Soluzioni della prima prova di accertamento Fisica Generale 1

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica, dell’Informazione, Elettronica e Informatica
Canale 2 (S. Amerio, L. Martucci)
Padova, 05 aprile 2014
Soluzioni della prima prova di accertamento
Fisica Generale 1
Problema 1
Due corpi di massa m1 = 1 kg e m2 = 2 kg sono collegati tramite un filo inestensibile e privo di
massa come in figura. Il corpo m2 `e anche collegato ad una parete rigida tramite una molla di
costante elastica k = 10 N/m. Il piano su cui poggia m2 `e liscio. Sul corpo m1 agisce, oltre alla
forza peso, una forza F~ di modulo 10 N diretta verso il basso.
1. Il sistema `e inizialmente in equilibrio. Determinare tutte le forze agenti su m1 e m2
(modulo, direzione e verso) e l’allungamento della molla L.
2. All’istante t = 0 s la forza F~ cessa di agire. Determinare la legge oraria di m2 , supponendo
che il filo rimanga in tensione.
3. Per quale valore massimo di F il filo rimane sempre in tensione?
Soluzione:
1. Introduciamo il sistema di riferimento in figura con la base di versori ux , uy . Sul corpo
m1 agiscono la forza F~ = −F uy = −10 N uy , la forza peso Fg1 = −m1 guy = −9.8 N uy e
la tensione T~1 = T1 uy . Sul corpo m2 agiscono la forza elastica F~el = −kLux , la tensione
~ = N uy . Dato che il
T~2 = T2 ux , la forza peso F~g,2 = −m2 guy e la reazione vincolare N
filo `e ideale, T1 = T2 = T . Imponiamo le condizioni di equilibrio (T − m1 g − F )uy = 0,
1
~ = 19.6 N uy , la
(T − Fel )ux = 0, (N − m2 g)uy = 0. La reazione vincolare risulta N
m1 g+F
tensione T = m1 g + F = 19.8 N, l’allungamento della molla L =
= 1.98 m e infine
k
~
la forza elastica Fel = −19.8 N ux .
2. Possiamo scrivere ~a1 = a ux e ~a2 = −a uy , usando sistema di riferimento in figura. Per i
due corpi valgono le equazioni
T − m1 g = −m1 a
,
T − kx2 = m2 a
avendo scelto x2 = 0 cm come posizione di riposo della molla. L’accelerazione `e
a≡
d2
m1 g
m1 g
k
d2 x2
≡
(x2 −
(x2 −
)=−
)
2
2
dt
dt
k
m1 + m2
k
la cui soluzione `e
x2 (t) =
dove ω =
ottiene
q
k
m1 +m2 .
m1 g
+ A sin(ωt + φ)
k
Imponendo le condizioni iniziali x2 (0) = L =
x2 (t) =
m1 g+F
k
e v2 (0) = 0 si
m1 g F
+ cos ωt = [0.98 + cos(1.8t s−1 )] m
k
k
3. Il massimo valore della forza Fmax per cui il filo resta teso `e quello per cui si annulla la
tensione T nel punto di massima compressione. La tensione in funzione di x2 `e data da
min = 1 (m g − F ), si ottiene
1
T = m1m+m
(kx2 + m2 g). Imponendo T (xmin
1
2 ) = 0, dove x2
k
2
Fmax = g(m1 + m2 )
Sostituendo i valori numerici otteniamo Fmax = 29.4 N.
2
Problema 2
Un corpo di massa m = 1 kg parte con velocit`a iniziale nulla dal punto A e scivola lungo un
piano inclinato scabro (µd = 0.1, angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale θ = 30◦ ). In
fondo al piano inclinato il corpo prosegue lungo una guida circolare liscia di raggio R = 20 cm.
1. Determinare la velocit`
a nel punto B se il punto A si trova ad una quota h = 40 cm
2. Determinare l’altezza h minima affinch`e il corpo arrivi in C
3. Determinare l’altezza h minima affinch`e il corpo arrivi in D
4. Il corpo viene poi riportato nel punto A lasciato nuovamente scivolare. Determinare la
velocit`
a nel punto B se il punto A si trova ad una quota h = 40 cm e il sistema `e montato
su un vagone che si muove verso destra con accelerazione costante ~a = a0 ux = 3 m/s2 ux .
Soluzione
1. Utilizziamo la formula Em,B − Em,A = Wad con Wad = −Fad h/ sin θ = −µd N h/ sin θ =
2 , ricaviamo
−µd mgh cot θ. Poich´e Em,A = mgh e Em,B = 12 mvB
vB =
q
2gh(1 − µd cot θ)
Sostituendo i valori numerici, otteniamo vB = 2.5 m/s.
2 + mgR, si ottiene
2. Utilizzando Em,C − Em,A = Wad , dove Em,C = 12 mvC
h=
1
v2 R+ C
1 − µd cot θ
2g
La condizione da imporre ´e vC ≥ 0 e quindi l’altezza minima corrisponde a vC = 0:
hmin =
R
1 − µd cot θ
Sostituendo i valori numerici, otteniamo hmin = 24 cm.
3
3. Seguendo la stessa procedura utilizzata per il quesito 2, si ottiene
h=
1
v2 2R + D
1 − µd cot θ
2g
2 /R ≥ g e quindi l’altezza minima `
La condizione da imporre `e ora vD
e data da:
hmin =
5R
2(1 − µd cot θ)
Sostituendo i valori numerici si ottiene hmin = 60 cm.
4. Utilizziamo il sistema di riferimento non inerziale solidale con il vagone. Bisogna quindi
tenere conto della forza di trascinamento F~t = −ma0 ux , alla quale si pu`o associare
un’energia potenziale ma0 x, che si somma a quella della forza peso. Quindi Ep,B − Ep,A =
mg(h+a0 cot θ). Il modulo della reazione vincolare e’ ora dato da N = m(g cos θ −a0 sin θ)
e quindi il lavoro della forza d’attrito `e dato da Wad = µd mh(a0 − g cot θ). Proseguendo
come per il quesito 1, otteniamo
vB =
q
2h[g(1 − µd cot θ) + a0 (µd + cot θ)]
Sostituendo i numeri: vB ' 3.3 m/s.
4

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