Soluzione - Dipartimento di Fisica

22 luglio 2014 - Scritto di Termodinamica
Primo problema
Il dispositivo rappresentato in …gura deve disperdere una miscela d’acqua
e di insetticida. La portata di insetticida deve essere pari a Qi = 75 ml=min
mentre la portata d’acqua è Qa = 4 l=min.
Tutti i condotti e i recipenti sono cilindrici e l’area della sezione del pelo
libero dell’insetticida (a pressione uguale a quella atmosferica) contenuto nel
recipiente è molto maggiore della sezione del tubetto che comunica con lo
spruzzatore. I diametri noti di alcuni condotti cilindrici sono indicati in
…gura. Il punto A è 15 cm più alto del pelo libero dell’insetticida.
Calcolare, in tali condizioni, il valore della pressione nel punto A e il
diametro D del dispositivo.
Assumere uguale a quella dell’acqua la densità dell’insetticida.
Soluzione
Applichiamo l’equazione di Bernoulli tra un punto I situato nel condotto
di estrazione dell’insetticida, all’altezza del pelo libero, e il punto A:
pA +
1
2
VA2 + gH = pI +
1
2
VI2
dove H = 15 cm rappresenta la distanza tra il pelo libero del serbatoio
ed il punto A. Nell’ipotesi che l’insetticida nel serbatoio sia praticamente
in quiete, VI
0 la distribuzione delle pressioni è idrostatica, per cui la
pressione pI eguaglia la pressione del pelo libero, ovvero quella atmosferica.
La velocità dell’insetticida nel punto A, VA;i all’uscita del condotto di estrazione, può essere dedotta dalla portata di insetticida e dai dati geometrici
del condotto:
1
d2
4
Qi = VA;i
) VA;i = (75 10 6 =60)
1
2
(2 10 4 )
= 9:95 m=s
Pertanto, la pressione nel punto A è:
pA = p1
1
2
1:013 105
VA2
gH =
0:5 103 (9:95)2
103 9:81 0:15 P a = 50327 P a:
Calcoliamo la portata che ‡uisce attraverso il dispositivo. La portata
uscente da quest’ultimo è la somma della portata di acqua più quella dell’insetticida.
La velocità della miscela all’uscita del dispositivo può essere ricavata dalla
relazione:
2
(75 10 6 =60)+(4 10 3 =60)
A
=
m=s =
Qi + QA = Vu D2u ) Vu = QiD+Q
2
(1:25 10 3 )2
( 2u )
13:84 m=s
Se adesso applichiamo l’equazione di Bernoulli alla traiettoria di una particella d’acqua che si sposta da un punto subito a monte di A (dove il ‡uido
che scorre nel dispositivo è solo acqua), …no all’uscita, possiamo ricavare la
velocità dell’acqua subito a monte del punto A
pA +
1
2
2
= pu +
VA:a
(13:84)2 +
1
2
2
(1:013
103
Vu2 ) VA;a = Vu2 + 2 (pu
105
50327)
1=2
1=2
pA )
=
m=s = 17:13 m=s
Nota tale velocità, possiamo …nalmente calcolare il diametro D dalla relazione
q
q
3 =60)
QA
D 2
= 2 (4 1017:13
= 2: 23 10 3 m
)D=2
QA = VA;a
2
VA;a
Secondo problema
Un recipiente cilindrico è diviso da un setto rigido in due parti A e B
di volume VA = 0:4 l e VB = 2:46 l, rispettivamente. Nella camera A
sono contenute nA = 0:02 moli di gas ideale monoatomico alla temperatura
2
T0 = 273 K; nell’altra camera è contenuto del gas ideale biatomico alla
pressione atmosferica p0 e temperatura T0 . Il setto rigido si rompe se la
pressione nella camera maggiore raggiunge il valore pm = 10 atm . Il gas nella
camera B viene compresso in modo reversibile, …no a provocare la rottura del
setto, spostando un pistone che può scorrere senza attrito lungo il cilindro.
Le pareti del recipiente, compreso il setto di separazione e il pistone, sono
adiabatiche. Si calcoli:
(a) il lavoro W compiuto dal gas durante la compressione;
(b) la temperatura …nale Tf della miscela gassosa risultante.
(c) la pressione …nale della miscela
Soluzione
Calcoliamo il numero di moli del gas in B
nB = p0 VB =RT0 = (1:013 105 2:46 10 3 ) = (8:314 273) mol = 0:11
mol
Il gas contenuto in B, per il quale = 7=5; compie una compressione
adiabatica reversibile …no al volume …nale VBf corrispondente alla pressione
pm
1:4
) VBf = VB
p0 VB1:4 = pm VBf
1
1:4
p0
pm
= 2:46 10
1
10
3
1
1:4
= 0:475 l
pV 1:4 = p0 VB1:4 ) p = p0 VB1:4 =V 1:4
Il lavoro compiuto dal gas di B vale
h
R VBf
R VBf
1:4
1:4
1:4
dV = p0 VB
W = VB pdV = VB p0 VB V
1
0:4
(p0 VB
579:94 J
pm VBf ) =
1
0:4
(2:46 10
3
V
0:4
0:4
iVBf
VB
= p0 VB1:4
VB 0:4
0:4
10 4:75 10 4 ) 1:013 105 J =
e la temperatura …nale TBf del gas in B ha il valore
TBf = pm VBf =nB R =
10 1:013 105 4:75 10
0:11 8:314
4
K = 526:14 K
Quando la parte B del cilindro arriva alla pressione pm , il setto si rompe
e i due gas formano una miscela, con numero di moli
n = nA + nB = 0:13 mol
il calore speci…co molare cV (AB) della miscela vale
cV (AB) =
nA cV A +nB cV B
nA +nB
=
0:02 1:5+0:11 2:5
R
0:13
3
= 2:3462R
VBf0:4
0:4
=
le energie interne molari dei due componenti valgono
uA = 1:5 R T0 ; uB = 2:5 R TBf
L’energia interna molare della miscela ha il valore u = cV (AB) Tf , e deve
essere uguale alla somma delle energie interne molari dei due gas componenti
P
1:5 R T0 + 0:11
2:5 R TBf = (1176R) K
u = cV (AB) Tf = i ri ui = 0:02
0:13
0:13
e quindi si ricava la temperatura Tf della miscela
Tf =
1176
K
2:3462
= 501:24 K:
Il volume …nale è Vf = VA + VBf = 0:875 l, e la pressione …nale vale
p=n
RTf
Vf
= 0:13 8:314
8:75
501:24
10 4
105 P a
= 6:19
Terzo problema
Su n moli di gas perfetto si esegue una trasformazione ciclica: Partendo
da A, si cede reversibilmente calore mantenendo il gas a volume costante,
…no ad arrivare a B. Il gas subisce poi una espansione isoterma, anche essa
reversibile, che lo porta nello stato C. La trasformazione irreversibile che
segue avviene abbastanza lentamente da poter considerare istante per istante
ben de…nito lo stato termodinamico del gas, che viene mantenuto a pressione
costante uguale a quella di A. A questo punto il gas viene messo in contatto
con un bagno termico ad una temperatura TA ignota. Quando si raggiunge
nuovamente l’equilibrio termico il gas si trova nuovamente in A. Si conosce la
temperatura TB ; e il calore QBC assorbito dal gas durante la trasformazione
isoterma. Determinare:
1. La variazione di entropia del gas tra B e C.
4
2. La temperatura TA :
3. Il lavoro fatto dal gas tra C e B.
4. La variazione di entropia dell’universo in un ciclo e veri…care che è
sempre 0.
Soluzione
1. La trasformazione isoterma è reversibile, e conosciamo il calore assorbito dal gas,quindi
SBC =
QBC
TB
2. La variazione dell’entropia del gas, funzione di stato, è nulla in un
ciclo. Possiamo quindi scrivere
SAB +
dove
SBC +
SCA = 0
SAB = ncv ln TTBA
quindi ncv ln TTBA +
QBC
TB
da cui TA = TB exp(
SCA = ncp ln TTBA
e
+ ncp ln TTBA = 0 ) nR ln TTBA +
QBC
TB
=0
QBC
)
nRTB
3. WAB = 0; quindi
WCB = PA (VA
VC ) = nR(TA
TB ) = nRTB exp(
QBC
)
nRTB
1 :
4. l’unica trasformazione irreversibile è C ! A; quindi la variazione
dell’entropia dell’universo in un ciclo Su sarà data dalla somma delle variazioni d’entropia del gas e della sorgente da C ad A
Su =
SCA +
S
= ncp ln TTBA +
SCA
veri…chiamo che
poniamo x TTBA
Su
Su = ncp ln x
1
d
dx
ln x
1
1; = 0 se x = 1
1
x
=
ncp
(TB
TA
TA ) > 0
0
1
x
1
x
> 0 sempre, infatti:
1
x2
=
1
x2
(x
1) < 0 se x < 1; > 0; se x >
Su è crescente se TA > TB ; decrescente se TA < TB ; con un minimo
nullo per TA = TB :
5

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