D。くf〆謀 P如YでオJm一
㌔krヶJl＜巾軒mhUni仰，−一旬′冊∫
On t0七81eonformal eurvature
OB弧Ⅹ01乳ya血i
Introduetlon．
Let 軋（M）d．enote the space of all snooth Rienannian metrics
On a eOmp乱et n−dimenslon81manlfold二虻．We eon8まder a funetional
v潮抽）すRde加東吋V（g）‡J拙n／2加g，血reVgi8tbeW町1
COnformal eurv8允We ten＄Or Of g．エtis eaSy tO See tbat V（g）
d・epen由only on the conformal c18SB Of g．Chw main Sub3ectin
七山S p叩eriS to detemineinftvくg）；gG間（M）1，Wbiebvllもe
denoted simply t）y V（M）．Thisinvariant v（M）is nontrivi81．In
fact，if SOme Pon七rjagin nl血ber of MiS nOt ZierO，then v（M）＞Q．
＝npeLrticular，ifdimM＝一，Vehavev（M）≧h8汀2lsgn（M‖・More一
〇Ver，if M a由良もS a h81f eonfomはユ1y flモ止metrie，tbenヽ）くM）＝
拗218gn（M）I．miBgivesusB。neC。nP血ableex。nPle＄。fM，e．gり
Vくけ2）三㌦8㌔，e七占．工na組iti。nt。七摘i。叩息1ity，伽で。11m血g
is often very u￡efl止for eompu七ing v（M）．
皿的remA・（i）望Sl空也望加地，迦V（M）±0・
（鼠）V（生が㌔）≦V（生）＋V（㌔）・
−1−
From（i），Ve get exanpies of Mvith v（M）＝O but Vhich has
no confornaiiy flat metrics．From（五），Ve have，for exanpie，
V（CP2…P2）：961∼・Thereals。eXistMlandM2f。rVhich
V佃1＃㌔）−＜V（MJ＋V（㌔）・
To d．eternine v（M）for general M seems tO be not SO eaSy．
EVenforM＝S2ⅩS20rCP2＃−CP2，V（M）isnotknown．Forth叫
もhe由止血OrhopesthatV（M）ispositive．AsforS2ⅩS2，Vehave
the f0110Ving resuit vhich partiaiiy supPOrtS this conjecture．
TheorenB・迦funCtionaiv：Ⅶ（S2ⅩS2）＋】R j彗星玉虫Ef0lioving
propertieB：（0）V（go）＝256T2′3塾生坐聖旦塾重畳建造
go；（i）望gisaKahiermetricforsome盤辿坐S2ⅩS2，
迦V（g）≧V（go）；（五）go塾生一一strie七万目迎旦Crltieal蓮生
壁迦nmctionalvi（出目V（g）＞6hT2，室生坐eWⅤ如we坐
giB．nOnneg8・tive・
Fron（i），VeCanSeethahV（g）≧V（go）fora町PrOduc七metric
g；gi＋g2，gi‘刑（S2）・Zn（艶）・thenⅦ血er6h2israhterun，
satisfactory，Since6hT2＜256¶2／3，butfromthisvecanexpect
醜1easttbepositivi毎OfV（S2ⅩS2）．
＝tisate叩tingqpestiontoaskvhetherv（S2ⅩS2）＝256¶2／3
0r nOt．The positive ansver■WOuid be a very nice resuit sinceit
aiso gives a positive soil止ion tO a Wiil皿Ore type prol）iem for
s2ⅩS2．Foranl皿erSionゆ：S2ⅩS2＋S5（1），VeSet W（中）＝
／S2ⅩS2甜dvg・Where芸isthe血ceiesspartofthesec。ndfundB−
mentaifomof中，andgistheinducedmetriconS2ⅩS2．By
￠ciiffordVedenotetheCiiffordenbeddingS2（1／摺）ⅩS2（1／YQ）
⊂S5（1）．
−2−
TheoremC・蓮生￠：S2ⅩS2＋S5（1）聖堂imersion壁S2ⅩS2
塾生壬生望生5−鹿・坐聖聖些V（g）三256¶2／3，壁g立
玉垣吐望S2ⅩS2廻吐〇・些竺竺垣望（i）両）三
Ⅴ（￠cllfford）堅迫（五）Ⅴ（￠）＝Ⅴ（￠cllでford）望旦垣堕塩生￠＝
aら転ifで。rd丑竺竺三廼！竺至生transf。rmati。na廷Sう・
A duaiized version of Wiilmore probiemis aisointeresting，
foritreiatestothequestionvbetherv（Mi＃M2）＝Oimpiies
V（Ml）＝V（M2）＝0・WeshaiigivesomediscussiononitinS6・
To prove Theorem B（五三），Ve make use of the Ya皿abe constant
u（g）：＝inf｛／MRgdv云′（∫Mdvg）n／（n−2）；菖isc。nfomit。g｝，Vhere
R is the scaiar curvature Of g． One of vays toimprove Theorem
B（Bi）istodetemineu（S2ⅩS2）：＝SuPh（g）；g （S2ⅩS2））．
Byvayoftrial，VeShaiicomputeu（Sixsn−1）insteadofu（S2ⅩS2）．
TheoremD・望n≧3，迦u（Sixsn−1）＝U（Sn）・
This result hasind．ependentinterest，becauseitis knovn
that U（M，g）＜tl（Sn）un1ess（Mn，g）is confomaitothe stand．ard
n−SPhere．
We use the method of the pr00f of TheoremI）again to shov
Theorem E・塾生望ヱr＞0堅娃聖正巳＞0，迦三eXistS旦
聖生主ヱg9fSn（n≧3）坐土建生Voi（Sn，g）＝1，Rg≧r望迫
m2ⅩRg（X）／m主nRg（Ⅹ）≦1＋E・
Most part Ofthis paperis based．on separate paperslir］，
［ル］and口7］．
ー3−
Sl．I）efinition and．二畠血Properties．
For a Riemamian metric g∈′帆（M），the curvature tensor
《Rl脚力・
theRiccitensorRic＝《Rij》＝《㌔ikj》，andthescaiarcurvature
g
Rg＝glJRij
are d．efined．． The Weyi confomai cur’V’ature tensor W ＝
g
《正脚》is加f加d吋
く1・1）㌔脚＝Ri脚一言≒（Likgj九・giklj九一㌔由一gl鵡k），
Where
（1・2）一Lij＝Ri了言て缶gij・
We put W ＝Oif n＝dim M ＜ 3．From the second・Bianchiid・entity，
WehaveRi助i＝Rj抽−Rjk；且，andhence，
（1・3）正脚；i＝豊玉C脚・
（1・k）cijk＝Lik；了Lij；k・
I）efinition1．1．We d．efine a・funCtional v‥吼（M）→R by
v（g）＝iMIwよn／2dvg，VhereIwgln／2＝（gi，gjqgkriswijk，WPqrs）n／h
F。raSdbsetU。fM弧dgくn（M），WeⅥitev（g；U）＝与。Iwgln／2dvg・
Lemai・2・（i）V（e2fg）＝V（g）室生盟f∈Cq（M）望迫g∈凧M）・
（且）V（中骨g）＝ V（g）坐工盟diffeomorphism4）三三M・（Bi）V（g）＝O
jヱ堅迫望虹jヱeither dim M532三g主已旦COnformally fiat metric・
Pr00f．Let W■and Vl be the Weyi tensorB Of the metrics g and・
2f
gt ＝e gI reSPeCtiveiy・Since the Weyi tensorisinvariantund，er
一年￣
a confoma．i change of metric，Ve have
くW−，W一㌔−＝く叩ち・＝
e彗W，W㌔・Hence，fromdvT：en㌔v f。rthev。1ⅧeeiementS，
W。get tW・tn／2且，一＝回n／2且，，Which，T。VeS（i）．（五）istriviai，
ana（剋）is vel1−knoⅥ1． 口
Using the confornaiinvariance ofヽ），Ve Can reWrite v（g）
in some other forms．
器［S可静gisconf。mltogH昔・
（正）V（g）＝i可
Vol（叫還）；言is eonformal to g弧d
惇Ⅹ）巨1forallxそMU
生壁・（i）：WeputJ（g）＝（3fWgt2dvg）′（Sdvgfn−h）／h
ThenbyH31d．erineqpality，Vehave，for官confonaltO g，V（g）＝
V（i）≧（J（！））n／h・Hence，・V（g）≧［sIQfJ（苫）；冨isconfomait04］n／h
Onthe。therhand，Puttingg。＝（fwgin／2・E）2／ngf。rP。SitiveE，
Wehave n ∵小塙 n n＿ト∵∵∵ 「
J（g。）＝車g恒かg円く扉・E）丁匝撫：
cieariy，1imE十〇（J（gE））n／h＝V（g）・
（且）：V（g）≦in串up吋n／2）Ⅴ。1（最）；言ise。nformalt。gi
＝in中01（M芯；言ise。nformalt。g，ahd悔（Ⅹ）圧1forallxそMl・
Onthe。therhma，takinggcasabove，WehWe tWg。L＝
（twgln／2′（twgIn／2・E））2／n＜1・M。re。Ver，1ime叫Voi（M，gE）＝
1im洲。J（lwgln／2・！）dNg＝V（g）・□
一g−
Remark・＝n the case of（i），the suprem皿is achievedif and，
Oniyif eiもher W≡o or wis novhere zer0．＝n the case of（五），
theinfi 皿is achieved．if and．oniyif Wis novhere zero．
The expression（i）of the aboveiemmaisiike the Yanabe
COnBtanセリ，Whichis d．efined．by
（1・ら）両，g）＝再gi＝inf
倉篭；首
比か済’
gis eonformal to g
Forthe Yanabe c。nStant U，itis kn。Vn（cf・［7】）that
inf行くM，g）；gモ咄（M）i＝−00，ifdinM≧3・C。rreSP。ndingiy，
Pr叩Sltionl・k・生血M≧互，迦S叩卜（g）；g∈叫呵＝・00・
聖望旦・LetTn＝Rn／2Znbethen−dinensionalt0ruS・工fn≧h，
七hereexIsts ametric ge明（Tn）Withc：＝V（g）＞0．Then，官塁間（Rn）
d，enOting theiift Of g七〇七he universai covering，Ve have
v（盲；［0，丸】n）＝見。for丸∈乱
Now，iet（Uル）be achart OfMsuchtha．t O（U）＝：Rn．Then，
foreach且モ甘，VeCantakea＝metricg丸OnM地主chcoincides
血b盲in［0，㌦⊂Rn冨U，i・e・，（幅誹［0，踏＝笥軌姐聖地∴
仙shavev（g九号V（g妄；U）≧（軋g且；［0，L］n）＝Lnc，andhence
limか㌔（g見）＝十∞・ロ
mis proposition notivates us tO the f0110Ving d．efinition．
Definitioni・5・V（M）：＝inffv（g）ig6m（M）†・
一‘−
Zf M carries a conformally fiat metric，then obviousiy v（M）
＝0・HoveverI the converseis not true・To see thisIVe nOte
the f0110Ving．
Pmpo81tlonl・6・塾生旦COnBtmten旦印en弘喝望n＝
出mM旦望生王迦堕」V（M）≦cn阻nVol（M）辿丑望盟望望聖聖追堕
聖法皇M，鹿MinV。1（M）＝infivoi（M，g）；tSeCti。nalcurVature。fgJ
≦11・
迦⊆星．From Leml．3（五），Ve have v（M）＝
inf巨1佃，g）；lwgl］i
We ean cboose a eonstant e so that
n
巨g巨1WheneverlsectionalcurvatureOfg巨cn￣2／n・Th叫
V（M）≦in中01（M，g）itSeCt・cm・悠cn￣2／ni：
inffcnv。1（M，g）；lsec七・cm・l≦11＝CnMinV。1（H）・□
＝七isknownゥforexampieナthatifSiactSfreeiyonM，
then 阻n Voi（M）＝0（cf．［10］）．Hence，Ve have
cor011aryl・7・望Sl延追望M地，辿聖V（M）＝0・
坤・1・A compact sinpiy connected・COnfornaiiy flat
n−nanif01d工肌はtbeSn（［削）．Eence，V（g）＞Oforang∈qn（S2ⅩS3）．
Hovever，fromtheabovecoroiiary，Vehave v（S2ⅩS3）＝0．
2・Theuniversai covering space of a conpact confornaiiy fiat
spacevithinfiniteAbeiianfund・anentalgroupis：Rn or］RxSnこ1
（［20］）・Hence，V（g）＞OforaligG叫（SPxTq）vithp，q≧2・
Hovever，V（Spx鱒）＝0．
ー 7−
Ⅳext，We re皿息でk that there are nontrivial topoiogicaiiover
b01mds for v．
Propositioni・8・堅竺旦証Pontrjagin nⅦぬer p，塾生皇
盛望吐epdependipg2匹p望塾建立lp（出場epv（れ
Pr00f． Let P be the corresponding Chern−Weii p01ynomial，i．e．，
P（M）＝Sp（Q）・Where。nisthecm血ef。m・血SWaBPOintedby
AvezlZ］，P（n）＝P（Q）・Where品ij：；wijkkek＾et・Hence，fp（M）l」≡
伸銅≦cpv（g）で。ra王Lg）モ明くM）・ロ
＝n particuユar，if some Pontrjagin nl血ber of Mis not ZierO，
then v（M）＞0．＝f dimM＝h，We have the foiiowing more precise
加p。Sitionl・9．望弘mM＝吐，迦抽2ls融M）l≦V（M）．
望M些旦生壁壬COnfon肥止1y蓮生壁且，塾生V（M）＝拗21呼（M）1．
聖望珪・TakeametricgeⅦ（M）・men・fsgn（M）巨引pi（M）l
＝書く去）2踏朝三号離2日腔j菌i〉加g国吉）2（21）錮2加g
：＊2（2！）（喜）2かgI2加g＝毒V（g）・Hen可sg叫≦V（g）／h8T2
f＆allgeq（M），andeqpaiity。CCnrSifand。niyifSl：土一着E2．ロ
塾鱒pies・1・TheFdiniStudymetricofCP2ishaifconfomany
flat．Eenee，V（CP2）＝h8¶2．
2． A Ricci fiat metric of K3 Surfaceis aiso a haif confornaiiy
fiatmetric，Hence，V（K3）＝768¶2．
一g−
＝n dimension f01r，the Gauss−Bonnet formuia also gives some
pm卯Sitionl．10．塾日没亘旦主題吐出mM＝む，望追g∈拙M）並生
起望塾丑盗塁型生麺Stmcture旦EM．men
v（g）≧拗2lsgn（M）巨争2ninf2X（M）−6sgn（M），2X（M）・3sgn（M）j・
垂望呈X（M）立並辿ebaraeteristie三三m 望塗equality塾
生聖堕望辻堂g並旦旦Einstein盛辿註聖更生．
聖望生．Bythe h一dinensionai Gauss Bormet formuia，
（1・6）V（g）＝32T2X（M）・ヲ揮cgl2dvg−iSRg2dvg，
0 0 R
Vhere Ricis thetraceiess part ofthe Riccitensor；Ric＝Ric一軍・
Let Pbethe Ricci fomofthe撼hiermetric g（［け］）．Then，
itis easiiy seen that
（1・7）p∧P＝（喜R2−2lR；車）れ
Since the first ChernCiassis represented．by p／hTr，Ve have
巨人P＝162Cき軒＝162（2X（M）・3sgn㈲・
This，tOgethervith（1．6）and（1．7），yieids
（l．り V（g）＝−16¶25g刷・争2X（M）†与匝12か，
vhich proveS the assertion．J
旭扉鴫仙spropositiontOS2ⅩS2，VebaveV（g）≧256T2′3
ー9−
foranyKahiermetricgofS2ⅩS2，because sgn（S2ⅩS2）＝0and
x（S2ⅩS2）＝互．Forexanpie，takeanarbitraryproductmetricg
＝gi＋g2，giGT叫酌，then v（gi＋g2）≧256T2／3・＝nthiscase・
（1・9）V（gl・g2）＝苧古書Js2感2（㌔−K2）2如，
WhereKiistheGaussianCumtureOfgi・Inparticuiar，V（gi＋g2）
＝256¶2′31で弧do正brLFKl＝K2＝COnS七・≫0・
We give another appiicaもion of Gauss−Bonnet formuia．
打OpOSition Lu・SuppoBe塾生d土mM＝九・望望生，旦望∴聖駐
V（g）≧32¶2X（M）一計（g）2
辿・迦equality bolas主三雲旦皇室吐j王g j旦COnfonmaユ立至注
Einstein metric．
Proof． S0ive the Yanabe problem for g，and ve get a metric
g confornal tO g for which the scaiar curvature R−is constant，
andR−Voi（M，；）1／2＝U（g）．ThenfromtheGauss−Bonnetformuia∴ノ，
g
v（g）＝V（喜）＝32¶2X（Hトか㈲2・2鮭亘悔
≧32¶2X（Mトかほ）2・
＝tisciearthaも亘isanEinsteinmetricifv（g）＝32¶2X（M）−U（g）2／6．
Converseiy，if gis conformal tOanEinstein netric gt，then，by
atheoremof Obata［ir］，g．is a s01ution ofthe Yanabe probiem，
−Jo−
i・e・，Rg・isconst鋸止，8皿dRg・Voi（M・g一）1／2三U（g）・Therefore・
V（g）＝3釦2X（M）・山g）2／6．ロ
FortheYanabeconstantu，itisknownthatU（Mh，g）＜
U（Sh・go）＝8YqTuniess（M，g）is confornaitothest弧d肝d
sphere（Sh，go）（［（］，［27】，SeeaisoST）・So，Veget
Coroll象ryl・12・三ddmM＝恒蛮川畑，g）≧0，迦
V（g）≧32T2（も2（M）−2㌧（M）），
垂望三㌔主星迦1世坐璧追坐坐M・望生equality望聖望旦
望珪已互塾生（M，g）並eOnfomal迫堂泣Stmぬrdk鹿・
F。reX弧pie，ifg色珊iS2Ⅹ二線‖鹿n。nnegativescalarcurVature，
then，U（g）≧0．ThuB，forthismetric，V（g）＞6hT2・
＄2・Proof ofでbeorem A・
＝n this section＞Ve Shall prove Theorem A｝and・also mention
SOme renarks onit．
Aithoughthe part（i）of the theorem haS aiready been seen
inthe preceding section（see coroiiaryi・7），Ve give a d・etaiied・
PrOOf for compieteness・
一日−
Pr0Of。f（i）・Let Kdenotethevector fieid．。nM血ich
generatestheSiaction・SinceSiiscompact，thereisanS1−
invariantRienemnianmetric h onM，forvhichKis akiiiing
VeCtor fieid・Since the actionis free，h（K，K）is n。Vhere
zero，hence，g＝（h（K，K））−1h aefinedaRiemamianmetric．
Then ve have
（2・1） ∠Kg＝O and 如，K）＝1．
Nov＞COnSid・er a faniiy of Riemannian metrics
頼七）；0く二七≦15
（2・2） gij（七）＝gi・（1−t2）αiαj，
Whereαis thel−formass。CiatedvithKwithrespectto g＝g（1），
i・e・，αi＝gijKa・TheinversematrixgiJ（七）iseasiiyseento
be glJ−（1一七一2）KiKJ・Then，uSing（2．1），Vegetthereiation
betveen the Christoffei sy血01s of g（t）and．g：
（2・3）r矩）−r千・＝−（1一七2）（㌔；iα了㌔、溝），
1J
雨lere the covariant d・erivationin the right hand．sid．eis taken
aS One Vith respect tO g・Fromthis and．（2．1），We have
（2・吊 Rl脚出−Rl脚
＝−（1−も2斬謝長一（ノ㌔溝）；丈・㌔R土地鵜十毎。；kヰkα。；丸1
・（1一七2）2Ki溝（㌔隼えーα武k）・
ーIZ−
℡hen，aga，in using（2．1），Ve have
（2・5）gjb（t）（Rl脚（七）−Rl脚）
＝−（1一七2）世b畑k一（㌔甑；九・㌔武k一㌔武史！
＋（1−㌔）巌jRi脚・
gjh（七）Rl脚＝Rihkえー（1イ2蛾jRi脚・
（2・6）gjh（七）Rljk拒）−Ribk且
＝−（1一七2）軽；h畑k一正甑；九・㌔武kヰk㌔詔・
ⅣOtethat（2．6）doesnot containtemsoftー2and．thatbothsid．es
Of（2・6）aretensors oftype（2，2）・S。，thereis a constant c
suchthat！R・・叫2（七）くc forall“（0，1］・Inpart山鹿，
fw（七昭t）＜C・Ontheotherhana・thevoiⅧefom dv（t）reiative
tO the metric g（七）is easiiy computed as dv（七）＝t dv．mus，
Vegetii㌔＋。V（g（七））＝0・Hence，V（M）＝0・ロ
We have actuaiiy proved．the foiioving：・V（M）＝Oif M ad皿its
a Riemannian metric for vhich thereis a nonvanishing Kiiiing
VeCtOr field．
For the pr00f of part（且），Ve need the f01lovingie皿a．
ー13−
lem182・1・蓮生gぐ珊（M）虫塵ヱ望・塾生，史竺旦聖生C＞0上
垣室生言ぐ軌（M）望生辿堕卜（g）−V（研く∈聖旦官立塾生
主星皇註三匹聖Sl止Set三三M・
空望三・Let（Uル）be a chart ofM suchthat ゆ（U）つ
巨蛾回くり
and・in the c00rd．inate expression of the
metric gfU＝gij（Ⅹ）dxidxj，
（2・7） gij（0）＝6‥
hoids・TakeanonnegativesmoothfunCtion n：RnウR suchthat
n（Ⅹ）；1if回≦1／2，and n（Ⅹ）＝oif回≧1・Weset nt（Ⅹ）
＝n（Ⅹ／t）・Thesupportof ntiscontainedin Bt＝fx‘Rn；回＜t3・
F。rO＜七＜1，VedefineametricgE職（M）by紳＼U＝ glM＼Uand
（2・8） 琶ij＝（ト∩再1了情j
inU．We shaii showthat官has the d．esired＿PrOPerties for
Ztf0110VSfrom（2・7）andthedefinitionof ntthat
（2・9）恒i膏j車elt，1両＜e了1∴笹七巨1七￣2，
for some constant ci・Ⅱence，
悔巨e2 and 巨2掃くe2（七￣1・1）
for some c2・Then，Puもting
ft＝諦扉（det（ちj））2，
∼＝巨
甘e Can eaSiiy see that
（2・10） ft＜e3（もー1＋1）2・
mus，Ve get
（2・11）J㌔ft血≦e3（t￣1・1瑞七飯
＝Ch（七￣1＋1）2一七m＝C距2・七）2・
tv（g）−V（糾 ＝lv（gi√㍉Bt》−V（紬￣1（㌔Dl
≦V（g；√bt》瑠Btft血・
Therefore，from（2・11），VeCOnCiudethatIv（g）；V（g）卜乍Ef。r
asuffieient1y smallt．工tis obvious from（2．8）tbat宅is flat
i叫−1（Bt）・□
Proof of part（五）of Theorem A．
Let EbeaLnarbitra町POSitiven血ber・Taよegi＜朝（Mi）so
thatV（gi）≦V（Mi）＋C，i＝1，2・Bytheaboveiema，VeCan
ehoose乾く叩くMi）sucbt旭V（ち）≦V（Mi）・2Eand竃iisnaも
insomeneighborhood・OfMi・Supposethat forsomer＞Oand・Pie Mi，
ちisflatinUi（pi；［0，2r》；vhere
Ui（pi勅2かい彗沃（Ⅹ，pi）∈【0，2可，
Where d・・isthe distance functionofthemetric gi，i＝1，2・
Wedefineadiffeomorphism かUi（pl；（r／2，2r》→U2（p2；（r／2，2r》
by
ーげ−
by
2
中（expplX）＝eXpp2（￣野中0（Ⅹ）），
Wbere￠0：TpIMi→Tp2M2isaiinearisometry，andexppidenotes
theexponentiaimapqtpi∈MiVithrespect七〇ち・〉Thenvecan
reg訂d生純2aSモ隼Ul（plれr／2】）？項M2＼U2（p2；恒／2叶
∴￣ Let fibeapositive smoothfunctiononMiSuChthati
fi（Ⅹ）＝（芭（pi，Ⅹ））￣21f招くろくpl，Ⅹ）＜2r・men，瑞is
a・RiemamianmetriconMi，and・isconfornaiiyfiatinUi（pi；［052r））・
肋e。Ver，￠；（卑pli（r／2，加）），fA）→（U2（p2；（r／2，2r）），f糸）
becomes anisometry．Eence，Ve Can d．efine a Riemian metric
g匡＼Ui（pl；［0，号】）：＝瑚Ml＼Ui（piれ…］），
V（g）＝V（f鼠；当＼Ul（pl；［0，号］）…（fみM2＼U2（p2れ2r］）
＝V（fA）・V（f其）
＝V（ち）＋V（ち）
≦V匝1）十V（M2）＋hE・
merefore，両1約2）≦V（MJ＋V（M2）＋厄‥ forarbitra町E＞0・
matis，Vq約2）≦V（町＋V（M2）・ロ
璽三並主聖とヱ・買．・望V（旦）＝V（㌔）＝0，辿聖V（旦紺2）＝〇・
ーJもー
As ve can see from this coroiiary，○ur：reSlユ1tis ciosely
reiated．to a theorem of二Kulkarni［il，22，23］Which assertS that
COnneCted．SumOf tvo conformally fiat nanifoid，S adnits a fiat
COnfomai structure．The author d．oes not know■any COunterlT
ex餌lPie to the converse of the above cor011ary（or mユkarni−s
theorem）．Thisi盲〉aVeryinteresting question，forif the con−
verseisaffirmative，thenve二C盛iget，forexanpie，V（CP2＃TpCP2）
＞0・CP2＃−CP2as・WeiiasS2ⅩS2is，inasense，akeytofurther
understand，ing of V．We shaii againtake upthis probiemini‘．
Exa皿Pies・1・ Althoughour fonnula−r for connected，SunSis an
ineqpよ1ity，Ve Can get the exact Vaiue of v（M）in some cases．As
atypicaiexample，WeShovv（CP2＃CP2）＝96¶2：FromProposition1．9，
V（CP2＃CP2）≧h8T2tsgn（CP2＃Cp2）仁＝96¶2．0ntheotherhand，
V（CP2＃CP2）≦2V（CP2）．sincevehaveaireadyseenV（CP2）＝48¶2
inii，COnSeqPent1ywehave v（CP2＃CP2）＝96T2．
2・mere eXistMland・n2for■Whichthe strictinequality
V（Mi＃M2）＜V（Mi）＋V（M2）hoids・＝nfact，itisthecaseifMl
＝CP2＃CP2andM2＝−CP2・Toseethis，Wefirstnotetha七
cp2＃CP2＃−CP2isdiffeomorphictOCP2＃S2ⅩS2〉（［刹上 Hence，
V（Ml約2）≦V（S2ⅩS2）＋V（CP2）＝V（S2ⅩS2）＋V（Mさ）・
≦苧而2…（M2）＜96㌔…（M2）
＝V（Ml）＋V（M2）・
一17−
月旦・Variational formuユa∋in dimen或on h．
＝n this section，Ve Shali shov the first and．second．variational
fonm止as ofV‥触（M）→R for eomp批t hⅧ8血fold二的．mrouかOut tbis
SeCtion，Ve uSe the f011Oving abbreviation for shortnessI sake；
1・OnittingthesⅦm醜i。nSigns，e・g・，Ci3k；k・㌔ヂijk一一
standsfor ∑k，且gkLcijk；九・㌔，且，mgk且hWnij且；
2・id・entification throughthe du息iity d．efined by metric e．g．，
S芸＝喜師彗舶−bl。；k）st弧由forS芸＝餌伍拘i・甑。
−hiji見）・
The first Variationai fornuia hasかeady appeared．in an
aれiele［5］by R．Bachin1921．
Proposition3・1（［3］）・SuppoSe壬 生M 且皇且主 もt manifold．
坐dinension h・Then for a snooth cuⅣe g＝g（七十塾側畑），望如
意V（g）＝2J跡g），お〉如g，
塾Ⅹ室生地主2麺聖堂三主空色吐Ⅹij＝Cij抽・塩でijk
（三三三（1．1），（1．2）望追（1．h）坐臥室生W，1聖迫C）．
聖更・Weset hij＝苗gij andS芸＝怠惰・Then，
（3・1） S芸＝喜（bjk了b鋸−bij；k）・
（312） 怠㌔ijk＝S品；了環；k
Then，f卸（1・1）andeiementaryalgebraic properties。fcurVature
tensor，Ve have
へI冨−
㌔ijk（怠㌔ijk）＝㌦ijk（2b獅m・khij）・
Theref。re，uSing怠gij＝−hijand怠dv＝喜hiidv，Weget
主意V（gト＝伊ijk（2bi錘・㌔㌔i。）一㌔粛㌔振九・喜W㌔ijか
＝匪jbij−（㌔ij濃j見一昔W2㌔見）㌔か，
Vhereve use Stokes−fornuia and．（1．3）．Thus，Ve have oniyto
prove㌔ij謹ijA＝帥2g餌・
＝tis knovn that a．syⅦmetriciinear transfornation on the
spaceof2−foms A2comutesviththeEodgestar鷺：＾2ぅ＾2
（since the argl皿ent hereisiocai，Ve need．not assume Mis
Orientabie）if and・。niyifits Ricci contractionis proportionai
tog（cf・［L7；The。remi・3］）・Vievedas as四metrictransfomation
onA29theWeyltensorcomtesviththetheHodgestarIbecauぷe
the Ricci contraction of Wis zero・Hence｝ VoW aiso coEnutes
Vith the Hodge star｝and・hence●the Ricci contraction of WoWis
PrOPOrtionaltOg・Thatls，WikabWabjk＝入gijfors皿eSCal甜入1
血ehimplles㌔ij謹ijA＝帥I2gk見・
That Ⅹis symetricis not difficuit tO See from Bianchi■s
ldentities． ロ
Comllary3・2・望d主mM＝互，生垣Ⅹ塾生fqu。VIpg
PrOperties；（i）もrace X＝0；（且）divX＝0；（jii）Ⅹ⑳gj旦COnfornaiiy
invariant．
Proof．Easy conseqpence of Lem1．2． ロ
、門−
坐mll鮎7三・三・三d土mH＝k望迫gG凧（M）且且 pnfonn中主旦
聖Einsteinmetric，迦gj旦旦Criticai由良坐り：朝（M）一ナ丑．
Pr00f・Obviousiy，Ⅹ＝Oif gis an Einsteinmetric・Thus，
the assertion f0110VS from Coroiiary3．2（鮎）． ロ
Zt may be哉pPrQPriate tO Shovthe principai sy血boi of X（g）
in this piaceI Sinceiti88180a Principai part of the second．
Variational formula．
塾王達・塑迦出盛星口∈‥62押すS2響，∈∈響ノ
廷堅生nOniinear車型壁吐P哩differentiai坤gト｝Ⅹ（g）
牢h）＝喜田hh一書が（h（∈）か∈・∈恥ほ））
・喜伽（∈，）い（trh桐侮◎∈
・喜（h（∈，∈）−（trh）l引2）国2g・
呈 pp rtieuユ早手，室生∈≠0，
（i）血ロ∈＝恒S2叩；trll≡0弧d昭）＝0右
（五）馳r彗＝恒S2州；h；ag・卸”〇日orsomeaを紬d惟叫；
也）C∈（h）＝封鍋飯b∈加㌔＝（Ker㌔上
空望三・Straigbtforward calculatlon． 口
ⅣOW，We Shali compu七e the second．variationai fornuia．To d．〇
七his｝We reViev the Lichnerowicz Lapiacian and・d・eCOmPOSition of
the space of symmetric2−tensor fieids（cf・［隼］）．
）20−
Definition3・5・ThetangentspaceTg価M）of椎M）atg
is naturaiiyid．entified．vith the space of sm00th sy皿etric 2−
tensorfieidsonM・TheLichneroviczLapiacianAL：Tg凧M）→
Td鶴M）isdefinedby
（Alh）ij・
・＝（Ah）ij＋hik；kj−hik；jk＋hjk；ki−hjk；ik，
血ere A：Tg硯（M）→Tg搬M）isthe空也Lapiaciem；（Ah）ij＝
hij；kk（our・SignconventionofLapiaciansisopposite七〇七hat
usedln［牛］）．
壁空し主旦・（1日Alb）ij≡（△h）ij−hik㌔−Ri鵡5−2塩㌔ijk・
壁聖呈，室呈dhM＝互，迦
（ALh）ijこく△h）i了2（hikEkj＋Eikhkj）・くE，h〉gij
・恒h）（Ei了誌jト車bi了2㌦ijk，
垣Eij＝Rij−（R州gij・
扇！M〈h・，△もh−ウ加＝一最中・，鈷・戸（h−ij；k−h・ik；j）Ⅹ
（h一一ij；k−h一一ik；j）・2h■ij；jh”ik；ktdv迦h一，h”GTgPL（M）・
（弘）SMくb一，△lh一・沖＝揖h・ij；k呵ki・h・一雨−b一一ij；k）
一2h・ij浩k；k巨 迦b・，b一一島でg帆（M）・
Proof．Easy and．0mited．． 口
通ma3・7・望M室生望盟主聖塾生，り仰）迦聖
辿垂迫decompositi。niTg価M）＝諸。（g）eA1（g），悪望望
■ヱト
｝。（g）＝fheTg佃）；trh＝0，divh＝01壁31（g）＝
恒でg湘M）ih＝gug‥g室生盟主u鴫（M）坐錐♂（M）・
Thisdecom卯Sition並＿grthog？nai建迫望萱盟生垣迦L2史些三
塑・Put P（u）：Jug−（1／n）（tr∠ug）gf。raVeCt。r
fieid・u・ThenIitis ea・Sy to check that the principal synboi
OftheiineardifferentialoperatOr P詫（M）→Tg明M）is
injective・Hence，T♂（M）：KerP＊OInP（cf・［牛］），Where
P兼is the fornai adjoint OPeratOr Of P．P＃is computed．as
P＊（h）i＝−2（hij−（1／n）（trg）gij）；j・Fromthis，Ve加ve
KerP兼＝J80￠COO（M）・g・Then，PuttingJ81＝COO（M）・g＋InP，
We get the d．esired．d．ecomposition． 口
ReMks・1．Let G be the senidirect product Of the
diffeomorphismgroup A（M）and．C’’（M）vithznuitipiication；
く恒fl）・（￠2，で2）＝（￠lO￠2，flO￠2日2）for町中2‘かM）and
fi，f2eCP（M）・Then，Gactson吼（M）ontherightasf0110WS；
（g，（中，i））けe2f￠第g，ge喧（M），￠eA（M）弧dfCCLP（M）．Lezma1．2
saysthatVisc。nStantOneVeryG−。rbitin仰（M）・31（g）inthe
aboveleⅢmais regard．ed．a．s the tangent SPaCe at g of the G−Orbit
2・Usingtheorthog。naiitybetveen範emdj1，Wehave
anisomorphism／名（g）e／Ji。（e2fg）ihりei2−n）fh・lndinensi。n2，
thisreduces七〇七hatJ20（g）＝J30（e2fg）foranyfそC”（M）・More−
0Ver，Xo（g）isfinite弘mensionalifdinM＝2，anditisvell−
knovnfromtheRienann−Rochthe。renthatdimメ。（g）＝Oifx（M）≫0；
ー22−
血ノ。＝2ifM＝㌔；血メ。＝11fM＝mein−sbott1ei
血ガ。＝−3X（M）ifx（M）く〇・王草地M≧3，』。（g）isa加ys
infinite dimensiona1．
The foild甘ingis themin resultin this section．
聖PfOBltlo乱立旦・卓叩p些些H虫旦型鱒止ギ些旦廷
d土mensl。n h，坐gG朝（M）虫旦eritieal迦正坐V：州（M）→丑．
塾㌔生旦塾生望辿生g辿迫g。＝0，望迫h生月。（g）
望聖望望L廷（dg／呵弼∈ワg竹（M）・辿，
（怠）2V叫弼≡JHk△もh・争，付争〉
・くE叫屯h・3hEセ馳〉・図2回2・回2−号如ヂ
・S紳‰bi。）；k−争ijR；m→（丑。b−h。E）血；了hi轟k−2㌔j？址ち
−2hijh血Cijk；
Eij＝Rij一誌j，（E。h）ij＝Ei鵡j 坐
S昌＝書くbjk；1・￣㌔i；j−bi。；k）・
聖望三・Fromthe first variational fomuユa（Proposition3．1），
（dv（gt）／dt）＝SM（X（gt），（dgt／dt）hdvt・SinceX（gt）’メ。（gt）
（CQrOiiary3・2），Vehave（dv（gt）／dt）＝SSⅩ（gt），hadvt，Where
㌔isthe．go（gt）component。f（dgt／dt）・Thus，SinceX＝Ⅹ（g。）＝
0，Ve get
一23r
（3・3）（怠）2V（gt）lt＝。＝2J無血〉れ，
Where：me弧S（d／a）七＝Oii・e・：i”dX（gt）／d巧七＝0・Ifwe
write X＝（DX）（畠），We Can See X＝（I）Ⅹ）（h），beca．use thatⅩ＝O
is a conformaiinvariant PrOPerty by Coroiiary3．2（Bi）．Eence，
it Suffices tO PrOVe the fornuia・：und．er the assumption tha七色＝
h強くg）・S。，WeaSSumeinthefoiiovingthahhij＝畠ijand
b‥＝0，hij；J＝0・
From the d．efinition of X，
射）支‥＝（gkmcijk訂・（gkhk㌦ijk）●
三（eijk）；k一塩Cij抽一堤Cmjk−S芸Ci血
・i定㌔ijk・工血甲ijk一㌔九㌦ijk・
From the d．efinition of C，
（3・5）cijk＝（Llk）；j−（もij）ik・S芸㌔j一環塩・
From the d．efinition ofI｝a．nd．the Lichnerovicz La．piacian，and．
（3・6）ii。ニー書くAlb）ij−軋了帥頑gij・
（3・7）（もij）；k（hij；k−hik；j）主封ム詞2・恕b・△lh〉
・書く里方h〉弓酔，言草，
dlerethemeaning。fthen。tation主isasf。110VS；f。rfiandf2e♂玩），
■之隼−
vewr摘fl主で2ifJMflか＝侵2dv・
Then，fron（3．5），（3．6），（3．7）and．Le皿a3＿．6（i），
（3・8）】宰土j轟hi了定㌔ijkbij
圭一Cijkhijik・甜ijkhij
＝肛ij）；k・環塩）（hijik−bik；j）十定㌔ijkbij
主音鶴bl2・封h，頼〉・古顔Lh，宣中豊描h〉
・S芸転（hij；k−bik；j）
弓（△1h）ijbk㌔ijk−翫轟でijk
＝喜仏1可2・艶，ALb〉・恕2回2
・く叫△1b・斡・環塩（bij；k−hlk；j）・
From（1．1）and．（3．6），
（3・9） hijがijk
＝b土j凄ijk一書（㌔凸k・毎ik一㌔㌔蛸k・症k
一塩blj−kgi了㌔見1地類一弘i詞
＝hljk伊ijk一書（巨。牢・2〈M直上く1・b，皿〉
一回2回2−号軋り）
＝hi㌔k㌘ijk−′恕h軒〉・車叫払lb・唇E・討〉
一之ぐ−
・皇国2畔一鉢可2−麺や2・
FromIJe皿a3．6（i），
（3・10）−bij魁㌔謹ijk
＝雛，△もb〉一計最h〉・妄R2回2−麺。滝h〉
・くE叫喜△Lb・b。E・討〉弓叫2一拍，ザ・
From（3・2），Bianchi−sidentityLij；j＝R；i／3andusing
（3・11）環塩（hijik−hik；j）・hi轟k許ijk
＝環（khij）；k一環塩詔ij−S芸i（khlk）；j
・草加hik・bijk賎；j一環；k）
主張（kbij）；k一挙かi凸m
一報（㌔㌔ik・㌔㌔比）；j一報（kbik一㌔㌔紘）；j
・S芸毎；jhik−S毘塩；jbi了S芸声i轟k）；k
＝2環（khlj）；k−hiij（khik・塩1ik）；3
−S；（hjR；m・！（E・h−h。E）mi；3−hikCm。k）
主2環（‰bij）ik・撞（Rhlj）；k弓やh，言ゆ
−S抽ijRm・書くE。h−b。封mi；j−blkCmjk）
一之畠−
主封h，頼〉・麺。最h〉・か，言h〉
・S芸瀬‰bij）；k守ijR；m一書（E。b−h。E）血；・hikC。品
Stming up（3．8），（3．9）and．（3．10），then s血stitu七ing（3．11），
We Obtain from（3．4）the foiioving；
草津ij
主封△㌔12・泰阜，ALh〉・忘R2回2
・卓。h，2Alh・を。E・可・喜IE円bl2・錘・hl2−如，bプ
・朝2（‰hij）；k一事ijR；m一書（E。h−b。E）由j
・2hik㌔jk一塩C址1
−hijh加Cijk；m
Thus，from（3．3），We have the d．esired．fornuia． ロ
Cor011ary 3．9． Under the seLne aSSl皿Ptions and．notaions as
in Proposition3・8，坐SeCOndvaria・tionai fornuユa生望Einstein
metric g（三三・Coroiiary3・3）生望foiiovs：
（怠）2V（㌔）七朝≡伊lh・昔h，△上目号b〉れ
ー27−
＿§＿互，Pr。Of。f Theorem B．
工n this section，Ve Shall prove Theorem B．Parts（0），（i）
and・（鮎）of the theoremhave aiready shovninii．So，Vhat we
Shouid−dois proving part（且），i．e．，Stabiiity of the stand．ard
阻nsteinmetric ofS2ⅩS2．
We begin with the d．efinition of stabiiity．
Definition h．1．Let gも凧（M）be a criticalpoint Ofthe
funCti。naiv：刑（M）→R・Then gis said．tobe辿if
（k・1）（怠）2V里t＝。≧O
foraiLSnOOthvariationgtwithgo＝g・Moreover，gis said
tO be strict1y stabieif gis stabie and．if equa1ity of（互．1）
b。1ds。nlyvhen（d中呵七＝。∈β1（g）（cf・Le鱒3・7）・
Remark・＝t f0110VS from Lem1．2thatif gis a（strictiy）
Stabie criticai point Of v，then soisany metric confornal to g．
軸1es・1・如eonfomユ1y flat metricis staゐ1e．
Any half eonformally flat metric of a eompae七一一maエ止foldis
stdble（cf．Propositionl．9）．
2・Setting the scaiar curvature R＝Oin Coroiiary3．9，
We See that any Ricci flat metric of a compact h，4anifoid．is
3・Letg叫（Sh）bethestandardmetricofconstant
CWVature L Then，gis strict1y stabie．
一之才一
Proof・Since gis an Einstein metric，Ve have oniy to
Js互くALh・号h，△Lh・号h〉加か
f。rauh6J80（g）andthatequalityhoidsonly血enh＝0
wehweR＝12弧dALh：gh−8h forhGB。（g）・
（cf．Le皿a3．6，（i））．Eence，
5仏工b・書h，△もb・号h）か
＝5くZb−2hふ一旭）か
＝揮hl2−6くh，飢〉・8時か
＝5（馴2・6回2・8lhl2）dv20・
Ot）Viously，e耶息1ityimplies that h＝0． □
打00f of meorem B（五）．
＝n this proof，Ve denote by g the standmd．Einstein metric
ofS2ⅩS2・Wevriteg三g一十g一一wheregtandg．一areRiemamian
metrics ofS2vithconstant GaussiancurVaturei．Thenthe cur−
仇2）RhLijk＝（gTnjg−ik−gIijg一km）＋（g”mjg”ik−g一一ijgI．kn）・
Forhを・80（g），Vedefinef∈C（S2ⅩS2）anah・，h一・，首
即g刑（52ⅩS2）asf01lovs：
｛ユデー
f＝軒jg−ij＝一書bijg・・i。，
h−ij＝gTikhkng一m3−fg．ij，
（l．3）
hH‥
1J＝g−fikh血g−rnj＋fg一．ij，
hij＝g−ikhkng一一mj＋g一一ijhkmg，mj
Then，g＝h’＋hTT＋h＋fg■−fgT；andthisdecompositionis
Or地ogonal．町（互．2），Ve have
往・互）Aij＝h−ij＋h一一ij−fgtij＋好一ij，
vhereAij＝脾㌔ijk・Then，aStraightforWardcompl加tiongives
回2＝回2＋帖2＋止2，
hij謹㌔ijk＝回2＋回2−hf2，
（し．う）
（録1㌔平㌔ijk＝〈b−，芸bウ・くb一一，Zb・−トhfAf，
搭可2＝lghtl2・l芸b車＋互（△f）2＋広畔，
しい呵2＝l∇叫2・圃叫2・叫∇評・幽2
ThuS，uSing Lemma3．6（i），（h．2）and．（h．互），We get
（九・6）∫く△Lb・2b，Alh・書中
＝狛Al2・担転k一也（紺jh㌔jk・桝2・号榊2巨
＝5桝l2一項，左hウ・号佃2・・阿2
・讐回2−中一，鉱一〉十号け叫2・lgh−平
一才0−
・号圃2・l富津
†号古16f△f・号困2・h嗣2ちか
＝封書（回2・回2）・普く阿2・呵2）
・（断・i2・断−l2）・号畔2・園2
・号（△‥2f）2十号Af（Af・2f）巨
？0，
becausethefirsteigenvaiueoftheLaplacian−A。f（S2ⅩS2，g）
152，andheneeJAf（Af・2f）か≧0．
Ⅳext，Ve COnSid．er vhen the eqJlaiity of（h．6）h01d．S．
Ot）Viousiy｝the e甲11iaty h01d・Sif and・Oniyif hT ＝hll＝0｝
▽冨＝Oand Af＋2f：0．Since divh＝0（seethed．efiniti。n
。f，80（g）inLe皿a3・7），theconditionshT＝h・一＝0and∇冨＝O
yieid f＝COnStanも．Then from Afl2f＝0，Ve have f≡0．
matis，h＝首弧d吼＝0・エnpar出血r，屯h＝Ah＝0・
ThenfromLema3・6（i）弧dRij＝gij，Weget
（l・7）hl了が㌔ijk＝0・
Ontheotherhand，fron（h・h），bmk㌔ijk＝0，Sinceh＝h・
Hence，from（4．7），Ve have h＝0．Thus，the equaiity of（h．6）
bolds only雨Ien b＝0．
Ⅳ0■the assertion f■0110VS from Corollary3．8． □
トJ／−
；E：．Additional remarks．
From Theorem B，it seens tO be reasonabie to conjecture that
v（S2ⅩS2）＝256¶2／3・＝fthereshouidexistacounterexampie七〇
七heHopfconjectureOnnOneXistenceofametricofS2ⅩS2vth
POSitive sectional curvature，thenit night be a candid．ate of a
COunterexa皿pie tO OurCOnjecture． Thisisl〕aSed on theid．ea that
Verylarge conformai curVature prevents positive（or negative）
SeCtionai clmature・Since ourinvariant V（g）is given byinteg−
ration，it misses aiot Of fineinfornation on conformai curvature．
Soitis not so ciear to see the connection betveeniarge V（g）
and positive（or negarive）sectionai curvature．in this section，
Ve give a fev ot）SerVationson this topic．
Le血a H・軸ppo紙土建生む血M＝一望堕g∈帆（M）室生metric
建生nonnegative（望望聖PqSitive）sectionai cumature・塾
生辿迫幽重出辿；3慢2≦甜g2・
塾生・Letiei，e2・e3・e直eanorthonomaiframe・Then，
fi＝ei＾e2＋e3＾eh・f2＝ei∧e3＋eh＾e2，
f3＝ei∧e互＋e2∧e3，fh＝ei＾e2−e3∧eh，
f5＝eiへe3−eh∧e2andf6＝ei∧ek−e2∧e3
forman。rthonornaifrauof疋（in。urCOnVention，ei＾ej＝
去（ei◎ej−ej⑬ei））・WeregardthecurVaturetensorasaiinear
transfomati。nOf／ピ・Then，Withrespectt。thefreLneh右ve
have the f0110Ving matrix representation of the curvature tensor；
ーJ2−
（七：…），
Vhere A and C are3Ⅹ35ynmetric matrices vith tr A＝tr C＝
Rg／2，and
Ell十五22 E23−E11Eh2＋E13
B＝（㌔β）＝
E23＋Eh1Ell＋E33 Eh3−E21
E始−E13 Eh3＋E21Ell＋E仙
血ereE‥＝R・・−（R／h）gij・ZtisknovnthatAandCcanbe
diagonaiizedf。rSOmeOrthonomaifrane feil（［27；meOrem2・1］）・
So，Ve Write
昔・入10 0
A ＝
0 昔‥20
0 0 昔・入3
昔・畑
men，入1十人2十人3＝リ1＋リ2＋い3＝0弧d
（5・1）履2＝∑；去1人α2傘∑…＝1リβ2・
A2−fom correspond・ing tO a Piane sectionis of the foとm
∑；＝1∈αfα・∑
β＝1鳩十3
Vitb
∑∈α2＝∑nβ2；喜・
ーJ3−
TheTefore，if sectional curVatureis nonnegative（resp．non−
（5・2）専らα2（昔・入山苓購・吋・2宗冊や≧0∴
（resp・≦0），
f。rall履頑車β卜ith∑∈α2＝∑¶β2＝1／2・蝕omth毎
itis easiiy seen tha七
号・入α・リβ≧0（resp・≦0）無血1α，β・
3Rg2三‡（号・入1・吋・（号・入2・り2）・（号・入3・吋う2
・博・入1・い2）・（号・入2†吋・増・入3・吋！2
・勘入1・専・（号・入2・り1）・（号・入3・リ2巧2
≧芸（号・入α・吋2
＝R2・3（∑入α2・∑Vβ2）・
Therefore，from（5．1），Vehave2R2＞3W2・］
Cor011ary5．2．辿M生皇COnPaCt k−dinensionaimanif01d・，
望迫g∈帆（M）曇生Einstein地建生nonnegative（望n。npOSitive）
sectionalcuⅣahure，圭迦聖．V（M）≦128T2X（M）／5・
聖望三．Fromthe Gauss−Bonnet formi1a（1・6）and・the above
iem，We have
′J午−
V（g）＝32¶2X（M）−封㌔加
≦32T2X（M）−かくg）・
Hence，5V（g）≦128T2X（M）．ロ
Corollary5・3・蓮生M壬生旦eOmpaet hm餌11で01d・
（i）望MadnitS旦生Einsteinmetric虫主生nonnegative sectional
望三重望，迦庫（叫≦泰（M）く5・
（ii）主EMadnits旦已Einsteinmetric壁生nonpositive sectional
望望互望，望聖Isgn（M）t≦み（M）・
空望三．＝neachJOfcaSeS卜五七iseasytoseethahlsgn（M）L5
8X（M）／15でrom Propositlonl．9弧d Corollary5・2・
＝f gis an Einstein metric with nonnegati’V’e SeCtional
CurVature｝then we get from Coと011aryi・12
32¶2（X（M）一2）≦V（g）≦竿T2X（M）・
Hence，X（M）≦10・Moreover，fromthe eqJlality condition：Of
Cor011aryi・12，We have x（M）≦9・恥enthe nⅦ血er ofpos畠ibie
pairs（X（M），Sgn（M））is finite，andve caneasiiyseeIsgn（M）I
≦X（M）／2・ 口
迦聖生．でhispropositionsiigh七1yinproves Theorem2。fl川，
where8／15isrepiacesby（2／3）1・5（＞8／15）・
ーjr−
S6．A WilhlOre t e roblem．
Let￠‥Mn＋Sn＋1（1）beanimerSionofacompactn−nanif01d
intO the Euciid・eanunit（n幸1）−SPhere，and h the second．fund．eunen＿
tai foヱm Of 4）・By h we d・enOte the traceiess partノOf hi．e．，
h＝b一書（trgb）g，
血eregisthemetricon㌦ind．uced．by中．I）efine甘（￠）by
叫）＝J㌦帖vg・
＝tis ea．sy to see that W（4））is a．conformaiinvariant Of the
i皿erSion中，thatis，Ⅴ（￠）＝甘くao￠）for弧y M8bius tramfor−
mationa∈Conf（Sn＋1）．
The famous Wiilmore conjectureis stated as foiiovs．
TheWiiinoreconjecture．Foranyimer＄ion￠：T2十S3（1）
Of2−dimensionai torusintO theunit3−SPhere，the foiioving
（i）V（．）≧甘く￠clifford），Vhere￠ciifford：T2＋S3（1）is
tbeClifforde血由姐喝Sl（1／招）ⅩSl（1／摺）CS3（1）；
（正）W（￠）＝Ⅴ（￠clifford）土fandonlyif￠iseonfon脈止七〇
￠ciifford，thatis，thereexistsaMSbitutransfornaJ＝ionae
Conf（S3）suchthat￠＝aO￠ciifford・
地this section，We Sha．11consiaer the sa皿e PrObiem for
SPxsP・町中ciifford‥SPxsP＋S2p＋lwedenotetheCiifford
e血beddingSP（1／YQ）ⅩSP（1／招）Cs2p＋1（1）・Bygo’勺肌（SPxsP），
一j‘−
ved・enOtethe stand・ard・Einsteinmetric ofSPxsP｝i・e・9
（SpxSp，go）＝Sp（1）ⅩSp（1）・
The f0110Wingis a generaiization of Theorem Cin
meorem6・1・辿￠：SpxSp十S2p＋1（1）生盟hmersion，望追
gG咄（SPxsP巨二更生辿迫壁三・坐望聖旦塾生p≧2望娃
（6・1） V（g）≧V（go）・
塾生，（i）Ⅴ（￠）≧Ⅴ（￠cllfford）；
（正）Ⅴ（￠）＝Ⅴ（￠cllだord）韮望迫延塩生中立COnformaユ
生壁Ciifford・edbed・ding￠ciifford．・
Proof．From the Gauss equahionクもhe curvature tensor of
Ri脚＝gikgj九一gi見gjk＋hikhj九一hiAhjk・
Hence，the Weyi confornai curvattue tensoris compl止ed・tO be
Wi脚＝hi㌔j丸￣hi鵡k
・歪（芸。芸）Oi動†gik触）評−（hob）璃k−gi見（h叫jk）
1
豆缶渾gi和一g璃k），
Vhere n＝2p and．
hij＝blj一三（trh）glj，
0 0 0
（hoh）ij＝ら薫一拍2gij・
ーj7←
So，We get by a simpie caicuiation
（6・2日wl2＝2号ヨ冊一言警戒0紆†2≦学芸玉砕・
（6■3）…）≧（紡）p／2V（g）・
Zt f0110甘S from（6．2）that the e甲lalityin（6．3）occurs oniyvben
（hoh）≡0．This eqpaiity conditionis equivaient tO that at
ea．ch point，either4）is unfbiiic or q）has tWO d・istinct Principai
curvatures each of vhichis of ml止tipiicity p．Thus the a・rgument
usedbyCeciiandRyanlb］showsthahw（．）＝（（2p−1）／h（p−1が／2V（g）
if and．oniyif4）is conformai七〇七he e血bed・ding
￠α：SpくJ宗）ⅩSp倍）⊂S2p＋1（1）・
＝nparticuiar，fortheClifford・ehbedd・ing中ciifford．＝￠1・
（6・k）叫。云ff。r。）＝増請）p／2V（g。）・
Hence，from（6．3），（6．互）and．the assumpti。n（6・1），VehaNe
…）≧（紡）p／2V（g）≧鴎請）p／2V（g。）＝甘く中。1iff。r。），
vhichproves the assertion（i）・
Ⅳow，SuPPOSeV（ゆ）＝Ⅴ（ゆciifford）・Thenbytheabovea叩皿ent，
中mstbeconformait0㌔forsomeα・Moreover，thenV（go）＝
V（SP（1／．GTT）ⅩSP（vb／（α＋1））should．h01d・・Byad・irect Calculation，
Ve have
←Jg㌧
V（Sp（
義士） ⅩSp倍））
＝il塙巧蠍
℡herefore，Ve COnCiud・e thatα＝1．Conseqpent1y，￠is confoma．1
七〇￠cllfford・ロ
Remark・＝f pis od．d．，then the a．ssⅦ叩tion（6．1）is t00
restrictive，Sinceweknowv（SPxsP）＝O forod．d．pfrom
Theorem A（i）．Hovever，in the case when p＝2，甘e Can eXPeCt
tha尤the assumPtion（6ユ）土息P血neごモ日昌afy；eerta．iniy，thisis
nore piausibie conjecture than that mentionedin S5．
Remark．We remark here that a duai of the Wii］皿Ore
PrObiemis n01essimportant than the onginal one・Roughiy
SPeaking｝the Wiiimore probiemin the aboveis a probiem to
findanj血merSion￠‥dl十Sn＋1（1）With一一smaii一・h＝h（￠）．Ⅳov，
vevanttoconsideritinthesituation中：Sn−1十㌔．Ⅳaneiy，
theprobiemistofindanimerSion￠：Sn−1＋Mnvith．・snaii一一
h（￠）．
For simpiicity，VeaSSume㌦is conformaiiy fiat．Let
￠E：Sn−1Ⅹ［一己，こい㌦
be the E一七ubuiar neighborhood．0f中．Mis confomaiiy fiat，
andSn−1Ⅹ［−巳，E］issimplyconnectedifn≧3・Eence，Wehave
a conformai deveiopment（cf．［け］）
de叫E：Sn−1Ⅹ［一己，主上＋Sn（1）・
ー∫デー
工f￠is tOtallyl皿もllie，h（中）≡0，tben
輌‥＝如駈Ⅹ｛。｝：Sn￣1＋Sn（1）
is aiso tOtaliy血biiic・＝n particuiar，d．evo4）isan embed．ding．
Wevant to define the smilness ofh（4））viththis property，that
is，Ve SaUh（￠）七。be塾主ifthe assc・Ciatedconfomainap
devoOニSn−1→・Sn（1）isanezhbedding（thenゆisalsoaned）edding）．
1em6・2・互生当紺2坐旦注COnf。m慮り草呈聖生m虹止fold坐
生垣堂堕室生n≧3，望迫￠：Sn−1十里聖堂望些王追虫垂辿
当＃㌔立坤坐聖堂追聖・聖生，望b（￠）生壁主，
聖堂娃M2迦塁生eonfom始ユstmetWeS・
塑・C血比ngaiong中，Wehave竺1＃M2＝M＋U軋SuChthat
Mrisananif01dvithboundaryO（Sn−1）andthatM＋（resp・M）
con七山S￠C（Sn−1Ⅹ［0対日resp・￠E（Sn−1Ⅹト印］））・S址1arly，
dividingSnaiongtheembeddingdevo．，VehaveSn：D…UDn・
Sincedevo￠cisaconfornaimap，itiseasytOSetha尤Mi写
生UDn弧d生きMUD：地veflateonf。m弧stmetwes．ロ
Thus，the converse of nユ1kami−s theoremin＄2is red．uced．
七〇七he dual Wiil皿Ore PrOt）1em・Sois the converse of Coroiiary
2・2（in this case，Ve need additionai argl皿ent1ike Lezma2．2）．
一半クー
J． On YamabeIs constant．
As YamabeIs prot）1emis affirmativeiy and・cc町pieteiy soIved
（［／】，【zC］），Weheveametric ginanyconforma1ciass such
thatthescaiarcumtureRisconstant，andRVoi（㌦，g）2／n＝
U（M，g）（see（1・5）forp（M，g））・＝tisknown［HthatU（Mn，g）
≦U（Sn，go）hoidsingenerai，Vhere（Sn，go）istheEuciidean
unit n−SPhere・Moreover，reCentiy，Schoenli訂］haS PrOVed．
thatU（＃，g）＝U（Sn，go）ifandoniyif（M，g）isconformaiiy
equivalen七七〇（Sn，go），血chvastheunS01vedpartofYanabe・s
problem．
リ（M）：＝ Suptリ（M，g）；ge朝（M）1．
M adnlits a metric of positive scaiar curvatureif and oniyif
u（M）＞〇・AIso，U（M）≦U（Sn）＝U（Sn，go）frontheaboveineqJlaiity
ty Alぬin．
ぎromPropositionl．11，ifitistmethatU（S2ⅩS2）＝
U（S2ⅩS2，go）forthestandardEinsteinmetricgo，thenvehave
av叩pleasantres山ttbatV（S2ⅩS2路）≧Vfs2吏S2，go）fora町
g vith nonnegative sca．1ar curvahure． However，the author thinks
this hypoth岳Sisis probabiy not true for some reasons．We may
expectthatU（S2ⅩS2）＜U（Sh），Whichvillslightlyimprove
でbeorem B（五i）．
王nthissection｝WetakeupSlxsn−1insteadofS2ⅩS2I
andshowtha七・V（Slxsn−1）＝V（Sn）ifn！3（meoremD）・
−￠ト
We beginwith some preiininary caiclilations，Vhichvilibe
used．againin the next section・
Let（Ⅳ，gⅣ）bean（n−1）−dimensionaicompactRimennianmanif01d
vhose scalar curVa，七ureis positive constan七（n−1）（n−2）．ve
alvays assl皿e n∼3．
Suppose that fis a positive funCtion on R vhich satisfies
（7．1）2（n＿1）ff＿n（n＿1）を2＋（n−1）（n−2）f2＝n（n−1）．
Then，（丑ⅩⅣ，f（t）−2（dt2＋gN））hasconstantscaiarcurVature
n（n−1）．（1．1）isint，egrable，and．ve have
（7・2）を2ニー1日2−空言fn，
vhere cis anintegrai constant5Vhich reiates七〇七he Ricci
（7・3）RIcg（。）一転。）g（C）＝ef（七）n￣2（gⅣ一（n−1）胱㌦
vherevepl止g（C）＝f（七）−2（dt2＋gⅣ）withfsatisfying（7・2）・
From（7．2），Ve Observe that，in ord・er for f tO be d・efined−On
vh01e丑，the constant c must bein theintervai
（7・h） oie≦（誓）2＝：C。・
Then，Ve bave
f（七）＝COSb（七＋七0）forsomet01fc＝0；
fis a peTiod＿ic funCtionvith prime period・T（C）
ート之−
ifO＜C＜eo；
f（七）＝（言㌔）至ifc＝C。・
Hence，ifO＜C＜co，g（C）istheliftofametric（aisodenoted
by g（C））of（R／T（C）2Z）ⅩⅣ．We d．enote by V（C）the voiume Of
（（R／T（C）2Z）ⅩⅣ，g（C））．Remark that（丑ⅩⅣ，g（0））isisometric
tO Sn＼（antipod．aitWO POints）viththe stand．ard．metrie，if
（Ⅳ，gⅣ）＝（Sn−1，go）・
Lema，＿礼T（C）望堕Ⅴ（C）望皇COntinuous fl皿Ctions主監C，望吐
くi）山C十0的）＝∞；11m。十。。壇）三島・
（正）11m。詔e）＝Vol（嘲艶；
1ime十C。Ⅴ（e）＝2（n−2）（n−1）／2n胡Ⅴ。1鴨）・
聖建・Weconputeoniyiimc＋coT（C）andiimc＋coV（C）・The
Other assertions are easy to prove．
ForO＜C＜Co，1et0＜a（C）＜b（C）bethetWOPOSitive
rootS Of the equation
（官・6）1−人2・蓋入2＝0・
We d．efine a poiynomial F（入，C）in大町ith parameter c as
（7．7）theieft Sid．e of（7．6）＝（入−a（C））（入rb（C））F（入，C）．
＝七iseasytOSeethatlimc十Coa（C）＝limc＋Cob（C）＝入0：＝
一再−
（n／（n−2））至．Thenby a．d．irect caiculation，Ve Obtain
（7・8） 11m（入，e）→（九〇，eo）F（入，C）＝n−2・
工t follovs from（7．2）that
d入
（7．9）で（e）＝2
−（入−a（e））（入一七（C））
‡；：；「；F（入，e）一芸
且入
（7・10）Ⅴ（C）＝2V。1（可三：；十的詔
’′〉皿’Ja（C）＿￣▼ ￣’−￣’▼‘√行二示。））（入二も房寺
These co血bined・Vith（7．8）and．七he eiementary formula
d入
ん（入−a）（九一吊
for a＜b，give the d．esired．foTmuias． ］
Remark． From the second，Variation fomユa for the funCtional
g局Rgdvg′（Sdvg）（n￣2）／n，itfoliwsthah，ifT＞2T／ym，
theproductmetricgT＝dt2＋gNOfSixⅣwithiength（Si，dt2）＝
Tis not a s01ution of Ya正labe−s probiem（ve cali a metric g
a soiution生地mal）etS prOblem，if the scaiar curvahure R is
eonstmt，弧dRVol（g）2／n＝山は）．），弧tho喝b拙smetricbas
g
COnStant scalar curvature（cf．ll］）．mis fact correspondB t0
0urCOmpl加tionlimeナCo的）＝2¶仙−2・
The f0110Wingis a coroiiary of the aboveieⅢma．
加p血tlon7・2・姓（SlxⅣ彗）生空也・空で＞
21Tk／浣＝す丑聖堂空皇integerk，thenthere are at1east（k＋1）
ー仏字−
眠trics conformal主立生垣壬生坐望彗星辿竺旦堅生玉蓮生地迩
Constant scaiar curvatures but are notisometric t0 0ne anOther．
聖望三．From Lemma7・1（i）and・the asslmPtion on T，Ve find・
ej∈（0，Co），j＝1，…，ksuehtbatMej）＝机・町地enatu門止
3−f0ld．covering（R／T2Z）ⅩNう（R／（T／j）za）ⅩⅣ，Veiift the metric
g（㌔）七〇（R／T2Z）ⅩF・Thentheiiftedmetric，denotedbygj，is
COnfomaito gT・ⅣornalidngthevoilmeS OfgT，gi，・・・，gkby
homothetical changes，Ve get the d．esired．metrics． 口
LetgTbetheproductmetricofSlxsn−ivithiength（Si，dt2）
＝T・LetfbeapositiveftmctiononSixsn−lSuChthahf−2年
is a s011止ion of Yanabe−s probiem with constant scaiar cmture
n（n−1）・Weiiftthemetricf−2gTtOthemiiersaic。Vering
RxSn−1・Sincef−2（批2＋go）＝（rf）−2（dr2＋r2go），r＝e，
弧ddr2＋r2goistheEhclideanflat肥tricofRn＼0号丑ⅩSn−1，
pl止ting
u＝（畢）T（rf）丁，
Ve have
更生
△u睾㌔￣2＝0，
血ere△istheLa，1acianoftheflatmetric dr2・r2g。・More−
over，u→・CDa層コトす09andrn−2u→のaSr→鉾｝because minf＞O
and．max f＜ク0．Then，Ve Can aPPiy a theorem of Gi血S，Ⅳiand
Nirenberg（meorenh ofl？］），and．conciudethat fdependB。niy
一頃ト
ont；f＝f（七）・Hence，f−2gTISOneOfthemetricsdescribed
inPropositi。n7・2・Ⅳ0V，itiseasyt。SeethatifT≦2T／亮＝巧，
thenfisc。nStant，andthatifT＞2¶／Ymtakec色（0，Co）
suchthatT（C）＝T，thenf−2gT＝g（C）for（Ⅳ，gⅣ）＝（Sn−1，go）・
Thus，forT＞2¶／Ym，U（Sixsn−1・gT）＝n（n−1）Ⅴ（C）n／2・There−
linTiJl（Sixsn−1・gT）＝n（n−1）iimc＋Oy（C）n／2
＝n（n−1）voi（Sn，go）n／2
＝山Sn）．
matis，いくSlxsn−1）≧山Sn），50両Slxsn−1）＝山Sn）．口
＄8．Large scaiar cuⅣatWe On Sn．
Ve shall give another appiication of the coznputationin the
PreCeding section．The purpose of this sectionis to prove
TheoremEonahost constant1arge scalarCmture ofSn・So｝
this sectionis somevbat differentin character from previous
SeCtlons．
We consider the f01loving question：For a．given constant C，
d．0eS there exist ametric gofSn（n之3）suchthatV01（Sn，g）；1，
euldthatthescaiarcurVatureRg＝C？・：fcミ巨（Sn），VeCanget
such a．metric by soIving Ya皿abefs problem・Othervise｝Yanabels
tl砧−
。i＿．←−rJ＿一す義一一、−＿＿＿′一厨、−」
methodiosesits pover． So，七he probiemis foriarge c． The
difficuユty of this qpes七ion may be seen from the f0110Wing facts・
Fact8．1（肋軸［革r］）．望gg椚（Sn）立COnfomal立退迫
長髪聖堂建望奴∃宣go，Rg立盛望吐，望旦Ⅴ01（g）＝1，迦
Rg＝再n）・
ThusゥVe CannOt find・alarge constant scaiar curvaturein
the stand＿ard．confornai class of sphere．
塾生運送・姓Ke射S蝕＋1）吐更生塾生主王退塾生壁旦
芝生生望主1ength虫垂主 星ind・uCed・史聖堂些空三fPering
s2k＋1／Si＝CPk．Letg（七）∈価（S2k＋1）bedefinedby
g（七）ij＝gij−（トも2）KiKj，
垣gj旦堅泣Stand・ardmetric坐COnStant curVaturei・塾生，
Rg（七）立eonst弧七，望旦
Rg（七）Vol（g（七））2佃岨㌦いくS2k＋1），
生壁・N。tethatKi；jk＝Rijkh㌔・Then，nSing（2・6）inS2，
Rg（七）＝Rg（0）＋（トも2）困2
＝（n−1）（n＋1一七2），
☆here ve put n＝2k＋1・肋Ce｝We have
ト 隼7−
（七）Vol（g（七））2／n
＝≡t）t芸
山Sn）
g（0）
＝吉（n・1一七2）tn≦1・ 口
We prove the existence o王−large scalar cur寸atureunder
a siightly reiaxed condition on constanCy．
Letf：五一十二R＋，CE（0，Co）bethesolutionof
e
；。（七）2ニー1‥（七）2一念f。（七）n
（8．1）
fc（0）＝a（C），
Vherecoanda（C）areasinS7・Let n：B＋】ミbeasm00th
funetion slユehthat吊七）＝O fort≦0，吊七）＞O fort＞0，and
吊七）＝1f。rt≧1・Wepl止
恒0＋（1一冊e）（C）for−瓦的）三七
（8・2）㌔（七）
（（1一冊0＋げC）（七十㍍（e）＋1）fort≦−k的），
融lere T（C）is asin§7，and kis aninteger satisfying
（8・3）k＋1＞（r（1＋E）′n（n−1））n／2′vol（Sn，go）
Then，theRiemamianmetricgc：＝Fc−2（批2＋go）of＝RxSn−1・
sm00thiyextend・able七〇七hetvopoint COmPaCtificationSn・＝tB
SCalareurvatureR ＝Rc（七）isglvenby
C
一年デー
（8・h）Rc（七）＝2（n−1）Fc（t）Fc（七）−n（n−1）fc（t）2＋（n−1）（n−2）F（t）2・
Fromthed・efinitionofFc，Vehave
（8・5）Rc（七）＝n（n−1）fort≠［0，1］∪トk壇）−1，−k恒）］・
Ⅳ〇七ethatfcTl0，1］C。nVergeSunif。叫tof。Il0・1］up一二七O
SeCOndd・erivatives as c＋0・Hence，Rc convergesmiforniy
tOtheconstantn（n−1）・Therefore，thereis asmaiicl＞O
（8・6）mRcl血R ＜1＋C・
el＝
AIso，fromLezmaT・1（五）in＄7ana（8・3），takingasmailerci
（8・7）Ⅴ01（gel）≧（r（1＋E）′n（n−1））n／2
Ⅳow・Vedefineame血gofSnbyg：＝Voi（gcl）−2／ngcl‥Then，
Cieariy，Ⅴ01（Sn，g）＝1・andnaxRg／ninR＜1＋蔓，from（3・6）・
F血hRg＝Vol（gel鍋声（r（1・E油（n−1））血Rcl≧千・口
el＝
We canaiso sh。Ⅴthatifu（M）＞O andn＝dimM≧3，there
exists，forany COnStant r，a metric g of M for vhich V01（M，g）
＝1and・R ＞r・But thisis notinteresting．AjeaSOn Why ve
g
SticktO（E−）constancy of scalar curVatureisin the foiioving
result．
Propo已ition8・3，Suppo紙土建吐室生望猛COnSt弧t r望娃
E＞0，塾生旦metric g（r，∈）空室生玉塾生Vol（M，g（r，∈））＝1
聖迫IRg（r，E）（Ⅹ）−rl＜E迦婁主ⅩeM・塁聖，室生盟生野
r（持−
COnStant funCtion f，玉垣望eXists旦metric g虫垂塾生
Ⅴ01（M，g）＝1and R ＝f．
− g
mis propositionis a cor011ary of the f0110Wing
generaiization of a theorem of Kazd．an and，Warner［は】．
Therem8・互・蓮生go生色望聖更生Rieneumian聖辿室
生主望聖堂⊆imanif01dM更生Ⅴ01（M，go）＝1望生垣壬生nonconstant
坐CurVatWeR（go），望迫で旦更生f皿Ctions舐is桝咤
mln f≦mhR（g。）堅塁m奴R（g。）≦Mf・塾聖地立皇室辿
metric g望≦生壁生Vol（M，g）＝1望迫R（g）＝f．
Before the pr00f，We giVe SOme Other cor011aries．
Cor。11ary8．5．旦空色Closed surfaceM（i・e・，dinM＝2），
豊里聖互生丑辿fEC00（M）is the Gaussim CurVature Ofsomemetric
ge耽両壁生Am扇丑，g）宰1三三望娃延虹jヱ 血nf≦帥くくM）≦maxf・
Coroiiary8・6・望n＝dimM≧3，迦聖丑竺望狙function f
壁塾nin f＜tl（M），塾生皇metric g壁生Ⅴ01（M，g）＝1望迫
R（g）＝f．
聖三越薫Ⅳ隼7・塾生聖旦M2吐旦聖迫聖生mmlfold5旦些生玉互生
U（町＞0望旦dm㌔≧1・塾生，室生聖逆f皿Ctionf望生ⅩM2，
塾生三塁重工吐g蓮生Vol佃1Ⅹ聖，g）＝1堅娃R（g）＝f・
Pr00f of Coroiiary8．7． Under the assl皿ption，itis not
hardLtO Seethat foranyCOnStant C，thereis ametric gc of
生ⅩM2WithVolqⅩM2，g。）三1弧dR（g。）＝C・□
、ロト
Proof of meorem8．互．
The pr00fis simiiar七〇七hat givenin［I2」．so，We Oniy
sketChi七・LetS2T（resp・S：T）denotethebundleof（resp・
p。Sitivedefinite）syTnmetricc。Variant2＿tens。rS，and昌2T：
tb S2ヮ；tr b＝0）・ktH2，p触S2畑H2，p（M庫），一・もethe
go
Soboie筆SPaCeSOfE2，P−SeCtions（i・e・，uP〉tosecondderivatives
甜eLp）。fS2ヮ，車，…We山耶誠S皿etbatp＞n＝血M・
H2，p（Mi車）is弧OpenS。ほほ止OfH2，p（M；S2畑弧d
V。1：H2，p（M；車）＋】；g十Vol（M，g）
isaCLnaPPingvhosedifferentialisnotzero・FromthisI
there紺eaneighborhoodUofOinK2，P（M；昌2T）弧daC1−funCtion
α：UすR sueb that，putting
抽）＝go＋h＋拍）go for］hEU，
vehw示thefoiiowingpr。Perties（1）＠（h）EH2，P（M；S：T）；
（2）voi（＠（h））＝1；（3）◎（0）＝goi（h）D◎atOistheinclution
mpE2，壷（M；昌2T）⊂K2，P（M；S2T）・Wenotethat抽）isaC∞metric
if and oniyif his a C section．
me sealar clmature
R：H2，p（M；S…いLp血封
isdefineaasaC1−maPPingforp＞n・So｝WegetaCl・daPPing
R。◎：U十㌔（M；軋 UC軋p（M；昌軋
ー㌻ト
ThedifferentiaiA‥K2，P（M；S2T）うLp（M；R）。fRO◎ahOisc。m−
A（h）＝−Ahii＋hiJiij−hlJRij，
Vhere the connection，Ricci curvature，etC．are reiative tO
go・The formaiL2−adjointA嵩is glVenby
A兼（u）＝か（u）＋β（u）go，
か（u）＝一也）go＋∇2u・−「且Rie（go）
β（u）＝孟転TJR（g。伽g。
A器：Hh，P（M；R）−→・Ⅱ2，P（M；昌2T）isacon七inuouslinearmap・Fromthe
assⅦptionth如しthescaiarcurvatureR（go）isnotCOnStant，Ve
e弧Showthat鮎か‥Hh，p（M；糾すLp他R）isallnearbome皿Or−
Phism，andAoA兼‥Hh，P（M；R）＋Lp（M；R）isinjective（cf・【J］，［曾］，
［／2】．see aiso［件］，【之＋］for S血e二reiateauもOPics．）．Then，Since
Aや＿（A★−か）is a compact OperatOr，Ve COnCiud．e that AoA鶉isinver一
七ibie・（迦堕・rfgoIS anEinsteinmetricvithconstant
negative scalar curvature｝then AqA★is notinvertibie・This
is a difference from the case vithout vollme COnStraint．）
LetⅤ＝（A吋1（U）・DefineaCi→maPPingQ：Ⅴ＋Lp（M；R）by
Q＝Ro◎qA着．
Then the d．ifferentiai of Q at Ois AoA弟．so，by theinverse
ー！ユー
fupction theorem for Bana・Ch spaces｝Qisiocaiiyinvertibie．
＝n particuiar，Q（Ⅴ）contains some＿／C−baii centered at Q（0）in
Lp（M；R）・
ⅣOwI for the function f givenin Theoren｝Ve have a
diffeom。rPhism中。fMsuchthatIQ（0）−foOIL＜E（seeuヱ］）・
So，thereisueⅤ⊂Eh，P（M；R）WithQ（u）＝fo．・
AithoughQ（u）includesintegraisofu，∇u＿and∇2u，
We Can See that the eiiiptic reguiarity argumentis appiicabie，
byvriting d．own Q（u）expiicit1y．So，We See that uis smooth．
Thus，亘‥＝如A半（u）is aC00RiemannianmetricvithV。1（M，云）＝1
and・R（亘）＝fo中．Then the d．esiTedmetric gis givenby g＝
（￠￣1）巧．ロ
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Constructions on Cyclic M-Fuzzy Group Family

Heavy-Duty Raw Edge Cogged Metric V-Belts

THE PSEUDO-ANGLE IN SPACE OF In DIMENSIONS 1

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