Appunti del corso di Sistemi Elettronici – Prof. A. Celentano – a.s. 2009/2010 ________________________________________________________________________________________________________________________ DAC – Digital Analogic Converter Osserviamo lo schema elettrico riportato qui a lato, rappresenta un convertitore Digitale-Analogico a n Bit. Si osservino le resistenze che di volta in volta sono divise per 2, nel passaggio da una resistenza superiore a quella successiva inferiore. Le resistenze da un lato sono tutte collegate tra loro e collegate all’ingresso invertente dell’operazionale mentre dall’altro capo sono collegate a commutatori che permettono il collegamento a un potenziale di riferimento Vo o al potenziale di massa. Lo schema è un convertitore Corrente-Tensione, ciò significa che in qualche modo dobbiamo calcolare la corrente che è generata in funzione delle posizioni occupate dai commutatori e, quindi, calcolare l’uscita che altro non è la tensione ai capi di Rf. Osserviamo che se una resistenza viene commutata sul potenziale di massa, questa resistenza non ha più alcun effetto sullo schema. Infatti, se da un lato il commutatore collega la resistenza a massa, l’altro capo della resistenza si trova già collegato al morsetto invertente dell’operazionale che, come si vede dallo schema e per il principio della massa virtuale, si trova a potenziale nullo (massa virtuale). Quindi questa particolare resistenza non fornisce alcun contributo alla corrente generale in quanto sottoposta a una differenza di potenziale nulla. Detto questo, è intuitivo che la prima resistenza rappresenta l’ingresso di un bit meno significativo (LSB) in quanto il contributo alla corrente generale è la metà di quella generata dalla resistenza successiva. Mentre è ¼ della corrente generata dalla resistenza ancora successiva. Ovviamente l’ultima resistenza, poiché è divisa per un fattore 2n-1 genera una corrente che è esattamente 2n-1 volte quella generata della prima resistenza. Quindi, nell’ordine indicato in figura, le resistenze vanno da una LS(B) a quella più significativa, cioè MS(B). In parentesi la B ricorda l’analogia con i corrispondenti bit. I commutatori rappresentano gli ingressi binari: l’ingresso B0 è collegato alla resistenza R/20; l’ingresso B1 è collegato alla resistenza R/21, e così via di seguito. In generale possiamo dire che l’ingresso Bi è collegato alla resistenza R/2i. Possiamo anche pesare che l’ingresso Bi altro non è che un coefficiente che può assumere solo due valori: 0 oppure 1, a secondo che il relativo commutatore sia collegato a massa o al potenziale di riferimento V0. Calcoliamo i vari contributi alla corrente generale delle resistenze: . . . . . . . . . !"#$ % &% '(#)*'% Nelle espressioni delle correnti riportate sopra, il coefficiente Bi rappresenta il valore del bit i-esimo, con i che assume valore tra 0 e n-1. In altre parole determina se c’è o non c’è il contributo della corrente dovuto a quel bit, visto che può essere 0 oppure 1. Calcoliamo la corrente totale. '%' + + + ,--, + Pag. 1 Appunti del corso di Sistemi Elettronici – Prof. A. Celentano – a.s. 2009/2010 ________________________________________________________________________________________________________________________ Ossia: + '%' Mettendo a fattore: '%' . + + + + ,--, + / + ,--, + #1 0 #1 # # L’ultima espressione è semplicemente un modo compatto di scrivere la formula. L’espressione racchiusa tra parentesi altro non è che un numero tra 0 e (2n-1). Se indichiamo con Nx tale numero si ha: '%'.23 / 23 Da questa formula si comprende che la corrente totale dovuta alla presenza di tutti i bit è: . '%' / Calcoliamo l’uscita dell’operazionale. Come abbiamo detto il circuito è un convertitore Corrente-Tensione. Pertanto dobbiamo calcolare l’uscita dell’operazionale per un dato numero qualsiasi Nx. Pertanto abbiamo: %*' %*'.23 / '%'.23 / 4 Ossia: 4 %*'.23 / 23 Sostituendo a Nx il suo valore massimo 2n-1 si ottiene la massima tensione di uscita: 4 $ 53 . / Il segno meno che appare nella formula può essere risolto o con una tensione di riferimento negativa oppure facendo seguire all’operazionale un circuito amplificatore con guadagno -1. Il valore massimo calcolato ci permette di ricavare il valore di fondo scala. Il valore massimo è per definizione: $ 53 8 67 Dove VFSR è la tensione di fondo scala e Q rappresenta la risoluzione o quanto del DAC. La risoluzione è la minima variazione della tensione d’uscita quando l’ingresso passa da una configurazione binaria a quella successiva. Quindi, per confronto con la precedente espressione, possiamo ricavare: 4 67 Ed anche : 4 8 Si osservi che la risoluzione può essere espressa in termini di tensione di fondo scala: Ossia: 4 8 8 67 67 Il principale inconveniente di questo schema è la grande disomogeneità dei valori dei resistori. Ad esempio, un DAC a 12 bit se pensiamo di prendere un valore di 1K-Ohm per il resistore MSB, il valore del resistore LSB deve essere dell’ordine di 212 volte il valore per la resistenza MSB, ossia dell’ordine del M-Ohm. Valori troppo diversi che comportano problemi di instabilità del circuito nella conversione. Lo schema va bene per DAC con n piccolo (3,4). Pag. 2 Appunti del corso di Sistemi Elettronici – Prof. A. Celentano – a.s. 2009/2010 ________________________________________________________________________________________________________________________ Uno schema perfettamente equivalente può essere realizzato con i resistori i cui valori non si dimezzano, come nello schema appena trattato, ma bensì raddoppiano ad ogni passaggio successivo. Osserviamo lo schema riportato qui a lato. I valori dei resistori sono presi in modo che dal passaggio di un bit al successivo, iniziando dall’alto, i valori raddoppiano. La prima resistenza è assunta 2R, la seconda 4R, la terza 8R, ecc. ecc. L’ultima resistenza sarà 2nR. In questo caso la resistenza determina il bit LSB e MSB. Infatti, poiché il contributo alla corrente generale è più alto nella prima resistenza, cioè quella di valore 2R, questo valore determina il bit MSB, mentre l’ultima resistenza, quella 2nR, individua il bit LSB. Calcoliamo la corrente che viene generata per una data configurazione dei bit. Si ha: '%'.23 / + + + ,,-+ L’espressione calcolata fornisce la corrente dovuta alla configurazione dei bit in ingresso dovuto al numero Nx. Si possono mettere a fattore alcuni termini. Infatti: '%'.23 / . + + + ,,-+ / Conviene riscrivere l’espressione facendo in modo che le potenze del 2 compaiano al numeratore. Infatti, mettendo in evidenza 2n si ha: '%'.23 / . + + + ,,-+ / Da cui si vede che l’espressione in parentesi è proprio il numero Nx. Per cui si ha: '%'.23 / 23 Questa espressione rappresenta la corrente fornita dal circuito per una configurazione binaria in ingresso. La corrente totale è . '%' / Scriviamo adesso l’espressione dell’uscita dell’operazionale. Ossia, ricordando che è un convertitore I-V: L’uscita assume valore massimo: 4 % %*'.23 / 4 % $ 53 . 23 / Da questa espressione possiamo ricavare la tensione di fondo scala e la risoluzione. Ossia: 4 67 8 % 4 Bisogna ricordare che Vmax = VFSR – Q. Pag. 3 67 Appunti del corso di Sistemi Elettronici – Prof. A. Celentano – a.s. 2009/2010 ________________________________________________________________________________________________________________________ Lo schema che segue è quello di un convertitore DAC con rete a scala, detto anche a commutazione di tensione. Osserviamo lo schema e cerchiamo di capire come è stato realizzato. Tutte le resistenze che possono essere collegate a massa hanno un valore pari a 2R. Tutte le altre hanno valore R. L’operazione è in configurazione di adattatore di impedenza, per cui può far seguito un amplificatore. La tensione Vo è la tensione di riferimento. I commutatori permettono di collegare le resistenze 2R o al valore della tensione di riferimento V0 oppure a massa. Supponiamo che tutti i commutatori sono messi in modo che le resistenze 2R risultino collegate a massa. Si nota subito che il nodo A presenta due resistenze da 2R in parallelo: al nodo A è come se vi fosse una sola resistenza di valore R. In questo caso al nodo B fanno capo una resistenza da 2R, che tramite il commutatore è collegata a massa, e una serie di due resistenze di valore R collegate verso massa. Questo significa che al nodo B è come se vi fosse una sola resistenza R collegata verso massa. Continuando l’analisi, possiamo dire che ogni nodo ‘vede’ sottostante la sua posizione una sola resistenza di valore R, se tutti i commutatori sottostanti sono orientati verso massa. Nel caso che tutti i commutatori sono orientati verso massa, al nodo D vi è una sola resistenza di valore R sottoposta ad una tensione nulla. In quest’ultimo caso l’uscita Vout è nulla. Sulla base di quanto detto cerchiamo di calcolare il contributo alla tensione di uscita in funzione di ciascun commutatore. Supponiamo che il solo commutatore indicato con B1 è commutato verso la tensione di riferimento V0 mentre tutti gli altri sono commutati verso massa. Per l’analisi fatta prima, possiamo dire che sotto il noto C vi è una sola resistenza di valore R, essendo i commutatori orientati verso massa. Quindi il circuito si trasforma come quello riportato qui a lato. In questo caso possiamo ricavare il contributo di questo primo ingresso binario. E’ intuitivo che tale contributo è: Si osservi che il valore di ½ è stato scritto sotto forma di potenza del 2. Calcoliamo il contributo del secondo bit, indicato con B2. In questo caso dobbiamo considerare che il primo commutatore è orientato verso massa, quindi la resistenza da 2R al nodo D è collegata a massa. Sempre dal nodo D esce una resistenza di valore R e al nodo C vi è una resistenza di 2R collegata alla tensione V0 e, per l’analisi fatta in precedenza, due resistenze di valore R messe in serie con collegamento a massa, come si vede dalla schema riportato qui a lato. Non è difficile dimostrare che il potenziale nel punto D è pari a ¼ della tensione di riferimento V0, ossia: Questo risultato è vero perche ‘guardando’ nel nodo C la rete elettrica è equivalente ad un generatore di valore pari a Vo/2 con una resistenza in serie di valore pari a R (Thevenin). Da questi due risultati appena scritti possiamo ricavare l’espressione generale del contributo relativo al bit Bi . Ossia: # # # Osserviamo adesso che la rete resistiva è una rete lineare, ciò vuol dire che per essa vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Quindi, se in ingresso abbiamo un numero generico Nx = (Bo,B1,B2…Bn-1), possiamo ricavare l’espressione della tensione di uscita sommando semplicemente i vari contributi. Ossia: %*' + + 9 9 Pag. 4 + ,--+ #1 0 #1 # # Appunti del corso di Sistemi Elettronici – Prof. A. Celentano – a.s. 2009/2010 ________________________________________________________________________________________________________________________ In questa espressione abbiamo supposto il caso generale di n ingressi binari. Mettiamo in evidenza il Valore V0 e seguiamo qualche passaggio matematico: : %*' + + 9 9 + ,--+ ; In questa espressione oltre a mettere in evidenza V0 abbiamo anche moltiplicato e diviso per uno stesso numero senza cambiale il valore dell’espressione. Moltiplichiamo 2n che sta al numeratore per ciascun addendo dell’espressione. Si ha: . %*' + + 9 9 + ,--+ / Dall’espressione in parentesi ci accorgiamo che il valore del bit Bn non è il MSB ma, bensì, è il valore LSB, poiché è legato alla potenza 20. Mentre B1 è il MSB perché è legato al ‘peso’ più grande, ossia 2n-1. Quindi, cambiando semplicemente ‘nome’ agli indici, possiamo scrivere: %*' . + + 9 9 + ,--+ / In questa espressione si riconosce facilmente che tra parentesi vi è l’espressione binaria di un numero Nx che può assumere valore tra 0 e 2n-1, con n il numero di bit di ingresso al DAC. L’espressione del valore massimo che assume l’uscita, quando tutti i coefficienti Bi valgono 1, è: . $ 53 / Da questa espressione possiamo calcolare sia la tensione di fondo scala che la risoluzione o quanto Q: $ 53 67 Ossia : 67 E quindi: 8 Pag. 5 8 Appunti del corso di Sistemi Elettronici – Prof. A. Celentano – a.s. 2009/2010 ________________________________________________________________________________________________________________________ Lo schema di un convertitore DAC con rete a scala e a commutazione di corrente è lo schema che segue. In linea di principio è molto simile a quello studiato in precedenza. I resistore con valori da 2R sono solo quelli che possono essere collegati a massa. Tutti gli altri resistori hanno valore R. Come per lo schema studiato in precedenza, anche qui vale la ‘regola’ che se i commutatori sono orientati verso la massa la resistenza che si ‘vede’ dal nodo è R. Quindi, se per ipotesi i commutatori sono tutti orientati verso massa, al nodo A è collegato una sola resistenza di valore R. Bisogno osservare che a differenza dello schema precedente i commutatori possono collegare gli ingressi binari una volta a massa reale e una volta alla massa virtuale dell’operazionale, come si vede dallo schema. Quindi, sia che i commutatori siano orientato verso massa reale o virtuale risultano sempre orientati verso massa. Questo significa che la tensione di riferimento Vo ‘vede’ una sola resistenza di valore R e, pertanto, a prescindere dalla posizione dei commutatori si genere una corrente costante di valore pari a Vo/R. Calcoliamo il contributo di corrente dato dal primo ingresso binario. Supponiamo che il commutatore B1 è orientato verso massa virtuale, e tutti gli altri a massa reale. In questo caso nel nodo A fanno capo due resistenze di uguale valore 2R, come è evidente dall’analisi dello schema elettrico. Poiché abbiamo detto che nel nodo A entra una corrente pari a V0/R, è evidente che questa si divide in due parti: una metà fluisce verso la massa reale e un’altra metà fluisce verso l’operazionale. Possiamo, quindi, scrivere: Calcoliamo il contributo del secondo ingresso binario. Se il solo commutatore B2 è orientato verso la massa virtuale allora una metà della corrente I1 fluisce attraverso la resistenza 2R per raggiungere l’operazionale e l’altra metà fluisce verso il nodo C. Il contributo di corrente dovuto a questo commutatore è: Con lo stesso ragionamento si può calcolare il contributo generico del commutatore binario Bi: < < < E’ necessario fare una precisazione. I contributi calcolati, I1, I2 ecc.ecc, sono contributi che esistono sempre, a prescindere dalla posizione dei commutatori. Questi fanno sì da convogliare le quantità di corrente o nell’operazione oppure verso massa, a secondo dei valori assunti da Bi. L’espressione della corrente che entra nell’operazionale può essere scritta come segue: <1? .=> / 0 <1 < : < + + @ @ ,--+ ?; ? L’espressione in parentesi può essere modificata nel seguente modo: .=> / : + + @ @ ,--+ ? ?; ? ? ? . ? + ? +A+ ? / Nell’ultima espressione si riconosce il numero binario Nx. Per poterlo riconoscere facilmente è sufficiente cambiare il nome ai commutatori binari: Bn diventa B0, Bn-1 diventa B1 ecc. ecc. fino a B0 che diventa Bn-1. Quindi possiamo scrivere: .23 / 23 Questa espressione rappresenta la corrente che ‘entra’ nell’operazionale in funzione della combinazione binaria dei commutatori. Calcoliamo la tensione di uscita, considerato che il circuito è un convertitore Corrente-Tensione. Si ha BCD.23 / E .=> / Pag. 6 E 23 Appunti del corso di Sistemi Elettronici – Prof. A. Celentano – a.s. 2009/2010 ________________________________________________________________________________________________________________________ Questa è la tensione in funzione del numero Nx che in forma binaria mettiamo in ingresso. Calcoliamo il valore massimo: $ 53 . 4 / Ricordando la relazione: $ 53 8 67 Possiamo scrivere: E quindi in definitiva: $ 53 . 4 / 4 67 4 Ed anche: 8 4 Pag. 7 . 67 8 /
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