LeggendAria 2015

Lezione 23: Applicazioni di ingegneria strutturale:
Smorzatore a massa accordata - Tuned Mass Damper (TMD)
Federico Cluni
28 Maggio 2014
1
Tuned Mass Damper
Un dispositivo di smorzamento a massa accordata, o Tuned Mass Damper (TMD), è un sistema
costituito da una massa collegata tramite un dispositivo di richiamo elastico e un dispositivo
di smorzamento viscoso ad una struttura per mitigarne la risposta sotto azioni dinamiche. Il
dispositivo di smorzamento può anche essere assente.
Il termine “accordato” si riferisce al fatto che il TMD è progettato in modo da mitigare
la risposta in un particolare modo (e di conseguenza frequenza propria) della struttura. La
dissipazione di energia avviene tramite le forze d’inerzia agenti sulla struttura.
Nel seguito si tratterà in dettaglio il caso, più semplice, di un TMD senza smorzamento
collegato ad una struttura costituita da un sistema ad un grado di libertà senza smorzamento.
1.1
TMD non smorzato, struttura SDOF non smorzata
Lo schema del problema è il seguente:
Figura 1: Schema del sistema con TMD non smorzato, struttura SDOF non smorzata.
Si considera agente sia una forza applicata alla massa m che degli spostamenti impressi alla
base, ag . Si introducono le seguenti quantità:
r
k
• pulsazione della struttura: ω =
m
r
kd
• pulsazione del TMD: ωd =
md
• rapporto di massa: µ =
md
m
Le equazioni del moto sono le seguenti:
mx
¨ + k x + kd x − x0 = F − m ag
md x
¨0 + kd x0 − x = −md ag
1
(1a)
(1b)
Per agevolare i calcoli, si introduce lo spostamento relativo fra il TMD e la struttura: xd =
x0 − x, per cui le equazioni del moto diventano:
mx
¨ + k x − kd xd = F − m ag
(2a)
md x
¨d + md x
¨ + kd xd = −md ag
(2b)
Si assume F (t) = F0 sin Ωt e ag (t) = ag,0 sin Ωt. Perciò gli spostamenti a regime saranno del
tipo x = x0 sin Ωt e xd = xd,0 sin Ωt, e le equazioni del moto divengono:
−m Ω2 x0 + k x0 − kd xd,0 d = F0 − m ag,0
2
−md Ω (x0 + xd,0 ) + kd xd,0 = −md ag,0
(3a)
(3b)
Dalla seconda si può ricavare:
ωd2 − Ω2
ag,0
ag,0
kd − md Ω2
x
+
=
xd,0 + 2 =
x0 =
d,0
2
2
2
md Ω
Ω
Ω
Ω
ωd2
ag,0
− 1 xd,0 + 2
2
Ω
Ω
Dividendo la prima per k si ha:
Ω2
kd
F0 ag,0
− 2 + 1 x0 − xd,0 =
− 2
ω
k
k
ω
Tenuto conto che:
ω 2 md
ω2
kd
= d2
= µ d2
k
ω m
ω
e sostituendo la (4) nella (5) si ha:
2
ωd
ωd2
ag,0 ag,0
Ω2
F0
Ω2
− 2 +1
− 1 − µ 2 xd,0 =
− − 2 +1
− 2
2
ω
Ω
ω
k
ω
Ω2
ω
ωd2
si ha:
Ω2
Ω2
F0 ag,0
Ω2 ωd2
Ω2
1− 2 −µ 2
xd,0 =
− 2
1− 2
2
ω
ω Ω
k
Ω
ωd
(4)
(5)
(6)
(7)
e portando in evidenza al primo membro il termine
da cui si può ricavare xd,0 come:
−1
F0 Ω2 ag,0
Ω2
Ω2
Ω2
− 2
1− 2
xd,0 =
1− 2 −µ 2
k ωd2
ω
ω
ωd
ωd
Considerato che:
ωd2 =
kd
1 kd
=
md
µ m
(8)
(9)
(10)
la (9) diviene:
xd,0 =
F0 Ω2
mµ
µ 2 − ag,0
kd ω
kd
−1
Ω2
Ω2
Ω2
1− 2
1− 2 −µ 2
ω
ω
ωd
mentre la (4) diviene:
−1
F0
Ω2
m
Ω2
Ω2
Ω2
Ω2
x0 =
1 − 2 − ag,0
1+µ− 2
1− 2
1− 2 −µ 2
k
k
ω
ω
ωd
ωd
ωd
(11)
(12)
Se si progettano le caratteristiche del TMD in modo tale che:
1+µ−
dove Ω è fissata allora:
2
Ω2
=0
ωd2
(13)
• la massa m risulta “isolata” rispetto agli spostamenti impressi (ovvero è come se ag ≡ 0
sempre).
• gli spostamenti sono pari a quelli se la forza F (t) = F0 sin Ωt fosse applicata in maniera
quasi-statica. Infatti:
Ω2
Ω2
Ω2
Ω2
Ω2 Ω2 Ω2 Ω2
1− 2
1− 2 −µ 2 =1− 2 − 2 + 2 2 −µ 2 =
ω
ω
ω
ω ω
ω
ωd
ωd
(14)
2 d 2
2
2
2
2
2
Ω
Ω Ω
Ω
Ω
Ω2 Ω2
Ω2
Ω
Ω
− 2 + 2 2 =1− 2
= 1 − 2 (1 + µ) − 2 + 2 2 = 1 − 2
ω
ω ωd
ω
ω ωd
ωd
ωd2
ωd
ωd
per cui:
x0 =
F0
k
(15)
Inoltre, solitamente µ è piccolo, all’incirca µ ≈ 0.01 ÷ 0.1, e dalla (13) si ha:
ωd2 = √
mentre:
Ω2
≈ Ω2
1+µ
Ω2
≈ m d Ω2
kd = µ m √
1+µ
(16)
(17)
In generale, nel caso generale in cui la forzante F ha pulsazione Ω generica, in assenza
di spostamenti alla base ag , nelle condizioni in cui Ω = ωd la risposta x0 si annulla (si vede
direttamente dalla (12)).
1.2
TMD smorzato, struttura SDOF non smorzata
Nel caso in cui il TMD sia costituito oltre che da un dispositivo di richiamo elastico anche da
uno smorzatore viscoso con smorzamento pari a cd = 2 νd ωd , le equazioni del moto diventano:
mx
¨ − cd x˙ + k x − kd xd = F − m ag
md x
¨d + md x
¨ + cd x˙ d + kd xd = −md ag
(18a)
(18b)
Nel caso di assenza di spostamenti impressi, il fattore di amplificazione dello spostamento
F0
è pari a:
rispetto al valore statico
k
v
!
u 2
u ωd 2 Ω 2 2 ωd
Ω
t
−
+ 2 νd
ω
ω
ω
ω
v"
!#2
u
2 ! 2 !
2 #2 "
2
u
2
2
Ω
ω
Ω
Ω
ω
Ω
ω
Ω
d
d
d
t 1−
−
−µ
+ 2 νd
1−
(1 + µ)
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(19)
L’andamento è riportato nelle figure seguenti per due valori di µ.
3
30
TMD νd = 0.0
TMD νd = 0.04
25
TMD νd = 0.08
no TMD
|x0 |/(F0 /k)
20
15
10
5
0
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
Ω/ω
1.05
1.10
1.15
Figura 2: Fattore di amplificazione dello spostamento della massa m per diversi valori di νd e
µ = 0.01, ωd /ω = 1.
30
TMD νd = 0.0
TMD νd = 0.04
25
TMD νd = 0.08
no TMD
|x0 |/(F0 /k)
20
15
10
5
0
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
Ω/ω
1.05
1.10
1.15
Figura 3: Fattore di amplificazione dello spostamento della massa m per diversi valori di νd e
µ = 0.05, ωd /ω = 1.
4
Si noti come per νd → ∞ si torna al caso del sistema senza TMD (salvo una variazione di
massa non essenziale vista la piccolezza di µ).
Un esempio di TMD è riportato di seguito. Esso è posto nel grattacielo “Citicorp Center”
sito a New York (USA) di altezza 279 m e 59 piani.
g
http://academic.udayton.edu/PaulBenson/phl316/citicorp.htm
http://blog.construdata21.com/?p=1152
http://strutturisti.wordpress.com/2009/06/07/tipologie-di-difesa-dalle-azioni-sismiche-controllo-attivo-semi-attivo-passivo-ibrido/
Figura 4: Il TMD del Citicorp Center.
2
Un caso particolare di TMD: il pendolo
Una particolare realizzazione di TMD non smorzato può aversi con un pendolo.
5
Figura 5: Schema del pendolo.
−−→
La posizione della massa in funzione dell’angolo θ è OP = (L sin θ; −L cos θ). L’equazione
di moto del pendolo è determinabile ad esempio con le equazioni di Lagrange, esprimendo il
potenziale delle forze (in questo caso la sola forza peso, fyd = −md g) come:
U = −md g yd + U0 = −md g L (− cos θ) + U0
(20)
e imponendo U0 = U (θ = 0) = 0:
La velocità è data da ~v =
U = −md g L (1 − cos θ)
(21)
1
1
T = md |~v |2 = md θ˙2 L2
2
2
(22)
∂T
d ∂T
∂U
−
=
dt ∂ θ˙
∂θ
∂ θ˙
(23)
md θ¨ L2 = −md g L sin θ
(24)
−−→ dOP
˙ L sin θ θ˙ e quindi l’energia cinetica è:
= L cos θ θ;
dt
L’equazione di Lagrange:
fornisce in questo caso:
Nel caso il sistema di riferimento subisca spostamenti in direzione xd esprimibili come x(t) +
ug (t) (ovvero (xd , yd ) è lo spostamento relativorispetto ad un sistema di riferimento
(x, y) che si
muove in direzione x con legge u(t)), si ha ~v = L cos θ θ˙ + (x˙ + u)
˙ ; L sin θ θ˙ e l’energia cinetica
vale:
h
i
1
T = md L2 θ˙2 + (x˙ + u)
˙ 2 + 2 L cos θθ˙ (x˙ + u)
˙
2
L’equazione di Lagrange fornisce:
md L2 θ¨ + md L cos θ (¨
x+u
¨) = −md g L sin θ
(25)
(26)
che, con l’usuale approssimazione dei piccoli spostamenti per cui sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 e ponendo,
xd
in virtù di tale ipotesi, θ =
diviene:
L
md g
md x
¨ d + md x
¨ + md u
¨+
xd = 0
(27)
L
e ponendo u
¨g = ag si ottiene:
md x
¨d + md x
¨+
md g
xd = −md ag
L
6
(28)
che è la stessa della (2b).
g
Per cui il pendolo può essere visto come un TMD con ωd2 = . Si noti come ωd non dipende
L
dalla massa
r md ma solo dalla lunghezza L. Con le dimensioni usualmente in gioco i periodi
L
Td = 2 π
sono piuttosto elevati. Infatti per L = 3.5 m si ha Td = 3.75 s. Tuttavia nel caso
g
di edifici alti anche tale periodo può essere insufficiente, come nell’esempio che segue in cui la
lunghezza L copre diversi piani dell’edificio.
Il dispositivo TMD realizzato con un pendolo è nel grattacielo “Taipei 101” sito a Taipei
(Taiwan) di altezza 448 m (508 m all’antenna) e 101 piani.
http://en.m.wikipedia.org/wiki/File:Taipei_101_Tuned_Mass_Damper.png
http://it.m.wikipedia.org/wiki/File:Taipei_101_2009_amk-EditMylius.jpg
http://www.flickr.com/photos/seanturvey/4178425183/
Figura 6: Il TMD con schema a pendolo del Taipei 101.
7

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