¯ ¹Z/¿ ,({Â/mÁ cÂ/ {) ºmf» ¹Z¿ ,[Zf¯ ½YÂÀ ,½Z³|ÀË¿ ļŠ¶»Z¯ ¹Z¿ Á ʳ{Y¿Zy ¹Z¿ [m» ÃZ¼] :ZÆ]Zf¯
.Zf¿Y
|/uYÁ Y ½YÂ/eÊ/» SI |/uYÁ ZÀ¯ { .|ÀËZ¼¿ Ã{Z¨fY Ä·Z¬» ÉZÆz] ¹Z¼e { (®Ëf») SI {Y|¿ZfY |uYÁ Y |ËZ] cÓZ¬» Ä̸¯ :ZÅ|uYÁ
.{¼¿ Ã{Z¨fY Ì¿ f¿Ya ¶yY{ { Ê̸´¿Y
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
cÓZ¬» µÂ
Ê/´¿ Z/Ë Á f/Ì] cZv¨/ _Z/q ÉY] .|Z]Ê» ÃYÁ 7500 {Á|u µ{Z » į |Z]Ê» Äv¨ 15 _Zq ¹Z´ÀÅ { cÓZ¬» ºnu j¯Y|u
.{{³ ËYÁ ĸn» [Zu Ä] Äv¨ Å ÉY] (Z°Ë»M Ó{ 25) µZË 250,000 µ{Z » ÉYÄÀËÅ dY ¹Ó
Ä·Z¬» µZY |ÀËY§
pÌ/Å { |/ËZ^¿ Ê·ZY cÓZ¬» .|Z] Ê» ÊÅÁa ÉZÆfY{{ZË Á ÃZe¯ cÓZ¬» ,ÊÅÁa ¶»Z¯ cÓZ¬» ¶»Z ĸn» { _Zq ¶]Z« cÓZ¬»
.|Z] ÉÁY{ µZu { ZË Á |Z] Ã| _Zq ÊmZy ZË Á ʸyY{ ĸn»
.{ µZY [email protected] ĸn» Ê¿Z¿ Ä] ÉÁY{ dÆm word Á pdf ¶° Ä] Ä·Z¬» Ê°Ì¿Áf°·Y Äz¿ dY ¹Ó
x
|/ÅYÂy ¹Zn¿Y ĸn» ÄËËve dXÌÅ Âe Ä·Z¬» Å { ZË |ÌËZe ½ZËZa { .{{´Ì» µZY zf» ½YÁY{ Ä] ÉÁY{ dÆm cÓZ¬»
x
.{¼¿ |ÅYÂy µZY cZ^eZ°» Y{Ã|Æ Ã|ÀË¿ ÉY] Y ÉÁY{ ÄnÌf¿ ĸn» Ì]{ .d§Ë~a
Ã|À/Ë¿ {YÂ/» ËZ/ { .|/Z] Ã|/ /¯} {Y» Ä] {Á|v» YvÀ» |ËZ] cZvÌve ,|Z] Ä·Z¬» tÌve Ä] ZÌ¿ į Êe {
x
/] \/·Z» º¬ Á dv dÌ·ÂX» c Š{ .|Å{ Y« É´Ë{ tÌve ZË Á Ì̤e Ŀ³ Å ½ZËm { Y Ì]{ dY ¹Ó
.{Â] |ÅYÂy Ã|ÀË¿ Ã|Æ
Y|/ÅY ½Z³|À/Ë¿ Y ®/Ë /Å Ä/] Ä/·Z¬» Y Äz/¿ 5 Z/] ÃY/¼Å ĸn» Y Äz¿ ®Ë ,{ Äf§Ë~a _Zq dÆm Ä·Z¬» į Êe {
x
.|Ë{³ |ÅYÂy
Y "½YËY ªÌ«{Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y" Ä] ½M Zf¿Y ªu µZ¬f¿Y ¹§ dY ¹Ó ½Z³|ÀË¿ ,Ä·Z¬» |ÌËZe c { :Êb¯ ªu
Á mY» Y į Ä·Z¬» Y ÊËZÆz] Êb¯ ªu ½Z³|¿Y{ Ê^f¯ d¬§Y» dY ¹Ó ½Z³|ÀË¿ .|ËZ¼¿ µZY Ä·Z¬» ¶Y ÃY¼Å Ä] Á ¶Ì¼°e
.|ÀËZ¼¿ µZY ĸn» f§{ Ä] Á d§ZË{ Y dY Ã| ÉY{]Äz¿ ´Ë{ ]ZÀ»
¶¼ Ä] cÂ{ ÄË¿ ¾ËY { {Ây cÓZ¬» ÄWYY dÆm ªÌ«{Y]Y Á µfÀ¯ Ê|ÀÆ» ½ZZÀZ¯ Á ½Y´ÅÁa ,|ÌeZY Ä̸¯ Y ĸÌÂÀË|]
cZÔY \¯ ÉY] .|ÌËZ»§ µZY [email protected] :
{M Ä] Ê°Ì¿Áf°·Y c Ä] Y {Ây cÓZ¬» dY |À¼ÅYÂy .{ÁMÊ»
.|ÌËZ¼¿ Ä mY» http://www.isice.ir :dËZ Ä] |Ì¿YÂfÌ» fÌ]
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
µfÀ¯ ĸn»
ISSN 2008Ͳ8345
1-14 Äv¨ ,1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m
Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa
2
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,1É|̼m ļZ§
[email protected] ,
|» dÌ]e ÃZ´¿Y{ ,µfÀ¯ ÃÁ³ ,©] Ê|ÀÆ» Éf¯{ ÉÂn¿Y{ 1
[email protected] ,
|» dÌ]e ÃZ´¿Y{ ,©] Ê|ÀÆ» Ç|°¿Y{ ,ZÌ¿Y{ 2
(1389/8/12 Ä·Z¬» Ë~a xËZe ,1389/6/5 Ä·Z¬» d§ZË{ xËZe)
Ä·Z» ®Ë Ä] į |Z]Ê» ËZ¤» \¸£Y Á ¦¸fz» ¥Y|ÅY ÉZ ÄÀÌÆ] ¶»Z Ã|ÌrÌa ÉZźfÌ ÉY] Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY :Ã|Ì°q
,Ä·Z¬» ¾ËY { ,{¼¿ Ã{ÁM] ÄÀÌÆ]  Ä] Y ¥Y|ÅY ¹Z¼e ½YÂeʼ¿ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ®Ë Y Ã{Z¨fY Z] į Zn¿M Y .|»Zn¿YÊ» ÃÂÀ»|Àq ÊuY
Á{ ,Êy ÊËeZ» ÉZÅÉÁZ»Z¿ Y Ã{Z¨fY Z] .dY Ã| Ã{Z¨fY H2/H ÃÂÀ»|Àq µfÀ¯ Ä·Z» ¶u ÉY] Êfa Z] Ê¿|̸¯ {°ËÁ Y
d·Zu ÉZ§ ËZ¼¿ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Å ¶Ë|^e ËeZ» ÉY] .dY Ã|Ë{³ ÊuY H Á H2 É{°¸¼ ¥Y|ÅY ¾Ì»Ze ÉY] Yn» Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯
,Ë¿ 5ÊmZy ÉZÅÉ{ÁÁ Ê¿|̸¯ da .|¿Z¼] Ê«Z] ª¸» Y|ËZa Äf] Ĭ¸u ºfÌ Ê¿|̸¯ µZÀ´Ì Å ÉY] į Ã| d§ZË ÉYĿ³ Ä]
,H2/H ÃÂÀ»|Àq µfÀ¯ µÁY|f» {°ËÁ .|Å{Ê» Y« Ĭ¸u { Y ½M Ä] Â]» Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Á Ã{Y{ Ìze Y m» É{ÁÁ Á Zf£Y
Z] ÄËZ¬» { į |Å{Ê» ½Z¿ ÉZ ÄÌ^ lËZf¿ .{ZÊ» Ã{ÁM] Y H Á H2 É{°¸¼ ¥Y|ÅY į dY É|uYÁ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY
-ÄuÔ» ¶]Z«  Ä] Y Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ {°¸¼ Á Ã{Y{ ÅZ¯ Y ÉZ¯ ħZv» Ê¿|̸¯ ÉeYfY ,µÁY|f» H2/H ÃÂÀ»|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯
.dY Ã|Ìz] {Â^Æ] ÉY
,H2/H ÊfaZ] Ê¿|̸¯ ´·fÀ¯ ,ÊmZy É{ÁÁ Ìze da ,d·Zu ÉZ§ ª¬ve ,ÉY|ËZa :É|̸¯ cZ¼¸¯
.Êy ÊËeZ» ÉZÅÉÁZ»Z¿
Improving the H2/H Control Performance Using Supervisory Based
Switching
Fatemeh Jamshidi, Mohammad Taghi Hamidi Beheshti
Abstract: In this paper, a supervisory based switching strategy is employed to solve the H2/H
multi objective controller design. Using linear matrix inequalities, two distinict controllers are
designed to meet the H2 and H performance specifications. A state realization for each controller
transfer matrix is found such that the asymptotical stability of the closed-loop switching system is
guaranteed for any switching sequence. A supervisor is used to diagnose the exogenous input
changes and switch to the relevant controller. Simulation results show that switching strategy
improves the performance of the controller and reduces the conservation in comparison with the
common H2/H controller.
Keywords: Linear Matrix inequality, Realization Theory, Stability Theory, Supervisor,
Switching H2/H control.
Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ,µfÀ¯ ĸn»
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» :cZ^eZ°» Y{ Ã|Æ Ã|ÀË¿
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
2
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
{ ÉZ/¯ Ä/§Zv» ÅZ/¯ ÉY/] Êf/a Z/] 5Ê¿|/̸¯ Ã|/ÀÀ¯ µfÀ¯
Ä»|¬» -1
¹Â/ƨ» Á ¾/ËY Y .|/Z]Ê/» ½M {/°¸¼ {Â/^Æ] Á Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY
ÉËZ/¤» ÉZÅZÌ¿ dY ¹Ó \¸£Y ,µfÀ¯ Ê|ÀÆ» Ê «YÁ ¶ËZ» {
Ê¿|/̸¯ ºÌ/Àe ÉY/] da Y Á Äf§ Z¯ Ä] Ä¿Z³|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯
dË{Á|/v» ,m» É{ÁÁ \̬ e ,Zf£Y ¦¸fz» Y¿Y ¥~u |À¿Z¼Å
Ã|/ Ã{Z¨f/Y Äf/] Ä/¬¸u {/°¸¼ {Â^Æ] dÆm { ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ ½ZÌ»
¹|// Á //̤f» ËY// //]Y] { ½{Â//] ¹ÁZ//¬» Á Z//ŵZÀ´Ì// ÄÀÌ//Ì] ÉÁ
Ê/uY Ì/a Y 5ÉZ/ÅÃ|/ÀÀ¯ µfÀ¯ ½ZÌ» Ê¿|̸¯ É̳Z¯ Ä] Z] .dY
Ä/¯ ÃÂÀ»|/Àq fÀ/ ¶ËZ/» Ä] į {{³ Ã{ÁM] ,ºfÌ ÉZÅdÌ «
,|¿Z/Ê/» Ã{ÁM/] Y Hь Á H2 cZ/z» Y Ê°Ë ¹Y|¯ Šį Ã|
Ê/¸¯ Â/ Ä/] .{ÂÊ» nÀ» ,|ÀÀ¯Ê» ¾Ì»Ze ½Z»¼Å Y {°¸¼ ¾Ë|Àq
Êf/{ÓZ] ºf/Ì ®Ë Âe Ê¿|̸¯ .dY Ã|»M d|] [¸» Zf§
.|¿YÃ|¿Z» Ê«Z] Z] ¶WZ» c Ä] ½ZÀr¼Å ÃÂÀ»|Àq µfÀ¯ ¶WZ»
5ÉZ/ÅÉ{ÁÁ Â/«Á Ä/¯ {Â/Ê/» Ê/Å{½Z»Z «da» ½YÂÀ dve
µ/fÀ¯ ®/Ë ¾f§Z/Ë ,ÃÂÀ»|/Àq µ/fÀ¯ ¶ËZ/» ¶u µÁY|f» Á
Y« Ĭ¸u { Y ÄÂ]» Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Á Ã{Y{ Ìze Y ¦¸fz» ÊmZy
ÉZ/ÅËeZ/» ¾f§/³ /¿ { ½Z°Ë Á ÊuY ¥Y|ÅY ļŠÉY] Ã|ÀÀ¯
Y Ê¿|/̸¯ µZÀ´Ì/ ÉZÅdË{Á|v» ,Ê|ÀÆ» ¶ËZ» \¸£Y { .|Å{Ê»
Ä/q³Y .d/Y Ê/uY ¦/¸fz» ÉZÅÄz» ÉY] Äf§ Z¯ Ä] >¥Â¿ZaZÌ·
Äf§³ ¿ { ÃYÂz·{  Ä] Ê¿|̸¯ Á ¾ËY Y .dÌ¿ Ã| ÄfyZÀ ¶^«
®/Ë Ê/uY Z/»Y ,d/Y [Â/¸» ÊuY Ä·Z» ®Ë ¥Y|ÅY ļŠ¾Ì»Ze
Å dve Ê¿|̸¯ ºfÌ ÉY|ËZa ¾Ì¼e ÉY] Ä·Z¬» ¾ËY { .dY Ã|
¥Y|/ÅY ½Z/Ì» Äv·Z/» ÉY/«] ¹¸f/» ÃÂÀ»|/Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ®e
5½ÂÌ/YËf»YZa
Z/Y /] Z/ÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ ª¬ve ÃYÂz·{ Ê¿|̸¯ Ä·Z^¿{
ÉÁ dË{Á|///v» Á ºÌ///Àe ,\///̬ e ,ËÂ///¿ ¥~///u ½Â///r¼Å Êf]Z///«
.dY Ã|Ë{³ [Zzf¿Y ,Ã| ½ZÌ] [17 Á 16] { į ZÆ¿M ÓÂË
Ã|ÀÀ¯ {Á|v» ,Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ®e ®Ë Y Ã{Z¨fY Á ¾ËY Y .dZÆ·ZÀ´Ì
Á Ä·Z» ¦Ë e ,2 z] { .dY Ë s Ä] Ä·Z¬» ¾ËY ZfyZ
.[3 Á 2 ,1] |Z]Ê» Ä¿YZ¯ ħZv» Á
{ .dY Ã| ÄWYY ,Hь Á H2 5ÉZÅ´·fÀ¯ 5¶Ë|^e ]Ze È^Zv» ÃÂv¿
Ä/] Á d/Y ¹ÁZ/¬» µ/fÀ¯ { |/»MZ¯ Á ®/Ë H2/Hь µfÀ¯
ªÌ«{  Ä] Y|ËZa 5Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY È·Z» ,3 z]
|/À¯Ê/» Ä/À̼¯ Y ºfÌ H2 {°¸¼ į {Y{aÊ» É´·fÀ¯ ÊuY
½ZÌ] ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ d·Zu ÉZ§ ª¬ve [Zzf¿Y Ê´¿Â´q Á Ê]
.[1] |ËZ¼¿Ê» ¾Ì¼e Y ÊÀÌ » Hь {°¸¼ į Ê·Zu {
,Ë¿ 5ÊmZy ÉZÅÉ{ÁÁ «Á Ìze Ê´¿Â´q .dY Ã|Ë{³
-dË{Á|/v» /] Ä/^¸£ { ½M d̸]Z« ¶Ì·{ Ä] Ê¿|̸¯ µfÀ¯ ÃÁ»Y
¦ÌÂe 4 z] { Ê¿|̸¯ >da Âe m» É{ÁÁ Á Zf£Y
Ã|/ÀÀ¯ µ/fÀ¯ ®/e ®/Ë Z] į ÊËZźfÌ µfÀ¯ Á ʬÌ^e µfÀ¯ ÉZÅ
ºfÌ Hь Á H2 >{°¸¼ 5Ê]ZËY ÇÂv¿ ,5 z] { .dY Ã|
Ä/f§³ Y/« Ä/mÂe {» ZÌ] ,|À]ZËd{ [¸» {°¸¼ Ä] |À¿YÂeʼ¿
µZj» ®Ë Ä] É{ZÆÀÌa Á | ] z] { .dY Ã|Ë{³ ÄWYY Ê¿|̸¯
-d/Ì « ¹|/ Z/] ĸ]Z¬» { Éi» ¹Ì¿Z°» ,Ê¿|̸¯ µfÀ¯ s .dY
Ã| ÄËZ¬» µÁY|f» H2/Hь ÃÂÀ»|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Z] lËZf¿ Á µZ¼Y
ÉY] Êfu .{ÁMÊ» ºÅY§ {ZË Ê³|ÌrÌa Z] 5ÉZźfÌ Á ÉZ·|» ÉZÅ
Y É̳ ÄnÌf¿ .|Å{Ê» ½Z¿ Y É{ZÆÀÌa Á É|»MZ¯ į dY
{Â^Æ] ÉY] Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Ì¿ ½Z» Z] ̤f» Ì£ Êy ÉZźfÌ
-Ê» ¶Ì°e Y Ä·Z¬» ÊËZÆf¿Y z] cY{ZÆÀÌa ÄWYY Á Ã| s» huZ^»
-Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÉÂXe
ZY Á ÄËZa .[6 Á 5 ,4] dY Äf§ Z¯ Ä] {°¸¼
.|Å{
Ã|// Z//À] Liberzon Á Hespanha ,Morse //Âe |//Ë^ËZÅ ÉZ//Å
Y Äf//ÂÌa ºf//Ì ®//Ë ÉZ//Y|ËZa ÉY//] [10] { .[9 Á 8 ,7] d//Y
Ä·Z» ½ZÌ] -2
Ã|/ÀÀ¯ µ/fÀ¯ x/Za Á d/Y Ã|/ Ã{Z¨f/Y Ê¿|/̸¯ Ê/mÁy ®]|̧
Ã| Äf§³ ¿ { Ë ¶° Ä] , P {Á|v» | ] Z] LTI ºfÌ
{ .d/Y Ã|/Ë{³ Ä/ËZ¬» ºÅ Z] ´Ë{ LTI Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Á{ Á Ê¿|̸¯
:dY
x
°
P : ®z
°y
¯
®/Ë ÇÂÀ»|/Àq ¹ÁZ/¬» µfÀ¯ .dY Ã| Ã{Z¨fY d·Zu Á µfÀ¯ ÄÀ»Y{
Ax B u uC Bw w
(1)
C z x D zu uC D zw w
{ Ê¿|̸¯ ªË Y Zf£Y ¥~u Á \̬ e cZz» Z] ÊËZ¬·Y Âe»
C y x D yw w
ÊmZy É{ÁÁ ,w R
nw
ÉZÅdË{Á|v» ] Ä^¸£ ÉY] Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y ʸ¼  Ä] [11]
{Â/^Æ] ÉY/] Z/ÅÃ|/ÀÀ¯ µfÀ¯ ½ZÌ» Ê¿|̸¯ .dY Ã|Ë{³ {ZÆÀÌa [12]
,d·Zu ̤f» , x R
nx
į
.dY Äf§ Z¯ Ä] Ì¿ [15 Á 14 ,13] { ÊuY ¥Y|ÅY { Äv·Z»
,µfÀ¯ É{ÁÁ , uC R nu ,(m» É{ÁÁ Á Zf£Y ,Ë¿)
µ/fÀ¯ Y Ã{Z¨f/Y Z/] Ã|/ÌrÌa ÉZ/źfÌ µfÀ¯ Ä·Z» Ä·Z¬» ¾ËY {
-ÃY|¿Y ÊmÁy , y R
Y Ã{Z¨f/Y ,¥|/Å .d/Y Ã|/Ë{³ Ê/] Êfa Z] Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯
ny
Á Ã|¿Â µfÀ¯ ÊmÁy , z R
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
nz
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
3
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
,Ã| ÊuY Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Âe Äf] Ĭ¸u ºfÌ ÉY|ËZa
I º
ªX
.[2] |ËMÊ» { « i
» ! 0 ¶° Ä] , Pi ! 0
¬ I Yi ¼
|Z]Ê» ©{Z Hь Á H2 µfÀ¯ ÉY] ¹Ó cZ̧ .dY Ã| É̳
ÉY] Äf] Ĭ¸u Ç| µfÀ¯ 5ºfÌ >{Y|¿ZfY 5¹Y³ZË{ ,1 ¶° .[2]
.|Å{Ê» ËZ¼¿ Y Hь Á H2 ÉZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY
µfÀ¯ d·Zu ÉZ§ ª¬ve) , Fi , G i , H i , J i ,ÊuY ÉZÅ̤f»
w
y
u
N i Fi M iT N i G i C y X i Fi
z
P
:|ÀÀ¯Ê» Ì̤e Fi ,G i , H i , J i Ä] (6) Ä]Y Y Ã{Z¨fY Z] (Ã|ÀÀ¯
Controller
Y i B u H i M iT Y i A B u J i C y X i
µfÀ¯ ÊuY ÉY] Äf] Ĭ¸u Ç| µfÀ¯ ºfÌ {Y|¿ZfY ¹Y³ZË{ :1 ¶°
Hь Á H2 ÉZÅÃ|ÀÀ¯
G i : N i G i Y i B u J i
H i : H i M iT J i C y X i
( 6)
Ji : Ji
Ä] \Ìee Ä] Äf] Ĭ¸u ºfÌ Á ´·fÀ¯ d·Zu ÉZ§ ËZ¼¿
:dY Ë cÂ
(3) Äf] Ĭ¸u ºfÌ :[2] (Hь Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY).1-2 º·
( Tw H
f
oz H f
f
J ) Ã| ¾ÌÌ e Ìa Y -¹¿ |u Ä] Á Ã{Â] Y|ËZa
, X H f , Y H f ÉZÅËeZ» ³Y ZÆÀe Á ³Y ,|]ZËÊ» d{ J ! 0
Ë ÉZÅ LMI { į |ÀZ] ÄfY{ {ÂmÁ FH f , G H f , H H f , J H f
:( i
*
*
L 22
L 32
L 42
*
J I
L 43
x cl Acl x cl B clw
®
¯ z C cl x cl D clw
(3)
į
§ Acl
¨¨
© C cl
* º
* »»
0
* »
»
J I ¼
(7)
L 21
FH f A B u J H f C y
T
T
Bu H
F
D zu H
Bw B u JD yw ·
¸
GD yw
¸
D zw D zu JD yw ¸¹
L iT s R i
Li z Ã| µfÀ¯ ÊmÁy Ä] w i
Á
R i 1w
T
, Bw i
Bw R i
,C zi
Li C z
Bi ·
¸ c Ä] T i s d·Zu
D i ¸¹
, Bi
§ Bw i B u JD yw i
¨¨
GD yw i
©
·
¸¸
¹
L 32
B
Y
L 41
C zi X Hf Dz iu H Hf
L 42
C z i D z i u J H fC y
½ZÌ] ÂÀ» Ä] .|Z]Ê» ¿ {» H2/Hь {Y|¿ZfY {°¸¼ ZÌ »
L 43
D z i w i D z i u J H f D yw i
¥Â¿ZaZÌ· ËeZ» (LMI) Êy ÊËeZ» ÉÁZ»Z¿ ¹§ Ä] Ä·Z»
L 31
wi
Hf
B u J H f D yw i
½ZÌ] ÉY] į) z i
§ Acl
½M { į dY ¨¨
©Ci
§ A B u JC y
¨
¨ GC y
¨C D JC
zu
y
© z
·
¸¸
¹
ÉZ§ ª¬ve .[2] dY ({ÁÊ» Z¯ Ä] ¦¸fz» É{°¸¼ ¥Y|ÅY
AX H f B u H H f AX H f B u H H f
L 22 Y H f A G H f C y Y H f A G H f C y
B cl
Dcl
ÊmZy É{ÁÁ Y ¶Ë|^e ]Ze T i s L11
( 2)
Hx C Jy
H f ) |ÀËZ¼¿ ©|
I º
ªX H f
«
»!0
Y H f »¼
«¬ I
ª L11
«L
« 21
« L 31
«
¬ L 41
Fx C Gy
x C
®
¯uC
T
Bw i G H f D yw i
į
T
, D z iw i
, Di
Li D zw R i
Pi
ªY i
«N T
¬ i
N i º 1
,P
»¼ i
i
Mi º
»¼
Li D zu
^H 2, H f ` Pi ,
(4)
:į |¿ÂÊ» [Zzf¿Y ÉYĿ³ Ä] M i , N i
J i C y X i M i T
G i : N i 1 G i Y i B u J i
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
M i N iT
I X iY i
D z iw i D z i u JD yw i
D yw R i , D z i u
ªXi
«M T
¬ i
Dz iu H
Á ¾ËY Y ,|ÀÀ¯ ©| (4) Ä]Y { |ËZ] X i , Y i , M i , N i
J i : Ji
H
H f ÉYY Ä]
D z i u JC y
zi
dY Ã| É|À] Y§Y Ë c Ä] i I
,|ËZ¼¿Ê» ¾Ì»Ze Y [¸» {°¸¼ Á {ZÊ» Y|ËZa Y Äf] Ĭ¸u ºfÌ
Hi :
C
. D yw i
į ÉY Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ d·Zu ÉZ§ ª¬ve ,(6) Ä]Y Y Ã{Z¨fY Z]
:|ËMÊ» d|] Ë c Ä] i
,C i
( 5)
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
4
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
ZY|ËZa Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY -3
,½M { į Ã| Ã{Y{ ½Z¿ 2 ¶° { Äf] Ĭ¸u ºfÌ É|À]°Ìa
, d ,{Á|v» (ºÌÀe Ĭ¿) m» É{ÁÁ , r ,|ÀËM§ ÊmÁy , y P
N i1 Fi N i G i C y X i Y i B u H i M i T
Fi
Y i A B u J i C y X i M i T
H f ÉY] Ë c Ä] Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ¶Ë|^e ]Ze
Ä^Zv» i
Á ¹Â¸ »Z¿ É̳ÃY|¿Y Ë¿ , n Á {Á|v» Á ¹Â¸ »Z¿ Zf£Y É{ÁÁ
¹Y³ZË{ ¸] Z] 2 ¶° Äf] Ĭ¸u ZfyZ ªÌ^e ÉY] .dY {Á|v»
Äf§³ ¿ { 1 ¶° { P ½YÂÀ Ä] ,2 ¶° { ¾Ìq y ,1 ¶°
:|¿ZÊ» Y 1 ¶° { w ,2 ¶° { ÊmZy ÉZÅÉ{ÁÁ Á {ÂÊ»
^A P , B P ,C P ` Á \ZÀ» Y|̯Y ¶Ë|^e ]Ze H P s . w
ªr º
«d »
« »
«¬ n »¼
:dY Ê] {» LTI |ÀËY§ d·Zu ÉZ§ ª¬ve
AP x P B Pu , y P
xP
CPx P
:{{³Ê»
K i s H i sI Fi G i J i
1
(9)
Y|ËZa (3) Äf] Ĭ¸u ºfÌ :[2] (H2 Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY).2-2 º·
( Tw H
2
oz H 2
2
Q ) Ã| ¾ÌÌ e Ìa Y 2-¹¿ |u Ä] Á Ã{Â]
, X H 2 , Y H 2 , Z ÉZÅËeZ» ³Y ZÆÀe Á ³Y ,|]ZËÊ» d{ Q ! 0
Ë ÉZÅ LMI { į |ÀZ] ÄfY{ {ÂmÁ FH 2 , G H 2 , H H 2 , J H 2
:( i
H 2 ) |ÀËZ¼¿ ©|
I º
ªX H 2
«
»!0
I
Y
H2 ¼
»
¬«
ª L11
«
« L 21
«¬ L31
*
L 22
L32
º
»» 0
I »¼
ª
X H2
*
«
I
Y H2
«
«
C
X
D
H
C
D
z iu
H2
zi
z i u J H 2C y
¬« z i H 2
Äf] Ĭ¸u É|À]°Ìa :2 ¶°
*º
»
*» !0
»
Z ¼»
0, trace ( Z ) Q
ÉZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ 5¶Ë|^e ]YÂe ½ZÌ» į Ä¿Z³|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯
D z i w i D z i u J H 2 D yw i
 Ä] , K H 2 s , K H f s ,2 z] Ç| ÊuY ZY|ËZa
L11
AX H 2 B u H H 2 AX H 2 B u H H 2
y Á V É{ÁÁ Á{ Z] Ê°Ì»ZÀË{ ºfÌ ®Ë ,|À¯Ê» Ê¿|̸¯ Éi»
L 21
FH 2 A B u J H 2C y
V : [0,f) o I d]Zi ÉYÄ°e É{ÁÁ .dY u C ÊmÁy ®Ë Á
i I d]Zi Y|¬» V į Ê¿Z» .{ÂÊ» Ã|¿YÂy Ê¿|̸¯ µZÀ´Ì
¶Ë|^e ]Ze Z] LTI ºfÌ ®Ë |À¿Z¼Å Ä¿Z³|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ,{Y{
d·Zu ÉZ§ ª¬ve Á u C Ä] y Y K i s xC
Fi x C G i y ; uC
H i xC Ji y
(11)
,|Å{Ê» w V Ê´fÂÌaZ¿ Z¬¿ į ÊeZv· .|ËZ¼¿Ê» Zf§
L32
B
Y
.dY d]Zi t >t 1 t 2 Ê¿Z» ÃZ] ÉÁ V ,|Z] Ê·YÂf»
µfÀ¯ Z] |ÀËY§ ,{Y{ i d]Zi Y|¬» V į Ê¿Z» ÃZ] Å ÉÁ
Ë ¶° Ä] Äf] Ĭ¸u Ê°Ì»ZÀË{ ºfÌË Á Ã| µfÀ¯ K i Ã|ÀÀ¯
T
į
wi
B u J H 2 D yw i
H2
Bw i G H 2 D yw i
T
Ã|ÀËZ¼¿ * ÓZ] ÉZÅÉÁZ»Z¿ ļŠ{ .|ËMÊ» d|] i
H 2 ÉYY Ä]
.dY ½Z¬f» ÉZŸ]
|u ,H2/Hь ÃÂÀ»|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY µÁY|f» Á {
½Z»¼Å (10) Á (7) ÉZÅLMI įʷZu { {{³Ê» ÄÀ̼¯ ,Q ,2-¹¿
-LMI >¥Â¿ZaZÌ· ÉZÅËeZ» Á ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÂÀ» ¾ËY ÉY] .|À«{Z
:ÊÀ Ë ,|¿ÂÊ» Äf§³ ¿ { ½Z°Ë (10) Á (7) ÉZÅ
FH 2
FH f , G H 2
GHf , H H2
H Hf
ªr º
ªx º
Á w : ««d »» , x : « P » į
¬x C ¼
«¬ n »¼
J H2
J Hf , X H2
X H f ,Y H 2
Y Hf
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
T
(12)
Cx
T
(9) Á (8) Ä]Y Y Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ¶Ë|^e ]Ze Á d·Zu ÉZ§ ËZ¼¿
:dY
Ai x B iw , y P
T
L 22 Y H 2 A G H 2C y Y H 2 A G H 2C y
L31
(10)
Ê¿|̸¯ Äv· Á{ t 2 Á t 1 ³Y .{ÂÊ» Ã|¿YÂy Ê¿|̸¯ cZv·
x
(8)
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
5
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
ª X AC
« G Y J
FH k
¬ k
DE
º
», CE
¼
¬ª0 H k ¼º , G E
FE
>C P
C : >C P
0@
(15)
Jk
Á Y|ËZa ËeZ» ®Ë A E į {ÂÊ» Ã|Ë{ Ê¿ZM Ä]
^A E
Á
ÉZŪ¬ve \Ìee Ä]
^A E
DEC E , B E , C E `
B E FE , D E B E G E , FE , G E `
.|ÀfÅ K k s Á H P s Ë~aZ°M Á Ë~aY|ËZa
Ä] X C s , Y C s , Y P s , X P s ¶Ë|^e ]YÂe
:|¿ÂÊ» ¦Ë e Ë cÂ
ªX C
«
¬Y p
-Y C º
»
X p¼
ª FE º
-1
« » sI - A E ª¬B E
C
¬ E¼
ª I -G E º
-D E º¼ «
»
¬0 I ¼
:{ÂÊ» ¦Ë e Ë c Ä] S i s ¶Ë|^e ]Ze , i I Å ÉY]
-Y s X s K s S i s C
C
s Y s K s u X
p
p
-1
(14)
i
ª¬ve ^A E B E FE , B E , FE , I ` į {¯ ªÌ¬ve ½YÂeÊ»
Á
X
° ª A E
®«
¯° ¬ B E FE
1
C
s Ë~aÅZ¯
d·Zu
º ª DE º
,
, >F
A E B E FE ¼» ¬« B E G E ¼» E
0
į |]ZËÊ» ª¬ve
^A E
ªx1 º
«x »
¬ 2¼
B E FE , D E B E G E , FE , G E `
. H P s 0 ÄnÌf¿ { Á K k s X
1
C
1
P
:(dY
ÔaÓ ¶Ë|^e
ª L v º
«
»
«¬ L y »¼
y
ªX C s «
«¬Y P s e y , L uC Y C s X P
º ª L u C º
»u«
»
I s »¼ «¬ L y »¼
K i s u L y (13)
Y|ËZa ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y ®Ë Å Z] Äf] Ĭ¸u ºfÌ Ä¯ Zn¿M Y
ʨÀ» A i ËeZ» ÉZÅÃËÁ Y|¬» ʬ̬u d¼« ¾ËY]ZÀ] dY Ê^¿Zn»
. Q i A i A iT 0 ºËY{ Á dY
µfÀ¯ d·Zu Y{] Y|¬» t 5Ê¿|̸¯ Äv· { Ä°ÀËY § Z]
dZ´¿ Z] x C Y|¬» , t 5Ê¿|̸¯ Äv· { ,|Z^¿ d]Zi , x C ,Ã|ÀÀ¯
-Ê» ¾ÌÌ e Ë c Ä] RC V t , V t ,Êy Ê¿Z¿Z]
:{{³
x t R C V t , V t C
{ÂÊ» Ânfm ʬ¬ve ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ ¶Ë|^e ]Ze ÉY] Ä»Y{Y {
, w >{Á|v» 5ÊmZy É{ÁÁ Å Á V 5Ê¿|̸¯ µZÀ´Ì Å ÉY] į
{ į { [Zzf¿Y ÉYĿ³ Ä] RC i , j Ê¿Z¿Z] dZ´¿ ,Ê¿|̸¯
ºÌZ] ÄfY{ i Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Ä] j Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y Ê¿|̸¯ Äv· Å
:[16]
R i , j Qi R i , j d Q j
T
R i , j (14)
0
ªI
º
«0 R i , j »
C
¬
¼
į
ÊÅZ¯ È¿Z³|Àq ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ¾fY{ Z] Ê¿|̸¯ ºfÌ \Ìee ¾Ë|]
s Y C s s Y P s į {Y{ ½Z¿ ½YÂeÊ» Ä]Z»
{ÂÊ» ¦ÌÂe (17) Ä]Y Z] , v Ä] e Y , S i s ¶Ë|^e ]Ze
´¿ZÌ] L . ) dY Ã| Ã{Y{ ½Z¿ 3 ¶° { ½M ¹Y³ZË{ ¸] Á
X
BP H i º
Fi »¼
ºfÌ 5ÉZźfÌË ÉY|ËZa ] ÃÁÔ dY ¹Ó ÂÀ» ¾ËY ÉY]
´Ë{ ½ZÌ] Ä] .dY K k s d·Zu ÉZ§ ª¬ve ½Z¼Å
 Ä] . S k s ªAP B P J i C P
« G C
i P
¬
°½
FE @ , G E ¾
¿°
X C1 s Y C s Ä]
Ai
BP
0
.|¿Z¼] Ê«Z] {Á|v» , x >d·Zu ÉZÅ̤f» Á Ã{Â] Y|ËZa Ê¿|̸¯ ºfÌ
x 1 x 2 >d·Zu Y{] [Zzf¿Y Z] .dY x
cÂ
ªB P J i
« G
¬ i
ÉZ§
d·Zu Y{] Z] X C1 s Y C s Ë~aÅZ¯ d·Zu ÉZ§ ª¬ve
, x
B P J i º
G i »¼
Bi
x C t i
0@
(15)
.{{³Ê» Y|ËZa
ļn»
ÉZY
½ZÌ»
Y
,ÂÀ»
,ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y Ê°Ë ¶Ë|^e ]Ze , K
¾ËY
ÉY]
^K s , K s `
H2
Hf
Á ^A P , B P , C P ` ³Y .{{³Ê» [Zzf¿Y ÃYÂz·{ Ä] , K k s H P s Ë~aZ¿ ÅZ¯ ÉZŪ¬ve \Ìee Ä] ^Fk , G k , H k , J k `
-Ê» [Zzf¿Y ÉYĿ³ Ä] X AC , Y FH ÉZÅËeZ» ,|ÀZ] K k s Á
Á |ÀZ] Ê^¿Zn» Y|ËZa Fk Y FH H k Á A P X AC C P į |¿Â
Ë c Ä] C E , D E , FE , G E
A E , B E ÉZÅËeZ»
:|¿{³Ê» ¦Ë e
AE
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
ª A P X AC C P
«
0
¬
0
º
, BE
Fk Y FH H k »¼
ª BP º
« Y »
¬ FH ¼
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
6
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
Ä] y Y Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ¶Ë|^e ]Ze ª¬ve ÉZÅËeZ» \Ìee ¾Ë|]
^
`
:|¿ÂÊ» ¦Ë e Ë c Ä] ( Fi ,G i , H i , J i ) u C
Fi
ª A E B E FE B E D i C E
«
B iC E
¬
Gi
ª D E B E D i G E º
«
»
Bi
¬«
¼»
ª¬ FE D i C E
Hi
^A , B ,C
Á
i
i
i
, Di
B EC i º
»
Ai ¼
(17) Ä]Y ¹Y³ZË{ ¸] :3 ¶°
C i º¼ , J i
`
Di G E
ª¬ve
ʸ¯
d·Zu
ÉY] ^Fi ,G i , H i , J i ` ÃYÂz·{ Ë~aZ¿ÅZ¯ ª¬ve [Zzf¿Y Z]
{
^
.dÌ¿ Ë~aZ¿ ÅZ¯ Fi ,G i , H i , J i
`
|Z] d]Zi x C >d·Zu Y{] Y|¬» Ê¿|̸¯ cZv· { Är¿ZÀq
ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á (14) Ä]Y ÉY«] ÉY] ,( RC i , j I )
-ºfÌË dY ¹Ó ÃYÂz·{ Ê¿|̸¯ dve Äf] Ĭ¸u ºfÌ Ê^¿Zn»
:|]ZËÊ» ª¬ve Ë c Ä] (17) Ä]Y , K i s xE
v
FE x E u C G E y
x
Fi x G i y , uC
Y|ËZa
¶Ë|^e
]YÂe
^
Ai
Ã{Y¿Zy
^S s , S s `
Ä»Y{Y { .|ËÌ´] ¿ { Y S i s S :
H2
Hf
CE x E
H i x Ji y
į |]ZË Ê» ª¬ve A i , B i ,C i , D i
.|ÀZ] ÄfY{ f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Å Z] Äf] Ĭ¸u ÉZÅ
Ê^¿Zn»
A E x E B E uC D E y , y
` Z] S s ¶Ë|^e ]Ze Á
ªA E D E C E B E J i C E
«
G i C E
¬
i
BE H i º
Fi »¼
(16)
Á {ZÊ» Y|ËZa Y H P s |ÀËY§ , K i s į Zn¿M Y
Ë~adËÁ Á Ë~aY|ËZa ª¬ve Ŀ´q į {ÂÊ» Ã{Y{ ½Z¿
Ë~aZ°M Á Ë~aY|ËZa ª¬ve ®Ë ^A E D E C E , B E , C E `
{Â d§ZË S i s S Å ÉY] n Ä^e» Y ^A i , B i , C i , D i `
ÄnÌf¿ ,(13) Ä]Y A i Z] (18) Ä]Y A i ÄËZ¬» Y Á dY H P s :į ÉYĿ³ Ä]
.dY Ê^¿Zn» Y|ËZa S i s ¶Ë|^e ]Ze Á A i į {ÂÊ»
QAi AiT Q 0, i I
(18)
¾ÌÀq Z] .dY {¨À»Ì£ R Á Q
z cQz
ÉY] V (z )
¾Ëf³] ³Y .dyZ ^z
,|Z] n , S
Q
-Ê» ª¬ve Ë c Ä] 4 ¶° Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ¾ËY]ZÀ]
:|]ZË
R cR ! 0 į
T
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ½YÂeÊ» ÊËeZ»
xE
A E x E B E uC D E y , e
` LTI ÉZźfÌ Ã{Y¿Zy
uC
FE x E G E y v
Ai z : i I
ļn» ¶Ë|^e ÉZÅËeZ» ½ÔÌ» ®» Äm{
^A , B ,C , D `
¶Ë|^e ËeZ» ÉY] n Ä^e» ª¬ve
i
i
i
CE x E y
(17)
A E , B E , C E , D E , FE , G E ÉZÅËeZ» į Zn¿M Y
Ì̤e ´Ë{ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Ä] Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ®Ë Y (19) Ä]Y ,|ÀfÅ d]Zi
i
.|À¯Ê¼¿
¶Ì·{ Ä] .dY Ê^¿Zn» Y|ËZa A i į {ÂÊ» [Zzf¿Y S i s , i I
¥Â¿ZaZÌ·
cÓ{Z »
{Y{ Q i
Q iT
Ã{Y¿Zy
, Ai
½{Â]
Ê^¿Zn»
R icR i ! 0 [YÂm , Q i A i AiT Q i
Y|ËZa
-I
[Zzf¿Y Z] .dY {¨À»Ì£ R i į
, Ai : R -1R i A i R i1R ; B i : R -1R i B i ; C i : C i R i-1R
Y ÊÆ]Ze ¶Ë|^e Z] ^A i , B i , C i , D i ` į Zn¿M Y . D i
^
Di
Ì¿ ^A i , B i , C i , D i ` ,|ËMÊ» d|] A i , B i , C i , D i
ÃÁÔ
Ä]
.dY
ª¬ve
Si
. QA i A iT Q
- R i-1R
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
T
`
®Ë
R i-1R 0
Ê¿|̸¯ Ä¿Z³|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ :4 ¶°
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
7
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
{ Z] Zf£Y Ì̤e Á t
5 { ºÌÀe Ĭ¿ Ì̤e Ä] xZa ÉZÅÊÀvÀ» :5 ¶°
[18] |Å{Ê» ½Z¿ Y t
20
ÊËZ¼¿ ÉY|ËZa ,ZÅ S i s ļŠÉY] f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze {ÂmÁ
Ê¿|̸¯ µZÀ´Ì Å ÉY] ¾ÌÀr¼Å .|ËZ¼¿Ê» ¾Ì¼e Y Ê¿|̸¯ ºfÌ
.dY {Á|v» x d·Zu Y{]
] { Y ÓZ] ÉZÅ¿Z¯§ YvÀ» É̳ ÃY|¿Y Ë¿ Ä°ÀËY § Z]
,\̬ e ÉZy ,ÓZ] ¿ZËYÁ Z] É̳ ÃY|¿Y Ë¿ Ìze ÉY] ,{Y{
.|ËMÊ» d|] y lp Á {ÂÊ» Ã{Y{ Â^ ~³ ¾ÌËZa f¸Ì§ ®Ë Y , y
Y ÊÀ̼ze , y y lp į {ÂÊ» Ã{Z¨fY Ã|ËY ¾ËY Y Ã|Z« ¾ËY {
Ä^Zv» Z] .|Å{Ê» Y ºfÌ ÊmÁy ] Ã| Ã{YÁ É̳ÃY|¿Y Ë¿
ºÌ¼e ½YÂeÊ» Ã| Ã{ ¾Ì¼ze ÉZÅË¿ ¾ËyM Y ÉYÃnÀa ¿ZËYÁ
,{Â] fÌ] ÉYÃ| ¾ÌÌ e Ìa Y Y|¬» Y Ë¿ ¿ZËYÁ ³Y .{¯ É̳
µZ § Ë¿ ¥~u Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊfËZ] Á Ã| {YÁ É̳ ÃY|¿Y Ë¿
ÃZ]Á{ ½| º¯ ,Ë¿ ¥~u Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y Ã{Z¨fY « .{Â
Âe Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ [Zzf¿Y ºfË´·Y ,6 ¶° .dY Ë¿ ¿ZËYÁ
.|Å{Ê» ½Z¿ Y da
da ÊuY -4
Á É{ÁÁ ÉÁ Y Á Äf§³ Y« t ¾ËeÓZ] { da
{̳ʻ ºÌ¼e Á Ã{Y{ Ìze Y Ê¿|̸¯ ¹Á· ºfÌ ÉZÅÊmÁy
5Ê¿|̸¯ ,Êfa Z] µfÀ¯ { .[6] {̳ Y« Ĭ¸u { ´·fÀ¯ ¹Y|¯
¾ËY { .dY Ã| ®ÌÔ¯ 5ʬÌ^e µfÀ¯ ¾Ë´ËZm ,ªÀ» ] ÊÀf^»
.dY Ã| Ã{Z¨fY ÊmZy É{ÁÁ Ìze da Y Ä·Z¬»
|Å{Ê» Ìze Y m» É{ÁÁ Á Zf£Y ,Ë¿ 5«Á ,da
Ìze ÉY] .|Å{Ê» Y« ®]|̧ Ĭ¸u { Y ÄÂ]» Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Á
Á uC Ê·fÀ¯ µZÀ´Ì , r ,ºÌÀe Ĭ¿ Á d Z] Zf£Y cYÌ̤e
Ä] Á |¿ÂÊ» Ã{Y{ Â^ ~³ ÓZ] f¸Ì§ ®Ë Y y P |ÀËY§ ÊmÁy
Y | ] į |Å{Ê» ½Z¿ 5 ¶° .|ËMÊ» d|] y hp Á u hp \Ìee
,|ÀÀ¯Ê» d¯u ¦·Zz» ÉZÅdÆm { y P , u C ,Z] Zf£Y Ì̤e
.|ÀÀ¯Ê» d¯u ½Z°Ë dÆm { ºÌÀe Ĭ¿ Ì̤e Y | ] į Ê·Zu {
{Y{ (ʨÀ») d^j» ®ÌeZfY ÃÆ] Á Ã{Â] Z§ º¼ÌÀÌ» |ÀËM§ {ÂÊ» §
Á y hp ÄÀ»Y{ ³Y .( lim H P s 0 ) lim H P s ! 0 ÊÀ Ë
s o0
s o0
w Ë ËY Y Ê°Ë ,{Â fÌ] Êz» Ä¿ZfM |u Y u hp
:{Y{ |ÅYÂy
Ã{¯ Ì̤e (Z] Zf£Y) ºÌÀe Ĭ¿ ÃZ´¿M , y hpu hp ! 0 ³Y
.dY
Ã{¯ Ì̤e (ºÌÀe Ĭ¿) Z] Zf£Y ÃZ´¿M , y hpu hp 0 ³Y
.[18] dY
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
8
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
^
inf J | z f
J t0
2,T
dJ w
2,T
w L 2,T , V
,
`
µfÀ¯ Y Ã{Z¨fY
Zn¿M Y .|Z]Ê» x 0 ¹/¿ ½Z/¼Å , lim g f T
T of
,Ê¿|/̸¯/Ì£ Ê/y ÉZźfÌ ÉY] į
var( y y lp )
varn
varn ½|¿YÂy
Ã//Æ] Y ,[20] d//Y z f Ê//mÁy Ä//] w É{ÁÁ Y ¶Ë|//^e ]Z//e Hь
½YÂ/eÊ/» Ê¿|/̸¯ ºfÌ Hь {°¸¼ Ê]ZËY ÉY] Sup
w ,V
zf
w
2,T
ÃÆ] ,Ä]Z»  Ä] :1¦Ë e
Ë¿ ¥~u Ã|ÀÀ¯
Ìy
.[19] {¼¿ Ã{Z¨fY
ÉÁ (21) Ê¿|̸¯ ºfÌ g 2 S T
µfÀ¯ Y Ã{Z¨fY
ĸ]
varn t J n
2,T
u hp Á y hp ½|¿YÂy
:ºÌÀ¯Ê» ¦Ë e (23) Ä]Y Z] V Zn» Ê¿|̸¯ ÉZŵZÀ´Ì ļn»
g 2 S T :
(23)
|/u ½Z/¼Å , lim g 2 T
T of
ĸ]
,Ê¿|/̸¯/Ì£ Ê/y ÉZźfÌ ÉY] į
{ ,[20] dY z 2 ÊmÁy Ä] w É{ÁÁ Y ¶Ë|^e ]Ze H2 ¹¿ ÉÓZ]
ºf/Ì H2 {/°¸¼ Ê]Z/ËY ÉY/] Sup
w ,V
z2
w
f ,T
Ã/Æ] Y Ä·Z¬» ¾ËY
2,T
Ìy
y hp u u hp 0
0 ÄÌ·ÁY ÉYZ] Á V Ê¿|̸¯ µZÀ´Ì
Ìy
u hp ! J u , y hp ! J y
½
inf ®Q | Sup z 2 d Q w 2,T , w L 2,T , V ¾
Q t0
0,
t
T
> @
¯
¿
Á w É{ÁÁ Ä//] Â//]» Ê¿|//̸¯ ºf//Ì Ê//mÁy , z 2 Ä//¯
Zn¿M Y .|Z]Ê» x 0 ĸ]
Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y Ã{Z¨fY
Zf£Y ¥~u
u hp Á y hp ½|¿YÂy
.ºÌÀ¯Ê» Ã{Z¨fY Ê¿|̸¯
ÉZ ÄÌ^ -6
Ìy
varn J n
½|¿YÂy
0 ÄÌ·ÁY ÉYZ] Á V Ê¿|̸¯ µZÀ´Ì
ĸ]
\̬ e Ã|ÀÀ¯
Á w É{ÁÁ Ä//] Â//]» Ê¿|//̸¯ ºf//Ì Ê//mÁy , z f Ä//¯
Ìy
u hp ! J u , y hp ! J y
ĸ]
Á ÉZ¯ ħZv» ÅZ¯ { Ê¿|̸¯ d̸]Z« ½{Y{ ½Z¿ ÂÀ» Ä]
y hp u u hp 0
Á{ Ä] Ä·Z¬» ¾ËY É{ZÆÀÌa Á ,Ä¿Z³|Àq ¥Y|ÅY Z] µfÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
Ìy
ĸ]
.dY Ã|Ë{³ µZ¼Y Ŀ¼¿ ºfÌ
Z¼ÌaYÂÅ yq ÄËÁY Ê°Ì»ZÀË{ µ|» Ä] É{ZÆÀÌa Á :1 µZj»
da Âe Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ [Zzf¿Y ºfË´·Y :6 ¶°
į dY Ã|Ë{³ µZ¼Y Ã| Ã{Z¨fY Ì¿ [16] { į [381 21]
:|Z]Ê» Ë ¶Ë|^e ]Ze ÉYY{
H P s -1000
s s 0.875 s 50 ¿ZËYÁ Z] |̨ É̳ ÃY|¿Y Ë¿ į dY Ã| § µZj» ¾ËY {
É{ÁÁ Á {ÂÊ» {YÁ ºfÌ Ä] t >18, 40@ Ê¿Z» ÃZ] { ±]
Ê¿|̸¯ ºfÌ Hь Á H2 {°¸¼ Ê]ZËY -5
|ËÌ´] ¿ { Y Ë Êy Ê¿|̸¯ ºfÌ
x
AV x B V w
C fV x D fVw , z 2
zf
YË |Z]Ê» {Zf» ZÌ » Á{ Z] ÃÂÀ»|Àq Ä·Z» ®Ë ¾ËY .dZÆ¿Z»
Ë¿ Ä] ,|Z] ÄfY{ Ê°q¯ Äf] Ĭ¸u |¿Z] ÉZÀÆa ÉY Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ³Y
f
2,T
:
³
T
0
f c t f t dt
(21) Ê¿|̸¯ ºfÌ , g f S T
1
2
f
,cZ ]» ¾Ì´¿ZÌ» ÄË ÃÆ]
¦Ë e (22) Ä]Y Z] V Zn» Ê¿|̸¯ ÉZŵZÀ´Ì ļn» ÉÁ
ÉY Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ³Y Á |Å{Ê» ËZ¼¿ Y É|À¯ xZa Z»Y dÌ¿
Zu
:[19] {ÂÊ»
g f S T :
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
(21)
į É Ä] dY f . ]YÂe ļn» ´¿ZÌ] , L 2,T
¥~u ,ÊuY ¥|Å .dY 20s [ÁZÀe ÃÁ{ Z] Ê ]» ·Za m»
ËZ { m» É{ÁÁ Ë \̬ e Á Ë¿ Âu { |À¯ xZa Á Ë¿
C 2V x
(22)
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
9
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
³ y
1
E ® lim
¯t of T
J
T
0
2
P
t y P2 t U 2uC2 t dt ½¾
¿
Ä°ÀËY § Z] .dY
Á |Z] |̨ Ë¿ |ÀËY§ n
:ºËY{ E n t n W 1
E ® lim
¯t of T
J
ª yP
«
« yP
¬« UuC
z2
³ z
Ä]
Zu ʸÌy |Z] Ë ÄnÌf¿ { Á |Z] ÄfY{ ʳ] |¿Z] ÉZÀÆa
µfÀ¯ \ZÀ» ª¬ve ¾f§ZË ÉY] Á |Z]ʼ¿ Ê^¿Zn» Y|ËZa ©Â§ |ÀËY§
PG t W .{{³Ê» Ë¿
ÉY] Ë d·Zu ÉZ§ ª¬ve .{ÂÊ» Äf§³ ÃÆ] 3 z] \·Z» Y Ã|ÀÀ¯
½
z 2 t dt ¾ Tw 2 o z 2
2
¿
ª d º
ª yP º
«
»
´Ë{ ½ZÌ] Ä] z 2 «« y P »» Á w 2 « n » į
«¬ P »¼
«¬ UuC »¼
T
0
º
»
»
¼»
2
t T
:dY Ã| [Zzf¿Y Z¼ÌaYÂÅ yq ÄËÁY Ê°Ì»ZÀË{ µ|»
2
0
1 0º
ª0
« 0 1000 0 0 » ª x
«
» «x
0
0 0 ¼» ¬ w
¬« 0 º
»x
¼
Ë c Ä] Á {ZÊ» ÄÀ̼¯ Y Tw 2 oz 2
2
BP
AP
ª0º
«« 0 »» uC
¬« U ¼»
,
0 1@ x
>0
yP
CP
:{¯ ªÌ¬ve ½YÂeÊ» ÊfuY Ä] d·Zu ÉZ§ ª¬ve ¾ËY [Zzf¿Y Z]
D z 2u
Cz2
ª -50.875 -43.75 0 º
ª1 º
« 1
» x «0 » u
0
0
«
»
« »
«¬ 0
«¬0 »¼
-1000 0 »¼
,
x
>0
yP
, K H 2 Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯
1000 0@ x
:|ËMÊ» d|]
:ºËY{ w
- 5.5181 s 100.06 s 50.02 s 1.26 KH2
s -16.86s+113.06 s 50.05 s 100
2
ÉZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ Äf] Ĭ¸u xZa \Ìee Ä] `q Y 7 ¶° ÉZÅÊÀvÀ»
uC d į Zn¿M Y
ª -50.875 -43.75 0 º
ª1 º
ª0 1 0º
« 1
»
«
»
0
0 » x « 0 » uC ««0 0 0 »»w
«
«¬ 0
«¬ 0 »¼
«¬0 0 0 »¼
-1000 0 »¼
,
x
,|ÀËY§ ÊmÁy ÓZ] ÉZÅÊÀvÀ» .|ÀÅ{Ê» ËZ¼¿ Y K H 2 Á K H f
Bu
A
.|ÀÅ{Ê» ½Z¿ Y , r y P ,\̬ e ÉZy ¾ÌËZa ÉZÅÊÀvÀ» Á , y P
eË K H 2 Y K H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ {{³Ê» Ã|ÅZ» į ¿Z¼Å
ªr º
«d » Á u
« »
«¬ n »¼
:d¿ ½YÂeÊ» , y
r n y P \̬ e ÉZy ÉY]
0 1@ x >1 0 1@w
>0 y
.|Z]Ê» e
Zu Ë¿ Ä] Z»Y dY
C
Dw
\̬ e Á Ê·fÀ¯ µZÀ´Ì |u Y Ì] ËY§Y Y É̳¸m ÉY]
Y|¬» Ê¿|̸¯ cZv· { į dY ¾ËY ] § µZj» ¾ËY {
ÉZ ÄÀ̼¯ Z] K H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ,m» É{ÁÁ
ª¬ve ,3 z] \·Z» Y Ã{Z¨fY Z] .|Z]Ê» d]Zi d·Zu ÉZÅ̤f»
Tw
ÃYÂz·{ Ê¿|̸¯ dve ÊËZ¼¿ ÉY|ËZa Ã|ÀÀ¯ ¾Ì¼e į ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯
:{ÂÊ» ¦Ë e Ë c Ä] z f Á w f
ÉZÅËeZ»
Y|f]Y
.dY
Ã|»M
d|]
,|Z]
Á |¿YÃ| [Zzf¿Y (15) Ä]Y Y A E , B E , C E , D E , FE , G E
^A E
Á
^A E
K k s Á Ë~aY|ËZa ª¬ve
]YÂe .|ÀZ]Ê»
DEC E , B E , C E `
B E FE , D E B E G E , FE ,G E `
K H 2 s Á H P s Ë~aZ°M
¶Ë|^e ]YÂe (16) Ä]Y Y Ã{Z¨fY Z] Á X P , Y P , X C ,Y C ¶Ë|^e
^
|Ë{³ ÃZY Ô^« į ¿Z¼Å .|¿YÃ|Ë{³ Ä^Zv» S H 2 , S H f
. S H2
0 Á ¾ËY Y K H 2
ÊÆË|] ª¬ve Á S H f ÉY]
1
C
C
X Y
^A
Á H P s f , B f ,C f
`
Bw
`
1
P
X YP
µZ¼ÌÀÌ» ª¬ve
½Z°Ë A f ª¬ve Á{ .dY Ã| [Zzf¿Y S H 2 ÉY] ^A f , 0, C f `
zf
f
oz f
f
r į {{³Ê» ÊuY
ªy º
«u »
¬ C¼
ª 0 0 1 100 º ª x
«
«0 0 0
0 »¼ ¬ x w
¬ Czf
º
»
¼
ª0º
ª1 0 -1º
« 1 » uC « 0 0 0 » w
¬,¼
¬ ¼
D z fu
D z fw
c Ä] Ê¿Á ]Ze .dY Ã| ÊÅ{½Á \̬ e ÉZy , y į
ª]Z» K H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ .dY Ã| [Zzf¿Y W
s 100
s 0.001
:dY Ã|»M d|] Ë
K Hf
-3.6548 u 10-4 s 9.2879 u 108 s 50 s 0.99 s 0.41
s 2 -79.3s+ 1843.4 s 1.7299 u 104 s 9.57 u 10-4
Q f ÉYZ] (20) Ä]Y Á |¿Y{
Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ,É̳ ÃY|¿Y Ë¿ Ä] d^¿ e¹ÁZ¬» {°¸¼ ¾fY{ ÉY]
.dY ÊËZ¼¿ Y|ËZa Ê¿|̸¯ Äf] Ĭ¸u ºfÌ \Ìee
¿ {» ¥|Å ]Ze .{ÂÊ» ÊuY LQG/LQR Y Ã{Z¨fY Z] K H 2
¾Ë|] .|Z]Ê» Y«] Q
Q2
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
10
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
Ë{Z¬» ÄËZ¬» ¾ÌÀr¼Å .{Y{ Y \̬ e {°¸¼ ¾ËfÆ] sup
w
µfÀ¯ Y | ] K switching Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ |Å{Ê» ½Z¿
sup
w
2
wf
2
É{ÁÁ Ìze da .|ÀÅ{Ê» ½Z¿ Y K switching Ê¿|̸¯
ry
2
ÓZ] ¿ZËYÁ É̳ ÃY|¿Y Ë¿ Âu ,4 z] { Ã| ʧ » ÊmZy
wf
2
.|Z]Ê» YY{ Y \̬ e {°¸¼ ¾ËfÆ] K H f Ã|ÀÀ¯
1 µZj» ¦¸fz» ÉZÅ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ {°¸¼ ÄËZ¬» :1 µÁ|m
K switching
K H 2 / Hf
K Hf
8278.41
318.89
31.33
6.39
sup
w
sup
60.1
w
0.22
0.4
0.17
É{Z d·Zu { K H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ m» É{ÁÁ \̬ e {°¸¼
Ê¿Z» Ã{Á|v» { É̳ÃY|¿Y Ë¿ Âu {
166.07
6.37
Y ¾ËY]ZÀ] .|Å{Ê» Ìze t >18.41 40.37 @ Ê¿Z» ÃZ] { Y
Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ [Ây Ë¿ ¥~u Y Á (É̳ÃY|¿Y Ë¿ Âu ¹|)
K H2
8673.26
Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Äf] Ĭ¸u xZa ,8 ¶° { dY d¼ ÉZÅÊÀvÀ»
zf
sup
0.3
w
f
w2
2
zf
2
wf
2
Y Tw f oz f
ry
2
Êy ÊËeZ» ÉZÅÉÁZ»Z¿ Y Ã{Z¨fY Z] Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ¾ËY .|Å{Ê» ½Z¿
wf
`q d¼ ÉZÅÊÀvÀ» .dY Ã| Ã{Z¨fY t >18.41 40.37 @
į K H 2 / H f µÁY|f» ÃÂÀ»|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ®e {°¸¼ 8 ¶°
:{ÂÊ» ¦ÌÂe
x
yP
k1
k1 k2
m2
1
0
b
1
m1
b1
m2
ª1 0 0 0 º
« 0 1 0 0 » x, y
¬
¼
1, k2
4, b1
0.2, b2
º
ª0
»
«
»
«0
»
«1
»x«
»
« m1
«
b b »
1 2»
«0
m2 ¼»
¬«
0
1
b1
m1
0 º
»
0 »
» ªF º
0 »« 1»
» ¬ F2 ¼
1 »
»
m2 ¼»
1
2
{ F2 ĸa Zf£Y į dY Ã| § µZj» ¾ËY { .|Z]Ê» É̳
Ê¿Z» ÃZ] { n |̨ É̳ ÃY|¿Y Ë¿ Á t >10, 25@ Ê¿Z» ÃZ]
Ê·fÀ¯ ½Â¿Z« ÊuY ¥|Å .{ÂÊ» {YÁ ºfÌ Ä] t > 70, 85@
ÄÀ̼¯ Y n É̳ ÃY|¿Y Ë¿ Á F2 Zf£Y ÉÁÌ¿ ÌiZe į dY
, K H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ .dY ¶^« µZj» Ä]Z» ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY .{Z
ªyº
w2 n o z2 « »
¬ F1 ¼ 2
, K H 2 Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Á Twf
F2 o zf yP
f
, K H 2 / H f µÁY|f» ÃÂÀ»|Àq Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Á {ZÊ» ÄÀ̼¯ Y
. TF2 o zf
f
d J į Ê·Zu { ,|À¯Ê» ÄÀ̼¯ Y Tn o z2
s -47.02s+1583.1 s 0.001s 62.84 2
¾ÌËZa ÉZÅÊÀvÀ» Á , y P ,|ÀËY§ ÊmÁy ÓZ] ÉZÅÊÀvÀ» 8 ¶° {
.|ÀÅ{Ê» ½Z¿ Y , r y P ,\̬ e ÉZy
Z] Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Z] Äf] Ĭ¸u ºfÌ ¹Y³ZË{ ¸]
.dY Ã| Ã{Y{ ½Z¿ 9 ¶° { Êfa
ZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ ½ZÌ» Ê¿|̸¯ Z] į |Å{Ê» ½Z¿ ZÅÊÀvÀ» ÄËZ¬»
Z] \Ìee ¾Ë|] .dY Ã| Äf§³ ÃÆ] K H 2 Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Ë¿ ¥~u
d{ ÊuY ¥|Å Á{ Å Ä] ½YÂeÊ» ÉfÆ] Âv¿ Ä] Ê¿|̸¯ Y Ã{Z¨fY
.d§ZË
{°¸¼ ½{¼¿ ʼ¯ ÉY] ,| ½ZÌ] 5 z] { į Ŀ´¿Z¼Å
, sup
w
z2
f
w2
2
Y , Tw 2 oz 2
2
ÉZ ÄÀ̼¯ { Ê¿|̸¯ ´·fÀ¯
´·fÀ¯ {°¸¼ ½{¼¿ ʼ¯ ÉY] Á H2 {°¸¼ yZ ½YÂÀ Ä]
½YÂÀ Ä] , sup
w
zf
2
wf
2
Y , Tw f oz f
f
ÉZ ÄÀ̼¯ { Ê¿|̸¯
½YÂeÊ» 1 µÁ|m Y Ã{Z¨fY Z] .{ÂÊ» Ã{Z¨fY ,Hь {°¸¼ yZ
Z] K H 2 Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y a K switching Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ į d§ZË{
2
ÉZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ Äf] Ĭ¸u xZa \Ìee Ä] `q Y 10 ¶° ÉZÅÊÀvÀ»
į dY ¾ËY ] § µZj» ¾ËY { .|ÀÅ{Ê» ËZ¼¿ Y K H 2 Á K H f
µfÀ¯ ª¬ve .|Z]Ê» d]Zi d·Zu ÉZÅ̤f» Y|¬» Ê¿|̸¯ cZv· {
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
-1.277 u 103 s 50 s 2 -7.74s+25.41
K H2 /Hf
ʳËÁ Y Ë¿ Âu { Á K H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÉÓZ] \̬ e d Y
į
ÃY|¿Y Ë¿ n Á Zf£Y ÉÁÌ¿ F2 ,µfÀ¯ ÉÁÌ¿ F1 Á m2
T
2
,{Âʼ¿ µZ¼Y ºfÌ Ä] Ë¿ į Ê¿Z» Á Äf§ZË ÅZ¯ ÉZ¯ ħZv»
yP n
0.1, m1
d J į Ê·Zu { ,|À¯Ê» ÄÀ̼¯ Y Tw 2 oz 2
.dY Ã| ÊuY Ë c Ä]
Ë ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » Z] į dY Ã|Ë{³ µZ¼Y [280 Á 58 22]
0
0
k1
m1
f
2
b»{ /À§ /¹m ºfÌ Ê°Ì»ZÀË{ µ|» Ä] É{ZÆÀÌa Á :2 µZj»
ª 0
«
« 0
« k1
«
« m1
« k
« 1
¬« m2
K H2
z2
a Á Ë¿ ¥~u {°¸¼ ¾ËfÆ] sup
w
z2
f
w2
2
Y|¬» ¾Ëf¼¯ ¾fY{
Y|¬» ¾Ëf¼¯ ¾fY{ Z] K H 2 / H f Á K H f ÉZÅ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
11
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
-ʳËÁ ,{̳ʻ Y« Ĭ¸u { Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ®Ë į Ê¿Z» Ã{Á|v» {
`q Y 11 ¶° ÉZÅÊÀvÀ» .dY Ã| Ä^Zv» ¶^« µZj» Ä]Z» ZÅÃ|ÀÀ¯
{ Y ÊZ¿ {°¸¼ ¦Ì e Á ÉZ¯Ä§Zv» Á |Å{Ê» ËZ¼¿ Y¿M ÉZÅ
K H 2 / H f Á K switching ÉZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ Äf] Ĭ¸u xZa \Ìee Ä]
Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ®Ë ÊuY { Ê·fÀ¯ ¥Y|ÅY ļŠ½Z»¼Å ¾f§³ ¿
Y ,Zf£Y Âu { K switching Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯.|ÀÅ{Ê» ËZ¼¿ Y
Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ {°¸¼ { ÄuÔ» ¶]Z« {Â^Æ] Ä] Á {]Ê» ¾Ì] Y Y |uYÁ
¥~u ʳËÁ Y Ë¿ Âu { Á K H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Zf£Y ¥~u
.|»Zn¿YÊ»
Y Ã{Z¨fY Z] \Ìee ¾Ë|] .dY Äf§³ ÃÆ] K H 2 Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Ë¿
dve ÉY|ËZa ¾Ì¼e dÆm Ä·Z¬» ¾ËY { Ã| ÄWYY Á {
Z] .d§ZË d{ ÊuY ¥|Å Á{ Å Ä] ½YÂeÊ» ÉfÆ] Âv¿ Ä] Ê¿|̸¯
ÉYÃ{Á|v» { Á Ã|¿ Äf§³ ¿ { |ÀËY§ µ|» ÉZÅÊÀÌ »Z¿ ,Ê¿|̸¯
a K switching Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ į d§ZË{ ½YÂeÊ» 2 µÁ|m Y Ã{Z¨fY
¾ÌÀr¼Å .|Z]Ê» Ã{Z¨fY ¶]Z« ,{¯ § d]Zi Y |ÀËY§ µ|» ½YÂf] į
dY Ã| ¾Ì¼e ZźfÌË ÉY|ËZa § Z] Ê¿|̸¯ dve ÉY|ËZa
,{ Y|ËZaZ¿ Äf] Ĭ¸u ºfÌ |ÀËY§ µ|» { ÊÀÌ »Z¿ ¶Ì·{ Ä] Är¿ZÀq Á
ÉZÅÃÌ´¿Y Y Ê°Ë Ä¯ Zn¿M Y ¾ËY]ZÀ] .dÌ¿ Y«] ´Ë{ ÉY|ËZa cZ^iY
{°¸¼ Á ÉY|ËZa { ¹Y« Ä] ½|Ì Hь Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y Ã{Z¨fY ʸY
¾ËfÆ] sup
w
z2
f
w2
2
Y|¬» ¾Ëf¼¯ ¾fY{ Z] K H 2 Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y
Z] K H 2 / H f Á K H f ÉZÅ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y a Á Ë¿ ¥~u {°¸¼
Y Zf£Y ¥~u {°¸¼ ¾ËfÆ] sup
w
zf
2
wf
2
Y|¬» ¾Ëf¼¯ ¾fY{
ÉY|ËZaZ¿ Á |ÀËY§ µ|» ÊÀÌ »Z¿ {ÂmÁ Z] Äf] Ĭ¸u ÉY|ËZa ¾Ì¼e dY
Ä ·Z» Á Ê] {» Ã|ÀËM { Z] Ä·Z» ½YÂÀ Ä] |¿YÂeÊ» ZźfÌË
.{Ì´] Y«
mY»
[1] Boyd S., Barratt, C., Linear Controller Design:
Limits of Performance, New Jersey: Prentice-Hall,
1991.
[2] Scherer, C., Gahinet, P, Chilali, M., 1997,
"Multiobjective output feedback control via LMI
optimization", IEEE Transaction on Automatic
Control, 42, 7, 896-911.
[3] Khargonekar, P.P., Rotea, M.A., 1991, "Mixed
H2/H control: a convex optimization approach",
IEEE Transactions on Automatic Control, 39, 824837.
[4] Sun, Z., Ge, S.S., 2005, "Analysis and synthesis of
switched linear control systems", Automatica, 41,
181-195.
[5] Feuer, A., Goodween, G.C., Saldago, M., 1997,
"Potential benefits of hybrid control for linear time
invariant plants", Proceedings of American Control
Conference, New Mexico, USA, 2790-2794.
[6]
McClamroch, N.H., Kalmanovsky, I., 2000,
"Performance benefits of hybrid control design for
linear and nonlinear systems", Proceedings of IEEE,
88, 7, 1083-1096.
[7] Morse, S., Control using logic-based switching, in A.
Isidori (Ed.), Trends in Control: An European
perspective, Berlin, Germany: Springer-Verlag, 69113, 1995.
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
.{Y{
2 µZj» ¦¸fz» ÉZÅ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ {°¸¼ ÄËZ¬» :2 µÁ|m
K switching
K H2 / Hf
K Hf
K H2
0.0294
0.0432
0.0504
0.0285
sup
0.0407
0.0396
0.0393
0.0594
sup
z2
f
w w2 2
w
zf
2
wf
2
cY{ZÆÀÌa Á É̳ÄnÌf¿ -8
®e ®Ë ÊuY ,ÃÂÀ»|Àq µfÀ¯ µÁY|f» {°ËÁ į Zn¿M Y
ÊuY ,|À¯ ¾Ì»Ze Y ÊuY ¦¸fz» ¥Y|ÅY į dY Ã|ÀÀ¯µfÀ¯
{ Á {Y{ ËZ¤» ¥Y|ÅY ½ZÌ» Äv·Z» Ä] ZÌ¿ ÉYÃ|ÀÀ¯µfÀ¯ ¾ÌÀq
¾ËY { .|Å{ʼ¿ d{ Ä] Y [¸» Zf§ Ê·fÀ¯ ºfÌ {Y» ÉZÌ]
½ZÌ» Ê¿|̸¯ ] ÊÀf^» ÃÂÀ»|Àq µfÀ¯ ÊuY |Ë|m {°ËÁ Ä·Z¬»
Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ .dY Ã|Ë{³ ʧ » ÊfaZ] Á Ä¿Z³|Àq Ã|ÀÀ¯µfÀ¯
½{ÁM] dÆm ®Ë Šį dY Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ |Àq ¶»Z Ä¿Z³|Àq
Ë¿ ¥~u ZË m» É{ÁÁ Ê]ZË{ |À¿Z» ^e» ¥Y|ÅY Y ÉYÄf{
ÉY] .|¿YÃ| ÊuY LMI Âe Zf£Y ¥~u ZË Á É̳ÃY|¿Y
ZfyZ Ì̤e Á Ê¿|̸¯ {ÂmÁ Z] Äf] Ĭ¸u ºfÌ ÉY|ËZa ¾Ì¼e
Z] .dY Ã|Ë{³ [Zzf¿Y ZÅÃ|ÀÀ¯µfÀ¯ Y Ê^ZÀ» ª¬ve ,ZÅÃ|ÀÀ¯µfÀ¯
Âe {Âm» ÉZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ Y Ê°Ë ºfÌ Zf§ Á {°¸¼ Ä] ÄmÂe
Y« Ĭ¸u { Á [Zzf¿Y «da» ½YÂÀ dve Êf{ÓZ] ºfÌ ®Ë
µfÀ¯ [Zzf¿Y Á Ê¿|̸¯ ¹Á· Ìze { da ªÀ» .{̳ʻ
Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ |Å{Ê» ½Z¿ ZÅÉZ ÄÌ^ .dY Ã| ½ZÌ] Ã|ÀÀ¯
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
12
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
multivariable systems: A tutorial," Proceedings of
the IEEE, 76, 3, 212–232.
[8] Hespanha, J.P., 1999, "Stabilization of nonholonomic
integrators via logic-based switching", Automatica,
35, 385-393.
[15] Jamshidi, F., Fakharian, A., Beheshti, M.T.H., 2010,
"Fuzzy supervisor approach on logic based switching
H2/H", Proceedings of the Institution of
Mechanical Engineers, Part I, Journal of Systems
and Control Engineering, 224, 1, 11-19.
[9] Liberzon, D., Switching in systems and control.
Systems and control: Foundations and applications,
Boston, MA: Birkhϥuser, 2003.
[10] Santarelli, K.R., Dahleh, M.A., 2008, "Comparison
of a switching controller to two LTI controllers for a
class of LTI plants", Proceedings of American
Control Conference, Seattle, Washington, 46404646.
[16] Hespanha, J.P., Morse, A.S., 2002, "Switching
between stabilizing controllers", Automatica,” 38,
1905-1917.
[17] Youla, D.C., Jabr, H.A., Bongiorno, J.J., 1976,
"Modern Wiener-Hopf design of optimal controllerspart II. the multivariable case", IEEE Transactions
on Automatic & Control, 21, 319-338.
[11] Kogiso, K., Hirata, K., 2004, "Controller switching
strategies for constrained mechanical systems with
application to the remote control over networks",
Proceedings of IEEE International Conference on
Control Applications, 1, 480-484.
[18] HaKgglund, T., Astrom, J.K., 2000, "Supervision of
[1] adaptive control algorithms", Automatica, 36,
1171-1180.
[12] Zheng, K., Lee, A.H, Bentsman, J., Krein, P.T.,
2006, "High performance robust linear controller
synthesis for an induction motor using a multiobjective hybrid control strategy", Nonlinear
Analysis, 65, 2061-2081.
[19] Margaliot, M., Hespanha, J.P., 2008, "Root-meansquare gains of switched linear systems: A
variational approach", Automatica, 44, 2398-2402.
[20] Doyl, J., Francis, B., Tannenbaum, A., Feedback
Control Theory. Macmillan Publishing Co., 1990.
[21] Vegte, J.V., Feedback Control Systems. New Jersey:
Prentice Hall, 3th edition, 1994.
[13] Essounbouli, N., Manamanni, N., Hamzaoui, A.,
Zaytoon, J., 2006, "Synthesis of switching
controllers: A fuzzy supervisor approach", Nonlinear
Analysis, 65, 1689–1704.
[22] Zhou, K., Essentials of Robust Control. New Jersey:
Prentice Hall, 1998.
[14] DeCarlo, R.A., Zak, S.H., Matthews, G.P., 1988,
"Variable
structure
control
of
non-linear
1
0.8
y P(H2)
y P(Hf)
1
0.5
0.6
0.4
0.2
0
0
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
1
1
0.5
(r-y P)H2
(r-y P)Hf
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
10
20
30
40
50
1 µZj» r y P \̬ e ÉZy ¾ÌËZa ÉZÅ ÊÀvÀ» Á y P ÊmÁy ÓZ] ÊÀvÀ» K H f Á K H 2 ÉZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ Äf] Ĭ¸u xZa ,dY d¼ Y \Ìee Ä] :7 ¶°
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
13
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
1.2
2.5
2
1
1.5
y P(H2/Hf)
y P(sw itching)
0.8
0.6
0.4
1
0.5
0
0.2
-0.5
0
-1
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
1
1
0.5
(r-y P)H2/Hf
(r-y P)sw itching
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
r y P \̬ e ÉZy ¾ÌËZa ÉZÅ ÊÀvÀ» Á y P ÊmÁy ÓZ] ÊÀvÀ» K switching Êfa Z] Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Á K H 2 / H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Äf] Ĭ¸u xZa :8 ¶°
1 µZj»
Ê¿|̸¯ µZÀ´Ì
da
r
+
y
Ͳ
^A
^A
Ë¿ ¥~u
`
f
, 0,C f
f
, B f ,C f
uC
yP
y
`
A E B E FE , > B E B E G E D E @ , ½
°
°
®ª C E º ª 0 I º
¾
°«
°
» , «I G »
F
E ¼
¯¬ E ¼ ¬
¿
\̬ e
n
d
+
uC
+
u
+
1000
s 0.875 s 50 yP
1
s
+
yP
1 µZj» da Z] Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Z] Äf] Ĭ¸u ºfÌ ¹Y³ZË{ ¸] :9 ¶°
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
f» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ÉZÀ^» ] ÉY|ËZa ¾Ì¼e Á Êfa Z] Ê¿|̸¯ ÉeYfY Y Ã{Z¨fY Z] H2/H ÃÂÀ»|Àq ´·fÀ¯ {°¸¼ {Â^Æ]
ÊfÆ] É|̼u ʬe |¼v» ,É|̼m ļZ§
0.05
0.06
0.04
y 1H2
y 1Hf
0.02
0
0
-0.02
-0.05
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-0.04
100
0.06
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.05
0.04
0.04
0.03
0.02
y 2H2
y 2Hf
0.02
0
0.01
0
-0.02
-0.01
-0.04
-0.06
-0.02
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-0.03
100
2 µZj» K H f Á K H 2 ÉZÅÃ|ÀÀ¯ µfÀ¯ Äf] Ĭ¸u xZa :10 ¶°
1.2
2.5
2
1
1.5
y P(H2/H )
f
y P(sw itching)
0.8
0.6
0.4
1
0.5
0
0.2
-0.5
-1
0
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
1
1
f
0.5
(r-y P)H2/H
(r-y P)sw itching
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
2 µZj» K switching Êfa Z] Ê¿|̸¯ Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Á K H 2 / H f Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ Äf] Ĭ¸u xZa :11 ¶°
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
14
µfÀ¯ ĸn»
ISSN 2008Ͳ8345
15-28 Äv¨ ,1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m
{ {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ
3
\·ÄÀe |¼v» ,2Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,1Ê¨Ë M
[email protected] ,cZ¬Ì¬ve Á ¹Â¸ |uYÁ ,Ê»ÔY {YM ÃZ´¿Y{ ,eÂÌb»Z¯ ÃÁ³ ,Ê]» 1
[email protected] ,Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ ,®Ì¿ÁeZ°» ÃÁ³ ,ZË{ZfY 2
[email protected] ,Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ ,µfÀ¯ ÃÁ³ ,ZÌ¿Y{ 3
(1389/9/11 Ä·Z¬» Ë~a xËZe ,1389/6/27 Ä·Z¬» d§ZË{ xËZe)
ʳËÁ kYzfY z] ÉYY{ į (TSK) ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉZ§ ºfÌ Y ¾Ë¿ ÉZfyZ ʧ » Ä] Ä·Z¬» ¾ËY { :Ã|Ì°q
Semi-Polynomial data Mapping Fuzzy Inference ½YÂÀ dve É{ZÆÀÌa Á .ºËY{aÊ» ,|Z]Ê» É{ÁÁ d¼« {
¶Ë|^e ÂÀ» Ä] ÉYĸ¼m |Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿ ®Ë Y É{ZÆÀÌa Á { .{ÂÊ» ʧ » (SPMFIS) ZfyY Ä] Á System
ÉYĸ¼m |Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿ Y ¶Zu ÊmÁy | ] ¹Z³ { .{ÂÊ» Ã{Z¨fY Äf§ZË ÅZ¯ {Z ]Y Z] |Ë|m ÉZÆË{ÁÁ Ä] ʸY ÉZÆË{ÁÁ
Adaptive Network Based Fuzzy Inference System (ANFIS) Ä°^ Y Ä·Z¬» ¾ËY { į ÉZ§ ºfÌ É{ÁÁ ½YÂÀ Ä]
Y ,ÉYĸ¼m |Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿ z] Á ANFIS Ä°^ ÉZÅf»YZa »M ÂÀ» Ä] .{ÁÊ» Z¯ Ä] dY Ã| Ã{Z¨fY ÂÀ» ¾Ë|]
¾Ë|Àq É|À]
Ô¯ { ½M {]Z¯ ,Ã| s» Á ÊËYZ¯ Ê] ÂÀ» Ä] ¾ÌÀr¼Å .dY Ã| Ã{Z¨fY Ê·Á¿ ½ZË{Y³ ºfË´·Y
¾ËY Y ¶Zu lËZf¿ .dY Äf§³ Y« ËZ»M Á Ê] {» Ê¿Z» É ÊÀÌ]Ìa Á ºfÌ ÊËZZÀ ,{Y|¿ZfY Ã{Y{ ļn»
.{Y{ É|À]
Ô¯ Á ÊËZZÀ ¹Â» ÉZÆÁ ]Y] { Ã| s» Á ÉÓZ] ÊËYZ¯ ] d·Ó{ ZÅÉZÄÌ^
ÉZÆË ÊÀÌ]Ìa Á ºfÌ ÊËZZÀ ,´·Y É|À]
Ô¯ ,Ê·Á¿ ½ZË{Y³ ºfË´·Y ,{Z ]Y ÅZ¯ ,TSK ÉZ§ ºfÌ :É|̸¯ cZ¼¸¯
.Ê¿Z»
Semi-polynomial Takagi-Sugeno-Kang Type Fuzzy
System for System Identification and Pattern Classification
A. Sharifi, M. Aliyari Shoorehdeli, M. Teshnehlab
Abstract: In this study a new type of Takagi-Sugeno-Kang (TSK) type fuzzy system with
dimension reduction section at the input stage called Semi-polynomial data Mapping Fuzzy
Inference System (SPMFIS) is proposed. In the proposed method a semi-polynomial feature map
is used to transform the input variables to new extracted features with low dimensions. At the
next step, these new features are used as the input vector of ANFIS structure. Also gradient
descent algorithm is chosen for training parameters of ANFIS and SPM parts of the proposed
method. In order to evaluate the capability of the proposed method, its applications in
classification of some different benchmark data sets, system identification, and time series
prediction have been studied. The results show that the proposed method performs better than the
conventional models in classification, identification and time series prediction.
Keywords: TSK type fuzzy system, gradient descent algorithm, pattern classification, system
identification and time series prediction.
Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ,µfÀ¯ ĸn»
Ê¨Ë M :cZ^eZ°» Y{ Ã|Æ Ã|ÀË¿
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
16
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
[8-16] dY Ã| ¶u Ê^eY» ĸ¸ ÉZ§ ÉZźfÌ ÄyZ { ¾Ì¬¬v»
Ä»|¬» -1
.[20-22] Á
ÉZų\ˬe ½YÂÀ Ä] ÉZ§ ÉZźfÌ Á Ê^ ÉZÅ Ä°^
Ã{Y{ {Z ]Y ÅZ¯ ,COD ¶°» ] Ä^¸£ ÂÀ» Ä] ´Ë{ d§ZÌÅ
Ä] Y Ã| Ã{Y{ Êy Ì£ ]Ze Å |À¿YÂeÊ» į Ã| ÄfyZÀ ʻ¼
Ã{Z¨fY Á µÁY ¹Z³ { ÊeZ^Zv» Zv· Ä] µÂ^« ¶]Z« {Y| e ®Ë Ä] É{ÁÁ
¿ {» d«{ Z] ÉZ§ |Y« Á Ê¿ZÌ» ÄËÓ { ½Á¿ Y ʧZ¯ {Y| e {ÂmÁ
¹Á{ ¹Z³ { ÉZ§ ºfÌ É{ÁÁ ½YÂÀ Ä] Äf§ZË ÅZ¯ Ã{Y{ ¾ËY Y
Á Ê^ ÉZÅÄ°^ ÄÀÌ» { ÌyY cZ ·Z» .[53 ,52] |À¿] ¾Ì¼ze
ĸu» Á{ c Ä] ¹Z³ Á{ ¾ËY {Y» Y ÉZÌ] { .[48-51] |Z]Ê»
Á Á{ ¾ËY \̯e į dY Ä·Z» ¾ËY Ã|ÀÅ{ ½Z¿ ÉZ§ ÉZźfÌ
½Z°Ë į {ÂÊ» ¹Zn¿Y ¦¸fz» ÉZÅZÌ »
ZY ] Á ´Ë|°Ë Y Yn»
.|Z]Ê» i» ZÌ] Êy Ì£ ÉZźfÌ ÊËZZÀ ÄÀÌ» {
Ze {ÂÊ» \^ ÉZ§ ºfÌ ÊuY Á Á {Z ]Y ÅZ¯ ZÌ » ½{Â^¿
µÁ|m Á Y Ã{Z¨fY ,ÉZ§ ºfÌ ®Ë ÊuY ½Z» {
kYzfY ÉZÆÁ ¹Â¼ .|ÀZ] ÄfY|¿ Y Ê^ZÀ» ÊËYZ¯ ZÅÁ ¾ËY
|Z]Ê» µÂ¼ » Á ®Ë ¾Ì¿Y« kYzfY Á ÊuY ÂÀ» Ä] Ânfm
ÉZÅÃ{Y{ ÉÁ ] Y{a Ìa Á ®Ë ½YÂÀ Ä] {Âm» ʳËÁ
Á ZÅÉ{ÁÁ {Y| e į Ê¿Z» ZÂy ,dY ]½Z» ZÌ] ÊÁ į
½YÂÀ Ä] Ã| kYzfY ÉZÅ{Y{ É| ] ¹Z³ { Á Ã| µZ¼Y {Âm»
»Y ¾ËY ¶Ì·{ .|ÀZ] {ZË É{ÁÁ Å ÉY] Ã| Äf§³ ¿ { ª¸ e ]YÂe
.|¿Ì³Ê» Y« Ã{Z¨fY {» ³ZZÀ Á É|À]
Ô¯ ºfÌ ÉZÅÉ{ÁÁ
ļn» ®Ë .|Z]Ê» d·Zu ¾ËY { ÉZ§ ¾Ì¿Y« {Y| e ÊËZ¼¿ |
cZÌÂy
ZY ] Ã| kYzfY ÉZÆ̳ËÁ į {ÂÊ» \^ »Y ¾ËY
ºfÌ Á Ã| ºfÌ Ä§Zu Ë ½| a \^ ±] ÉZ§ ½Â¿Z«
-ʳËÁ ¾ËY ½{Â] Ì̤e ¶]Z« Ì£ Ä] ÄmÂe Z] Á Ã{Â^¿ Ë~a »M Ä°^
.| |ÅYÂy ÄmY» ½YÁY§ cÔ°» Z] ÉZ Ã{ZÌa ÂÀ» Ä] ZÀf» ÉZ§
.{Â {Á|v» Ã| Ã{Z¨fY ÉZÅÄ°^ ÊËYZ¯ Ã| kYzfY ÉZÅ
ʧ » ÉZ§ ºfÌ \ZÀ» ÊuY ÂÀ» Ä] É{| f» ÉZÅd§ZÌÅ
ZÆ¿M ½{¼¿ ÄqZb°Ë Á ÄuÁ» ĸu» Á{ ªÌ¨¸e { Ê Ä·Z¬» ¾ËY
½Z¼fyZ Z¯{Ây ÊuY Ê] Ä] ¾Ì¬¬v» Y Êy] .[1-7] |¿YÃ|
SPMFIS ½YÂÀ dve |Ë|m ZfyZ ¾ËY .{Y{ Y ZfyZ ®Ë dve
ºfË´·Y ,[8] Â]Ze ÉÂnfm ÉZÆÁ Y Ã{Z¨fY Z] ÉZ§ ºfÌ ®Ë
|Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿ ®Ë Ã| ʧ » Á { .{ÂÊ» ʧ »
ÊeZ¬Ì¬ve .|¿Y ÄfyY{a ÃÌ£ Á [4] ʸ»Z°e ÉË Ä»Z¿] ,[6 ,5 ,2] ®Ìf¿
ĨÌÁ į Äf§³ Y« ÉZ§ ºfÌ É{ÁÁ z] { (SPM) ÉYĸ¼m
ÉZÅf»YZa Á |Y« ¾Ì¼ze ÂÀ» Ä] É{ÁÁ ÉZ§ Y§Y ÄÀÌ» { Ì¿
.{Y{ Ã|Æ ] Y µÂ^« ¶]Z« ÃY|¿Y ®Ë Ä] É{ÁÁ Ã{Y{ {Z ]Y ÅZ¯
.[18 ,17] dY Ã| ¹Zn¿Y {¨À» ÉZ§ ºfÌ ®Ë
½YÂÀ Ä] į [26] ANFIS ZfyZ ÉZÅf»YZa »M ÂÀ» Ä] ¾ÌÀr¼Å
{Y| e Á n ÉZ§ ºfÌ ®Ë ÉZÅÉ{ÁÁ {Y| e ³Y ʸ¯ d·Zu {
,SPM z] ÉZÅf»YZa Ì¿ Á Äf§³ Y« Ã{Z¨fY {» ÉZ§ ºfÌ
¶¯ {Y| e ,|Z] m É{ÁÁ Å ÉY] Ã| Äf§³ ¿ { ª¸ e ]YÂe
ºfË´·Y .{ÂÊ» s» Ê·Á¿ ½ZË{Y³ ] ÊÀf^» Ê»M ºfË´·Y
{Y| e į {ÂÊ» Ã|ÅZ» .|Z]Ê» mn Z] ]Y] Ã| {ZnËY ÉZ§ |Y«
ÉZÅÄ°^ »M { µÁY|f» ÉZÆÁ ĸ¼m Y Ê·Á¿ ½ZË{Y³ Ê»M
É{ÁÁ ÉZÅ̤f» {Y| e
ZY ] ÊËZ¼¿ c Ä] ÉZ§ ºfÌ ¾Ì¿Y«
Ã{ZÌa Á cZ^Zv» ʳ{Z \^ Ä] į |Z]Ê» ÉZ§-Ê^ Á Ê^
sÔY { ÉZ§ ÉZźfÌ ÄÀÌ» { ¶°» ¾ËY .{¯ |ÅYÂy |
{» Ä·Z¬» ¾ËY { »M Á ½YÂÀ Ä] \ZÀ» d Á ÉZ
.{ÂÊ» ÄfyZÀ Curse of Dimensionality (COD)½YÂÀ dve
»M ½Z°Ë ZÌ » ½ZÌ» ¾ËY { ºÆ» Äf°¿ .dY Äf§³ Y« Ã{Z¨fY
ÉZ§-Ê^ Á ÉZ§ ºfÌ ÄÀÌ» { Ã|¿ ¶u ¶°» ®Ë COD Ä·Z»
ÊËYZ¯ µÂu \^ į |Z]Ê» SPM Á ANFIS z] Á{ Å ÉY]
cÔ°» Y Êz] ¹Y|¯Å Ã| ÄWYY ÉZÅZ°ÅY Ä̸¯ Á |Z]Ê»
Á |Ë|m ÉZÅÉ{ÁÁ kYzfY ÂÀ» Ä] Ã| s» Á { ÓZ]
Á Z°ÅY ®Ë ½YÂÀ Ä] .[19] |¿YÃ{¼¿ ¥] Y ÄÀÌ» ¾ËY { {Âm»
»M Z] ÊËYZ¯ ¾ËY .{ÂÊ» ANFIS Ä°^ Y ¶Zu ÊËZZÀ
Ze dY Ã{Y{ {ZÆÀÌa [16] Brown ,¶°» ¾ËY ] Ê^¿ Ä^¸£ ÂÀ» Ä]
Zf¿ ¾ËY ÉZÅÉÁM¿ Y | ] ÅZ¯ z] ÉY] Ê]» Z] Á |À¼§|Å
Ê^eY» ĸ¸ ZfyZ ®Ë { ®q¯ {Z ]Y Z] ÉZ§ ºfÌ ¾Ë|Àq
.|Z]Ê»
É{ÁÁ
ZY ] Êy | ®Ë ¾Ì¿Y« |
ZY ¾ËY ] .|¿Â \e»
ÉZ§ kZfÀfY ºfÌ ,dY Ã| ÊÅ|¿Z»Z c ¾Ë|] Ä·Z¬» ¾ËY
ÉZźfÌ Ê¸Y Ã|ËY Á ¾ËY .| |ÅYÂy µÁY|f» ÊËZ¼¿ | ]Y] {
{ SPM ¹Âƨ» .|¿ÂÊ» ʧ » 2 z] { ANFIS ZfyZ Á TSK
į dY Ã| d]Zi ¾ÌÀr¼Å .[23] |Z]Ê» Ê^eY» ĸ¸ ÉZ§
] »M Á Á SPMFIS Ä°^ ZfyZ .{ÂÊ» Ê] 3 z]
,24] |ÀZ]Ê» ʻ¼ ÉZųZZÀ Ì¿ ÉZ§ Ê^eY» ĸ¸ ÉZÅZfyZ
{ lËZf¿ Á ÉZ ÄÌ^ .|¿ÂÊ» s» 4 z] { Ê·Á¿ ½ZË{Y³ ÄËZa
Âe ÉZ§ ÉZźfÌ ÊuY ÄÀÌ» { {Âm» cÔ°» Y Êy] .[25
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
17
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
¾ËY Y ¶Zu ZfyZ ÃÁÔÄ] .{̳ Z¯ Ä] {Ây ÉZÅf»YZa »M
ÊËZÆ¿ ÉZÅÉ̳ ÄnÌf¿ 6 z] { ½ZËZa { Á | |ÅYÂy ¹Zn¿Y 5 z]
d̸]Z« Ä] ÄmÂe Z] Á Ã|¿Z¼¿ Ê«Z] ÃZÌ Ä^ m ºfÌ ®Ë c Ä] ªË
.| |ÀÅYÂy ½ZÌ]
ÄnÌf¿ Á dY{ |ÅYÂy ÉfÌ] ÉZËY» ÉZ§ ÉZźfÌ ÉË~a ̨e
ÄÌ·ÁY ºÌÅZ¨» -2
.[30] {Â] |ÅYÂy ½ZÌ] ¶]Z« Ê¿Z] |Y« ¹§ Ä] ÊËZÆ¿
¶Ì°e z] Á{ Y Ì¿ ANFIS ZfyZ ,ÉZ§ ÉZźfÌ |À¿Z¼Å
ZfyZ Á TSK ÉZ§ ºfÌ ÄÌ·ÁY ºÌÅZ¨» ʧ » Ä] z] ¾ËY {
¾ËY į {ÂÊ» Ã|Ì»Z¿ Ê·Ze ¹Á{ z] Á ¹|¬» dz¿ z] .dY Ã|
ÄÀÌ» { ¹Âƨ» Á{ ¾ËY Z] ^e» {Y» Á Ã| ÄfyY{a ANFIS Ä°^
¶f» ´Ë|°Ë Ä] Ä°^ ®Ë ¹§ { ÉZ§ |Y« Âe z] Á{
.|¿Ì³Ê» Y« Ê] {» ÉZ§ ÉZźfÌ
ËZ¼¿ ÄËÓ lÀa { Y ANFIS Ä°^ ®Ë ZfyZ (1) ¶° .|¿ÂÊ»
¹Á{ ÄËÓ ,|Å{Ê» ¹Zn¿Y Y ÉZÉZ§ ¶¼ µÁY ÄËÓ ½M { į ,|Å{Ê»
TSK ÉZ§ kZfÀfY ºfÌ 1-2
,|Å{Ê» ¹Zn¿Y ÉZ§ |Y« ¹|¬» z] ÉY] Y ÉZ§ TͲnorm ¶¼
ÉZ§ ÃZ´¿M-³Y |Y« Y ÉYļn» Y ÉZ§ kZfÀfY ÉZźfÌ
:[27] |Z]Ê» Ë ¹§ Ä] TSK ÉZ§ µ|» ®Ë .|¿YÃ| ¶Ì°e
Ê·Ze z] ¹ZÆq ÄËÓ ,{ÁÊ» Z¯ Ä] ÉZµZ»¿ ÂÀ» Ä] ¹Â ÄËÓ
ÊËZÆ¿ ÊmÁy ºnÀa ÄËÓ dËZÆ¿ { Á |ËZ¼¿Ê» {ZnËY Y ÉZ§ |Y«
ËZ¼¿ Ä°^ ZfyZ ÉY] ÂyÌa ]YÁ .|À¯Ê» Ä^Zv» Y ºfÌ
:|ÀZ]Ê» Ë s Ä] (1) ¶° { Ã| Ã{Y{
P M 1 ( x1 ) P M 2 ( x2 ),
w jk
j
k
w jk
w jk
(2)
j,k 1,2,...,m
m
j,k
,
m
(3)
1,2 ,...,m
Rj : if x1 is A1j and x2 is A2j and … and xn is Anj
Then y = gj (x1,x2,…,xn) (j=1,2,…,R)
,ÉZ§ |Y« {Y| e R ,É{ÁÁ ÉZÅ̤f» {Y| e n ,©Â§ Ä]Y { į
ÉZ§ ½Â¿Z« ¾Ì»Y-j ÉY] É{ÁÁ ̤f» ¾Ì»Y-i Z] ZÀf» ÉZ§ ļn» Aij
Ã{Z Êy ¹§ ®Ë ÉYY{ Ó¼ » į |Z]Ê» xi Y d]Zi ]Ze ®Ë gj Á
.|Z]Ê» gj (x1,x2,…,xn) = q0+ q1x1+…+ qnxn c Ä]
¦ ¦ wi i
:dY ½ZÌ] ¶]Z« Ë c Ä] ©Â§ ÉZ§ ºfÌ ÊËZÆ¿ ÊmÁy
1 2
i1 1 i 2 1
f jk
̤f» Å ÉY] ª¸ e ]YÂe {Y| e Ã|ÀÅ{ ½Z¿ m ©Â§ ]YÁ { į
{ Êy ÉZÆ¿Á Z] ZÀf» ʬ̬u {Y|Y {q0,q1,q2} Á Ã{Â] É{ÁÁ
Ä] ANFIS Ä°^ y ÊËZÆ¿ ÊmÁy .|ÀZ]Ê» ANFIS ºfÌ Ê·Ze z]
:dY Ä^Zv» ¶]Z« Ë cÂ
¦¦
y
f jk PM1 ( x1 )PM 2 ( x2 )
j
j 1k 1
m m
¦¦PM (x1)PM
j 1k 1
1
j
k
2
k
( x2 )
¦ g j ()Ti 1 Pij ( xi )
(4)
q0, jk q1, jk x1 q2, jk x2
m m
R
m m
¦¦ f jk w jk
(5)
j 1k 1
ANFIS µ|» ,Ã|ÌrÌa Êy Ì£ ÉZźfÌ ÉZµ|» ÂÀ» Ä]
ÉZ§ ÊeZ^ Ä] |ËZ¼¿Ê» Y§Y ʨ¸fz» ÉZÅz] Ä] Y É{ÁÁ ÉZ§
Y ANFIS Ä°^ .[17] {ÂÊ» ºÌ¬e Ê¿YÁY§ ʸv» ÊuY¿ Ä] É{ÁÁ
y
mj
j 1
R
¦
(1)
m
Ti 1j Pij ( xi )
j 1
mj ,dY Aij ÉZ§ ļn» ÉY] ª¸ e ]Ze uij ½M { į
Á dY ÉZ§ ¾Ì¿Y« ¹|¬» z] { É{ÁÁ ÉZÅ̤f» {Y| e (1чmjчn)
ºfÌ ®Ë TSK ÉZ§ ºfÌ .|Z]Ê» ÉZ§ TͲnorm ´¸¼ ®Ë T
ÄÂy ÉZÆÁ Y Ã{Z¨fY Z] É{ÁÁ ÉZ§ Y§Y .|Z]Ê» ÉZ§ {¨À»
Á ¹Ó É»Y ÉZ§ ºfÌ fÆ] ÊËYZ¯ ÂÀ» Ä] ÃÌ£ Á É|À]Ä°^ ,É|À]
ÂÀ» Ä] Ë~a ªÌ^e ÉZÆÁ Êy] ¾ÌÀr¼Å .[17] |Z]Ê» ÉÁ
{ {YM ÉZÅf»YZa Á ¹|¬» z] { ª¸ e ]YÂe {Y| e Á ¶° ¾Ì¼ze
.[28 ,18 ,7] |¿YÃ| s» ÉZ§ ºfÌ Ê·Ze z]
¾ËY .|ËZ¼¿Ê» Ã{Z¨fY É{ÁÁ | ] Å ºÌ¬e ÂÀ¼] ÉZ§ ª¸ e ]YÂe
{¨À» É{ÁÁ ®Ë ÊeZ^ Ä] ,|¿Y{ Ê¿ZÂb¼Å ´Ë|°Ë Z] ª¸ e ]YÂe
ANFIS ZfyZ 2-2
Ä°^ d̸]Z« .| |ÅYÂy ª¸ e ]Ze Á{ ¶«Y|u ½Z»¼Å ½| µZ § \^
Y ¶¬f» ÉZų ¾Ì¼ze [29] ÉZ§ ÉZźfÌ Á Ê^ ÉZÅÄ°^
É{ÁÁ | ] Å ÉY] Ã| Äf§³ ¿ { ª¸ e ]YÂe {Y| e Ä] ANFIS
Á ZÅdÌ « ¹| Z] {Ây] { Y ÊÆ]Z» ÉZÅd̸]Z« Á |ÀZ]Ê» µ|»
Z] ʳ ¶° Ê´¿ ]YÂe Ã| Ã{Z¨fY ª¸ e ]YÂe Ó¼ » .dY Äf]YÁ
ÉZ§ kZfÀfY ºfÌ ½{¯ ¶Ë|^e ½Z°»Y Y~· .|ÀÅ{Ê» ½Z¿ {Ây Y Ë¿
Ë ¹§ Ä] į |ÀZ]Ê» ¨ Z] ]Y] ÄÀ̼¯ Á ®Ë Z] ]Y] ÄÀÌÌ] ½YÌ»
Ä] ªË ¾ËY Y į ÉYÄ°^ .{Y{ {ÂmÁ Ë~a »M Ä°^ ®Ë ¹§ Ä]
.|ÀZ]Ê» ¦Ë e ¶]Z«
ÂÀ» Ä] Y Ê^ ÉZÅÄ°^ É̳{ZË ÉZÆÁ |¿YÂeÊ» |ËMÊ» d{
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
18
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
Original
features
Feature
selector
Selected
Classifier
features
Identifier
x xi
¯
Vi
½
)2 ¾
¿
(6)
ÉÁ ] į |ÀfÅ ª¸ e ]YÂe ÉZÅf»YZa ^ xi ,V i ` ©Â§ Ä]Y { į
.|¿Y~³Ê» ÌiZe ½M ¶°
(a)
Original
features
(b)
P M i ( x) exp® (
Feature
selector
Selected
Classifier
features
Identifier
Evaluation
ʳËÁ [Zzf¿Y { É|À] Äf] ([ Á f¸Ì§ (¦·Y ÉZÆÁ ½ZÌ» ÄËZ¬» :3 ¶°
̤f» n Y ʸË|^e ¾f§ZË ,Ã{Y{ {Z ]Y ÅZ¯ ÂÀ» Ä] ¹Á{ d§ZÌÅ
sÔY { Á ¾ËY .|Z]Ê» ÊmÁy ̤f» r {Y| e Ä] É{ÁÁ
Ã|Ì»Z¿ ʳËÁ kYzfY ZfyY Ä] ZË Á ¶Ë|^e ÉZ§ { ʳËÁ [Zzf¿Y
Êy Ì£ ZË Á Êy c Ä] |¿YÂeÊ» ¶Ë|^e ¾ËY .((4) ¶°) {ÂÊ»
{ ¹Zn¿Y Ê]» ½Á|] ZË Á Ê]» Z] dY ¾°¼» Á |Z] ÄÌ·ÁY ÉZÆ̳ËÁ Y
.[39]
É{ÁÁ Á{ ÉYY{ ANFIS Ä°^ ZfyZ :1 ¶°
ÉYĸ¼m |Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿ -3
{ ¹Z³ ¾Ì·ÁY ÓZ] {Z ]Y Z] Ã{Y{ ®Ë Y ¾ÌËZa {Z ]Y Z] ËZ¼¿ ¹§ ¾f§ZË
| ] Z] ÉZÅÃ{Y{ Y Ã{Z¨fY .|Z]Ê» ºfÌ ÊËZZÀ Á ´·Y ÊZÀZ]
¹Zn¿Y e¹ÁZ¬» Á eË ÊËZZÀ Á É|À]
Ô¯ Ze {ÂÊ» \^ f¼¯
ʧ » ½ÂÀ¯ Ze ʨ¸fz» {Z ]Y ÅZ¯ ÉZÆÁ Á ¾Ì¼Å Y .[31] |¿Â
ÅZ¯ ,É{ÁÁ ÉZÅ̤f» Y ÉYļn» ¾fY{ Z] .[31-35] |¿YÃ|
ʳËÁ kYzfY Á Y Ã{Z¨fY Z] {Z ]Y ÅZ¯ :4 ¶°
ÊËZZÀ Á ¾Ì·ÁY .{ ¹Zn¿Y |¿YÂeÊ» ʸ¯ c Á{ Ä] {Z ]Y
º¯ ZÌ] ZË ÌiZeÊ] ÊËZZÀ ZË Á É|À]
Ô¯ { į dY ÊËZÅ̤f»
{ ʳËÁ Ã|ÀÀ¯ kYzfY ®Ë Z] ANFIS ZfyZ ®Ë Ä·Z¬» ¾ËY
Y ̤f» r {Y| e ¾f§ZË Z] Ä]Z» ¶¼ ¾ËY Á ¾Ì¼Å Y .|ÀZ]Ê» ÌiZe
ʸ¯ ¹Y³ZË{ .|ËZ¼¿Ê» ʧ » Y {ÂÊ» Ã|Ì»Z¿ SPM į É{ÁÁ z]
ʳËÁ [Zzf¿Y sÔY { Á ¾ËY .|Z]Ê» {Âm» ̤f» n ¼n»
Y É{ZÆÀÌa Á { .dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ (5) ¶° { Á ¾ËY
ÉZÌ] ÉZÅ{]Z¯ { ʳËÁ [Zzf¿Y Á .((2) ¶°) {ÂÊ» Ã|Ì»Z¿
Ä] ʸY ÉZÆË{ÁÁ ¶Ë|^e ÂÀ» Ä] ÉYĸ¼m |Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿ ®Ë
Á [36] ¾f» Z¯{Ây É|À] Äf{ |À¿Z¼Å ,dY Äf§³ Y« Ã{Z¨fY {»
| ] ¹Z³ { .{ÂÊ» Ã{Z¨fY Äf§ZË ÅZ¯ {Z ]Y Z] |Ë|m ÉZÆË{ÁÁ
Á{ Ä] ʳËÁ [Zzf¿Y ÉZÆÁ ʸ¯ d·Zu { .[37] ZÅÃ{Y{ É|À]ÄËZ¼¿
É{ÁÁ ½YÂÀ Ä] ÉYĸ¼m |Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿ Y ¶Zu ÊmÁy
į É|À] Äf] ÉZÆÁ Á f¸Ì§ ÉZÆÁ :|¿ÂÊ» ºÌ¬e ʸY Äf{
dY Ã| Äf§³ ¿ { ANFIS Ä°^ Ä·Z¬» ¾ËY { į ÉZ§ ºfÌ
dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ [-(3) Á ¦·Y-(3) ÉZŶ° { ZÆ¿M ¹Y³ZË{
Á {Z ]Y ÅZ¯ ,Ã| s» Á { .|¿Ì³Ê» Y« Ã{Z¨fY {»
.[38]
½Z°Ë ÊËYZ¯ ZÌ » ®Ë Z] Á ½Z»¼Å c Ä] ÊËZZÀ/É|À]
Ô¯
kYzfY z] Ä»Y{Y { ANFIS Ä°^ Á ¾ËY { .{ÂÊ» ¹Zn¿Y
kYzfY ¶¨À» ÉZÆÁ { {Âm» cÔ°» Ze {̳ʻ Y« ʳËÁ
.|ËZ¼¿ ¥] Y | ÃZY ZÆ¿M Ä] Ä»|¬» z] { į ʳËÁ
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
ʳËÁ [Zzf¿Y Á Y Ã{Z¨fY Z] {Z ]Y ÅZ¯ :2 ¶°
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
19
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
P M 1 ( X 1 ) P M 2 ( X 2 ) ... P M r ( X r ) (8)
wi1 i2 ...ir
i1
i2
(9)
wi1 i2 ...ir
wi1 i2 ...ir
Error
ir
m
m
m
¦ ¦ ... ¦ w j
Feature
extractor
Original
features
Extracted
features
Classifier
Identifier
1 j2 ... jr
j1 1 j2 1
jr 1
Error
r
q 0,i1 i2 ...ir f i1 i2 ...ir
¦ q j, i i ...i
r
1 2
X
j
(10)
Ã| s» Á ʸ¯ ÉZ¼ :5 ¶°
j 1
{Âm» ÉZÅË|¿Y Á ik 1,..., m ÓZ] ]YÁ { į
-k ÉY] ª¸ e ]Ze ÊmÁy ¾Ì»Y-ik ¾ËY į |ÀÀ¯Ê» ½ZÌ] P k ( X ) {
k
M
ik
qk , i1 i2 ...ir
{ {Âm» ÉZÅË|¿Y ¾ÌÀr¼Å .dY É{ÁÁ ̤f» ¾Ì»Y
ÉZ§ ½Â¿Z« ¾Ì»Y–i1i2…ir ÉY] Êy ½Á ¾Ì»Y-k ¾ËY į |ÀÅ{Ê» ½Z¿
Y{] (SPM) ʳËÁ kYzfY ¸] ,Ã| s» Á {
É| ] r |Ë|m ʳËÁ Y{] ®Ë Ä] Y x& {x1,..., xn } É| ] n É{ÁÁ
&
|Àq Ä^ ®Ë ¹§ Ä] Ë Ä·{Z » .|ËZ¼¿Ê» ¶Ë|^e X {X1,...,Xr }
:{ÂÊ» Ã{Z¨fY ÂÀ» ¾ËY ÉY] ÉYĸ¼m
Ë c Ä] ANFIS Ä°^ ÊËZÆ¿ ÊmÁy d·Zu ¾ËY { .|Z]Ê»
:|Z]Ê» Ä^Zv» ¶]Z«
m
m
m
¦¦ ¦
...
j1 1 j 2 1
y
m
w j1
j 2 ... j r
f j1
j 2 ... j r
jr 1
m
(11)
m
¦ ¦ ... ¦ w j
1 j 2 ... j r
j1 1 j 2 1
jr 1
ÊmÁy ½YÂÀ Ä] y Á ¥|Å Y|¬» ½YÂÀ Ä] y* ¾f§³ ¿ { Z]
:|Z]Ê» ¦Ë e ¶]Z« Ë c Ä] Ê]ZËY ZÌ » ,ANFIS Ä°^
E1
1 *
( y y )2
2
1 2
e
2
(12)
Á É{ÁÁ ̤f» r {Y| e Z] ANFIS Ä°^ »M ÊËZÆ¿ ºfË´·Y
:dY Ã| ÄÔy Ë { É{ÁÁ Å ÉY] ª¸ e ]Ze m {Y| e
K FIS
'q j , i1 i2 ...ir
'q0, i1 i2 ...i
wq j , i1 i2 ...ir
K FIS
r
'xM j
ik
K FIS e wi1 i2 ...ir x j (13)
wE1
wE1
wq0, i1 i2 ...i
K FIS
K FISe wi1 i2 ...ir
wE1
wxM j
ik
K FIS
wE1
wV M j
wy
K FIS e.
wxM j
(15)
ik
K FIS e.
ik
wy
wV M j
a1j x1
a 2j x 2
j
p2
j
... a nj x n pn , j 1, 2,..., r
(7)
,Ã| ¶Ë|^e ÉZÆ̳ËÁ {Y| e Ã|ÀÅ{ ½Z¿ r ©Â§ Ä]Y { į
a1,..,an ÉZÅ̤f» Á (r ч n)|Ë|m ʳËÁ Ã|ÀÅ{ ½Z¿ Xj (j =1,..,r)
&
x É{ÁÁ Y{] į dY ¯} ¶]Z« .|ÀfŠʬ̬u {Y|Y p1,…,pn Á
.{ µZ»¿ ,|Z]Ê» 0<l1<l2<+ь ½M { į [l1, l2] ÃZ] { |ËZ]Ê»
»M Á Á SPMFIS ZfyZ -4
ZY ] »M Á Á SPMFIS ZfyZ z] ¾ËY {
,| ÃZY Ô^« į ¿Z¼Å .{ÂÊ» s» Ê·Á¿ ½ZË{Y³ ºfË´·Y
Á Y į |Z]Ê» ANFIS Ä°^ Y É|Ë|m ZfyZ SPMFIS
z] { ʳËÁ kYzfY ÂÀ» Ä] ÉYĸ¼m |Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿
¸] É{ÁÁ ½YÂÀ Ä] ÓZ] {Z ]Y Z] Ã{Y{ .dY Ã| Ã{Z¨fY ½M É{ÁÁ
ANFIS Ä°^ É{ÁÁ Y{] ½YÂÀ Ä] ½M ÊmÁy Á Ã| Ã{Z¨fY SPM
r
ik
'V M j
(14)
Xj
j
p1
(16)
̤f» n {Y| e Z] SPMFIS ʸ¯ ÉZ¼ (6) ¶° .{ÂÊ» Ã{Z¨fY
½Z¿ Y X1,…,Xr Ã| ¶Ë|^e ʳËÁ r {Y| e Á x1,…,xn É{ÁÁ
.|Å{Ê»
ik
»M w¿ ɻFIS Á ik 1,..., m , j 1,..., r ©Â§ ]YÁ { į
[Zzf¿Y [0,1] ÃZ] Y į |Z]Ê» SPMFIS ZfyZ Y ANFIS z]
.{ÂÊ»
SPM z] ÉZÅf»YZa Ê¿Z Á Ä] Á Á Âya cÓ{Z »
:dY Ã| Ã{ÁM ¶Ë} { SPMFIS ZfyZ Y
'aij
K SPM
'pij
K SPM
wE1
waij
wE1
wpi
j
K SPM
wE1 wy wX j
.
.
wy wX j waij
(17)
K SPM
wE1 wy wX j
.
.
wy wX j wpij
(18)
½Z¿ \Ìee Ä] j=1,2,…,r Á i=1,2,…,n ©Â§ ]YÁ { į
{ .|ÀZ]Ê» Ã| kYzfY ÉZÆ̳ËÁ Á É{ÁÁ ÉZÅ̤f» Ã|ÀÅ{
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
SPMFIS Ä°^ ʸ¯ ZfyZ :6¶°
̤f» r {Y| e Z] ANFIS Ä°^ ®Ë ÉY] ÂyÌa cÓ{Z »
½ZÌ] ¶]Z« Ë c Ä] É{ÁÁ Å ÉY] ª¸ e ]Ze m {Y| e Á É{ÁÁ
:dY
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
20
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
Ã| Ã{Z¨fY ÉZÅÃ{Y{ ļn» cZz» :1 µÁ|m
Y SPM z] ÉY] »M w¿ Ã|ÀÅ{ ½Z¿ ɻSPM ,©Â§ cÓ{Z »
Data set
# Pattern
# Attributes
# Class
Iris
150
4
3
Pima Indians
768
8
2
Wine
178
270
13
13
3
2
Statlog heart
cÓ{Z » .{ÂÊ» [Zzf¿Y [0,1] ÃZ] Y į |Z]Ê» SPMFIS ZfyZ
:|ÀZ]Ê» Ë s Ä] z] ¾ËY ÉZÅf»YZa »M Ä] Â]» ÊËZÆ¿
·
¸
¸
¹
(19)
j ·
§
e K SPM S ¨ a i j x i pi ¸ ln x i ©
¹
(20)
' a ij
' p ij
Y Ì] {Z ]Y Z] ÊËZÅÃ{Y{ ÉY] ANFIS Ä°^ lËZf¿ įZn¿M Y
§ pj
e K SPM S ¨¨ x i i
©
:©Â§ ]YÁ { į
ÉY] ,|Z]ʼ¿ \ZÀ» ÉZ§ ¾Ì¿Y« {Y| e ËY§Y d¸ Ä] É{ÁÁ ̤f»
S
, Statlog heart Á Wine, PimaͲIndians diabetic ÉZÅÃ{Y{
ÂÀ» Ä] Á ÄÌ·ÁY Y{a Ìa { [41-43] ÄËZa Ĩ·Â» Ì·Z¿M Á
.|Z]Ê» Ê Ì^ ºfËZ´·
(7) ¶° { SPMFIS Ä°^ ZfyZ ,Iris Ã{Y{ ļn» ÉY]
lËZf¿ Á ÉZ ÄÌ^ -5
n {Y| e ©Â§ ZfyZ {ÂÊ» Ã|Ë{ į ¿Z¼Å .dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿
É{ÁÁ ̤f» Á{ ¶»Z Ì¿ Ã| Ã{Z¨fY ANFIS Ä°^ ZfyZ .|ËZ¼¿Ê»
Ã| Äf§³ ¿ { ª¸ e ]Ze Á{ {Y| e É{ÁÁ Å ÉY] į |Z]Ê»
Z] ]Y] ZfyZ ¾ËY { ÉZ§ ¾Ì¿Y« ¶¯ ¼n»
ZY ¾Ì¼Å ] .dY
.|Z]Ê» ÉZ§ ½Â¿Z« ZÆq
(21)
´¸¼ ´¿ZËZ¼¿ ln(.) cZ^ ,(20) Ä]Y { į dY ¯} ¶]Z«
.{̳ʻ Y« Ã{Z¨fY {» {| {Y| e Ä] ʳËÁ kYzfY
¶Ë|^e |Ë|m ʳËÁ Á{ Ä] Y ½M Á Ã{¯ d§ZË{ Y ÄÌ·ÁY ʳËÁ
wy
wX j
¶Ì^« Y Ê·ÁY|f» ÉZÆÁ Z] Ã| ʧ » Á ÊËYZ¯ z] ¾ËY {
ÅZ¯ ÃY¼Å Ä] ÄËÓ |Àq Ê^ Ä°^ ,1ÄËÓ |Àq Ê^ ÉZÅÄ°^
Ä°^ Á 3ÊZ ÄËZa ÉZÅ Ä°^ ,2ÄËZa Ĩ·Â» Ì·Z¿M Y Ã{Z¨fY Z] ʳËÁ
ÊËZZÀ ,{Y|¿ZfY Ã{Y{ ļn» ¾Ë|Àq É|À]
Ô¯ { ANFIS
Ê] {»
Ô³-Ê°» ZÀ]ÂM Ê¿Z» É ÊÀÌ] Ìa Á ºfÌ
.{̳ʻ Y«
Statlog Á Wine, PimaͲIndians diabetic ÉZÅÃ{Y{ ÉY]
ÉZfyZ ,(7) ¶° { Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ ZfyZ ] ÃÁÔ heart
dY Äf§³ Y« Ã{Z¨fY {» Ã| kYzfY ʳËÁ Ä {Y| e Z] ´Ë{
´·Y É|À]
Ô¯ -1-5
ANFIS Ä°^ ZfyZ ¾ËY { .dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ (8) ¶° { į
ʧ » ºfÌ É|À]
Ô¯ d̸]Z« Ê] ÂÀ» Ä] z] ¾ËY {
]Ze Á{ {Y| e É{ÁÁ Å ÉY] Á É{ÁÁ ̤f» Ä ÉYY{ Ã| Ã{Z¨fY
Ê] {» Ã{Y{ ļn» ¾Ë|Àq É|À]
Ô¯ { ½M {]Z¯ ,Ã|
½Â¿Z« dÅ Z] ]Y] d·Zu ¾ËY { ÉZ§ ¾Ì¿Y« {Y| e ¶¯ Á |Z]Ê» ª¸ e
Y ÂÀ» ¾ËY ÉY] Ã| Ã{Z¨fY ÉZÅÃ{Y{ ļn» .dY Äf§³ Y«
.|Z]Ê» ÉZ§
Ã{Y{ ļn» Šį [40] |¿YÃ| Äf§³ UCI ¾ÌZ» É̳{ZË ]ZÀ»
x1
x2
ÉZÅÃ{Y{ ¶»Z ļn» ¾ËY .|Z]Ê» tÌv Á ÄfÂÌa Ë{Z¬» ÉYY{
X1
SPM
X2
ANFIS
y
Statlog heart Á Iris, Wine, PimaͲIndians diabetic
ËZ¼¿ Y Ã{Y{ ļn» ZÆq ¾ËY cZz» (1) µÁ|m .|Z]Ê»
xn
Äf§ZË ¶Ë|^e ʳËÁ Á{ Z] SPMFIS Ä°^ ZfyZ :7¶°
z» ʿ»M Ã{Y{ pÌÅ ZÅÃ{Y{ ļn» ¾ËY { į Zn¿M Y .|Å{Ê»
Ê] ÂÀ» Ä] 4ZÅÃ{Y{ ½{¯Ze-10 Á Y Ä·Z¬» ¾ËY { ,dY Ã|¿
x1
x2
xn
X1
SPM
X2
ļn» Šį \Ìee ¾Ë|] ,{ÂÊ» Ã{Z¨fY Ã| s» Á ÊËMZ¯
ANFIS
y
½YÂÀ Ä] ZÅÄf{ Ë Y Ê°Ë YmY Å { Á Ã| ºÌ¬e z] 10 Ä] Ã{Y{
X3
.{ÂÊ» Y°e Z] 10 ¶¼ ¾ËY Á Ã| Ã{Z¨fY ½Â»M Ã{Y{
Äf§ZË ¶Ë|^e ʳËÁ Ä Z] SPMFIS Ä°^ ZfyZ :8¶°
ÊËZ¿YÂe ÄËZ¬» ÂÀ» Ä] z] ¾ËY { | ÃZY į ¿Z¼Å
Á RBF ,MLP ÉZÅÄ°^ Z] É{ZÆÀÌa Á ,{ Ã| s» Á
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1
Multi Layer Perceptron (MLP)
Principal Component Analysis (PCA)
3
Radial Basis Function (RBF)
4
10-Fold Cross Validation
2
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
21
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
-10 Á Y ,Ã| ¹Zn¿Y ÉZÅ ÉZÄÌ^ { | ÃZY į ¿Z¼Å
-ļn» Y MLP Ê^ Ä°^ .dY Äf§³ Y« ÄËZ¬» {» ANFIS
3
É|À]
Ô¯ d«{ lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ» .dY Ã| Ã{Z¨fY ZÅÃ{Y{ ½{¯ Ze
ÄËÓ Å Ä¯ dY Ã| ¶Ì°e ÉYÄËÓ ZfyZ ®Ë { ZŽÁ¿ Y ÉY
Wine Á Iris ÉZÅÃ{Y{ ļn» ÉY] ½Â»M Á »M ÉZÅÃ{Y{ ÉY]
.|Z]Ê» Êy Ì£ ZË Á Êy c Ä] ÉZ µZ § ]Ze ®Ë ÉYY{
µÁY|m ¾ËY { .dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ (3) Á (2) µÁY|m { \Ìee Ä]
µZ § ]YÂe ¿ Á Ä°^ ÉZÅÄËÓ Ê¸¯ {Y| e ,ÄËÓ Å { ZŽÁ¿ {Y| e
Ä°^ ÉZŽÁ¿ {Y| e ,MLP Ä°^ ZfyZ Ã|ÀÅ{ ½Z¿ Structure
MLP Ä°^ ʸ¯ d̸]Z« Ã|ÀÀ¯ ¾ÌÌ e ÄËÓ Å { Ã| Ã{Z¨fY ÉZ
SPMFIS Á ANFIS ÉZÅZfyZ ÉY] ÉZ§ |Y« {Y| e Á RBF
.|ÀZ]Ê»
ÉZÅf»YZa ¶¯ {Y| e Ã|ÀÅ{ ½Z¿ Parameter ¾ÌÀr¼Å .|Z]Ê»
į {ÂÊ» Äf§³ ¿ { ÄËÓ Á{ Ä°^ ®Ë ½YÂÀ Ä] RBF Ä°^
Á SPMFIS Á Ã{Â] Ã| Ã{Z¨fY ÉZÅZfyZ { Ë~a »M
ÄËÓ ®Ë ¹Á{ ÄËÓ Á Ã{Â] ʳ ¿ Y Z»Â¼ µÁY ÄËÓ ÉZŽÁ¿
Á Á{ {Y| e Z] SPMFIS ÉZÅZfyZ Ã|ÀÅ{ ½Z¿ \Ìee Ä] SPMFIS
.{ÂÊ» Äf§³ ¿ { ÊËZÆ¿ ÊmÁy {ZnËY ÂÀ» Ä] į |Z]Ê» Êy
2
3
Ã{Y{ ļn» ÉY] d·Zu ¾ËY { .|ÀZ]Ê» Ã| kYzfY ʳËÁ Ä
Ã| Ã{Z¨fY MLP Ä°^ ZfyZ ,ZÅ{Y{ ļn» Ê»Z¼e ÉY]
Á 0.05 Á 0.15 Z] ]Y] \Ìee Ä] ɻSPM Á ɻFIS »M ÉZÅw¿ Iris
Ä] ¹Á{ Á µÁY ÉZÅÄËÓ ÉZ µZ § ]YÂe į |Z]Ê» ÄËÓ Ä ¶»Z
.|¿YÃ| [Zzf¿Y 0.05 Á 0.1 Z] ]Y] Wine Ã{Y{ ļn» ÉY]
Êy ÉZ µZ § ]Ze ÉYY{ ¹Â ÄËÓ Á Ê^« Á{ |ÌW¼´Ì cÂ
Ê^ Ä°^ ¦¸fz» ÉZÅÄËÓ { Ã| Ã{Z¨fY ÉZŽÁ¿ {Y| e .|Z]Ê»
Iris ÉZÅÃ{Y{ ÉY] É|À]
Ô¯ dv lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ» :2 µÁ|m
Network
MLP
RBF
ANFIS
SPMFIS
Train
94.08
94.25
97.33
97.00
Test
91.67
92.00
94.67
95.67
Epoch
1000
500
100
100
Structure
4Ͳ4Ͳ1
15
16
4
Parameter
45
90
96
36
Ä] Ê]ne c Ä] Ã{Y{ ļn» Å ÉY] RBF Ä°^ µÁY ÄËÓ Ì¿ Á
2
{ ½Á¿ fÌ] {Y| e Y Ã{Z¨fY į dY ¯} ¶]Z« .dY Ã|»M d{
Êy] { Á Ã{°¿ {ZnËY Y ÉfÆ] ÉZÅxZa RBF Á MLP ÉZÅZfyZ
.|Ë{³Ê» ¶Zu ÉZÅxZa ½| e|] \m» {Y»
Ã{Z¨fY ÉZÅÃ{Y{ ļn» ÉY] ¦¸fz» ÉZÅÉZ ÄÌ^ {
Ê] {» ½Â»M Á »M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] É|À]
Ô¯ d«{ ,Ã|
PimaͲIndians diabetic Ã{Y{ ļn» Á{ ÉY] .dY Äf§³ Y«
ZÌ » Á{ Y ,É|À]
Ô¯ d«{ ZÌ » ] ÃÁÔ Statlog heart Á
Wine ÉZÅÃ{Y{ ÉY] É|À]
Ô¯ dv lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ» :3 µÁ|m
½{Â] ÊZfyY Á 1dÌZu
ZÌ » .[44] dY Ã| Ã{Z¨fY Ì¿
97.56
98.22
92.79
93.26
94.19
Ä] į dY d^j» cÓZu Y Êf^¿ Ã|ÀÅ{ ½Z¿ (ÉÁM{ZË) dÌZu
100
100
100
Êf^¿ Ã|ÀÅ{ ½Z¿ ½{Â] ÊZfyY ZÌ » Á |¿YÃ| ÄfyZÀ ½YÂÀ ¾Ì¼Å
Ä] ZÌ » Á{ ¾ËY .|¿YÃ| Ã{Y{ Ìze d{ į dY ʨÀ» cÓZu Y
MLP
RBF
ANFIS
SPMFIS
Train
96.15
96.59
97.33
Test
90.70
90.47
Epoch
1000
500
Structure
5Ͳ7Ͳ1
Parameter 85
2
SPMFIS
Network
2
3
15
64
4
8
120
472
44
80
:|ÀfÅ ¦Ë e ¶]Z« Ë cÂ
ÊZfyY Á dÌZu ÉZÅZÌ » ,É|À]
Ô¯ d«{ lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ»
Á PimaͲIndians diabetic ½Â»M Á »M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] ½{Â]
Sensitivit y
TP
TP FN
(22)
Specificit y
TN
TN FP
(23)
Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ (5) Á (4) µÁY|m { \Ìee Ä] Statlog heart
¹Z¿ Ä] Ã| ¾ÌÌ e d{ µZ»¿ Ì£ d·Zu ®Ë ,©Â§ ]YÁ { į
PimaͲIndians diabetic Ã{Y{ ļn» ÉY] d·Zu ¾ËY { .dY
µZ»¿ Ì£ dÌ Á ®Ë Y d{Z¿ Ìze ®Ë ,{ÂÊ» Ã|Ì»Z¿ (TP)
ÉY] Á 0.03 Á 0.1 Z] ]Y] \Ìee Ä] ɻSPM Á ɻFIS »M ÉZÅw¿
µZ»¿ d·Zu ®Ë Y d{Z¿ Ìze ®Ë ,{ÂÊ» Ã|Ì»Z¿ (FN) ¹Z¿ Ä]
.|¿YÃ| [Zzf¿Y 0.07 Á 0.15 Z] ]Y] Statlog heart Ã{Y{ ļn»
Ã{Y{ Ìze d{ µZ»¿ d·Zu ®Ë dËZÆ¿ { Á {ÂÊ» Ã|Ì»Z¿ (FP)
..{ÂÊ» Ã|¿YÂy (TN) Ã|
1
3
10-fold cross validation
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
2
Sensitivity
Specificity
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
22
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
PimaͲIndians diabetic ÉZÅÃ{Y{ ÉY] ¶Zu lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ» :4 µÁ|m
100
95
90
85
80
75
70
2
3
Network
MLP
RBF
ANFIS
SPMFIS
SPMFIS
Train
80.27
84.85
85.91
85.74
85.97
Test
78.24
82.50
81.99
82.94
85.29
Spec.
70.53
70.04
74.90
73.22
75.74
Sens.
87.32
95.92
93.14
94.72
94.05
Epoch
1500
1000
200
100
100
Structure
7Ͳ10Ͳ1
30
64
4
8
240
472
44
80
65
Parameter 140
60
Iris
Wine
MLP
Diabet
RBF
ANFIS
Heart
Statlog heart ÉZÅÃ{Y{ ÉY] ¶Zu lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ» :5 µÁ|m
SPMFIS
½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] É|À]
Ô¯ dv ¾Ì´¿ZÌ» :10¶°
kYzfY z] { Ã| {ZnËY cÔ¼m Ä^ Y ÊËZŵZj» ½ZËZa {
Z] É|À]
Ô¯ ÉZÅÃ{Y{ ÉY] É̳{ZË |ÀËM§ Ê Y a Á ʳËÁ
.|¿YÃ| Ã{Y{ ËZ¼¿ (6) µÁ|m { SPMFIS2 ZfyZ Y Ã{Z¨fY
Dataset
Produced SemiͲPolynomial
X1 2.30 x1
Iris
2.00
X2 Ͳ0.07 x1
+ 0.53 x2
1.26
0.88
1.99
Ͳ 0.29 x2
+ 0.31x3
0.31
1.54
+ 1.10x3
1.57
0.95
+ 0.09 x4
Ͳ 0.41 x4
1.03
Ͳ0.30
Wine
3.02 x1 Ͳ 1.91 x2 + 0.23x3 Ͳ 0.60 x4 Ͳ 0.28 x5 Ͳ
1.19
1.28 x6
0.57
1.04
0.62
1.46
0.37
Ͳ1.16 x1 Ͳ 1.49 x2 + 0.15x3 Ͳ 0.02 x4 + 0.30 x5 +
X2
0.16
1.04 x6
Pima
2.18 x1 + 1.14 x2 + 0.21x3 Ͳ 1.27 x4 + 0.54 x5 +
2.18
1.26 x6
1.61
1.16
1.51
2.04
0.98
0.93 x1 + 1.34 x2 Ͳ 0.85x3 Ͳ 0.06 x4 Ͳ 0.22 x5 +
X2
1.36
0.19 x6
1.21
2.24
1.44
2.19
X1
1.13
1.13
0.35
0.80
SPMFIS
SPMFIS
Train
69.61
84.29
86.80
84.48
85.07
Test
67.61
78.51
80.00
81.79
82.09
Spec.
55.75
79.33
78.25
81.00
80.83
Sens.
79.80
88.53
90.60
86.07
86.47
Epoch
1000
500
100
100
100
Structure
5Ͳ7Ͳ1
20
64
4
8
160
472
44
80
Y Ã{Z¨fY Z] Y Statlog heart Á PimaͲIndians diabetic
.|ÀÅ{Ê» ½Z¿ ½Â»M Á »M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] SPMFIS3 ZfyZ
100
95
90
85
1.30
1.83 x1 + 0.25 x2 Ͳ 0.89x3 Ͳ 0.27 x4 Ͳ0.17 x5 Ͳ
1.36
0.39 x6
1.29
1.32
1.02
1.14
0.01
1.63 x1 + 0.76 x2 + 0.27x3 Ͳ 1.02 x4 Ͳ0.62 x5 +
X2
1.84
0.04 x6
X1
Statlog
ANFIS
Wine, ÉZÅÃ{Y{ Y ¶Zu lËZf¿ Á SPMFIS2 Ä°^ Y Ã{Z¨fY Z]
X1
1.56
RBF
Iris Ã{Y{ É|À]
Ô¯ dv ¾Ì´¿ZÌ» Ë{Z¬» (10) Á (9) ÉZŶ°
1.24
Ͳ0.04
0.49
3
MLP
Parameter 85
É|À]
Ô¯ ¶WZ» { Ã| {ZnËY cÔ¼m Ä^ Ŀ¼¿ :6 µÁ|m
2
Network
80
75
70
65
ºfÌ ÊËZZÀ -2-5
Á ÊËZZÀ ÊËZ¿YÂe Ê] ÂÀ» Ä] Ã| Ã{Z¨fY µ|» ¾Ì·ÁY
:[45] |Z]Ê» Ë ¹§ Ä] ÉYÄ·{Z » ÉYY{ ÄuÁ»
y ( t 1)
0 . 4 y ( t ) 0 . 09 y ( t 1) 0 . 1u ( t 1)
0 . 3u ( t ) 0 . 05 y ( t ) u ( t )
60
Iris
Wine
MLP
RBF
Diabet
ANFIS
Heart
SPMFIS
»M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] É|À]
Ô¯ dv ¾Ì´¿ZÌ» :9¶°
(24)
0 . 03 y ( t 1) u ( t 1)
ʳ |̨ Ë¿ ®Ë ,k=0,1,…,399 ,u(k) É{ÁÁ µZÀ´Ì
½YÂÀ Ä] {Âm» Ã{Y{ 200 ¾Ì·ÁY .|Z]Ê» 1.0 ¿ZËYÁ Á ¨ ¾Ì´¿ZÌ» Z]
½YÂÀ Ä] ZÅÃ{Y{ Ä̬] Á |¿YÄf§³ Y« Ã{Z¨fY {» »M ÉZÅÃ{Y{
¾ËY { SPMFIS ZfyZ É{ÁÁ Y{] .|¿YÃ| Ã{Z¨fY ½Â»M ÉZÅÃ{Y{
ZfyZ .|Z]Ê» x=[y(t), y(tͲ1), u(t), u(tͲ1)] c Ä] d·Zu
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
23
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
¹§ Ä] ÉYÄ·{Z » ÉYY{ ÊËZZÀ ÂÀ» Ä] Ã| Ã{Z¨fY µ|» ¾Ì»Á{
:[46] |Z]Ê» Ë
y ( t 1)
2 . 627771 y ( t ) 2 .333261 y ( t 1)
0 . 697676 y ( t 2 ) 0 .017203 u ( k )
(25)
ÊËZZÀ ÉY] .dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ (7)¶° { Ã| Ã{Z¨fY Ä°^
ÊmÁy ,µ|» ÊmÁy .dY Ã| ¹Zn¿Y ¶¬f» ÉYmY 10 µ|» ¾ËY
(11) ÉZŶ° { \Ìee Ä] ½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÉZy ÊmÁy Á ʬ̬u
MSE (Mean ÉZy ¾Ì´¿ZÌ» lËZf¿ .|¿YÃ| Ã{Y{ ½Z¿ (12) Á
0 . 030862 u ( k 1) 0 . 014086 u ( k 2 )
ʧ{Ze µZÀ´Ì Y Ã{Z¨fY Z] Ã{Y{ Ŀ¼¿ 400 {Y| e d·Zu ¾ËY {
ÉYmY 10 { ½Â»M Á »M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] Square Error)
Ä] µÁY Ã{Y{ 200 z] ¾ËY { .|¿YÃ| |Ì·Âe (1 Ze -1 ÃZ] {) u(k)
»M ÉZÅw¿ d·Zu ¾ËY { .|¿YÃ| Ã{Y{ ½Z¿ (7) µÁ|m { ¶¬f»
Ã{Y{ ½YÂÀ Ä] Ã|¿Z¼Ì«Z] Ŀ¼¿ 200 Á Ã| Ã{Z¨fY »M Ã{Y{ ½YÂÀ
.|¿YÃ| [Zzf¿Y 0.2 Á 0.2 Z] ]Y] \Ìee Ä] ɻSPM Á ɻFIS
SPMFIS ZfyZ Ä] É{ÁÁ Y{] µ|» ¾ËY { .|¿ÂÊ» Ã{Z¨fY ½Â»M
Ã{Z¨fY Á { ºfÌ ÊËZZÀ ¶WZ» Ä̸¯ { į dY ¯} ¶]Z«
{ x=[y(t), y(tͲ1), y(tͲ2), u(t), u(tͲ1), u(tͲ2)] c Ä]
Ì·Z¿M Y Ã{Z¨fY Z] ʳËÁ ÅZ¯ ÃY¼Å Ä] ÄËÓ |Àq Ê^ Ä°^ Y
į SPMFIS Á SPMFIS ZfyZ Á{ Y ¾ÌÀr¼Å .{ÂÊ» Äf§³ ¿
¿ { ʳËÁ Ä Z] ]Y] Ã| kYzfY ÉZÆ̳ËÁ {Y| e ,ÄËZa Ĩ·Â»
¾ËY { .dY Ã| Ã{Z¨fY |¿YÃ| Ã{Y{ ËZ¼¿ (8) Á (7) ÉZŶ° {
.dY Ã| Äf§³
3
2
ÊmÁy Y ¶Zu lËZf¿ .dY Ã| ¹Zn¿Y ¶¬f» ÉYmY 10 Ì¿ d·Zu
1
ÉY] µ|» ÊËZZÀ Y ¶Zu ÉZy Á ºfÌ Ê «YÁ ÊmÁy ,µ|»
Actual output
SPMFIS output
0.8
0.6
.|¿YÃ| Ã{Y{ ËZ¼¿ (14) Á (13) ÉZŶ° { SPMFIS3 ZfyZ
0.4
ÊËZZÀ ¦¸fz» ÉZÆÁ µZ¼Y Y ¶Zu MSE ÉZy lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ»
Output
0.2
-w¿ d·Zu ¾ËY { .dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ (8) µÁ|m { 2 µ|» ÉY]
0
-0.2
.|¿YÃ| [Zzf¿Y 0.1 Á 0.2 Z] ]Y] \Ìee Ä] ɻSPM Á ɻFIS »M ÉZÅ
-0.4
-0.6
-0.8
0.1
Actual output
SPMFIS output
0.08
-1
0
20
40
60
80
0.06
100
120
Data (k)
140
160
180
200
(1 µ|») ½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] µ|» ÊmÁy Á Ê «YÁ ÊmÁy :11¶°
0.04
Output
0.02
0.5
0
0.4
-0.02
0.3
-0.04
0.2
-0.06
0.1
-0.1
0
20
40
60
80
100
120
Data (k)
140
160
180
Output
-0.08
200
0
-0.1
-0.2
(2 µ|») ½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] µ|» ÊmÁy Á Ê «YÁ ÊmÁy :13¶°
-0.3
0.1
-0.4
0.08
-0.5
0
20
40
60
80
0.06
100
120
Data (k)
140
160
180
200
(1 µ|») ½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] µ|» ÊmÁy ÉZy :12¶°
0.04
Error
0.02
0
1 µ|» ÉY] ¦¸fz» ÉZÆÁ Y ¶Zu lËZf¿ ½ZÌ» ÄËZ¬» :7 µÁ|m
-0.02
-0.04
Network
e Train
e Test
Epoch
Structure Parameter
-0.06
MLP
2.93eͲ2
2.82eͲ2
1000
5Ͳ8Ͳ1
82
-0.08
PCAͲMLP
3.47eͲ3
5.29eͲ3
1000
3Ͳ5Ͳ1
38
RBF
1.06eͲ3
1.95eͲ3
500
20
120
-0.1
0
20
40
60
80
100
120
Data (k)
140
160
180
(2 µ|») ½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] µ|» ÊmÁy ÉZy :14¶°
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
200
ANFIS
SPMFIS
2
2.98eͲ4
4.63eͲ3
100
16
96
3.05eͲ4
4.13eͲ4
100
4
36
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
24
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
2 µ|» ÉY] ¦¸fz» ÉZÆÁ Y ¶Zu lËZf¿ ½ZÌ» ÄËZ¬» :8 µÁ|m
Actual output
SPMFIS output
Network
e Train
e Test
Epoch
Structure Parameter
MLP
1.71eͲ3
1.83eͲ3
1500
8Ͳ12Ͳ1
177
0.4
PCAͲMLP
2.82eͲ4
3.21eͲ4
1500
5Ͳ7Ͳ1
70
0.2
RBF
1.46eͲ4
1.74eͲ4
1000
25
200
ANFIS
9.90eͲ5
1.17eͲ4
100
64
472
1
0.8
Output
0.6
0
-0.2
-0.4
-0.6
SPMFIS
2
8.75eͲ5
7.57eͲ5
100
4
44
SPMFIS
3
7.19eͲ5
5.40eͲ5
100
8
80
-0.8
-1
0
100
200
300
400
500
600
Data (k)
700
800
900
1000
Z] Êy Ì£ ]Ze ®Ë z] ¾ËY { Ã| s» µ|» ¾Ì»Â
[47] |Z]Ê» Ë cÓ{Z »
(3 µ|») »M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] µ|» ÊmÁy Á Ê «YÁ ÊmÁy :15¶°
y k 1
1
0.8
f ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 )
0.6
(26)
f ( y k , y k 1 , y k 2 , u k , u k 1 )
0.4
x1 x 2 x 3 x 5 ( x 3 1) x 4
1 x 22 x 32
(27)
Output
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
100
200
300
400
500
600
Data (k)
700
800
900
1000
uk
(3 µ|») »M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] µ|» ÊmÁy ÉZy :16¶°
3 µ|» ÉY] ¦¸fz» ÉZÆÁ Y ¶Zu lËZf¿ ½ZÌ» ÄËZ¬» :9 µÁ|m
Network
e Train
MLP
7.71eͲ3
PCAͲMLP
2.85eͲ3
RBF
4.82eͲ4
° sin( S k )
0 k 250
25
°
°
°
250 d k 500
° 1 .0
°
°
°
500 d k 750
® 1 .0
°
°
Sk
Sk
Sk
) 0 . 1 sin(
) 0 . 6 sin(
)
° 0 . 3 sin(
25
32
10
°
°
°
750 d k 1000
°
°
¯
Structure
Parameter
½YÂÀ Ä] Ê´¼Å į |¿YÃ| |Ì·Âe Ã{Y{ Ŀ¼¿ 1000 d·Zu ¾ËY {
1000
7Ͳ10Ͳ1
133
ZfyZ Ä] É{ÁÁ Y{] .|¿YÄf§³ Y« Ã{Z¨fY {» »M Ã{Y{
1000
4Ͳ7Ͳ1
59
500
25
175
cÂ
Epoch
Ä]
Ã|
s»
µ|»
ÉY]
SPMFIS
6.30eͲ4
100
32
212
.{ÂÊ» Äf§³ ¿ { x=[y(t), y(tͲ1), y(tͲ2), u(t), u(tͲ1)]
2
4.15eͲ4
100
4
40
3
{ \Ìee Ä] Ã| kYzfY ʳËÁ Ä Á Á{ {Y| e Z] SPMFIS ZfyZ
2.79eͲ4
100
8
74
ANFIS
SPMFIS
SPMFIS
kYzfY z] { Ã| {ZnËY cÔ¼m Ä^ Y ÊËZŵZj» ½ZËZa {
Z] Ã| ÊËZZÀ ÉZÅ ºfÌ ÉY] É̳{ZË |ÀËM§ Ê Y a Á ʳËÁ
.|¿YÃ| Ã{Y{ ËZ¼¿ (10) µÁ|m { SPMFIS2 ZfyZ Y Ã{Z¨fY
.|¿YÃ| Ã{Y{ ËZ¼¿ (8) Á (7) ÉZŶ°
lËZf¿ į dY Äf§Ë~a ¹Zn¿Y ¶¬f» ÉYmY 10 Ì¿ d·Zu ¾ËY {
Á »M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] Ê «YÁ ÊmÁy Á µ|» ÊmÁy Y ¶Zu
Á (15) ÉZŶ° { »M ÉZÅÃ{Y{ Z] µ|» ÊËZZÀ Y ¶Zu ÉZy
10 { MSE ÉZy lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ» ÃÁÔ Ä] .dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ (16)
Ã{Y{ ÉY] ½Â³Z¿Â³ ÊËZZÀ ÉZÆÁ Y Ã{Z¨fY Z] ¦¸fz» ÉYmY
ÉZÅw¿ d·Zu ¾ËY { .|¿YÃ| Ã{Y{ ËZ¼¿ (9) µÁ|m { »M
.|¿YÃ| [Zzf¿Y 0.1 Á 0.1 Z] ]Y] \Ìee Ä] ɻSPM Á ɻFIS »M
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
25
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
ºfÌ ÊËZZÀ ¶WZ» { Ã| {ZnËY cÔ¼m Ä^ Ŀ¼¿ :10 µÁ|m
1.5
Actual output
SPMFIS output
Dataset
Produced SemiͲPolynomial
X1 Ͳ0.69 x1
PlantͲ1
X2 0.09 x1
1.28
1.93
+ 0.87 x2
Ͳ 0.04 x2
0.10
1.05
Ͳ 0.87x3
+ 1.51x3
0.99
1.41
+ 0.31 x4
Ͳ 0.57 x4
1.47
0.38
1
Output
1.56
1.21
2.24
1.44
2.19
2.18 x1 + 1.14 x2 + 0.21x3 Ͳ 1.27 x4 + 0.54 x5 +
2.18
1.26 x6
1.60
1.16
1.51
2.04
0.98
0.93 x1 + 1.34 x2 Ͳ 0.85x3 Ͳ0.06 x4 Ͳ 0.22 x5 +
X2
1.36
0.19 x6
X1
PlantͲ2
0.5
X1 0.38 x1
Ͳ0.31
PlantͲ3
0
50
100
150
200
250
300
Data (k)
350
400
450
X2 Ͳ0.47 x1
500
(
Ô³-Ê°») ½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] µ|» ÊmÁy Á Ê «YÁ ÊmÁy :17¶°
+ 0.11 x2
+ 0.13x3
0.17
Ͳ 0.48x3
1.79
1.86
Ͳ1.75 x4
Ͳ0.22 x4
0.82
1.87
+ 0.16 x5
+ 0.25 x5
0.69
0.98
{ ½Â»M ]Ze ½YÂÀ Ä]
Ô³-Ê°» ZÀ]ÂM Ê¿Z» É
0.4
ʧ » ÉZÆÁ ÊËYZ¯ Ê] ÂÀ» Ä] ZÆÅÁa Á cÓZ¬» Y ÉZÌ]
0.3
0.2
Ô³-Ê°» ZÀ]ÂM Ê¿Z» É .dY Äf§³ Y« Ã{Z¨fY {» Ã|
0.1
Output
0.63
Ô³-Ê°» Ê¿Z» É ÊÀÌ]Ìa -3-5
0.5
:{ÂÊ» |Ì·Âe Ë ¶Ì¿Y¨Ë{ Ä·{Z » Y Ã{Z¨fY Z]
0
-0.1
dx ( t )
dt
-0.2
-0.3
ax ( t W )
1 x 10 ( t W )
bx ( t )
(28)
Y|¬» į Êf·Zu { .|ÀZ]Ê» b=1 Á a=0.2 ©Â§ Ä]Y { į
-0.4
-0.5
+ 0.52 x2
0.66
0
50
100
150
200
250
300
Data (k)
350
400
450
ÄÌ^ { .|Å{Ê» ½Z¿ {Ây Y ZÀ]ÂM Zf§ ©Â§ Ä·{Z » |Z]ʏ>17
500
(
Ô³-Ê°») ½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÉY] µ|» ÊmÁy ÉZy :18¶°
Äf§³ ¿ { 30 Z] ]Y] Y|¬» ¾ËY Ä·Z¬» ¾ËY { Ã| ¹Zn¿Y ÉZÅÉZ
É ÊÀÌ]Ìa ÉY] ¦¸fz» ÉZÆÁ Y ¶Zu lËZf¿ ½ZÌ» ÄËZ¬» :11 µÁ|m
Y Ã{Z¨fY Z] x(t+6) Y|¬» ÊÀÌ]Ìa ¥|Å Ä ·Z» ¾ËY { .dY Ã|
Ô³-Ê°» Ê¿Z»
Á x(tͲ30), x(tͲ24), x(tͲ18), x(tͲ12), x(tͲ6)
ÉZÅ̤f»
Network
e Train
e Test
Epoch
Structure Parameter
MLP
1.45eͲ2
1.27eͲ2
1500
8Ͳ12Ͳ1
177
PCAͲMLP
7.23eͲ3
1.06eͲ2
1500
5Ͳ7Ͳ1
70
RBF
3.62eͲ3
3.59eͲ3
1000
30
240
ANFIS
1.21eͲ3
1.36eͲ3
100
64
472
2
1.92eͲ3
1.89eͲ3
100
4
44
ÉZÅÃ{Y{ ½YÂÀ Ä] Ã|¿Z¼Ì«Z] Ŀ¼¿ 500 Á »M Ã{Y{ ½YÂÀ Ä] µÁY
3
1.59eͲ3
1.47eͲ3
100
8
80
Ã{Z¨fY SPMFIS ÉZÅÄ°^ ZfyZ .|¿YÄf§³ Y« Ê] {» ½Â»M
SPMFIS
SPMFIS
®Ë c Ä] ½YÂeÊ» Y Ä·Z» ¾ËY
ZY ¾Ì¼Å ] .|Z]Ê»x(t)
.d§³ ¿ { ÊmÁy-1 Ä] É{ÁÁ-6 dZ´¿
Ŀ¼¿ 500 .dY Ã| Ã{Z¨fY ÉZÄÌ^ ¾ËY { Ã{Y{ Ŀ¼¿ 1000
(7) ÉZŶ° { \Ìee Ä] Ã| kYzfY ʳËÁ Ä Á Á{ {Y| e Z] Ã|
kYzfY z] { Ã| {ZnËY cÔ¼m Ä^ Y Ê·Zj» ½ZËZa {
ÉZy Á Ê «YÁ ÊmÁy ,µ|» ÊmÁy .|¿YÃ| Ã{Y{ ËZ¼¿ (8) Á
Ê¿Z» É ÊÀÌ]Ìa ÉY] É̳{ZË |ÀËM§ Ê Y a Á ʳËÁ
(18) Á (17) ÉZŶ° { ½Â»M ÉZÅÃ{Y{ ÊËZZÀ { µ|» Y ¶Zu
(12) µÁ|m { SPMFIS ZfyZ Y Ã{Z¨fY Z]
Ô³=Ê°» ZÀ]ÂM
c ¦¸fz» ÉYmY 10 Ì¿ ÉZ ÄÌ^ ¾ËY { .|¿YÃ| Ã{Y{ ½Z¿
.dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿
{ ZÆÁ ËZ Z] ÄËZ¬» { MSE ÉZy lËZf¿ ¾Ì´¿ZÌ» į dY Äf§³
2
Á ɻFIS »M ÉZÅw¿ d·Zu ¾ËY { .dY Ã{Y{ ½Z¿ (11) µÁ|m
Ê¿Z» É ÊÀÌ]Ìa ĸX» { Ã| {ZnËY cÔ¼m Ä^ Ŀ¼¿ :12 µÁ|m
.|¿YÃ| [Zzf¿Y 0.1 Á 0.1 Z] ]Y] \Ìee Ä] ɻSPM
Ô³-Ê°»
Dataset
Produced SemiͲPolynomial
0.53
Ͳ0.03
0.61
1.20
1.58
0.39 x1 Ͳ 0.49 x2 Ͳ 0.97x3 + 0.47 x4 Ͳ 0.70 x5 Ͳ
X1
0.55
1.00 x6
MackeyͲ
0.05
1.40
1.73
1.27
1.08
Glass
0.92 x1 + 0.02 x2 Ͳ 0.90x3 Ͳ1.11 x4 Ͳ 0.09 x5 Ͳ
X2
1.31
0.01 x6
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
26
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
[3] Lin CK, Wang SD, “Fuzzy system identification
using an adaptive learning rule with terminal
attractors”, J. Fuzzy Sets Syst., 1999, pp. 343–352.
[4] Kang SJ, Woo CH, Hwang HS, Woo KB,
“Evolutionary design of fuzzy rule base for nonlinear
system modeling and control”, IEEE Trans. Fuzzy
Syst., 2000, Vol. 8, No. 1, pp. 37–45.
É̳ÄnÌf¿ -8
{ ½M {]Z¯ Á | ʧ » SPMFIS Ä°^ ZfyZ Ä·Z¬» ¾ËY {
Ê] {» Ê¿Z» É ÊÀÌ]Ìa Á ºfÌ ÊËZZÀ ,´·Y É|À]
Ô¯
Ä] ÉYĸ¼m |Àq Ä^ Ã{Y{ dZ´¿ ,Ã| s» Á { .d§³ Y«
[5] Huang YP, Wang SF, “Designing a fuzzy model by
adaptive macroevolution genetic algorithms”, Fuzzy
Sets Syst., 2000, Vol. 113, pp. 367–379.
É{ÁÁ z] { ʳËÁ kYzfY Á É{ÁÁ Ã{Y{ {Z ]Y ÅZ¯ ÂÀ»
[6] Wu TP, Chen SM, “A new method for constructing
membership functions and fuzzy rules from training
examples”, IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. B,
Cybern., 1999, Vol. 29, No. 1, pp. 25–40, Feb. 1999.
ÄËZa ] »M Á SPM z] ÉZÅf»YZa Ì¿ Á ANFIS Ä°^
[7] Abraham A, “EvoNF: A framework for optimization
of fuzzy inference systems using neural network
learning and evolutionary computation”, In Proc. of
the 17th IEEE Int. Symp. Intelligent Control, 2002,
pp. 327–332.
[8] Denna M, Mauri G, Zanaboni AM, “Learning fuzzy
rules with tabu search-an application to control”,
IEEE Trans. Fuzzy Syst., 1999, Vol. 7, No. 2, pp.
295–318.
[9] Raju GV, Zhou J, “Adaptive hierarchical fuzzy
controller”, IEEE Trans. Syst., Man, Cybern., 1993,
Vol. 23, No. 4, pp. 973–980.
[10] Wang LX, “Analysis and design of hierarchical
fuzzy systems”, IEEE Trans. Fuzzy Syst., 1999, Vol.
7, No. 5, pp. 617–624.
[11] Fern´andez A, Del Jesus MJ, Herrera F, “Analysing
the Hierarchical Fuzzy Rule Based Classification
Systems with Genetic Rule Selection”, In Proc. of
the Fourth International Workshop on Genetic and
Evolutionary Fuzzy Systems, 2010, pp. 69-74.
[12]
Huwendiek O, Brockmann W, “Function
approximation with decomposed fuzzy systems”,
Fuzzy Sets Syst., 1999, Vol. 101, pp. 273–286.
ÉZÅf»YZa »M ÂÀ» Ä] ¾ÌÀr¼Å .{̳ʻ Y« ANFIS Ä°^
Y Ã{Z¨fY ÉZËY» ¾Ëf¼Æ» Y Ê°Ë .| s» Ê·Á¿ ½ZË{Y³ ºfË´·Y
,{¨À» ÉZ§ ÉZźfÌ µÁY|f» ÉZÆÁ ]Y] { SPMFIS ZfyZ
ZÌ] ÌiZe »Y ¾ËY į |Z]Ê» ÉZ§ ¾Ì¿Y« {Y| e {ZË ZÌ] ÅZ¯
{» ZfyZ ÉZ Ã{ZÌa ÉY] ZÌ¿ {» ½Z» Á ħZu ½YÌ» { É{ZË
\^ Ä] Y ÉZ§ ºfÌ { ÉË~ąe d̸]Z« ¾ËY ] ÃÁÔ Á ÄfY{ ¿
Ä] .|ËZ¼¿Ê» ¨u ÊËÓZ] |u Ze ¾Ì¿Y« Y ¾°¼» {Y| e ¾Ëf¼¯ {ÂmÁ
Ä°^ ÊËYZ¯ ,¾Ì¿Y« {Y| e {
Âv» ZÌ] ÅZ¯ {ÂmÁ Z] ,ÃÁÔ
.{ÂÊ» ¨u ÊËÓZ] |u Ze ANFIS ÉZ§ ºfÌ ]Y] { Ã| ʧ »
É{ÁÁ {Y| e Z] ÊËZźfÌ ÉY] ÉZ§ ºfÌ ÉZÅf»YZa Á |Y« {Y| e
¾ËY Y Y ÉZ Ã{ZÌa Á dËË|» ½Z°»Y Êfu į Ã| {ZË c| Ä] ÓZ]
ÅZ¯ Á |À¯ {°¸¼ \^ »Y ¾ËY į |ËZ¼¿Ê» \¸ ¾Ì¿Y« ļn»
lËZf¿ .| |ÅYÂy ÉZ§ ºfÌ Â»M ½Z» { ÊËY´¼Å d
Ê^ZÀ» ZÌ] ÊËYZ¯ Ã| s» ÉZ§ ºfÌ Ä¯ |Å{Ê» ½Z¿ ¶Zu
Á RBF ÉZÅÄ°^ ,MLP ÉZÅÄ°^ ¶Ì^« Y µÁY|f» ÉZÆÁ ]Y] {
½YÂÀ Ä] .{Y{ ÊÀÌ]Ìa Á ÊËZZÀ ,É|À]
Ô¯ { ANFIS ZfyZ
ÄWYY ,Ã| s» Á {°¸¼ ÉZ ÄÀÌÆ] ÂÀ» Ä] {°ËÁ ®Ë
Á Ã| kYzfY ÉZÆ̳ËÁ {Y| e Z¯{Ây [Zzf¿Y ÂÀ» Ä] ÉZ°ÅY
|¿YÂeÊ» SPM ZfyZ Y ¹Á{ z] { ZŽ\ˬe ËZ Y Ã{Z¨fY Ì¿
[13] Wang D, Zeng XJ, Keane JA, “Intermediate
Variable Normalization for Gradient Descent
Learning for Hierarchical Fuzzy System”, IEEE
Trans On Fuzzy Systems, 2009, Vol. 17, No. 2, pp.
468-476.
.{̳ Y« Ê] {»
[14] Rainer H, “Rule generation for hierarchical fuzzy
systems”, In Proc. of Annu. Conf. North American
Fuzzy Information Processing, 1997, pp. 444–449.
[1] Gan Q, Harris CJ, “Fuzzy local linearization and
logic basis function expansion in nonlinear system
modeling”, IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. B,
Cybern., 1999, Vol. 29, No. 4, pp. 559–565.
[15] Masmoudi NK, Rekik C, DJemel M, Derbel N,
“Optimal Control for Discrete Large Scale
Nonlinear Systems using Hierarchical Fuzzy
Systems”, In Proc. of the Second International
Conference on Machine Learning and Computing,
2010.
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
mY»
[2] Shi Y, Eberhart R, Chen Y, “Implementation of
evolutionary fuzzy systems”, IEEE Trans. Fuzzy
Syst., 1999, Vol. 7, No. 2, pp. 109–119.
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
27
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
Pattern Anal. Mach. Intell., 2005, Vol. 27, No. 3,
pp. 328–340.
[32] Belhumeur PN, Hespanha JP, Kriegman DJ,
“Fisherfaces: recognition using class specific linear
projection”, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach.
Intell., 1997, Vol. 19, No. 7, pp. 711–720.
[33] Li H, Jiang T, Zhang K, “Efficient and robust
feature extraction by maximum margin criterion”,
IEEE Trans. Neural Networks, 2006, Vol. 17, No. 1,
pp. 157–165.
[34] Turk M, Pentland A, “Face recognition using
eigenfaces”, In Proc. of the Computer Vision and
Pattern Recognition, 1991.
[35] Yang J, Frangi AF, Yang YJ, Zhang D, Jin Z,
“KPCA plus LDA: A complete kernel fisher
discriminant framework for feature extraction and
recognition”, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach.
Intell., 2005, Vol. 27, No. 2, pp. 230–244.
[36] Yang Y, Pedersen JO, “A comparative study on
feature selection”, In Proc. of ACM International
Conference on Research and Development in
Information Retrieval, 1999, pp. 42–49.
[37] Mao J, Jain AK, “Artificial neural networks for
feature selection and multivariate data projection”,
IEEE Trans. Neural Networks, 2005, Vol. 6, No. 2,
pp. 296–317.
[38] Kohavi R, John GH, “Wrappers for feature subset
selection”, Artif. Intell. 1997, Vol. 97, pp. 273–324.
[39] Webb AR, “Statistical Pattern Recognition”,
Second edition. John Wiley & Sons, 2002.
[40] Hettich S, Blake CL, Merz CJ, UCI repository of
machine learning databases. Available at
http://www.ics.uci.edu/~mlearn/MLRepository.html,
1998.
[41]
Duda RO, Hart PE, Stork DG, “Pattern
Classification”, Second edition. John Wiley & Sons,
2001.
[42] Fukunaga K, “Introduction to Statistical Pattern
Recognition”, Second edition. Academic Press,
1990.
[43] Kim J, Chung J, “Reduction of Dimension of HMM
parameters using ICA and PCA in MLLR
Framework for Speaker Adaptation,” Eurospeech,
Geneva, 2003.
[44] Altman DG, “Diagnostic tests. 1: Sensitivity and
specificeity,” Bland JM, 1994, p. 1552.
[45] Sakaguchi A, Yamamoto T, “A study on system
identification using GA and GMDH network”, In
Proc. of the 29th Annual Conference of Inductrial
Electronic Society, IECON, 2003.
[46] Pham DT, Karaboga D, “Training elman and jordan
networks for system identification using genetic
algorithms”, Artif. Intell. Eng., 1999, Vol. 13, pp.
107–117.
[47] Narendra KS, Parthasarathy K, “Identification and
control of dynamical system using neural networks”,
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
[16] Brown M, Bossley KM, Mills DJ, Harris CJ, “High
dimensional neurofuzzy systems: Overcoming the
curse of dimensionality”, In Proc. of the 4th Int.
Conf. Fuzzy Systems, 1995, pp. 2139–2146.
[17] Babuska R, “Fuzzy modeling and identification”,
Ph.D. dissertation, Univ. Delft, Delft, The
Netherlands, 1996.
[18] Angelov P, Filev D, “An approach to online
identification of Takagi–Sugeno fuzzy models”,
IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. B, Cybern., 2004,
Vol. 34, No. 1, pp. 484–498.
[19] Abraham A, “Adaptation of Fuzzy Inference System
Using Neural Learning, Fuzzy System Engineering:
Theory and Practice”, Springer-Verlag, 2005, Ch. 3,
pp. 53–83.
[20] Duan JC, Chung FL, “Multilevel fuzzy relational
systems: Structure and identification”, Soft Comput.,
2002, Vol. 6, pp. 71–86.
[21] Joo MG, Lee JS, “A class of hierarchical fuzzy
systems with constraints on the fuzzy rules” , IEEE
Trans. Fuzzy Syst., 2005, Vol. 13, No. 2, pp. 194–
203.
[22] Paulo S, “Clustering and hierarchization of fuzzy
systems”, Soft Comput. J., 2005, Vol. 9, No. 10, pp.
715–731.
[23] Chen MY, Linkensm DA, “A systematic neurofuzzy modeling framework with application to
material property prediction”, IEEE Trans. Syst.,
Man, Cybern. B, 2001, Vol.31, 781-790.
[24] Wang LX, “Universal approximation by hierarchical
fuzzy systems”, Fuzzy Sets Syst., 1998, Vol. 93, pp.
223–230.
[25] Lee ML, Chung HY, Yu FM, “Modeling of
hierarchical fuzzy systems”, Fuzzy sets and systems,
2003, Vol. 138, pp. 343-361.
[26] Jang JR, “ANFIS: Adaptive Network-Based Fuzzy
Inference System”, IEEE Trans. Sys.,Man and
Cybernetics., 1993, Vol. 23, No.3.
[27] Takagi T, Sugeno M, “Fuzzy identification of
systems and its application to modeling and
control”, IEEE Trans. Syst. Man, Cybern., 1985,
Vol. SMC-15, No. 1, pp. 116–132.
[28] Kasabov N, Song Q, “DENFIS: Dynamic, evolving
neural-fuzzy inference system and its application for
time-series prediction”, IEEE Trans. Fuzzy Syst.,
2002, Vol. 10, No. 1, pp. 144–154.
[29] Yager RR, Zadeh LA, “Fuzzy Sets Neural
Networks, and Soft Computing”, Van Nostrand
Reinhold, 1994.
[30] Kumar M, Garg DP, “Intelligent Learning of Fuzzy
Logic Controllers via Neural Network and Genetic
Algorithm”, In Proc. of JUSFA, 2004, 19-21.
[31] He X, Yan S, Hu Y, Niyogi P, Zhang H, “Face
recognition using laplacianfaces”, IEEE Trans.
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
´·Y É|À]
Ô¯ Á ºfÌ ÊËZZÀ { {]Z¯ Z] ²¿Z¯-ÂÀ³Â-ʳZ¯Ze ÉYĸ¼m |Àq Ä^ ÉZ§ ºfÌ Ê§ »
28
\· ÄÀe |¼» ,Ê·{àÉZ̸ É|Æ» ,Ê¨Ë M
[51] Yang J, Frangi AF, Yang JY, Zhang D, Jin Z,
“KPCA plus LDA: A complete kernel fisher
discriminant framework for feature extraction and
recognition,” IEEE Trans. Pattern Anal. Mach.
Intell., 2005, Vol. 27(2), pp. 230–244.
[52] Hornik K, Stinchombe M, White H, “Multilayer
feedforward networks are universal approximators,”
IEEE Trans. Neural Computation, 1996, Vol. 7(3),
pp. 776–781.
[53]
Kosko B, “Fuzzy systems as universal
approximators,” IEEE Trans. Computers, 1994, Vol.
43, pp 1329.
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
IEEE Trans. Neural Networks, 1990, Vol. 1, pp. 4–
27.
[48] He X, Yan S, Hu Y, Niyogi P, Zhang H, “Face
recognition using laplacianfaces,” IEEE Trans.
Pattern Anal. Mach. Intell., 2005, Vol. 27(3), pp.
328–340.
[49] Belhumeur PN, Hespanha JP, Kriegman DJ,
“Fisherfaces: recognition using class specific linear
projection,” IEEE Trans. Pattern Anal. Mach.
Intell., 1997, Vol. 19(7), pp. 711–720.
[50] Li H, Jiang T, Zhang K, “Efficient and robust
feature extraction by maximum margin criterion,”
IEEE Trans. Neural Networks, 2006, Vol. 17(1), pp.
157–165.
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
µfÀ¯ ĸn»
ISSN 2008Ͳ8345
29-35 Äv¨ ,1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m
Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Y ¹ZÆ·Y Z] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ Ä] ¾Ë¿ ´¿
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m
[email protected] ,Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ ,eÂÌb»Z¯ Á ©] Ê|ÀÆ» Ç|°¿Y{ ,ZË{ZfY
(1389/9/12 Ä·Z¬» Ë~a xËZe ,1389/7/2 Ä·Z¬» d§ZË{ xËZe)
,¥|Å ,Ã|¿Â \̬ e Á ,®Â» ,Ã|ÀÀ¯ \̬ e ¾Ì] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ ] º¯Zu cÓ{Z » ,\ZÀf» dËY|Å ½Â¿Z« Y ¹ZÆ·Y Z] :Ã|Ì°q
.dY Ã{Y{ ½Z¿ Y {Ây ºËY Ã{¼¿ [Zzf¿Y cÓ{Z » ¾f¿ ÉY] į ÊÅZ´f{ { ¹ZÆ·Y ¾ËY .|ÀËM Ê» d|] É| ] Ä ÉZ§ ʸ¯ d·Zu {
Á ʼ¯ Zv· Ä] Äq ¶Ì¸ve ½| ¶°» Ä] nÀ» 0Z»Â¼ ZÆ¿M ʳ|ÌrÌa ,|¿Â Äf¿ ´Ë{ ÉZÆÅZ´f{ { É̳{ È|ÀÅ cÓ{Z » Är¿ZÀq
eZ˳ Á Ã{Z ½ZÀr¿M ,|¿Â Äf¿ ,ºËYÃ|Ì»Z¿ |Ë{ y ÃZ´f{ Y¿M Z» į ÊÅZ´f{ { cÓ{Z » ¾ËY Êf«Á .{{³Ê» ʨ̯ Zv· Ä] Äq
Z´ÅY |À¿YÂeÊ» ,\̬ e dËY|Å { eÄf§Ìa ÉZÆÁ {ZÆÀÌa ÉY] ºÅ Á |ÀÅ{Ê» d|] Ã|¿] ÉY]Y ,¶Ì¸ve ÉY] ºÅ į | |ÀÅYÂy
..dY Ã|»M lËZf¿ ºÅY į |À¯Ê» øm ZÌ] PN Á d·Ó{ Á ¶Ì¸ve { ºÆ» ¾ËY Âz] .|ÀZ]
.|Ë{ y , É̳{ Èv¨ ,\ZÀe É]ÁZ¿ , ˳ Á \̬ e :É|̸¯ cZ¼¸¯
New Insight in the Pursue-Escape Geometry by the Inspiration
of PN Guidance
Jafar Heyrani Nobari
Abstract: By the inspiration of PN guidance law, the equations of the pursue-escape geometry
in the general form of the three dimensional space, are derived. This inspiration shows itself in the
coordination which is selected for deriving the equations. Whenever these equations are derived in
the other coordination, the complexity causes the difficulty of the analysis and the insight. When the
equations are derived in the coordination which we name the LOS coordination, these are became
so easy and expressive that give skilled tools for analysis and can open the ways for proposal of the
modern guidance law. In particular, this issue display in the analysis and the reasoning of the PN
guidance law which the important results were given.
Keywords: Pursue-escape, Proportional Navigation, Surface of Confront
|Ë{ y ÃZ´f{ { ÊÀËY Ä] d^¿ ¥|Å d 5½ZÌ]
L
v t ,ÊÀËY Ä] d^¿ |Ë{ y ÃZ´f{ Ê¿YÁ{ d Z LI
L
|Ë{ y >ÃZ´f{ >|Ë{ Y ÄÂ]» 5Y{] 5½Z» Ä] d^¿ ªf» PL r ,|Ë{ y ÃZ´f{ { ÊÀËY Ä] d^¿ ®Â» d 5½ZÌ] v m
L
dY Ã| ½ZÌ] |Ë{ y ÃZ´f{ { į ÄÂ]» 5Y{] ÉZÅĨ·R» 5½Z» Ä] d^¿ ªf» P r
Ê¿Z/¯ ÉY/] ºÅ d̼ÅY ¾ËY .dY Y{Ây] É{ZË d̼ÅY Y ,{Ë~bÌ»
Ä»|¬» -1
ÉY/] º/Å Á |/ÀÀ¯ Ã{Z¨f/Y dËY|/Å { Á ¾ËY Y |ÀÅYÂyÊ» į dY
d/ ¾f/Y{ Ä´¿ ¨ { Ê ,Ê^ZÀe É]ÁZ¿ Á ʸY Ç|ËY
Ç|/ËY 0Z/¿ZÌuY Á Ã{/¯ Ê/] Y dËY|Å ¾ËY ÉZËY» |ÀÅYÂzÌ» į Ê¿Z¯
ÉÂËZÀ// { Ã|//ËY ¾//ËY µZ//¼Y Z//] Ä//r¿M { .d//Y |//Ë{ //y ½YÁ{
.|ÀÀ¯ ÄWYY É|Ë|m
cÂ/ (®/») Ã|/ÀÀ¯ \̬ e Á (¥|Å) Ã|¿Â \̬ e ¾Ì] É̳{
Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ,µfÀ¯ ĸn»
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m :cZ^eZ°» Y{ Ã|Æ Ã|ÀË¿
Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Y ¹ZÆ·Y Z] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ Ä] ¾Ë¿ ´¿
30
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m
į ʸ»Z¯ Ê·Á Ã{Z cÓ{Z »
ZY ] į dY ʨ̯ 5¶Ì¸ve f¼Æ» ļÅ
ª/̼ { į |ÀËMÊ» d|] ÉY Ŀ´] É̳{ >cÓ{Z » 0Z»Â¼
ÉY//] ,d//·Zu ÉZ//Å/̤f» Á Z//§ Èv¨// ¹Â/ƨ» ®//¼°] Á Ã|//»Md/|]
Ê/Y§Y ÉZ Ã{Z |¬¿M ZË Á [1] {{³Ê» ¶°» ,|f§YÊ» ©Z¨eY Är¿M
.dY Ã|Ë{³ ÄWYY {Ây] 5ÊnÀ½Z°»Y
ÃÂ/¸m °/» ,Ê/¸¯ >d/·Zu Z/] Ä/]Y { ,lËZf¿ į {Ë~aÊ» cÂ
Ä/¯ ÊZY cÓ{Z » ¬§ Á ʸY Ç|ËY 2z] { Y|f]Y Ä·Z¬» ¾ËY {
{ 0Z/ «YÁ Ä/r¿M Z/] Äv¨/ { ĸZu lËZf¿ dY ¾°¼» ZË Á [2] |À¯Ê»
,Äv¨/ { ,|/À¯Ê» ªËÂe |Ë{ y Ä] Ã|Ì^q cZfz» {ZnËY Ä] Y Z»
Ä°Ì»Z´ÀÅ .[3] |À¿ ¿ Ä] ¥Z¨ Z^eY ®Ë ÉYY{ |f§YÊ» ©Z¨eY Z§
¦/Ë e 0Z/¬Ì«{ Z/§ { |/Ë{ y cZfz» 3z] { Á {{³Ê» ÄWYY
È/|ÀÅ Á ºÌ/À¯ µZ/^¿{ eÉ{]Z¯ c Ä] | 9] 3 { Y ĸX» ºÌÅYÂz]
Á Z/Å[Zf/ 5\/u /] É/̳{ >cÓ{Z/ » 4/z] { b/ .{{³Ê»
Â/» ¾/ËY ,ºÌÀ¯ ÉÌ´Ìa dËY|Å ºfË´·Y ¿ Y ¶¬f» Y É̳{
.{{/³Ê/» Ä/WYY Á Ã|»M d{ Ä] cZfz» ¾ËY { ʸ¯ d·Zu cÓ{Z »
ZÆÀe |¿YÄfyY{a PN dËY|Å Ä] į Ê mY» Y ÉZÌ] { .{ÂÊ» eºÆ»
Ã{Y{ Z/Åd/ Y ¶¬f/» É/̳{ È/|ÀÅ cÓ{Z/ » 5z] { ÃZ´¿M
®/Ë /f¼¯ Á d/Y Äf§³ Y« ¿ |» ½M Y ÊZy d·Zu ®Ë Ê]
Ê/¨Ì¯ s/ ,Ã|/»M d/{ Ä/] cÓ{Z/ » Ä] ÄmÂe Z] 6z] { .|¿ÂÊ»
.{ÂÊ» Ã|ÅZ» ½M ÉZÅf»YZa Ä] ½|Ì Á É̳{ ÉY] ʸ¯ È|ÀÅ
dËY|/Å ½Â¿Z/« 5Ê/ËYq , 7z] { b .{ÂÊ» ÄWYY ZÆ¿M { ÉY]
,Äf/¿ ¾/ËY lËZf¿ Ä] ½|Ì ½Z» Ze Ã|¿Z´¿ ÉZÅÂnfm Ä°ÌËZm Ze
.dY Ã| Ã{ÁM ,Ã|»M d{ Ä] cÓ{Z » Ä] ½M µZ¼Y Á Ê^ZÀe É]ÁZ¿
dËY|/Å 0Z¼ ½M { į dY ÉYÃ| fÀ» È·Z¬» ¾Ì·ÁY [2] ,Ã{¼¿ |ËZ
ÉZ/§ Ä/] ½Z/Ì] ¾ËY [4] { .dY Äf³ ½ZÌ] ʨ̯ 0Ô»Z¯ ÊeÂ] Á PN
|Ë{ y Ä] Ã|Ì^q cZfz» ʸY Ç|ËY -2
Z/] Ze Ã{¼¿ Ê Á Ã{Y~³ [4] Ê¿Z^» ] Y Z¯
ZY Ì¿ [5] .dY Ã|
Äv¨ {
Ê/] {Â/» 1¶°/ ª/^ Y Äv¨ { d¯u Ç{Z d·Zu Y|f]Y
Z/v· |/Ë{ y {Y|f»Y { |Ë{ y >cZfz» 5Âv» ®Ë .ºÌÅ{Ê» Y«
1¶°/ { .{Â/] |/ÅYÂy ½M /] {Â/¼ 0Z/f Ì^ Ì¿ ´Ë{ Âv» .{{³Ê»
,(/m»)ÊÀËY cZfz» Ä] d^¿ ®Â» Á ¥|Å d ÉZŠĨ·Â»
µÂ/ve ËY/ 0ZÀ¼/ .|¿YÃ| ÄfY~³ ËZ¼¿ Ä] ,|Ë{ y cZfz» {
Ã|/»M { ËZ¼¿ Ä] ¶° { Ì¿ ®q¯ Ê¿Z» ȸZ§ ®Ë Y a ,Äf§ZË
Á ®/» ȸ/Z§ cY/Ì̤e Á |/Ë{ /y È/ËÁY cYÌ̤e ½M { į dY
:dY kZfÀfY ¶]Z« Ë ]YÁ \Ìee ¾ËY Ä] .|¿ÂÊ» Ã|Ë{ Ì¿ ¥|Å
ta n ' O
(vt 2 vm 2 )' t
R ( v t1 v m 1 ) ' t
't o 0
'O
o
(vt 2 vm 2 )
R
O
R
vt1 vm1
ÊeZ/j¸j» cYZ^ Y ½{Â] Ã|À¯M ¶Ì·|] į |À¯ ÊnÀZf§ ¥Â¿ZaZÌ· ÃZ´¿
{ Y Âv» ®Ë |Àq Å [6] { .{]Ê» l¿ ʳ|ÌrÌa Y {| f» ÉZËYÁ
¯¼f» É̳{ ½ZËZa Ä] ¬§ Ä»Y{Y { ½Âq Ê·Á Äf§³ |Ë{ y ÉZfY
kZ/y Ê/¸¯ d/·Zu Y » Y~· Á Äf§³ ¨ Y ¥|Å d ,Ã|
½Â/q Ê/·Á Ã| Ã|À] É| ] Á{ ¶Ì¸ve Ä] |ÀqÅ [7] { .dY Ã|Ë{³
Ã|»M Ìa ÊeZj¸j» ¶¨» cYZ^ ºÅ Z] dY ÊÀËY cZfz» { ½ZÌ]
¶/u Ã{/¯ Ê / Ä/¯ cÁZ¨e ¾ËY Z] Ã{¯ Z¯ Ä]Z» Â] Ì¿ [8] .dY
/] ¶/u { Ê / Ê/·Á Ã|Ë{³ Z£M Ä]Z» Â] [9] { .|À¯ ÄWYY Äf]
cÁZ/¨e ¾/ËY Z] dY Ä]Z» Ì¿ [10] .dY Ã| (tgo)"¾f§ 5½Z»"
ZY
d/|] ¶Ë|/^e ]Z/e ,Z/^¬¿Y Ç|/ËY Á ®Â» d ¾f§³ d]Zi Z] į
(vt 2 vm 2 )' t
R
ÉZÅÁ Á Äf§³ Ìa Äv¨ { Y Ê^« cZfz» [11] .dY Ã{ÁM
Á{ /Ì¿ [12] .dY Ã{¼¿ ÄWYY
ZY ¾Ì¼Å ] dËY|ŠȬ¸u ÉY] Y ÄÀÌÆ]
(1)
:ºËY{ ʳ|¿Â ®Ë{¿ d ÉY] ´Ë{ ¥ Y
vc
Ã{Z¨f/Y ®/» Ì/» >cZ/fz» Y Á d/Y Ã| Ã{Y{ ºÌ¼ e É| ] Ä
Á Ã{Z/ È/ÀÌÆ] ¶/u ¿Z/» ½Á|/] ¥|Å § Z] Ê·Á dY ÊeZ¯{ 5É| ]
[13] Á [1] .d/Y Ã{Â/¼¿ ÄWYY ʸ¨» ÈÀÌÆ] ¶u Ì¿ ¿Z» Z] ¥|Å ÉY]
(2)
vt
vt 2
0Zf^¿ É̳{ cÓ{Z » Y~· Á |¿YÃ{Y{ Y« Z¯ ÉZÀ^» Y ÉÁ¯ cZfz»
{ ,Äv¨/ { d¯u Y Ì£ Ä] Ã{¯ Ê Ì¿ [14] .dY Ã| Ã|ÌrÌa
{ ½Z/Ì] Y Z/À^» Â/ÀÅ ½Â/q Ê·Á |À¯ ÄWYY Y É̳{ cÓ{Z » Ì¿ Z§
'O
vm
vt1
R
.|]ZË d{ ÉYÃ{Z cYZ^ Ä] |¿YÂeʼ¿ ,Ã{Y{ Y« m» ÃZ´f{
Ä/nÌf¿ { Á Ã|/ Ä/f§³ ¹Z/Æ·Y PN Y Ä/¯ d/Y d{ ,ZnÀËY {
0Z/fËZÆ¿ Ê/·Á ,d/Y Ã|/ Ã|Ì/¯ Ì/a ,|/Ë{ /y Ä] Ã|Ì^q cZfz»
vm 2
vm1
|Ë{ y cZfz» { ,m» Ä] d^¿ d ÉZŠĨ·Â» :1¶°
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
Y .d/Y Ã|/ Ä/WYY É̳{ » ¶¯ Ä] ÊÀË¿ 0Zf^¿ Ê|ÀÅ 5´¿
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
31
Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Y ¹ZÆ·Y Z] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ Ä] ¾Ë¿ ´¿
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m
y ] {¼ ÉZfY { ®Â» Á ¥|Å d ³Y \Ìee ¾ËY Ä]
®Â» d ÉY] ÊuÔY pÌÅ ,|Z] ÉÁZ» ºÅ Z] ( 1 ÉZfY) |Ë{
y ÈËÁY cYÌ̤e d \Ìee ¾ËY Ä] Á {Â] |ÅYÂz¿ ¹Ó ZfY ¾ËY {
d/Y ¾/ËY Ê^ZÀe É]ÁZ¿ Á
ZY ½Âq µZu .{Â] |ÅYÂy ¨ ,|Ë{
d/ Y{/] Ä/¯ Y Êf·Zu Y~· ,|¿Z¼] d]Zi ÄËÁY ¾ËY Ze |À°Ì» Ê Ä¯
Z§ { ʸ¯ d·Zu Ä] |Ë{ y cZfz» ºÌ¼ e :2¶°
/Ì̤e Ä/] ÉZ/Ì¿ ,|Ë{ y ÈËÁY į {̳ Y« ÊËZfY ¾ÌÀq { ®Â»
Y Ê/§Yv¿Y /Å Á |/¿Y{Ê» ®Â» d Y{] µYÃ|ËY dÆm , Y {Y|¿
:ºËY{ d ¦Ë e Ä] ÄmÂe Z] ¾ËY]ZÀ]
L
vt
L
vt
L
PI r t L
PL r t L
. [2]1|»Z¿Ê» ÉÁÄ¿Z¿ ÉZy Y¿M Á
Z LI u r t
L
L
P r t Z LI u r t
L
Ã{/¯ ʬ¸e µYÃ|ËY d·Zu Y ®Â» d Y{] >¥Yv¿Y Y d·Zu ¾ËY
L
(8)
Tv ( Ideal ) sin 1 (
m
\Ìee ¾Ì¼Å Ä] Á
L
L
L
vm
PI r m L
PL r m Z LI u r m
L
P r m Z LI u r m
L
vm
L
L
L
Tv
m
sin 1 (
vt 2
)
vm
(3)
vm 2
)
vm
(4)
T v ( Ideal ) T v
HAE
m
m
(5)
(9)
Z§ { |Ë{ y cZfz» -3
:ºËY{ , 8 { 7 ÉY~³Zm Z] µZu
L
§
§
ªRº ·
ªRº ·
¨L
¸ L
¨L
¸
«
»
P ¨ r m «0 » ¸ Z LI u ¨ r m ««0 »» ¸
¨
¨
«¬0 »¼ ¸¹
«¬0 »¼ ¸¹
©
©
vt
ªRº ª pº ªRº
« »
L
v m «0 » «« q »» u ««0 »»
«0 » «¬ r »¼ «¬0 »¼
¬ ¼
vt v m
L
ªvt1 vm1 º
«
»
«vt 2 vm 2 »
«¬vt 3 vm3 »¼
ª R
«
« rR
« q R
¬
Ê/·Á (2¶°/ ª]Z/»)Ã{Y~³ |Ë{ y ÉÁ ÃZ]Á{ Y 1 Âv» .{ÂÊ»
y/q d/ Y~/· .|¿Â/Ê» Äf§³ ¿ { {YM 0Ô § ´Ë{ Âv» Á{
ÉZÅĨ·R» Á Äf§³ {YM Y ÊÀËY cZfz» Ä] d^¿ |Ë{ y cZfz»
:ºÌÀ¯Ê» ½ZÌ] Ë cÂ] ,|Ë{ y ÃZ´f{ ½Z¼Å { Y¿M
(10)
L
:|ËMÊ» d|] ®Â» Á ¥|Å Ê^¿ d ÉY] \Ìee ¾ËY Ä] Á
L
Ã{Y{ ºÌ/¼ e Z§ { ʸ¯ d·Zu Ä] |Ë{ y cZfz» z] ¾ËY {
(11) º
»
(12) » (14)
(13) »¼
º/Å Z/f¿Y Ä/¯ d/Y 2 È/]Y ½Z/¼Å 11 È]Y į |ÌÀ¯ ÄmÂe µZu
Z/] Z/˳ į |ÀfÅ 1 È]Y Ä]Z» ®Ë Å 13 Á 12 ÉZÅÄ]Y Z»Y .ºÌfY{
.d/Y Ã|/ ºÌ¬e Ĩ·R» Á{ Ä] |Ë{ y yq d ,Z§ { ½|»M
/Ìq pÌ/Å Ä/] Â/ÀÅ Á d/Y {YM 0Ô/ § Ì¿ p į |ÌÀÌ]Ê» ´Ë{ ¥ Y
Z LI > p
q
r@
T
Z£M Ê^¿ ÉZŽZ°» ÉZÅY{] Y ,Äf§³ ¿ { Y 2¶° Ä»Y{Y {
Á ¥|/Å Ê^/¿ ÉZÆf/ Á |Ë{ y yq d Z^eY Ä] Á Ã{¼¿
/nÀ» É|/ ]2 /§ >Ä]Z/» É 2 Á 1 Ä]Z» ]YÁ Ä] Ze ÄfyY{a ®Â»
.|¿{³
rm R
rt
rt
L
rm
L
ªRº
««0 »»
«¬0 »¼
(7)
d/ Y Y|¬» Äq ,|À¯Ê» ¾ÌÌ e į dÅ p ¾Ì¼Å Z»Y .dÌ¿ Â]»
¶Ì·|] ¾ËY į 13 { ½M 5Y|¬» Äq Á { ÅZ 12 { |Ë{ y yq
.|Ë{³ ÃZY z] ¾Ì¼Å ÉY|f]Y { į dY É{YM Èm{ ½Z¼Å
Head Angle Error 1
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Y ¹ZÆ·Y Z] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ Ä] ¾Ë¿ ´¿
32
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m
L
L
at
L
PL v t L
P
at
Ã{Z¨f/Y Â/]» É{YM È/m{ Y ,/̤f» Á{ { Ä/¿ Á {Â/ Ä/Ôy ̤f»
Z LI u v t
L
L
Z LI u v t
L
vt
ª vt1 º
«v » « t2 »
«¬ v t 3 »¼
L
®/Ë { |/Ë{ /y y/q d/ Ä/¯ ºÌZ] |À¼«Ô ³Y ,µZu
PI v t Á{ ¦/̸°e \/Ìee ¾/ËY Ä/] Á Ä/f§³ ¿ { ¨ Z] |vf» Y q Á Ã{¼¿
L
ª p º ª vt1 º
« » « »
« q » u « vt 2 »
«¬ r »¼ «¬ v t 3 »¼
ª a t 1 º ª v t 1 ( v t 3 q v t 2 r ) (18) º
« » « (
»
v t 1 r v t 3 p ) (19) »
« a t 2 » « vt 2
«¬ a t 3 »¼ «¬ v t 3 ( v t 2 p v t 1 q ) (20) »¼
,|¿{Â^¿ z» ÂÀÅ |Ë{ y cZfz» { į |Ë{ y ] {¼ Âv»
.|¿{³Ê» ¾ÌÌ e
Y Äv¨/ { dÌ /Á :[Zzf¿Y ¾ËY Ê°Ȩ̈ Á Ê|ÀÅ Ì^ e
Ê«Z/] Á |/ÌyqÊ» Äv¨ ½M { ÃY¼Š|Ë{ y ,|ËÁM Zz] ÃZ]Á{
{¼ Äv¨ ½M ] ÃY¼Š,Ì¿ |Ë{ y yq d Y{] Á |¿Z»Ê»
,{Y{ {ÂmÁ ÉYÄv¨ ¾ÌÀq ,Äv· Å { Ì¿ ÊËZ§ ʸ¯ d·Zu { .{Â]
:ºËY{ Ì¿ ®Â» [Zf ÉY] Ä]Z»  Ä] Á
{Â/¼ ½M /] |/Ë{ y yq d Y{] į dÅ ÉYÄv¨ ,ÊÀ Ë
[Z/zf¿Y ÉÂ/ Y |/Ë{ /y cZ/fz» É2Â/v» ¶Ì·{ ¾Ì¼Å Ä] .dY
L
am
ª a m1 º
«a »
« m2 »
«¬ a m 3 »¼
ª v m 1 ( v m 3 q v m 2 r ) (21) º
« v ( v r v p ) (22) »
m1
m3
« m2
»
«¬ v m 3 ( v m 2 p v m 1 q ) (23) »¼
¦/Ë e ÉÂ/ Y |Ë{ y cZfz» ÃZ´f{ Ä°ÀËY Ä] ÄmÂe Z] µZu
:|¿ÂÊ» Ã{Z Ë c Ä] ÓZ] ÉZÅcZ^ ,{ q=0 į ºË{¯
¾/ËY Y Y Äv¨ ¾ËY .|ÀÅ{ ¶Ì°e Y Äv¨ ¾ËY , 1Âv» Z] į ºÌÀ¯Ê»
ÉYÄ/v· d/ ½Z/¼Å r \/Ìee ¾ËY Ä] .ºÌ»Z¿Ê» É̳{ Èv¨ a
{ ÓZ/u Ä/¯ cÁZ/¨e ¾/ËY Z] | |ÅYÂy Z§ { ( O ) |Ë{ y yq
p Á d/Ì¿ d/]Zi /´Ë{ Á d/Y y/q µZu { É̳{ Èv¨ Z§
/´Ë{ cZ/^ Ä/] .{Â/] |/ÅYÂy Äv¨/ ¾Ì¼Å yq ÉY Äv· d
cÂ/ Ä/] |/Ë{ /y ÃZ´f/{ { ¿Z/Ì] Ä/¯ |/Ë{ /y yq Y{]
a t1
v t1 v t 2 r
at2
v t 2 ( v t1 r v t 3 p )
( 25 )
at3
vt3 vt2 p
( 26 )
a m1
v m1 v m 2 r
am2
v m 2 ( v m1 r v m 3 p )
am3
vm3 vm2 p
( 24 )
y//q µZ//u { p d// Z//] Z//§ { ,d//Y (0 , 0 , r
O)
|/Ë{ /y cZ/fz» É3Âv» \Ìee ¾ËY Ä] į |ÌÀ¯ ÄmÂe .{Â] |ÅYÂy
.dY |Ë{ y yq d Y{] ] ª^À» ÃY¼Š̿
( 27 )
Á ¥|/Å ÉZÆf/ ¹Â/ Ȩ·R» , q ½{Y~³ ¨ Z] į |ÌÀ¯ ÄmÂe
( 28 )
( 29 )
½Â/q ºÌf/Y{ Z/f¿Y Y ¾ËY Á |¿Z» |ÀÅYÂy ÉÁZ» ºÅ Z] ÃY¼Š®Â»
ÉY/] Ä/¯ {Â/] |/ÀÅYÂy ÊËZ/ÆeZ^ 29 Ze 24 Ç|»M d|] ÉZÆeZ^
É]ÁZ/¿ Á { |/Ë{ y cZfz» { d·Zu cÓ{Z » ½{ÁM d|]
Y/« Ã{Z¨f/Y {Â/» |/À¿YÂeÊ/» É´Ë{ ÊfËY|Å Á Å { ZË Á Ê^ZÀe
ÉÁM{Z/Ë Á Ã{¯ Á» Y É̳{ ºfÌ Ê¸Y ZÀ Ä»Y{Y { .|¿Ì³
.ºÌÀ¯Ê»
Á {Â/Ê» ʬ¸e É̳{ ºfÌ É{ÁÁ ,Äv· Å { ¥|Å [Zf
[Â//v» É{ÁÁ ¥|//Å [Zf// È//¨·R» Ä// 26 Z//e 24 cÓ{Z// » { Y~//·
Z/] Ä/¯ |¿YÉ̳{ ºfÌ d·Zu Ä ,¥|Å d Ȩ·R» Ä Á |¿ÂÊ»
½YÂ/eÊ» \Ìee ¾ËY Ä] .{̳ c Êyq Äv¨ ¾ËY { dÌ¿ Y«
:{¯ ÄÔy Ë È]Y Ä c Ä] Y [Zzf¿Y ¾ËY lËZf¿
R
r
v t1 v m1
O
vt 2 v m 2
R
vt 3 { v m 3
(15 )
(16 )
(17 )
{ Ê/¸¯ d·Zu cÓ{Z » Á ZÆ]Zf cÓ{Z » -4
|Ë{ y cZfz»
|/ËZ] /Ì¿ p Á r ,|/ËY{ Ä/mÂe Ä/r¿ZÀq Z/»Y .|ÀËMÊ» d|] ÉÌ´·Y´f¿Y
ÉZ/Å Ä/¨·R» \/u /] Y ZÆ]Zf/ cÓ{Z/ » Y|/f]Y Ì¿ d¼« ¾ËY {
Ã{Y{ s/ /Ì¿ Z/Æ¿M ½{ÁM d/|] ÇÂ/v¿ e¸m ʼ¯ į |¿{³ ¾ÌÌ e
.ºËÁMÊ» d|] ʸ¯  Ä] ,|Ë{ y cZfz» { Ã| ½ZÌ] ,ZÆf
.| |ÅYÂy
:¥|Å [Zf Y|f]Y
|/ËZ] ,dËY|Å ½Â¿Z« ZË Á Å ,d¬Ì¬u { į ºÌÀ¯Ê» ÄmÂe µZu
½Z/Ì] ,¥|/Å [Zf/ Á ´Ë{ d·Zu ÉZÅ̤f» \u ] Y ®Â» [Zf
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
33
Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Y ¹ZÆ·Y Z] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ Ä] ¾Ë¿ ´¿
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m
vt 2 v m 2
d
( R r ) R r at 2 am 2
dt
r R 2 R r at 2 am 2
r
½Â¿Z« Âe 29 Ze 27 cÓ{Z » { Ì¿ ®Â» [Zf Ȩ·R» Ä a .|À¯
( vt1 v m1 ) r a t 2 a m 2
Ê/¬¸e d/·Zu cÓ{Z » ¾ËY Ä] É{ÁÁ Ê¿ Á | |ÀÅYÂy ¹Â¸ » dËY|Å
§
R·
a am 2
¨¨ 2 ¸¸ r t 2
R¹
R
©
Z/] Z/»Y .{Â/] |ÀÅYÂy ½M ÉZÆf·Zu ®Â» d Ȩ·R» Ä Ä¯ |¿ÂÊ»
.|ÀZ] ¹Â¸ » Ì¿ p Á r į dY tÌv Êf«Á ¾ËY ºÅ
( 41 )
d|] ZÆf ÉZŠĨ·R» \u ] 15 Á 16 È·{Z » Y ÃY¼Š̿ r
Y Êf·Zu È·{Z » Y~· vm3 = vt3 :ºËY{ ÃY¼Š½Âq ¹Â Âv» {
26Á 29 È/·{Z » Á{ , p È^/Zv» ÉY] .{Â] |ÅYÂz¿ ʸ°» Y~· Á |ËMÊ»
:|ËMÊ» d|] 17 È]Y Ä] ÄmÂe Z] Á ºÌÀ¯Ê» º¯ ºÅ Y Y
.|»M |ÅYÂy d|] 39È]Y ½Z¼Å ¬§ Ä°¸] Ã{Y|¿ ÄnÌf¿
Z/] ÃY¼Å Y ®Â» Á ¥|Å Ê^¿ cZz» ½YÂeÊ» \Ìee ¾ËY Ä]
cZ/^ Ä] .{¼¿ ÄÔy Ë ]YÁ { ,|Ë{ y cZfz» ÉZÅÄz»
p
r
p
§
(a a m 2 )
R·
¨¨ 2 ¸¸ r t 2
R
R
¹
©
(at3 a m 3 )
Rr
( 42 )
Ä/] Z/Ì¿ cÂ/ { Á {/¯ ¶/u Y Z/ÆÀËY Y|/f]Y ½YÂ/eÊ» Ä°ËÂ Ä]
.{¼¿ ¶u Y 36 Ze 31 ]YÁ È̬] ®Â» Á ¥|Å ÉZÆf
{ Ê^¿Z/m [Zf ,Ê·Â [Zf \Ìef] Y 3 Á 2 , 1 ÉZfY ÉZÆ]Zf
Èv¨ ] {¼ Ê^¿Zm [Zf Á (É̳{ Ê^¿Zm [Zf) É̳{ Èv¨
.ºÌ»Z¿Ê» (É̳{ ½ÁÌ] [Zf) É̳{
(30)
:d¿ Ë c Ä] ÃYÂz·{ dËY|Å ½Â¿Z« Å ÉY] Y |Ë{
v t1
r 2 R ( a t1 a m1 )
at 3 a m 3
Rr
/y cZ/fz» { ,É/̳{ ºfÌ d·Zu cÓ{Z » ½YÂeÊ» µZu
,|¿Y Ã| ÄÔy Ë ]YÁ { Ê¿ Ä] 39 Ze 31 ]YÁ fÆ]
R
at 3 a m 3
vt 2 v m 2
v t 2 r a t1
( 31 )
vt 2
v t1 r v t 3 p a t 2
vt 3
vt 2 p at 3
( 33 )
v m1
v m 2 r a m 1 ( GL )
( 34 )
( 32 )
vm 2
v m 1 r v m 3 p a m 2 ( GL )
( 35 )
vm3
v m 2 p a m 3 ( GL )
( 36 )
R
r
p
v t1 v m1
( 37 )
vt 2 v m 2
R
at 3 am 3
Rr
( 38 )
( 39 )
Ê·Z/¼Y Âf/{ ª^ ®Â» [Zf ÉZÅĨ·R» ami(GL) ½M { į
É̳{ cÓ{Z » ʨ̯ { -6
.dY dËY|Å ½Â¿Z« Âe
Ä/mÂe .d/Y Y{Â/y] ÉYÃ/ËÁ d̼ÅY Y 42 ]YÁ ʨ̯ {
,d/Y Â/]» É|/ ] Ä/ ÉZ/§ { É/̳{ Ä/] Är¿M Ê»Z¼e į |ÌÀ¯
Y ¶¬f//» É//̳{ È//|ÀÅ cÓ{Z// » -5
¹Á{ ,|/Ë{ ȸ/Z§ Ê/°Ë .dY Ã| ÄÔy ̤f» Ä Ä] Ê^ˬe pÌÅÊ]
Ä/] .É/̳{ Èv¨/ yq d ¹Â Á |Ë{ y yq d
Â/]» ,(Y ¥|/Å ®/») “¾f§/³” Ä/] Ä/r¿M į dY ¾Á ÃÁÔ
ZÅd
Ê^/¿ d/Ì «Â» d/·Zu cÓ{Z/ » ,|/ |/ÅYÂy Ê / Ä»Y{Y { µZu
Ä/mÂe Y|/f]Y .|ËM d|] ,dY É̳{ ʸY ȸX» į ¥|Å-®Â»
È/·{Z » Ä/] Á {{/³Ê/» ] µÁY È·{Z » Á{ Ä] Á µÁY ̤f» Á{ Ä] ¬§ ,dY
.{Y|¿ Ê] ¹Â
È·{Z » ,|ËÌ´] d]Zi 0Zf«Â» Y r ,µÁY È·{Z » { ³Y į |Ë´À] Y|f]Y
:|ËMÊ» d|] 31 Y 34 ½{¯ º¯ Y į |ÌÀ¯
R
( v t 2 v m 2 ) r a t1 a m1
R
r 2 R a t1 a m1
( 40 )
Y|ËZaZ¿ É´Ë{ Á Y|ËZa Ê°Ë ½Z¬f» \« Á{ Z] ºfÌ ®Ë ³Z¬·Y ,µÁY
[Â/v» ºf/Ì É{ÁÁ ,Ê·Â/ ÉZÆ]Zf |ÀËM] į dY
r ÇY|¿Y Z]
,|/ËÌ´] /¿ ¥/ ¶]Z« Y É{ÁÁ ¾ËY Âf» Är¿ZÀq µZu .{{³Ê»
Y 35 ½{/¯ º¯ Z] Ä]Z» ȿ´] Ì¿ Y vt2 – vm2 ÉZy ®Ì»ZÀË{
:|Ì |ÅYÂy r d·Zu È·{Z » Ä] į Ã{ÁM d|] 32
Ä/] Z§ Èv¨ { d·Zu ÉZÅÌ» ,½Â³Z¿Â³ 5É̳{ ÈÌ·ÁY ËY ÉYZ]
®//Ì°¨e ,d//Y Ã|// Ã{Y{ ËZ//¼¿ 3¶°// { Ä//¯ Ê//ZY È//¿Â³ Á{
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Y ¹ZÆ·Y Z] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ Ä] ¾Ë¿ ´¿
34
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m
Ä/] É/̳{ Á/ È/Ì·ÁY ËY/ 0ÓÂ/¼ » Ä/¯ º/ËY{ Ä/mÂe .|¿{³Ê»
:dY Ë cÂ
dËY|//Å ÉY//] cÓ{Z// » ½{ÁM d//|] -7
/y /] {Â/¼ [Zf/ į |ÅYÂyÊ» Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Âf{
:|Z] Ë cÂ] ®Â» |Ë{
N O u V cl
ac
L
ac
R0 ! 0
R (0)
Ê^ZÀe É]ÁZ¿
R (0)
ª0
º
«
»
« N R r »
«0
»
¬
¼
( 43 )
[Z/ea ÉYÄ/¿Â´] ®/» Á dY ®Â» ÉÁ ɸm ¥|Å ÊÀ Ë
ËY/ Y~/· Á d/Y ¥|Å Ä] ½| ®Ë{¿ µZu { ®Â» į {ÂÊ»
(44)
ª0º ª R º
«
»
N «« 0 »» u « 0 »
«¬ r »¼ «¬ 0 »¼
,
V cl ( 0 ) ! 0
.dY ¹ZÆq ] Y É̳{ ÈÌ·ÁY
r |/« /Å Ä/¯ d/Y ¾/Á ,Ã|»M Ì¿ 3¶° { į Ŀ´¿Z¼Å
(45)
(R
0 ){Ây] Ä] ZÆ¿M Y Á į ÉYÄÌ·ÁY ËY ,{{³ f°q¯
|ÌÀ¯Ê» Ã|ÅZ» .{Y|¿ ÉÂf{ |Ë{ y ÉZfY { [Zf ÉY] Á
.{{³Ê» f ÌÁ ,{ÂÊ» nÀ»
:{ÂÌ» ½ZÌ] Ã{Z ZÌ] |Ë{ y cZfz» { Âf{ ¾ËY į
am2
N R r
( 46 )
a m3
0
( 47 )
R
R!0
R
r
:|ËM Ê» d|] 43 { 46 ÉY~³Zm Z]
r
§
R·
(a N R r )
¨¨ 2 ¸¸ r t 2
R¹
R
©
r
§
a
R·
¨¨ ( N 2 ) ¸¸ r t 2
R¹
R
©
( 48 )
R
0
½Â³Z¿Â³ 5É̳{ ÈÌ·ÁY ËY ÉYZ] Z§ Èv¨ { d·Zu ÉZÅÌ» :3¶°
Ê/eY} ÉY|/ËZaZ¿ Y ºf/Ì N t 2 ÉY/] ÓZ/u į |ËY{ ÄmÂe
Á dY YÂfY ¶Y ¾Ì¼Å ] Ê Ì^ Â] Ì¿ Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å
ºf/Ì ÂÀÅ N=2 ÉY] Z»Y .{Â] YÁ|Ì»Y {Ây] Ä] ½YÂfÌ» Á Ã|»M ½ÁÌ]
/¯¼f»
Ä/] ºf/Ì N >2 ÉY/] Ê/·Á d/Y Y|/ËZaZ¿ Ê/mÁy-É{ÁÁ Zv· Ä]
{ÂÊ» Ã{Y{ Ì̤e ÉYĿ´] {Âm» ËY ÃY¼Š\Ìee ¾ËY Ä] .|À¯Ê»
Y/« `/q d¼/ ½M \/« Á Ã|/ Y|/ËZa /Ì¿ ÊmÁy-É{ÁÁ Zv·
µZ/¼fuY ,Ä/ÌuZ¿ ¾/ËY ½| f ÌÁ Z] ,ºÌfÌ¿ {Ây] ÈÌuZ¿ ¶yY{ ³Y į
Ê//¬¸e {YM É{ÁÁ ®//Ë at 2 Ä//¯ |/ÌÀ¯ Ä//mÂe 0ZÀ¼// .d//§³ |/ÅYÂy
.{Y{ Ê´f] ¥|Š¿Z» Ä] į {ÂÌ»
ºÌÅYÂ/y /Ì¿ p ÉY/] , 47 ÉY~/³Zm Z/] Ä/¯ |/ÌÀ¯ ÄmÂe Ä»Y{Y {
:dY{
p
at 3
Rr
:dY{ ºÌÅYÂy Ì¿ R ÉY] ,{ ÉÁÌa Âf{ ¾ËY Y 0Z¬Ì«{ į
r 2 R a t1
ÈÌuZ¿ ¶yY{ į ºÅ ³Y Á Ã| fÌ] ,ºË̳ Y« {Ây] ÈÌuZ¿ { Ä°ÀËY
.|À¯ f¼¯ Äq Å Y ÄÌuZ¿ ¾ËY Y kÁy µZ¼fuY ,ºÌfÅ {Ây]
¹Á{ È//·{Z » Ä//] //Ì¿ (
r ½{Â//¼¿ ¨// Z//Ë Á ®//q¯)¥|//Å ¾//ËY
.ºËY{aÊ» ½M Ê] Ä] Ä»Y{Y { į dY Â]» É̳{
Ì/a Ä/r¿ZÀq į Yq dY Y|ËZaZ¿ ,¨ É{ÁÁ ÉY] ¹Á{ È·{Z »
( 49 )
ºÌÀ¯ § ³Y Y~· ,|Å{Ê» {ZÆÀÌa Y 0 Ì¿ am 2 ÉY] 45Âf{
R
r ½{/¯ ¨/ Z/Ë Á ®/q¯ ÉÁ Y {Â/y Ê / ¹Z/¼e Y~·
( 50 )
cY{ZÆÀÌa Á lËZf¿ -8
¹Âƨ» ÃËÂ] Á d§Ë~a c ZÆÅZ´f{ ¦Ë e { į ÉZ°f]Y Z]
Ê/´¿ ¿ ,|Ë{³ ¦Ë e Z] ¾Ì·ÁY ÉY] ZnÀËY { į É̳{ Èv¨
R į dY ÉYĿ´] É̳{ ÈÌ·ÁY ËY 0Z»Â¼ ,| ÃZY Ì¿ ¾ËY Y
¾/ËY \/« Y~/· Á d/Y ʳ|¿Â ®Ë{¿ c Ä] ËYÁ Ã{Â] ʨÀ»
,|/À¯ Á/ Ä/¯ r(0) /Å Y r Ê/À Ë ¾/ËY Á dY dY d¼ ,ºfÌ
ÉY/] ¾/ËY Ä/¯ ºË|/Ë{ eÓZ/] .{Â/¼¿ |/ÅYÂz¿ ¶Ì» ¨ Ä] Á Äf§ZË ËY§Y
3¶°/ { {Â/y] ¹|/ d/·Zu Ì» į dY ÊÀ » ¾ËY Ä] µÁY È·{Z »
{Â/y] Y~· Á |Ì ºÌÅYÂz¿ R=0 Ä] ÃZ´rÌÅ Ä°ËÂ] ,| |ÅYÂy Ê
É]ÁZ/¿ dËY|Å Âf{ į |Ë{ ºÌÅYÂy \Ìee ¾ËY Ä] .{Ë~aʼ¿ cÂ
Ä/·{Z » ¾ËY ÉZY|ËZa ÉY] ,{{³Ê» Ê] | ] d¼« { į Ê^ZÀe
.dY Ê Ì^ 0Ô»Z¯ {ZÆÀÌa ®Ë
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
35
Ê^ZÀe É]ÁZ¿ dËY|Å Y ¹ZÆ·Y Z] ˳ Á \̬ e È|ÀÅ Ä] ¾Ë¿ ´¿
É]¿ Ê¿YÌu ¨ m
ÉZ/§ { É/̳{ ®Ì»ZÀË{ ¶Ì¸ve { ÊZY ¶°» į |Ë{³ {ZnËY
[8] Becker K., "Closed-form solution of pure
proportional navigation", Aerospace and Electronic
Systems, IEEE Transactions on, vol. 26 Issue 3, May
1990 p526 -533
.|Ë{³ ¶u É| ] Ä
Á Y ,¶/̸ve ¾/ËY Ä/] ½|Ì/ ÉY/] ,Y|/f]Y { Ä/¯ dY d{
/] º¯Z/u cÓ{Z/ » ÉY/] Ä/r¿M Ê/·Á ,|/ Äf§³ ¹ZÆ·Y Ê^ZÀe dËY|Å
[9] Shukla, U.S.; Mahapatra, P.R., "Generalized linear
solution of proportional navigation", Aerospace and
Electronic Systems, IEEE Transactions on, vol 24 Issue
3, May 1988 p231 -238
[10] Jianwei Wang; Xueshu Xie, "A derivation of pure
proportional navigation", American Control Conference,
Proceedings of the 1999, vol. 6, 2-4 June 1999, p37583759
[11] Ciann-Dong Yang; Fei-Bin Hsiao; Fang-Bo Yeh,
"Generalized guidance law for homing missiles",
Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions
on, vol. 25 Issue 2, March 1989 p197 -212
[12] Pin-Jar Yuan, "Optimal guidance of proportional
navigation", Aerospace and Electronic Systems, IEEE
Transactions on, vol. 33 Issue 3, July 1997 p1007 -1012
[13] Siouris G. M., "Missile Guidance and Control
Systems", Springer-Verlog Publisher, 2004.
[14] Yanushevsky R., "Modern Missile Guidance",
Taylor & Francis group, LLC, 2008.
.dY ÊfËY|Å Á Y ¶¬f» Á Ã{Â] ¹Z ,|»M d|] É̳{ È|ÀÅ
Ä/] Â/]» {Ây] ,ÊËZ§ ʸ¯ d·Zu ÉY] ,cÓ{Z » ¾ËY Z]
.|Ë{³ cZ^iY 0Ô»Z¯ Ê^ZÀe Á
˳ ZË Á {Ây] ËY {» { ¶Ì¸ve ½Z°»Y ,¾Ë¿ ´¿ ¾ËY Z]
½Â³Z/¿Â³ ÉZÆ/Á Z/] /³\/̬ e Á ½Â³Z¿Â³ ÉZÅ¿Z» Z] ¥Y|ÅY ÉÁ
d/̼ÅY Y Ä/¯ dY Ã|»M {ÂmÂ] ʸ¯ Á ʸ̸ve 0Ô»Z¯ cÂ] ,ÊfËY|Å
.dY Y{Ây] ÉY Ã{Z ·Y ©Â§
Ê]Z/ËY Á eiR» É̳{ ÉY] ÊfËY|Å ´Ë{ ÉZÆÁ ÈWYY ½Z°»Y
.dY Ã|»M {ÂmÂ] ZÆ¿M
Á {Âm» Ê·fÀ¯ Á dËY|Å ÉZƼfÌ e Ã{Z Äq Å ¶Ì¸ve ½Z°»Y
ÉZÆËZ/ ÄÌ^/ Y Ã{Z¨f/Y ½Á|/] ,|/Ë|m ÉZƼfÌ ÊuY |ËZ Êfu
.dY Ã|»M {ÂmÂ] Ã|ÌrÌa
.¾Ì¼·Z ·Y [ ×|¼v·YÁ
mY»
[1] Ciann-Dong; Yang chi-ching, "Analytical solution of
3D true proportional navigation", Aerospace and
Electronic Systems, IEEE Transactions, on, vol. 32 Issue
4, Oct. 1996, p1509 -1522
[2] Yuan C. L., "Homing and Navigation Courses of
Automatic Target-Seeking Devices", Journal of Applied
Physics, vol. 19 Dec 1948, p1122-1128
[3] Zarchan P., "Tactical and Strategic Missile
Guidance", Published by AIAA Inc., 4th Edition 2002.
[4] Adler, Fred P., "Missile Guidance by ThreeDimensional Proportional Navigation",
Journal of
Applied Physics, May 1956.
[5] Seong-Ho Song; In-Joong Ha, "A Lyapunov-like
approach to performance analysis of 3-dimensional pure
PNG laws", Aerospace and Electronic Systems, IEEE
Transactions on, vol. 30 Issue 1, Jan. 1994 p238 -248
[6]
Murtaugh;
Stephen
A., "Fundamentals
proportional navigation, Spectrum, IEEE, Dec 1966.
of
[7] Ghose D., "On the generalization of true proportional
navigation", Aerospace and Electronic Systems, IEEE
Transactions on, vol. 30 Issue 2, April 1994,
p545-555
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
µfÀ¯ ĸn»
ISSN 2008Ͳ8345
36-46 Äv¨ ,1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m
ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi
2
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,1É{Ân É|Æ»
.µfÀ¯ Ê|ÀÆ» ÃÁ³ , eÂÌb»Z¯ Á ©] Ê|ÀÆ» Ã|°¿Y{ ,
|» dÌ]e ÃZ´¿Y{ ,Éf¯{ ÉÂn¿Y{ 1
[email protected] :Z´¿¹ZÌa ,µfÀ¯ Ê|ÀÆ» ÃÁ³ ,eÂÌb»Z¯ Á ©] Ê|ÀÆ» Ã|°¿Y{ ,
|» dÌ]e ÃZ´¿Y{ ,ZÌ¿Y{
2
(1389/9/20 Ä·Z¬» Ë~a xËZe ,1389/8/12 Ä·Z¬» d§ZË{ xËZe)
¯¼f»Ì£ ¹ÁZ¬» ÉZY|ËZa ÉY] Êy ÊËeZ» ÉZÅÉ]Y]Z¿ ] ÊÀf^» Ê·fÀ¯ Á ®Ë ÄWYY Zf¿ ¾ËY ¥|Å :Ã|Ì°q
Z] Êy Ì£ cÓZeY Z] Á dÌ «¹| ÉYY{ Á Êy ÊËZËÂa Z] ÊËZÅÄ¿Z»ZË Y ¶°f» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÃYÂz·{ Ä^e» Z] Ã|ÀÀ°Ì£
¾ËY { .{̳ʻ ÃÆ] ZÅf»YZa { dÌ «¹| ÃY¼ÅÄ] ʻ¼ Êy ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ZfyZ Y Á ¾ËY .|Z]Ê» Ê ]» {ÂÌ«
Êy ÊËeZ» ÉZÅÉ]Y]Z¿ cÂÄ] į ÉY|ËZa ËY dve ÉZ ÄÀÌÆ] ÉĸX» ¶u Z] Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÉÄÀÌÌ] ¹Y« Äm{ ÊuY
¶]Z« É{| µZj» ®Ë ,dËZÆ¿ { .{ÂÊ» Ä^Zv» lËZf¿ ÉÁ Y d]Zi Ä^e» ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa b Á |ËMÊ» d|] dY Ã| ½ZÌ]
-Ê» Ã{ÁM ,Äf§Ë~a c {Â^Æ] Á Êz]iY ½{Y{ ½Z¿ ¾ÌÀr¼Å Á Á µZ¼Y Á YmY d̸]Z« ½{Y{ ½Z¿ ÉY] ,ÌyY ÉZÅZ¯ Z] ÄËZ¬»
.{Â
ÉZÅÉ]Y]Z¿ ,d]Zi Ä^e» ´·fÀ¯ , Ã|ÀÀ° Ì£ ´·fÀ¯ , ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ,ZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] :É|̸¯ cZ¼¸¯
.Êy ÊËeZ»
A Fixed-Order Robust Decentralized Dynamic Output Feedback
Controller Design for Large Scale Systems with Nonlinear
Uncertainty
Mahdi Sojoodi, Vahid Johari Majd
Abstract: The objective of this paper is to propose a fixed-order non-fragile dynamic output
control scheme within the LMI framework for robust decentralized stabilization of systems
composed of linear dynamic subsystems coupled by static nonlinear interconnections satisfying
quadratic constraints. The procedure utilizes the general linear dynamic feedback structure in
presence of parameter uncertainty. In this design, the maximum robustness degree of the closed
loop system is obtained through solving the optimization problem under stabilizing conditions given
in the form of LMIs, and then the fixed order controller parameters are calculated based on the
obtained results. A numerical example illustrates the applicability and effectiveness of the method.
Keywords: Output dynamic feedback, large scale systems, non-fragile controller, fixed-order
controller, linear matrix inequality (LMI).
ÉZÆÁ Y Ã{Z¨fY Z] ÊmÁy {ÂyZ] ÊuY { ʧZ¯ Á ¹Ó
,[3-2] {ÂÊ» nÀ» [|v»Ì£ ÉYĸX» Ä] [|v» ÉZ ÄÀÌÆ]
Ä»|¬» -1
¾ËY ÉZ Ã{Z ½Z°»Y ÉY] ÉZ°f]Y ÉZÅÁ ÄWYY µZ^¿|] ½Y´ÅÁa
ÉZÅÉ]Y]Z¿ Y Ã{Z¨fY Z] [|v» ÉZ ÄÀÌÆ] |À¼e|« Y]Y ÂÆ Z]
ÊËeZ» ÉZÅÉ]Y]Z¿ Y]Y Âe ¶u ÉY] ¦¸fz» ÉZÆÁ Z] ¶WZ»
ÉZÅÉ]Y]Z¿ \·Z« { ´·fÀ¯ ÊuY ¶WZ» ¶u ,[1] Êy ÊËeZ»
{ÂÌ« É̳Z°] Z] ,¶WZ» ½{Â] [|v» Ì£ ¶°» .|ÀfÅ Êy
½{ÁM d|] Ä°ÀËY Ä] ÄmÂe Z] .{¯ Y|Ìa dÌ]Y~m ZÌ] Êy ÊËeZ»
Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ,µfÀ¯ ĸn»
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ :cZ^eZ°» Y{ Ã|Æ Ã|ÀË¿
37
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
{ ,Äf§³ c cZ ·Z» Á Ã| ¹Zn¿Y ÉZÅÊ] Ä] ÄmÂe Z]
-Ê» Ì¿ fÌ] ZÌ] ´·fÀ¯ ÊuY { ¯¼f»Ì£ cZÔY ÉZfyZ
-¹| ¾f§³ ¿ { ¾ÌÀr¼Å Á [8] µ|» ZfyZ d]Zi Ä^e» µfÀ¯ ÄÀÌ»
ÄWYY ÉZfY { É{ZË ÉZÅd§Ìa ÌyY ÉZÆ·Z { .[5-4] {{³
Ã|ÀÀ°Ì£ ´·fÀ¯ ÊuY ÂÀ» Ä] ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa { dÌ «
ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] ¯¼f»Ì£ ÊuY dÆm { Äf§Ìa µfÀ¯ ÉZÅÁ
´·fÀ¯ ÊuY {ZË ZÌ] d̼ÅY .|Ë{´¿ Ã|ÅZ» ÊÅÁa Á ªÌ¬ve
lËZf¿ Á ZÅÃ|ËY Á dY Ã| ¶Zu (Interconnected) ÄfÂÌaºÆ]
.{Â] ªÌ¬ve ¾ËY ¹Zn¿Y ÃÌ´¿Y Ã|ÀÀ°Ì£ Á d]Zi Ä^e»
ÊuY ½ZÌ» ¾ËY { .dY Ã| ÄWYY ÃÂu ¾ËY { ÉZÌ] |Ë|m
ÊËeZ» ÉZÅÉ]Y]Z¿ ] ÊÀf^» Á ®Ë ÄWYY Ä·Z¬» ¾ËY ¥|Å
ÉY] Êy ÊËeZ» ÉZÅÉ]Y]Z¿ Y Ã{Z¨fY Z] H Á H2 ÉZÅ´·fÀ¯
d]Zi Ä^e» Z] Ã|ÀÀ°Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ÊuY ÉY] Êy
Y« ½Y´ÅÁa Y É{ZË {Y| e ÄmÂe {» ÌÁ {Z ]Y Z] ÊWZÅÄ¿Z»Z
¯¼f»Ì£ ¹ÁZ¬» ÉZY|ËZa ÉY] Ä¿Z»ZË Å ÉY] ÃYÂz·{
[10-8] ÉZÌ] cÓZ¬» ,[7] { ÄÌ·ÁY lËZf¿ ÄWYY Y a .[6] dY Äf§³
Êy ÊmÁy {ÂyZ] ÂÀ» ¾ËY ÉY] .dY ÄfÂÌa ºÆ] ÉZÅÄ¿Z»Z
[|v» Ä] [|v»Ì£ ĸX» ¶Ë|^e Á Ã| ¶Zu {Â^Æ] ½{Y{ ½Z¿ ÉY]
Ä^e» Z] Á ʻ¼ ZÌ] ÉZfyZ Z] Ã|ÀÀ°Ì£ ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa
ÄWYY ¦¸fz» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] cÁZ¨f» ÉZ°f]Y ÉZÆÁ Y Ã{Z¨fY Z]
.dY Ã|Ë{³ µZ¼Y [8] { Ã| ÄWYY ÄËZa µ|» ZfyZ Ä] d]Zi ÃYÂz·{
|À¿Z» ÉÃ|ÌrÌa Á ºÆ» ÉZÅ{]Z¯ { ÌÁ
Z̬» ZfyZ .dY Ã|
ÄÀÌÆ] ÉĸX» ¶u Z] Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÉÄÀÌÌ] ¹Y« Äm{ ÊuY ¾ËY {
Ã|ÅZ» ¶]Z« ÉYÄ¿ZËY ÉZÅÄ°^ Á ÌÁ ÉZÅZfyZ ,c|« ÉZÅÄ¿Z»Z
Êy ÊËeZ» ÉZÅÉ]Y]Z¿ cÂÄ] į ÉY|ËZa ËY dve ÉZ
Ä] ,ÃÂu ¾ËY { Äf§³ c ºÆ» ÉZÅZ¯ Y Êy] .[13-11] dY
Y d]Zi Ä^e» ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa b Á |ËMÊ» d|] dY Ã| ½ZÌ]
ÉZY|ËZa ÉY] ,ÊÀ¼ ZË tË Â] ¯¼f»Ì£ ´·fÀ¯ ÊuY
.{ÂÊ» Ä^Zv» lËZf¿ ÉÁ
cYÌ̤e Á ZÅÄ¿Z»ZË Ê¸v» ÉZÅ{ÂyZ] Âu { Ä¿Z»Z ¶¯
Á ĸX» ½ZÌ] Ä] ¹Á{ z] { :dY Ë cÂÄ] Ä·Z¬» ¾ËY ZfyZ
.[16-14] |¿YÄfyY{a ZÅÄ¿Z»ZË cÓZeY { É|À]ðÌa
Á{ dve Z¯ ʸY lËZf¿ .dY Ã| ÄfyY{a ÊuY ÉY] ¹Ó cZ»|¬»
ÄfÂÌa ºÆ] ZfyZ Z] ½Z»OÂe cÂÄ] Êy ÉZÅÄ¿Z»Z ,[8] {
µZj» ®Ë ÄWYY Ä] ¹ZÆq z] Á dY Ã| ½ZÌ] ¹Â z] { ÄÌ«
ÉZÅ{]Z¯ \¸£Y { į Zn¿M Y .dY Äf§³ Y« ¿ |» ÊyÌ£
{ .dY Äf§ZË ZfyY ÊuY Á µZ¼Y d̸]Z« tËe ÉY] É{|
dÌ «¹| É°Ë Z] Z¯ Z¬¿ µÂu Y ZÅÄ¿Z»ZË ½YÂeÊ» ʸ¼
.dY Ã| ÄWYY Ä·Z¬» É̳ÄnÌf¿ ºnÀa z] { dËZÆ¿
ÊWÓZ] d̼ÅY Y µ|» ¾ËY ,d§³ ¿ { Êy ,Z¬¿ ¾ËY µÂu
Ä·Z» ¦Ë e -2
,ʸ¼ ¶WZ» Y ÉZÌ] { Ä°ÀËY Ä] ÄmÂe Z] ¾ÌÀr¼Å .dY Y{Ây]
|ÀfÅ ÊyÌ£ Á ÄfyZÀZ¿ ÉZÅZfyZ ÉYY{ ZÅÄ¿Z»Z Ë ¾Ì] cÓZeY
N {Á|v» {Y| e Y ¶°f» ÄfÂÌa ºÅ Ä] ÊyÌ£ Ä¿Z»Z
-Ê» ½Y|ÀqÁ{ µ|» ¾ËY dÌ]Y~m ,dY ¹Â¸ » ZÆ¿M Y ÊËZŽY¯ ZÆÀe Á
ÉYY{ ZÅÄ¿Z»ZË ½M { į dY Á¨» 1 ¶° ª]Z» Ä¿Z»ZË
Á cÓZeY ÉÁ ½Y¯ ÉZÄÀÌÌ] ½Z°»Y ZfyZ ¾ËY ¾ÌÀr¼Å .{Â
Ã{Y{ ËZ¼¿ ħÁ{ ÉZžÌqy Z] Ë ¶° { į) ʸyY{ cZZ^eY
ÄWYY µ|» ZfyZ ÉZËY» Ä] ÄmÂe Z] .|ËZ¼¿Ê» ºÅY§ Y ZÅdÌ « ¹|
ÉZÅ{Ây Z] Y Ä¿Z»Z 6¶¯ ÉY|ËZa ÉY] Á Ã{Â] ´Ë|°Ë Z] (dY Ã|
Ã{Z¨fY {» ÄËZa µ|» ½YÂÀ Ä] Y ½M ,cÓZ¬» Y ÉZÌ] ,[8] { Ã|
.dY Ã| Äf§³ ÃÆ] Ä¿Z»ZË Å µÂu ʸv»
.|¿YÃ{Y{ Y«
d·Zu {ÂyZ] ĸÌÂ] [8] { ,Ã| ÄWYY µ|» ZfyZ ÉZY|ËZa
{ÂyZ] ®Ë Âe [17] { µ|» ZfyZ ¾ËY .dY Äf§³ cÂ
ÉY] Ã| ÊuY ´fËÁ ÉÄËZa ] ¯¼f»Ì£ Ã| Ã{ ¾Ì¼ze d·Zu
[19-18Á9] { µ|» ZfyZ ¾ÌÀr¼Å .dY Ã|Ë{³ µfÀ¯ Ä¿Z»ZË Å
Á .dY Ã| µfÀ¯ ³] ½Â· ´fËÁ Z] ÊmÁy {ÂyZ] Âe
Ä] [9] { Ã| ÄWYY Á Y É ®Ë ¥~u Z] [19] { Ã| ÄWYY
{ÂyZ] Z] Ä¿Z»ZË N {Y| e Y ¶°f» ÄfÂÌa ºÅ Ä] ÊyÌ£ Ä¿Z»Z :1 ¶°
¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy
ÄfÂÌa ºÅ Ä] ÊyÌ£ Ä¿Z»Z ÉZÅÄ¿Z»ZË Y ®ËÅ cÓ{Z »
:|Z] Ê» Ë cÂÄ]
.dY ÄfyY{a ZÅÄ¿Z»Z Y ÉeÌÁ Äf{ ÉY] |Ë|m Á ®Ë ÄWYY
ÊmÁy {ÂyZ] Z] [8] { Ã| ÄWYY µ|» ZfyZ ,[20] { ¾ÌÀr¼Å
µfÀ¯ [21] { .dY Ã| µfÀ¯ (¶»Z¯ Ä^e») Ä¿Z»Z Z] Ä^e» ºÅ ÉZËÂa
ÉYÄf{ ÉY] ¶»Z¯ Ä^e» ÊmÁy {ÂyZ] {°ËÁ Z] ¯¼f»Ì£ ¹ÁZ¬»
lËZf¿ Á Ã| ÄWYY Êy 0Y=¼¿ ÊyÌ£ ʸyY{ cÓZeY Z] ÉZÅÄ¿Z»Z Y
Y« ½Â»M dve ÊWZeZÆq ®¿Ze |ÀËM§ ®Ë ÉÁ ] ½M Y ¶Zu
.dY Äf§³
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
38
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
J i1 2
ÉY] ,dY Ã|Ë{³ cZ^iY [9] { į ¿Z¼Å .|ÀfÅ D i
:|Z] Y«] Ë Ä]Y ḑZ¯ ,(4) Ä]Y ÉY«]
Omax ( H T H ) min J i d max J i min Omin ( H iT H i )
i
N
¦ Aij x pj hi (t , x p )
hi (t , x p )
(1)
j 1, j z i
(5)
i
i
Aii x pi Bi ui hi (t , x p )
x pi
yi
ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ÊuY µZ^¿|] ,Ä·Z¬» ¾ËY {
ÉY] nc ÉÃ| Ã{Y{ ÃYÂz·{ d]Zi Ä^e» Z] Ã|ÀÀ° Ì£ Á Ã|ÀÀ°
i 1, , N
Ci x pi ,
ÉZÅY{] \Ìee Ä] yi p i Á ui mi , x pi ni ½M { į
cÂÄ] Ze ºÌfÅ (3) { Ã| Ã{Y{ Ä¿Z»Z ÉY] ʸ¯ ´·fÀ¯
, ¦i 1ni n įÊËZm ¹Y i Ä¿Z»Z Ë ÊmÁy Á É{ÁÁ ,d·Zu
6¶¯ , ZÅÄ¿Z»ZË 5ÊmÁy cZÔY Y Ã{Z¨fY Z] ZÆÀe Á ¯¼f»Ì£
,ÄfÂÌaºÆ] Ä¿Z»Z ¶¯ d·Zu Y{] x p
¹Y-i ºfÌ Ë ´·fÀ¯ Ä^e» ÊuY ¾ËY { .ºÌWZ¼¿ µfÀ¯ Y Ä¿Z»Z
hi (t , x p ) Á ,\ZÀ» {Z ]Y Z] ÊËZÅËeZ» Ci Á Bi , Aij , Aii
.¦
N
n
i 1 ci
nc įÉÂÄ] |Z] Ê» nci ÃYÂz·{ Y|¬»
:ºË̳ʻ ¿ { Ë cÂÄ] \Ìee Ä] Y Ã|ÀÀ°Ì£
xc ( Ac 'Ac ) xc ( Bc 'Bc ) y
®
¯u (Cc 'Cc ) xc ( Dc 'Dc ) y, xc (0)
,dYÊ6¸¯
¾ÌÀr¼Å
´·fÀ¯
.|Z]Ê»
cÓZu
½M
xc n c
xci n ci ,
xc
>xc1
{
į
xcN @T Á
diag Bc1 BcN , Ac
diag Ac1 Dc
diag Dc1 DcN Á C c
diag C c1 C cN 'C c d G C c
,
AcN Á
(8)
'Dc d G Dc
Ä¿Z»Z ,¹OÂe cÂÄ] (3) Ä¿Z»Z Á (6) ´·fÀ¯ ¾f§³ ¿ { Z]
:{Y{ ËZ¼¿ Ë cÂÄ] ½YÂeÊ» Y Äf] Ĭ¸u
,x
,C
ª h (t , x p ) º
Ax «
»
¬ 0 ¼
Cx
>x
T
p1
diag C1 C N
.|Z]Ê» Ci
; Á D
(9)
xcT1 xTpN
>D1
T
xcN
>Ci 0@ Á
Á
dY
Ã|Ë{³
§
(2)
¨u ¾¼ ZÆ¿M ÉÄÀÌÌ] Y|¬» ½{¯ Y|Ìa ĸX» ¥|Å Ä°ÀËY ZË Á |¿Â
.[9Á 8] |Z] 6¶¯ ÉÄf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÉY|ËZa
:{¯ ½ZÌ] Ë c Ä] Y ÄfÂÌa ºÆ] Ê6¸¯ Ä¿Z»Z ½YÂeÊ»
° x p Ax p Bu h(t , x p )
®
°¯ y Cx p
¦i 1mi
N
m
ÉZÅY{] \Ìee Ä]
.|ÀfÅ
,B
(3)
>u
uTN
¦i 1 pi
p Á y
T
1
,u
N
ÄfÂÌaºÆ]
Ä¿Z»Z
Á
Ã{Â]
]Ze
T
½M
>y
T
1
>h (t, x
1
{
į
yTN
@
Á
T
É{ÁÁ
diag ( A11 , A22 , , ANN )
diag (C1 , C 2 , , C N )
C
h(t , x p )
@
ÊmÁy
diag ( B1 , B2 , , B N ) , A
cZZ^eY
½M
{
į
ª Ai Bi Dci Ci
«
Bci Ci
¬
Bi Cci º
»
Aci ¼
*
p)
T
hN (t , x p )T
@
T
:{ÂÊ» ¦Ë e
°h (t , x p ) h n , hT h d x Tp ; T D T D;x p
®
°¯in the domains of continuity
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
½°
¾
°¿
T
diag (J 1I v1 ,..., J N I v N ) Á H
>H
T
1
@
H NT µZu
.|¿YÃ| ¦Ë e (2) { i 1, , N ÉY] ZÅ Hi į |ËÌ´] ¿ { Y
½YÂeÊ» ÃY¼Š,( Q i u Q i |uYÁ ËeZ» IQ i ) J i
D i2 ¦Ë e Z]
:[9] į d§ZË ½ZÀq Y * Á H ÉZÅËeZ»
D N @T Å ÉY] : H D Äf{ :1 ¦Ë e
Ë cÂÄ] į dY ÄfÂÌa –ÉYÄ°e ]YÂe Y ÉYÄf{ H D ,¹Â¸ »
HD
§
.dY ÄfÂÌa ºÆ] Ä¿Z»Z ¶¯ (ÊyÌ£) ʸyY{
@
, A diag A1 AN
Ai
Ã|
§ ¹Â¸ » ĸX» Ä] Äf] |À¿YÂe Ê» į |ÀfÅ ÊËZÅ ½Y¯ D i ! 0
Á
.|ÀfÅ ¹Â¸ » ¹¿ ½Y¯ Z] ÊËZÅdÌ « ¹|
°x
®
°y
¯
T
Á |ÀfÅ ¹Â¸ » Á vi u n {Z ]Y Z] ÉZÅËeZ» Hi ÓZ] Ä]Y {
:Á |ÀZ]Ê» ZÅÄ¿Z»ZË
'Bc d G Bc
@
Ä] d^¿ Êy ÉYÄ°e ÉY{] ]Ze ®Ë hi (t , x p ) : n 1 o ni
Y ®ËÅ ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa D ci Á C ci , Bci , Aci į Ã{Â]
,
dY
hi (t , x p )T hi (t , x p ) d D i2 x Tp H iT H i x p , i 1, , N .
, Bc
'Ac d G Ac
xTp 2 xTpN
:{ZÊ» Ã{ÁM] Y Ë
(7)
0
T
p1
Ê ]» É]Y]Z¿ {Ây Ê´fÂÌa ÃÂu { Á dY t, x p ½Z»Â³M Á{ Å
(6)
0
>x
Ä¿Z»ZË Å { {Âm» dÌ «¹| Á Ê6yÌ£ ÉZŹe ¹Z¼e ÉÁZu
į
Ì¿ Á ʷ¼ » ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ µ|» ZfyZ
xc Ac xc Bc y
®
¯u Cc xc Dc y, xc (0)
N
h(t , x p ) h(t , x p ) d xTp H T * 1Hx p d xTp H T * 1Hx p (4)
T
{Z ]Y Ä] H i ÉZÅËeZ» , H
Á
Ji ! 0
Z]
*
diag ( H 1 , H 2 , , H N ) ½M { į
diag (J 1I v1 ,..., J N I v N )
Á , Q i u ni
(10)
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
39
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
·Z°Y Á i 1,, N ÉYY Ä] U i Á Wi , Qi , Yi ÉZÅËeZ» Á
¹Y·Y ¾ËY Á |Z] h(t ,0) 0 į |À¯Ê» [ZnËY ©Â§ ¦Ë e
ÉYY{ Ë ÉZ ÄÀ̼¯ ĸX» įÉÂÄ] |ÀZ] ÄfY{ {ÂmÁ W 1 d^j»
.|Z] (9) Ä¿Z»Z µ{Z e Ĭ¿ ½YÂÀ ] x
:|Z] [YÂm
N
¦ Jˆ
minmize
ª
ªH T ºº
«diag L1 , , L N P
W1 «
»»
(14)
«
«¬ 0 »¼ »
«
»
W 1I
*
0
subject to
0
«
»
*ˆ »
*
*
«
«
»
¬
¼
:½M { į
ª AiT Ppi CiT YiT Ppi Ai Yi Ci
«
QiT Wi Ci
«¬
, i 1,, N ,
*ˆ diag (Jˆ I ,..., Jˆ I )
Li
Z]
1 v1
N vN
¹ÁZ¬»
cÂÄ]
>D1
dY Y|ËZa D
(9)
D N @T
CiT WiT Qi º
»
U iT U i »¼
(15)
Äf]Ĭ¸u
>1
Ä¿Z»Z
J1 1
ÃZ´¿M
JN
@
T
Ë ]YÁ Y Dc Á C c , Bc , Ac ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯
:|Z]Ê»
° » Ä^ ´¿ZÌ]
Pci1U i
Bci
Pci1Wi
Cci
1
Bin PPi
Qi
Dci
Bin Ppi1Yi
D N @T Äm{ Y ¹ÁZ¬» ÉY|ËZa :2 ¦Ë e
n
ÉY] , x 0 µ{Z e Ĭ¿ ³Y ,{ÂÊ» Äf¨³ D ÉY{] Äm{ Y ¹ÁZ¬»
.|Z] ÉY Ê^¿Zn» Y|ËZa h(t , x p ) HD ¹Z¼e
cÂÄ] [8] { Ã| ÄWYY ÉZÅ¦Ë e Äf§ZË Ä Âe 2 Á 1 ÉZÅ¦Ë e
.|ÀZ]Ê» ÉY{]
Äm{ Z] ¹ÁZ¬» cÂÄ] Y (9) Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ,[20Á 8] ª]Z»
´¸¼ ½M { į |ÀËMÊ» d|]
(16)
@
T
D ½{¯ ÄÀÌÌ] Z] .|Z] Y|ËZa ÉY Ê^¿Zn» cÂÄ] |À¯Ê»
.{ÂÊ» ÄÀÌÌ] Ì¿ Zn» ÉZÅdÌ « ¹| Á ÊyÌ£ ʸyY{
½Z¬f» ÉZÅËeZ» (S-procedure) S |¿Á8 :[4] 1 º·
{ T0 ,, T p ÉÁ Ë ËY .|ÀfÅ Á¨» T0 ,, T p nun
:|¿ÂÊ» Äf§³ ¿
] T0] ! 0
T
] z 0 , Ä°ËÂ] ] Ti] t 0 , i 1, ... , p . (11)
T
į ,|ÀZ] ÄfY{ {ÂmÁ ÊWZÅ W 1 t 0 , ,W p t 0 Ä°Ìe { µZu
p
T0 ¦W T ! 0
(12)
i i
i 1
.[4] {Â] |ÅYÂy Y«] (11) Ä]Y ÃZ´¿M ,|Z] Y«]
(17)
ªh(t , x p )º
«
» § Z] Á (17) Y É̳ ªf» Z]
¬ 0 ¼
:dY{ ºÌÅYÂy (17) { (9) Ä¿Z»Z cÓ{Z » ÉY~³ÉZm
V
J1 1 J N
:Ä]Y
xT Px
Á z1
>1
D N @T
- ©| (4) Ä]Y { į ÊWZÅ h(t , x p ) ¹Z¼e ÉY] Ä¿Z»Z ¾ËY ³Y
:Ë cÂÄ] ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ¾f§³ ¿ { Z] :cZ^iY
V
>D1
|À˳ Y|ËZa D
cÓZeY ÉY] Zn» ÉZy ,(3) Êy z] ÉZY|ËZa Z] ½Z»¼Å
ÉZÅf»YZa c ¾ËY { . * W 11*ˆ ZË Á J i W 11Jˆi ½M { į
Aci
>D1
Y|ËZa ,(4) { Ã| ÄWYY Y|¿Y¯ ÊyÌ£ dÌ «¹| Z] (9) Ä¿Z»Z
i
i 1
Äm{
:D
0 į |À¯Ê»
T
( A x z1 ) Px x P ( A x z1 )
T
ª x º ª A T P PA
« » «
*
¬ z1 ¼ «¬
Pº ª x º
»« »
0 ¼» ¬ z1 ¼
(18)
ª x º ª A T P PA
« » «
*
¬ z1 ¼ «¬
(3) ÄfÂÌa ºÅ Ä] ÊyÌ£ Ä¿Z»Z ÉY] Ã|ÀÀ°Ì£ Á ʷ¼ » d]Zi Ä^e»
Pº ª x º
»« » t 0
0 ¼» ¬ z1 ¼
(19)
:į dY ¾Á ,(4) Ä] ÄmÂe Z]
z1T z1 d xTp H T * 1Hx p
Y|¬» ¾f§ZË Z] ½YÂeÊ» .dY Ã|Ë{³ ½ZÌ] h(t , x p ) Ê6yÌ£ ¹e ½Y¯
Y|ËZa ½M ÉYYÄ] (9) Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z į * É« ËeZ» ÄÀ̼¯
.{¯ ¹Y|«Y D ¹Y« Äm{ ½{¯ ÄÀÌÌ] Ä] d^¿ ,dY
:|Z] Y«] Ë É]Y]Z¿ |ËZ] (18) ½{Â] ʨÀ» ÉY]
T
ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ÊuY ÉY] ÄÌ« Á{ z] ¾ËY {
ÉÄÀÌÌ] Y|¬» ½{¯ Y|Ìa ĸX» ¥|Å ,Ä°ÀËY Ä] ÄmÂe Z] .dY Ã| ÄWYY
xT Px xT Px
T
Z¯ ʸY lËZf¿ -3
.dY Á¨» (6) cÂÄ] É´·fÀ¯ Á (3) Z]Ĭ¸u Ä¿Z»Z :1ÄÌ«
:cÂÄ] P
P
diag P1 , , PN i 1,, N
, Pi
P T ¾Ì » d^j» ÉZÅËeZ» ³Y
diag Ppi , Pci ,
(13)
(20)
:{¯ ½ZÌ] Ë µ{Z » cÂÄ] Y (20) Ä]Y ½YÂeÊ» ¾ÌÀr¼Å
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
40
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
(26)
:½M { į
ª AiT Ppi CiT YiT Ppi Ai Yi Ci
«
QiT Wi Ci
¬«
Li
CiT WiT Qi º
»
U iT U i ¼»
¹ÁZ¬»
cÂÄ]
>D1
Y|ËZa D
( 9)
Äf]Ĭ¸u
>1
DN @
T
W 31*ˆ
(27)
c¾ËY { . *
Ä¿Z»Z
J1 1 J N
W 31Jˆi
ZË Á J i
ÃZ´¿M
@ Äm{
T
½M { į .dY
Ä]Y Y Dc Á C c , Bc , Ac ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa
.|ÀËMÊ» d|] (16)
:§ Z] Á 1 ÄÌ« cZ^iY ÉÃÂv¿ Ä]Z» :cZ^iY
' C c xc ,
z1
'Ac xc ,
z4
z2
'Dc Cx p
z5
'Bc Cx p
,
z3
h(t , x p )
,
0º
»
0¼»
º
0 »ª x º
»«z » t 0
¬ 1¼
I »¼
(21)
½YÂeÊ» 1 º· { (21) Á (19) ]YÁ É̳Z¯Ä] Z] Á (13) § Z]
º
ªW 2 C G 2 I W 5 C G T I
0
Dc
Bc
»
«
«
W 1G C2 I W 4G A2 I »
*
c
c ¼
¬
, i 1,, N .
Z]
T ª ª T 1
ª x º «« H * H
« » « «¬
*
¬ z1 ¼ «
*
¬
(28)
,
:į d§³ ÄnÌf¿
ª
ª H T * 1H
«diag L1 , , LN W 1 «
*
«
¬«
«
*
¬
º
P »
»d0
W 1I »¼
0º
»
0¼»
:dY{ ºÌÅYÂy ,(22) Ä]Y {  ¶¼°» É̳Z°] Z] µZu
ª
ªH T ºº
«diag L1 , , LN P W1 «
»»
«
¬« 0 »¼ »
«
W 1I
*
0 »d0
«
»
W 1* »
*
*
«
«
»
¬
¼
Li
«
¬«
T T
CiT Dci
Bi Ppi Ppi Ai Ppi Bi Dci Ci
T T
Cci
Bi Ppi Pci Bci Ci
T
CiT Bci
Pci
T
Aci
Pci
T
ª T
« A P PA
«
«
*
«
*
«
«
*
«
*
«
«
*
¬
ª0 º
ªBº
ªBº
ªI º
P« » P« » P« » P« »
¬I ¼
¬0 ¼
¬0¼
¬0¼
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ª0 º º
P« »»ª x º
¬I ¼ » « z »
0 »« 1 »
»«z »
0 »« 2 »
z
0 » «« 3 »»
» z4
0 »« »
«z »
0 »¼ ¬ 5 ¼
(29)
:|Z] Y«] |ËZ] Ë É]Y]Z¿ (29) ½{Â] ʨÀ» ÉY]
ªxº
« »
« z1 »
«z »
« 2»
« z3 »
«z »
« 4»
¬« z5 ¼»
T
ª T
« A P PA
«
«
*
«
*
«
«
*
«
*
«
«
*
¬
ªBº
P« »
¬0¼
0
0
0
ªBº
P« »
¬0¼
0
0
0
ªI º
P« »
¬0 ¼
0
0
0
ª0 º
P« »
¬I ¼
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ª0 º º
P« »» ª x º
¬I ¼» « z »
0 »« 1 »
»«z »
0 »« 2 » t 0
z
0 » «« 3 »»
» z
0 »« 4 »
«z »
0 »¼ ¬ 5 ¼
(30)
(24)
:Ë cÂÄ] Á *ˆ W1* cÂÄ] ÊËZÅ=̤f» Ì̤e Z]
Yi
Ppi Bi Dci
Qi
Ppi Bi Cci
Wi
Pci Bci
Ui
Pci Aci
z1T z1 d G C2c xcT xc z 2T z 2 d C G D2 c xTp x p
,
z5T z5
d C
,
.ƑcZ^iY
Ä^e» Z] Ã|ÀÀ°Ì£ d]Zi Ä^e» ´·fÀ¯ ÊuY Ä] É| ] ÄÌ« {
Ä¿Z»Z ÉY] ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa { dÌ «¹| Âu { ÃYÂz·{ d]Zi
:ºËY{aÊ» (3) ÄfÂÌa ºÅ Ä] ÊyÌ£
Z] (7) cÂÄ] Ã|ÀÀ°Ì£ É´·fÀ¯ Á (3) Z]Ĭ¸u Ä¿Z»Z :2 ÄÌ«
P
P T ¾Ì » d^j» ÉZÅËeZ» ³Y .|ËÌ´] ¿ { Y (8) ½Y¯
ÉYY Ä] U i Á Wi , Qi , Yi ÉZÅËeZ» Á (13) cÂÄ]
ÄfY{ {ÂmÁ j 1,..,5 ÉY] W j d^j» ÉZÅ·Z°Y Á i 1,, N
:|Z] [YÂm ÉYY{ Ë ÉZ ÄÀ̼¯ ĸX» įÉÂÄ] |ÀZ]
,
¦ Jˆ
i
i 1
,
(31)
G B2c xTp x p
,
]YÁ { 1 º· Y Ã{Z¨fY Z] ,1 ÄÌ« { cZ^iY |¿Á Ä]Z» µZu
ÄnÌf¿ ½YÂeÊ»  ¶¼°» É̳Z°] Z] ¾ÌÀr¼Å ,(31) Á (30) ,(29)
:d§³
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
N
minmize
z4T z 4 d G A2c xcT xc
(25)
½ZËZa .{{³Ê» ¶Zu (14) { Ã| ÄWYY Ê6y ÊËeZ» É]Y]Z¿ Ä]Y
:dY{ ºÌÅYÂy (8) Á (4) ,(28) Ä]Y ¾f§³ ¿ { Z]
z3T z3 d xTp H T * 1Hx p
Ppi Bi Cci º
»
¼»
Pci Aci
, i 1,, N .
ª Bz Bz 2 z3 º T
ª Bz1 Bz2 z3 º
T
( Ax « 1
» ) Px x P( A x «
»)
z 4 z5
z 4 z5
¬
¼
¬
¼
ªxº
« »
« z1 »
« z2 »
« »
« z3 »
«z »
« 4»
¬« z5 ¼»
(23)
:½M { į
ª AiT Ppi
:d¿ ½YÂeÊ»
V
(22)
subject to
ª
ª Bº
ªBº
ªI º
«diag L1 , , L N P « » P « » P « »
¬0¼
¬0¼
¬0 ¼
«
«
W 1I
*
0
0
«
W 2 I
*
*
0
«
«
W 3 I
*
*
*
«
*
*
*
*
«
«
*
*
*
*
«
*
*
*
*
«¬
ª0 º
P« »
¬I ¼
0
0
0
W 4 I
*
*
ª 0º
ªH ºº
P« » W 3 « »»
¬I ¼
¬ 0 ¼»
0
0 »
»
0
0 »
0
0
0 »
»
0
0 »
W 5 I
0 »
»
*ˆ »¼
*
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
41
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
Ã| ÃÌ·Z»¿ ÉZÅf»YZa e(t , x p ) : 5 o [0,1] ÓZ] ]YÁ {
Ë c Ä] Y Ä¿Z»Z ʸ¯ ¹§ ½YÂeÊ» .|ÀÅ{Ê» ½Z¿ Y cÓZeY
:d¿
ª0
«
«1
«0
«
¬«0
x p (t )
y (t )
1 0 0º
ª0
»
«
0 0 0»
1
x p (t ) «
«0
0 0 1»
»
«
0 1 0¼»
¬«0
0º
»
0»
u (t ) h(t , x p )
0»
»
1¼»
h(t , x p )
0º
»
0»
e(t , x p ) x p
0 0 0»
»
0 1 0¼»
0
1
*
*
*
*
W 4I
*
*
*
*
{ dÌ «¹| Âu { e(t , x p ) [0,1] Ë{Z¬» ļŠÉY]
.|À¯ Y|ËZa ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa
ÄWYY Á
ZY ] ZfËY ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ Êy d·Zu {ÂyZ]
4.4950 ¹Y« Äm{ ,[8] { Ã|
>725 .9085 40.4346 @ \ËY
Ä] Z=»Y .|Z]Ê» ^20 r 17.8093i` ¶Zu Äf] Ĭ¸u ÉZÅ\«
Á ,|Å{Ê» d|] Y K
Z] Ĭ¸u Ä¿Z»Z { Y|ËZaZ¿ |» {ÂmÁ d¸ Ä] į |Ë{ ½YÂeÊ» ʳ{Z
{ÂyZ] pÌÅ Z] Ä¿Z»Z ¾ËY ,{{³Ê¼¿ ÅZ ÊmÁy { ½M cZÔY į
(32)
Li
ª AiT Ppi
«
¬«
T T
Bi Ppi PPi Ai CiT Dci
T T
Cci Bi PPi Pci BciCi
Ppi Bi DciCi
I § Z] [20] 1 ÄÌ« Y į ¶»Z¯ Ä^e» ZËÂa ÊmÁy
Ac=104×[-0.4670 -1.4182;-1.0131 - cÂÄ] dY Ã|»M
, Bc=104×[-3.3926;1.5118] , 3.1931]
ÉZÅ\« ´·fÀ¯ ¾ËY į ,|Z]Ê» Dc= -333.7029 Á 767.0817]
:|Å{Ê» Y« Ë Ë{Z¬» { Y Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z
^- 3.6543 u 10
4
;-0.0390 u 10 4 ;-0.7455 r 0.5605i
`
Ƒ.cZ^iY ½ZËZa .|Ì ºÌÅYÂy (26) Ä]Y Ä] , *ˆ W 3*
Ä] ½YÂeÊ» ´·fÀ¯ Ä^e» ½{Y{ Y« ¨ Z] 2 Á 1 ÄÌ« { :1 Äf°¿
2 Á 1 ÄÌ« ¾ÌÀr¼Å ,dyY{a ZfËY ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ÊuY6
´·fÀ¯ ÊuY6 Y C
I § Z] Á ´·fÀ¯ Ä^e» ½{Y{ Y« ¨ Z]
.|]ZËÊ» Ì̤e d·Zu {ÂyZ] ´·fÀ¯ ÊuY6 Ä] ZËÂa ÊmÁy {ÂyZ]
ÄWYY Êy ÊËeZ» ÉZÅÉ]Y]Z¿ ÊWZZÀ ÉY] Ä·Z¬» ¾ËY { :1 ÄmÂe
[22] `̼·ZË Y]Y Ä^ m Y ,Y§Y¹¿ Ìv» Ä] 2 Á 1 ÄÌ« { Ã|
Y§Y¹¿ Ìv» { LMILab Y]Y Ä^ m Y ZŽM 6¶u ÉY] Á (Yalmip)
.dY Ã|Ë{³ Ã{Z¨fY (Matlab) \¸f»
É{| µZj» -4
µÁ|¿Za Á{ d¯u ,ÄËZ¬» d̸]Z« ÂÀ» Ä] Á ÉZÄÌ^ ÂÀ» Ä]
Ã| Äf§³ ¿ { |¿YÃ| ¶f» ´Ë|°Ë Ä] À§ Âe į
° »
¶]Z« Ì£ dÆm Á ÃY|¿Y Z] Ê¿ZƳZ¿ ÉZÅa { |¿YÂeÊ» į dY
ÃÌ·Z»¿ Á Êy µ|» ®Ë .|¿Y¤¸] ¾ÌËZa Á ÓZ] Y µÁ|¿Za Éĸ̻ ,ÊÀÌ]Ìa
:[8] ºË̳ʻ ¿ { Ë c Ä] Y ZÅÄ¿Z»ZË Y ®Ë Å Y Ã|
x p1 (t )
e(t , x p ) µZÀ´Ì ÉZ ÄÌ^ ÉY] dY Ã| Ã{Y{ ½Z¿ 2 ¶°
y1 (t )
ÊmÁy Á ZÅd·Zu \Ìee Ä] 4 ¶° Á 3 ¶° .dY Ã| Ã{Z¨fY
½Z¿ Y [20] 1 ÄÌ« ¶»Z¯ Ä^e» ´·fÀ¯ Y ¶Zu Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z
ÉZÅf»YZa ½{Â] ±] {ÂÊ» Ã|ÅZ» Ì¿ 3 ¶° { Är¿ZÀq .|ÀÅ{Ê»
Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu ÉY] Y Ê ÌÁ cYÌ̤e ÃZ] ,´·fÀ¯
.dY Ã| \m»
1,, N .
cÂÄ] =̤f» Ì̤e Á (33) { (25) Ä]Y ÉZÅ=̤f» Ì̤e µZ¼Y Z]
{ į 0/5 ¿ZËYÁ Á 0/5 ¾Ì´¿ZÌ» Z] ʳ Ë¿ µZÀ´Ì ®Ë Y
ª0 1 º
ª0 º
«
» x p1 (t ) « »u (t ) h1 (t , x p )
¬1 0 ¼
¬1 ¼
,
>1 0@x p1 (t ) ,
h1 (t , x p )
x p 2 (t )
y 2 (t )
ª 0 0 0 0º
«
» e(t , x p ) x p
¬ 1 0 1 0¼
,
ª0 1 º
ª0 º
«
» x p 2 (t ) « »u (t ) h2 (t , x p )
1
0
¬
¼
¬1 ¼
,
>1 0@x p 2 (t ) ,
h2 (t , x p )
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
,i
(33)
{ÂyZ] ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa ,|Z]Ê» Ë~a½Z°»Y ZËÂa ÊmÁy Êy
Cc=[243.5166
T
CiT Bci
Pci Ppi BiCci º
»
T
Aci Pci Pci Aci ¼»
ªW 2 C G D2 I W 5 C G BT I
º
0
c
c
»
«
«¬
W1G C2c I W 4G A2c I »¼
*
{ÂyZ] Z] Z¯¾ËY Z»Y .|Z]ʼ¿ ÉZY|ËZa ¶]Z« ZfËY ÊmÁy Êy
d|] H
ªH ºº
ª0 º
P« » W 3 « »»
¬ 0 ¼»
¬I ¼
0
0 »
»
0
0 »
d0
0
0 »
»
0
0 »
W 5I
0 »
»
W 3* ¼»
*
(36)
Y Ä¿Z»Z į ºËÁM d|] ¯¼f»Ì£ µfÀ¯ ½Â¿Z« ®Ë ºÌÅYÂyÊ»
ËeZ» Á D * D1 D 2
ª0 º
P« »
¬I ¼
0
0
0
:½M { į
:½M { į
0
0
ªI º
ªBº
P« » P« »
¬0 ¼
¬0¼
0
0
W 2I
0
W 3I
*
(35)
ª1 0 0 0º
«
» x p (t )
¬0 0 1 0 ¼
ª0
«
« 1
«0
«
¬« 1
ª
ªBº
«diag L1 , , LN P « »
¬0¼
«
«
W 1I
*
«
*
*
«
«
*
*
«
*
*
«
«
*
*
«
*
*
¬«
ª 0 0 0 0º
«
» e(t , x p ) x p
¬ 1 0 1 0¼
.
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
(34)
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
42
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
3
Dc = -11.0025
0 ± 3.1626
Ac=-334.0098
Bc=-115.8581
Cc=-761909.8291
Dc=-428932.9973
(-98.5963
±626.2838i)
-136.8172
Ac=[-2728.1704 -4701.1121
-1602.6708 -2815.1797]
Bc=[-2777.8063 -1631.8701]T
Cc=[-737860.0973 -1341458.1817]
Dc=-1019733.2438
-5375.1735
(-69.9510
±502.8512i)
-28.2745
K=Dc = [-10.5076 -8.0126]
-1.4483
-6.5642
0
2
1
e(t,x)
1
0
2
-1
-2
0
{ÂyZ]
d·Zu
2
4
6
Time (sec.)
8
10
0/5 ¿ZËYÁ Á 0/5 ¾Ì´¿ZÌ» Z] ʳ Ë¿ µZÀ´Ì :2 ¶°
(C=I)
ÉY] Y 6¶¯ Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÊmÁy Á ZÅd·Zu 6 ¶° Á 5 ¶°
\Ìee Ä] 8 ¶° Á 7 ¶° Á ,Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] µÁY Ä^e» ´·fÀ¯
Å ÉY] ¹Á{ Ä^e» ´·fÀ¯ Z] Y Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÊmÁy Á ZÅd·Zu
ÉY] 1 µÁ|m { D1 D 2 1.5 § Z] 1 ÄÌ« Y ¶Zu lËZf¿
É̳Y« ¶v» ÃY¼Å Ä] Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] ´·fÀ¯ ¦¸fz» ÉZÅÄ^e»
.dY Ã| Ã{Y{ ½Z¿ Äf] Ĭ¸u ÉZÅ\«
.|Å{Ê» ½Z¿ Ä¿Z»Z Ë
2000
50
1000
0
0
-1000
x
x
-50
-100
-2000
-150
-3000
-200
0
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] ®Ë Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu :5 ¶°
-4000
0
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
[20] { Ã| ÄWYY ¶»Z¯ Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu :3 ¶°
0.3
1 ÄÌ« Y ¶Zu
0.5
0.2
0
0.1
y
-0.5
y
0
-1
-0.1
-1.5
-2
-2.5
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
2
4
6
Time (sec.)
8
10
[20] { Ã| ÄWYY ¶»Z¯ Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÊmÁy :4 ¶°
Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] ®Ë Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÊmÁy :6 ¶°
1 ÄÌ« Y ¶Zu
Ŀ¼¿ Ä¿Z»Z Ä] 1 ÄÌ« µZ¼Y Z]Äf]Ĭ¸uÉZÅ\«Á´·fÀ¯ÉZÅf»YZa :1 µÁ|m
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
Ĭ¸u ÉZÅ\«
Äf]
´·fÀ¯ Ä^e»
´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
43
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
50
0.2
0
0.1
-50
x
y
0.3
0
-100
-0.1
-150
-0.2
0
2
4
6
Time (sec.)
8
-200
0
10
1 ÄÌ« Y ¶Zu d·Zu {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÊmÁy :10 ¶°
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] Á{ Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu :7 ¶°
1 ÄÌ« Y ¶Zu
ÄÌ^ ,Ã| ÄWYY Á ÊWMZ¯ ½{Y{ ½Z¿ ÉY] d¼« ¾ËY {
0.5
Y Ã{Z¨fY Z] Á ´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa { dÌ «¹| Âu { ÉZ
0
§ Z] 2 ÄÌ« Y ¶Zu lËZf¿ .dY Ã| ¹Zn¿Y 2 ÄÌ«
0.01 , G B c
0.01 , G Ac
0 .01 Á D1
D2
ÃY¼Å Ä] ´·fÀ¯ ¦¸fz» ÉZÅÄ^e» ÉY] 2 µÁ|m { , G D c
1.5
-0.5
0 .01
-1
y
Á G Cc
.dY Ã| Ã{ÁM Äf] Ĭ¸u ÉZÅ\« É̳ Y« ¶v»
-1.5
µÁY Ä^e» ´·fÀ¯ ÉY] dÌ «¹| ÉZÅf»YZa ÉZ ÄÌ^ ¾ËY {
-2
:dY Ã| Äf§³ ¿ { Ë ¹§ Ä] Ä¿Z»Z Ë Å ÉY]
'Ac
0.01 sin( 3t )
, ' Bc
'C c
0.01 cos( t ) 'Dc
0.01 sin( 5t )
,
(37)
0.01 sin( t )
,
-2.5
0
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] Á{ Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÊmÁy :8 ¶°
1 ÄÌ« Y ¶Zu
Ŀ¼¿ Ä¿Z»Z Ä] 2 ÄÌ« µZ¼Y Z]Äf]Ĭ¸uÉZÅ\«Á´·fÀ¯ÉZÅf»YZa :2 µÁ|m
ºÅ į |ÀÅ{Ê» ½Z¿ ZŶ° ,ÃYÂz·{ ÉZÅÄ^e» Y ´·fÀ¯ ÊuY d̸]Z« ] ÃÁÔ
Äf]
Dc = -3.0781
0 ± 1.44i
Ac = -103.0782
Bc = -44.8305
Cc = -7568.5345
Dc = -5115.0377
Ac =[ -32.3502 -47.8556
-46.5729 -97.8487]
Bc=[ -41.5950 -67.5857]T
-68.4570
(-17.3106
Cc =[ -4569.1215 -8714.0399]
-44.2478
-7.3939
K=Dc = [-8.2358 -7.19]
Éf¼¯ \eY»Ä] d¿ ½Z» ºÅ Á dY [20] Y f¼¯ ZÌ] ZÅd·Zu cYÌ̤e ÃZ]
Á ZÅd·Zu 10 ¶° Á 9 ¶° { ¾ÌÀr¼Å .dY Ã| ¶Zu ÊuY ¾ËY {
1 ÄÌ«
ZY ] d·Zu {ÂyZ] ´·fÀ¯ Y ¶Zu Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÊmÁy
{ Ä¿Z»Z Y ÉfÌ] cZÔY ¾fY{ ZÌfyY { Ä] ÄmÂe Z] .dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿
0
Y fÆ] \eY» Ä] ÊuY ¾ËY ÉZÅxZa dÌÆË|] ,d·Zu {ÂyZ] ´·fÀ¯ ÊuY
Z] 10 ¶° Á 9 ¶° { Y {Â^Æ] ¾ËY ½YÂeÊ» į |Z] ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯
1
.{¯ Ã|ÅZ» ʸ^« Ë{Z¬» Z] ZŽM d¿ ½Z» Á ZÅd·Zu cYÌ̤e ÃZ] ÄËZ¬»
±49.44i)
5
(-39.2785
±54.6544i)
-1.21
-5.98
0
-5
2
-10
x
Dc = -7978.2686
´·fÀ¯ Ä^e»
Ĭ¸u ÉZÅ\«
´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa
{ÂyZ]
-15
d·Zu
-20
(C=I)
ÉZÅf»YZa Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] ¹Á{ Ä^e» ´·fÀ¯ ÉY] ¾ÌÀr¼Å
:dY Ã| Äf§³ ¿ { Ë cÂÄ] dÌ «¹|
'Ac
'Bc
ª 0.5 sin(3t ) 0.5 sin(5t ) º
0.01«
»
¬0.5 sin( 2t ) 0.5 cos(t ) ¼ ,
ª0.7 sin(3t ) º
0.01«
»
¬ 0.7 cos(t ) ¼
-25
-30
0
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
1 ÄÌ« Y ¶Zu d·Zu {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu -9 ¶°
(38)
,
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
44
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
50
0
'C c
0.01>0.7 cos( t ) 0.7 sin( 4t )@ ,
' Dc
0.01 sin( t )
Z] [20] lËZf¿ ÉZ ÄÌ^ Y ¶Zu lËZf¿ 12 ¶° Á 11 ¶° {
-50
´¿ZÌ] 12 ¶° Á 11 ¶° .{{³Ê» Ã|ÅZ» (38) dÌ «¹|
ZfyZ { dÌ «¹| ¾f§³ ¿ { Z] Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÉY|ËZaZ¿
-100
ÉY] Á Ã{Â] Ã|ÀÀ° [20] { Ã| ÄWYY ÊuY dÌÆË|] .dY ´·fÀ¯
-150
.|Z]ʼ¿ \ZÀ» ʸ¼ ÉZÅ{]Z¯
-200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ë Å ÉY] ®Ë Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu :13 ¶°
y
2 ÄÌ« Y ¶Zu Ä¿Z»Z
Äf] Ĭ¸u Ä¿Z»Z ÊmÁy Á ZÅd·Zu 18 ¶° Ze 13 ¶° ¾ÌÀr¼Å
Å ÉY] ZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ¦¸fz» ÉZÅ Ä^e» ÉY] Y 6¶¯
0.5
½Z¿ (38) Á (37) dÌ «¹| Âu { Á 2 ÄÌ« Y ¶Zu Ä¿Z»Z Ë
0
ÉZƸ° { į Ã| ÄWYY Á ¦¸fz» ÉZÅd̸]Z« ] ÃÁÔ .|Å{Ê»
-0.5
{ÂmÁ Z] į {ÂÊ» Ã|ÅZ» ,|Ë{³ ½ZÌ] 1 ÄÌ« lËZf¿ ÉY] Ã| ÄWYY
½ZÀr¼Å Ã|»M d|] ÉZÅxZa ,´·fÀ¯ ÉZÅf»YZa { dÌ «¹|
-1
½{Â] Ã|ÀÀ°Ì£ .|Å{Ê» ½Z¿ Y Ã| ÊuY ´·fÀ¯ ÉÓZ] ÊWMZ¯
-1.5
ʸ¼ ÉZÅ{]Z¯ { Ze |Å{Ê» Z» Ä] Y ½Z°»Y ¾ËY Ã| ÊuY ´·fÀ¯
-2
-2.5
0
.ºË |À»ÃÆ] Á ¾ËY lËZf¿ Y ÊfuYÄ]
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
2
Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] ®Ë Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÊmÁy :14 ¶°
x 10
10
0
2 ÄÌ« Y ¶Zu
-2
x
50
-4
0
-6
-50
x
-8
-100
-10
0
-200
0
2
4
6
Time (sec.)
8
10
{ Ã| ÄWYY ¶»Z¯ Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu :11 ¶°
-150
dÌ «¹| Âu { [20]
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
2
Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] Á{ Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu :15 ¶°
2 ÄÌ« Y ¶Zu
x 10
8
1.5
0.5
y
0
1
y
-0.5
0.5
-1
-1.5
0
0
-2
-2.5
0
2
4
6
Time (sec.)
8
10
[20] { Ã| ÄWYY ¶»Z¯ Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÊmÁy :12 ¶°
0.2
0.4
0.6
Time (sec.)
0.8
1
dÌ «¹| Âu {
Ä¿Z»Z Ë Å ÉY] Á{ Ä^e» ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÊmÁy :16 ¶°
2 ÄÌ« Y ¶Zu
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
45
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
ÊuY6 Ä] ½YÂeÊ» ´·fÀ¯ Ä^e» ½{Y{ Y« ¨ Z] 2 Á 1 ÄÌ« { .dY
5
Z] 2 Á 1 ÄÌ« { ¾ÌÀr¼Å ,dyY{a ZfËY ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯
0
cÂÄ] ZÅd·Zu Ê»Z¼e Ä°ÀËY § Z] Á ´·fÀ¯ Ä^e» ½{Y{ Y« ¨
-5
{ÂyZ] ´·fÀ¯ ÊuY6 ,|ÀZ]
f{ { ÊmÁy { ºÌ¬f»
-10
.d§ZË |ÅYÂy Ì̤e d·Zu {ÂyZ] ´·fÀ¯ ÊuY6 Ä] ZËÂa ÊmÁy
-15
ÉZÅf»YZa Á ¹Y« ÉZÅÄm{ ,´·fÀ¯ Ä^e» ¾ÌÌ e Z] ÊuY |¿Á
-20
¯¼f»Ì£ ÉZÅ´·fÀ¯ ¾ÌÀr¼Å .|Å{Ê» d|] Y ¿ {» ´·fÀ¯
-25
{ .|ËZ¼¿Ê» ¾Ì¼e Ì¿ Y ¶¯ Ä¿Z»Z ÉY|ËZa ,ÊuY ¾ËY Y ¶Zu
-30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 ÄÌ« Y ¶Zu d·Zu {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÉZÅd·Zu :17 ¶°
Ä¿Z»Z ®Ë ÉZY|ËZa Ê´¿Â´q ½{Y{ ½Z¿ ÉY] µZj» ®Ë ,Ä·Z¬» ¾ËY
Á Ã|Ë{³ ÄWYY ¯¼f»Ì£ µfÀ¯ Z] ÄfÂÌa ºÆ] ÉZÅÄ¿Z»Z Ë Y ¶°f»
0.06
ÉY] Á ¾ËY .dY Ã| ÄËZ¬» ʸ^« ÉZÅZ¯ Y ¶Zu lËZf¿ Z]
0.04
Á ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] ´·fÀ¯ ÊuY { ʻ¼ ÉZÅ{]Z¯
0.02
.dY \ZÀ» ZÌ] ÌÁ
Z̬» Ì£ ÉZÅÄ¿Z»Z
y
mY»
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
[1] Gahinet, Pascal, Nemirovski, Arkadi, Laub, Alan J.,
Chilali, Mahmoud, LMI control toolbox, The Math Works,
Natick, MA, 1995.
[2] Gahinet, P., Apkarian, P., 1994, “A linear matrix inequality
approach to H control”, Internat. J. Robust Nonlinear
Control, 4, 421-448.
[3] Iwasaki, T., Skelton, R.E., 1994, “All controllers for the
general H control Problem: LMI existence conditions and
state space formulas”, Automatica, 30, 1307-1317.
[4]
-0.1
-0.12
-0.14
0
2
4
6
Time (sec.)
8
10
2 ÄÌ« Y ¶Zu d·Zu {ÂyZ] Z] Ä¿Z»Z ÊmÁy :18 ¶°
¶]Z« dÆm Á{ Y Ã|»M d|] lËZf¿ ,{ÂÊ» ÄuÔ» Är¿ZÀq
Z] ÄËZ¬» { Ã|»M d|] Äf]Ĭ¸u ÉZÅ\« Ä°ÀËY µÁY :|Z]Ê» Ê]
Boyd, Stephen, El Ghaoui, Laurent, Feron, Eric,
Balakrishnan, Venkataramanan, Linear Matrix Inequalities
in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994.
ÄnÌf¿ { į dY Ê»ÂÅ» Âv» Y eÁ{ ʸ^« ¶»Z¯ Ä^e» ÉZÅZ¯
[5] Dullerud, Geir E., Paganini, Fernando, A Course in Robust
Control Theory: A Convex Approach, Springer, N.Y, 2000.
dY ¦¸fz» ÉZÅÄ^e» Y ´·fÀ¯ {ÂmÁ ĸX» ¾Ì»Á{ ,dY eY|ËZa Á
[6] Geromel, J.C., Bernussou, J.C., de Oliveira, M.C., 1999,
“H2-norm optimization with constrained dynamic output
feedback controllers: Decentralized and reliable control”,
IEEE Trans. Automat. Control, 44, 1449-1454.
[7] Geromel, J.C., Bernussou, J., Peres, P.L.D., 1994,
“Decentralized control through parameter space
optimization”, Automatica, 30, 1565-1578.
[8] Siljak, D.D., Stipanovic, D., 2000, “Robust stabilization of
nonlinear systems”, Math. Probl. Eng., 6, 461-493.
[9] Siljak, D.D., Stipanovic, D., 2001, “Autonomous
decentralized control”, Proc. ASME Intern. Mech. Eng.
Congress, 761-765.
[10] Zhai, G., Ikeda, M., Fujisaki, Y., 2001, “Decentralized
controller design: A matrix inequality design using a
homotopy method”, Automatica, 37, 565-572.
[11] D'Andrea, R., Dullerud, G.E., 2003, “Distributed control
design for spatially interconnected systems”, IEEE Trans.
Automat. Control., 48, 1478-1495.
eË ZÌ] Ì¿ Ä¿Z»Z xZa Á |Å{Ê» d{Ä] Y ÉfÆ] ZÌ] ÉY|ËZa
ZÌ¿ Ä] ÄmÂe Z] cÁZ¨f» ÉZÅÄ¿Z»ZË ÉY] Y ´·fÀ¯ Ä^e» ½YÂeÊ» į
xZa {ÂÊ» ÄuÔ» Är¿ZÀq .{¼¿ ºÌÀe ¦¸fz» ÉZÅ{]Z¯ {
´·fÀ¯ Y f Ë ZÌ] ZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ Y ¶Zu
Ä] d·Zu {ÂyZ] ´·fÀ¯ Y ¶Zu xZa Ê·Á dY d·Zu {ÂyZ]
ÄmÂe Z] ¾ÌÀr¼Å .|Z]Ê» YY{ Y Éf¼¯ ʳ{¾ÌËZa Á ʳ{ÓZ] \eY»
YmY Y ÊZ¿ cÔ°» ,2 ÄÌ« Y ¶Zu ´·fÀ¯ ½{Â] Ã|ÀÀ°Ì£ Ä]
|Ë{³ Ã|ÅZ» ¶Zu lËZf¿ { Är¿ZÀq .|Ì |ÅYÂy ¶«Y|u Ä] ¶¼ {
xZa Á Ã{Â] Ã|ÀÀ° ZÌ] dÌ « ¹| Âu { [20] Y ¶Zu lËZf¿
.dY Ã|Ë{³ Y|ËZaZ¿ Ä¿Z»Z
É̳ÄnÌf¿ -5
[12] Zecevic, A.I., Neskovic, G., Siljak, D.D., 2004, “Robust
decentralized exciter control with linear feedback”, IEEE
Trans. Power Syst., 19, 1096-1103.
{ÂyZ] ´·fÀ¯ ÊuY ÉY] Ê·fÀ¯ Á ®Ë ,Ä·Z¬» ¾ËY {
[13] Stipanovic, D.M., Teo, Inhalan R., Tomlin, C., 2004,
“Decentralized overlapping control of a formation of
unmanned aerial vehicles”, Automatica, 40, 1285-1296.
ÊyÌ£ ʸyY{ cÓZeY Z] Êy ÉZÅÄ¿Z»ZË Y \¯» ÉZÅÄ¿Z»Z
[14] Siljak, D.D., Zecevic, A.I., 2004, “Control of large-scale
systems: Beyond decentralized feedback”, in: Proc. 10th
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
ÉY] d]Zi ÃYÂz·{ Ä^e» Z] Ã|ÀÀ°Ì£ ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy
Ã| ÊuY ,|¿ZÊ» Ã{ÁM] Y Ê ]» {ÂÌ« į dÌ «¹| ÉYY{
Äf§³ ÃÆ] ZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ʻ¼ ZfyZ Y s ¾ËY .dY
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÊyÌ£ dÌ « ¹| Z] ÌÁ
Z̬» ÉZÅÄ¿Z»Z ÉY] d]Zi ÉÄ^e» Y ¹ÁZ¬» ¯¼f»Ì£ ÉZËÂa ÊmÁy {ÂyZ] ´·fÀ¯ ®Ë ÊuY
46
|n» ÉÅÂm |ÌuÁ ,É{Ân É|Æ»
[19] Zhu, Y., Pagilla, P.R., 2007, “Decentralized output
feedback control of a class of large scale interconnected
systems”, IMA J. Math. Control Inform., 24, 57-69.
[20]Stankovic, S. S., Siljak, D. D., 2009, “Robust stabilization
of nonlinear interconnected systems by decentralized
dynamic output feedback”, Systems & Control Letters, 58,
271-275.
IFAC Symposium on Large Scale Systems, Osaka, Japan,
1-10.
[15] Zecevic, A.I., Siljak, D.D., 2004, “Design of robust static
output feedback for large-scale systems”, IEEE Trans.
Automat. Control., 49, 2040-2044.
[16] Siljak, Dragoslav D., Decentralized Control of Complex
Systems, Academic Press, New York, 1991.
[21]Labibi, B., Marquez, H. J., Chen, T., 2009, “Decentralized
robust output feedback control for control affine nonlinear
interconnected systems”, Journal of Process Control, 19,
865–878.
[17] Pagilla, P.R., Zhu, Y., 2005, “A decentralized output
feedback controller for a class of large-scale
interconnected nonlinear systems”, Trans. ASME, J.
Dynam. Syst.Meas. Control, 127, 167-172.
[22]Lofberg, John, What is YALMIP?, Linkopings univeritet,
http://control.ee.ethz.ch/~joloef/wiki/pmwiki.php?n=Main.
What, 2001.
[18] Stankovic, S.S., Stipanovic, D.M., Siljak, D.D., 2007,
“Decentralized Dynamic Output Feedback for Robust
Stabilization of a Class of Nonlinear Interconnected
Systems”, Automatica, 43, 861-867.
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
µfÀ¯ ĸn»
ISSN 2008Ͳ8345
47-55 Äv¨ ,1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m
ºfÌ ÉY] ,µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM
2
Ã{Y·Zy |̼u ,1ÊfËM Ê»
1
[email protected] ,Ê ¾Ë|·Y Ì¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ ,µfÀ¯ ÃÁ³ ,©] Ê|ÀÆ» Éf¯{ ÉÂn¿Y{
[email protected] , Ê ¾Ë|·Y Ì¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ ,µfÀ¯ ÃÁ³ ,©] Ê|ÀÆ» Ç|°¿Y{ ,ZÌ¿Y{
2
(1389/9/25 Ä·Z¬» Ë~a xËZe ,1389/4/12 Ä·Z¬» d§ZË{ xËZe)
Z] ,¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉZÅd·Zu dY {Z« į Ã| ÄËYY |Ë|m Ê«Z¨eY ʬÌ^e ʤ· |» ³dËÁ ®Ë Ä·Z¬» ¾ËY { :Ã|Ì°q
ÉZÅÁ Y Ã{Z¨fY Z] Y ½M Á {Y|¿ µ|» ÊÀÌ »Z¿ ÉÓZ] ½Y¯ ¾f¿Y{ Ä] ÉZÌ¿ Ã| ÄËYY ³dËÁ .|¿] ¾Ì¼ze Y f»YZa Á µ|» ÊÀÌ »Z¿
Ë¿ iY .dY ¾Ì »Z¿ ÉZÅf»YZa ¾Ì¼ze Ä] {Z« ³dËÁ ,Ã| ÄËYY ª]Ze ½Â¿Z« Y Ã{Z¨fY Z] ´Ë{ ¥ Y .|¿Ê» ¾Ì¼ze ʬÌ^e
Y Ã{Z¨fY Z] .dY Ã| µ|» Ê«Z¨eY ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » Âe ³dËÁ ¾ËY]ZÀ] Á Ã| Äf§³ ¿ { ³dËÁ cÓ{Z » { É̳ÃY|¿Y
Ã| Ã{Y{ ½Z¿ ,¾ËY ] ÃÁÔ .dY Ã| cZ^iY ZÅd·Zu ÉZy ºfÌ µZ¼fuY { ÉY|ËZa ,Ê«Z¨eY ¥Â¿ZaZÌ· ÉY|ËZa ÄÌ« Á Ê«Z¨eY cZÌZË
į dY ¾ËY Ã| ÄËYY ³dËÁ ´Ë{ dË» .|ÀÀ¯Ê» ¶Ì» Y|¿YÃY ºfÌ ÉZÅd·Zu Ä] Ã| ÄËYY ³dËÁ ÉZÅd·Zu ½Z» d~³ Z] į
Y f»YZa Á µ|» ÉZÅÊÀÌ »Z¿ Á Ë¿ Z] ĸ]Z¬» ÊËZ¿YÂe ³dËÁ Ä°ÀËY Ä] ÄmÂe Z] .|¿Z»Ê» Ê«Z] ÃËÁZ¿ Á {Á|v» Ä̼Š³dËÁ ʬÌ^e ÃÆ]
ÉZÄÌ^ lËZf¿ Á Ã{Z¨fY ÉË¿ Ê]ÂM ÉZźfÌ ÉZ½Z»¼Å s ®Ë { ³dËÁ ,dY Ã| cZ^iY ½M ÉZÅd·Zu ÊËY´¼Å Á {Y{
.dY Ã| Ã{ÁM
.Ê«Z¨eY ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » Á Ê]ÂM ÉZźfÌ ÉZ½Z»¼Å ,Ê«Z¨eY ¥Â¿ZaZÌ· ÉY|ËZa ,ʤ· |» ³dËÁ :É|̸¯ cZ¼¸¯
Designing a Stochastic Adaptive Stable in Probability Observer,
for Noisy Uncertain Chaotic Systems
Moosa Ayati, Hamid Khaloozadeh
Abstract: In this paper a novel stochastic adaptive sliding mode observer is developed which is
able to estimate the states of an uncertain chaotic system with model and parametric uncertainties.
The type of the model uncertainty could be unknown and its upper bound is estimated by adaptive
methods. The unknown parameters are estimated using a proposed adaptation law. In addition, the
effects of noise are considered in the observer dynamics and then the response system is modeled
via stochastic differential equations. Using stochastic calculus and stochastic Lyapunov stability, the
stability in probability of the states’ error system is proved. Moreover, it is proved that the states of
the proposed observer converge to the drive system states while the adaptation gains of the observer
remain non-singular and bounded. Since the observer can suppress the effect of noise and
uncertainties and the states’ convergence is proved, proposed observer is used in a noisy chaos
synchronization system.
Keywords: Sliding mode observer, Stochastic Lyapunov stability, Chaotic systems
synchronization, Stochastic differential equation.
Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ,µfÀ¯ ĸn»
ÊfËM Ê» :cZ^eZ°» Y{ Ã|Æ Ã|ÀË¿
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉY] ,µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
48
Ã{Y·Zy |̼u ,ÊfËM Ê»
ÉZÌ] { f»YZa ÊÀÌ »Z¿ į {Y{ d̼ÅY ¿ ¾ËY Y » ¾ËY .dY ¾°¼»
Z] ¾»Y cY]Zz» ÉZÅs Y ÉZÌ] { Êfu Á {Y{ {ÂmÁ ʸ¼ ÉZźfÌ Y
 Ä] ÊeY]Zz» ºfÌ dÌÀ»Y ËY§Y ÉY] Ê]ÂM ÉZźfÌ Y Ã{Z¨fY
Y [17] ¶°» ¾ËY § ÉY] .{ÂÊ» ħZY ZźfÌ Ä] f»YZa ÊÀÌ »Z¿ É|¼
¾Ì »Z¿ ÉZÅf»YZa ÊËZZÀ ÉY] Êf³Z] cZ ]» ¶«Y|u ÊËZZÀ ºfË´·Y
cZ^iY { Éf»YZa ÉZÅÊÀÌ »Z¿ iY ½Âq {ÂmÁ ¾ËY Z] .dY Ã{¯ Ã{Z¨fY
¾Ì »Z¿ ÉZÅf»YZa Á ÄÌ·ÁY ËY Y Êy] ÉY] ,Ã|¿ Äf§³ ¿ { ÉY|ËZa
.{Â] |ÅYÂy Y|ËZaZ¿ Ê¿Z»¼Å ºfÌ
{ Y|¿YÃY ºfÌ { f»YZa Á µ|» ZÅÊÀÌ »Z¿ ¿ Á{ Å iY Ä·Z¬» ¾ËY {
Stochastic ) Ê«Z¨eY ʬÌ^e ʤ· |» ³dËÁ Y Á dY Ã| Äf§³ ¿
ºfÌ ½YÂÀ Ä] (SASMO ZË Adaptive Sliding Mode Observer
Ä] ÉZÌ¿ į dY ½M Ã| ÄËYY ³dËÁ ºÆ» dË» .dY Ã| Ã{Z¨fY xZa
ºfÌ) ³dËÁ Âe ÓZ] ½Y¯ ¾ËY Á {Y|¿ µ|» ÊÀÌ »Z¿ ÉÓZ] ½Y¯ ¾f¿Y{
Äf§³ ¿ { ª]Ze ½Â¿Z« Y Ã{Z¨fY Z] ,¾ËY ] ÃÁÔ .{ÂÊ» Ã{ ¾Ì¼ze (xZa
ÉZÅÊÀÌ »Z¿ iY ¾ÌÀr¼Å Á |ËMÊ» d|] z»Z¿ ÉZÅf»YZa Y ÊÀ̼ze Ã|
¿ { ʸ¯ ºfÌ ÉY|ËZa cZ^iY |¿Á Á xZa µ|» ,Y|¿YÃY µ|» { f»YZa
Ê¿ÁY] d¯u ¿ Y Ê«Z¨eY ÉZÅ|ÀËM§ Âe į Ë¿ iY .dY Ã| Äf§³
cÓ{Z » { Ì¿ Ã| µ|» (standard Brownian motion) {Y|¿ZfY
.dY Ã| Äf§³ ¿ { xZa ºfÌ
cÓ{Z » Y Ã{Z¨fY Z] xZa Á Y|¿YÃY ÉZźfÌ ,Ë¿ {ÂmÁ ¶Ì·|]
µ|» [18] (stochastic differential equations) Ê«Z¨eY ¶Ì¿Y¨Ë{
ÉË¿ Ê]ÂM ÉZźfÌ ¦ÌÂe ÉY] Ê^ZÀ» Y]Y cÓ{Z » ¾ËY į |¿YÃ|
Y ,xZa Á Y|¿YÃY ¶»Z ʸ¯ ºfÌ ÉY|ËZa Ê] Á ¶Ì¸ve ÉY] .|ÀfÅ
stochastic ) Ê«Z¨eY ÉY|ËZa ÉZËZ« Á [19] (Ito calculus) ÂfËY cZÌZË
ÉË¿ Ê]ÂM ºfÌ Y [21] .dY Ã| Ã{Z¨fY [20] (stability theorems
Y s ¾ËY { Ë¿ iY ¶Ì¸ve ÉY] Á Ã{¯ Ã{Z¨fY ÉZ½Z»¼Å s ®Ë {
.dY Ã| ÄËZ¬» ZÆ¿M lËZf¿ Á Ã{Z¨fY ÂfËY µY´f¿Y Á ½Z¼Ë µY´f¿Y Á{ Å
ÉZźfÌ ¶Ì¸ve ÉY] ÂfËY cZÌZË Y Ã{Z¨fY į |¿YÃ{Y{ ½Z¿ ZÅÉZÄÌ^
.dY ÉÁ ÉË¿ Ê]ÂM
¥Â¿ZaZÌ· ÉY|ËZa ÉZËZ« Y Ã{Z¨fY Á ÄÌ« ®Ë ÄËYY Z] Ä·Z¬» ¾ËY {
{ Y|ËZa SASMO ,ZÅÊÀÌ »Z¿ Á Ë¿ {ÂmÁ º£ ʸ į Ã| cZ^iY ,Ê«Z¨eY
ºfÌ ÉZÅd·Zu Ä] ³dËÁ ÉZÅd·Zu Ã| Ã{Y{ ½Z¿ ¾ÌÀr¼Å .dY µZ¼fuY
d|] ¾Ì »Z¿ ÉZÅf»YZa Y ÊÀ̼ze ³dËÁ ¾ÌÀr¼Å .|ÀÀ¯Ê» ¶Ì» Y|¿YÃY
i» ZÌ] Ê]ÂM ÉZźfÌ ÉZ ½Z»¼Å {Â^Æ] { ¾Ì¼ze ¾ËY į |Å{Ê»
į |ÀfÅ ÃËÁZ¿ Á {Á|v» Ä̼Š³dËÁ ʬÌ^e ÉZÅÃÆ] ZÆÀËY ] ÃÁÔ .dY
.dY SASMO ÉZËY» ´Ë{ Y {» ¾ËY
Á ºÌÅZ¨» ¹Á{ z] { į dY Ã| ÊÅ|¿Z»Z \Ìee ¾ËY Ä] Ä·Z¬» ¾ËY
z] { .dY Ã| Ã{ÁM Ê«Z¨eY cZÌZË { Ã{Z¨fY {» ÄÌ·ÁY ÉZÅ¦Ë e
SASMO cÓ{Z » ¹ZÆq z] { Á Ã| ½ZÌ] Y|¿YÃY ºfÌ ]YÁ ¹Â
ÉZÄÌ^ lËZf¿ ºnÀa z] { .dY Ã| cZ^iY ½M µZ¼fuY { ÉY|ËZa Á ÄËYY
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
Ä»|¬» -1
ÊyÌ£ ÉZźfÌ Y ÉZÌ] { Á dY ʸ¯ ÉYÃ|Ë|a Ê]ÂM Zf§
{ [1] ¿Â· į | \¸m Êf«Á Y Ã|Ë|a ¾ËY Ä] ½Y|À¼¿Y{ ÄmÂe .{ÂÊ» ÅZ
Ê|ÀÆ» { [ÂM .dyY{a [ÂM Ê] Á ʧ » Ä] YÄ·Z¬» { 1963
¿ { ½Z°Ë Ë¿ Z] Y ½M Yj¯Y Y|f]Y { Á d§³ Y« ÄmÂe {» eË{ ʸÌy
Ê]ÂM ÉZÅZf§ į | Ã{Y{ ½Z¿ [2] 1990 µZ { Z] ¾Ì·ÁY ÉY] .|Àf§³Ê»
.[3] |¿| ½Z»¼Å ºÅ Z] Ê]ÂM ºfÌ Á{ ,µZ ½Z¼Å { Á |ÀfÅ µfÀ¯ ¶]Z«
Âe [ÂM
ZY ] ¾»Y cY]Zz» ºfÌ ¾Ì·ÁY 1992 µZ { ¾ÌÀr¼Å
.([5] Á [4]) |»M {ÂmÂ] ©] ½Z|ÀÆ»
ÄÌ·ÁY ËY Ä] |Ë| ZÌ] dÌZu Ê]ÂM ÉZźfÌ Ê³ËÁ ¾Ëf¼Æ»
ºfÌ Á{ ÄÌ·ÁY ËY { Ê°q¯ Ì̤e Z] į ÊÀ » ¾ËY Ä] .dY ZÅf»YZa Á
cÂ] ½Z» d~³ Z] ºfÌ Á{ ¾ËY d·Zu ÉZÅÌ» ,½Z°Ë Ô»Z¯ Ê]ÂM
µfÀ¯ ¶j» {Y» Êy] { ʳËÁ ¾ËY |ÀqÅ .|¿ÂÊ» Á{ ºÅ Y ÊËZ¼¿
dÌZu ZÅ{]Z¯ Y ÉZÌ] { Ê·Á ,dY ºuY» Ã| ¶a¯ ÉZÅ´¿Z¿
¾ËY ,µZj» ½YÂÀ Ä] .|ËMÊ» [Zu Ä] dË» ®Ë Ê]ÂM ÉZźfÌ |Ë|
Z] ÊeY]Zz» ÉZźfÌ {ZnËY ÂÀ» Ä] Ê]ÂM ÉZźfÌ Ä¯ | hZ] ʳËÁ
ÉZźfÌ Y ¦¸fz» ¶¿ ZÆq ½M ÄnÌf¿ { į |¿Â Ã{Z¨fY ÓZ] dÌÀ»Y
¾»Y cY]Zz» { į ÉYĸX» ¾Ëf¼Æ» .[6] dY Ã|»M {ÂmÂ] [ÂM cY]Zz»
Ã|¿Ì³ Á (Y|¿YÃY ºfÌ) Ã|Àf§ ÉZ½Z»¼Å ºÌfÅ ÄmY» ½M Z] Ê]ÂM
.dY (xZa ºfÌ)
ZË ZÅd·Zu Y Ê ]Ze į dY ZÀ » Ä] ÉZ½Z»¼Å ʸ¯ d·Zu {
ÄmÂe Z] .|ÀÀ¯ µZ^¿{ Y ´Ë|°Ë Á Ã| ½Z°Ë ºÅ Z] xZa Á Y|¿Y ÃY ÉZÅf»YZa
Â] ZźfÌ ¾ËY į |Ê» ¿ Ä] Ê]ÂM ÉZźfÌ {ZË ZÌ] dÌZu Ä]
Y Ã{Z¨fY Z] į ÊËZÅÁ ½{¯ Y|Ìa ¾ËY]ZÀ] .|ÀZ] ÉZ½Z»¼Å ¶]Z«Ì£ ÊeY}
ĸ¼m Y .{Â] |ÅYÂy |̨» ZÌ] ºÌÀ¯ ½Z»¼Å Y Ê]ÂM ÉZźfÌ ºÌ¿YÂf] ZÆ¿M
®Ë { xZa ºfÌ ½YÂÀ Ä] ³dËÁ Y Ã{Z¨fY ZÅÁ ¾ËY ¾Ëe\ZÀ»
.dY Ê]ÂM ÉZ½Z»¼Å s
½YÂeÊ» {Y{ {ÂmÁ µÂ^« ¶]Z« Ê¿Z»¼Å {ZnËY { į Ê ¿Y» ĸ¼m Y
¿Y» ¾ËY § ÉY] .{] ¹Z¿ Y Y|¿YÃY Á xZa ÉZźfÌ { Ë¿ Á ZÅÊÀÌ »Z¿
ÉZÅÊÀÌ »Z¿ iY ZÆÀe [8] Á [7] { µZj» ½YÂÀ Ä] dY Ã| ÄËYY É{ZË ÉZŶuÃY
ZÆÀe [13] Á [12] { Á Éf»YZa ÉZÅÊÀÌ »Z¿ iY ZÆÀe [11] Á [10] ,[9] { Á µ|»
ÉY] |À¼ÂÅ ÉZÅÁ Y [15] Á [14] { .dY Ã| Äf§³ ¿ { Ë¿ iY
¾ËY ÉZÃ{ZÌa Ê·Á dY Ã| Ã{Z¨fY ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ÉZźfÌ ÉZ½Z»¼Å
¾ËY Y ÉZÌ] { .|¿Y{ {ZË ÊeZ^Zv» ½YÂe Z] ÊËZÅÃ|¿Y{a Ä] ZÌ¿ ZÅÁ
µÂ¼ » ÉZÅÁ Y Á Ã|¿ Äf§³ ¿ { ÉY|ËZa ¶Ì¸ve { Ë¿ iY cÓZ¬»
.dY Äf§ Z¯ Ä] ÉY|ËZa ¶Ì¸ve
ÉZ½Z»¼Å s ®Ë { Á{ Å µ|» ÊÀÌ »Z¿ Á Ë¿ iY [16] {
Ê«Z¨eY ÉY|ËZa ÉZËZ« Y Ã{Z¨fY Z] Á Ã| Äf§³ ¿ { Ê]ÂM ÉZźfÌ
Ã{Y{ ½Z¿ [17] Ä·Z¬» { .dY Ã| cZ^iY ZÅd·Zu ¾¼ze ÉZy ºfÌ ÉY|ËZa
Ì£ Ê¿Z»¼Å {ZnËY {¿ Äf§³ ¿ { f»YZa ÊÀÌ »Z¿ iY ³Y į dY Ã|
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
49
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉY] ,µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
Ã{Y·Zy |̼u ,ÊfËM Ê»
Y|»
ZY ] ÉZ½Z»¼Å s ®Ë { SASMO ½{] Z°] Y ¶Zu
Z] ¨ ¾Ì´¿ZÌ» µZ»¿ ËÂe , 0 d s t f , B t B s ɼ¿ ([
.dY Ã| Ã{ÁM ÉË¿ ÉMÂq
.{Y{ t s ¿ZËYÁ
Ƒ.dY Fs Y ¶¬f» , 0 d s t f , B t B s ɼ¿ (k
{ Y Ë ÂfËY ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » Z] ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê«Z¨eY ÊyÌ£ ºfÌ
|ËÌ´] ¿ { :, F, 5 ¶»Z¯ µZ¼fuY ÉZ§
dx t
Ax t dt Bu t dt f ( x , t )dt g (x , t )dB t
dy t
Cx t dt
(1)
Ä mY» [19] Á [18] mY» Ä] |À¿YÂeÊ» fÌ] cZÔY ÉY] |À¼«Ô ½Z³|À¿YÂy
ÉZÅd·Zu Y{] x t R n ,½Z» ̤f» t R .dY ÊeÓZ¼fuY ÃY|¿Y
Á ºfÌ ÊmÁy Y{] y Rm ,Ê·fÀ¯ É{ÁÁ Y{] ut R p ,ºfÌ
ÊyÌ£
ÉY{]
]Ze
f : Rn u R o Rn
®Ë
ÄË¿ { {]Z¯ a Á ÄÌ·ÁY ºÌÅZ¨» ,¦ËZ e Y É{Y| e z] ¾ËY {
.dY Ã| ½ZÌ] |¿YÄf§ Z¯ Ä] Ä·Z¬» ¾ËY { į Ê«Z¨eY cZÌZË Á µZ¼fuY
5 Á , : ÉÁ ^m Z¼´Ì ®Ë F ,ZÅ|»ZÌa ÉZ§ : ½M { į
.dY
Ê«Z¨eY µfÀ¯ ÄÌ·ÁY ºÌÅZ¨» -2
.|ÀËZ¼¿
dY : ļn» ÉZÅļn» Ë Y ÉYÄf{ į , F [18] :1 ¦Ë e
Y Ë YÂy ³Y ºÌ»Z¿Ê» : ÉÁ ( V algebra ) ^m Z¼´Ì ®Ë Y
:|Z] ÄfY{
ÉZÅËeZ» C Á B , A Á ºfÌ Ë¿ c| g : R n u R o R n ub
Z] ¨ ¾Ì´¿ZÌ» ʳ |ÀËM§ ®Ë dB t Rb .|ÀfÅ \ZÀ» {Z ]Y Z] z»
ZËZ« .|Å{Ê» ½Z¿ Y B t {Y|¿ZfY Ê¿ÁY] |ÀËM§ ¼¿ į dY dt ¿ZËYÁ
.dY Y«] (1) { Ã| ¦ÌÂe Ê«Z¨eY ºfÌ ÉY] Ë ]YÁ Á
, ut Ë~aÃY|¿Y É{ÁÁ Á , t0 R , x0 R n ÄÌ·ÁY ËY Å ÉY]
Á t0 ½Z» { x0 ÄÌ·ÁY ËY Y į (1) Ä·{Z » x t , t 0 , x 0 , u ¶u
.{ÂÊ» ¦Ë e ^Ft `t t0 ËÓZa Z] Á :, F, 5 µZ¼fuY ÉZ§ { ,{ÂÊ»
¶»Z Á Bt Ê¿ÁY] |ÀËM§ Z] Ã| |Ì·Âe ,dY Y ÄfÂÌa ^Ft `t t0 ËÓZa
ÄÌ«
ZY ] ¾ÌÀr¼Å .dY ( 5 null sets ) 5 oÂa 5ÉZÅļn» ¹Z¼e
É{ÁÁ Å ÉY] į ZÀ » ¾ËY Ä] .dY ¶»Z¯ (1) ºfÌ ,ÊËZf°Ë Á {ÂmÁ
(1) ºfÌ , Z : ¹Z¼e ÉY] Z^ˬe Á t0 , x0 ÄÌ·ÁY ËY , ut Ë~aÃY|¿Y
Ã| ¦Ë e t ¹Z¼e ÉY] į {Y{ x t , t 0 , x 0 , u c Ä] ÊËZf°Ë ¶u
Á (t, Z) { Ë~aÃY|¿Y , x0 Ä] d^¿ Ê«Z¨eY ÄfÂÌa , t Ä] d^¿ ÄfÂÌa Á
.dY
.dY ÊÆe ļn» I į , I F (¦·Y
A
¶¼°» ÃZ´¿M |Z] F
.|Z] F Ä] ª¸ f» ºÅ Ac
Ƒ.|Z] fi 1 A i F ÃZ´¿M ,|Z] ( ^A i `1d i f F )
ÉÁ 5 (Probability Measure) ÊeÓZ¼fuY ÃY|¿Y [18] :2 ¦Ë e
į 5 : F o > 0, 1@ c Ä] dY Ê ]Ze :, F Ë~aÃY|¿Y ÉZ§
5 : 1 (¦·Y
^Ai `i t1 F
P fi 1 A i ÊËY§Y Y|̯Y Á ÄfÂÌa ]YÂe ¹Z¼e ļn» [23] :7 ¦Ë e
0 į P : > 0 , a o R
ļn»
Å
ÉY]
I if i
Ô¯ ]YÂe Y |Z] Y«] lim P ( r ) o f ZÆ¿M ÉY] į K
Ô¯ ]YÂe
r of
Ƒ.|À»Z¿Ê» Kf
f
i
i 1
.dY ¶»Z¯ µZ¼fuY ÉZ§ ,|Z] F=F ³Y
^A : :
B , C F such that
B A C , P(B )
P(C )`
Äf{ ®Ë .|ËÌ´] ¿ { Y :, F, 5 µZ¼fuY ÉZ§ [18] :4 ¦Ë e
H ! 0 Á t 0 t 0 Å ÉY] ³Y dY µZ¼fuY { Y|ËZa ÉY
§
·
Lim P ¨ Sup x t , t 0 , x 0 , 0 ! H ¸
x 0 o0
© t 0 dt
¹
0
dY ( t 0 d t ) t ½Z» { (1) Ä·{Z » ¶u x t , t 0 , x 0 , 0 ½M { į
^Ft `t t0
^Ft `t t0
ÉÃ| ªÌ^e Y
xt
Ê«Z¨eY |ÀËM§ :5 ¦Ë e
5Ë~a ÃY|¿Y , x t |ÀËM§ , t Å ÉY] ³Y ,ºÌ»Z¿Ê» ( adapted ^Ft `t t0 )
Ƒ.|Z] Ft
ËÓZa Z] µZ¼fuY ÉZ§
:, F, 5 |ÌÀ¯ § [19] :6 ¦Ë e
ʬ̬u Ë{Z¬» Z] É|ÀËM§ , ^Bt `t t0 {Y|¿ZfY Ê¿ÁY] |ÀËM§ .|Z] ^Ft `t t0
:|Z]Ê» Ë ÉZÅʳËÁ ÉYY{ į dY ^Ft `t t0 Ã| ªÌ^e Á
B0
0 (¦·Y
.{ÂÊ» Á t 0 Á x 0 ÄÌ·ÁY ËY Y į
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
|À¿Z»
Ƒ( t t 0, Ft s !t Fs ) .ºÌ»Z¿Ê» µZ¼fuY ÉZ§ ÉÁ (Filteration)
[20] Á [19] (stability in probability) µZ¼fuY { ÉY|ËZa :1ÄÌ«
Â] (1) Ê«Z¨eY ¶Ì¿Y¨Ë{ Ä·{Z » Ä] Â]» x e { 0 µ{Z e Ĭ¿ (¦·Y
j )
¦ P A ËÓZa ®Ë Y F ÉÁ ÊËY§Y ÉZÅ^m Z¼´Ì Ë Y
([
.{ÂÊ» Ã|Ì»Z¿ µZ¼fuY ÉZ§ ®Ë :, F, 5 ÊËZeÄ [18] :3 ¦Ë e
5Ê«Z¨eY ÉY|ËZa Ä] Â]» ¦ËZ e Á ZËZ« d¼« ¾ËY { .dY Ê « ÉZźfÌ
.|À»Z¿Ê» K
Ô¯ ]YÂe Y dY P (0)
ÉYn»
ºÌZ] ÄfY{ ( A i A j
F
.dY Ã| Ã{ÁM (1) Ê«Z¨eY ÊyÌ£ ºfÌ
: A ÊÀ Ë
|Z] ª¸ f» F Ä] , A i |À¿Z» ZÅļn» Y ÊÅZÀf»Z¿ ÉYÄ·Z^¿{ ³Y (k
^Ft `t t0 Ã| ªÌ^e
ÉY|ËZa Y cÁZ¨f» Ê«Z¨eY ÉZźfÌ ÉY|ËZa Ë¿ {ÂmÁ ¶Ì·|]
Ä] ª¸ f» A ļn» ³Y ([
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉY] ,µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
50
Ã{Y·Zy |̼u ,ÊfËM Ê»
Â] (1) Ê«Z¨eY ¶Ì¿Y¨Ë{ Ä·{Z » Ä] Â]» x e { 0 µ{Z e Ĭ¿ ([
{ ÄfÂÌa Á fÌ `Ì· ʸv» Â] f 1 Á h ]YÂe |ÌÀ¯ § ¾ÌÀr¼Å
|ÀfÅ < R
h (x 1 ) h (x 2 ) d K h x 1 x 2 ;
x 1, x 2 <
(5 )
f 1 (x 1 ) f 1 (x 2 ) d K f 1 x 1 x 2 ;
x 1, x 2 <
(6 )
n
Å ÉY] Á |Z] µZ¼fuY { Y|ËZa ³Y dY µZ¼fuY { Ê^¿Zn» Y|ËZa ÉY
Ƒ.|Z] Y«] Lim P Lim x tt 0 , x 0
x 0 o0
0
t of
1 Ä]Y t 0 t 0
stochastic Lyapunov ) Ê«Z¨eY ¥Â¿ZaZÌ· ÉY|ËZa :2 ÄÌ«
Ƒ.|ÀZ]Ê» fÌ `Ì· d]Zi K h R Á K f 1 R
[19] (stability
Ê«Z¨eY ¶Ì¿Y¨Ë{ Ä·{Z » ÉY] ʸv» [YÂm ÊËZf°Ë Á {ÂmÁ ËY ¾ËY
]Ze į |ÌÀ¯ § .|ËÌ´] ¿ { Y (1) Ê«Z¨eY ÊyÌ£ ºfÌ
{Á|v» ÉZÅÊÀÌ »Z¿ į dY ºfÌ µ|» Y Êf¼« f 2 .|ÀÀ¯Ê» ¾Ì¼e Y (3)
Y P2 Á P1 ]YÂe Á C 2,1 Ä] ª¸ f» V ( x , t ) : > 0 , f u R n o R .|Å{Ê» ½Z¿ Y É̳ÃY|¿Y ¶]Z« Ì£ cZZf£Y ZË Á z»Z¿ ÉÓZ] ½Y¯ Z]
Y|¿YÃY Y Ê·ZY ¹ZÌa |¿YÂeÊ» f 2 Ê]ÂM cY]Zz» ºfÌ ®Ë { ,¾ÌÀr¼Å
.|À¯ µ|» dY ¾Ì »Z¿ ʸ¯ d·Zu { į Y xZa ºfÌ Ä]
{ |ËZ]
|ÅYÂy
:2
P 1C T \ ( y , t )
f 2 (x , t )
.|
f2
ʧ »
3
x R n , t t 0 Å ÉY] Ä°ËÂ] |¿Y{ {ÂmÁ K f
Ô¯
P1 ( x ) dV (x , t ) d P2 ( x )
wV
wV
f (x , t )T
wt
wx
·
1 §
w 2V
tr ¨ g (x , t )T
g ( x , t ) ¸ d P3 ( x )
2 ©
wx 2
¹
(7)
{
į
P
|À¯
©|
į dY ÉY{] Ê ]Ze \ ( y , t ) : R u R o R m
(2)
LV (x , t )
K
Ô¯ Y ʨÀ»Ì£ Á ÄfÂÌa Ê ]Ze P3 : R n o R .|Z] Y«]
m
\ ( y ,t )
d ¦ i 1K i U i ( y t , t )
F
Ui ( y t , t ) : R u R o R , i
m
f2
(8)
N
1, 2, N
Á Ki R
Á x 0 R n ÄÌ·ÁY ËY Z] x e { 0 ÉZf°Ë ¶u ,ËY ¾ËY Z] .dY
Á dY µZ¼fuY { Y|ËZa ÉY Â] į {Y{ {ÂmÁ t 0 R ]Ze Ä] .|ÀZ] z»Z¿ |À¿YÂeÊ» \ ( y , t ) Á Ki ,ʸ¯ d·Zu { .dY
(matched uncertainty) Äf§ZË ª]Ze ÊÀÌ »Z¿ |À¯ ©| ËY ¾ËY { į
Ƒ.dY Äf]YÁ ºfÌ ÊmÁy Ä] ZÆÀe į |À˳ʻ
ÃÆ] Y{] L R n u m Á Ë~aÉZ°M ( A , C ) kÁ :3
^
`
ZË (generator) Ã|ÀÀ¯ |Ì·Âe Y L .|Z]Ê» P lim P3 (x , t ) 0
t of
1
Ƒ.|À»Z¿Ê» V ( x , t ) Ê«Z¨eY |ÀËM§ (diffusion operator) Zf¿Y ´¸¼
[20] (Dynkin’s Formula) ¾Ì°ÀË{ µÂ»§ :3 ÄÌ«
ʧ{Ze ½Z» ®Ë W Á ÄfÂÌa dY Y ¥Â¯Z» |ÀËM§ xt |ÌÀ¯ §
Ìze `q Äv¨ ºÌ¿ Ä] Y ( A , C ) d¨m ÃËÁ Ë{Z¬» į dY ³dËÁ
weak ) A ´¸¼ ÄÀ»Y{ { f ( x t , t ) ³Y .dY E x W f į |Z]
ÉYY Ä] .dY ¾Ì » d^j» Á ½Z¬f» ÊËeZ» Q R n un .|Å{Ê»
ÃZ´¿M |Z] (infinitesimal operator
Ä]Y { į {Y{ {ÂmÁ P R n u n ¾Ì » d^j» ËeZ» ®Ë Q R n un
E x ,t f ( x W , t W ) f ( x 0 , t 0 )
W
E x ,t ³ Af (x s , t s ) ds
0
.|À¯Ê» ©| Ë ¥Â¿ZaZÌ·
Ƒ.{Â] |ÅYÂy Y«]
(9)
( A LC )T P P ( A LC )
Q and
BT P
HC
(10)
1
2 K f 1O ( P ) O ( P ) K g C
2
2
2 K h KT HC O (Q ) 0
.| |ÅYÂy ʧ » 4 { K g
Y|¿Y ÃY ºfÌ ¦ÌÂe -3
Y Ë ÂfËY ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » Z] Ã| ¦ËÂe ¾Ì »Z¿ Ê«Z¨eY ÊyÌ£ ºfÌ
|ËÌ´] ¿ { Y|¿Y ÃY ºfÌ ½YÂÀ Ä]
dx t
( A x t Bu t ) dt Bh ( x t )T dt f ( x t , t ) dt
dy t
Cx t dt
¾Ì »Z¿
ÉZÅf»YZa
ÉZÅ]Ze f : R u R o R
n
ʤ· |» ʬÌ^e Ê«Z¨eY ³dËÁ -4
®Ë ,0(3) Ê«Z¨eY ÊyÌ£ ºfÌ ÉZÅd·Zu ¾Ì¼ze ÉY] Ä·Z¬» ¾ËY {
Stochastic Adaptive Sliding ) ʤ· |» ʬÌ^e Ê«Z¨eY ³dËÁ
{ ³dËÁ ¾ËY µ|» .dY Ã| ÄËYY ,(SASMO ZË Mode Observer
³dËÁ .dY Ã| Ã{Y{ s ½M ¦¸fz» ÉZÅd¼« Á Ã{ÁM z] ¾ËY Ä»Y{Y
Ë¿ {ÂmÁ ÌiZe dve į yt ÊÀ Ë ºfÌ ÊmÁy Y Ã{Z¨fY Z] ¬§ Ã| ÄËYY
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
T Rq
Y{]
n
½M
Á h :R o R
n
p uq
{
(3)
į
,( T d K T )
ÃY ºfÌ cÓ{Z » { {ÂÊ» Ã|ÅZ» į ¿Z¼Å .|ÀfÅ ÊyÌ£ ÉY{]
Z°] µ|» ¿ ¾ËY Y Á |¿YÃ| Äf§³ ¿ { Éf»YZa Á µ|» ÉZÅÊÀÌ »Z¿ ,Y|¿Y
(3) µ|» ÉY] ¾ÌÀr¼Å .dY [22] { Äf§ Z°] µ|» Y eʸ¯ Ã| Äf§³
.dY Ã| Ã{ÁM Ä»Y{Y { į Ã| Äf§³ ¿ { ÊÁ
dY z] Á{ Ä] ºÌ¬e ¶]Z« f |ÌÀ¯ § :1
f (x , t ) f 1 (x ) f 2 (x , t )
(4)
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
51
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉY] ,µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
Ã{Y·Zy |̼u ,ÊfËM Ê»
¾Ì´¿ZÌ» Á Ã{Â] µZ¼fuY { ÉY Y|ËZa ZÅd·Zu ÉZy ºfÌ Ä°ËÂ] |¿]
¾Ì¼ze Y Y|¿Y ÃY ºfÌ ÉZÅd·Zu ,|Z]Ê» ºÅ ZÅÊÀÌ »Z¿ Á É̳ÃY|¿Y
Ƒ.|À¯ ¶Ì» ºfÌ ÉZÅd·Zu ¾Ì´¿ZÌ» d¼ Ä] ³dËÁ ÉZÅd·Zu
dY Ë cÂ] (xZa ºfÌ) ³dËÁ µ|» .|¿Ê»
Êfu ,Ä̼ŠÄÌ« ¾ËY Y Ã|»M d|] ³dËÁ ʤ· |» ÉÃÆ]
(11)
Ê«Z] ÃËÁZ¿ Á Y{½Y¯ ,{ÁÊ» ¨ d¼ Ä] ZÅd·Zu ÉZy ¾Ì´¿ZÌ» Ä°Ì»Z´ÀÅ
dxˆt
.|¿Z»Ê»
ºÌÅ{Ê» ¶Ì°e Y ZÅd·Zu ÉZy ºfÌ ,ÉY|ËZa Ê] ÉY] :cZ^iY
{Â] |ÅYÂy Ë c Ä] į
det
Á ,f
f 2 S , f
2
2
f 1 ( x t ) f 1 ( xˆt ) , AC
1
dy t
g (dy t dy t , t ) dW t
Cxˆt dt
¾ËY { .{Â] |ÅYÂy fËÁÅ A LC ËeZ» L Y{] Y Ã{Z¨fY Z]
,[24] dY xZa ºfÌ Á Y|¿YÃY ºfÌ ÊmÁy Y Ê ]Ze ,Ë¿ c| µ|»
A LC į
.{¯ µ|» Y É̳ÃY|¿Y Ë¿ ½M Y Ã{Z¨fY Z] ½YÂeÊ»
Bh (x t )T Bh (xˆt )T
.dY Y«] Ë Ä]Y ½M ÉY] į {Y{ {ÂmÁ K g ! 0 d]Zi :4
f 1 f 2 h Á G > g @ ÉZÅY{] ¦Ë e Z] { d]Zi e { 0
(12)
µ{Z e Ĭ¿ µZ¼fuY { ÉY|ËZa |ËZ] .dY h
f
(18)
AC et dt f dt f dt h dt gdW t
1
( Axˆt Bu t f 1 ( xˆt ))dt L (dy t dy t ) Bh ( xˆt )T S (xˆt , x t , y t , Ui ( y t , t ),Kˆi (t ), t )dt
cÂ] ½YÂeÊ» Y (18) Ä]Y
ACet dt fdt GdWt
det
(19)
\ZÀ» ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze |Ë|¿Z¯ [Zzf¿Y Z] .{¯ ÊË¿ Z]
(20)
V (et , T , Kˆi (t ), t ) etT Pet ¦
N
i
1
2
Kˆi (t ) Ki T T
1
zi
tr g (dy t dy t , t )T g (dy t dy t , t ) d K g dy t dy t
|ËMÊ» d|] Ë Ä]Y Y Á dY Ã| Ã{ ¾Ì¼ze ÉZÅf»YZa Y{] T
T
I 1h T ( x t ) HCe t
(13)
Y ¶Zu ZÅd·Zu ÉZy ºfÌ .dY ÃYÂz·{ ¾Ì » d^j» ËeZ» I į
Y|ËZa Ë Ê¤· |» ÃÆ] Y Ã{Z¨fY Z] , et
I T T h (t )
2
x t xˆt ,(11) Á (3) cÓ{Z »
T
{Â] |ÅYÂy
1
(14)
S ( xˆt , x t , y t , U i ( y t , t ),Kˆi (t ), t )
P 1C T (Cet )¦ i 1Kˆi U i ( y t , t )
N
Ce t h1 (t ) h 2 (t )¦ i 1Kˆi U i ( y t , t )
N
.ºÌÀ¯Ê» Ê] Y 4 ÄÌ« dv ÉY] ʧZ¯ ËY
n 3
(20) Ä] , L Zf¿Y ´¸¼ µZ¼Y Z] .dY C 2,1 Ä] ª¸ f» V : R o R
Ä^Zv» (15) Ä]Y Y Ã{Z¨fY Z] Á dY Ki ¾Ì¼ze , Kˆi (t ) R ºËY{
,{ÂÊ»
(21)
Pe
I T T T T LV (et , T , Kˆi (t ), t ) etT AC et f
e P AC et f
T
t
¦
N
i 1
T
T
T
dKˆi
t
T
d|] (21) { f
f
f
2
zi Cet Ui ( yt , t )dt, Kˆi (0) R , i 1,2,, N
Ä] ª¸ f» h1 (t ) : R o R IT
2
1
Kˆi (t ) Ki Kˆi (t ) tr (G T GP ) h1 (t )
2
zi
1
(15)
Á , Kˆi (t ) R , z i R į
.|Z]Ê» sup h1 (t ) M f Á sup h1 (t ) 0 ¾ÌÀr¼Å .dY C 1
t R t R h ÉY~´ËZm Á (9) Y Ã{Z¨fY Z]
0
|ÀfÅ Y«] Ë Á Á Ã{Â] C Ä] ª¸ f» h2 (t ) : R o R (16)
|ËMÊ»
LV (et ,Kˆi (t ), t )
IT f
1T
Pet etT Pf 1 f
h Pet e Ph ¦ i
T
T
t
etT Qet T T I T T T T
N
2T
h 2 (t ) T
2
Pet etT Pf 2 2
Kˆi (t ) Ki Kˆi (t )
1
zi
¦
1
N
i
Kˆ U ( y t , t )
1 i i
2
(17)
(22)
1
tr (G T GP ) h1 (t )
2
§
h1 (t ) ¨1 2h2 (t )
©
¦
N
¹
2
Kˆi Ui ( y t , t ) ·¸ 0
i 1
{ÂÊ» hZ] ,]YÂe ¾ËY ÉÁ ÓZ] Á Á , h 2 (t ) , h1 (t ) ]YÂe {ÂmÁ
:|Å{Ê» ÄnÌf¿ (6) Ä]Y ¾f§³ ¿ {
.|Z] Y{ ½Y¯ ʤ· |» ÃÆ] Á |¿Z¼] Ê«Z] d^j» Ä̼Š(14) kz»
Z] ½M µ|» į SASMO ,|ÀZ] Y«] 4 Ze 1 Á ³Y :4 ÄÌ«
¾Ì¼ze Y (3) ºfÌ ÉZÅd·Zu dY {Z« ,Ã| Ã{Y{ (15) Ze (11) cÓ{Z »
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉY] ,µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
52
Ã{Y·Zy |̼u ,ÊfËM Ê»
(28)
LV d N et
2
LV (et ,Kˆi (t ), t ) etT Qet 2K f 1 et
E e ,tV eW ,Ki W , TW , t W V e 0 ,Ki 0 , T 0 , t 0 d
W
E e ,t ³ N e s
2
f
¦
ds f
0
W
! 0 N E e ,t ³ e s
0
2
W
ds
N
³E
e ,s
es
0
2
į { ʻ ÄnÌf¿ [25] d·Z]Z] º· ª^ ,dY E e ,s e s
IT
Ph 2T
N
i 1
Pet etT Pf
2T
hT Pet etT
T
(23)
2
Kˆi (t ) Ki Kˆi (t ) h1 (t )
zi
(7) cÓ{Z » ÉY~´ËZm Á ,ZÅËeZ» YÂy Y Ã{Z¨fY ,4 µZ¼Y Z]
ds
dV e 0 ,Ki 0 , T 0 , t 0 E e ,tV eW ,Ki W , TW , t W f
2
O (P )
1
tr (G T GP ) T T I T T T T
2
d0 !
2
.|ËMÊ» d|] (23) { (15) Á
! 0 ½Âq
1
O ( P )K g C
2
ÉZÀ » Ä] į |À¯Ê» ¶Ì» ¨ d¼ Ä] ZÅd·Zu ¾Ì¼ze ÉZy ¹¿ ¾Ì´¿ZÌ»
t of
¦Ì ½{Â] ÄfÂÌa Ê]ÂM ÉZŵZÀ´Ì ÉZÅʳËÁ Y Ê°Ë :1 Äf°¿
Ê]ÂM ÉZÅd·Zu Y Ê ]Ze į Bh ( x ) µZÀ´Ì ¦Ì ¾ËY]ZÀ] ,dY Ê¿Z¯§
¾ËY]ZÀ] .[26] dY ÓZ] Ä^e» Y ZËZa µZÀ´Ì ¾ËY ÄnÌf¿ { Á Ã{Â] ÄfÂÌa dY
2 ÄÌ« ª^ ÄnÌf¿ { Á dY Y«] [25] m» { ZËZa ®Ëve ÄÌ« ËY
Ƒ.dY Ã| ¾Ì¼e ZÅf»YZa ÊËY´¼Å [10] m»
ÉZy ºfÌ µZ¼fuY { ÉY|ËZa cZ^iY Ã| ÄËYY ÄÌ« dË»
2
2
et
T T I T T T T
,dY ʸY ÉZÅd·Zu Ä] Ã| Ã{ ¾Ì¼ze ÉZÅd·Zu ¾Ì´¿ZÌ» ÊËY´¼Å
Ƒ. lim E x x t o E x x t
2
LV (et ,Kˆi (t ), t ) d 2K f 1O (P ) O (Q ) et
P
¦
i 1
1
T
N
h T Pet etT Ph
T
(24)
IT h1 (t )
2 Kˆi (t ) Ki Cet Ui ( y t , t ) C \ ( y , t ) S Pet etT P P 1C T \ ( y , t ) S T
Ë cÂ] (24)0 ÉÁZ»Z¿ (5) Á (13) Y Ã{Z¨fY Á h ÉY~´ËZm Z]
:{Â] |ÅYÂy
LV (et ,Kˆi (t ), t ) d
1
2·
§
¨ 2K f 1O (P ) O (Q ) O (P )K g C ¸ et
2
©
¹
¦
N
i 1
2
(25)
2 Kˆi (t ) Ki Cet Ui ( y t , t ) ,µ|» { ÊÀÌ »Z¿ Á Ë¿ {ÂmÁ º£Ê¸ ¾ÌÀr¼Å .dY ZÅd·Zu
2K h K T HC et
,ÊmÁy Y{] Y Ã{Z¨fY Z] ZÆÀe dY {Z« Ã| ÄËYY SASMO
P C \ ( y , t ) S Pet etT P P 1C T \ ( y , t ) S ³dËÁ ʤ· |» ÃÆ] Ä°ÀËY f¼Æ» .|¿] ¾Ì¼ze Y ºfÌ ÉZÅd·Zu
®q¯ ZÅd·Zu ¾Ì¼ze ÉZy Ä°Ì»Z´ÀÅ Êfu Á dY Y{ ½Y¯ Ä̼Å
.|¿Z»Ê» Ê«Z] ÃËÁZ¿ { ʻ
ÉZ ÄÌ^ lËZf¿ -5
Ä] ÄmÂe Z] .dY Ã| Ã{ÁM SASMO ÉZÄÌ^ lËZf¿ d¼« ¾ËY {
½M ÉY] ʨ¸fz» {]Z¯ {Y» ½YÂeÊ» ZÅd·Zu ¾Ì¼ze { SASMO ÉZËY»
1
2
h1 (t )
T
T
:dY{ ºÌÅYÂy (14) ʤ· |» ÃÆ] ÉY~´ËZm Á (7) ÉÁZ»Z¿ µZ¼Y Z]
1
§
LV (et ,Kˆi (t ), t ) d ¨ 2 K f 1O ( P ) O (Q) O ( P ) K g C
2
©
2 K h KT HC
2 Cet
2
¦
N
e
2
t
2 Cet
¦
Kˆi (t ) Ui ( yt , t )
i 1
Cet h1 (t )h2 (t )¦ i 1Kˆi Ui ( yt , t )
N
N
Kˆi (t ) Ui ( yt , t ) (26)
i 1
h1 (t )
d|] |¿Â ÉY~´ËZm (26) Ä]Y { (17) Á (16) ÉZÅÉÁZ»Z¿ ³Y
ZÌ] ÉZźfÌ ÉZÅd·Zu ¾Ì¼ze { ³dËÁ ÊËZ¿YÂe ¶Ì·|] .d§³ ¿ {
MÂq Ê]ÂM Y|»
ZY ] ÉZ½Z»¼Å s ®Ë { SASMO ,ÊyÌ£
| ÄËYY MÂq ½ÂX· Âe Y|f]Y { Y|» ¾ËY į dY ¯} Ä] ¹Ó.dY Äf§ Z°]
ÉZÌ] ÉZÅ{]Z¯ ÉYY{ [27] ½M ¦¸fz» ÉY|» ÉZŪ¬ve Zu µZu { Á
2
|ËMÊ»
1
§
LV (et ,Kˆi (t ), t ) d ¨ 2K f 1O (P ) O (Q ) O (P )K g C
2
©
2K h K T HC
e
2
t
2
(27)
d0
Y|¿YÃY Y ʸY ºfÌ | ÃZY Ô^« į ¿Z¼Å .[28] dY [ÂM ÄË¿ {
.ºËYÃ|Ì»Z¿ (MÂq Y|»
ZY ]) xZa Y ³dËÁ Á (MÂq Y|»
ZY ])
.dY Ë cÂ] Y|¿YÃY cÓ{Z »
ª x1 º
«x »
« 2»
¬« x3 ¼»
ª G Gb
« C C
1
1
«
«
G
«
C2
«
«
0
«
¬
G
C1
G
C2
1
L
º
0 »
» ª x1 º
1 »« »
» x2
C2 » « »
¬« x3 ¼»
R »
0»
L ¼
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
Ä]Y Á 2 z] { Ã| ÄËYY (Ê«Z¨eY ¥Â¿ZaZÌ· ÉY|ËZa) 2 ÄÌ« Ä] ÄmÂe Z]
µZ¼fuY { Y|ËZa ÉY Â] ZÅd·Zu ÉZy ºfÌ Ä¯ {ÂÊ» ÄnÌf¿ (10)
a , N t 0 ºËY{ (27) Ä] ÄmÂe Z] ½Âq ´Ë{ ¥ Y .dY
(29)
¾Ì°ÀË{ µÂ»§ Y Ã{Z¨fY Á dY Y«] LV (et ,Kˆi (t ), t ) d N et
2
.|Å{Ê» ÄnÌf¿
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
53
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉY] ,µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
Ã{Y·Zy |̼u ,ÊfËM Ê»
ÄÌ¿Zi 0/01 ÉY] Á cÁZ¨f» ÄÌ·ÁY ËY Z] xZa-Y|¿YÃY ºfÌ ¶¯
ª Ga Gb
« 2C x1 E x1 E
1
«
0
«
«
0
«
«¬
ª x1 º
z (t ) >1 0 1@ «« x2 »»
«¬ x3 »¼
{ .|Å{Ê» ½Z¿ Y MÂq Y|» Ê]ÂM ÉZÅZf§ 1 ¶° .dY Ã| ÉZÄÌ^
Á (aÂe y) Ê]M ²¿ Ä] Y|¿YÃY ÉZÅd·Zu (1) ¶° (¦·Y) d¼«
([) d¼« { .dY Ã| Ã{ÁM (¾Ìq y) »« ²¿ Ä] xZa ÉZÅd·Zu
Ä] ¾Ì¼ze ÉZy ¾Ì´¿ZÌ» Á (aÂe y) Ê]M ²¿ Ä] ZÅd·Zu ¾Ì¼ze ÉZy
.dY Ã| Ã{ÁM (¾Ìq y) »« ²¿
ÉZy ¾Ì´¿ZÌ» Á ZÅd·Zu ¾Ì¼ze ÉZy {ÂÊ» Ã|ÅZ» ¶° Ä] ÄmÂe Z]
¾Ì¼ze ÉZy ¾Ì´¿ZÌ» .|À¿Z»Ê» Ê«Z] Y{½Y¯ ½Z» d~³ Z] ZÅd·Zu ¾Ì¼ze
½M ZÌ » Y ¥Yv¿Y Á E ^e `
T
>1.832-2, 2.32E-3, 5.24E-8@ ZÅd·Zu
ÄÌ^ ½Z» c|» { į dY Var ^e` > -4.67E-4, -1.202E-3, 3.63E-6@T
Z] Zy ZÌ » Y ¥Yv¿Y Á ¾Ì´¿ZÌ» į {ÂÊ» Ã|ÅZ» .|¿YÃ| Ä^Zv» ÉZ
ÉZÅd·Zu \ZÀ» ¾Ì¼ze ´¿ZÌ] į |ÀÀ¯Ê» ¶Ì» ¨ d¼ Ä] ½Z» d~³
Y xZa Á Y|¿YÃY Ê]ÂM [}Zm (2) ¶° .dY SASMO Âe Y|¿YÃY
Ã{ÁM ÊmÁy ¾Ì¼ze ÉZy Á Y|¿YÃY ÊmÁy (3) ¶° { .|Å{Ê» ½Z¿
, R0
20
Ê]ÂM C 2
1.139 u10
,G
178 u 10 9 Á E
)
x
2
x SASMO
ÊuY ÉY] Ë (Ê]ÂM [}Zm {) ʸv» fÌ`Ì· ÉZÅd]Zi ,|ÀfÅ <
.|¿YÃ| Äf§³ ¿ { ³dËÁ
0.008
0.01
-1
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
x2
-1
0
0.002
0.004
0.006
500
0.008
0.01
ex1
E(ex1)
0.5
-0.5
0.006
3, K f 1
1
-2
0.004
1000
{Á|v» Ê]ÂM [}Zm Ä] ª¸ f» Á Y{½Y¯ Z¼fu ½{Â] Ê]ÂM ¶Ì·{ Ä] ºfÌ
0
0.002
1 , C 1 17 u 10 9 , R
ÉZÅd·Zu cYÌ̤e ÄÀ»Y{ Ä°ÀËY Ä] ÄmÂe Z] .dY Ã| ÊË¿Z] (1) cÂ
x1 0
0
0.711 u 10 3
Normalized State Errors and Their Expectations
4
-4
, Gb
Ä] Á {ZnËY ,(29) MÂq Y|» ÉZŮ̻ZÀË{ ÄmÂe Z] ³dËÁ cÓ{Z » dY
Kg
SASMO
»
»
»
»
»¼
ÉZÅf»YZa ÉY] į
3
.dY ®q¯ ZÌ] į Ã|
States (x and x
º»
-1
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
-3
5
x 10
1
0.5
x3
0
0
-0.5
-5
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
-1
Time (Sec.)
Time (Sec.)
(¦·Y)
([)
ÃÌ·Z»¿ ¾Ì¼ze ÉZy ¾Ì´¿ZÌ» Á (aÂe y ,Ê]M) ZÅd·Zu ¾Ì¼ze Ã| ÃÌ·Z»¿ ÉZy ([) .(¾Ìq y ,»«) xZa Á (aÂe y ,Ê]M) Y|¿YÃY ÉZÅd·Zu (¦·Y) :(1) ¶°
.(¾Ìq y ,»«) Ã|
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
Êy d·Zu ®]|̧ Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ Y Ã{Z¨fY Z] ½M ÉZY|ËZa Á µ{Z e Ĭ¿ ®Ë Z] ÃY¼Å |Ë|m ÉÓZ] | ] ZÀ]ÂM ºfÌ ®Ë ÄWYY
54
ÊeYq Ê¿Z¼u YÅ , ª¸»|ÅZm Z|¼v» ,ÊËÂ]Y ʸ
Stochastic Adaptive Sliding Mode Observer Adaptation Gain
Drive System (X) and Observer (AIO) (X
20
S1
SASMO
X
XSASMO
-3
0
-20
) States
x 10
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
4
End
0.01
3
0
S2
2
-0.01
-0.02
1
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
-6
5
0
x 10
Start
-1
S3
0
-2
-5
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
-3
Time(Sec.)
.³dËÁ ʤ· |» ÃÆ] Y{] :(4) ¶°
4
-4.15
2
-4
0
Estimated Parameters
x 10
0.8
PGbC1delta
0.6
0.4
0.2
0
PGbC1
-4.2
-2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
.(¾Ìq y ,»«) xZa Á (aÂe y ,Ê]M) Y|¿YÃY Ê]ÂM [}Zm :(2) ¶°
-4.25
Äf¿YÂe É| ] ®e ÉË¿ ÊmÁy ®Ë ZÆÀe Y Ã{Z¨fY Z] SASMO
-4.3
\ZÀ» Â] Y µ|» Á f»YZa ÊÀÌ »Z¿ Z] Ê]ÂM MÂq Y|» ÉZÅd·Zu dY
.dY Ã| Ã{ÁM ³dËÁ ʤ· |» ÃÆ] (4) ¶° { .|¿] ¾Ì¼ze
-4.35
,ÉY|ËZa ¨u ¾Ìu { į |]ZËÊ» Ì̤e É ³dËÁ ʤ· |» ÃÆ]
-4.4
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Time(Sec.)
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
,»«) Ê «YÁ f»YZa Á (aÂe y ,Ê]M) Ã| Ã{ ¾Ì¼ze f»YZa :(5) ¶°
.(¾Ìq y
|» ÃÆ] ,¾ËY ] ÃÁÔ .|]ZË ÅZ¯ ZÅd·Zu¾Ì¼ze { ZÅÊÀÌ »Z¿ Á Ë¿ iY
½Z¿ Y f»YZa ¾Ì¼ze (5) ¶° .|¿Z»Ê» Ê«Z] {Á|v» Ä̼Š³dËÁ ʤ·
.|Å{Ê»
É|Ë| dÌZu ZÅf»YZa Ì̤e Ä] d^¿ Ê]ÂM ºfÌ Ä°ÀËY Ä] ÄmÂe Z]
Output (Z) and Observer (AIO) Output(Z
{Â^Æ] Á ZÅd·Zu ¾Ì¼ze ÉZy ÅZ¯ { |¿YÂeÊ» µÂÆn» f»YZa ¾Ì¼ze ,{Y{
4
¾Ì¼ze ½Á|] Ä°Ë Ä] |Z] ÄfY{ ÊËY Ä] ÌiZe xZa Á Y|¿YÃY ¾Ì] Ê¿Z»¼Å
2
)
SASMO
Z
ªf» Á ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ºÅ (6) ¶° .dY ¾°¼» Ì£ Ê¿Z»¼Å {ZnËY ZÅf»YZa
0
]Ze Y|¬» .|Å{Ê» ½Z¿ Y Zf¿Y ´¸¼ µZ¼Y Z] ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze Ê«Z¨eY Ê¿Z»
-2
Á Ã{Â] ʨÀ» Ä̼Š¥Â¿ZaZÌ· ]Ze Ê¿Z» ªf» Y|¬» Á d^j» Ä̼Š¥Â¿ZaZÌ·
.|Å{Ê» ½Z¿ Y 2 ÄÌ« ʧZ¯ ËY ÉY«]
-4
Z
SASMO
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
(a)
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
Normalized Output Error(Z)
0.4
E
z
0.2
Lyapunov Function
1.8115
0
1.811
-0.2
1.8105
-0.4
1.81
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
Time(Sec.)
(b)
1.8095
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
(a)
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
,»«) SASMO ÊmÁy Á (aÂe y ,Ê]M) Y|¿YÃY ÊmÁy (a) :(3) ¶°
.ÊmÁy ¾Ì¼ze ÉZy (b) .(¾Ìq y
time-Derivative of Lyapunov Function
5
0
-5
-10
-15
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
Time (Sec.)
(b)
µZ¼Y Z] ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze Ê¿Z» ªf» (b) .¥Â¿ZaZÌ· ]Ze (a) :(6) ¶°
Zf¿Y ´¸¼
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
55
ÉË¿ ¾Ì »Z¿ Ê]ÂM ºfÌ ÉY] ,µZ¼fuY { Y|ËZa Ê«Z¨eY ʬÌ^e ´fËÁ ÊuY
Ã{Y·Zy |̼u ,ÊfËM Ê»
[10] Zhu, F., 2008, “Full-Order and reduced-Order
Observer-based Synchronization for Chaotic
Systems with unknown Disturbances and
Parameters”, Physics letters A, 372, 223-232.
[11] Stamnesa, Ø.N., Aamo, O.M., Kaasa, G.O., 2011,
“Redesign of adaptive observersnext term for
improved previous termparameternext term
identification in nonlinear systemsstar”, Automatica,
47, 2, 403-410.
É̳ÄnÌf¿ -6
SASMO ½YÂÀ dve |Ë|m Ê«Z¨eY ʬÌ^e ³dËÁ ®Ë Ä·Z¬» ¾ËY {
ªÌ«{ µ|» ¾f¿Y{ Ä] ZÌ¿ ¹| ,SASMO ÉZÅd̸]Z« ĸ¼m Y .dY Ã| ÄËYY
.|Z] f»YZa Á µ|» ÉZÅÊÀÌ »Z¿ ¶»Z |¿YÂeÊ» ºfÌ Ä°ËÂ] dY ºfÌ
¾Ì¼ze ÉY] Á {ÂÊ» Ã{ ¾Ì¼ze SASMO Âe µ|» ÊÀÌ »Z¿ ÉÓZ] ½Y¯
Ë¿ .dY Ã| Äf§³ ¿ { Ê^ZÀ» ª]Ze ½Â¿Z« ºÅ ¾Ì »Z¿ ÉZÅf»YZa
[12] Kakmeni, F.M., Bowong S., Tchawoua C., 2006,
“Nonlinear Adaptive Synchronization of a Class of
Chaotic Systems”, Physics Letters A, 355, 47-54.
,e\ZÀ» ¦ÌÂe ÉY] Á Ã| µ|» Ê¿ÁY] d¯u Âe É̳ÃY|¿Y
[13] Morgul, O., Solak, E., Akgul, M., 2003, “Observer
based Chaotic Message transmission”, International
journal of Bifurcation & Chaos, 13, 4, 1003-1017.
ʤ· |» ÃÆ] .dY Ã| cZ^iY Ê«Z¨eY ¥Â¿ZaZÌ· ÉY|ËZa ÄÌ« Âe ZÅd·Zu
[14] Hyuna, C.H., Parkb, C.W., Kima, J.H., Parka, M.,
2007, “Synchronization and secure communication
of chaotic systems via robust adaptive high-gain
fuzzy observer”, Chaos, Solitons & Fractals, 40, 5,
2200-2209.
{ ½M Y ,SASMO ÉZÅd̸]Z« Ä] ÄmÂe Z] .dY {Á|v» Á ÃËÁZ¿ ,|À¯Ê»
[15] Sunga, W.J., Leea, S.C., You, K.H., 2010, “Ultraprecision positioning using adaptivenext term
fuzzy-Kalman
filter
observer”,
Precision
Engineering, 34, 1, 195-199
[16] Ayati, M., Khaloozadeh, H., 2010, “A Stable Chaos
Synchronization Scheme for Nonlinear Uncertain
Systems”, IET Control Theory and Applications, 4,
3, 437-447.
[17] Ayati, M., Khaloozadeh, H., 2009, “A stable
adaptive synchronization scheme for uncertain
chaotic systems via observer”, Chaos, Solitons and
Fractals, 42, 2473–2483.
[18] Oksendal, B., Stochastic differential equations an
introduction with applications, 6th Edition, Springer
Verlag, 2007.
[19] X., Mao, Stochastic differential equations and their
applications. Horwood Publishing, Chechester,
1997.
[20] Kushner, H.J., Stochastic stability and control,
Academic Press, New York, 1967.
[21] Chen, C.C., Yao, K., 2000, “Stochastic-calculusbased numerical Evaluation and performance
analysis of chaotic communication systems”, IEEE
Transaction
on
Circuits
and
systems-I:
Fundamental Theory and Applications, 47, 12,
1663-1672.
[22] Raoufi, R., and Khaloozadeh, H., 2004, “A modified
robust
adaptive
chaos
synchronization”,
International Conference on Signal Processing &
Communication, Bangalore, India, 76-80.
[23] Khalil, H., Nonlinear systems, Prentice Hall, Upper
Saddle River, NewJersey, Ed. 3, 2002.
[24] Sun, Y., Cao, J., 2007, “Adaptive synchronization
between two different niose-perturbed chaotic
systems with fully unknown parameters”, Physica
A, 376, 253-265.
Journal of Control, Vol. 3, No. 1, Spring 2009
ÉZy ºfÌ ÉY|ËZa Á ÉZ·|» Ê«Z¨eY ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » Âe ³dËÁ
¶Ì» ¨ d¼ Ä] ZÅd·Zu ¾Ì¼ze ÉZy Êf«Á Êfu Ä̼ŠÃ| ÄËYY ³dËÁ
¶a¯ µZÀ´Ì Z] MÂq Y|»
ZY ] Ê]ÂM ÉZźfÌ ÉZ½Z»¼Å s ®Ë
ºfÌ ÉZÅd·Zu ¾Ì¼ze { ³dËÁ ÊËZ¿YÂe Á Ã{Z¨fY ·Z°Y ÉË¿ ħ°Ë
.dY Ã| Ã{Y{ ½Z¿ ÉZÄÌ^ Y Ã{Z¨fY Z] ¾Ì »Z¿ Y|¿YÃY
ÉY´Zb
.dY Ã| dËZ¼u ½YËY cY]Zz» cZ¬Ì¬ve ¯» Âe ªÌ¬ve ¾ËY
mY»
[1] Lorenz, E.N., 1963, “Deterministic non periodic
flow”, Journal of Atmos. Science, 20, 130-141.
[2] Ott, E., Grebogi, C., Yorke, J.A., 1990, “Controlling
chaos,” Physical Review Letters, 64, 11, 1196-1199.
[3] Cuomo K.M., Oppenheim, A.V., 1993, “Circuit
implementation of synchronized chaos with
applications to communications”, Physics Review
Letters, 71, 65-68.
[4] Cuomo, K.M., Oppenheim, A.V., Strogatz, S.H. ,
1993, “Synchronization of Lorenz based chaotic
circuits with applications to communications”, IEEE
Transaction
on
Circuits
and
Systems-I:
Fundamental theory and applications, 40, 626-633.
[5] Pecora L.M., Carroll, T.L., 1990, “Synchronization in
chaotic systems,” Physics Review Letters, 64, 821824.
[6] Yang, T., 2004, “A survey of chaotic secure
communication systems”, International Journal of
Computational Cognition, vol. 2, no. 2, pp. 81-130.
[7] Azemi A., Yaz, E.E., 2000, “Sliding-mode adaptive
observer approach to chaotic synchronization”,
Transaction of ASME, 122, 758-765.
[8] Rodriguez, A., Leon, D.J., Femat, R., 2007, “Chaos
suppression based on adaptive observer for a P-class
of chaotic systems”, Chaos, Solitons and Fractals,
vol. 32, pp. 1345-1356.
[9] Arefi M.M., Jahed-Motlagh M.R., 2010, "Adaptive
robust synchronization of Rossler systems in the
presence of unknown matched time-varying
parameters", Communications in Nonlinear Science
and Numerical Simulation, vol. 15, no. 12, pp. 41494157.
1388 ZÆ] ,1 ÃZ¼ ,3 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
µfÀ¯ ĸn»
ISSN 2008-8345
56-65 Äv¨ ,1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m
Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
½YÆe - ½Y|Ày|Ì – Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -eÂÌb»Z¯ Á ©] Ê|ÀÆ» Ã|°¿Y{
(1389/9/27 Ä·Z¬» Ë~a xËZe ,1389/7/12 Ä·Z¬» d§ZË{ xËZe)
{ Zy Ìze ÉY] ʨ¸fz» ÉZÅ Á . |Z]Ê» µfÀ¯ |ÀËM§ ®Ë dÌÀ»Y Á {°¸¼ ¨u { ʼƻ Ä·Z» Zy Ìze : Ã|Ì°q
|ÅYÂy ºÆ» Ì¿ Zf£Y Á ZÅ ÊÀÌ »Z¿ Ä] d^¿ ºfÌ ¹Y« hv] , Zy Ìze Ä·Z» ] ÃÁÔ ZÆÁ ¾ËY { . {Y{ {ÂmÁ |ÀËM§ ®Ë
] É{ZÆÀÌa ÉZÅ Á Y Ê°Ë . |Z] ÄfY{ {ÂmÁ ºfÌ ¹Y« Á Zy Ä] ºfÌ dÌZu ¾Ì] Ê^ZÀ» Äv·Z» |ËZ] ÄnÌf¿ { , {Â]
\ZÀ» m» µ|» ®Ë Y|f]Y Ä·Z¬» ¾ËY { . |Z]Ê» µ|» ª]Ze
H f {Y|¿ZfY Ä·Z» ®Ë Ä] ¹ÁZ¬» ÉZy Ìze Ä·Z» ¶Ë|^e
ZY
¹¿ ÉZ º¼ÌÀÌ»
ZY ] Ã|¿Z» |·Â» ®Ë c Ä] Zy Ìze f¸Ì§ ®Ë b Ã| [Zzf¿Y ¹ÁZ¬» ÉZy Ìze Zv· Y
½{Â] i» ÊuY µZj» ®Ë Z] ZÆf¿Y { Á {ÂÊ» ÊuY LMI Y]Y Y Ã{Z¨fY Z] Ã|¿Z» Ê «YÁ |·Â» Á m» µ|» ¾Ì] ¥ÔfyY
Hf
.{ÂÊ» ÄÌmÂe Á
LMI , m» µ|» , ÉZ·|» ÉZy , Zy ¹ÁZ¬» Ìze : É|̸¯ cZ¼¸¯
Fault Detection Filter Design for Uncertain LTI Systems using
H Norm Error Minimization
Hamid Ranjbar, Mohammad Ali Nekoui
Abstract: Due to the importance of fault detection in maintaining the performance and
immunity of control process, various methods have been proposed where as well as fault
detection, the robustness of the system with respect to uncertainty and disturbance has been also
discussed. In this regard a compromise between error sesitivity of the system and its robustness
should be considered. One of the proposed methods is based on transformation of robust fault
detection problem to a standard H model-matching one. In this paper after the selection of a
proper reference model for the robust fault detection problem, a residual generator will be
considered on the basis of an H minimization of the difference between reference model the
realastic residual generator using LMI technics. A design example has been chosen to
demonstrate the effectiveness of the proposed approach.
Keywords : Robust Fault Detection, Modelling Error, LMI
Z/fËZÆ¿ į Ã{Â] YÂfY ºfÌ µ|» Y Ê¿Y{
ZY ] »Y ¾ËY .{Y{ Ã|Æ
Ä»|¬» -1
ZÌ/] ÉZ/ÅÁ Y Ê/°Ë .[1,3]{Â/Ê/» Ã|/¿Z» µZÀ´Ì/ |Ì·Âe Ä] nÀ»
/«YÁ Ä/mÂe {Â/» ZÌ] ÌyY ÉZŵZ { µ|» ] ÊÀf^» ÉZy Ìze
/´fËÁ ] ÊÀ^» ÉZy Ìze f¸Ì§ ®ÌÀ°e ,Ä ·Z» {» Á É{]Z¯
Ê/uY ,¥|/Å ,µ|» ] ÊÀ^» ÉZy Ìze { .[4,3,2,1]dY Ã|
YÂ/¿Y Ìz/e { ,ÉZ Ã{ZÌa ʳ{Z ] ÃÁÔ Á ¾ËY .[5]|Z]Ê»
/] Y Z/y ÉZ/ŵZÀ´Ì/ ÉZ Z°M į dY Ê·ZÀ´Ì |Ì·Âe ¹Ì¿Z°»
Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ,µfÀ¯ ĸn»
ÊW°¿ ʸ|¼v» :cZ^eZ°» Y{ Ã|Æ Ã|ÀË¿
57
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
Ã|/¿Z» ½Z/Ì» ¥Ôf/yY ÉZ/ ÄÀ̼¯ ,[¸» ¥|Å ,[Zzf¿Y ¾ËY Z] ª]Z»
¹Â¸ » cZZf£Y į Zn¿M Y .|À¯Ê» ¶¼ \ZÀ» ZÌ] ÄÀ°¼» ÉZÅZy
Ä/] {Â/] |/ÅYÂy Ê]Z/zf¿Y /m» µ|/» Z/] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ ºfÌ Y ¶Zu
Ë~//aZ¿ [Z//ÀfmY Ê/¸¼ ÉZƼf//Ì Y ÉZÌ/] ÉY//] ËÂ//¿ Á ¹Â¸ »Z//¿ Á
.{Â/ d/¯u ÉZ/·|» ÊÀÌ »Z/¿ /iY ÉZ ÄÀ̼¯ dÆm { į ÉÂ
¾/ËY ¾f§/³ /¿ { ,Z/y Ìz/e /f¸Ì§ ÊuY ¿ Å { ,|Z]Ê»
d/·Zu { Z/Ë
d/Y Ê/¬À» Ê/uY |ÀËM§ {
ZY ¾ËY ] .|ËZ¼¿Ê» ÉÁ cYiY
f s cÂ/ Ä/] , rref Ê/À Ë [Â/¸» µ|/» [Zzf¿Y
Z/Ë ZÅZy {Ây Y Ã{Z¨fY «YÁ { .{ÂÊ» ¹Zn¿Y
ws f s eʸ¯
µ|/» Á ʸ/Y Ã|/ËY Ã|/¿Z» |/Ì·Âe ¥|/Å ½YÂÀ Ä] ZÆ¿M Ê¿Á \Ë
[11,12,10].|Z]Ê» m»
ÉZ/ÅÁ { cÁZ/¨e ¾Ì¼Å Á Ã{Â^¿ ½Z°Ë m» µ|» [Zzf¿Y ¾ÌÀr¼Å
.{ÂÊ» ÊZ¿ Á ¾ËY ÉË~a ¥Z ¿Y Y {Ây ,½M ¦Ë e ¦¸fz»
: c Ä] \ZÀ» m» µ|» [Zzf¿Y Z] Zf¿ ¾ËY {
W s f s Q s d s
rref
(2-1)
Â/ Ä/] ,ÉZ/·|» ÊÀÌ »Z¿ Á ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ iY ÉZ ÄÀ̼¯ ¥|Å Á{
|/ÀËM§ ½YÂ/eÊ/» /´Ë{ cZ/^ Ä/] .|/¿YÄ/f§³ Y« YmY {» Ä¿Z³Y|m
:{¼¿ É|À] ºÌ¬e ĸu» Á{ Ä] Y ÊuY
Êf·Z/u { Z/y Ìze ºfÌ ÉZÅf»YZa ÄÀÌÆ] ¶u ¾f§ZË :µÁY ĸu»
Ã|/¿Z» |/Ì·Âe { ºuY/» ¶/»Z Z/ÆÀe Á {Y|¿ {ÂmÁ ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ į
ÉZ/Åf»YZa Á Ä/ÀÌÆ] ¶u ¾ËY ½{Y{ Y« Z] .|Z]Ê» ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ {ÂmÁ
\/ZÀ» /m» µ|/» ,d/·Zu ¾/ËY { Ã|¿Z» |Ì·Âe ]YÁ { Ã|»M d|]
{ Ê//¿Y´¿ ,[Â//¸» µ|//» [Z//zf¿Y ÃÂ//v¿ ¾//ËY Ä//f^·Y .{Â//Ê/» ¦/Ë e
.{ZÊ» ¥] Y ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ Ä] d^¿ ºfÌ ¹Y«{»
H f Ä·Z/» ®/Ë Ê¿ Ä] į) Ë Ä·Z» ÄÀÌÆ] xZa ¾f§ZË :¹Á{ ĸu»
:(|Z] Ê»
min
L ,V
rref r
f
min sup
L ,V
u , f ,d
rref r
ªu º
«d »
« »
«¬f »¼
¹Â¸ »Z/¿ É{ÁÁ Ä/] ºf/Ì ¹Y« Á Zy Ä] dÌZu ½ZÌ» ÉYÄv·Z» į
.{Â Y«]
Z/Æ¿M { ¹Â¸ »Z/¿ É{ÁÁ /] ÃÁÔ/ į ÊËZźfÌ { Ã|¿Z» |Ì·Âe ÉY]
µZÀ´Ì ¹Y« ½{] ÓZ] ʸY ¥|Å ,dY s» Ì¿ ÉZ·|» { ÊÀÌ »Z¿
.d/Y ÉZ/·|» ÉZ/ÅÊÀÌ »Z¿ ¾ÌÀr¼Å Á ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ Ä] d^¿ Ã|¿Z»
/Ì¿ Z/y Ä/] d^¿ Ã|¿Z» |·Â» ºfÌ dÌZu ËY§Y į dY ÊÆË|]
.{̳ Y« ¿|» |ËZ]
Â/¿ Â/yY§ Ä/] Ä/¯ {Â/Ê» ½ZÌ] ÊeÁZ¨f» ÉZŹ§ Ä] ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿
s/» Z/źf/Ì ¾/ËY { Ã|/¿Z» |/Ì·Âe { Ê/Zy Á ,½M Y ¦Ë e
É{ÁÁ Â/u { Ã|/¿Z» |/Ì·Âe Â/Àf» ÉZ/ÅÁ ¥Ô/y /] .{ÂÊ»
Ã|//¿Z» |//Ì·Âe ÉY//] Ê//z» Á ½Á|//» Á Ê//¸¯ d//·Zu { ,¹Â¸ »Z//¿
Ä/] Ã|/ Äf§³ Z°] ÉZÅÃ|ËY Y Ê°Ë [6].{Y|¿ {ÂmÁ ÊÀÌ »Z¿ Âu{
É{ÁÁ cÂ/ Ä/] {» ¾ËY ¶Ë|^e ,ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ iY ¥~u ÂÀ»
¾/ËY Ê/·Á [7].d§ZË Ê·ÁY|f» Ã{Z¨fY d·ÂÆ ¶Ì·{ Ä] į |Z]Ê» ¹Â¸ »Z¿
Ä] ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ ¾fyZÀ «YÁ { .dY{ Y {Ây Zy \ËZ » Á
Yq .{ÂÊ» Ã|¿Z» |·Â» ÊuY { ¥Yv¿Y \^ ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ ½YÂÀ
Á Ã|/ ÊuY |¿Á { ÊÀÌ »Z¿ ZfyZ cZÔY ½| iY Ê] \^ ,į
{ Zy Y ÊeYiY ZÌ¿Zi .|¿Âʼ¿ Äf§³ ¿ { ÄmÁ pÌÅ Ä] cZ»Â¸ » ¾ËY
É{ÁÁ Ä] d^¿ Ã|¿Z» ÉZ ¹ÁZ¬» ¾¼ į |]ZÌ» Á] ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ
[6].|¿ÂÊ» ¥~u cYiY ¾ËY ,¹Â¸ »Z¿
2
Zy Ìze ºfÌ ÂÀ» Ä] Z] ¾Ì·ÁY ÉY] į e\ZÀ» Á ÄÀÌÆ] Á
.{Â] m» µ|» Y Ã{Z¨fY Ã|ËY ,| Äf§³ Z°] [9,8] {
Ä/] ¶Ë|/^e , FDI 1 ºf/Ì Ê/uY ʸY Ä·Z» ,m» µ|» Á {
2
:|À¿Z» ÊuY {Y|¿ZfY Ä·Z» ®Ë
ÊÀÌ »Z//¿ Â//u { Ã|/¿Z» |//Ì·Âe d//·Zu { É|/Ì·Âe Ã|//¿Z» r ½M { Ä/¯
Ä^//Zv»(LMI / Ì¿) ¹Â//» ÉZ//ÅÁ ª/ Ë Y Á Ã{Â//] ÉZ//·|»
.{ÂÊ»
min
L , R s Ä·Z» ¦Ë e -2
É{ÁÁ Á ÉZ·|» ÉZy ½M { į , ½Z» Z] Ë~aZ¿ Ì̤e Êy ºfÌ
: ºË̳ʻ ¿ { Ë c Ä] Y dY Ã| Zv· ¹Â¸ »Z¿
° x
®
°¯ y
Ax Bu Ed d E f f
Cx Du Fd d F f f
(1-2)
sup
u , f ,d
rref r
ªu º
«d »
« »
¬« f ¼»
2
2
,FDI ºf/Ì Ê/uY Â/À» Ä/] Á ¾/ËY Y Ã{Z¨f/Y { .[1]{ÂÊ»
:|À¿Z¼Å [¸» Ê·|»
rref s f s or
rref
W s f s
(1-1)
{ Ä/¯ {Â/Ê/» Ä/f§³ /¿ { Ã|¿Z» µZÀ´Ì ÉY] m» µ|» ½YÂÀ Ä]
.|Z]Ê» Zy Y{] ´¿ZÌ] f t ½M
1
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
fault detection and isolation
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
58
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
Ê/Ë¿Z] ¶/]Z« /Ë cÂ/ Ä/] (2-1) ºf/Ì µ|/» /Ì¿ d·Zu ¾ËY {
:|Z]Ê»
§
·
§
·
x ¨ ¦ Ei A Ai ¸ x ¨ ¦ Ei B Bi ¸ u
©i1
¹
©i1
¹
l
C
C 0 'C , D
Fd0 'Fd
Ef
E 0f 'E f , F f
Ff0 'Ff
-3
:ÊÀ Ë .|Z]Ê»
§ ª Ai
¨«
¦
¨
i 1 © ¬Ci
·
Ei º
pi k ¸¸
Fi »¼
¹
Bi
Di
l
Á Ã{Â///] ¹Â///¸ » A i , B i ,C i , D i , E i , Fi
{Â///» ¾//ËY {
T
ÊÀÌ »Z///¿ Ä///] ÃZ///Y p k ª¬ p1 k p l k º¼
:Z] ÉZ»M |ÀËM§ ®Ë Á ÄfY{ ºfÌ
E p k 0
t .|ÀZ]Ê» ºfÌ É{ÁÁ Á ÊmÁy
diag V 1 , , V l .|ÀfÅ
,{YÂ/» /j¯Y { ÓÂ/¼ » , ÉZ/·|» ÊÀÌ »Z¿ iY ¾f§³ ¿ { ÂÀ» Ä]
:[6] dY Äf§³ Y« Ê] {» Ë ¹§ Ä Ä] ÊÀÌ »Z¿
,{ÂÊ» ÄfyZÀ {Á|v» ¹¿ ½YÂÀ dve į {» ¾Ì·ÁY {
ZÀ¼/ / Á Ã{Â///] ¶¬f///» Ô»Z///¯ ´Ë|///°Ë Y p 0 , p 1 , ...
Y Ô»Z¯ x 0 , u k , d k -1
Ä/////] ' Ê/////À Ë ,ÉZ/////µ|/////» { µÂ/////Æn» Ô»Z/////¯ d¼/////«
: ÊÀ Ë ,{ÂÊ» Äf§³ ¿ { ' RH
f
cÂ
V ' d G '
{YÁ /Ì¿ d·Zu ÉZ§ { ª¬ve c Ä] ÉZ·|» { ÊÀÌ »Z¿ ¾ËY ³Y
:dY{ ºÌÅYÂy (1-2) ºfÌ ÊÀÌ »Z¿ d¼« ÉY] ,{Â
ª 'A
« 'C
¬
'B
'D
'E d
'Fd
'E f
'Ff
º
»
¼
° ª F º
½°
... ® « A » ' H >W A W B W d W f @ | ' / ¾
¯° ¬ FC ¼
¿°
Ä//¯ d//Y z//» p k Y ¦Ì//Âe ¾//ËY Z//] .{Â//Ê//» //§
.|ÀZ]Ê» ¶¬f» p k
n
\/ZÀ» {Z/ ]Y Z] Á ¹Â¸ » Ì¿ A , B , E d , E f ,C , D , Fd , Ff
ÉZ//»M ¹//§ Ä//] ¦Ì/Âe ,ÊÀÌ »Z//¿ ¦Ì/Âe Y //´Ë{ Â//¿
Ed0 'Ed , Fd
ÉZ//ÅËeZ//» .|À//Z]Ê//» ¹Â¸ »Z//¿ É{ÁÁ Á ºf//Ì ÉZ//ÅZy Y{//]
.dÌ¿ s» ÊÀÌ »Z¿ ¹¿ ½{Â] {Á|v»Z¿
E p k pT k D 0 'D
Ed
Ã|/ÀÅ{ ½Z¿ Ì¿ d t , f
Z/Ë ½{Â/] {Á|/v» {Â/» { ÊÀz ,ËZ¼¿ ÃÂv¿ ¾ËY { į dY ÊÆË|]
ª 'A 'B 'E º
«'C 'D 'F »
¬
¼
B o 'B
Y{//] \/Ìee Ä//] u t , y t Á d//·Zu Y{//] x t R
§ l
·
... ¨ ¦ E i Fd Fi ¸ d
©i1
¹
A0 'A , B
l
§ l
·
... ¨ ¦ Ei Ed Ei ¸ d
©i1
¹
l
§
·
§ l
·
y ¨ ¦ E i C Ci ¸ x ¨ ¦ E i D Di ¸ u
©i1
¹
©i1
¹
p k A
' I H '
'H
Â]» Á ¹Â¸ »
1
FA , FC ,W A ,W B ,W d ,W f , H ½M { į
d/·Zu ¾/ËY ÉY/] \/ZÀ» ÉZy Ìze ºfÌ Á Ã|¿Z» |·Â» Ä»Y{Y {
Z/ÆÀe Á Ã{Â/] µÂÆn» Ô»Z¯ ' t ¾ÌÀr¼Å .|ÀZ]Ê» ÊÀÌ »Z¿ ZfyZ Ä]
:¹§ Ä] ½YÂeÊ» Y ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ ºfÌ ÊÀ Ë
:ÊÀ Ë ,dY ½M ½{Â] {Á|v» ¹¿ ,½M {» { ¿Y{
°xˆ A k xˆ ª¬ B ku
°
®
°r C xˆ ª D
k
¬ ku
°
¯
|/·Â» ®Ì»ZÀË{ ÉY] z
V ' d G'
ªu º
B ky º¼ « »
¬y ¼
ªu º
D ky º¼ « »
¬y ¼
ª¬ x T
(2-2)
¹Â» Ì¿ µfÀ¯ ÉZÅÉÂXe { į ,ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ ËZ¼¿ Y ¹§ ¾ËY
®/Ë Ä/]
H f Ä·Z/» ¶Ë|/^e Ä] Â]» ÉZËZ« Y Ã{Z¨fY ÉY] ,[]dY
.|ËZ¼¿Ê» ÉÁ LMI
T
xˆ T º¼ ¦Ë e Z] .{¼¿ ¦Ë e
c Ä] ZÅÊÀÌ »Z¿ ,ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ ¦ÌÂe ¹Á{ ¿ {
1
:dY{ ºÌÅYÂy ½M
ZY ] į |¿ÂÊ» Äf§³ ¿ { Ê» |Àq
:d¿ ½YÂeÊ» Ã|¿Z»
ªz º
« »
ª
º
z
ª º A B f E d E u «f »
»
«r » «
¬ ¼ ¬C D f Fd Fu ¼ «d »
« »
¬u ¼
ºf/Ì d/·Zu { Ã|¿Z» Ä] u É{ÁÁ Á Zf£Y ,Zy Y µZ¬f¿Y ]YÂe Y~·
ª 'A 'B 'E º
« 'C 'D 'F »
¬
¼
l
ª Ai
¦ E «¬C
i
i 1
i
Bi
Di
Ei º
Fi »¼
l
¦E
i
1 , Ei t 0
i 1
:|ÀZ]Ê» Ë s Ä] ÉZ·|» ÉZy Z]
1
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
-2
polytopic
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
59
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
{Â/mÁ ÊÂ/Àf» ÉZ/ÅÁ ¹Â¸ »Z/¿ É{ÁÁ Ä/] d^/¿ ¹ÁZ¬» Ã|¿Z» |·Â»
©Â§ m» Ã|¿Z» |·Â» ÊuY ½YÂeÊ» ZÆ¿M
ZY ] į [134,2,] |¿Y{
M
»Trf
|/·Â» [Zzf¿Y Y ¹§ ¾ËY Ä] ÄmÂe Z] į dY ÊÆË|].{Y{ ¹Zn¿Y ʳ{Z] Y
ª A
0
«
B
C
A
« ky
k
«D C C
ky
k
¬
.|Z] ÉZ·|» ÉZy iY ÉZ ÄÀ̼¯ ʸY ¥|Å ,m» Ã|¿Z»
ºf/Ì É{ÁÁ /iY ( '
t 0 ) ÊÀÌ »Z/¿ ½Á|] d·Zu { į Zn¿M Y
½M Y É/iY /m» µ|/» { , dY ¨ Ä] ®Ë{¿ Ã|¿Z» ÉÁ ,u ÊÀ Ë
Z/y Ä/] |/ËZ] /´Ë{ ¥/ Y .{Y~/´] /iY FDI ºfÌ ÊuY ÉÁ
1
y/] d·Zu { į Yq |Z]Ê» cÁZ¨f» d t Y u t į dY{
.dY
f{ { Ì¿
Ef
Bky Ff
Dky F f
Bu º
»
Du ¼»
Ed
Fd
º
B
»
Bku Bky D »
Dku Dky D »¼
Ed
Bky Fd
Dky Fd
|///ËZ] µM Ã|///ËY d///·Zu { ,¹ÁZ///¬» ÉZ///y Ìz///e Â///À» Ä///]
ºf/Ì ÉZ/Å®/Ì»ZÀË{ ÉÁ/] u ºfÌ É{ÁÁ µZu Å Ä] .{Y|¿ {ÂmÁ
(¹Â/¸ ») Z/f£Y ®/Ë ½YÂ/À Ä/] u Ä/¯ dY ʬÀ» Y~· {Y~³ Ê» iY
ªA Ef
«
¬«C Ff
TruM ¼º
TrdM
M
.|Z] Y«] T rf
z 0 T rdM
0 T ruM
ËY/ ½Z/°»Y |/u Z/e |/ËZ] Á Ã{Â/^¿ Y/«] d/·Zu ¾ËY Ó¼ » ¶¼ {
M
.{Â// Y//«] T rf
o max
T rdM T ruM o min
Y ÉË~/aZ¿ ÌiZ/e j¯Y|/u ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ Y Ì¿ É|Ì·Âe ÉÃ|¿Z» ZÀ¼
.|Z] YY{
{Â//» { //¿Y{ ,FDI ºf//Ì {//°¸¼ {Â//^Æ] d//Æm \^// ¾Ì//¼Å Ä//]
{ µZ/j» ÉY/] .{Â/ {YÁ FDI ºf/Ì ÊuY Á ¶¼ { |ËZ]
0
u t Ef
Ed
Fd
Ff
¹ÔY ÉY] ʬÌ^e Ä¿ZfM |u [Zzf¿Y { ZË Ê¬Ì^e ÉZÅ [ZËY ÊuY
[15,14].{¼¿ { Y \¸» ¾ËY d̼ÅY ½YÂe Ê» Zy
m» Ã|¿Z» |·Â» ¾f§ZË -3
Z/y Ìz/e f¸Ì§ ºfÌ ®Ì»ZÀË{ ,\ZÀ» m» µ|» ¾f§ZËÂÀ» Ä]
:c Ä] Y
ˆ ˆ Bu L y yˆ xˆ Ax
°°
ˆ ˆ Du
ˆ
® yˆ Cx
°r V y yˆ
°¯
cÓZu Á ÊmÁy ´¿ZËZ¼¿ \Ìee Ä] xˆ, y ½M { į ,ºË̳ʻ ¿ {
\/Ìee Ä/] H , L Á ÊÀÌ »Z/¿ ½Á|/] d·Zu { (1-2)Y Ã| Ã{ ¾Ì¼ze
®/Ì»ZÀË{ .|À/Z]Ê/» Ã|/¿Z» 2¾Ì/af¸Ì§ ZË Ê¿Á ËeZ» Á ´fËÁ ÃÆ]
:c Ä] Ì¿ Zy
e A LC e Ed LFd d E f LFf f
°
®
°¯r V Ce Fd d Ff f :ºfÌ ¾ËY { į dY ÊÆË|] .{Â] |ÅYÂy
rref s Grref , f s f s Grref , d s d s Q E
d Lopt Fd Fd Zy Ìze ºfÌ Ê¸¯ ÉZ¼ : 1 ¶°
É{ÁÁ /]Y] { Ä/ÀÌÆ] Ã|/¿Z» |/Ì·Âe d·Zu { Y m» Ã|¿Z» ºfÌ ³Y
:ºÌÀ¯ § Ë ¹§ Ä] ÉZ·|» ÉZy ½Á|] ¹Â¸ »Z¿
(3-2)
ª x ref º
«r »
¬ ref ¼
ª A ref
«C
¬ ref
E ref ,f
Fref ,f
ªx
E ref ,d º « ref
f
Fref ,d »¼ «
«¬ d
º
»
»
»¼
Grref , f s Vopt Q E f Lopt F f F f
Ã|¿Z» Á d·Zu ¾ËY { É|Ì·Âe Ã|¿Z» ½ZÌ» ¥ÔfyY j¯Y|u ÉZ ÄÀ̼¯ Z]
Grref , d s Vopt
Y Ê/ //Z¿ Ã|////¿Z» { ¥Y////v¿Y ÃZ////]Á{ ÉZ//// Ä////À̼¯ Á ,////m»
Q
C sI A Lopt C
:ÊÀ Ë , u t , d t 1
:d¿ ½YÂeÊ» (3-2) Ê]Zzf¿Y m» µ|» Ä] ÄmÂe Z] Á Ã{Â]
ª¬T rfM T ref
T rdM
T ruM º¼
f
cY/ /Ì̤e Ä///] d^///¿ ½Z///°»Y |///u Z///e Ê/ /uY {Â///» Ã|///¿Z» |///·Â»
1
2
online
Post filter
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
Ê/uY { .{Â/] |/ÅYÂy ¹ÁZ/¬» ÉZ/·|» ÉZy Á u t , d t 1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
60
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
{Á|v» ¹¿ ÊÀÌ »Z¿ ÉY] FDI ºfÌ ÊuY (1 -4
A Lopt C
Aref
E f Lopt F f , Ed , ref
E f ,ref
ÊÀÌ »Z/¿ d¼/« ÉZ/Y|m Z/] ,{Á|/v» ¹/¿ ÊÀÌ »Z/¿ ZfyZ Ä] ÄmÂe Z]
:ºËY{ ʸY d¼« Y ÉZ·|»
A , B ,C , D A A ,B B
M
c
M
c
M
c
'
c
o
c
M
c
'
c
'
c
,C C , D D
o
c
o
c
ª Ac0 Bc0 º
« 0
0 » ...
«¬Cc Dc »¼
0
Vopt F f , Fd ,ref
Vopt Fd
.[14]{¼¿ Ä^Zv» Y m» µ|» ÉZÅf»YZa ½YÂeÊ»
:d¿ ½YÂeÊ»
ZY ¾ËY ] į
ª Aref
«
« 0
« 0
«
C
¬« ref
Vopt C , F f ,ref
Vopt , Lopt ÄÀÌÆ] ÊuY { {Âm» ÉZÅÁ Y Ê°Ë É̳ Z°] Z]
...
'
c
o
c
Cref
Ed Lopt Fd
H
Hf
ÉZÅÉ{ÁÁ ÉY~³ iY ½YÌ» j¯Y|u É̳ ÃY|¿Y ÂÀ» Ä] H f ZÌ »
]Z/e Ä/] Ä/mÂe Z] į {̳ʻ Y« Ã{Z¨fY {» Ã|¿Z» µZÀ´Ì ] ¹Â¸ »Z¿
:c Ä] ,Ã|¿Z» Ä] ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ Y ¶Ë|^e
Eref , f
0
0
Eref ,d
0
f
0
A
BkyC0 Ak
E
Bky Ff0
Hf
Grref , d
0
E
Bky Fd0
DkyC0 Ck Dky Ff0 Fref , f
º
»
B
»
Bku Bky D0 »
»
Dku Dky D0 »¼
0
0
d
Dky Fd0 Fref ,d
ª Ac'
« '
«¬Cc
Bc' º ª Fr1 º
Er 2 @ ...
' >E
»
Dc' »¼ «¬ Fr 2 »¼ H r1
ª 0 º
« F »
« A » ' ª0 W 0 W W W º
A
f
d
B¼
« Bky Fc » H ¬
«
»
¬« Dky Fc ¼»
ª A0 T P P A0 P B 0 C 0 T º
c
c c
c c
c
« c
»
«
0 T »
I
D
*
J
c
«
» ...
«
J I »
*
*
«
»
¬ ¼
M c0
ª A' T P P A' P B ' C ' T º
c
c c
c c
c
« c
»
«
' T »
*
0
Dc » 0
«
«
*
*
0 »
«
»
¬ ¼
f
sup V Grref , d jZ Z
iY ½YÌ» ¶«Y|u Ê]ZËY ÂÀ» Ä] Ì¿ H Ê]ZËY ZÌ » .{ÂÊ» ¦Ë e
:c Ä] Ã|¿Z» µZÀ´Ì ÉÁ ] Zy ÉY~³
H
Ä/]
inf V Grref , f jZ Z
V ... , V ... ¦ËZ/ e ¾/ËY { .{/̳Ê/» Y« Ã{Z¨fY {»
.|¿Y{ ÃZY Ã| s» ]YÂe ÃËÁ Y|¬» ¾ËfÌ] Á ¾Ëf¼¯ Ä] \Ìee
Y/]Y ¾ËY Äq³Y ,dY Ã|»M [16]{ Är¿M ª]Z» H ¦Ë e Ä] ÄmÂe Z]
¾Ëe|/] É/̳ ÃY|/¿Y { ½M Y ½YÂ/eÊ/» ¹/¿ Â/ Ä] Ê·Á dÌ¿ ¹¿
[6,14].{] ÃÆ] Zy dÌZu d·Zu
ÄÀÌÆ] Ä·Z» ¶u { LMI Y]Y É̳ Z°] -4
:{¼¿ ÊË¿Z] Ë ¶° Ä] Y ¯~» ÉÁZ»Z¿ ½YÂeÊ» ÄËne ¾ËY Z]
ÉZ
:d¿ ½YÂeÊ» m» ºfÌ Ä] ÄmÂe Z]
M
»Trf Tref
...
ª Aref
«
« 0
« C
¬ ref
TrdM
ª AcM
« M
¬«Cc
TruM ¼º
E f , ref
0
A
Ef
C Ff Fref , f
BcM º
»
DcM ¼»
Eref , d
Ed
Fd Fref , d
0º
»
Bu »
Du »¼
Z/ÆÀe Á /³Y d/Y Ê/uY ¶/]Z« Y|ËZa FDI ºfÌ , BRL1
ZY ]
PcT ! 0 ËeZ» ³Y
:į |Z] {Âm» Pc
M c'
'
:ºËY{ ( M c ) ÊÀÌ »Z¿ d¼« ÉY] ÓZ] Ä]Y ÊË¿ Z] Z]
M c'
Ì¿
F ' H E ET ' H F T
T
ª Pc Fr1 T 0 FrT2 º , E > Er1 Er 2 0@
¬
¼
2 d¼/« µÁY d/·Zu { Ã| ¦ÌÂe , ' ºÌÀ¯ § [17] :(1) ÄÌ«
F
ÉZ////Å ËeZ////» ÉY////] ,({Á|////v» ¹////¿ ÊÀÌ »Z////¿) |////Z]
///////Å Á ,\///////ZÀ» {Z/////// ]Y Z///////]
R
Pc BcM
J I
*
C D º
»
M T »
c
»0
J I »
»
¼
M
c
T
RT ,F ,E ,H
:ÉZÅÉ]Y]Z¿ ,|Z] V ' d G ' į '
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
ª AM T P P AM
c
c c
« c
«
*
«
«
*
«
¬
1
Bounded Real Lemma
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
61
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
P12
ª P11E ref ,f P12 E f0
«
0
« P12 E ref ,f P22 E f
«
ZFf 0
¬
P11E ref ,d P12 E d0
P12 E ref ,d P22 E
ZFd0
0
d
P12 B 0 º
»
P22 B 0 »
Y ZD 0 »¼
det I H ' z 0
R F ' I H ' E E T I 'T H T 'T F T 0
1
1
:ºÌZ] ÄfY{ ³Y ZÆÀe Á ³Y ,dY Y«]
ªR OE E F OE H º
«
»0 ,O t0
*
O H T H I »¼
«¬
:©Â§ ÄÌ« Ä] ÄmÂe Z] ¾ËY]ZÀ]
T
Ê»|Àq ÊÀÌ »Z¿ ÉY] FDI ºfÌ ÊuY (2-4
:ºËY{ ,¯~» d·Zu ÉY] Ã| ¯} ÊÀÌ »Z¿ ZfyZ Ä] ÄmÂe Z]
ª Aci Bci º p
BcM º ° p
°½
» | ] i 1, ] i t 0 ¾
M » ®¦ ] i « i
Dc ¼» ° i 1 ¬«Cc Dci ¼» ¦
i 1
¯
¿°
ÉZ/ÅÊÀÌ »Z/¿ ¹Z/¼e ÉYY Ä/] ºf/Ì ÉY|/ËZa /§ ,¶/^« d/·Zu ª]Z»
ª AcM
« M
¬«Cc
/ Ä/¯ Z/n¿M Y .d/Y Ê«Z/] {Â/y cÂ/« Ä/] ½Z/Àr¼Å Ê»|Àq
Ã|/ ÄWYY LMI ¶u ½{Â] Ê¿| ,Ã| ÄWYY ÉZ ÄÀÌÆ] Ä·Z» ÉY«]
:d·Zu Ä] Y ½M ÉY«] ½YÂeÊ» ,{Â]
ª A i T P P A i
c
c c
« c
«
... «
*
«
*
«¬
0
C D *
0
Pc B ci
i T
c
i T
c
º
»
»
»0
»
»¼
Tco Tc' 0 Tco F ' H E E T ' H F T 0
ªTco O E T E F O E T H º
«
»0 ,O t0
O H T H I ¼»
*
¬«
:ºËY{ schur complement Y Ã{Z¨fY Z] Á Ã{Â]
ª A
«
«
«
«
«
«
«
¬
1
i 1
B ky
/Ì̤e ½Z/¼Å µZ/¼Y Z/] Ä/]Y ¾/ËY ÉY/] ¶/^« d·Zu Ä]Z» Á {¼¿ ¶Ë|^e
:{ÁM d|] Y Ë Ä]Y ,ZÅ̤f»
min
P , X ,Y , Z , D ky , D ku ,C k
J
T
ªP i * P i
C ci 12
« 11
T
«
J I Dci «
«
J I
«¬
ª P11 P12
O t 0 , P «« P12 P22
«¬ 0
0
º
»
»
»0
»
»¼
0º
0 »» ! 0
P33 »¼
¿ Ä] Äf] [18].|Z]Ê» Zy ÊËZZÀ Á Zy ¿ ¾ÌÌ e ,Zy Ìze
|/À¿YÂeÊ/» Ä/¸u» Ä/ ¾ËY ,µfÀ¯ ºfÌ Y Zf¿Y {» {°¸¼ Á Zy
*
J I
C D *
*
*
*
J I
*
Fr 2
O I
*
*
*
*
Pc Pc Ac0
Pc B c0
0 T
c
Pc Fr 1
O E rT1 º
0 T
c
0
O E rT2 »
»
»
0
0 »
»
T
OH »
O I »¼
:̤f» Ì̤e Z]
ª P11 P12 0 º
«P
»
« 12 P22 0 »
«¬ 0
0 P33 »¼
P331Z , A k P331X
P331Y
, B ku
:ÊÀ Ë .{¯ ¶Ë|^e Êy ¹§ Ä] Y ©Â§ Êy Ì£ É]Y]Z¿ ½YÂe Ê»
min
P , X ,Y , Z , D ky , D ku ,C k ,O
ª P PT
11
« 11
«
« *
« *
«
« *
« *
¬
P11
J
P14
J I
C D 0
OE
*
J I
Fr 2
0
*
*
*
*
O I
*
OH T
O I
0 T
c
P12
O t 0 ,P
Zy ¿ Ìze -5
ÉÄ/¸u» Ä/ ¶»Z/ Z/y Ìz/e |/ÀËM§ ÉY/mY Á ʸ¯  Ä]
0 T
c
P
p
] i ! 0, ¦ ] i
T
ª P11A ref
«
« P12 A ref
« 0
¬
0 T
c
ª P11
«P
« 12
«¬ 0
P12
P22
0
P12 A 0
P22 A 0
ZC 0
O E rT1 º
T
r2
»
»
»
»0
»
»
»
¼
0º
0 »» ! 0
P33 »¼
0º
»
0 » , P14
X »¼
ª P12 FA º
«
»
« P22 FA »
¬« ZFC ¼»
Z/y Ìz/e hv] ,ļŠ¾ËY Z] Ê·Á .|ÀZ] dË·ÁY ÉYY{ ºÅ Ä] d^¿
Ä/·Â¬» ½M Y |/ ] Á d/Y Z/Ì¿ {Â/» ʸ¼ ÉZźfÌ ¹Z¼e ÉY] Z^ˬe
.|]ZËÊ» d̼ÅY ÃY|¿Y ½Z¼Å Ä] Ì¿ Zy ÉZY|m
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
62
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
.{¼¿ Ã|ÅZ» Ã|¿Z» Å ] {¨À» c Ä] Y Zy Å iY ½YÂeÊ»
Á Ã{Â/^¿ ÉÁ/ ZźfÌ { Ó¼ » \Ì Â¿ ÊËZZÀ ´Ë{ ¥ Y
Y/q {Â/] |/ÅYÂy ZÅ E i Y|¬» ËY§Y ZÆÀe ,ÊuY ¥|Å ÂÀ» ¾Ë|]
/v» Ä/] Ä/¯ Y/q |/À¯Ê¼¿ Y|Ìa Ê·fÀ¯ ÉZźfÌ { É{ZË d̼ÅY
ÉZ/·|» ÊÀÌ »Z/¿ Á ¹Â¸ »Z/¿ É{ÁÁ iY Ä] d^¿ Ã|»M d|] Ã|¿Z» į
,d/ Ä/] Á |ÀÀ¯Ê» »Zy ½Z°»Y c { Y ºfÌ ,\Ì Â«Á
Éj¯Y|/u ÉZ/Y|m {Â/» ¾/ËY Y {Â/¬» Á dY Ã|Ë{³ ¹ÁZ¬» Ô^«
.|ÀÀ¯Ê» ¹Y|«Y ,̼ e dÆm {
.|Z]Ê» ÄÀ°¼» ÉZÅZy ½ZÌ»
,d/Y Ã|/ ¦/Ë e (2-2) cÂ/ Ä/] Ã|/¿Z» |/·Â» ºfÌ Ä¯ Zn¿M Y
Z/] ,ºf/Ì ®/Ë Y Â/^ Z/] ½YÂeÊ» Y ÊËZÆ¿ ĸu» { É|Ì·Âe ÉÃ|¿Z»
Y Á {Â/¼¿ ¶Ë|^e É« ÃYÂz·{ ¹§ Ä] \ZÀ» É« m» µ|» [Zzf¿Y
.{] ÃÆ] Zy ¿ Ìze |ÀËM§ { ½M
Ak , Bku , Bky
A0 , B0u , B0 y
C k , Dku , Dky
C0 , D0u , D0 y
FDI
|¿Ì³Ê» ¹Zn¿Y y] c Ä] Zy ÉZY|m Á Zy Ìze Ó¼ »
D u diag f1 ,... f kf Aref , B f ,ref , Bd ,ref
\Ì Ìze |ÀËM§ ¹Zn¿Y ¶uY» : 2 ¶°
¾/ËY ZźfÌ j¯Y { .|¿ÂÊ» YmY ºÅ cYY» Ä] Á ,½Z» ºÅ Á{ Å Á
Cref , D f ,ref , Dd ,ref
Ìz/e Z/źf/Ì Y /´Ë{ Ê/y] { Á Ã{Â] µZ § ½Z» ºÅ ,{» Á{
ÉZ/Y|m \/Ì ËZ/¼¿ /v» Ä/] Á dY ¾Á ºWY{ c Ä] Zy
Zy ¿ Ìze Á ÊËZZÀ { m» µ|» Y Ã{Z¨fY : 3 ¶°
.{ÂÊ» µZ § Zy
ÊÀÌ »Z/¿ Á ¹Â¸ »Z/¿ É{ÁÁ iY ÉZ ÄÀ̼¯ Y a į dZÀ » ½Y|] ¾ËY
·Z/y Y{] c Ä] É´Ë{ m» µ|» [Zzf¿Y Z] ½YÂeÊ» ÉZ·|»
Â/¿ ¾Ì/Ì e d/Æm { ĸ/Zu Ã|/¿Z» Y ,½M É« Ê¿Á \Ë ZË Zy
Ê/¿Á \Ë/ ºf/Ì ,Ã|/¿Z» ÊËZÆ¿ ºfÌ Ä] ÄmÂe Z] .{] ÃÆ] Ì¿ \Ì
:ºÌÀ¯Ê» ¦Ë e Ë c Ä] Y Ã|¿Z» Z É«
°k A0 k B0 r
®
°¯riso C0 k D0 r
: dY{ ºÌÅYÂy (2-2) Ä] ÄmÂe Z] .|Z]Ê» d·Zu ̤f» k Á
ª Ak
«B C
¬ 0 k
>D0Ck
0 º ªk º ª Bku
«
A0 »¼ «¬ xˆ »¼ ¬ B0 Dku
Bky º ªu º
B0 Dky »¼ «¬ y »¼
/] Ä/¯ PCA2,FDA3,PLS4,... ½Â/r¼Å ÊËZÅÁ Á |ÀÀ¯Ê»¶¼
Ã{Z¨f/Y {Â/» \Ì Ìze ÂÀ» Ä] ÉZ»M Y{a Y Ã{Z¨fY
ZY
{ .dZÆ¿M ½{Â] y] ¹| { Z»Â¼ ZÅÁ ¾ËY ʸY \Ì .|ÀfÅ
>
@
ªk º
Ck @« » D0 Dku
¬ xˆ ¼
D0 Dky
E u diag f1 ,... f kf [19].d/Y µÂ¼ » Á ¹Â» Ì¿ GOS6 Á DOS5 c Ä] É´fËÁ
¶«Y|/u Ê/uY |/À»ZÌ¿ Á Á{ ¾/ËY Y ®Ë Å É̳Z°] Z] «YÁ {
ºÌÅYÂ/y \/Ì /Å Ìze ÂÀ» Ä] ,ºfÌ ÉZÅZy {Y| e Ä] ´fËÁ
[2019,].{Â]
¾/ËY |¿YÂeÊ» \ZÀ» m» [Zzf¿Y Á m» µ|» Á Y É̳Z°] Z»Y
ªu º
« y»
¬ ¼
ºf/Ì { /³Y /«YÁ { .|/À¯ Ê/°Ë ,Z/y Ìze ĸu» Z] Y |ÀËM§
Ä/] Z/y ÉZ/Y|m d/Æm [Â/¸» /m» Ã|/¿Z» ¾f§/³ /¿ { Z] į
riso _ ref
Y Ã{Z¨f/Y /] Ê/Àf^» ÉZ/ÅÁ .|¿Â/Ê/» É|À] Äf{ µZÀ´Ì ] ÊÀf^»
É|/À] Äf/{ Á Ê/yÌ£ ÉZ/Åd/Z´¿ {ZnËY
ZY ] į 1Ê^Ä°^
ÉZ/Å®¿Z] ÊËZa] c Ä] µ|» ] ÊÀf^» ÉZÅÁ Y Ã{Z¨fY ½ZÌ» ¾ËY
ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ iY ÉZ ÄÀ̼¯ |ÀËM§ Y ¶Zu Ã|¿Z» r ½M { į
ªk º
°« »
°¬« xˆ ¼»
®
°
°riso
¯
Á µ|/» ] ÊÀf^» t Á{ { Z»Â¼ ZÅÁ Ì¿ \Ì Â¿ Ìze ÉY]
: cÂ
[Z/zf¿Y ÉÂ/
f s Ê/¿Á \Ë/ (2-1) Ê]Zzf¿Y m» Ã|¿Z» |·Â»
:ºÌZ] ÄfY{ į {Â
rref
Wf
,W
diag E i , i 1, 2,..., n f
ÉZ///ÅËeZ///» Ê///À Ë Ã|///¿Z» Ê///¿Á \Ë/// ÉZ///Åf»YZa ½YÂ///fÌ»
Y|/¬» Ä/f^·Y .{Â/¼¿ Ä^Zv» Zy ¿ ¾ÌÌ e dÆm Y A0 , B0 , C0 , D0
1
E
2
ÊËeZ» É]Y]Z¿ į ÊËZm Ze ĸu» Ä] ĸu» c Ä] ½YÂeÊ» Y
:Y ¶Zu
min riso riso _ ref
f
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
neural network
Principal Component Analysis
3
Fisher Discrimnant Analysis
4
Partial Least Square
5
Dedicated Observer Scheme
6
Generalized Observer Scheme
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
63
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
.{Y{ ËY§Y ,|Z^¿ ¶u ¶]Z«
Residuals
15
r1(t)
10
5
Zy Ìze É{| µZj» -6
0
-5
0
5
10
15
20
time t (sec)
25
30
35
,d//m Â//e» d//·Zu ÉZ//§ ÉY//] [21] { Ã|// Ä//WYY µ|//» Z//] ª]Z//»
:{Â] |ÀÅYÂy Ë s Ä] ZÅf»YZa
10
r (t)
0
A0
2
-10
-20
-30
0
5
10
15
20
time t (sec)
25
30
35
C0
10
r (t)
5
Ed
3
0
-5
-10
0
5
10
15
20
time t (sec)
25
30
35
Ff
m» µ|» Á Ä] É|Ì·Âe Ã|¿Z» : 4 ¶°
0 º
, Ef
0.01»¼
ª 0.1340 0.6300 0.4510 º
«0.2070 0.3710 0.0440 »
«
»
«¬ 0.6070 0.5750 0.0270 »¼
FA
ª 0.1480 -0.1290 -0.0840 º
« 0.1140 -0.0070 0.0500 » , F
«
» C
«¬ -0.0680 -0.0330 0.1490 »¼
ª -0.0550 0.0660 -0.0120 º
« -0.0850 -0.0850 -0.0070 »
«
»
«¬ -0.0250 -0.1200 0.0490 »¼
m» µ|» \ZÀ» ¦Ë e { ÊuY ÉZÆÁ {°¸¼ ÄËZ¬» : 1 µÁ|m
Method
J
15
r1(t)
ª0.0080 0.2397 -0.0383º
«0.0068 0.1565 0.0248 » , F 0.1I
«
» d
¬«0.0003 -0.0003 0.0003»¼
ª -0.0205 0.6217 0.8115º
ª -0.3190 -0.0800 0.1420º
« 0.2789 -1.7506 0.6363» , H « -0.2880 0.1380 0.2580 »
«
»
«
»
«¬ 1.0583 0.6973 1.3101 »¼
«¬ 0.1140 0.1630 0.1330 »¼
ª0.1I
« 0
¬
:[6]| Ã|ÅZ» Ë µÁ|m ª]Z» ¹Y|¯
Residuals
'
H
Hf
2.2824
H2
H2
2.4276
H
H2
2.6133
Z/] \ZÀ» f¸Ì§ ,Ã| ¦ÌÂe m» µ|» [Zzf¿Y Z] ÄËZ¬» ¾ËY
ZY ]
2*'
5
Ä/] Z/y µZÀ´Ì/ µZ/¼Y Z/] .|ËMÊ» d|] LMI ÉY°e Á Ä] ¶u
0
0
5
10
15
20
time t (sec)
25
30
35
10
cÂ// Ä//] ¹Â¸ »Z//¿ É{ÁÁ µZ//¼Y Á 14 Ä//v· { |//uYÁ Ä//¸a cÂ//
/Ë s/ Ä] Ã|¿Z» µZÀ´Ì lËZf¿ 2 ¿ZËYÁ Á ¨ ¾Ì´¿ZÌ» Z] |̨Ë¿
(4 ¶°) :|ËMÊ» d|]
0
r2(t)
0.4875º
0.0003»»
0.0005 -0.0021¼»
-4.4920
-0.0050
/Å ÉY] Ã|»M d|] lËZf¿ į dY Ã| Ä^Zv» m» µ|» ¾Ìaf¸Ì§
(5 ¶°).{Â] |ÅYÂy ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿
-5
0.1390 º
0.0004 »» , D 0
-0.0000 0
¼»
0.4871
-0.0008
0.2397 -0.0383º
0.1565 0.0248 »»
-0.0003 0.0003»¼
ËeZ/» Á /f¸Ì§ Ã/Æ] ,¦/¸fz» ÉZ/ÅÁ Y Ã{Z¨f/Y Z/] µZj» ¾ËY ÉY]
Ä/] ºf/Ì ¹YÂ/« ¾Ì/^» »Y ¾ËY į |Å{ʼ¿ w Ã|¿Z» { ÊÂv» Ì̤e
10
ª0.0080
«0.0068
«
«¬0.0003
ª0.4171
«0.0008
«
¬«0
ª -0.0600 -0.0080 -0.1350º
« -0.0150 0.1540 0.0470 » , W
«
» B
«¬ -0.0440 -0.0610 -0.0900»¼
:c Ä]
ª 0.3741 0.3173 0.1506 º
« 0.7977 0.7207 0.2220 »
«
»
¬« 0.0848 0.0325 0.2133 »¼
ª1.3521 0.6380 1.4948 º
o ' H ,2 ««1.2179 0.2271 0.3274 »»
«¬1.1046 0.4046 1.1749 »¼
-0.0110 -0.0039 º
-0.9858 -0.0026 »» , B 0
0.0002 -0.9891 »¼
WA
ÊÀÌ »Z/¿ ËeZ/» { Ì̤e ZfËZÆ¿ Á ,ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ ¿ZËYÁ ËY§Y Z]
' H ,1
ª-0.9835
«-0.0004
«
«¬ 0
ª0.2383
«0
«
¬«0.0000
-10
-20
-30
0
5
10
15
20
time t (sec)
25
30
35
0
5
10
15
20
time t (sec)
25
30
35
20
r3(t)
10
0
-10
Ã|¿Z» ÉÁ ÊÀÌ »Z¿ Y|¬» Ì̤e iY : 5 ¶°
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
64
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
:m» µ|» ¾f§³ ¿ { Z] Zy ¿ ¾ÌÌ e ÂÀ» Ä]
/§ ¾/ËY Z/] ¾°Ì/· .{Â/] |/ÅYÂy ÉZ/·|» ÊÀÌ »Z/¿ ¶»Z fÌ] ÄmÂe
cÂ/ Ä/] ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ iY ÉZ ÄÀ̼¯ ] Y Ä·Z» |̯Ze ½YÂeÊ»
D u diag f1 ,... f kf riso _ ref
|uYÁ ·Za c Ä] Zy µZÀ´Ì Ä µZ¼Y Z] , E ÊnË|e ËY§Y Á
.{¼¿ ¾Ì¼e {¨À»
ÊÀÌ »Z//¿ Ä//] d^//¿ FDI ºf//Ì ¹YÂ//« ,//m» µ|//» Y ¦//Ë e ¾//ËY Z//]
7 Ê//·Y 3 ½Z//» Y ·Z//a Á 14 Ä//v· { 0.2 \Ì// ,20 Ê//·Y 5 Ä//v· Y
Z/v· ¹Â¸ »Z/¿ É{ÁÁ [Â/¸» µ|/» { į Êf·Zu Ä] d^¿ ,ÉZ·|»
¿Z/ËYÁ Á ¨ ¾Ì´¿ZÌ» Z] |̨Ë¿ c Ä] ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ µZ¼YÁ
¹YÂ/« j¯Y|/u Z/v· Y Ê]Z/zf¿Y µ|/» Ä/¯ Zn¿M Y .|]ZËÊ» {Â^Æ] ,{¿
(6 ¶°) :|ËMÊ» d|] Ë s Ä] Ã|¿Z» µZÀ´Ì lËZf¿ 1
Y ¦/Ë e ¾ËY ,{ÂÊ» [Zzf¿Y ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ µZÀ´Ì Ä] d^¿ ºfÌ
,½M Z/] Ã|¿Z» fÌ] ÄqÅ ÉZ ÄÌ^ ÉY] ¿ {» m» µ|» ¾ÌÀr¼Å
{ Ôj») ½M \ZÀ» ¦Ë e Z] Êfu Á { ¦Ë e ZÌ¿ \u ] |¿YÂeÊ»
20
residual 1
.{Y|¿ ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ Ä] d^¿ FDI ºfÌ ¹Y« Z] ÊeZ§ZÀ» m» µ|»
fault 1
30
10
0
-10
ÉZ/ÅZy cY/iY ½Z/Ì» Ê/°Ì°¨e ,(½Z/°Ë /ZÀ Z/] É/« ,{Â/» ¾ËY
Zf£Y Ä] d^¿ ½Z°»Y |u Ze Y ½M {Âm» ÉZÅZy {Y| e Z] ]Y] Ã|¿Z»
{Â/» Z/y Ìz/e Ä/] dÌ/Zu ¾Ì { ÉZ·|» cYÌ̤e Ä] d^¿
µ|/» {Z/nËY Z/] ,¦¸fz» ÉZÅZy {Y|y d·Zu{ Á Äf§³ Y« Ê]ZËY
Z/y ¿ ¾ÌÌ e ºfÌ ÊuY Á ZÅZy ÉZY|m Ä] ¹Y|«Y É« m»
20
25
15
20
25
15
20
25
10
5
0
0
5
10
time
fault 3
\ZÀ» m» µ|» ¾ËY Ê^ZÀ» Z¯ Á Z {ZnËY Z] ½YÂeÊ» Êfu .| ZÌ¿
10
residual 3
ºf/Ì ¹YÂ/« ,Ã|/ Ã{Y{ É{|/ ºf/Ì /] lËZf¿ µZ¼Y Z] Ì¿ dËZÆ¿ {
15
15
Ê/] Z/y ÉZY|m ÂÀ» Ä] É´fËÁ ÉZÅ®¿Z] {ZnËY Y Á{¼¿ ¹ÁZ¬»
.{¼¿ ÄÀÌÆ] Y°e ºfË´·Y ®Ë c Ä] Y ZÅZy ÉZY|m dÆm
10
20
residual 2
ÉZ/ŵZÀ´Ì/ {Y| e Ì̤e Z] ½M
ZY ] Á {¼¿ {YÁ \ZÀ» m» µ|»
5
time
fault 2
ºf/Ì {Z/nËY ÉY/] ĸ/Zu Ã|/¿Z» Y ÊÂ/¿ Ä/] Á {Â/¼¿ {Z/nËY ¦¸fz»
{ Ê/eYÌ̤e ½YÂeÊ» ¶»Ze ʼ¯ Z] {]Z¯ ¾ËY { .{] ÃÆ] Zy ZY|m
0
0
-10
0
5
10
time
E
12
m» µ|» ĸÌÂ] Zy ¿ ¾ÌÌ e : 6 ¶°
.dY Ã|
mY» -8
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Zhonga M., Ding Steven X., Lam J., Wang H.,
2003, “An LMI approach to design robust fault
detection filter for uncertain LTI systems,”
Automatica, Vol. 39, No. 3, pp. 543 – 550
É̳ ÄnÌf¿ -7
ÉZ/ÅÁ ,ÊÀÌ »Z/¿ ¦¸fz» µZ°Y Âu { Ã|¿Z» |Ì·Âe ÉY] Ä°ÀËY Z]
.|/Z]Ê/» Ê°Ë ZÅÁ ¹Z¼e ʸY ÄfÅ Z^ˬe Ê·Á {Y{ {ÂmÁ ʨ¸fz»
,dY ZÌ¿ {» m» µ|» ®Ë Y Ã{Z¨fY ZÆ¿M ¹Z¼e { Ê¿ Ä] «YÁ {
.{ÂÊ» [Âv» ZÅÁ ¾ËY ÊZY ÉZÅdÅZ^ Y į
Á /m» µ|/» Á
Z/Y /] [Z/Ë \/Ì ºfÌ ÊuY Ä·Z¬» ¾ËY {
Khosrowjerdi M., Nikoukhah R., Safari-Shad N. ,
2004, “A mixed H2/Hinf approach to simultaneous
fault detection and control,” Automatica, Vol. 40,
No. 3, pp. 261-267
ÉY//] ¹ÁZ//¬» ÉZ//y Ìz//e Z//v· Y \//ZÀ» //m» µ|//» ¦//Ë e
Hamelin F., Sauter D., 2000, “Robust fault
detection in uncertain dynamic systems,”
Automatica, Vol. 36, Issue 11, pp. 1747-1754
¹YÂ/« j¯Y|/u |Ë{ Y \ZÀ» m» µ|» ¾f§ZË Á [¸» µ|»{ ¹Â¸ »Z¿
Chen J., Patton R.J., Zhang H.Y., 1996, “Design of
unknown input observer and robust fault detection
filters,” International Journal of Control, Vol. 63,
No. 1, pp. 85-105
Isermann R., Balle P., 1997, “Trends in the
application of model-based fault detection and
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
.|/ Ä/WYY ¹Â¸ »Z/¿ É{ÁÁ Z] ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ Êy ÉZźfÌ
É{ÁÁ /iY ½{¼¿ Zv· ½M { į ,m» µ|» Y ¦Ë e ¾ËY
ZY ]
Ä·Z/» ʸ/Y ¥|/Å ,d/Y Ã| s» ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ Ä] d^¿ ºfÌ
.{Â] |ÅYÂy ÉZ·|» ÊÀÌ »Z¿ Ä] Ã|¿Z» ¹Y« ½YÌ» {Â^Æ] ,ÉZ ÄÀÌÆ]
,d/Y Ã|/ {YÁ Ã|/ ¦/Ë e /m» µ|» Ä] ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ iY Ä°ÀËY
– d/Y [Â/¸» ÃYÂ/¼Å Ä/¯ – Ã|/¿Z» { ½M /iY ½{/¯ º¯ Z] Ê«ZÀe
¹ÁZ/¬» ÊuY { {Âm» ÉZÅÁ { ,iY ¾ËY į Yq .dY{ |ÅYÂz¿
Á Ã| º¼ÌÀÌ» ,ÄÀÌÆ]  Ä] Ô¬f» ¹Â¸ »Z¿ É{ÁÁ Âu { Ã|¿Z» |·Â»
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
65
Zy H ¹¿ ÉZ ¶«Y|u Y Ã{Z¨fY Z] ÊÀÌ »Z¿ ÉYY{ LTI ÉZÅ ºfÌ ÉY] Zy Ìze f¸Ì§ ÊuY
ÊW°¿ ʸ|¼v» ,^n¿ |̼u
diagnosis of technical processes,” Control Eng.
Practice., Vol. 5, No. 5, pp. 709-719
Systems and Control LeƩers, Vol. 28, No. 1,
pp.23Ͳ30
[18] Chiang L.H., Russell E., Broatz R.D., 2001,
“Fault Detection and Diagnosis in Industrial
Systems,” Springer
[6]
Ding X., 2000, “Model-based fault diagnosis
techniques,” Springer
[7]
Akhenak A., Chadli M., Ragot J., Maquin D. ,
2007 “Design of Sliding Mode Unknown Input
Observer for Uncertain Takagi-Sugeno Model,”
Control & Automation Mediterranean Conference,
pp. 1-6
[8]
Murad G., Postlethwaite I., Gu D.W., 1996, “A
robust design approach to integrated control and
diagnostics,” Proc. the 13th IFAC Word Congress
[9]
Stroustrup J., Grimble M., Niemann H., 1997,
“Design f integrated systems for the control and
detection of actuator/sensor faults,” Sensor review,
Vol. 17, pp.138-149
[19] Frisk E., 1996,“ ModelͲbased fault diagnosis
applied to an SIͲEngine,” M.s Thesis of
Linkoping university
[20] Frank P.M., Ding S.X., Marku T., 2000,
“ModelͲbased fault diagnosis in technical
processes,” Transactions of the Institute of
Measurement and Control, Vol. 22, No. 1, pp.
57Ͳ101
[21] Curry T.D., Collins J., 2005, “Robust fault
detection and isolation using robust "1
estimation,” Journal of Guidance Control and
Dynamics, Vol. 28, Vo. 6, pp.1131Ͳ1139
[10] Rank M.L., Niemann H., 1999, “Norm based
design of fault detectors,” International Journal of
Control, Vol. 72, No. 9, pp. 773-783
[11] Frisk E., Nielsen L., 2006, “Robust residual
generation for diagnosis including a reference
model for residual behavior,” Automatica, Vol. 42,
Issue 3, pp. 437-445
[12] Chen J., Patton R.J., 2000, “Standard h-infinity
formulation of robust fault detection,” Proc. of the
4th IFAC Symp. Safe Process, pp. 256-261
[13] Ding S.X., Jeinsch J., Frank P.M., Ding E.L., 2000,
“A unified approach to the optimization of fault
detection systems,” International journal of
adaptive control and signal processing, Vol. 14, pp.
725-745
[14] Guo J., Huang X., Cui Y., 2009, “Design and
analysis of robust fault detection filter using LMI
tools,” Computers & Mathematics with
Applications, Vol. 57, Issues 11-12, pp. 1743-1747
[15] Frank P.M., Ding X., 1997, "Survey of robust
residual generation and evaluation methods in
observer-based fault detection systems,” Journal of
Process Control, Vol. 7, No. 6, pp. 403-424
[16] Liu J., Wang J.L., Yang G.H., 2005, “An LMI
approach to minimum sensitivity analysis
with application to fault detection,”
AutomaƟca, Vol. 41, No. 11,pp.1995Ͳ2004
[17] El Ghaoui L., Folcher J.P., 1996, “Multi
objective robust control of LTI systems
subject to unstructured perturbations,”
Journal of Control, Vol. 4, No. 3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
µfÀ¯ ĸn»
ISSN 2008Ͳ8345
66-77 Äv¨ ,1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m
SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
d É̳ÃY|¿Y ½Á|]
2
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,1 É|À¸] ¾Ìu
[email protected] ,½YËY d À Á º¸ ÃZ´¿Y{ ,µfÀ¯ ÃÁ³ ,©] Ê|ÀÆ» Ç|°¿Y{ ,ZÌ¿Y{ 1
[email protected] ,½YËY d À Á º¸ ÃZ´¿Y{ ,µfÀ¯ ÃÁ³ ,©] Ê|ÀÆ» Ç|°¿Y{ ,Éf¯{ ÉÂn¿Y{ 2
(1389/10/11 Ä·Z¬» Ë~a xËZe ,1389/6/26 Ä·Z¬» d§ZË{ xËZe)
ºm ®Ë f» ¶¼u dÆm ,Z°¼Å ÉÁZ] Á{ Y ¶°f» Ê]Zzf¿Y ºfÌ ÉY] dÌ «Â» Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ®Ë ,Ä·Z¬» ¾ËY { :Ã|Ì°q
cÓ{Z » Y ÉYļn» Ä] ½M ¶Ë|^e Á ºfÌ É^m–ʸ̿Y¨Ë{ ®Ì»ZÀË{ cÓ{Z » ÅZ¯ dÆm ,ZfY ¾ËY { .{{³Ê» ÄWYY \¸
-¾Ë|] .| |ÅYÂy ÄWYY
ZY ¾ËY ] ¯¼f» ÉYÃ|ÀÀ¯µfÀ¯ Á Ã|Ë{³ kYzfY ºfÌ Y SPF Äf§Z˶̸¬e µ|» ®Ë ,ʷ¼ » ʸ̿Y¨Ë{
Ê «YÁ ½Z» ÉZÅ{]Z¯ { ÉfÌ] ÊËYmY d̸]Z« ¾ËY]ZÀ] Á Ã{Â^¿ ÊyÌ£ É^m ÉZÅ|Ì« ¶u ] Ê°f» Ã|ÊuY Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ,\Ìee
ÄnÌf¿ { Á d ÉZÅ´u ¥~u \^ į {{³Ê» ÊuY ÉÂvÀ] ºfÌ Ê·fÀ¯ ZfyZ { d ´fËQ ®Ë ,¾ÌÀr¼Å .{Y{
.|¿ZÊ» ¶«Y|u Ä] Y ºfÌ µfÀ¯ { ZÌ¿ {» ÉZÅ´u {Y| e Á Ã| ºfÌ ½Á{ Ä] ZÅ´u ¾ËY ªË Y Ë¿ ªËe Y É̳¸m
.{{³Ê» |ÌËPe Ã| ÄWYY Á Êz]iY ZÅÉZÄÌ^ lËZf¿
ZY ] Á Ã| cZ^iY ¥Â¿ZaZÌ· ]YÂe Y Ã{Z¨fY Z] ºfÌ ÉY|ËZa ,dËZÆ¿ {
.Äf§ZË ¶Ì¸¬e µ|» ,d ´fËQ ,Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] ÉZÅÌn¿ ,Z°¼Å ®ÌeZ] ÉZźfÌ ,dÌ «Â» µfÀ¯ :É|̸¯ cZ¼¸¯
Control of Closed Kinematic Chains Based on SPF Model without
Velocity Measurements
Hossein Bolandi, Amir Farhad Ehyaei
Abstract: In this paper, position control of a dual manipulator system for transporting a
common payload is considered. In this regard, a centralized controller is designed for a reduced
model developed based on a singularly perturbed formulation (SPF) which reduces the differentialalgebraic dynamic equations of the system to a set of ordinary differential equations. In this
approach, the controller does not rely on solving nonlinear algebraic constraints and is more
applicable to real-time implementation. At the same time, a linear observer is designed to estimate
the joint velocities which leads to elimination of velocity sensors and prevents noise injection into
the system which may degrade the system performance. Finally, stability of the system is proved by
using Lyapunov theorem. Simulation results illustrate the effectiveness of the proposed method.
Keywords: Position control, Cooperative transportation, Closed kinematic chains, Velocity
observer, Reduced model.
{ ÊËZźfÌ ¾ÌÀq .|¿YÃ| Ä ·Z» ʿ³Z¿Â³ ÉZÅÄÀÌ» {
Ä»|¬» -1
-ÃÌn¿ \·Z« { į |¿YÃ| Ê] ʨ¸fz» Ê°Ë·ÂaÂe ÉZÅZfyZ
¶»Z Z°¼Å cZ] ¾Ë|Àq Y ¶°f» ÉZźfÌ ,Äf~³ ÄÅ{ {
Äf] ÉZÅÃÌn¿ Äq³Y .|¿ÂÊ» É|À]ºÌ¬e Äf] Á Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ ÉZÅ
|Àq ÉZÅd{ [3] Z°¼Å ÉZÅÁZ] ,[2Á1] Z°¼Å vf» ÉZÅcZ]
,|¿Y{ Z] ÉZÅÃÌn¿ ] ¹Ì¿Z°» ¹Z°vfY Zv· Y É{ZË ÉZËY»
ÉYÃ{f³ Â Ä] . . . Á [7Á6] Za |Àq ÉYY{ ÉZÅcZ] ,[5Á4] Êf´¿Y
Ê ¾Ë|·YÌ¿ ÄmYÂy Êf À ÃZ´¿Y{ -½YËY ªÌ«{ Y]Y Á µfÀ¯ ½Z|ÀÆ» ¾¼n¿Y ,µfÀ¯ ĸn»
ÊËZÌuY {Zŧ Ì»Y :cZ^eZ°» Y{ Ã|Æ Ã|ÀË¿
67
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
dË» ¾Ë|Àq Ä·P» ¾ËY .[23-28] |Z]Ê» d Á [Zf ,ÁÌ¿ ¶»Z
Äf] Ìn¿ ZfyZ ¨u Ä] ZÌ¿ ¶Ì·|] ZÆ¿M µfÀ¯ Á d¯u ÊuY
ÉZÅÂÀ Y Ã{Z¨fY ÄÀËÅ ÅZ¯ \^ Ä°¿M ĸ¼m Y {Y{ Ã|¼
Z» ÄmÂe ,Ä·Z¬» ¾ËY { .dY Ã|ÌrÌa ZÌ] ,(Äf] Ìn¿ ÉZÅ|Ì« {ÂmÁ)
Êy] É̳ÃY|¿Y Ä°¿M ´Ë{ Á {{³Ê» ºfÌ ºnu Ì¿ Á ¦¸fz»
] ¯¼e Z] Z°¼Å ÉZÅÁZ] Âe \¸ ¹ZmY f» ¶¼u Ä]
®Ë Ä̼ŠµZj» ½YÂÀ Ä] .dÌ¿ Ë~a ½Z°»Y ÓZ] d«{ Z] ZÅd̼¯
.|Ë{³ |ÅYÂy {Á|v» Ê·fÀ¯ cZ»
ÉY] Ä°¿M ¾¼ dÌ¿ {Âm» d É̳ÃY|¿Y Y ªÌ«{ ®]|̧
Y Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯ Ä·P» ¾ÌÌa ÉZÅZ¯ Y ÉZÌ]
į |]ZË ÅZ¯ ÉY{]Ŀ¼¿ {ÂËa |ËZ] d É̳ÃY|¿Y ½| eªÌ«{
Y ʼ¯ {Y| e Äf^·Y .[8-14] |¿YÃ{¼¿ Ê] ¦¸fz» ËY dve
Y Ã{Z¨fY ʧ Y Á {{³Ê» [Âv» Ã|ÀÀ¯ {Á|v» Âf¯Z§ ®Ë {Ây
Ã{Â] ZÅZfyZ ¾ËY µ|» ] ÊÀf^» µfÀ¯ ÄÀÌ» { Ã| ¹Zn¿Y cZ¬Ì¬ve
¶]Z« Ë¿ Z] ÃY¼Å d É̳ÃY|¿Y dÆm f»Â¯Ze ½Âr¼Å ÊËZŽZ¼·Y
µfÀ¯ ,[14Á13] ʬÌ^e µfÀ¯ ÉZÅÁ ¶»Z 0Ze|¼ į dY
ÉY] ʬÌ^e Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ®Ë [26] { ZfY ¾ËY { .|Z]Ê» ÄmÂe
¾ËY .|ÀfÅ [18Á17] ÁÌ¿/dÌ «Â» |Ë^ÌÅ µfÀ¯ Á [16Á15] Ê¿Y|b»Y
\¸ ºm ®Ë f» ¶¼u ÉY] cZ] ¾Ë|Àq Y ¶°f» ʼfÌ
ÊËZźfÌ ,Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ į {ÂÊ» ÊZ¿ Zn¿M Y »Y
[Zf ®]|̧ Ä] ÉZÌ¿ ½M { į ʳËÁ ¾ËY Z] dY Ã|Ë{³ ÄWYY
¦ÌÂe 1É^m-ʸ̿Y¨Ë{ cÓ{Z » Z] 0Ó¼ » į |ÀfÅ Ê°Ì»ZÀË{
µfÀ¯ dÆm ʬÌ^e µfÀ¯ Á ®Ë [27] { .{Y|¿ {ÂmÁ ¶Z¨»
¶u ] Ê°f» 0Ó¼ » Ê·fÀ¯ lËY ÉZÅÁ ,¾ËY]ZÀ] .|¿{³Ê»
Ã| ʧ » ZÅÁZ] Á LÊ ¾Ì] ʸyY{ ÉZÅÁÌ¿ Ì¿ Á LÊ d¯u Ì»
ªË Y Äf]YÁ ÉZÅ̤f» ¾f§ZË ÂÀ¼] Êy Ì£ É^m |Ì« cÓ{Z »
¶v» { ÁZf³ Á ÁÌ¿ É̳ÃY|¿Y ¹| ½M ÉZÅʳËÁ Y į dY
YmY ¶]Z« Ê «YÁ ½Z» ÉZÅ{]Z¯ { į |ÀfÅ Êf³Z] ÉZźfË´·Y
{ d ´fËQ ®Ë Y [28] ,¾ÌÀr¼Å .|Z]Ê» ZÅÁZ] Z] LÊ
Z¼e
.|ÀfÌ¿
.dY Äf§³ ÃÆ] É{YM Äm{ 6 Z] ÉY» ®ÌeZ] ZfyZ ®Ë µfÀ¯
ÉZÅÁ Y Ã{Z¨fY ¶°» ¾ËY ] Ä^¸£ ÉY] \ZÀ» Z°ÅY ®Ë
Ê°ÌeZ] ºfÌ ®Ë ÉY] dÌ «Â» Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ®Ë Ä·Z¬» ¾ËY {
[19] ,ZfY ¾ËY { .dY Äf§ZËÅZ¯ Ê°Ì»ZÀË{ ÉZŵ|» ] ÊÀf^»
\¸ ºm ®Ë f» ¶¼u dÆm Z°¼Å ÉÁZ] Á{ ] ¶¼f»
|̬» ºfÌ ®Ë ÉY] Y 2ʷ¼ » ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » Y ÉYļn»
Ì» ®Ë ½{¯ µZ^¿{ ,Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ¾ËY ¥|Å .{{³Ê» {ZÆÀÌa
{ ¿Y³Ó \ËY ½{¯ ¾Ë´ËZm Z] į |ËZ¼¿Ê» |Ì·Âe Ê°ÌeZ]
{ ÊeYÌ̤e ¹Zn¿Y Z] ,ÂÀ» ¾ËY ÉY] .dY Ã| ¾ÌÌ e Ìa Y [¸»
,¾ËY]ZÀ] .dY Ã|»M d|] ÄÌ·ÁY ºfÌ É^m-ʸ̿Y¨Ë{ cÓ{Z »
-µfÀ¯ ¾ËY [22] { Ã| ÄWYY SPF µ|» ] ÊÀf^» ¯¼f» Ã|ÀÀ¯µfÀ¯
dve į dY ʸ̿Y¨Ë{ ÉZÅ̤f» ¶»Z ZÆÀe d·Zu ÉZ§ ÊËZÆ¿ µ|»
,Á ¾ËY Y .| |ÅYÂy Ã{Y{ Ä Âe eÓZ] ÊËMZ¯ Ä] ½|Ì ÉY] Ã|ÀÀ¯
[19] { Ã| ÄWYY Á Äf^·Y .|ÀfÅ ZÆ¿M cZ¬f» Á É^m ÉZÅ|Ì« ÌiPe
ÉZÅ̤f» Ä^Zv» ÉY] Êf³Z] ÉZźfË´·Y Ä] ZÌ¿ Ã| ÄWYY Á
Äf]YÁ ÉZÅ̤f» ½{ÁM d|] ÉY] ÊyÌ£ |Ì« cÓ{Z » ¶u Ä] ZÌ¿
{ Á dY{ |ÅYÂz¿ ÊyÌ£ É^m cÓ{Z » ÉÁ Y ºfÌ Äf]YÁ
¶u ÉY] .[20] d§ZË ½YÂeÊ» ´Ë{ mY» { Y ÊÆ]Z» ÉZÅÃ|ËY .{Y{
Ê]ZÌf{ ÂÀ» Ä] ´Ë{ ÉÂ Y .dY YmY ¶]Z« Ê «YÁ ½Z» ÉZÅ{]Z¯
[22] { Á Ã|Ë{³ ÄWYY [21] { 3SPF µ|» ] ÊÀf^» ÊÁ ,Ä·P» ¾ËY
\ZÀ» ´fËQ ®Ë ,ʸ¼ ÉZÅdÌ «Â» { eÓZ] ½ZÀ̼Y d̸]Z« Ä]
É^m-ʸ̿Y¨Ë{ ºfÌ µfÀ¯ Ä·P» į dY Ã| Ã{Y{ tÌÂe fÌ]
¾ËY Y Ã{Z¨fY .|Ë{³ |ÅYÂy ÊuY ʸ¨» ÉZÅd ¾Ì¼ze ÉY]
|ËZ¼¿Ê» ¶Ë|^e ʷ¼ » d·Zu cÓ{Z » Z] ºfÌ ®Ë µfÀ¯ Ä] Y ÄÌ·ÁY
ªËe Y Ì¿ Á Ã|Ë{³ d ÉZÅ´u ¥~u hZ] d ´fËQ
®Ë Z] ºfÌ Äf]YÁ ÉZÅ̤f» ¾f§ZË ÉY] |Ì« É^m cÓ{Z » Á
,|Å{ ÅZ¯ Y ºfÌ ÊËMZ¯ dY ¾°¼» į ºfÌ ½Á{ Ä] Ë¿
.{{³Ê» ¾Ë´ËZm ʷ¼ » ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » Z] Ë ®Ì»ZÀË{
ZY] ÉY|ËZa ¶Ì¸ve ®Ë ªË Y ,dËZÆ¿ { .|À¯Ê» É̳¸m
Äf]YÁ ÉZÅ̤f» ¾f§ZË ÉY] |¿YÂeÊ» ÄÂ]» Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ,¾ËY]ZÀ]
¶»Z ʸ¯ ºfÌ Ä¯ | |ÅYÂy Ã{Y{ ½Z¿ ,¥Â¿ZaZÌ· ]YÂe ÉÂXe
É^m |Ì« cÓ{Z » É{| ¶u ÉZm Ä] ODE Ã|ÀÀ¯¶u ®Ë Y ºfÌ
´Ë{ É Y .dY ÉY Ê^¿Zn» Y|ËZa ,´fËQ Á Ã|ÀÀ¯µfÀ¯
.|ËZ¼¿ Ã{Z¨fY ÊyÌ£
.|ËZ¼¿Ê» |ÌËPe Y Ã| ÄWYY ÉÂXe [¸» ÊËMZ¯ ZÅÉZÄÌ^ lËZf¿
{ :dY Ã|Ë{³ ºÌÀe Ë cÂ] Ä·Z¬» ¾ËY { Ã| ÄWYY \·Z»
Y« ÄmÂe {» cÓZ¬» Y Êy] { į ÊeZ» Y ´Ë{ Ê°Ë
ºfÌ { É̳ÃY|¿Y ÉZÅf»YZa ¥~u dÆm { Ôe dY Äf§³
¶»Z ½M ] º¯Zu cÓ{Z » ,Ê]Zzf¿Y ºfÌ Ê§ » ¾¼ 2 z]
-Ê» Ã{ÁM ÄÂ]» SPF µ|» Á Äf] Ìn¿ ÉZÅ|Ì« ,®Ì»ZÀË{ cÓ{Z »
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
1
Differential-Algebraic Equations (DAE)
Ordinary Differential Equations (ODE)
3
Singularly Perturbed Formulation (SPF)
2
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
•• • •
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
ʸ¯ d·Zu { Y É{YM Äm{ n Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] ÃÌn¿ ®Ë Z»Y
É{ZÆÀÌa ´fËQ Á Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ¾Ì¿Y« 3 z] { ,Ä»Y{Y { .{Â
¿ { É{YM Äm{ n c Z] ®Ì»Â¿Â·ÂÅ ºfÌ ®Ë cÂ] ½YÂeÊ»
ʸ¯ ºfÌ ÉY|ËZa ¶Ì¸ve cZÌWm 4 z] { Á Ã|Ë{³ kYzfY
2
n c n ÌiPe dve į d§³
-ÉZÄÌ^ lËZf¿ ,Á ÊËMZ¯ cZ^iY dÆm ,¹Zn¿Y .{{³Ê» s»
½YÂeÊ» Y {YM ºfÌ ®Ì»ZÀË{ cÓ{Z »
ZY ¾ËY ] .[22] {Y{ Y«
Y É̳ÄnÌf¿ ¹Zn¿Y Ä] 6 z] Á |Ë{³ |ÅYÂy ÄWYY 5 z] { ZÅ
:d¿ Ë cÂ]
.dY Ã| Ã{Y{ ZfyY ,\·Z»
¶¬f» ®Ì»Â¿Â·ÂÅ |Ì« Ä·{Z » p
M cq cq c C cq c, q cq c F cq c, q c IJ c
(2)
Äf] Ìn¿ ºfÌ µ|» -2
Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ 1 ¶° { į Ŀ´¿Z¼Å Ä·Z¬» ¾ËY { Ê]Zzf¿Y µ|»
ÉYY{ ®Ë Šį |Z]Ê» Ê¿YÁ{ ¶Z¨» Z] ÁZ] Á{ Y ¶°f» dY
{ \¸ ºm ®Ë f» ¶¼u ÂÀ» Ä] Á Ã{Â] É{YM Äm{ lÀa
.dY Ã| Äf§³ ¿
ÄÂ]» cZfz» ÉZÅÃZ´f{ Z] ÃY¼Å Äf] Ìn¿ ZfyZ .2 ¶°
C cq c, q c ,ÊÀËY ËeZ» Ã|ÀÅ{½Z¿ M cq c ½M { į
F cq c, q c , 4¯» Y ˳ Á 3Ì·Â˯ ÉZŹe ¶»Z ÊËeZ»
Y{] IJ c nc Á Z°Y Á ÉYÄ]}Zm ÉZÅÁÌ¿ ¶»Z ÉY{]
-Ê» Y Êy Ì£ É^m |Ì« p ¾ÌÀr¼Å .|Z]Ê» Ê·fÀ¯ ÉZÅÁZf³
Ä mY» ¦·Y ļ̼ Ä]) {¼¿ ¦ÌÂe Ë cÓ{Z » Y Ã{Z¨fY Z] ½YÂe
f» Z¯ ®Ë ¹Zn¿Y dÆm Ê]Zzf¿Y ºfÌ .1 ¶°
2 ¶° ª]Z» ,ºfÌ ] º¯Zu cÓ{Z » kYzfY dÆm µZu
\Ìee ¾Ë|] .{{³Ê» ¶f» ºfÌ Ä] Ê^ZÀ» cZfz» ÉZÅÃZ´f{
:|¿ÂÊ» ¦Ë e Ë cÂ] µ|» ÉZÅf»YZa
:(|ÌËZ¼¿
) q c 0
(3)
(3) { |Ì« É^m cÓ{Z » ½{¯ ¾Ë´ËZm SPF Á ʸY Ã|ËY
Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ { ¹Y i 1]Y µÂ : l i i 1, ,6 Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ { ¹Y i ʸ¨» ÄËÁY : T i i 1, ,6
{¼ Äv¨ { Ê¿YÁ{ d¯u ÉYY{
ʷ¼ » ¶Ì¿Y¨Ë{ cÓ{Z » ¿ Y Ê^¿Zn» Y|ËZa Ë ®Ì»ZÀË{ ®Ë Z]
Y ¥Yv¿Y ½YÌ» į dY Ë cÂ] Ê°¼¯ ̤f» ®Ë \u ]
Äf] Ìn¿ { ¹Y i
:[22] |Å{Ê» ½Z¿ Y Ê°ÌeZ¼ÀÌ ÉZÅ|Ì«
ª§Y Äv¨ { Ê¿YÁ{ d¯u ÉYY{ Ê°ÌeZ¼ÀÌ
'
1
(4)
w ,
w ) q c
İ
¦Ë e Z] b .dY ®q¯ d^j» f»YZa ®Ë İ ½M { į
w
ÊËZÆ¿ Én» Á{ ¾Ì] \¸ ºm µÂ : l obj
¹Y i ¶¨» Ä] ¶f» ÉZÅ]Y µÂ : l pi1 , l pi 2 i 1, ,4
ª§Y Äv¨ { d¯u ÉYY{ Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ {
Ë cÂ] ½YÂeÊ» Y¿M , q c ,ºfÌ Ê¸¯ Äf§ZË ºÌ¼ e cZfz» Y{]
:{¼¿ É|À] Äf{
qc
q , z ʸ¨» ÄËÁY : T pi i 1, ,4
-ºÌ¼ e cZfz» Y{] ,Ä»Y{Y { ,Ê]Zzf¿Y µ|» Ä] ÄmÂe Z] ¾ËY]ZÀ]
:{{³Ê» ¦Ë e Ë Äf§ZË
(5)
>T
qc
p1
T1 T 2 T 3 T p 2 T p 3 T 4 T 5 T 6 T p 4
@
T
Z] ÉZÅÃÌn¿ ¶»Z ZÆÀe Á Ã|»M d|] ZÅĬ¸u ÉZn» ] Z] į {YM ºfÌ ®Ë 2
.|Z]Ê»
3
Coriolis
4
Centrifugal
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
1
Link
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
(1)
69
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
Ã{Â] d^j» ÉZÅÄËY{ Z] d]Zi É« ËeZ» ®Ë K D ½M { į
:{ÂÊ» Äf¿ Ë cÂ] r Á
r
³
t
¶¬f» cZfz» Ã|ÀÅ{½Z¿ Á n | ] Z] ÉY{] q ½M { į
Ã|¿Z¼Ì«Z] cZfz» Ã|¿Ì³] { z Á ´¸¼ ÉYY{ ¶Z¨» Z] ZÀf»
:d¿ ½YÂeÊ» (4) { (5) ÊÀË´ËZm Z] ,Y~· .|Z]Ê»
(16)
e /e /i edt
H) z qcz
0
:d¿ ½YÂeÊ» (10) Ä] ÄmÂe Z] Z»Y
W
U T qcW c
:¾ËY]ZÀ] ,|ÀfÅ Ê·fÀ¯ ÁZf³ ÉYY{ ÂÌf¯Y ÉZÅ̤f» Z]
ª Wx º
(18)
Wc «
»
«¬0nc ni u1 »¼
ÂÌf¯Y ¶Z¨» { Ã| µZ¼Y ÁZf³ Ã|ÀÅ{½Z¿ Wx ½M { į
qc
¦Ë e Z] Á q
ª
º
»Wx
0
c
n
n
u
n
¬
¼
U T qc«
§
ª In º ·
(20)
» ¸¸ W
¨
¬0nc n un ¼ ¹
©
:d§³ ÄnÌf¿ ½YÂeÊ» (18) { (20) ½{¯ ¾Ë´ËZm Z] Á
1
ª§
In º · º
«¨ U T qcª«
¸
» ¸ »W
W c Ǭ
¬0nc n u n ¼ ¹ »
©
«
»
0nc n un
¬«
¼»
(21)
M q cq C q c, q cq F q c, q c IJ
®
¯İ) z q cz ) q c İ) q q cq
V qc
>>I
V T qcW
(22)
Mqc UT qcMcqcUqc
°
°Cqc, qc UT qcCcqc, qcUqc UT qcDcqcUqc, qc
°
(10)
®
°Fqc, qc UT qcFcqc, qc
°
°¯W UT qcWc
:{Â] |ÅYÂy Ë cÂ] SPF µ|» Z^fY ÃÂu (6) Ä] ÄmÂe Z] Á
V
^q c
nc
`
: det >) z q c@ z 0
n
@
0 nu n c n U qc
0 n u n c n @
(23)
µfÀ¯ ½Â¿Z« { d ¾Ì¼ze ÉY] \ZÀ» ´fËQ ®Ë ,µZu
d ´fËQ
.|ËÌ´] ¿ { Y q d t ½Z» Z] ̤f» Á Y¼Š[¸» Ì»
¶¬f» Äf§ZË ºÌ¼ e cZfz» į dY ½M Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ÊuY ¥|Å
:{{³ Y«] Ë ÄnÌf¿ { Á Ã{¼¿ µZ^¿{ Y [¸» Ì» q t -Ê» Y« Ê] {» ºfÌ ÉY|ËZa { ½M iY Á Ã{¼¿ ÄWYY ºfÌ
lim t o f et 0
Á d É̳ÃY|¿Y ¥~u hZ] ZÆÀe Ä¿ ´fËQ ¾ËY Y Ã{Z¨fY .{̳
(12)
Ê°Ì»ZÀË{ Zf§ Ä°¸] ,{{³Ê» ZÌ¿ {» ÉZÅÂÀ {Y| e ÅZ¯
:½M { į
et q d t q t Y ĻY{Y { ,
ZY ¾ËY ] .|Ìz] |ÅYÂy {Â^Æ] ¶¼ { Y µfÀ¯ ºfÌ
dÆm ,Ë cÂ] Êy ´fËQ ®Ë Y Á z Ä^Zv» ÉY] (6)
y 2 K o I n q qˆ K o K o I n q qˆ -ÄËY{ Z] É« ÃÆ] ËeZ» ®Ë K o Á YÁ ÉZÅ̤f» ¶»Z Y{]
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
:|ËÌ´] ¿ { Y Ë ÉZÅf»YZa
ZY ¾ËY ] Á |ÀZ] d^j»
(24)
®Ë y , q Á q ¾Ì¼ze Ã|ÀÅ{½Z¿ \Ìef] qˆ Á qˆ ½M { į
(13)
ÉZÅÄËY{ Z] Á d]Zi É« ÉZÅËeZ» /i Á / į |ÌËZ¼¿ §
:{ÂÊ» Äf§³ ÃÆ] q ¾Ì¼ze
°qˆ
®
°¯ y
(11)
Z] ÃY¼Å Äf] Ìn¿ Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ÊuY -3
:½M { į
1
(9)
:½M { į
:´Ë{ cZ^ Ä] ZË
Wc
(8)
:|»M |ÅYÂy d|] Ë cÂ] ºfÌ SPF µ|» \Ìee¾Ë|]
:\Ìee ¾Ë|]
Wx ¨ U T qc«
Į q c Ä]Y Ä] ÄmÂe Z] ,
ZY ¾ËY ]
ª0 c º
ȡq c < qc1 q c« n n un »
¬ I nu n ¼
(19)
1
(7)
:(|ÌËZ¼¿
:d¿ ½YÂeÊ» ÉZÃ{Z ʼ¯
W
U qcq
' ª) q cº
Ä mY» [ ļ̼ Ä]) į {Y{ ½Z¿ ½YÂeÊ» < q c «
»
¬ Į q c ¼
Y a Á (17) Y Ã{Z¨fY Z] µZu .|¿Y{ Ê¿Z°Ë | ] W Z] Á |Z]Ê»
In
(6)
: į |ËÌ´] ¿ { ,µZu
(17)
ZÀf» ¶Z¨» ZÆÀe |Ë{³ ¯} Ì¿ fÌa į ¿Z¼Å ´Ë{ É Y
) qc H) q qcq
v
³
t
q d /e /i edt
,
a
v
(14)
0
:{{³Ê» ¦Ë e Ë cÂ] ºfÌ µfÀ¯ ½Â¿Z« cÂÀËY {
IJ
M q, z a Cq, q, z , z v F q, q, z , z K D r
(15)
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
••••
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
/ /1 /2
®
¯ /i /1 /2
(28)
µZu .|ÀfÅ ¾Ì » d^j» /2 Á /1 ÉZÅËeZ» |Å{Ê» ½Z¿ į
:[22] |ËÌ´] ¿ { Ë c Ä] Y Äf] Ìn¿ ºfÌ ¥Â¿ZaZÌ· ]YÂe
(29)
d 1V1 d 2V 2
VC
Ä·{Z » Äf³ ¹§ { K o
k o I ÊÀË´ËZm Z] .|Z]Ê» d^j» ÉZÅ
:{ÂÊ» Äf§³ ÄnÌf¿ ©Â§
qˆ( t 't ) qˆ( t ) 't> y( t ) ( 2ko 1)q( t ) qˆ( t )@
y( t 't ) y( t ) 't>ko ko 1q( t ) qˆ( t )@
, qˆ( 0 ) q( 0 ) Á y( 0 )
(25)
0 ÄÌ·ÁY ËY § Z] ½M { į
¿ { Z] Á Ã{Â] d^j» Ë{Z¬» Z] ÊËZÅd]Zi d 2 Á d 1 ½M { į
.{ ¾Ì¼ze | ] cZv· { Y qˆt 't dÌ «Â» Y{] ½YÂeÊ»
-Ê» ,d^j» ÉZÅÄËY{ Z] d]Zi É« ËeZ» ®Ë ½YÂÀ Ä] N ¾f§³
Äv· Å { ¶Z¨» dÌ «Â» É̳ÃY|¿Y Z] ZÆÀe ¶Z¨» d ,¾ËY]ZÀ]
:d¿ ½YÂe
ʯ¸] ¹Y³ZË{ 3 ¶° .|»M |ÅYÂy d|] | ] Äv· { ½M ¾Ì¼ze Á
°V1
®
°V 2
¯
1 T
r M q , z r r2T /T2 K D r2
2
1 T
w Nw
2
.|Å{Ê» ½Z¿ Y Äf] Ĭ¸u Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ÉY] Ã| ÄWYY ZfyZ
(30)
-Ê» d^j» ÉZÅÄËY{ Z] d]Zi É« ËeZ» ®Ë N ½M { į
ÉZÅÄËY{ Z] d]Zi É« ËeZ» ®Ë Ì¿ /T2 K D į Zn¿M Y .|Z]
¾Ì » d^j» VC c¿M { ,dY ¾Ì » d^j» M q c Á Ã{Â] d^j»
{ ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ªf» Ä^Zv» ,ÉY|ËZa cZ^iY { | ] ¹Z³ .{Â] |ÅYÂy
:{ÂÊ» Äf¿ Ë c Ä] į dY (29)
d1r T Mr VC
d1 T
r Mr 2d1r2T /T2 K D r2 2
(31)
T
d 2 w Nw
(32)
0
½YÂeÊ» (4) Y Ã{Z¨fY Á (31) { (32) ÊÀË´ËZm Z] ,¾ËY]ZÀ]
:d¿
d
d1r Cr d1r K D r 1 r T Mr 2
T
VC
T
§d2
¨ H
©
į
dY
½M
ºfÌ
ÊZY
ʳËÁ
.{Y{ {Á|v» Á ÄfÂÌa cZ¬f»
µfÀ¯ ½Â¿Z« ¾f§³ ¿ { Z] ,1 § ÉY«] c { .|ËÌ´] ¿
d]Zi Á É« ÉZÅËeZ» /2 Á /1 į |ÌÀ¯ § .cZ^iY
(34)
· wT Nw
¸
¹
( 9)
¹Á{ Ä^e» Ze Á Ã{Â] {Á|v» Á ÄfÂÌa q d [¸» Ì» .1 §
.| |ÀÅYÂy Y´¼Å ¨ Á q d
d1 r1 /2 r2 K D r1 /2 r2 .|Ë{³ |ÅYÂy cZ^iY Äf] Ìn¿
, q d d¼ Ä] t o f ÉYY Ä] w Á q , q ,(24) ´fËQ Á (15)
T
d1 T
r M 2C r 2d1 r2T /T2 K D r2 2
ºfÌ ÉY|ËZa ZÆ¿M \̯e Á ´fËQ Á Äf] Ìn¿ ºfÌ ¶»Z ºfÌ
{ Y (4) Á (2),(1) cÓ{Z » Z] Ã| ¦ÌÂe ºfÌ .1 ÉÂXe
(33)
d
2d1r2T /T2 K D r2 §¨ 2 ·¸ wT Nw
© H¹
:į {Y{ ½Z¿ ½YÂeÊ» (27) Ä] ÄmÂe Z] ,b
VC
ÉY|ËZa ¶Ì¸ve -4
¦¸fz» ÉZÅz] ÉY] \ZÀ» ¥Â¿ZaZÌ· ]YÂe ¦Ë e Z] Ä»Y{Y {
:{ÂÊ» Äf§³ ÄnÌf¿ (15) Á (9) Y Ã{Z¨fY Z] Z»Y
Mr Cr K D r
d ´fËQ Z] ÃY¼Å µfÀ¯ ºfÌ Ê¯Â¸] ¹Y³ZË{ .3 ¶°
:|¿{³ ¦Ë e Ë ÉZÅf»YZa Á Ã{Â]
r1
°
®
°¯r2
e /1 e
³
t
e /1 edt
(26)
0
®Ë
:¾ÌÀr¼Å Á
,[29] |Z]Ê» ½Z¬f»{Za ËeZ» ®Ë M q c 2C q c, q c
:¾ËY]ZÀ]
r
r1 /2 r2
(27)
Ã|»M d|] Ä]Y ÄËZ¬» Á (27) { (26) ÊÀË´ËZm Z] \Ìee¾Ë|]
:d¿ ½YÂeÊ» (16) Z]
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
71
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
3k o2 3k o 1
2k o 1
k2
(45)
d1 r1T K D r1 d1 r2T /T2 K D /2 r2 VC
d1 r2T /T2 K D r1 d1 r1T K D /2 r2 :|ËÌ´] ¿ { Y Ë ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ,µZu
(46)
VC VO
V
:½M { į
(47)
k12 ~
eT~
e ~
rT~
r
VO
½ZÌ] Ë cÂ] ½YÂeÊ» Y ©Â§ ¥Â¿ZaZÌ· ]Ze ªf» cÂÀËY {
:{¼¿
VO
d
2d1 r2T /T2 K D r2 §¨ 2 ·¸ wT Nw
© H¹
:{{³Ê» Ã{Z Ë cÂ] (35) Ä]Y , r1 r2 į Zn¿M Y ,Z»Y
2k12 ~
e T ~
r k1 ~
e 2~
r T k2~
r k12 ~
e q
(48)
ÉZy ÉZÅ̤f» ,©Â§ ´fËQ Âu { ºfÌ ÉY|ËZa cZ^iY ÂÀ¼]
:{{³Ê» ¦Ë e Ë
e q d q
°ˆ
°e q d qˆ
®~ ˆ
°e e e
°¯~
r k1 ~
e ~
e
:d¿ ½YÂeÊ»
2
2k 2 ~
r
2
(49)
2~
r T qd
:{Â] |ÅYÂy Y«] Ë ,¾ËY]ZÀ]
VO d 2k13 ~
e
2
2k 2 ~
r
(36)
ºfÌ ¾ËY]ZÀ] Á |Z]Ê» ¾Ì » d^j» VC |Å{Ê» ½Z¿ į
(39) Y É̳ÃÆ] Z] Á ´fËQ ½Á|] ºfÌ ÉY|ËZa Ä] ÄmÂe Z] ,Y~·
2k13 ~
e
VC d1r1T KDr1 d1r2T /T2 KD/2 r2 §¨ d2 ·¸wT Nw
© H¹
µZu .dY ÉY Ê^¿Zn» Y|ËZa (15) Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ Z] (9) Äf] Ìn¿
r
2k12 ~
eT~
e 2~
rT~
VO
(35)
2
2 ~
r Sup q d
t>0 ,f :½M { į
(50)
k1
d^j» VO į |Å{Ê» ½Z¿ 1 § ¾f§³ ¿ { Z] ¾ËY
Y|ËZa (24) ´fËQ Z] ÃY¼Å ʸ¯ ºfÌ ,\Ìee ¾Ë|] .|Z]Ê» ¾Ì »
Ƒ .dY ÉY cÂ] Ê^¿Zn»
ÉZÄÌ^ lËZf¿ -5
ÁÌ¿/dÌ «Â» µfÀ¯ ÂÀ¼] Ã| s» Á ÊËMZ¯ cZ^iY ÉY]
¹Zn¿Y ÉeÂÌb»Z¯ ÉZÅÉZÄÌ^ lËZf¿ ,ÄÂ]» d ´fËQ Z] ÃY¼Å
|ÅYÂy ÄWYY Ë cZ̧
ZY] Zu z] { ÄÀÌ» ¾ËY { Ã|
:|Ë{³
:Y dY cZ^ LÊ ¹m ¯» d¯u [¸» Ì»
xod
0.4 0.2 sin Zt z od
1.3 0.2 cosZt k o k o 1
2k o 1
(38)
į dY ÉY{] ~
e Á dÌ «Â» ÉZy Y ÊÀ̼ze eˆ ¾ÌÀr¼Å
-Ê» ½Z¿ Y Ã| É̳ÃY|¿Y Ë{Z¬» Y dÌ «Â» ¾Ì¼ze ¥Yv¿Y ½YÌ»
:d¿ ½YÂeÊ» ,dY Y|ËZa ´fËQ ½Á|] ºfÌ Ä¯ Zn¿M Y .|Å{
lim et t of
(39)
0
,|ËZ¼¿ µZ^¿{ Y É̳ÃY|¿Y ÉZy ,´fËQ ÉZy ³Y ,¾ËY]ZÀ]
ÉZy ³Y į dY ÊÀ » ½Y|] ,¾ËY .{Â] |ÅYÂy Y|ËZa ʸ¯ ºfÌ
ÉY|ËZa ,ÃZ´¿M ,{{³ Y´¼Å ¨ d¼ Ä] , ~
e t ,Ì» ½{¯ µZ^¿{
Ä]Y (37) Ä] ÄmÂe Z] ,ZfY ¾ËY { .|Ë{³ |ÅYÂy ¾Ì¼e ʸ¯ ºfÌ
x
:dY Y«] Ë
k1 ~
r k1 ~
e q qˆ
~
r
(51)
(40)
:d§³ ÄnÌf¿ ½YÂeÊ» (24) Ä] ÄmÂe Z] ,´Ë{ É Y
Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÊuY { ,ºfÌ ºÆ» ÉZÅf»YZa Êy]
x
ko ko 1q qˆ 2ko 1 q qˆ
qˆ
:dY Ã|Ë{³ [Zzf¿Y Ë µÁ|m ª]Z»
(41)
:¾ËY]ZÀ]
ÉZÄÌ^ ÉZÅf»YZa .1 µÁ|m
qˆ
Link1,6
Link2,5
Link3,4
Object
Mass (Kg)
8
5
2.5
2
Length (m)
0.7
0.6
0.4
0.8
Ixx
0.02
0.008
0.004
0.003
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
(37)
2k o 1~r
(42)
:{{³Ê» ÄnÌf¿ Ë cZ^ (40) { (42) ÊÀË´ËZm Z] \Ìee ¾Ë|]
~
r
k1 ~
r k1 ~
e q 2k o 1~
r
(43)
:{Y{ ½Z¿ ½YÂeÊ» ÉZÃ{Z ʼ¯ Y a Á
~
r
r k12 ~
e q
k 2 ~
(44)
:½M { į
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
••••
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
Iyy
0.373
0.154
0.035
0.108
Izz
0.373
0.154
0.035
0.108
{ 2 µÁ|m ª]Z» Ì¿ ´fËQ Á Ã|ÀÀ¯ µfÀ¯ ÉZÅf»YZa
x
:|¿ÂÊ» Äf§³ ¿
´fËQ Á Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ÉZÅf»YZa .2 µÁ|m
Parameter
/
/i
KD
H
Ko
Value
10I
50I
20I
0.01
100
ʸ¨» ÉZÅ̤f» [¸» Ì» (51) Y É̳ÃÆ] Z] ,µZu
®ÌeZ¼ÀÌ Y Ã{Z¨fY Z] ,dY Ã| Ã{Y{ ËZ¼¿ 4 ¶° { į Ŀ´¿Z¼Å
ʸ¨» ÉZ§ ÉZÅ̤f» [¸» Ì» .4 ¶°
ʸ¨» ÉZ§ ÉZÅ̤f» ÉY] Y dÌ «Â» Á d ÉZy 5 ¶°
ÄWYY Ì» ,¶¼ { į dY{ ÄmÂe |ËZ] Äf^·Y .{{³Ê» |Ì·Âe
° »
{» ,dY Ã|Ë{³ ÊuY ʸ¨» ÉZ§ { į [ZËÌ» Âe Ã|
.d§³ |ÅYÂy Y« Ã{Z¨fY
µfÀ¯ Á į d§ZË{ ½YÂeÊ» ¶° ¾ËY Ä] ÄmÂe Z] .|Å{Ê» ½Z¿
ʼ¯ ZÌ] Ì» ½{¯ µZ^¿{ ÉZy Á ÄfY{ Ê]Ây ÊËMZ¯ ,Ã| ÄWYY
Á eˆ ¶»Z d ´fËQ ¾Ì¼ze ÉZy Y{] ¹¿ ¾ÌÀr¼Å .{Y{
.dY Ã| Ã{Y{ ½Z¿ 6 ¶° { eˆ
([)
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
73
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
ÉZÅÌ» ¾ÌÀr¼Å Á ¶Z¨» Y ®Ë Å Z] ZÀf» ÉZÅÁZf³
cZfz» ÃZ´f{ { µÁY ÉÁZ] ÊËZÆ¿ Én» d¯u Ê «YÁ Á [¸»
Ä] ÄmÂe Z] .dY Ã| Ã{Y{ ½Z¿ 8 Á 7 ÉZŶ° { \Ìee Ä] ¾ËeZ¯
¥Yv¿Y ÉZ ÄÌ^ µÁY cZv· { Êfu į |Ë{ ½YÂeÊ» ZŶ° ¾ËY
.dY ÊÂaºq ¶]Z« [¸» ÉZÅÌ» Y ºfÌ
(¦·Y)
Âu { ¯¼f»Ì£ Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ʸ¨» ÉZ§ ÉZÅ̤f» ÉZy .5 ¶°
:d ´fËQ
d ÉZÅ̤f» ([ dÌ «Â» ÉZÅ̤f» (¦·Y
{ ´fËQ ÉZy ,{{³Ê» ÄuÔ» ZŶ° ¾ËY { į Ŀ´¿Z¼Å
Y ½M \ZÀ» ÊËMZ¯ į {{³Ê» Y´¼Å ¨ d¼ Ä] ÃZe¯ Ê¿Z»
Ê·fÀ¯ É{ÁÁ ÉZÅÁZf³ .7 ¶°
¶ËÓ{ Ä] dY ¾°¼» ZŶ° ¾ËY { {Âm» ÉZy .|ËZ¼¿Ê» |ÌËPe
ÄÌ·ÁY d·Zu [Zzf¿Y ÉZy ,µZj» ½YÂÀ Ä] .|Å{ w ʨ¸fz»
-Ê» ÅZ¯ Y d ¾Ì¼ze d«{ " z" ( įz
>90 ,90 ,0 @
$
$
$ T
)
½Z» [Zzf¿Y Á ÉZ Äf³ Y ¶Zu ÉZy ,´Ë{ ºÆ» iY .|Å{
.|Z]Ê» ±] 0Zf^¿ ÉY{] Ŀ¼¿
cZfz» ÃZ´f{ { µÁY ÉÁZ] ÊËZÆ¿ Én» d¯u Ì» .8 ¶°
[¸» Ì» _ _ _ ,Ã| É̳ÃY|¿Y Ì» __ -¾ËeZ¯
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
´fËQ ÉZy ¹¿ .6 ¶°
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
••••
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
Y Ã{Z¨fY Ä] ZÌ¿ ,ºfÌ SPF µ|» Y É̳ÃÆ] Z]
x
{ Y w ̤f» ÉY~³ Zf§ Ây { ÉZÄÌ^ lËZf¿ 9 ¶°
Ìn¿ ®Ì»Â¿Â·ÂÅ ÉZÅ|Ì« ¶u ÉY] ÉY°e ÉZźfË´·Y
|Ì« ]YÁ Y ¥Yv¿Y ½YÌ» ´¿ZÌ] į |Å{Ê» ½Z¿ ºfÌ SPF µ|»
{ ½YÂeÊ» Y Ã| ÄWYY Á ,¾ËY]ZÀ] -{Â] |ÅYÂz¿ Äf]
µ|» į d§ZË{ ½YÂeÊ» ¶° ¾ËY Ä] ÄmÂe Z] .|Z]Ê» Äf] Ìn¿
.d§³ Z°] Ê «YÁ ½Z» ÉZÅ{]Z¯
ÄÌ·ÁY µ|» d¼ Ä] ÊÅZe¯ ½Z» { ,(6) { ºfÌ SPF Äf§Z˶̸¬e
{ Äf] Ìn¿ Ê°ÌeZ¼ÀÌ ÉZÅ|Ì« Y Ã{Z¨fY d¸ Ä]
x
.{{³Ê» Y´¼Å (3) { Äf] Ìn¿ ºfÌ
¾Ì] Ê^¿ d¯u ÉZy ,dÌ «Â» Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ÊuY
{Â^Æ] hZ] »Y ¾ËY Á |Ê» ¶«Y|u Ä] ZÅÁZ] ÊËZÆ¿ Én»
.{ÂÊ» Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ {°¸¼
¥~u d ÉZÅ´u ,´fËQ ®Ë Y Ã{Z¨fY Z]
x
-Ê» ªËe ºfÌ ½Á{ Ä] Éf¼¯ Ë¿ ÄnÌf¿ { Á Ã|Ë{³
.|Ë{³ |ÅYÂy ºfÌ {°¸¼ {Â^Æ] \^ {Ây į {{³
ÉZÅz] ÉY] Ê^ZÀ» ¥Â¿ZaZÌ· ]YÂe ¦Ë e ¾¼ ,dËZÆ¿ {
cZ^iY ÉY] ZÆ¿M \̯e Y ,´fËQ Á Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ¶»Z ºfÌ ¦¸fz»
lËZf¿ ,ÃÁÔ ] .|Ë{³ Ã{Z¨fY ʸ¯ ºfÌ ÉY Ê^¿Zn» ÉY|ËZa
.|ËZ¼¿Ê» |ÌËPe Y Ã| ÄWYY Á ÊËMZ¯ ÉeÂÌb»Z¯ ÉZÅÉZÄÌ^
Äf] Ìn¿ ÉZÅ|Ì« kYzfY cZÌWm .¦·Y ļ̼
ª]Z» Y|f]Y dY ¹Ó ,Äf] Ìn¿ |Ì« cÓ{Z » kYzfY dÆm
¾ËY ] .{{³ ¶f» ºfÌ Ä] Ê^ZÀ» cZfz» ÉZÅÃZ´f{ 2 ¶°
:d¿ ½YÂeÊ» µZ¬f¿Y ÉZÅËeZ» ¹Âƨ» Y Ã{Z¨fY Z]
ZY
p2
w v1 P1 a1 1 2
3 a2
v1T P1T a1T 1T 2T 3T a 2 T p 2 T oT
w v1 v2 P4 a4 6 5
4 a3 p3
v1T v2T P4T a4T 6T 5T 4T a3T p3T oT
w
oT
w
oT
(1¦·Y)
É̳ÄnÌf¿ -6
Äf] Ìn¿ ºfÌ ®Ë { dÌ «Â» µfÀ¯ Ä·P» ,Ä·Z¬» ¾ËY {
kYzfY Ë c Ä] ºfÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅ|Ì« ,\Ìee¾Ë|]
:{{³Ê»
w v1 P1 a1 1 2
3 a2 p2
v1T P1T a1T 1T 2T 3T a2T p2T oT
Äf] Ìn¿ ÉZÅ|Ì« Y ¥Yv¿Y ½YÌ» .9 ¶°
(2¦·Y)
4 a3 p3
w v1 v2 P4 a4 6 5
v1T v2T P4T a4T 6T 5T 4T a3T p3T oT
Ä] Y ^B` cZfz» ÃZ´f{ į dY ÊËeZ» BT ½M { į
A
©Â§ Ä]Y { ¦¸fz» ÉZÅ[ÂqZq ÉY] Á |ËZ¼¿Ê» ¶¬fÀ» ^A`
:{{³Ê» Ä^Zv» Ë cÂ]
µfÀ¯ ½Â¿Z« .dY Äf§³ Y« Ê] {» ,Z°¼Å ÉÁZ] Á{ Y ¶°f»
ÉZÅ|Ì« į ºfÌ Y SPF Ê°Ì»ZÀË{ µ|» ®Ë Y Ã{Z¨fY Z] dÌ «Â»
ʷ¼ » ʸ̿Y¨Ë{ cÓ{Z » Y ÉYļn» c Ä] Y Äf] Ìn¿
Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ,¾ËY]ZÀ] .dY Ã|Ë{³ ÊuY ,{̳ʻ ¿ { Ë
d{ Ä] ÉY] ODE Ã|ÀÀ¯¶u ®Ë Y Ã{Z¨fY Ä] {Z« É{ZÆÀÌa
.dY ÊyÌ£ É^m |Ì« cÓ{Z » ¶u ÉZm Ä] Äf]YÁ ÉZÅ̤f» ½{ÁM
µfÀ¯ ºfË´·Y eÓZ] ½ZÀ̼Y d̸]Z« Ä] Ê]ZÌf{ ÂÀ¼] ´Ë{ É Y
É̳ÃY|¿Y ¥~u ÉY] Êy ´fËQ ®Ë ,ʸ¼ ÉZÅdÌ «Â» {
-Á ËZ Z] ÄËZ¬» { .|Ë{³ ÊuY ,v» ÉYY{ ¶Z¨» d
c Ä] Ã| {ZÆÀÌa Ã|ÀÀ¯µfÀ¯ ÉZËY» ,mY» { Ã| hv] ÉZÅ
:|¿ÂÊ» ÄÔy Ë
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
75
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
v1
T
p1
ªcos T p1
« sin T
p1
«
« 0
«
¬ 0
sin T p1
cos T p1
0
0
ªcosT 2 sin T 2 « sin T cosT 2
2
«
« 0
0
«
0
¬ 0
1
2T
a2
T
p2
sin T p2
cos T p2
0
0
ªcos T B2 T B1
« sin T T
B2
B1
«
«
0
«
0
¬
v1
T
v2
p4
T
a4
ª 1
«0
«
«0
«
¬0
0 l1 º
0 0 »»
1 0»
»
0 1¼
ªcos T p2
« sin T
p2
«
« 0
«
¬ 0
p3
oT
0 0º
0 0»»
1 0»
»
0 1¼
0
0
0 º
0 »»
1 0 l p42 »
»
0 0 1 ¼
0 0
0 1
ª 1 0
« 0 1
«
«0 0
«
¬0 0
0 l5 º
0 0 »»
1 0»
»
0 1¼
0 l obj 2º
0
0 »»
1 l p32 »
»
0
1 ¼
ª0
p1
T
a1
p2
oT
º
0 0
0 1
1
0
ª1
«0
«
«0
«
¬0
ª0
º
¹Âƨ» Y ½{]ÃÆ] Z] Á qc
a4
6T
ªcosT 6 sin T 6 « sin T cosT 6
6
«
« 0
0
«
0
¬ 0
4
a3 T
ª0
«1
«
«0
«
¬0
ªcos(T ) sin(T )
« sin(T ) cos(T )
«
« 0
0
«
0
¬ 0
(3[)
v2
T
p4
ªcos T p4
« sin T
p4
«
« 0
«
¬ 0
a3
T
p3
(5[)
.|ËZ¼¿Ê» |ÌËPe Y (8) dv į
0 0º
0 0»»
1 0»
»
0 1¼
1 l p21 º
0 0 »»
0 0 »
»
0 1 ¼
sin T p4
cos T p4
0
0
ªcosT 5 sin T 5 « sin T cosT 5
5
«
« 0
0
«
0
¬ 0
ªcos T p3
« sin T
p3
«
« 0
«
¬ 0
0 º
0 »»
1 l p41 »
»
0 1 ¼
0
0
0 l6 º
0 0 »»
1 0»
»
0 1¼
sin T p3
cos T p3
0
0
0 0º
0 0»»
1 0»
»
0 1¼
xº
y »»
1 0»
»
0 1¼
0
0
.|ËMÊ» d|] (3) Ä]Y \Ìee ¾Ë|] Á
(8) Ä]Y cZ^iY .[ ļ̼
:į |ÌËZ¼¿ §
(4[)
:|»M |ÅYÂy d|] Ë Ä]Y
° »Ä^ ËeZ»
ª0 p u n º
»
¬ I nu n ¼
3
a2 T
0
ª0
« 1 0
«
« 0 1
«
0
¬0
0 0º
0 0»» 6
5T
1 0»
»
0 1¼
0 1 l p31 º
0 0 0 »»
1 0 0 »
»
0 0 1 ¼
U qcq § Ä] ÄmÂe Z] ,µZu
U qc < qc1 qc«
0 l2 º
0 0 »»
1 0»
»
0 1¼
a1
1T
ªcosT1 sin T1 « sin T cosT 1
1
«
« 0
0
«
0
¬ 0
0 0 l obj 2º
1 0
0 »»
0 1 l p22 »
»
0 0
1 ¼
:{ÂÊ» Äf§³ ÄnÌf¿ ÉZÃ{Z ʼ¯ Y a Á
< q c qcqc « p u n » q
¬ I nu n ¼
0
0
0 º
0 »»
l p12 »
»
1 ¼
0 d12 cosD 12 º
0 d12 sin D 12 »»
»
1
0
»
0
1
¼
w
v1 T
< q c qcqc « p u1 »
¬ q ¼
ª1
«0
«
«0
«
¬0
ªcosT 3 sin T 3 « sin T cosT 3
3
«
« 0
0
«
0
¬ 0
2
3T
sin T B2 T B1
cos T B2 T B1
ªcosT 4 sin T 4 « sin T cosT 4
4
«
« 0
0
«
0
¬ 0
5
4T
0 º
0 »»
1 l p11 »
»
0 1 ¼
0
0
q D qc
(1[)
:{{³Ê» ¦Ë e Ë f»YZa ,
ZY ¾ËY ]
' ª) qc º
< qc «
»
¬D qc¼
(2[)
½YÂeÊ» (1[) Y Ã{Z¨fY Á ½Z» Ä] d^¿ (2[) Y ¾f§³ ªf» Z]
:{Y{ ½Z¿
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
• •••
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
[13] L. S. Guo and Q. Zhang, Adaptive Trajectory
Control of A Two DOF Closed-Chain Robot, in
Proceedings of the American Control Conference,
pp. 658-663 (2001)
mY»
[1] Y. Cao, A. S. Fukunaga and A. B. Kahng,
Cooperative Mobile Robotics: Antecedents and
Directions, Autonomous Robots, Vol.4, No.1, pp.
7-27 (1997).
[14] W. Ailing, W. Zhonghua and Z. Zhiqun, Adaptive
Control of Closed Kinematic Chains Based on
Singularly Perturbed Formulation, in Proceedings
of the 26th Chinese Control Conference, pp. 128132 (2007).
[2]
[15] S. A. Schneider and R. H. Cannon, Object
Impedance Control for Cooperative Manipulation:
Theory and Experimental Results, IEEE
Transactions on Robotics and Automation, Vol. 8,
No. 3, pp. 383-394 (1992).
A. Farinelli, L. Iocchi and D. Nardi, Multi-robot
Systems:
A
Classification
Focused
on
Coordination, IEEE Transactions on Systems,
Manufacturing and Cybernetics, Vol.34, No.5,
pp.2015-2028 (2004).
[3]
M. D. Zivanovic and M. K. Vukobratovic, MultiArm Cooperating Robots: Dynamic and Control,
Springer (2006).
[4]
J. Kerr and B. Roth, Analysis of Multifingered
Hands, The International Journal of Robotics
Research, vol.4, no.4, pp. 3-17 (1986).
[5]
J. K. Salisbury and J. J. Craig, Articulated Hands:
Force Control and kinematic issues, The
International Journal of Robotics Research, vol.1,
no. 1, pp. 4-17 (1982).
[6]
S. M. Song and K. J. Waldron, Machines that walk,
MIT Press, Cambridge MA. (1989).
[7]
J. A. Adams, R. Bajcsy, J. Kosecka, V. Kumar, R.
Mandelbaum, M. Mintz, R. Paul, C.C. Wang, Y.
Yamamoto and X. Yun, Cooperative Material
Handling by Human and Robotic Agents: Module
Development
and
System
Synthesis,
in
Proceedings of IEEE/RSJ International Conference
on Intelligent Robots and Systems, pp.200-205
(1995).
[8]
Y. R. Hu and A. Goldenberg, Dynamic Control of
Coordinated Redundant Robots with Torque
Optimization, Automatica, Vol. 29, No. 6, pp.
1411-1424 (1993).
[9]
G. E. Yale, B. N. Agrawal, Lyapunov controller for
cooperative space manipulators, Journal of
Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 21, No. 3,
pp. 477-484 (1998).
[16] R. Bonitz and T. Hsia, Internal force-based
impedance control for cooperating manipulators,
IEEE Transactions on Robotics and Automation,
vol. 12, No. 1, pp. 78–89 (1996).
[17] T. Yoshikawa and X. Zheng, Coordinated Dynamic
Hybrid Position/Force Control for Multiple Robot
Manipulators Handling One Constrained Object, in
Proceedings. of IEEE International Conference on
Robotics and Automation, pp. 1178-1183 (1990).
[18] R. Tinos, M. H. Terra and J. Y. Ishihara, Motion
and Force Control of Cooperative Robotic
Manipulators with Passive Joints, IEEE
Transaction on Control Systems Technology,
Vol.14, No.4, pp. 725-734 (2006).
[19] H. Krishnan and N. H. McClamroch, “Tracking in
nonlinear differential-algebraic control systems
with applications to constrained robot systems,”
Automatica, vol. 30, no. 12, pp. 1885–1897 (1994).
[20] A. Kumar and P. Daoutidis, Control of nonlinear
differential algebraic equation systems. London,
UK: Chapman & Hall/CRC, (1999).
[21] J. Dabney, F. Ghorbel, and Z. Wang, “Modeling
closed
kinematic
chains
via
singular
perturbations”, in Proceeding of the American
Control Conference, Anchorage, AK, pp. 4104 –
4110 (2002).
[22] Z. Wang and F. Ghorbel, “Control of Closed
Kinematic Chains Using A Singularly Perturbed
Dynamic Model”, in Proceedings of the 43rd IEEE
Conference on Decision and Control, pp. 317-322
(2004).
[23] M.A. Arteaga Perez, “Robot control and parameter
estimation with only joint position measurements”,
Automatica, Vol.39, pp.67–73 (2003).
[24] M.A. Arteaga Perez and R. Kelly, “Robot control
without velocity measurements: New theory and
experimental results”, IEEE Transactions on
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
[10] Y. H. Liu, Y. Xu, and M. Bergerman, Cooperation
control of multiple manipulators with passive
joints, IEEE Transactions on Robotics and
Automation, vol. 15, no. 2, pp. 258–267 (1999).
[11] G. F. Liu, Analysis and control of redundant
parallel manipulators, in Proceedings of IEEE
International Conference on Robotics and
Automation, pp. 3748-3754 (2001).
[12] S. H. Lee, Control of impact disturbance by
redundantly actuated mechanism, in Proceedings
of IEEE International Conference on Robotics and
Automation, pp. 3734-3741 (2001).
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
77
d É̳ÃY|¿Y ½Á|] Á SPF µ|» Y Ã{Z¨fY Z] Ê°ÌeZ¼ÀÌ Äf] Ìn¿ ÉZÅZfyZ µfÀ¯
ÊWZÌuY {Zŧ Ì»Y ,É|À¸] ¾Ìu
[28] F. Hao, F. Ruixia and G. Qi, “Adaptive ControllerObserver
Design
for
6-DOF
Parallel
Manipulators”, Proc. of the 6th World Congress on
Intelligent Control and Automation, p.p.2436-2440
(2006).
[29] F. Ghorbel, “Modeling and PD Control of ClosedChain Mechanical Systems”, in Proceedings of the
34th Conference on Decision & Control, pp. 540-542
(1995).
Robotics and Automation, Vol.20, (2), pp.297–308
(2004).
[25] J.C. Martinez-Rosas, M.A. Arteaga and A.M.
Castillo-Sanchez, “Decentralized control of
cooperative
robots
without
velocity–force
measurements”, Automatica, Vol.42, pp.329 – 336
(2006).
[26] M.Zribi, S.Ahmad, “Robust Adaptive Control of
Multiple Robots in Cooperative Motion using V
Modification”, Proc. Of the IEEE Int. Conf. on
Robotics and Automation, p.p.2160-2165 (1991).
[27] H.Kawasaki, T.Shimizu, S.Ito, “Adaptive Coordinated Control of Multiple Robot Arms”, 6th IFAC
Symposium on Robot Control, p.p.663-668 (2000).
Journal of Control, Vol. 4, No.3, Fall 2010
1389 ÌËZa ,3 ÃZ¼ ,4 |¸m ,µfÀ¯ ĸn»
Journal of Control
(ISSN 2008-8345)
A Joint Publication of the Iranian Society of Instrumentation and Control Engineers and the
K.N. Toosi University of Technology, Vol. 4, No. 3, Fall 2010.
Publisher: Iranian Society of Instrumentation and Control Engineers
Managing Director: Prof. Iraj Goodarznia
Editor-in-Chief: Prof. Ali Khaki-Sedigh
Tel: 84062317
Email: [email protected]
Assistant Editor: Dr. Hamid Khaloozadeh, Dr. Alireza Fatehi
Executive Director: Dr. Hamid Khaloozadeh
Editorial Board:
Prof. A. Khaki-Sedigh, Prof. I. Goodarznia, Dr. H. Khaloozadeh (Associate Prof.), Prof. P. JabedarMaralani, Prof. A. Ghafari, Dr. H.R. Momeni (Associate Prof), Prof. S.K. Nikravesh, Prof. M. Shafiee,
Prof. B. Moshiri.
Advisory Board:
Dr. H.R. Momeni, Prof. B. Moshiri, Prof. M. Shafiee, Prof. A. Khaki-Sedigh, Prof. P. JabedarMaralani, Prof. A. Ghaffari, Dr. H. Khaloozadeh, Dr. H.R. Taghirad, Dr. K. Masroori, Dr. M.T.
Bathaei, Dr. M.T. Hamidi-Beheshti, Dr. F. Jafarkazemi, Dr. R. Amjadifard, Dr. S.A. Mousavian, Dr.
M. Teshnelab, Prof. M. Haeri, Dr. S.A. Safavi, Prof. H. Seifi, Dr. A. Kazemi, Dr. A. Fatehi, Dr. M.R.
Akbarzadeh-Toutounchi, Dr. M. Golkar, Dr. N. Pariz, Dr. M. Javadi, Dr. J. Heirani-Nobari, Prof. F.
Hossein-Babaei, Dr. B. Moaveni, Dr. M. Aliari-Shourehdeli, Dr. M. Arvan , Dr. M. Tavakoli-Bina.
The ISICE Board of Director:
Abbas. Sheri-Moghadam, Prof. Masoud Shafiee., Dr. Hamid Reza Momeni, Dr. Hamid Khaloozadeh,
Dr. Mehrdad Javadi, Dr. Davod Karimzadegan, Ali Kiani.
Address: Room 241, 2nd floor, No.71, Mousavi Ave. Ferdowsi Sq. Enghelab St. Tehran, Iran.
P.O. Box: 15815-3595
Tel: (+9821) 88813002
Fax: (+9821) 88324979
http://www.isice.ir
Journal of Control
ISSN 2008-8345
A Joint Publication of the Iranian Society of Instrument and Control
Engineers and the K.N. Toosi University of Technology
Vol. 4, No. 3, Fall 2010
Contents
Improving the H2/H Control Performance Using Supervisory Based Switching
1
Fatemeh Jamshidi, Mohammad Taghi Hamidi Beheshti
Semi-polynomial Takagi-Sugeno-Kang Type Fuzzy System for System Identification
and Pattern Classification
15
Arash Sharifi, Mehdi Aliyari Shoorehdeli, Mohammad Teshnehlab
New Insight in the Pursue-Escape Geometry by the Inspiration of PN Guidance
29
Jafar Heyrani Nobari
A Fixed-Order Robust Decentralized Dynamic Output Feedback Controller Design for
Large Scale Systems with Nonlinear Uncertainty
36
Mahdi Sojoodi, Vahid Johari Majd
Designing a Stochastic Adaptive Stable in Probability Observer, for Noisy Uncertain
Chaotic Systems
47
Moosa Ayati, Hamid Khaloozadeh
Fault Detection Filter Design for Uncertain LTI Systems using H Norm Error
Minimization
56
Hamid Ranjbar, Mohammad Ali Nekoui
Control of Closed Kinematic Chains Based on SPF Model without Velocity
Measurements
Hossein Bolandi, Amir Farhad Ehyaei
www.isice.ir
66
© Copyright 2026 ExpyDoc
